太原市数学中考《第十四章投影与试图》知识点聚焦

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】中考总复习：投影与视图—知识讲解【考纲要求】1.通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用；2.会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图，左视图、俯视图)，能根据三视图描述基本几何体或实物的原型．【知识网络】【考点梳理】考点一、生活中的几何体1．常见的几何体的分类在丰富多彩的图形世界中，我们常见的几何体有长方体、正方体、棱柱体、棱锥体、圆柱体、圆锥体、球体、台体等．2．点、线、面、体的关系(1)点动成线，线动成面，面动成体；(2)面面相交成线，线线相交成点．要点诠释：体体相交可成点，不一定成线．3．基本几何体的展开图(1)正方体的展开图是六个正方形；(2)棱柱的展开图是两个多边形和一个长方形；(3)圆锥的展开图是一个圆和一个扇形；(4)圆柱的展开图是两个圆和一个长方形．考点二、投影1．投影用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面．2．平行投影和中心投影由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．3．正投影投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影．要点诠释：正投影是平行投影的一种．考点三、物体的三视图1．物体的视图当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图．我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象．2．画三视图的要求(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图．(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．【典型例题】类型一、三视图及展开图1．用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为( )A．22 B．19 C．16 D．13【思路点拨】视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形.【答案】D；【解析】综合主视图和俯视图，这个几何体的底层最少有3+3+1=7个小正方体，第二层最少有3个，第三层最少有2个，第四层最少有1个，因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：7+3+2+1=13个．故答案为：13．【总结升华】由三视图判断组成原几何体的小正方体的个数与由相同的小正方体构成的几何体画三视图正好相反．举一反三：【变式1】（2014秋•莲湖区校级期末）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少需要正方体个．【答案】7.【解析】∵俯视图中有5个正方形，∴最底层有5个正方体；∵主视图第二层有2个正方形，∴几何体第二层最少有2个正方体，∴最少有几何体5+2=7．【高清课堂：《空间与图形》专题：投影与视图例6】【变式2】下图是由几个相同的小正方体搭成的几何体从三个方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）个．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B.2．美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（）A． B．C． D．【思路点拨】动手操作看得到小正方体的阴影部分的具体部位即可．【答案】B左面看正面看上面看【解析】动手操作折叠成正方体的形状放置到白纸的阴影部分上，所得正方体中的阴影部分应紧靠白纸，故选B．【总结升华】用到的知识与正方体展开图有关，考察学生空间想象能力．建议学生在平时的教学过程中应结合实际模型将展开图的若干种情况分析清楚．举一反三：【变式】如图所示的是以一个由一些相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图．设组成这个几何体的小正方体的个数为n，请写出n的所有可能的值．【答案】n为8，9，10，11．3．下列图形中经过折叠能围成一个棱柱的是（）A． B． C． D．【思路点拨】利用四棱柱及其表面展开图的特点解题．【答案】D；【解析】A、侧面少一个长方形，故不能；B、侧面多一个长方形，折叠后不能围成棱柱，故不能；C、折叠后少一个底面，不能围成棱柱；只有D能围成四棱柱．故选D．【总结升华】四棱柱的侧面展开图为四个长方形组成的大长方形．举一反三：【高清课堂：《空间与图形》专题：投影与视图课堂练习3】【变式】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、BB1、BC的中点，沿EG、EF、FG将这个正方体切去一个角后，得到的几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【答案】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．从上面看易得1个正方形，但上面少了一个角，在俯视图中，右下角有一条线段．故选B．类型二、投影有关问题4．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB的长.【思路点拨】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．【答案与解析】【解析1】解：如图1，过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．可得矩形BDFG．由题意得：．∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．∴GF=BD=CD=6m．又∵．∴AG=1.6×6=9.6（m）．∴AB=14.4+9.6=24（m）．答：铁塔的高度为24m．图1 图2【解析2】如图2，作DG∥AE，交AB于点G，BG的影长为BD，AG 的影长为DE，由题意得：AG 1.6=DE2．∴AG=18×1.6÷2=14.4（m）．又∵BG 1.6=BD1．∴B G=1.6×6=9.6（m）．∴AB=14.4+9.6=24（m）．答：铁塔的高度为24m．【总结升华】运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．类型三、投影视图综合问题5.用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体最多要小立方体．【思路点拨】从正视图和侧视图考查几何体的形状，从俯视图看出几何体的小立方块最多的数目．【答案】17.【解析】解：由主视图可知，它自下而上共有3列，第一列3块，第二列2块，第三列1块．由俯视图可知，它自左而右共有3列，第二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最低层有一块即可．因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；如图，最多时有3×5+2×1=17块小立方体．故答案为17．【总结升华】本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题，但很容易出错．6．（2015•永春县校级自主招生）如图是某中学生公寓时的一个示意图（每栋公寓均朝正南方向，且楼高相等，相邻两栋公寓的距离也相等）．已知该地区冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°，在公寓的采光不受影响（冬季正午最底层受到阳光照射）的情况下，公寓的高为AB，相邻两公寓间的最小距离为BC．（1）若设计公寓高为20米，则相邻两公寓之间的距离至少需要多少米时，采光不受影响？（2）该中学现已建成的公寓为5层，每层高为3米，相邻两公寓的距离24米，问其采光是否符合要求？（参考数据：取sin32°=，cos32°=，tan32°=）【思路点拨】（1）在直角三角形ABC中，已知AB利用锐角三角函数求得BC的长即可；（2）利用楼高求得不受影响时候两楼之间的距离与24米比较即可得到结果；【答案与解析】解：（1）∵在直角三角形ABC中，AB=20米，∠ACB=32°，∴=tan32°∴BC===32米，∴相邻两公寓之间的距离至少需要32米时，采光不受影响；（2）∵楼高=3×5=15米，∴不受影响时两楼之间的距离为15÷tan32°=24米，∵相邻两公寓的距离恰为24米，∴符合采光要求；【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，做到学数学，用数学，才是学习数学的意义．7．如图，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面圆的圆心，其高23m，底面半径为2m．某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4m．（1）求∠B的度数；（2）若∠ACP=2∠B，求光源A距平面的高度．【思路点拨】（1）如下图所示，过点D作DF垂直BC于点F．由题意，得DF=23，EF=2，BE=4，在Rt△DFB中，tan∠B= DFBF，由此可以求出∠B；（2）过点A作AH垂直BP于点H．因为∠ACP=2∠B=60°所以∠BAC=30°，AC=BC=8．在Rt△ACH中，AH=AC•Sin∠ACP，所以可以求出AH了，即求出了光源A距平面的高度．【答案与解析】解：（1）过点D作DF垂直BC于点F．由题意，得DF=23，EF=2，BE=4．在Rt△DFB中，tan∠B=DF233==BF2+43，所以∠B=30°；（2）过点A作AH垂直BP于点H．∵∠ACP=2∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴AC=BC=8，在Rt△ACH中，AH=AC•Sin∠ACP=38=432，即光源A距平面的高度为43m．【总结升华】本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

