【加练半小时】2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题6 数列 第39练 Word版含解析

热点6 数列【名师精讲指南篇】 【热点深度剖析】1. 数列在15-17年以填空题、解答题的形式进行考查，题目多为中高档题，涉及到函数与方程思想、分类讨论思想，着重考查学生分析探究及逻辑推理能力.数列常与其它章节知识（如不等式、函数）结合考查，也可单独设置题目.2. 对于数列的复习，一要明确等差数列与等比数列的基本性质及其求和公式，二要注意分类讨论思想、函数与方程思想的运用，数列属于重点考察知识，考查的难度较大，复习时应以难度中等或中等偏上题为主，加强对数列与其它章节知识（如不等式、函数）相结合题目的训练.3. 预计18年考查等差、等比数列通项及前n 项和及等差、等比数列的性质. 【最新考纲解读】【重点知识整合】一、n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．二、（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差（比）等于同一常数的数列叫等差（比）数列． （２）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，． （３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．（４）等差数列性质①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列．②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=③()()n m a a n m d m n *-=-∈N ，． ④232k k k k k S S S S S --，，，…成等差数列． 等比数列性质①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或1001a q >⎧⎨<<⎩时为递减数列；当0q <时为摆动数列；当1q =时为常数列．②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，特别地若2m n p +=则2m n p a a a =·③(0)n m nma q m n q a -*=∈≠N ，，．④232k k k k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数是公比为1-的等比数列．【应试技巧点拨】一、数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。

专题限时集训(六) 数列(对应学生用书第92页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，若数列{a n }是常数列，则a ＝________.－2 [因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.]2．(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________.63 [由a 4＋a 5＋a 6＝21得a 5＝7，所以S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝63.]3．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．1 830 [当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1； 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3. 所以a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， 所以a 2k －1＝a 2k ＋3，所以a 1＝a 5＝…＝a 61. 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1) ＝30×3＋1192＝30×61＝1 830.]4．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________.12 [∵S 3＝12，∴S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝12.解得d ＝2， 则a 6＝a 1＋5d ＝2＋2×5＝12.]5．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，则a 3＝________.3 [∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，∴a 13－3－1＋a 14－3－1＝533，解得a 1＝13.则a 3＝13×32＝3.] 6．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列．且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为________．2 [∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列．且a 2＋a 5＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1－q 91－q ＝a 1－q 31－q ＋a 1－q61－q，a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12，∴a 8＝a 1q 7＝(a 1q )(q 3)2＝8×14＝2.]7．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升．1322[设最上面一节的容积为a 1， 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 1＋9×82d －⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 1＋6×52d ＝4，解得a 1＝1322.]8．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，则a 1的值是________.【导学号：56394041】－527[设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∵a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝a 1＋3d a 1＋4d ，9a 1＋9×82d ＝1，解得a 1＝－527.]9．(广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若log 2a 2＋log 2a 8＝1，则a 3·a 7＝________.2 [由log 2a 2＋log 2a 8＝1得log 2(a 2a 8)＝1，所以a 2a 8＝2，由等比数列性质可得a 3a 7＝a 2a 8＝2.]10．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．31 [若等比数列的公比等于1，由a 1＝1，则S 4＝4,5S 2＝10，与题意不符． 设等比数列的公比为q (q ≠1)， 由a 1＝1，S 4＝5S 2，得a 1－q 41－q＝5a 1(1＋q )，解得q ＝±2.∵数列{a n }的各项均为正数，∴q ＝2. 则S 5＝1－251－2＝31.]11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)在△ABC 中，A 1，B 1分别是边BA ，CB 的中点，A 2，B 2分别是线段A 1A ，B 1B 的中点，…，A n ，B n 分别是线段A n －1A ，B n －1B (n ∈N *，n >1)的中点， 设数列{a n }，{b n }满足：向量B n A n →＝a n CA →＋b n CB →(n ∈N *)，有下列四个命题，其中假命题是：________.【导学号：56394042】①数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列； ②数列{a n ＋b n }是等比数列； ③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 有最小值，无最大值；④若△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n →|最小时，a n ＋b n ＝12.③ [由BA n →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n (CA →－CB →)，B n B →＝12n CB →，B n A n →＝B n B →＋BA n →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－1CB →，所以a n ＝1－12n ，b n ＝12n －1－1.则数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列，故①正确；数列{a n ＋b n }即为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 是首项和公比均为12的等比数列，故②正确；而当n ＝1时，a 1＝12，b 1＝0，a n b n 不存在；n ＞1时，a nb n ＝2n －12－2n ＝－1＋12－2n 在n ∈N *上递增，无最小值和最大值，故③错误；在△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n →|2＝(a 2n ＋b 2n )CA →2＋2a n b n CA →·CB →＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －352－15，当n ＝1时，取得最小值，即有|B n A n →|最小时，a n ＋b n ＝12，故④正确．]12．(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 [因为a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12n －1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －2λ)·2n，因为数列{b n }是单调递增数列，所以当n ≥2时b n ＋1>b n ⇒(n －2λ)·2n>(n －1－2λ)·2n －1⇒n >2λ－1⇒2>2λ－1⇒λ<32；当n ＝1时，b 2>b 1⇒(1－2λ)·2>－λ⇒λ<23，因此λ<23.]13. (山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17>0，S 18<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为________． S 9a 9[S 17>0⇒a 1＋a 172>0⇒a 92>0⇒a 9>0，S 18<0⇒a 1＋a 182<0⇒a 9＋a 102<0⇒a 10＋a 9<0⇒a 10<0，因此S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 8a 8>0，S 9a 9>0，S 10a 10<0，而S 1<S 2<…<S 9，a 1>a 2>…>a 8>a 9，所以S 1a 1<S 2a 2<…<S 8a 8<S 9a 9.]14．(云南大理2017届高三第一次统测)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)；令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________.5 050 [由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝3n，∴a n ＝3n－1，所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，因此b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝＋2＝5 050.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等比数列{b n }满足：b 1＝a 1，b 2＝a 2－1，若数列c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意设d >0.由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16. ① 由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55. ②4分由①得2a 1＝16－7d 将其代入②得(16－3d )(16＋3d )＝220.即256－9d 2＝220，∴d 2＝4，又d >0，∴d ＝2.代入①得a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)2＝2n －1.6分 (2)∵b 1＝1，b 2＝2，∴b n ＝2n －1，∴c n ＝a n b n ＝(2n －1)2n －1， 8分S n ＝1·20＋3·21＋…＋(2n －1)·2n －1,2S n ＝1·21＋3·22＋…＋(2n －1)·2n .两式相减可得：－S n ＝1·20＋2·21＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝1＋2×－2n －11－2－(2n －1)·2n，∴－S n ＝1＋－2n －11－2－(2n －1)·2n＝1＋2n ＋1－4－(2n －1)·2n＝2n ＋1－3－(2n －1)·2n， ∴S n ＝3＋(2n －1)·2n－2n ＋1＝3＋(2n －3)·2n.14分16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前五项和S 5＝20，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，且存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝20，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，2d 2＝a 1d . 2分又因为d ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1.4分 所以a n ＝n ＋1. 5分(2)因为1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝nn ＋. 7分因为存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立， 所以存在n ∈N *，使得n n ＋－λ(n ＋2)≥0成立， 即存在n ∈N *，使λ≤n n ＋2成立.10分又n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋4n＋4≤116(当且仅当n ＝2时取等号)， 所以λ≤116.即实数λ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，116. 14分17．(本小题满分14分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n ＋1＝2n，n ∈N *.(1)若函数 f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值a 4＋1，求函数 f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)∵a n a n ＋1＝2n，则a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2a n＝2， 又a 1＝1，故a 1a 2＝21，即a 2＝2， ∴a 3＝2，a 4＝4，∴A ＝a 4＋1＝5，故f (x )＝5sin(2x ＋φ)，4分 又x ＝π6时，f (x )＝5，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，且0<φ<π，解得φ＝π6， ∴f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，6分而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，故2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，综上知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，5. 8分18．(本小题满分16分)(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 2n ＋12a n ，n ∈N *.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{b n }满足：b 1＝1，b n －b n －1＝2a n (n ≥2)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <2；(3)若T n ≤λ(n ＋4)对任意n ∈N *恒成立，求λ的取值范围.【导学号：56394043】[解] (1)n ＝1时，a 1＝a 21＋12a 1，∴a 1＝12.⎩⎪⎨⎪⎧S n －1＝a 2n －1＋12a n －1S n ＝a 2n ＋12a n⇒a n ＝a 2n －a 2n －1＋12a n －12a n －1，⇒(a n ＋a n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －a n －1－12＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝12，∴{a n }是以12为首项，12为公差的等差数列．∴a n ＝12n .4分(2)证明：b n －b n －1＝n ，⎩⎪⎨⎪⎧b 2－b 1＝2b 3－b 2＝3⋮b n －b n －1＝n⇒b n －b 1＝n ＋n －2⇒b n ＝n n ＋2.1b n＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，即T n <2. (3)由2nn ＋1≤λ(n ＋4)得λ≥2nn ＋n ＋＝2n ＋4n ＋5，当且仅当n ＝2时，2n ＋4n＋5有最大值29，∴λ≥29.16分19．(本小题满分16分)(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25.(1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27>(－1)nk (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围． [解] (1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25，∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式为a n ＝3n －4. 6分(2)S n ＝－n ＋3nn －2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ；8分(－1)nk <n ＋1＋9n，当n 为奇数时，k >－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ；当n 为偶数时，k <n ＋1＋9n，∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n的最小值为7，当n 为偶数时，n ＝4时，n ＋1＋9n 的最小值为294，∴－7<k <294.16分20．(本小题满分16分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝12＋log 2x1－x 的图象上任意两点，且OM →＝12(OA →＋OB →)，已知点M 的横坐标为12.(1)求证：M 点的纵坐标为定值；(2)若S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ，n ∈N *，且n ≥2，求S n；(3)已知a n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝1，1S n＋Sn ＋1＋，n ≥2.其中n ∈N *.T n 为数列{a n }的前n 项和，若T n <λ(S n ＋1＋1)对一切n ∈N *都成立，试求λ的取值范围.【导学号：56394044】[解] (1)证明：∵OM →＝12(OA →＋OB →)，∴M 是AB 的中点．设M 点的坐标为(x ，y )，由12(x 1＋x 2)＝x ＝12，得x 1＋x 2＝1，则x 1＝1－x 2或x 2＝1－x 1.2分 而y ＝12(y 1＋y 2)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋log 2x 11－x 1＋12＋log 2x 21－x 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 11－x 1＋log 2x 21－x 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 11－x 1·x 21－x 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 1x 2x 1x 2＝12()1＋0＝12，∴M 点的纵坐标为定值12. 5分(2)由(1)，知x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝y 1＋y 2＝1，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ， 两式相加，得2S n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝1＋1＋…＋1n －1，∴S n＝n －12(n ≥2，n ∈N *).8分(3)当n ≥2时，a n ＝1S n ＋S n ＋1＋＝4n ＋n ＋＝4⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2.10分 T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝23＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝23＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1n ＋2＝2n n ＋2. 12分由T n <λ(S n ＋1＋1)，得2n n ＋2<λ·n ＋22.∴λ>4n n ＋2＝4nn 2＋4n ＋4＝4n ＋4n＋4. ∵n ＋4n≥4，当且仅当n ＝2时等号成立，∴4n ＋4n＋4≤44＋4＝12. 因此λ>12，即λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 16分。

