集合的含义与表示1元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).2集合的元素特征①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名"熊大""熊二"，以视区别.若集合A={1，2，a}，就意味a≠1且a≠2.③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，{1，2，3}={2，3，1}.3元素与集合的关系若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A.Eg：菱形∈{平行四边形}，0∈N，0∉{1，2，3，4}.脑筋急转弯你能证明上帝不是万能的么？答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)4常用数集自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N∗或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.5集合的分类有限集，无限集，空集∅.Eg：奇数集{x|x=2n+1 ,n∈Z}属于无限集，{x∈R|x2+1=0}=∅.6集合的表示方法①列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫列举法.②描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：{x∈A|p(x)}.用符号描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.(3)Eg：A={x|x2−x−2=0}———方程x2−x−2=0的解，即A={−1，2}；B={x|x2−x−2<0}———不等式x2−x−2<0的解集，即B={x|−1<x<2}；C={x|y=x2−x−2}———函数y=x2−x−2的定义域，即C=R；D={y|y=x2−x−2}———函数y=x2−x−2的值域，即D={y|y>−94}；E={(x ,y)|y=x2−x−2}———函数y=x2−x−2的图像，它是个点集.【典题1】下列说法正确的是( )A.某个村子里的高个子组成一个集合；B.所有小的正数组成的集合；C.集合{1 ,2 ,3 ,4 ,5}和{5 ,4 ,3 ,2 ,1}表示同一个集合；D.1 ,0.5 ,12 , 32, 64,√14这些数组成的集合有五个元素.【解析】由于“高个子”、“小的”没有一个明确的标准，A ,B的对象不具备确定性；D中的0.5 ,12 ,√14三个数相等，32,64相等，故集合只有3个元素；集合具有无序性，所以C是正确的；故选C.【点拨】本题考核集合元素的三要素.【典题2】设集合A={2 , 1−a , a2−a+2}，若4∈A，则a=.【解析】∵4∈A∴1−a=4或a2−a+2=4，(i)若1−a=4，则a=−3，此时a2−a+2=14，∴A={2 ,4 ,14}；(ii)若a2−a+2=4，则a=2或a=−1，a=2时，此时1−a=−1，∴A={2 ,−1 ,4}；a=−1时，此时1−a=2，则A={2 ,2 ,4}不符合集合的"互异性”，故a≠−1.综上a=−3或2．【点拨】本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；当a=−1时，1−a=2，此时A={2 ,2 ,4}不符合集合的"互异性”，故a≠−1.故求出集合后最好做下检查.【典题3】用列举法表示集合A={6x−2∈Z|x∈N}=.【解析】根据x∈N，且6x−2∈Z可得：x=0时，6x−2=−3；x=1时，6x−2=−6；x=3时，6x−2=6；x=4时，6x−2=3；x=5时，6x−2=2；x=8时，6x−2=1；∴A={－3 ,－6 ,6 ,3 ,2 ,1}．【点拨】①看集合先确定元素类型(本题中元素是“6x−2”，而不是“x”)，再看元素需要满足的条件；②集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.【典题4】若集合A={x|ax2+2x+1=0 ,a∈R}至多有一个元素，则a的取值范围是．【解析】∵集合A={x|ax2+2x+1=0 ,a∈R}至多有一个元素，∴a=0或{a≠0△=4−4a≤0，解得a=0或a≥1，∴a的取值范围是{a|a=0或a≥1}．【点拨】注意二次项系数是否等于0，先确认函数类型.巩固练习1 (★) 下列各组对象能构成集合的是()A．充分接近的所有实数B．所有的正方形C．著名的数学家D．1，2，3，3，4，4，4，4【答案】B【解析】选项A、C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．故选：B．2(★) 以实数x,−x,|x|,√x2,−√x33为元素所组成的集合最多含有()个元素．A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】当x>0时，x=|x|=√x2>0，−√x33=−x<0，此时集合共有2个元素；当x=0时，x=|x|=√x2=−√x33=−x=0，此时集合共有1个元素；当x<0时，−x=|x|=√x2=−√x33>0,x<0，此时集合共有2个元素，故由以实数x,−x,|x|,√x2,−√x33为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个．故选：C．3(★) 下面有四个命题：(1)集合N中最小的数是1；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)a∈N,b∈N，则a+b不小于2. .