九年级数学投影知识点在数学学科中，投影是一个非常重要的概念。

它运用广泛，不仅在几何学中有应用，而且在物理学和工程学等领域也发挥着重要作用。

在九年级数学中，我们将学习一些关于投影的基本知识点。

1. 投影的概念投影是指某个物体在另一个物体或者平面上的阴影或图像。

我们可以将投影分为垂直投影和平行投影。

垂直投影是指物体在垂直面上的投影，而平行投影是指物体在平行面上的投影。

2. 投影矩阵在几何学和线性代数中，投影矩阵是一个非常重要的概念。

它是一个方阵，可以将一个向量投影到另一个向量上。

投影矩阵有许多重要的性质，比如它是一个幂等矩阵（其平方等于它本身），而且它的转置等于它本身。

在数学和工程学中，我们经常使用投影矩阵来解决各种问题。

3. 投影的性质投影有许多有趣的性质。

首先，如果我们有两个平行的物体，它们在同一个平面上投影的长度将相等。

其次，如果我们有一个点和一个平面，那么该点到平面的投影将是离该点最近的平面上的点。

这些性质对于我们理解和应用投影非常有帮助。

4. 投影的应用投影在现实世界中有许多应用。

在建筑设计中，建筑师常常使用投影来绘制房屋的立面图和平面图。

在航空航天工程中，工程师使用投影来计算飞机或火箭在空中的位置和速度。

在计算机图形学中，投影可以用来生成三维模型的二维图像。

这些应用都需要对投影有深入的了解。

5. 投影的计算方法计算投影是学习投影的关键。

在数学中，有几种方法可以计算投影。

其中一种常见的方法是使用向量的点积。

另一种方法是使用投影矩阵。

这些方法都有自己的优缺点，根据具体问题的需求选择适当的方法非常重要。

6. 投影的拓展投影作为一个重要的数学概念，在高中和大学的数学课程中也会进一步拓展。

在高级几何学中，我们将学习更复杂的投影形式，如斜投影和透视投影。

在线性代数中，我们将进一步研究投影矩阵和它们的性质。

这些知识将为我们深入理解和应用投影提供更多的工具和方法。

总之，投影是数学中一个基础但非常重要的概念。

九年级数学投影知识点总结投影是数学中的一个重要概念，它在几何学、代数学等领域有广泛的应用。

在九年级数学学习中，投影是一个重要的知识点。

本文将对九年级数学中的投影相关知识进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

一、投影的概念投影是指一个物体在垂直于某个平面上的阴影或者影子。

在几何学中，投影常常被用来描述一个物体在不同维度、不同方向上的视觉效果。

二、平行平面的投影当一个物体平行于投影面时，其投影与物体在平面上的形状和大小相等，且形状保持不变。

这是因为平行投影不改变物体的形状，只改变其大小。

三、垂直投影垂直投影是指物体在垂直于投影面的方向上的投影。

对于一个立体物体，其在垂直投影中的形状和大小可能与实际物体有所不同。

在垂直投影中，物体的各个部分可能相互重叠，导致投影形状的变化。

四、平面图形在不同视图中的投影在九年级数学中，学生需要了解并应用关于平面图形在不同视图中的投影。

通过投影的概念，可以将三维空间中的图形投影到二维平面上。

这样，我们可以更方便地观察和研究图形的性质。

五、平行投影与透视投影的比较平行投影和透视投影是两种常见的投影方法。

平行投影是指从无穷远处以平行的方向投射光线，将物体投影到平面上。

透视投影是指从一个点出发，将物体投影到平面上。

平行投影保持物体的形状和大小，而透视投影会产生空间感和立体感。

六、投影的应用投影在日常生活和科学研究中有广泛的应用。

在建筑设计中，投影可以帮助设计师预测建筑物在不同时间和位置的阴影。

在地图制作中，投影可以帮助我们将地球表面的曲面投影到平面上，使得地图更易于理解和使用。

七、投影的数学表示对于一个三维空间内的点，我们可以使用向量来表示其投影点的坐标。

通过向量的运算，我们可以计算出点在某个平面上的投影点坐标。

八、综合问题解析在九年级数学中，投影也常常出现在综合问题中。

通过理解和掌握投影的相关知识，同学们可以更好地解决各种数学问题，特别是几何问题。

九、小结投影是九年级数学中的一个重要知识点，它在几何学和代数学中有广泛的应用。

投影与视图—知识讲解责编：康红梅【学习目标】1.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；2.通过讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；3.通过制作立体模型的学习，在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识，在实践活动中培养实际操作能力.【要点梳理】要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.要点四、正投影正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.(3)立体图形的正投影.物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.要点诠释：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.要点五、三视图1.三视图的概念（1）视图从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.（2）正面、水平面和侧面用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.（3）三视图一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2.三视图之间的关系（1）位置关系三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.要点诠释：物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.