1．等差、等比数列的通项公式等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m .2．等差、等比数列的前n 项和(1)等差数列的前n 项和为S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d .特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．(2)等比数列的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1，特别地，若q ≠1，设a ＝a 11－q，则S n ＝a －aq n.3．等差数列、等比数列常用性质(1)若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ；(2)在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和，且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中，当q ≠－1或k 不为偶数时S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其中S n 为前n 项的和(n ∈N *). 4．数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n 个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；(2)错位相减法：适用于{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列； (3)裂项法：求{a n }的前n 项和时，若能将a n 拆分为a n ＝b n －b n ＋1，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝b 1－b n ＋1；(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对S 1，S 2，S 3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n ，然后用数学归纳法给出证明．易错点：对于S n 不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求Sn .例如对于数列{a n }：a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，可证其满足a n ＋6＝a n ，在求和时，依次6项求和，再求S n .5．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n }，利用该数列的通项公式、递推公式或前n 项和公式.热点一：等差数列【典例】设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21179d -<<-，则当nS 取最大值时，n 的值为 . 【答案】9【考点定位】等差数列的性质、等差数列的前n 项和【题型概述】等差数列是高考的必考内容，可以填空题单独出现，也可在解答题中与函数、不等式结合进行考查，处理时可回归基本量构造方程组，有时也要考虑与一元一次函数和一元二次函数相结合，体现出数列的函数特征.【跟踪练习1】在等差数列}{n a 中，首项31=a ，公差2=d ，若某学生对其连续10项求和，在遗漏一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 . 【答案】200考点：等差数列的前n 项和.【跟踪练习2】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1+a 7=﹣9，S 9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＞﹣．【解析】（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 7=﹣9，S 9=﹣，∴，解得，∴=﹣．（Ⅱ）证明：∵S n ==，∴b n ==﹣=﹣，∴数列{b n }的前n 项和为T n =﹣+…+==．∴T n ＞﹣．考点：数列的求和；等差数列的性质． 热点二：等比数列【典例】设{}n a 是等比数列，公比2=q ，n S 为{}n a 的前n 项和。

专题六 数列———————命题观察·高考定位——————— (对应学生用书第21页)1．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.32[设{a n}的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 31－q＝74，a11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.]2．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．20 [法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d.所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5a 1＋a 52＝5a 3＝10，所以a 3＝2.所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－1.公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20.]3．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．4 [因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.]4．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 前10项的和为______． 2011[由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n(n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －12＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1.∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－111＝2011.]5．(2017·江苏高考)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n ，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{a n }是“P(k)数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P(3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n }是等差数列.【56394035】[证明] (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d ， 从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P(3)数列”．(2)数列{a n }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此， 当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，①当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4，。

1．(2016·南通二模)设集合A ＝{－1,0，12，3}，B ＝{x |x 2≥1}，则A ∩B ＝____________. 2．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是________________________________________．3．(2016·江苏南通如皋中学月考)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数；命题q ：当x ∈12，2]时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是________． 4．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )＝________________.5．下列各组函数中表示同一个函数的是________．①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 2与g (x )＝x 4；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1.6．若a ＝2－3.1，b ＝0.53，c ＝log 3.14，则a ，b ，c 的大小关系是________________．7．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2t x，x ＜2，log t (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 8．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＜y ，则x 2＞y 2.给出下列命题： ①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q . 其中的真命题是________． 9．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈0,1]时，f (x )＝x .若函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，则实数m 的取值范围是______________．10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R }，则A ∩B 中元素的个数为________． 11．已知p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0，若p 是错误的，则实数a 的取值范围是__________．(用区间表示)12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜0，f (log 12x )，x ≥0，若f (4)＞1，则实数a 的取值范围是____________．13．已知定义域为A 的函数f (x )，若对任意的x 1，x 2∈A ，都有f (x 1＋x 2)－f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )为“定义域上的M 函数”，给出以下五个函数：①f (x )＝2x ＋3，x ∈R ；②f (x )＝x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；③f (x )＝x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；④f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；⑤f (x )＝log 2x ，x ∈2，＋∞)．其中是“定义域上的M 函数”的有________个．14．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧k (x ＋1)，x ＜0，x 2＋1，x ≥0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是______________．15．(2016·南京模拟)设p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；q ：若x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，则不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈－1,1]恒成立．若p 不正确，q 正确，求实数m 的取值范围．16．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |a －1＜x ＜2a ＋1}，B ＝{x |0＜x ＜1}． (1)若a ＝12，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．17．已知函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，x ∈19，9]． (1)若t ＝log 3x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值及取得最值时对应的x 的值．18．已知p ：“∃x 0∈(－1,1)，x 20－x 0－m ＝0(m ∈R )”是正确的，设实数m 的取值集合为M . (1)求集合M ；(2)设关于x 的不等式(x －a )(x ＋a －2)＜0(a ∈R )的解集为N ，若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，求实数a 的取值范围．19.(2016·扬州模拟)据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．20．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．{－1,3} 2.若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠03．(0，12]∪1，＋∞) 4.{x |x ＜1} 5．③④ 6.a ＜b ＜c 7．6解析 因为f (2)＝1，所以log t (22－1)＝log t 3＝1，解得t ＝3，所以f (1)＝2×31＝6. 8．②③解析 由题意可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题．故p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∧(綈q )为真，(綈p )∨q 为假，故真命题为②③. 9．(0，12]解析 根据题意知，当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，则f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，故函数f (x )在(－1,0]上是减函数，在0,1]上是增函数．函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，相当于函数f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有2个交点，若其中1个交点为(1,1)，则m ＝12，结合函数的图象(图略)，可知m 的取值范围是(0，12]． 10．3解析 由题意联立方程得⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中元素的个数为3. 11．(1，＋∞)解析 由题意知∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，∴关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0的根的判别式Δ＝4－4a ＜0， ∴a ＞1.∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 12.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析 由题意知f (4)＝f (log 124)＝f (－2)＝(3a －1)×(－2)＋4a ＞1，解得a ＜12.故实数a 的取值范围是(－∞，12)．13．4解析 对于①，∀x 1，x 2∈R ，f (x 1＋x 2)＝2(x 1＋x 2)＋3＜2(x 1＋x 2)＋6 ＝f (x 1)＋f (x 2)，故①满足条件； 对于②，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22，当x 1x 2＞0时，不满足f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故②不是“定义域上的M 函数”； 对于③，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22＋2，因为x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以2x 1x 2≤12＜1，故f (x 1＋x 2)＜f (x 1)＋f (x 2)，故③满足条件；对于④，∀x 1，x 2∈0，π2]，f (x 1＋x 2)＝sin x 1cos x 2＋sin x 2cos x 1≤sin x 1＋sin x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故④满足条件；对于⑤，∀x 1，x 2∈2，＋∞)，f (x 1＋x 2)＝log 2(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)＝log 2(x 1x 2)，因为x 1，x 2∈2，＋∞)，所以1x 1＋1x 2≤1，可得x 1＋x 2≤x 1x 2，即f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M 函数”的有①③④⑤，共4个． 14．(2＋22，＋∞)解析 设点(m ，n )(m ＞0)是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n )必在该函数图象上，故⎩⎨⎧n ＝m 2＋1，－n ＝k (－m ＋1)，消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f (x )有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得⎩⎨⎧Δ＝k 2－4(k ＋1)＞0，k ＞0，k ＋1＞0，解得k ＞2＋2 2.故实数k 的取值范围是(2＋22，＋∞)． 15．解 若p 正确，即f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数，则m ≤1. 若q 正确，∵x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，a ∈－1,1]， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3.∵不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈－1,1]恒成立， ∴m 2＋5m －3≥3，∴m 2＋5m －6≥0， 解得m ≥1或m ≤－6. 又p 不正确，q 正确， ∴⎩⎨⎧m ＞1，m ≥1或m ≤－6，∴m ＞1. 故实数m 的取值范围是{m |m ＞1}． 16．解 (1)若a ＝12， 则A ＝{x |－12＜x ＜2}， 又B ＝{x |0＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}． (2)当A ＝∅时，a －1≥2a ＋1， ∴a ≤－2，此时满足A ∩B ＝∅； 当A ≠∅时，则由A ∩B ＝∅， B ＝{x |0＜x ＜1}，易得⎩⎨⎧ 2a ＋1＞a －1，a －1≥1或⎩⎨⎧2a ＋1＞a －1，2a ＋1≤0，∴a ≥2或－2＜a ≤－12.综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－12或a ≥2.17．解 (1)由t ＝log 3x ，x ∈19，9]，解得－2≤t ≤2. (2)f (x )＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2， 令t ＝log 3x ，则f (x )＝t 2＋3t ＋2 ＝(t ＋32)2－14，t ∈－2,2]． 当t ＝－32，即log 3x ＝－32， 即x ＝39时，f (x )min ＝－14；当t ＝2，即log 3x ＝2， 即x ＝9时，f (x )max ＝12.18．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在x ∈(－1,1)上有解，故m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易得M ＝{m |－14≤m ＜2}． (2)因为“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a ＞1时，a ＞2－a ，此时集合N ＝{x |2－a ＜x ＜a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＜－14，a ≥2，解得a ＞94；当a ＜1时，a ＜2－a ， 此时集合N ＝{x |a ＜x ＜2－a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－14，2－a ≥2，解得a ＜－14.综上可知，实数a 的取值范围为 {a |a ＞94或a ＜－14}．19．解 (1)由题中所给出的函数图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12(km/h)， ∴s ＝12×4×12＝24(km)． (2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10＜t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20＜t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知， s ＝错误!(3)∵当t ∈0,10]时，s max ＝32×102＝150＜650， 当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450＜650， ∴当t ∈(20,35]时， 令－t 2＋70t －550＝650，解得t 1＝30，t 2＝40. ∵20＜t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城． 20．解 (1)当a ＝－1时， f (x )＝x 2＋(x －1)|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x ＜－1.当x ≥－1时，由f (x )＝1，得2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1； 当x ＜－1时，f (x )＝1恒成立． ∴方程的解集为{x |x ≤－1或x ＝1}． (2)由题意知f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－(a ＋1)x ＋a ，x ≥a ，(a ＋1)x －a ，x ＜a .若f (x )在R 上单调递增， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a ，a ＋1＞0，解得a ≥13.∴实数a 的取值范围为{a |a ≥13}． (3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)， 则g (x )＝⎩⎨⎧2x 2－(a ＋3)x ＋a ＋3，x ≥a ，(a －1)x －a ＋3，x ＜a ，不等式f (x )≥2x －3对任意x ∈R 恒成立，等价于不等式g (x )≥0对任意x ∈R 恒成立． ①若a ＞1，则1－a ＜0，即21－a＜0， 取x 0＝21－a，此时x 0＜a ， ∴g (x 0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a ＝(a －1)·21－a －a ＋3＝1－a ＜0，即对任意的a ＞1，总能找到x 0＝21－a，使得g (x 0)＜0， ∴不存在a ＞1，使得g (x )≥0恒成立． ②若a ＝1，则g (x )＝⎩⎨⎧2x 2－4x ＋4，x ≥1，2，x ＜1，∴g (x )的值域为2，＋∞)， ∴g (x )≥0恒成立．③若a ＜1，当x ∈(－∞，a )时，g (x )单调递减，其值域为(a 2－2a ＋3，＋∞)． 由于a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2， ∴g (x )≥0恒成立．当x ∈a ，＋∞)时，由a ＜1， 知a ＜a ＋34，g (x )在x ＝a ＋34处取得最小值． 令g ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－(a ＋3)28≥0， 得－3≤a ≤5，又a ＜1，∴－3≤a ＜1. 综上，a ∈－3,1]．。