其中正确的命题的个数是()A．１个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】(1)集合N中最小的数是0，(2)对，(3)不大于3的自然数组成的集合是{0,1,2,3}，(4)因为0∈N，所以a+b可能小于2，因此只有(2)是对的，故选A.4(★★) 设集合M={x|x=3k ,k∈Z}，P={x|x=3k+1 ,k∈Z}，Q={x|x=3k−1 ,k∈Z}，若a∈M ,b∈P ,c∈Q，则a+b−c∈()A.MB.PC.QD.M∪P【答案】A5(★★) 已知x,y,z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．4∈M B．2∈M C．0∉M D．−4∉M【答案】A【解析】根据题意，分4种情况讨论；①、x、y、z全部为负数时，则xyz也为负数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=−4，②、x、y、z中有一个为负数时，则xyz为负数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=0，③、x、y、z中有两个为负数时，则xyz为正数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=0，④、x、y、z全部为正数时，则xyz也正数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=4；则M={4,−4,0}；分析选项可得A符合．6(★★) 点的集合M={(x,y)|xy≥0}是指()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第一、第三象限内的点集D．不在第二、第四象限内的点集【答案】D【解析】xy≥0指x和y同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．故选D7(★★) 已知含有三个实数的集合既可表示成{a,ba,1}，又可表示成{a2,a+b,0}，则a2017+b2018=．【答案】−1【解析】根据题意，由{a,ba ,1}={a2,a+b,0}可得a=0或ba=0，又由ba 的意义，则a≠0，必有ba=0，则b=0，则{a,0,1}={a2,a,0}，则有a2=1，即a=1或a=−1，集合{a,0,1}中，a≠1，则必有a=−1则a2017+b2018=(−1)2017+02018=−1故答案为：−18(★★)若集合A={x|kx2+4x+4=0 ,x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为．【答案】0或1【解析】由集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一个元素，当k=0时，4x+4=0，即x=−1,A={−1}，成立；当k≠0时，△=16−4•k•4=0，解得k=1．A={x|x2+4x+4=0}={−2}，成立．综上，k =0或1．9 (★★) 用列举法表示集合{m|m−23∈N ,m ∈N ,m ≤10}= ． 【答案】 {2 ,5 ,8}．【解析】根据题意，∵m ∈N,m ≤10，∴m −2≤8,且(m −2)∈Z又因m−23∈N ，∴(m −2)∈N ，且是3的整数倍，∴m −2=0或3或6，∴m =2或5或8，∴集合{m|m−23∈N,m ∈N,m ≤10}={2,5,8}．故答案为：{2,5,8}．10 (★★) 集合A ={x ∈Z ∣y =12x+3,y ∈Z}的元素个数为【答案】 12【解析】由题意，集合{x ∈Z ∣y =12x+3∈Z}中的元素满足x 是整数，且y 是整数， 由此可得x =−15，−9，−7，−6，−5，−4，−2，−1，0，1，3，9； 此时y 的值分别为：−1,−2,−3,−4,−6,−12,12,6,4,3,3,1，符合条件的x 共有12个，11 (★★) 用列举法表示下列集合(1)11以内偶数的集合；(2)方程(x +1)(x 2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y =2x 与y =x +1的图象的交点组成的集合．【解析】(1){2,4,6,8,10}；(2)解方程(x +1)(x 2−4)=0，得x 1=−1,x 2=−2,x 3=2，故方程(x +1)(x 2−4)=0的所有实数根组成的集合为{−2,−1,2}；(3)解方程组{y =2x y =x +1得{x =1y =2， 因此一次函数y =2x 与y =x +1的图象的交点为(1,2)，故所求的集合为{(1,2)}． 12 (★★★) 已知集合A ={x ∣ax 2−3x +2=0,a ∈R }1)若A 是空集，求a 的取值范围；2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围【答案】 1) a >98; 2) 若a =0，则有A ={23}；若a =98 ，则有A ={43}；3) a =0或a ≥98.【解析】 1)若A 是空集，则方程ax 2−3x +2=0无解，此时a ≠0且Δ=9−8a <0，即a >98. 2)若A 中只有一个元素则方程ax 2−3x +2=0有且只有一个实根 当a =0时，方程为一元一次方程，满足条件； 当a ≠0，此时Δ=9−8a =0，解得a =98. ∴a =0或a =98若a =0，则有A ={23}；若a =98 ，则有A ={43}； 3)若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由(1)，(2)得满足条件的a 的取值范围是：a =0或a ≥98.。