要点六、画几何体的三视图画图方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.要点诠释：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.要点七、由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.要点诠释：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.【典型例题】类型一、投影的作图问题1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．【答案与解析】(1)如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．(2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交于点P．此时为中心投影，P点即为光源位置．【总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，从而漏掉上图这一情形．举一反三：【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD和一棵树AB．晚上，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子DF，树影BE是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗?【答案】作法如下：①连结FC并延长交玻璃幕墙于O点；②过点O作直线OG垂直于玻璃幕墙面；③在OC另一侧作∠POG＝∠FOG且交EA延长线于点P．P点即此时路灯光源位置，如图所示．类型二、投影的应用2．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）【答案与解析】解：（1）AB=ACtan30°=12×=4（米）．答：树高约为4米．（2）如图（2），B1N=AN=AB1sin45°=4×=2（米）．NC1=NB1tan60°=2×=6（米）．AC1=AN+NC1=2+6．当树与地面成60°角时影长最大AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）AC2=2AB2=；【总结升华】此题考查了平行投影；通过作高线转化为直角三角形的问题，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，是解题的关键．类型三、由三视图描述物体的形状3．如图所示，这是个由小立方体搭成的几何体从上面看的视角，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出从正面看和左面看的视图．【思路点拨】由已知条件可知，从正面看有4列，每列小正方数形数目分别为2，2，3，2；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，2．据此可画出图形．【解析】解：如图所示：．【总结升华】此题主要考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．类型四、三视图的有关计算4．（2016•荆州）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为cm2．【思路点拨】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．【答案与解析】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm，故表面积=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2．故答案为：4π．【总结升华】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．举一反三：【高清课程名称：投影与视图高清ID号：398414关联的位置名称（播放点名称）：课题学习】【变式】某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如图所示)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积(单位：mm)．【答案】由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(1)所示)．密封罐的高为50mm ，底面正六边形的对角线为100mm ，边长为50 mm ，如图(2)所示． 由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为S ＝6×50×50+2×6×12×50×50×sin60° ＝6×50°×312⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭≈27990(mm 2)．。

【初中数学】初中数学知识点总结：投影
一、投影：
1.平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

平行投影的特征：（1）点的投影仍就是点；（2）直线的投影通常仍就是直线；（3）一点在某直线上，则该点的投影一定在该直线的投影上；（4）直线上两线段之比，等同
于其影长之比；
（5）两直线平行，其投影平行或在同一直线上。

2.中心投影：灯光的光线可以看作从同一点收到的(即为为点光源)，像是这样的光线
所构成的投影称作中心投影。

中心投影的特征：（1）对应点连线都经过一点，这一点就是光源的位置；（2）物体
的投影的大小，是随着光源距离物体的远近而变化的，或者是随物体离投影面的远近而变
化的；
（3）中心投影无法充分反映原物体的真实形状和大小。