1．(2016·常州一模)已知函数f(x)＝ln x－x－ax，a∈R.(1)当a＝0时，求函数f(x)的极大值；(2)求函数f(x)的单调区间．2．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝e mx＋x2－mx.(1)证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x1，x2∈－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．3．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3＋ax＋1 4，g(x)＝－ln x.(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x)的切线；(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，讨论h(x)零点的个数．4．(2016·山东)已知f(x)＝a(x－ln x)＋2x－1x2，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝1时，证明f(x)＞f′(x)＋32对于任意的x∈1,2]成立．5．已知函数f(x)＝x ln x和g(x)＝m(x2－1)(m∈R)．(1)m＝1时，求方程f(x)＝g(x)的实根；(2)若对任意的x∈(1，＋∞)，函数y＝g(x)的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求m 的取值范围；(3)求证：44×12－1＋4×24×22－1＋…＋4×n4×n2－1＞ln(2n＋1)(n∈N*)．答案精析1．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x －1. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值为f (1)＝－1.(2)f ′(x )＝1x －1＋a x 2＝－x 2＋x ＋ax 2.令f ′(x )＝0，得－x 2＋x ＋a ＝0，则Δ＝1＋4a . ①当a ≤－14时，f ′(x )≤0恒成立， 所以函数f (x )的单调减区间为(0，＋∞)； ②当a ＞－14时，由f ′(x )＝0， 得x 1＝1＋1＋4a 2，x 2＝1－1＋4a2. (i)若－14＜a ＜0，则x 1＞x 2＞0， 由f ′(x )＜0，得0＜x ＜x 2，x ＞x 1； 由f ′(x )＞0，得x 2＜x ＜x 1. 所以f (x )的单调减区间为(0，1－1＋4a 2)，(1＋1＋4a 2，＋∞)，单调增区间为(1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2)．(ii)若a ＝0，由(1)知f (x )的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)． (iii)若a ＞0，则x 1＞0＞x 2， 由f ′(x )＜0，得x ＞x 1； 由f ′(x )＞0，得0＜x ＜x 1.所以f (x )的单调减区间为(1＋1＋4a2，＋∞)，单调增区间为(0，1＋1＋4a2)． 综上所述， 当a ≤－14时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当－14＜a ＜0时，f (x )的单调减区间为(0，1－1＋4a 2)，(1＋1＋4a 2，＋∞)，单调增区间为(1－1＋4a 2，1＋1＋4a2)； 当a ≥0时，f (x )的单调减区间为(1＋1＋4a2，＋∞)，单调增区间为(0，1＋1＋4a2)． 2．(1)证明 f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x . 若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时， e mx －1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )＞0. 若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时， e mx －1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1＜0，f ′(x )＞0.所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增． (2)解 由(1)知，对任意的m ，f (x )在－1,0]上单调递减，在0,1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.①设函数g (t )＝e t －t －e ＋1， 则g ′(t )＝e t －1.当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0， 故当t ∈－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m ＞1时，g (m )＞0，即e m －m ＞e －1； 当m ＜－1时，g (－m )＞0， 即e －m ＋m ＞e －1.综上，m 的取值范围是－1,1]．3．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)， 则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0， 即⎩⎨⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 2＋a ＝0，解得x 0＝12，a ＝－34. 因此，当a ＝－34时， x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x ＜0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )＜0，故h (x )在(1，＋∞)上无零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故1是h (x )的一个零点；若a ＜－54，则f (1)＜0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)＜0，故1不是h (x )的零点．当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x ＞0.所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数．(ⅰ)若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点．(ⅱ)若－3＜a ＜0，则f (x )在(0, －a3)上单调递减，在(－a3，1)上单调递增，故在(0,1)中，当x ＝－a3时，f (x )取得最小值，最小值为f (－a 3)＝2a 3－a 3＋14.①若f (－a 3)＞0，即－34＜a ＜0，f (x )在(0,1)上无零点； ②若f (－a 3)＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点； ③若f (－a 3)＜0，即－3＜a ＜－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54＜a ＜－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3＜a ≤－54时， f (x )在(0,1)上有一个零点．综上，当a ＞－34或a ＜－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时， h (x )有两个零点；当－54＜a ＜－34时，h (x )有三个零点． 4．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0时，x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0， f (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0， f (x )单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3· ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a . ①当0＜a ＜2时，2a ＞1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，2a 时，f ′(x )＜0， f (x )单调递减． ②当a ＝2时，2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③当a ＞2时，0＜2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减； 当0＜a ＜2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2a 内单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞内单调递增； 当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫2a ，1内单调递减， 在(1，＋∞)内单调递增． (2)证明 由(1)知，a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x －2x 2＋2x 3＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x 3－1，x ∈1,2]．设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x 3－1，x ∈1,2]，则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )．由g ′(x )＝x －1x ≥0，可得g (x )≥g (1)＝1，当且仅当x ＝1时取得等号． 又h ′(x )＝－3x 2－2x ＋6x 4，设φ(x )＝－3x 2－2x ＋6，则φ(x )在x ∈1,2]上单调递减． 因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x 0∈(1,2)， 使得x ∈(1，x 0)时，φ(x )＞0，x ∈(x 0,2)时，φ(x )＜0. 所以h (x )在(1，x 0)内单调递增，在(x 0,2)内单调递减． 由h (1)＝1，h (2)＝12， 可得h (x )≥h (2)＝12， 当且仅当x ＝2时取得等号．所以f (x )－f ′(x )＞g (1)＋h (2)＝32， 即f (x )＞f ′(x )＋32对于任意的x ∈1,2]成立． 5．(1)解 m ＝1时，f (x )＝g (x )， 即x ln x ＝x 2－1，而x ＞0，所以方程即为ln x －x ＋1x ＝0. 令h (x )＝ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－[(x －12)2＋34]x 2＜0，而h (1)＝0，故方程f (x )＝g (x )有唯一的实根x ＝1.(2)解 对于任意的x ∈(1，＋∞)，函数y ＝g (x )的图象总在函数y ＝f (x )图象的上方， 即∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜g (x )， 即ln x ＜m (x －1x )，设F (x )＝ln x －m (x －1x )，即∀x ∈(1，＋∞)，F (x )＜0， F ′(x )＝1x －m (1＋1x 2) ＝－mx 2＋x －m x 2.①若m ≤0，则F ′(x )＞0，F (x )＞F (1)＝0，这与题设F (x )＜0矛盾． ②若m ＞0，方程－mx 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1－4m 2， 当Δ≤0，即m ≥12时，F ′(x )≤0， ∴F (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴F (x )＜F (1)＝0，即不等式成立．当Δ＞0，即0＜m ＜12时，方程－mx 2＋x －m ＝0有两个实根，设两根为x 1，x 2且x 1＜x 2，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝1m ＞2，x 1x 2＝1，∴方程有两个正实根且0＜x 1＜1＜x 2. 当x ∈(1，x 2)时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增， F (x )＞F (1)＝0与题设矛盾． 综上所述，实数m 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)证明 由(2)知，当x ＞1时，m ＝12时， ln x ＜12(x －1x )成立．不妨令x ＝2k ＋12k －1＞1(k ∈N *)，∴ln 2k ＋12k －1＜12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k ＋12k －1－2k －12k ＋1 ＝4k 4k 2－1，ln(2k ＋1)－ln(2k －1)＜4k 4k 2－1(k ∈N *)，⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ln3－ln1＜44×12－1，ln5－ln3＜4×24×22－1，…ln (2n ＋1)－ln (2n －1)＜4×n4×n 2－1(n ∈N *)，累加可得44×12－1＋4×24×22－1＋…＋4×n 4×n 2－1＞ln(2n ＋1)(n ∈N *)．。