3.正投影：投影线垂直于投影面时产生的投影叫做正投影。

正投影的特征：（1）当平面图形平行于投影面时，它的正投影就是与它全等的平面
几何图形（点的正投影仍就是一个点）；（2）当平面图形旋转轴投影面时，它的正投影
就是一条线段（线段旋转轴投影面时的正投影就是一个点）；（3）当平面图形坐落于投
影面上时，它的正投影就是它本身。

二、太阳光与影子：
物体在太阳光线反射的相同时刻，不仅影子的长短在变化，而且影子的方向也发生改变，根据相同时刻影长的转换规律，以及太阳东升西落的自然规律，可以推论时间的先后
顺序。

三、灯光与影子：
在某确认灯光下紧固物体的影子与方向就是一定的，对灯而言，移动的物体离灯越将近，影子愈长，离灯越远，影子越短。

四、视点、视线、盲区：
眼睛的边线称作视点，由视点收到的线称作视线，看不出的区域称作盲区。

第十四章 投影与视图()⎧⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩概率：由平行光线形成的投影叫平行投影平行线段的正投影：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点投影太阳性质平面图形的正投影：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段正投影光与几何体的正投影：一个几何体在平面内的正投影是一个平面图形影子正投影作图投影概念：由点光源发出的光线形成的投影叫中心投影中心等高的物体垂直于地面放置时，离点光源近投影投(灯光特征影与影与子)视图⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩的影子短，离点光源远的影子长等长的物体平行于地面放置时，离点光源近的影子长，离点光源远的影子短点光源、物体上的点及影子上的对应点在同一条直线上当一个平面图形与投影面平行时，这个平面图形在投影面上的投影是与它相似的平面图形视图：物体的正投影叫做视图主视图：物体在竖直投影面内的正投影叫做主视图三视图俯视图：物体在水平投影视图⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎩面内的正投影叫做俯视图左视图：物体在侧投影面内的正投影叫做左视图主、俯视图长对正由立体图形画三视图的原则主、左视图高平齐左、俯视图宽相等由三视图描述立体图形第32讲 投 影 知识能力解读知能解读（一）投影及相关概念一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫作物体的投影，照射光线叫作投影线，投影所在的平面叫作投影面. 知能解读（二）平行投影与中心投影（1）平行投影：由平行光线形成的投影叫作平行投影.如物体在太阳的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影.（2）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫作中心投影.如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影. 知能解读（三）正投影（1）正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫作正投影.正投影是平行投影的特殊情形.在实际制图时，经常应用投影.（2）线段的正投影：①当线段AB 平行于投影面时，它的正投影11A B AB =； ②当线段AB 倾斜于投影面时，它的正投影22A B AB <；③当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一个点.（3）正方形的正投影；①当正方形平行于投影面时，它的正投影与它本身形状、大小一样；②当正方形倾斜于投影面时，它的正投影与它本身形状、大小不无安全一样；③当正方形垂直于投影面时，它的正投影成为一条线段.（4）当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.点评物体证投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.知能解读（四）灯光下的影子与太阳光下的影子的区别（1）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；灯光光线是发散的，灯光下的影子与物体的高度不成比例.（2）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子则不一定.（3）灯光是从一点发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；而太阳光是平行光.方法技巧归纳方法技巧（一）投影的区分与识别的方法根据两种物体的影子判断是在灯光下还是在太阳光下的投影，关键是看这两种物体的顶端和其影子的顶端的连线是平行还是相交，若平行则是在太阳光下的投影，若相交则是在灯光下的投影.点拨若光线是平行的，则是太阳光线，并且影子的方向是一致的；若光线相交于一点，则为灯光的光线.方法技巧（二）看投影时间注意本题在观察影子的位置变化情况时应注意与地理坐标相结合：上北、下南、左西、右东. 方法技巧（三）确定中心投影的光源识别中心投影，关键看相应的光线位置关系，如果相应光线相交于同一点，这种投影就是中心投影.反过来，我们可以利用这一特点确定中心投影的光源.方法技巧（四）物体正投影的画法平面图形、立体图形的正投影作图是点、线段的正投影作图的综合，因此，平面图形、侧棱AB在投影面P上的投影应为A B这这条线段，因为能看到，所以画成实线，不要11画成虚线或漏画.易混易错辨析易混易错知识平行投影与中心投影.平行投影是物体在太阳光线照射下形成的投影，其特征是形成影子的光线是平行的；中心投影是物体在灯光照射下形成的投影，其特征是形成影子的光线交于一点.易混易错（一）不能正确表示太阳光线致错易混易错（二）混淆中心投影与平行投影致错中考试题研究中考命题规律本讲在中考中主要考查平行投影与中心投影的识别及应用，通常以填空题、选择题的形式出现.中考试题（一）平行投影的应用中考试题（二）中心投影的应用知识能力解读知能解读（一）试图的概念及特点（1）视图：当我们从某一个方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫作物体的一个视图.视图可以看作是物体在某一方向光线下的正投影机.（2）三视图：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的平面叫作正面，下方的平面叫作水平面，右边的平面叫作水平面，右边的平面叫作侧面.一个物体在三个投影面内分别进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫作主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫作俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫作左视图.将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的三视图.三视图中，主视图与俯视图可以表示同一个物体的长，主视图和左视图可以表示同一个物体的高，左视图与俯视图可以表示同一个物体的宽.画三视图时，三个视图都要放在正确的位置上（主视图在左边，它的正下方是俯视图，左视图在主视图的右边），并注意：主视图与俯视图的长对这正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等.画图时还规定：看的见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线化成虚线.注意画立体图形时要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，于点一般的立体图形要先仔细观察和想象，再画它的三视图.知能解读（四）由视图到立体图形由视图现象实物时不像由实物到视图那样唯一确定，要借助于三个视图综合分析、想象，仅仅一个方向的视图只能了解物体的部分信息.由一个视图往往可以想象出多种形状的物体，根据视图只能描述物体的形状.注意三个视图的作用：由视图描述物体的形状，三个视图可以提供不同的信息.（1）主视图：由主视图可以分清物体的长和高，主要提供正面的形状.（2）左视图：由左视图可以分清物体的高和宽.（3）俯视图：由俯视图看不出高度，这一点认识很重要.由俯视图可以分清物体的长和宽.方法技巧归纳方法技巧（一）三视图的识别在识别时一是要认识常见几何体的三视图，二是要有空间想象能力，三是要善于观察生活中的物体.点拨掌握集中简单几何体的三视图是画几何体的视图的基础.日常生活中看到的很多物体，它们的形状不很规则，但是它们一般可以看作是由一些基本几何体（棱柱、棱台、棱锥、圆柱、圆台、圆锥、球等）组合或切割而成的.方法技巧（二）三视图的画法三视图的具体画法：（1）确定主观视图的位置，画出主视图；（2）在主观视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；（3）在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.注意画立体图形的三视图时，一是注意三视图的位置；二是避免斜视几何体.方法技巧（三）由三视图还原立体图形的方法由三视图描述几何体，一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体的形状，再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个面的尺寸.点拨由三视图来判断实际几何体的形状时，关键在于找到三视图之间的关系以及对一些简单几何体三视图的熟练掌握.方法技巧（四）由三视图求几何体的表面积的方法由三视图求几何体的表面积时，首先要根据三视图描述几何体（或画出表面展开图），再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系和轮廓线的位置确定各条线段的尺寸，然后应面积公式求出表面积.点拨由三视图求几何体的表面积关键是确定几何体的形状.技巧方法（五）根据视图判断小正方体的个数由三视图判断几何体的形状，首先，分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，再综合起来考查.点拨主视图表示几何体的上、下、左、右，俯视图表示几何体的左、右、前、后，左视图表示几何体的上、下、前、后，据此可判断搭建一个几何体所需要的正方体的个数.易混易错辨析易混易错知识画视图时虚线与实现混淆.在三视图中，看不到的轮廓线要求画成虚线，同学们容易疏忽而将其画成实线.易混易错（一）由三视图还原立体图形时因忽视其中的条件而致误易混易错（二）画视图时将看不见的棱画成实线而致误中考试题研究中考命题规律本讲在中考中主要考查基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球等）的三视图，会判断简单物体的三视图，会利用空间想象能力作图或识图，通常以选择题、填空题的形式出现. 中考试题（一）判断物体的三视图中考试题（二）由三视图判断几何体中考试题（三）利用三视图计算。