专题6.1 数列的概念与简单表示法【考纲解读】题组一 常识题1． 数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是__________________．2． 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝________．【解析】由题意可知，a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝85.3． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)． 【解析】由数列{a n }的通项公式，得a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)＋3]－(2n ＋3)＝2>0，所以{a n }是递增数列． 题组二 常错题4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n ＋1，则该数列的第5项是________． 【解析】由数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n ＋1，得a 5＝5－15＋1＝46＝23，即数列{a n }的第5项是23. 5．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项．【解析】∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11，∴a 5＝14，a 6＝17，a 7＝20＝25，即25是该数列的第7项．6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为______________．【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n－1)＋1]＝6n －5.显然当n ＝1时，不满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，该实数a 的取值范围是________．【解析】∵数列{a n }是递增数列，且a n ＝f (n )，n ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f （8）>f （7）⇒2<a <3.题组三 常考题8． 若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________．9． 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________．【解析】由题易知a 8＝11－a 7＝2，得a 7＝12；a 7＝11－a 6＝12，得a 6＝－1；a 6＝11－a 5＝－1，得a 5＝2，于是可知数列{a n }具有周期性，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.10． 设数列{a n }满足a 1＝0，且a n －a n －1＝n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为____________.【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（n ＋2）2＝n 2＋n －22(n ≥2)．因为a 1＝0满足上式，所以a n ＝n 2＋n －22.【知识清单】考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n a . 对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的分类3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 考点2由前n 项和公式推导通项公式，即n a 与n S 的关系求通项n a 1. 数列的前n 项和：12n n S a a a =++⋅⋅⋅+ 2．数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩考点3由递推公式推导通项公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项n a 与它的前一项1n a - (2)n ≥ (或前几项)间的关系可用一个公式1()n n a f a -=来表示，那么这个公式叫数列的递推公式． 考点4 数列的性质的应用数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．【考点深度剖析】江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式 【题组全面展示】【1-1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于________． 【答案】32【1-2】已知函数()f x 满足：(1)3,(2)6,(3)10,(4)15,f f f f ====，则(12)f 的值为_______．【答案】91【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值从第二次开始后一个式子的右端值等于前一个式子的值与自变量的值加1的和，(2)(1)3,(3)(2)4,(4)(3)5,,(12)(11)13f f f f f f f f ∴-=-=-=-=，()()[][][]1314121(2)(1)(3)(2)(12)(11)33413123413912f f f f f f f f ⨯∴=+-+-++-=++++=+++++==． 【1-3】已知数列的前几项为112-⨯,123⨯,134-⨯,145⨯,…，则数列的一个通项公式为 . 【答案】()()111nn a n n =-+.【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式()()111nn a n n =-+.【1-4】已知数列的前几项为9,99,999,9 999，…，则数列的一个通项公式为 .【答案】101nn a =-【解析】这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式101nn a =-.【1-5】按数列的排列规律猜想数列23，45-，67，89-，…的第10项是_______．【答案】－2021综合点评：根据数列的前几项求数列的通项公式,做这一类题需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子,分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征.并以此进行归纳,联想.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含著“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证，对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．【方法规律技巧】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 【新题变式探究】【变式一】将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即20145a -=_______．【答案】10102013⨯【变式二】已知数列{a n }中，*,n a N ∈对于任意*1,,n n n N a a +∈≤若对于任意正整数k ，在数列中恰有k 个k 出现，则2014a = ． 【答案】63【解析】由题意数列{}n a 就是如图数阵.确定2014a 的值，就是确定数列{}n a 第2014个数在数阵中第几行.因为(1)63(631)62(621)12,2016,1953,222n n n ++++++===所以2014a 在数阵中第63行，所以201463.a = 12,23,3,34,4,4,45,5,5,5,5【综合点评】试题一是一个根据定义求数列的通项公式，做这一类题要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，从而得数列的通项公式.试题二是一个根据数列的规律找通项公式，可根据数列的变化规律，找出2014a 在数阵中的位置，从而可求出2014a 的值.考点2由前n 项和公式推导通项公式，即n a 与n S 的关系求通项n a 【题组全面展示】【2-1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝_______． 【答案】16【解析】当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1， 又S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝a n ＝2(a n －a n －1)． ∴a n a n －1＝2.∴a n ＝1×2n －1，∴a 5＝24＝16. 【2-2】数列{}n a 的前n 项和r ra S n n (1+=为不等于0,1的常数)，则n a =_______.【答案】11()11n n r a r r -=-- 【解析】由n n ra S +=1可得当2≥n 时111--+=n n ra S ，)(11---=-∴n n n n a a r S S ， ∴1n n n a ra ra -=-，∴1(1),n n a r ra --= ∵1,r ≠ ∴11-=-r ra a n n ，∵0r ≠， ∴{}n a 是公比为1-r r的等比数列． 又当1=n 时，111ra S +=，∴r a -=111，∴11()11n n r a r r -=--． 【2-3】已知数列{}n a 的前n 项和为S n ＝3n－1，则它的通项公式为a n ＝________. 【答案】2·3n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－1－(3n －1－1)＝2·3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2也满足a n ＝2·3n －1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －1.【2-4】已知数列{}n a 的前n 项和2*21()n S n n n N =++∈，则n a =_______.【答案】n a =4,121,2n n n =⎧⎨+≥⎩【解析】1n =时，114a S ==，2n ≥时，221(21)[(1)2(1)1]21n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+，将1n =代入得134a =≠，所以n a =4,121,2n n n =⎧⎨+≥⎩.【2-5】数列{}n a 满足*12211131,333n n a a a n n N+++=+∈,则=n a . 【答案】综合点评：这些题都是由n a 与前n 项和n S 的关系来求数列{}n a 的通项公式，可由数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系是11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意：当1n =时，1a 若适合1n n S S --，则1n =的情况可并入2n ≥时的通项n a ；当1n =时，1a 若不适合1n n S S --，则用分段函数的形式表示． 【方法规律技巧】已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用=n a 1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 【新题变式探究】【变式一】数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式n a =________.【答案】3n【解析】a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n. 【变式二】已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式n a =________．【答案】()()231322n n n a n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩【综合点评】这两个题都是n a 与n S 的关系求通项n a 型，利用转化，解决递推公式为n S 与n a 的关系式：数列{a n }的前n 项和n S 与通项n a 的关系11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，通过纽带：=n a 1n n S S -- (2)n ≥，根据题目求解特点，消掉一个n a 或n S 然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解．如需消掉n S ，可以利用已知递推式，把n 换成(1n +)得到新递推式，两式相减即可．若要消掉n a ，只需把a n ＝S n －S n －1代入递推式即可．不论哪种形式，需要注意公式=n a 1n n S S --成立的条件2n ≥. 考点3由递推公式推导通项公式 【题组全面展示】【3-1】已知数列{}n a 满足111,2(2)n n a a a n n -==⨯≥，则4a =_______． 【答案】192【解析】∵12n n a a n -=⨯，∴12n n a n a -=，∴214a a =，326a a =，438aa =，又因为11a =，所以，41468192a =⨯⨯⨯=【3-2】 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，则数列{}n a 的通项公式n a = . 【答案】125n n n a -=+【3-3】已知数列{}n a 满足1a =1，1n a +=21n a + (n N *∈)，则数列{}n a 的通项公式n a = . 【答案】n a =21n-.【解析】构造新数列{}n a p +，其中p 为常数，使之成为公比是n a 的系数2的等比数列 即1n a p ++=2()n a p + 整理得：1n a +=2n a p +使之满足1n a +=21n a + ∴p=1即{}1n a +是首项为11a +=2，q=2的等比数列∴1n a +=122n -⋅ n a =21n-.【3-4】在数列{}n a 中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，则数列{}n a 的通项公式n a = .【答案】222n n n a -+= (n N *∈).【解析】∵111n a ==时，21324312123.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=⎫⎪-=⎪⎪-=⎬⎪⎪-=-⎪⎭时,这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+=且11a =也满足该式 ∴222n n n a -+= (n N *∈). 【3-5】已知数列{}n a 满足,1,13111=+=--a a a a n n n 则数列{}n a 的通项公式n a = .【答案】132n a n =-综合点评：这些题都是由递推公式推导通项公式，由1a 和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法” 、“构造等比数列” 、“迭代”等方法． 【方法规律技巧】1. 数列的递推关系是相邻项之间的关系，高考对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究．在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来求解．2. 由递推公式推导通项公式（1）对于11()n n a aa a f n -=⎧⎨=+⎩型，求n a ，迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法），由已知关系式得1()(2)n n a a f n n --=≥，给递推式1()(2)n n a a f n n --=≥中的n 从2开始赋值，一直到n ，一共得到1n -个式子，再把这1n -个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项. 也可用迭代，即用111221()()()n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-++-的方法.（2）对于11()n n a aa f n a -=⎧⎨=⎩型，求n a ，迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法），由已知关系式得1()(2)n n a g n n a -=≥，给递推式1()(2)n n ag n n a -=≥中的n 从2开始赋值，一直到n ，一共得到1n -个式子，再把这1n -个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项. 也可用迭代，即用321121nn n a a a a a a a a -=⨯⨯⨯⨯的方法. （3）对于11n n a aa pa q+=⎧⎨=+⎩(1,0)q b ≠≠型，求n a ，一般可以利用待定系数法构造等比数列{}n a λ+，其公比为.p 注意数列{}n a λ+的首项为1a λ+，不是1.a 对新数列的首项要弄准确. (4)形如11n n n a a ka b--=+的递推数列可以用倒数法求通项．【新题变式探究】【变式一】已知数列{}n a 满足11a =,()11n n na n a -=+(*2,n n N ≥∈),则2161n a n ++取得最小值的n 的值为_____. 【答案】7【变式二】已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________. 【答案】12014xx+【解析】111()1111x x f x x x x +-===-+++，0x ≥，11x ∴+≥，111x ∴≤+，1101x∴-≥+，即()0f x ≥，当且仅当0x =时取等号，当0x =时，(0)0n f =，当0x >时()0f x >，1()(())n n f x f f x +=1()()1()n n n f x f x f x +∴=+，11()111()()()n n n n f x f x f x f x ++∴==+，即1111()()n n f x f x +-= ∴数列1{}()n f x 是以1()f x 为首项，以1为公差的等差数列 11111(1)1(1)1()()1n nxn n x f x f x x x+∴=+-⨯=+-⨯=+，()(0)1n x f x x nx ∴=>+，当0x =时，0(0)010n f ==+，()(0)1n x f x x nx∴=≥+，2014()12014xf x x ∴=+.【综合点评】这两个题都是由由递推关系式求数列的通项公式，第一题与不等式结合，第二题与函数结合，第一题首先由叠乘法求出通项公式，然后代入有基本不等式可得，第二题由函数的性质找出递推关系，从而找出()(0)1n xf x x nx=≥+，即可得出)(2014x f 的表达式. 考点4 数列的性质的应用 【题组全面展示】【4-1】已知()225n a n n n N +=-+∈，则数列{}n a 的最大项是_______．【答案】1213a a 或【解析】n a 是关于n 的二次函数. 【4-2】设函数6(3)3,7(),7x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈,且数列{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为_______． 【答案】(2,3)【4-3】在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，(319)2nn a n =-⋅，则当n S 最小时，n 的值为_______．【答案】6 【解析】令0n a ≤，得6n ≤，故当16n ≤≤时，0n a <；当7n ≥时，0n a >，故当6n =时，n S 最小.【4-4】若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为_______．【答案】7【4-5】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2132n n S S n n -+=….若对任意的*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是 . 【答案】915,44⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：由条件213(2)n n S S n n -+=≥得21)1(3+=++n S S n n ，两式相减得361+=++n a a n n ，故9612+=+++n a a n n ，两式再相减得62=-+n n a a ，由2=n 得12121=++a a a ， a a 2122-=，从而a n a n 2662-+=；3=n 得2721321=++++a a a a a ，a a 233+=，从而a n a n 23612+-=+，由条件得⎪⎩⎪⎨⎧-++<+-+-<-+-<a n a n a n a n a a 26)1(6236236266212，解之得41549<<a . 综合点评：这些题都是数列的函数特征的应用，做这一类题，一是利用函数的性质，同时注意数列的性质，抓住试题的关键，灵活应用.【方法规律技巧】1.数列中项的最值的求法数列中n a 或n S 的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列n a 或n S 的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值．要注意的细节是n 只能取正整数．数列中最大项和最小项的求法求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩. 前n 项和最值的求法 (1)先求出数列的前n 项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0m a ≥，且10m a +<，则m S 最大；若0m a ≤，且10m a +>，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.2． 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．3.数列中恒等关系和有解问题主要是建立关于数列中基本量或相关参数的方程，再进一步论证该方程是否有整数解问题，其中对方程的研究是关键，一般可从奇偶数、约数、有理数、无理数等方面论证，也可以先利用参数范围，代入相关的整数研究．4．数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决．5．数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．注意：对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大．解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．【新题变式探究】【变式一】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+，前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，不等式216n n m S S ->恒成立，则常数m 所能取得的最大整数为 .【答案】5【变式二】定义在R 上的函数)(x f y =满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，)(21)5(x f xf =，且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)20131(f ． 【答案】132【综合点评】这些题都是数列函数特征的应用，第一题利用函数恒成立问题，转化为求最小值；第二个题利用数列的增减性，采用赋值法，来确定函数值.【易错试题常警惕】易错典例：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．易错分析：忽略考虑1n =时情况.正确解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，6n －5，n ≥2.温馨提醒：a n 与S n 关系不清致误：在数列问题中，数列的通项a n 与其前n 项和S n 之间存在下列关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n ＝1和n ≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点．。

专题6.1 数列的概念与简单表示法一、填空题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18＝_______【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3；当n ＝1时， a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝2n －3(n ∈N *)，所以a 2＋a 18＝34.2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝_______ 【解析】令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.3．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于_______ 【解析】在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8. ∴a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.4．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝_______【解析】由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k ＋1<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23，故选C.5．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝_______6．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于_______ 【解析】∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.7．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是________． 【解析】∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2×2n －1＝2n，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31.8．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．【解析】令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．即0.08是该数列的第10项．9．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1(a n ＋2)＝a n (n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －p )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋1，b 1＝－p ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数p 的取值范围为________．10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.【解析】∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝nn ＋1， ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∵a 1＝1，∴a n ＝1n. 二、解答题11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1， a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②，整理得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．。