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似乎说到初中数学视图与投影，很多人都没有什么印象，这在中考数学复习要求中也确实有很小的席位，初中数学介绍视图与投影的篇幅不多，我们来看下中考复习要求。

1、认识常见儿何体的基本特性，并能对立体图形、平面图形进行正确的识别和简瞥的分
2、了解投影、中心投影、平行投影和正投影，平面图形平行于投影面时它的正投影的性
3、了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型．初步体会
不同方向观察嗣一物体可能看到不同的图形．能识别简单物体的三视图，会画立方体及简
组合体的t视图．会根据简单物体的三视图描述物体的形状，计算其展开图的面积．
4、进一步认识几何图形都是由点、线、面、体组成的备种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界．
5、了解经过两点有且只有一条直线和两点间线段最短的事实．角、补角及等角的余角相等、等角的补角相等．
6、在现实情境中认识直线、线段、射线、角等简单图形，并能用线、角，会进行线段或角的比较，理解线段中点的概念，能估计一个角的简单换算，能通过折纸作出一个角的平分线．。

人教版初中数学投影与视图知识点总复习有答案一、选择题1 .如下图的几何体的主视图是〔 〕【答案】A【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可.【详解】解：从正面可看到从左往右 2列一个长方形和一个小正方形, 应选A.【点睛】此题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.2 .如图,小明用由5个相同的小立方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况.假设由图1变到图2,不变化的是〔〕【解析】【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图,俯视图是从上面看得到的图形,左视图是左边 看得到的图形,可得答案.【详解】主视图都是第一层三个正方形,第二层左边一个正方形,故主视图不变; 左视图都是第一层两个正方形,第二层左边一个正方形,故左视图不变; 俯视图底层的正方形位置发生了变化.••.不改变的是主视图和左视图.应选：B.A.B.D-B.主视图和左视图C.主视图和俯视图D.左视图和俯视图 【答案】B2 2 2 2 A. 5cmB. 8cm C 9cm D. 10cm 【答案】D【解析】【分析】 由题意推知几何体为长方体,长、宽、高分别为1cm 、1cm 、2cm ,根据长方体的外表积公式即可求其外表积. 此题考查了简单组合体的三视图,利用三视图的意义是解题关键.3.图2是图1中长方体的三视图,假设用 S 表示面积,国 2 2x 3x,包 x x,那么S 俯〔〕----- […I ~~gx J三正面ffil桥但. 2 2 2 2 .A. x 4x 3B. x 3x 2C. x 2x 1D. 2x 4x 【答案】A【解析】【分析】 直接利用视图的边长结合其面积得出另一边长,即可得出俯视图的边长进而得出答案.【详解】解：: S 主 x 2 3x x(x 3) , S 左 x 2 x x(x 1),,主视图的长 x 3,左视图的长x 1, 那么俯视图的两边长分别为：x 3、x 1,2 S 俯(x 3)(x 1) x 4x3 ,应选：A.【点睛】此题主要考查了三视图求边长,正确得出俯视图的边长是解题关键.4. 一个几何体的三视图如下图,那么这个几何体的外表积是( )左视图阳 一1〕口修口由题意推知几何体是长方体,长、宽、高分别 1cm 、1cm 、2cm,所以其面积为：2 1112 1210 cm 2 ,应选D.【点睛】此题考查了由三视图复原几何体、长方体的外表积,熟练掌握常见几何体的三视图是解题 的关键. 小正体的个数是〔〕 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形进行判断.【详解】解：综合三视图,这个几何体的底层有 3+2+1=6个小正方体,第二层有 1+1=2个小正方体,第三层有1个,因此组成这个几何体的小正方形有6+2+1=9个.应选C.【点睛】此题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用水平,同时也表达了对空间想象水平方面的考查.如果掌握口诀 俯视图打地基,主视图疯狂盖,左视图拆违章 了. 6.如下图的几何体的俯视图为 〔 〕】视方向【详解】从上往下看,易得一个正六边形和圆.应选D.7.以下几何体中,主视图与俯视图不相同的是〔 〕5.如图是 个由假设干个相同的小正方体组成的几何体的三种形状图,那么组成这个几何体的从正面看A. 7【答案】C【解析】【分析】B.8 从上面看 C. 9 D. 10〞就容易得到答案 从左面看 A.B. C.【解析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形进行分析.【详解】解：四棱锥的主视图与俯视图不同.应选B.【点睛】考查了几何体的三种视图,掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.8.圆锥的三视图如下图,那么这个圆锥的侧面展开图的面积为〔〕幅厂、视茵&A. 60 71cmiB. 65 71c吊C. 90 71c吊D. 130 71c吊【答案】B【解析】【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为5cm,圆锥的高为12cm,再根据勾股定理计算出母线长为13cm,然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算.【详解】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm,即底面圆的半径为5cm,圆锥的高为所以圆锥的母线长= J 52 1 22 13 "m). (1)C 所以这个圆锥的侧面积= 5g25 13 65 (cm 2), 应选：B. 【点睛】 此题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周 长,扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了三视图.9 .下面是从不同的方向看一个物体得到的平面图形,那么该物体的形状是(由主视图和左视图可得此几何体为锥体,根据俯视图可判断出该物体的形状是三棱锥. 【详解】解：.「主视图和左视图都是三角形,,此几何体为椎体,••・俯视图是3个三角形组成的大三角形, 该物体的形状是三棱锥.应选：C.【点睛】 此题考查了几何体三视图问题,掌握几何体三视图的性质是解题的关键.10 .由假设干个相同的小正方体摆成的几何体的主视图和左视图均为如下图的图形,那么最 多使用小正方体的个数为( )【答案】C【解析】【分析】 由主视图和左视图可复原该几何体每层的小正方体个数 ^D,三棱柱B. 9个C. 10 个D. 11 个三棱锥A. 8个解：由主视图可得该几何体有3列正方体,高有2层,最底层最多有9个正方体,第二层最多有1个正方体,那么最多使用小正方形的个数为10.应选C【点睛】此题主要考查了空间几何体的三视图,由主视图和左视图确定俯视图的形状,再判断最多的正方体个数.11.如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是〔〕/王视方向【答案】A【解析】【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形,由此观察即可得出答案^【详解】从物体正面观察可得,左边第一列有2个小正方体,第二列有1个小正方体.故答案为：A.【点睛】此题考查三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.12.图甲是由假设干个小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方体中的数字表示在该位置的小正方体的个数,那么这个几何体的主视图是〔〕【解析】【分析】根据主视图的画法解答即可【详解】A.不是三视图,故本选项错误;B.是左视图,故本选项错误；C.是主视图,故本选项正确；D.是俯视图,故本选项错误【解析】【分析】解：根据题意画主视图如下:应选B.考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图.13.如图,这是一个机械模具,那么它的主视图是〔 〕故答案选C.【点睛】此题考查了由三视图判断几何体,解题的关键是根据主视图的画法判断 〔一种小零件〕的两个台阶的高度和宽度相等,那么它的左视图为【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在视图中.【详解】解：从左面看去,是两个有公共边的矩形,如下图：【点睛】此题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.视图中每一个闭合的线 框都表示物体上的一个平面,而相连的两个闭合线框常不在一个平面上.【答案】C【解析】【分析】根据从上面看这个物体的方法,确定各排的数量可得答案.14.如下图的支架15.如图是由七个相同的小正方体堆成的物体 ,从上面看这个物体的图是〔〕D. B.C.【详解】从上面看这个物体,可得后排三个,前排一个在左边,应选：C.【点睛】此题考查了三视图,注意俯视图后排画在上边,前排画在下边.16.如图是某几何体得三视图,那么这个几何体是〔〕A.球B.圆锥C.圆柱D.三棱体【答案】B【解析】分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.解答：解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥.主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥. 应选B.17.以下水平放置的几何体中,俯视图是矩形的为〔〕【解析】【分析】俯视图是从物体上面看,所得到的图形.【详解】A.圆柱俯视图是圆,故此选项错误；B.长方体俯视图是矩形,故此选项正确；C.三棱柱俯视图是三角形,故此选项错误；D.圆锥俯视图是圆,故此选项错误；应选B.【点睛】此题考查了几何体的三种视图,掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图 中.【答案】C【解析】试题解析：A 、的主视图是矩形,故 A 不符合题意;B 、的主视图是正方形,故 B 不符合题意；G 的主视图是圆,故 C 符合题意；D 、的主视图是三角形,故 D 不符合题意；应选C.考点：简单几何体的三视图.【答案】C【解析】【分析】 根据三视图确定该几何体是圆柱体,再计算圆柱体的侧面积.19.如图是一个几何体的三视图〔图中尺寸单位: cm 〕,根据图中所示数据求得这个几 2 B. 12 c cm2D. 8 冗cm 18.下面的几何体中,主视图为圆的是〔【详解】先由三视图确定该几何体是圆柱体,底面半径是2-2= 1cm,高是3cm.所以该几何体的侧面积为2兀*1-36兀〔cm2〕.应选C.【点睛】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积,关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体.D.根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.【详解】解：从左边看是一个矩形,其中间含一个圆,如下图:应选：B.【点睛】此题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图,注意看到的线画实线.。