1．(2016·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 8＝11，则3a 3＋a 11＝________.2．(2016·辽宁师大附中期中)在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 10－a 12的值为________．3．(2016·辽宁沈阳二中期中)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7＝9a 3，则S 9S 5＝________.4．已知数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝1，则a 6－a 5的值为________． 5．(2017·南京质检)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝________.6．(2016·邯郸月考)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，三个不同的点A ，B ，C 在直线l 上，点O 在直线l 外，且满足OA →＝a 2OB →＋(a 7＋a 12)OC →，那么S 13的值为________． 7．(2016·四川眉山中学期中改编)在等差数列{a n }中，a 1＝－2015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2017的值为________．8．(2016·镇江一模)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________.9．(2016·苏州模拟)设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，则S n ＋10a n的最小值是________． 10．(2016·铁岭模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________________.11．(2016·安庆一模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________. 12．(2016·临沂一中期中)设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值是________．13．在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差d ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤16，13，那么n 的取值集合为________． 14．(2016·扬州中学四模)各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有________项．答案精析1．22 2.24 3.9 4.96 5.9 6.1337．2017解析 设等差数列前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则S n n ＝An ＋B ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列． ∵S 11＝a 11＝－2015，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－2015为首项，以1为公差的等差数列．∴S 20172017＝－2015＋2016×1＝1，∴S 2017＝2017.8.35解析 由S n S 2n ＝n ＋14n ＋2可得 n (a 1＋a n )22n (a 1＋a 2n )2＝a 1＋a n 2(a 1＋a 2n )＝n ＋14n ＋2， ∴a 1＋a n a 1＋a 2n ＝n ＋12n ＋1， 当n ＝1时，2a 1a 1＋a 2＝1＋12×1＋1， 则a 2＝2a 1，∴公差d ＝a 2－a 1＝a 1，∴a 3a 5＝a 1＋2d a 1＋4d ＝3a 15a 1＝35. 9．21解析 设数列{a n }的公差为d ，依题意 2S 2＝S 1＋S 3，即22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1.所以S n ＋10a n＝(n ＋10)22n －1＝14×(2n ＋20)22n －1＝14×[(2n －1)＋21]22n －1＝14(2n －1)＋2122n －1＋42]≥14×(2×21＋42)＝21，当且仅当2n －1＝2122n －1，即n ＝11时，等号成立． 10.⎩⎨⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4 解析 由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2，∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴当n ≤3时，a n ＜0；当n ≥4时，a n ＞0，∴T n ＝⎩⎨⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4. 11.310解析 设S 3＝m ，∵S 3S 6＝13， ∴S 6＝3m ，∴S 6－S 3＝2m ，由等差数列依次每k 项之和仍为等差数列，得S 3＝m ，S 6－S 3＝2m ，S 9－S 6＝3m ，S 12－S 9＝4m ，∴S 6＝3m ，S 12＝10m ，∴S 6S 12＝310. 12．3 2解析 ∵f (x )＝12x ＋2，∴f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝22，∴由倒序相加求和法可知f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝3 2.13．{4,5,6}解析 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，半径为52， 得a 1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝2×2＝4， a n ＝2×52＝5，由a n ＝a 1＋(n －1)d ⇔n ＝a n －a 1d ＋1＝5－4d ＋1＝1d ＋1，又16＜d ≤13，所以4≤n ＜7，则n 的取值集合为{4,5,6}．14．7解析 记这个数列为{a n }，则由题意可得a 21＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 21＋(n －1)(a 2＋a n )2＝a 21＋(n －1)(a 1＋n )＝a 21＋(n －1)a 1＋n (n －1)＝(a 1＋n －12)2＋n (n －1)－(n －1)24＝(a 1＋n －12)2＋(n －1)(3n ＋1)4≤33，为了使得n 尽量大，故(a 1＋n －12)2＝0， ∴(n －1)(3n ＋1)4≤33，∴(n －1)(3n ＋1)≤132，当n ＝6时，5×19＜132； 当n ＝7时，6×22＝132，故n max ＝7.。

1．数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数n ＝________.2．已知等差数列：1，a 1，a 2,9；等比数列：－9，b 1，b 2，b 3，－1.则b 2(a 2－a 1)＝________.3．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，数列{a n }的通项公式是a n ＝f (n )，n ∈N *，那么“函数y ＝f (x )在1，＋∞)上递增”是“数列{a n }是递增数列”的________条件． 4．(2016·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则S n 取得最小值的项是________． 5．(2016·湖北黄冈中学等八校联考)已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论一定成立的是________．①若a 3＞0，则a 2013＜0；②若a 4＞0，则a 2014＜0；③若a 3＞0，则S 2013＞0；④若a 4＞0，则S 2014＞0.6．已知数列{a n }满足：a n ＝⎩⎨⎧(3－a )n －3，n ≤7，a n －6，n ＞7(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．7．(2016·江南十校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3n n ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n ＜－4成立的最小自然数n ＝________. 8．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则数列{a n }的通项公式为________________．9．数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝r·a n＋r(n∈N*，r∈R且r≠0)，则“r＝1”是“数列{a n}为等差数列”的__________条件．10．在数列{a n}中，已知S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31＝________.11．(2016·辽宁五校联考)已知数列{a n}满足a n＝1＋2＋3＋…＋nn，则数列{1anan＋1}的前n项和为________．12．已知数列{a n}是递增数列，且对于任意的n∈N*，a n＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．13．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n－1)·(3n＋2)的前n项和S n＝________.14．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，数列{a n a n＋1}是公比为q(q＞0)的等比数列，则数列{a n}的前2n项和S2n＝____________.答案精析1．120 2.－8 3.充分不必要 4.S 7 5．③解析 设a n ＝a 1q n －1， 因为q 2010＞0， 所以①②不成立．对于③，当a 3＞0时，a 1＞0， 因为1－q 与1－q 2013同号， 所以S 2013＞0，③正确，对于④，取数列：－1,1，－1,1，…，不满足结论，④不成立． 6．(2,3)解析 根据题意，a n ＝f (n )＝⎩⎨⎧(3－a )n －3，n ≤7，a n －6，n ＞7，n ∈N *，要使{a n }是递增数列，必有⎩⎨⎧3－a ＞0，a ＞1，(3－a )×7－3＜a8－6，解得2＜a ＜3. 7．81解析 ∵a n ＝log 3n n ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)，∴S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)＜－4，解得n ＞34－1＝80.故最小自然数n 的值为81. 8．a n ＝⎩⎨⎧－2，n ＝1，2n －3，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3， 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎨⎧－2，n ＝1，2n －3，n ≥2.9．充分不必要解析 当r ＝1时，易知数列{a n }为等差数列；由题意易知a 2＝2r ，a 3＝2r 2＋r ，当数列{a n }是等差数列时，a 2－a 1＝a 3－a 2，即2r －1＝2r 2－r . 解得r ＝12或r ＝1，故“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的充分不必要条件． 10．－76解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－4×15＋121＝61， S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76. 11.2n n ＋2解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋nn＝n ＋12，则1a n a n ＋1＝4(n ＋1)(n ＋2)＝4(1n ＋1－1n ＋2)， 所以所求的前n 项和为4(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)]＝4(12－1n ＋2)＝2nn ＋2.12．(－3，＋∞)解析 因为数列{a n }是单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＞0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )＞0恒成立，即2n ＋1＋λ＞0.所以λ＞－(2n ＋1)(n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(当n ＝1时)， 所以λ＞－3即为所求的范围． 13.n6n ＋4解析 由数列通项公式1(3n －1)·(3n ＋2)＝13⎝⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，得前n 项和S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n 6n ＋4.14.⎩⎨⎧3(1－q n )1－q ，q ＞0且q ≠1，3n ，q ＝1解析 ∵数列{a n a n ＋1}是公比为q (q ＞0)的等比数列， ∴a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q ，即a n ＋2a n＝q ， 这表明数列{a n }的所有奇数项成等比数列， 所有偶数项成等比数列，且公比都是q ， 又a 1＝1，a 2＝2，∴当q ≠1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝a 1(1－q n )1－q ＋a 2(1－q n )1－q ＝3(1－q n )1－q ；当q ＝1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋… ＋a 2n －1＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ) ＝(1＋1＋1＋…＋1n 个) ＋(2＋2＋2＋…＋2n 个)＝3n . 综上所述，S 2n ＝⎩⎨⎧3(1－q n )1－q ，q ＞0且q ≠1，3n ，q ＝1.。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题6 数列 第38练 数列的前n 项和练习 理1．(2016·东营期中)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.2．(2017·山西晋中联考)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n ＝________.3．(2016·河南中原名校联考二)已知函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列{1f n}的前n 项和为S n ，则S 20的值为________．4．(2016·徐州模拟)若S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S n ＝________.5．数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 013＝________.6．(2016·合肥第二次教学质量检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n，则S n ＝________.7．(2016·苏州模拟)设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________________．8．(2016·宿迁模拟)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.9．(2016·云南师大附中月考)设S ＝1＋112＋122＋1＋122＋132＋ 1＋132＋142＋…＋ 1＋12 0142＋12 0152，则不大于S 的最大整数[S ]等于________． 10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n＝n＋1n ＋2a2n，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n＜564.答案精析1．15 2.6 3.325462 4.－1n5.2 0131 007解析 因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ， 所以a n ＋1－a n ＝n ＋1.用累加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋… ＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋2，所以1a n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 013＝2⎝ ⎛1－12＋12－13＋13－14＋…⎭⎪⎫＋12 013－12 014 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12 014＝2 0131 007. 6．n ·2n解析 ∵S n ＝2a n －2n＝2(S n －S n －1)－2n， 即S n ＝2S n －1＋2n (n ≥2)，∴S n 2n ＝2S n －12n ＋1＝S n －12n －1＋1， ∴S n 2n －S n －12n －1＝1， 且S 1＝a 1＝2，∴S 12＝1，∴数列{S n2n }是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n2n ＝n ，∴S n ＝n ·2n. 7．[12，1)解析 由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝(12)2， a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝(12)3，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝(12)n ，所以S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n＝12[1－12n]1－12＝1－(12)n，因为n ∈N *，所以12≤S n ＜1.8．3 018解析 由于f (n )＝cosn π2的值具有周期性，所以可从数列的周期性及从头开始连续四项的和为定值入手解决． 当n ＝4k ＋1(k ∈N)时，a n ＝(4k ＋1)cos4k ＋12π＋1＝1， 当n ＝4k ＋2(k ∈N)时，a n ＝(4k ＋2)cos4k ＋22π＋1 ＝－(4k ＋2)＋1＝－4k －1， 当n ＝4k ＋3(k ∈N)时，a n ＝(4k ＋3)cos4k ＋32π＋1＝1， 当n ＝4k ＋4(k ∈N)时，a n ＝(4k ＋4)cos4k ＋42π＋1 ＝(4k ＋4)＋1＝4k ＋5，∴a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝1－4k －1＋1＋4k ＋5＝6. ∴S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 012＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012) ＝6×503＝3 018. 9．2 014 解析 ∵1＋1n2＋1＋n2＝n 2＋n2＋n 2＋n ＋1n 2＋n2＝n 2＋n ＋1n n ＋＝1＋(1n －1n ＋1)， ∴S ＝1＋(11－12)＋1＋(12－13)＋…＋1＋(12 014－12 015)＝2 015－12 015，故[S ]＝2 014.10．(1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0， 得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1＞0. 所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)．n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．所以a n ＝2n (n ∈N *)． (2)证明 由a n ＝2n (n ∈N *)， 得b n ＝n ＋1n ＋2a 2n ＝n ＋14n 2n ＋2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n2－1n ＋2， T n ＝116⎣⎢⎡ ⎝⎛⎭⎪⎫1－132＋⎝⎛⎭⎪⎫122－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－152＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋2⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1n ＋2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1n＋2－1n＋2＜116⎝⎛⎭⎪⎫1＋122＝564(n∈N*)．即对于任意的n∈N*，都有T n＜564 .百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

1．已知函数f(x)＝x2－ax－a ln x(a∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－x33＋5x22－4x＋116.2．(2016·淮安模拟)已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R.(1)讨论函数的单调区间；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．3．(2016·山西四校联考)已知f(x)＝ln x－x＋a＋1.(1)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；(2)求证：在(1)的条件下，当x＞1时，12x2＋ax－a＞x ln x＋12成立．4．设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．5．(2016·陕西质量监测)设函数f(x)＝e x－ax－1.(1)当a＞0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤0；(2)求证：对任意的正整数n，都有1n＋1＋2n＋1＋3n＋1＋…＋n n＋1＜(n＋1)n＋1.答案精析1．(1)解 f ′(x )＝2x －a －a x ，由题意可得f ′(1)＝0，解得a ＝1.经检验，a ＝1时f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝1.(2)证明 由(1)知，f (x )＝x 2－x －ln x ，令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋5x 22－4x ＋116 ＝x 33－3x 22＋3x －ln x －116， 由g ′(x )＝x 2－3x ＋3－1x ＝x 3－1x －3(x －1)＝(x －1)3x (x ＞0)，可知g (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝0，所以f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116成立．2．解 (1)在区间(0，＋∞)上，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x .①若a ≤0，则f ′(x )＜0，f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数；②若a ＞0，令f ′(x )＝0得x ＝1a .在区间(0，1a )上，f ′(x )＜0，函数f (x )是减函数；在区间(1a ，＋∞)上，f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数．综上所述，①当a ≤0时，f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间；②当a ＞0时，f (x )的单调递增区间是(1a ，＋∞)，单调递减区间是(0，1a )．(2)因为函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，解得a ＝1，经检验满足题意．已知f (x )≥bx －2，则x －1－ln x ≥bx －2,1＋1x －ln x x ≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln x x ，则g ′(x )＝－1x 2－1－ln x x 2＝ln x －2x 2，易得g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2.3．(1)解 原题即为存在x ＞0，使得ln x －x ＋a ＋1≥0，∴a ≥－ln x ＋x －1，令g (x )＝－ln x ＋x －1，则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x .令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，∴g (x )min ＝g (1)＝0，a ≥g (1)＝0.故a 的取值范围是0，＋∞)．(2)证明 原不等式可化为12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0(x ＞1，a ≥0)．令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则G (1)＝0.由(1)可知x －ln x －1＞0，则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1＞0，∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴G (x )＞G (1)＝0成立，∴12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0成立，即12x 2＋ax －a ＞x ln x ＋12成立．4．解 (1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)．故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得当x≥－2时，F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0，得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增．故F(x)在－2，＋∞)上的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k 的取值范围是1，e 2]．5．证明 (1)由a ＞0及f ′(x )＝e x －a 可得，函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1，则g ′(a )＝－ln a ， 故当a ∈(0,1)时，g ′(a )＞0；当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0，从而可知g (a )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0，故g (a )≤0.(2)由(1)可知，当a ＝1时，总有f (x )＝e x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立，即当x ＞0时，总有e x ＞x ＋1.于是，可得(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e (n ＋1)x .令x ＋1＝1n ＋1，即x ＝－n n ＋1， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜e －n ； 令x ＋1＝2n ＋1，即x ＝－n －1n ＋1， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＜e －(n －1)； 令x ＋1＝3n ＋1，即x ＝－n －2n ＋1， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＜e －(n －2)； …令x ＋1＝n n ＋1，即x ＝－1n ＋1， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －1. 对以上各式求和可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －n ＋e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －1＝e －n (1－e n )1－e ＝e －n －11－e ＝1－e －n e －1＜1e －1＜1.故对任意的正整数n，都有1n＋1＋2n＋1＋3n＋1＋…＋n n＋1＜(n＋1)n＋1.。

1．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .2．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 3．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n ＝a 2n ＋2a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝2n ，求T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的值．4．(2016·苏州、无锡、常州、镇江三模)已知常数λ≥0，若各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋(λ·3n ＋1)a n ＋1(n ∈N *)． (1)若λ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．5．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜2；(3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．答案精析1．解 (1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1， 即a n ＝3n －1，显然当n ＝1时，a 1不满足a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎨⎧ 3，n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ＞1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n ，所以T 1＝b 1＝13.当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n －1)×31－n ]，所以3T n ＝1＋1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n －1)×32－n ]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n 1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n . 经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n. 2．解 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8.又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎨⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎨⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *)． (2)S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋… ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1. 3．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34.解得a 1＝3.又∵4S n ＝a 2n ＋2a n －3，①当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3.②①－②，得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2(a n －a n －1)，即a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n ＋a n －1＞0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)T n ＝3×21＋5×22＋…＋(2n ＋1)·2n ，③2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)2n ＋1，④ ④－③，得T n ＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n )＋(2n ＋1)2n ＋1 ＝－6＋8－2·2n ＋1＋(2n ＋1)·2n ＋1＝(2n －1)2n ＋1＋2.4．解 (1)当λ＝0时，S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋a n ＋1， 所以S n ＝a n ＋1a nS n . 因为a n ＞0，所以S n ＞0，所以a n ＋1＝a n .因为a 1＝1，所以a n ＝1.(2)因为S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋(λ·3n ＋1)·a n ＋1，a n ＞0， 所以S n ＋1a n ＋1－S n a n＝λ·3n ＋1，则S 2a 2－S 1a 1＝λ·3＋1， S 3a 3－S 2a 2＝λ·32＋1，…， S n a n －S n －1a n －1＝λ·3n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)． 累加，得S n a n－1＝λ·(3＋32＋…＋3n －1)＋n －1， 则S n ＝(λ·3n －32＋n )·a n (n ≥2，n ∈N *)．经检验，上式对n ＝1也成立，所以S n ＝(λ·3n －32＋n )·a n (n ∈N *)，①S n ＋1＝(λ·3n ＋1－32＋n ＋1)·a n ＋1(n ∈N *)．②②－①，得a n ＋1＝(λ·3n ＋1－32＋n ＋1)·a n ＋1－(λ·3n －32＋n )·a n ，即(λ·3n ＋1－32＋n )·a n ＋1＝(λ·3n －32＋n )·a n .因为λ≥0，所以λ·3n －32＋n ＞0，λ·3n ＋1－32＋n ＞0.因为a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，所以λ·3n －32＋n ＜12·(λ·3n ＋1－32＋n )对一切n ∈N *恒成立，即λ＞2n 3n ＋3对一切n ∈N *恒成立． 记b n ＝2n 3n ＋3， 则b n －b n ＋1＝2n 3n ＋3－2n ＋23n ＋1＋3＝(4n －2)3n －6(3n ＋3)(3n ＋1＋3). 当n ＝1时，b n －b n ＋1＝0；当n ≥2时，b n －b n ＋1＞0.所以b 1＝b 2＝13是一切b n 中最大的项．综上，λ的取值范围是(13，＋∞)．5．(1)解 令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )， ∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，∴f (n )＝(12)n .(2)证明 设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12)n ，∴T n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12)n ，12T n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12)n ＋1，两式相减得12T n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1， ＝1－(12)n －n ×(12)n ＋1，∴T n ＝2－(12)n －1－n ×(12)n ＜2.(3)解 ∵f (n )＝(12)n ，∴b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )(12)n ＋1(12)n＝9－n 2. ∴当n ≤8时，b n ＞0；当n ＝9时，b n ＝0；当n ＞9时，b n ＜0.∴当n ＝8或n ＝9时，S n 取得最大值．。

训练目标(1)数列知识的深化应用；(2)易错题目矫正练. 训练题型数列中的易错题. 解题策略 (1)通过S n 求a n ，要对n ＝1时单独考虑；(2)等比数列求和公式应用时要对q ＝1，q ≠1讨论；(3)使用累加、累乘法及相消求和时，要正确辨别剩余项.1．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数n ＝________. 2．已知等差数列：1，a 1，a 2,9；等比数列：－9，b 1，b 2，b 3，－1.则b 2(a 2－a 1)＝________.3．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，数列{a n }的通项公式是a n ＝f (n )，n ∈N *，那么“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”是“数列{a n }是递增数列”的________条件．4．(2015·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n <nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7<－1，则S n 取得最小值的项是________．5．(2015·湖北黄冈中学等八校联考)已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论一定成立的是______．①若a 3>0，则a 2 013<0；②若a 4>0，则a 2 014<0；③若a 3>0，则S 2 013>0；④若a 4>0，则S 2 014>0.6．已知数列{a n }满足：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )n －3，n ≤7，a n －6，n >7(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．7．(2015·江南十校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3n n ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n ＝________.8．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则数列{a n }的通项公式为________________．9．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝r ·a n ＋r (n ∈N *，r ∈R 且r ≠0)，则“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的________条件．10．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31＝________.11．(2015·辽宁五校联考)已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ，则数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为________．12．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．13．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n－1)·(3n＋2)，…的前n项和S n＝________.14．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，数列{a n a n＋1}是公比为q (q>0)的等比数列．则数列{a n}的前2n项和S2n＝________________________.答案解析1．120解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.2．－8 解析 a 2－a 1＝d ＝9－13＝83，又b 22＝b 1b 3＝(－9)×(－1)＝9， 因为b 2与－9、－1同号，所以b 2＝－3.所以b 2(a 2－a 1)＝－8.3．充分而不必要解析 由题意，函数y ＝f (x )，x ∈R ，数列{a n }的通项公式是a n ＝f (n )，n ∈N *.若“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”，则“数列{a n }是递增数列”一定成立；若“数列{a n }是递增数列”，则“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”不一定成立，现举例说明，如函数在[1,2]先减后增，且1处的函数值小．综上，“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”是“数列{a n }是递增数列”的充分不必要条件．4．S 7解析 由(n ＋1)S n <nS n ＋1，得(n ＋1)·n (a 1＋a n )2<n ·(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2， 整理得a n <a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7<－1，所以a 8>0，a 7<0，所以数列{a n }的前7项为负值， 即S n 取得最小值的项是S 7.5．③解析 设a n ＝a 1q n －1，因为q 2 010>0，所以①②不成立．对于③，当a 3>0时，a 1>0，因为1－q 与1－q 2 013同号， 所以S 2 013>0，③正确，对于④，取数列：－1,1，－1,1，…，不满足结论，④不成立．6．(2,3)解析 根据题意，a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3－a )n －3，n ≤7，a n －6，n >7，n ∈N *，要使{a n }是递增数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，(3－a )×7－3<a8－6，解得2<a <3. 7．81解析 ∵a n ＝log 3n n ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)， ∴S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4， 解得n >34－1＝80.故最小自然数n 的值为81.8．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝12n －3，n ≥2 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝12n －3，n ≥2. 9．充分不必要解析 当r ＝1时，易知数列{a n }为等差数列；由题意易知a 2＝2r ，a 3＝2r 2＋r ，当数列{a n }是等差数列时，a 2－a 1＝a 3－a 2，即2r －1＝2r 2－r .解得r ＝12或r ＝1， 故“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的充分不必要条件．10．－76解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－4×15＋121＝61，S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.11.2n n ＋2解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋12， 则1a n a n ＋1＝4(n ＋1)(n ＋2)＝4(1n ＋1－1n ＋2)， 所以所求的前n 项和为4[(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)]＝4(12－1n ＋2)＝2n n ＋2. 12．λ>－3解析 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0. 所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的范围．13.n 6n ＋4解析 由数列通项公式1(3n －1)·(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2， 得前n 项和S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n 6n ＋4. 14.⎩⎪⎨⎪⎧3(1－q n )1－q ，q >0且q ≠1，3n ，q ＝1解析 ∵数列{a n a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列， ∴a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q ，即a n ＋2a n ＝q ， 这表明数列{a n }的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q ，又a 1＝1，a 2＝2，∴当q ≠1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ) ＝a 1(1－q n )1－q ＋a 2(1－q n )1－q ＝3(1－q n )1－q； 当q ＝1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ) ＝(1＋1＋1＋…＋1n 个)＋(2＋2＋2＋…＋2n 个)＝3n . 综上所述：S 2n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3(1－q n )1－q ，q >0且q ≠1，3n ，q ＝1.。

第1讲数列的概念考试要求 1.数列的概念及数列与函数的关系，A级要求；2.数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)，A级要求．知识梳理1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．2．数列的分类3．数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．4．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝，S n －S n －1 n诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) 解析 (1)数列：1,2,3和数列：3,2,1是不同的数列． (2)数列中的数是可以重复的． (3)不是所有的数列都有通项公式． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________． 解析 当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案 153．(2014·全国Ⅱ卷)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.解析 由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1，∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…，∴{a n }是以3为周期的数列，∴a 1＝a 7＝12.答案 124．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.答案 (－3，＋∞)5．(必修5P34习题7改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －4考点一 由数列的前几项求数列的通项 【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5,55,555,5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)． (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2nn －n ＋.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1)．规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想． 【训练1】 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为______(填序号)．①a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *)；②a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)； ③a n ＝n －2n －1(n ∈N *)；④a n ＝2n 2n ＋1(n ∈N *)．(2)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.解析 (1)注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照各项排除即可．(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1nn ＋.答案 (1)③ (2)(－1)n1nn ＋考点二 由S n 与a n 的关系求a n(易错警示)【例2】 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2. 又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2 (2)(－2)n －1规律方法 数列的通项a n 与前n项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n－1，则用分段函数的形式表示．易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．【训练2】 (1)(2017·淮安月考)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则数列的通项公式a n ＝________.解析 (1)依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，a n ＝－2n －1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n＋1－3n －1－1＝2·3n －1.显然当n ＝1时，不满足上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)－2n －1(2)⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2考点三 由数列的递推关系求通项公式 【例3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________. (2)若a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，则通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________.解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －＋n2＝n n ＋2＋1.又a 1＝2＝＋2＋1，符合上式，因此a n ＝n n ＋2＋1.(2)法一 因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1，以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .法二 因为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －1n －2·…·1＝1n. (3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3. 故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列． ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.答案 (1)n n ＋2＋1 (2)1n(3)2n ＋1－3规律方法 (1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项．(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项． (3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键．【训练3】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋，则通项公式a n ＝________.解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1， a n ＝a n －1＋1n －1－1n， 逐项相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n.答案 (1)3×2n －1－2 (2)4－1n考点四 数列的性质【例4】 (1)已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是________数列(从“递减”“递增”“常”“摆动”中选填一个)．(2)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是________．(3)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.解析 (1)a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列． (2)令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得，f (x )≥290当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大． (3)由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1， ∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，……，∴{a n }是以3为周期的数列， ∴a 1＝a 7＝12.答案 (1)递增 (2)119 (3)12规律方法 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断． ③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．【训练4】 (2017·哈尔滨模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12<a n<1，且a 1＝35，则数列的第2 016项为________．解析 由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 016＝a 4＝45.答案 45[思想方法]1．由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n或 (－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法． 2．强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝，S n －S n －1n3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式． [易错防范]1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2．数列的通项公式不一定唯一.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．数列－1,3，－5,7，－9,11，…的一个通项公式a n ＝________. 解析 观察可知a n ＝(－1)n(2n －1)．答案 (－1)n(2n －1)2．数列23，－45，67，－89，…的第10项是________．解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 答案 －20213．(2017·南京、盐城调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝________.解析 由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n－1. 答案 2n－14．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝________. 解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2n －2.答案n 2n －25．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝________.解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.答案 46．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝________.解析 借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.答案 857．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥28．(2017·扬州期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________.解析 因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，即a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1.答案 1 二、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍)． ∴从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是________． 解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 答案 012．(2017·苏北四市期末)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 016的值为________．解析 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 016＝6×336，∴a 2 016＝a 6＝－1. 答案 －113．(2017·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析 由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1得1a n ＋1－1a n ＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2，又因为a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n 2＋1＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2. 答案 2n 2－n ＋2 14．(2017·镇江期末)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)． 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8. 即a 的取值范围是(－10，－8).。

n n n 若对任意的b ∈N *，(T n ＋32)k ≥3n －6恒成立，则实数k 的取值范围是＝________.2．(2016·天水月考)数列1，11＋2，11＋2＋3，11＋2＋3＋4，…，11＋2＋3＋…＋n 的前n 项和为____________．3．(2016·南通一模)已知等比数列{a n }的首项为2、公比为3，前n 项和为S n .若log 312a n (S 4m ＋1)]＝9，则1n ＋4m的最小值是________．4．(2016·南京、盐城三模)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5.设c n ＝⎩⎨⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n ＞b n ，若在数列{c n }中，c 8＞c n (n ∈N *，n ≠8)，则实数p 的取值范围是________．5．(2016·无锡二模)设P (x ，y )是函数y ＝f (x )的图象上一点，向量a ＝(1，(x －2)5)，b ＝(1，y －2x )，且满足a ∥b .已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 9)＝36，则a 1＋a 2＋…＋a 9＝________.6．(2016·湖北一联)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式b n ＝________.7．已知数列{a n }的各项均为正整数，S n 为其前n 项和，对于n ＝1,2,3，…有a n ＋1＝⎩⎨⎧3a n＋5，a n为奇数，a n 2k，a n为偶数，其中k 是使a n ＋1为奇数的正整数，则当a 1＝1时，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 20＝____________. 8．(2016·师大附中期中)已知数列a n －1＝－n 2＋52λn ＋5λ2－2λ＋1为单调递减数列，则λ的取值范围是__________________．9．(2016·辽宁沈阳期中)设首项不为零的等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若不等式a 2n ＋S 2nn2≥λa 21对任意a n 和正整数n 恒成立，则实数λ的最大值为________．10．(2016·沈阳期中)已知数列{a n }是等比数列，首项a 1＝1，公比q ＞0，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 3＋a 3，S 2＋a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋1＝(12)a n b n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n ≥m 恒成立，求m 的最大值．答案精析1．227，＋∞) 2.2nn＋13.524．(12,17)解析由题意可知c n是a n与b n中的较小值，且c n中的最大值是c8.如图，若c8＝a8，则a8＞b7，即－8＋p＞22，所以p＞12；若c8＝b8，则b8＞a9，即23＞－9＋p，所以p＜17.综上12＜p＜17.5．18解析∵向量a＝(1，(x－2)5)，b＝(1，y－2x)，且a∥b，∴y－2x－(x－2)5＝0，即y＝(x－2)5＋2x，∴f(x)＝(x－2)5＋2x.令g(x)＝f(x＋2)－4＝x5＋2x，则函数g(x)为奇函数，且是定义域内的增函数，由f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝36，得g(a1－2)＋g(a2－2)＋…＋g(a9－2)＝0，又数列{a n}是公差不为0的等差数列，∴g(a5－2)＝0，即a5－2＝0，a5＝2，∴a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝9×2＝18.6．2n＋1解析根据题意，在等差数列{a n}中，a2＝3，a5＝9，则公差d＝2，则a n＝2n－1，对于{b n}，由b n＋1＝2b n－1，可得b n＋1－1＝2(b n－1)，即{b n－1}是公比为2的等比数列，且首项b1－1＝3－1＝2，则b n－1＝2n，b n＝2n＋1.7．910解析当a1＝1时，a2＝3×1＋5＝8，a3＝82k＝1，a4＝3×1＋5＝8，a5＝82k＝1，…，所以{a n}是周期为2的周期数列，它的奇数项是1，偶数项是8，所以S1＋S2＋…＋S20＝1＋(1＋8)＋(1×2＋8)＋(1×2＋8×2)＋(1×3＋8×2)＋(1×3＋8×3)＋…＋(1×10＋8×9)＋(1×10＋8×10)＝910.8．(0，＋∞)解析∵数列a n－1＝－n2＋52λn＋5λ2－2λ＋1为单调递减数列，∴当n≥2时，a n－1＞a n，∴－n2＋52λn＋5λ2－2λ＋1＞－(n＋1)2＋52λ(n＋1)＋5λ2－2λ＋1，即52λ＜2n＋1，由于数列{2n＋1}在n≥2时单调递增，因此其最小值为5，∴52λ＜5，∴2λ＞1，∴λ＞0.9.1 5解析在等差数列{a n}中，首项不为零，即a1≠0，则数列的前n项和为S n＝n(a1＋a n)2.由不等式a2n＋S2nn2≥λa21，得a2 n ＋n2(a1＋a n)24n2≥λa21，∴54a2n＋12a1an＋14a21≥λa21，即54(ana1)2＋an2a1＋14≥λ.设t＝ana1，则y＝54t2＋12t＋14＝54(t＋15)2＋15≥15，∴λ≤15，即λ的最大值为15.10．解 (1)由题意可知2(S 3＋a 3)＝(S 1＋a 1)＋(S 2＋a 2)， ∴S 3－S 1＋S 3－S 2＝a 1＋a 2－2a 3， 即4a 3＝a 1，于是a 3a 1＝q 2＝14，∵q ＞0，∴q ＝12.∵a 1＝1，∴a n ＝(12)n －1.(2)∵a n ＋1＝(12)a n b n ，∴(12)n ＝(12)a n b n ， ∴b n ＝n ·2n －1，∴T n ＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，① ∴2T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，② 由①－②得－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴T n ＝1＋(n －1)2n . 要使T n ≥m 恒成立， 只需(T n )min ≥m .∵T n ＋1－T n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ＝(n ＋1)·2n ＞0， ∴{T n }为递增数列， ∴当n ＝1时，(T n )min ＝1， ∴m ≤1，即m 的最大值为1.。

1．(2017·福建“四地六校”联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )＞1}，则A ∩B ＝________.2．(2016·镇江模拟)已知命题p ：|x －a |＜4；q ：(x －2)(3－x )＞0.若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．3．(2016·福州3月质检)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则綈p 为____________________． 4．(2016·山东改编)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝________.5．(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.6．(2016·常州模拟)已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集为________．7．(2017·福州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x ＜2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是__________． 8.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若DB →＝x ·DC →＋y ·DA →，x ＞0，y ＞0，则x ，y 的值分别为____________．9．(2016·连云港模拟)已知函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间－2π3，α]上的最小值为－14，则α的取值范围是______________．10．(2015·课标全国Ⅰ改编)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是______________．11．已知O 是锐角△ABC 的外心，tan A ＝22，若cos B sin C AB →＋cos C sin B AC →＝2mAO →，则m ＝________.12．若tan α＝3，则sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝________.13．(2016·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c －b ＝6，c ＋b －a ＝2，且O 为此三角形的内心，则AO →·CB →＝________. 14．关于函数f (x )＝cos2x －23sin x cos x ，有下列命题： ①对任意x 1，x 2∈R ，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立； ②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增；③函数f (x )的图象关于点(π12，0)对称；④将函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y ＝2sin2x 的图象重合． 其中正确的命题是________．(注：把你认为正确的序号都填上)15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ＜－2，x ＋3，－2≤x ≤12，5x ＋1，x ＞12，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意x ∈R 恒成立，q ：函数y ＝(m 2－1)x 是增函数，若p 正确，q 错误，求实数m 的取值范围．16．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)若c ＝t a ＋(1－t )b ，且b·c ＝0，求t 及|c |.17．设向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，记f (x )＝a·b . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)试用“五点法”画出函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，11π12上的简图，并指出该函数的图象可由y ＝sin x (x∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；(3)若函数g (x )＝f (x )＋m ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3的最小值为2，试求出函数g (x )的最大值．18．已知函数f (x )＝x 2x －a ，a ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(1,2)上是单调函数，求a 的取值范围．19．(2016·扬州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a －c ，b ＋c )，n ＝(b －c ，a )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，cos(A ＋π6)＝33926，求a 的值． 20.某地棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米． (1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及AC 的长；(2)因地理条件的限制，边界AD ，DC 不能变更，而边界AB ，BC 可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出最大值．答案精析1．{x |2＜x ≤3} 2.－1,6]3．∀x ∈R ，e x －x －1＞0 4.2 5．9解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 22－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 6．(1,2)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－2x －1，x ＜0的图象如图所示，所以不等式等价于x 2－2x ＜3x －4≤0或x 2－2x ＜0且3x －4≥0，解得1＜x ＜2. 7．(0,1)解析 根据题意作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x ＜2的图象，如图．关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根等价于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x ＜2的图象与直线y ＝k 有两个不同的公共点，则由图象可知当k ∈(0,1)时，满足题意． 8．1＋3， 3解析 设AD ＝DC ＝1，则AC ＝2，AB ＝22，BC ＝ 6.在△BCD 中，由余弦定理，得DB 2＝DC 2＋CB 2－2DC ·CB ·cos(45°＋90°)＝7＋2 3.以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则D (0,0)，A (1,0)，C (0,1)，由DB →＝x ·DC →＋y ·DA →，得B (y ，x )，∴CB→＝(y ，x －1)，DB →＝(y ，x )， ∴6＝(x －1)2＋y 2，x 2＋y 2＝7＋23， ∴x ＝1＋3，y ＝ 3. 9．(－2π3，2π3]解析 y ＝sin 2x ＋2cos x ＝1－cos 2x ＋2cos x ＝－cos 2x ＋2cos x ＋1＝－cos 2x ＋2cos x －1＋2＝－(cos x －1)2＋2.当x ＝－2π3时，y ＝－14， 令y ＝－14，所以cos x ＝－12， 所以－2π3＜α≤2π3.10.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 解析 由已知函数关系式，先找到满足f (x 0)＜0的整数x 0，由x 0的唯一性列不等式组求解． ∵f (0)＝－1＋a ＜0，∴x 0＝0.又∵x 0＝0是唯一的使f (x )＜0的整数， ∴⎩⎨⎧f (－1)≥0，f (1)≥0，即⎩⎨⎧e －1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e (2×1－1)－a ＋a ≥0，解得a ≥32e . 又∵a ＜1，∴32e ≤a ＜1.11.33解析 取AB 的中点D ，连结OD ，则OD ⊥AB ， ∴OD →·AB →＝0， ∵AO→＝AD →＋DO →， ∴cos B sin C AB →＋cos C sin B AC →＝2mAO → ＝2m (AD→＋DO →)， ∴cos B sin C AB →2＋cos C sin B AC →·AB → ＝2mAD →·AB →＋2mDO →·AB →， ∴cos B sin C |AB →|2＋cos C sin B |AC →||AB →|cos A ＝2m ·12|AB →|2＝m |AB→|2， 由正弦定理可得cos B sin C sin 2C ＋cos Csin B·sin B sin C cos A ＝m sin 2C ，即cos B ＋cos C cos A ＝m sin C ， 又cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝m sin C ，∴m ＝sin A ， 又tan A ＝22，∴m ＝sin A ＝33. 12．－1235解析 由题意知cos α≠0，∵sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5 ＝sin 2α＋3cos 2α－4sin 2α＋2sin αcos α－5cos 2α ＝tan 2α＋3－4tan 2α＋2tan α－5， ∴tan 2α＋3－4tan 2α＋2tan α－5 ＝9＋3－36＋6－5＝－1235，即sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝－1235.13．6解析 如图所示，过O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，且O 为△ABC 的内心，∴AO →·CB →＝AO →·(AB →－AC →)＝AO →·AB →－AO →·AC →＝AD ·AB －AE ·AC ＝AD ·c －AD ·b ＝AD ·(c －b )＝6AD . ∵AD ＝a ＋b ＋c －(BD ＋BC ＋CE )2＝c ＋b －a2＝1，∴AO →·CB →＝6AD ＝6. 14．①③解析 f (x )＝cos2x －23sin x cos x ＝cos2x －3sin2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为f (x 1)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x 2＋π)＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋π3＝f (x 2)，故①正确； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ＋π3∈0，π]，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减，故②错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝2cos π2＝0，故③正确；函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式为y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＋π3 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，易知该图象与函数y ＝2sin2x 的图象不重合，故④错误．15．解 (1)作出函数f (x )的图象，如图所示．可知函数f (x )在x ＝－2处取得最小值1.(2)若p 正确，则由(1)得m 2＋2m －2≤1，即m 2＋2m －3≤0，所以－3≤m ≤1. 若q 正确，则函数y ＝(m 2－1)x 是增函数， 则m 2－1＞1，解得m ＜－2或m ＞ 2.又p 正确，q 错误，则⎩⎨⎧－3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1.即实数m 的取值范围是－2，1]．16．解 (1)由(2a －3b)·(2a ＋b)＝61，得a·b ＝－6， ∴cos θ＝a·b |a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)∵b·c ＝b·t a ＋(1－t )b]＝t a·b ＋(1－t )b 2＝－15t ＋9＝0，∴t ＝35， ∴|c|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35a ＋25b 2＝10825，∴|c|＝635.17．解 (1)f (x )＝a·b ＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin(2x ＋π6)＋12， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)列表如下：描点，连线得函数f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，11π12上的简图如图所示：y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin(x ＋π6)的图象，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12后得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，最后将y ＝sin(2x ＋π6)的图象向上平移12个单位长度后得到y ＝sin(2x ＋π6)＋12的图象． (3)g (x )＝f (x )＋m ＝sin(2x ＋π6)＋12＋m . ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴sin(2x ＋π6)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ，32＋m .又函数g (x )的最小值为2， ∴m ＝2，∴g (x )max ＝32＋m ＝72. 18．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠a }． f ′(x )＝x (x －2a )(x －a )2.①当a ＝0时，f ′(x )＝1，则f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． ②当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞2a 或x ＜0， 此时0＜a ＜2a ；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜a 或a ＜x ＜2a ， 则f (x )的单调递增区间为(2a ，＋∞)，(－∞，0)， 单调递减区间为(0，a )，(a,2a )．③当a ＜0时，由f ′(x )＞0，得x ＞0或x ＜2a ，此时2a ＜a ＜0；由f ′(x )＜0，得2a ＜x ＜a 或a ＜x ＜0，则函数f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(0，＋∞)，单调递减区间为(2a ，a )，(a,0)． (2)①当a ≤0时，由(1)可知，f (x )在(1,2)上单调递增，满足题意；②当0＜2a ≤1，即0＜a ≤12时，由(1)可知，f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增，即在(1,2)上单调递增，满足题意；③当1＜2a ＜2，即12＜a ＜1时，由(1)可得，f (x )在(1,2)上不具有单调性，不满足题意；④当2a ＝2，即a ＝1时，由(1)可知，f (x )在(a,2a )上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意； ⑤当1＜a ＜2时，因为f (x )的定义域为{x |x ≠a }，显然f (x )在(1,2)上不具有单调性，不满足题意； ⑥当a ≥2时，由(1)可知，f (x )在(0，a )上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意． 综上所述，a ≤12或a ＝1或a ≥2.19．解 (1)因为m ∥n ，所以a 2＋c 2－b 2＝ac . 又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， 且B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为A ＋π6∈(π6，5π6)，且cos(A ＋π6)＝33926， 所以sin(A ＋π6)＝51326， 所以sin A ＝sin(A ＋π6)－π6] ＝51326×32－33926×12＝3926. 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 解得a ＝1.20．解 (1)根据题意知，四边形ABCD 内接于圆， ∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ， 即AC 2＝42＋62－2×4×6×cos ∠ABC . 在△ADC 中，由余弦定理，得 AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ， 即AC 2＝42＋22－2×4×2×cos ∠ADC . 又cos ∠ABC ＝－cos ∠ADC ， ∴cos ∠ABC ＝12，AC 2＝28， 即AC ＝27 (万米)，又∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π3.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×4×6×sin π3＋12×2×4×sin 2π3＝83(平方万米)． (2)由题意知，S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ，且S △ADC ＝12AD ·CD ·sin 2π3＝23(平方万米)． 设AP ＝x ，CP ＝y ， 则S △APC ＝12xy sin π3＝34xy .在△APC 中，由余弦定理，得AC 2＝x 2＋y 2－2xy ·cos π3＝x 2＋y 2－xy ＝28， 又x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy ， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴xy ≤28.∴S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93(平方万米)， 故所求面积的最大值为93平方万米， 此时点P 为ABC 的中点．11。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题6 数列 第36练 等比数列练习 文2．(2017·苏锡常联考)已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 4＝a 22，a 2＋a 4＝516，则a 5＝________.3．(2016·安庆一模)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.4．在等比数列{a n }中，a 3＝1，q ＞0，满足2a n ＋2－a n ＋1＝6a n ，则S 5的值为________．5．(2016·厦门期中)已知数列{a n }为等比数列，且a 1a 13＋2a 27＝4π，则tan(a 2a 12)的值为________．6．(2016·镇江模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 3，a 5成等差数列，且S k ＝33，S k ＋1＝－63，其中k ∈N *，则S k ＋2＝________.7．已知{a n }是等比数列，给出以下四个命题：①{2a 3n －1}是等比数列；②{a n ＋a n ＋1}是等比数列；③{a n ·a n ＋1}是等比数列；④{lg|a n |}是等比数列．其中正确命题的个数是________．8．(2016·广东肇庆三模)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.9．(2016·聊城期中)在等比数列{a n }中，a 1＝9，a 5＝4，则a 3＝________.10．(2016·衡阳期中)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.11．(2016·南平期中)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 6＝33，a 2a 5＝32，公比q ＞1，则S 5＝________.12．(2016·淮安期中)若实数a ，b ，c 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋c 的取值范围是________________．13．在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3，则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．14．(2016·淮安五模)已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有S n T n ＝3n ＋14，则a 3b 3＝________.第36练 等比数列1．4 2.132 3.－7 4.3145. 36.129 7．3解析 由{a n }是等比数列可得a n a n －1＝q (q 是定值)，2a 3n －12a 3n －4＝q 3是定值，故①正确；a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q 是定值，故②正确；a n a n ＋1a n －1a n ＝q 2是定值，故③正确；lg|a n |lg|a n －1|不一定为常数，故④错误． 8．34解析 由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34.9．6解析 因为在等比数列{a n }中，a 1＝9，a 5＝4，又a 3＞0，所以a 3＝a 1·a 5＝6.10．5解析 log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2a 1a 2a 3a 4a 5＝log 2a 53＝5log 2a 3.又正项等比数列{a n }中，a 1a 5＝4，所以a 3＝2.故5log 2a 3＝5log 22＝5.11．31解析 ∵a 1＋a 6＝33，a 2a 5＝32，公比q ＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋q 5＝33，a 21q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，则S 5＝25－12－1＝31. 12.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1∪(1,2] 解析 设公比为q ，显然q 不等于0，a ＋b ＋c ＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝1，∴b ＝11＋q ＋1q.当q ＞0时，q ＋1q ≥2(当且仅当q ＝1时等号成立)，∴0＜b ≤13；当q ＜0时，q ＋1q≤－2(当且仅当q ＝－1时等号成立)，0＞b ≥－1.又a ＋c ＝1－b ，∴a ＋c 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1∪(1,2]． 13．12解析 设{a n }的公比为q .由a 5＝12及a 5(q ＋q 2)＝3，得q ＝2，所以a 1＝132，所以a 6＝1，a 1a 2…a 11＝a 116＝1，此时a 1＋a 2＋…＋a 11＞1.又a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132，a 1a 2…a 12＝26＜27－132，所以a 1＋a 2＋…＋a 12＞a 1a 2…a 12，但a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132，a 1a 2…a 13＝26·27＝25·28＞28－132，所以a 1＋a 2＋…＋a 13＜a 1a 2…a 13，故最大正整数n 的值为12.14．9解析 由题意可知，a 1b 1＝1，不妨设a 1＝b 1＝t (t ≠0)，{a n }，{b n }的公比分别为q ，p ，易知p ≠1，q ≠1，则S 2T 2＝t ＋tq t ＋tp ＝1＋q 1＋p ＝104＝52，S 3T 3＝t ＋tq ＋tq 2t ＋tp ＋tp 2＝1＋q ＋q 21＋p ＋p 2＝284＝7，由上述两式可解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，q ＝4(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝3，q ＝9，所以a 3b 3＝tq 2tp 2＝819＝9.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。