初三数学：投影与视图知识点归纳一、知识要点1、投影(1)投影:用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影(projection)，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

(2)平行投影:有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。

由平行光线形成的投影是平行投影(parallel projection).(3)中心投影:由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(center projection)。

(4)正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

注:物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。

2、三视图(1)三视图:是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。

将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。

一个物体有六个视图:从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图--能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图--能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图--能反映物体的左面形三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。

(2)特点:一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。

三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。

三视图是从加速度学习网我的学习也要加速三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

二、经验之谈:多读两遍吧!有兴趣的同学可以多画图观察。

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—投影与视图1.掌握平行投影和中心投影的区别和性质；2.根据简单几何体或简单组合几何体判断其三视图；3.掌握立体图形的展开与折叠。

考点1：投影1．投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象．影子所在的平面称为投影面．2．平行投影、中心投影、正投影（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心．【注意】灯光下的影子为中心投影，影子在物体背对光的一侧．等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．【注意】阳光下的影子为平行投影，在平行投影下，同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比．考点2:视图1．视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图．2．三视图：1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图．2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图．3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图．【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．3．三视图的画法1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．【题型1：平行投影与中心投影】【典例1】（2021•绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）A．2m B．3m C．m D．m【答案】A【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴，∴，∴AB＝2（m），故选：A．【变式1-1】（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，灯在纸板上方，∴上面两条边离点光源近，在同一投影面上的影子就长于下方离点光源远的两条边，∴上方投影比下方投影要长，故选：D．【变式1-2】（2020•贵阳）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；故选：C．【题型2：三视图】【典例2】（2023•德州）如图所示几何体的俯视图为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的两边与矩形内部的圆相切．故选：C．【变式2-1】（2023•沈阳）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：此几何体的主视图从左往右分3列，小正方形的个数分别是1，2，1．故选：A．【变式2-2】（2023•枣庄）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下：．故选：C．【变式2-3】（2023•青岛）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；B、选项是主视图，不符合题意；C、选项是右视图，不符合题意；D、选项是左视图，符合题意；故选：D．【变式2-4】（2023•金华）某物体如图所示，其俯视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：该物体的俯视图是：B．故选：B．【题型3：由三视图还原几何体】【典例3】（2023•淮安）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（）A．12πB．15πC．18πD．24π【答案】B【解答】解：由三视图可知此几何体为圆锥，∵d＝6，h＝4，∴圆锥的母线长为＝5，∴圆锥的侧面积为：×6π×5＝15π，故选：B．【典例3-1】（2023•河北）如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至少还需再放这样的正方体（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：平台上至少还需再放这样的正方体2个，故选：B．【变式3-2】（2023•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：根据主视图可知，这个组合体是上、下两个部分组成且上下两个部分的高度相当，上面是长方形，可能是圆柱体或长方体，由左视图可知，上下两个部分的宽度相等，且高度相当，由俯视图可知，上面是圆柱体，下面是长方体，综上所述，这个组合体上面是圆柱体，下面是长方体，且宽度相等，高度相当，所以选项C中的组合体符合题意，故选：C．【变式3-3】（2023•湖北）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥【答案】D【解答】解：根据三视图的知识，正视图和左视图都为一个三角形，而俯视图为一个圆，故可得出这个图形为一个圆锥．故选：D．一．选择题（共8小题）1．用3个同样的小正方体摆出的几何体，从正面看到的形状图如图所示，则这个几何体可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A．从正面看到，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故本选项符合题意；B．从正面看到，是一行两个相邻的小正方形，故本选项不符合题意；C．从正面看到，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不符合题意；D．从正面看到，是一行两个相邻的小正方形，故本选项不符合题意．故选：A．2．下列四个几何体中，从正面看和从上面看都是圆的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、圆柱的主视图是矩形、俯视图是圆，不符合题意；B、圆台主视图是等腰梯形，俯视图是圆环，不符合题意；C、圆锥主视图是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点，不符合题意；D、球的主视图、俯视图都是圆，符合题意．故选：D．3．从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个三角形，∴此几何体为三棱柱．故选：C．4．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（）A．中心投影B．平行投影C．既是平行投影又是中心投影D．不能确定【答案】B【解答】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影．故选：B．5．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，树高与影长的比相等，所以A选项满足条件．故选：A．6．如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（）A．变大B．变小C．不变D．不能确定【答案】B【解答】解：如图所示：当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是变小．故选：B．7．如图是小红在一天中四个时刻看到的一棵树的影子的图，请你将它们按时间先后顺序进行排列（）A．①②③④B．①③④②C．②①④③D．④②①③【答案】D【解答】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③，故其按时间的先后顺序为：④②①③．故选：D．8．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐到地面的距离BC ＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（）A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m【答案】A【解答】解：∵BE∥AD，∴△BCE∽△ACD，∴即＝且BC＝1，DE＝1.8，EC＝1.2∴＝∴1.2AB＝1.8，∴AB＝1.5m．故选：A．二．填空题（共1小题）9．一天下午，小红先参加了校运动会女子200m比赛，然后又参加了女子400m比赛，摄影师在同位置拍摄了她参加这两场比赛的照片，如图所示，则小红参加200m比赛的照片是图2．（填“图1”或“图2”）【答案】图2．【解答】解：图1中的人的影子比较长，所以图1中反映的时间比图2中反映的时间要晚，所以小红参加200m比赛的照片为图2．故答案为图2．三．解答题（共1小题）10．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．从正面、左面、上面观察该几何体，在方格图中画出你所看到的几何体的形状图．（用阴影表示）【答案】见解答．【解答】解：如图所示．一．选择题（共7小题）1．如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（）A．B．4C．2D．【答案】D【解答】解：正六棱柱的底面如图所示，过点A作AH⊥BC于H．由题意得，2AH+BD＝4，∵∠BAC＝120°，AC＝AB，∴∠CAH＝∠BAH＝60°，∴∠ABH＝30°，∴AB＝2AH，∴4AH＝4，∴AH＝1，∴BH＝AH＝，∴a的值为，故选：D．2．如图所示的是由两个长方体组成的几何体，这两个长方体的底面都是正方形，则该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：该几何体的俯视图是．故选：C．3．如图所示是一个由若干个相同的正方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是（）A．5个B．6个C．11个D．13个【答案】A【解答】解：底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有5个小正方体组成，故选：A．4．如图，是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.6m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）A．0.64πm2B．2.56πm2C．1.44πm2D．5.76πm2【答案】C【解答】解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD，∴△OBC∽△OAD∴＝，而OD＝3，CD＝1，∴OC＝OD﹣CD＝3﹣1＝2，BC＝×1.6＝0.8，∴＝，∴AD＝1.2，＝π×1.22＝1.44πm2，∴S⊙D即地面上阴影部分的面积为1.44πm2．故选：C．5．如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（）A．320cm B．395.2cm C．297.9cm D．480cm【答案】C【解答】解：根据题意，作出实际图形的上底，如图：AC，CD是上底面的两边．则AC＝40÷2＝20（cm），∠ACD＝120°，作CB⊥AD于点B，那么AB＝AC×sin60°＝10（cm），所以AD＝2AB＝20（cm），胶带的长至少＝20×6+15×6≈297.8（cm）．所以至少需要297.9cm的胶带故选：C．6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，根据俯视图是两个矩形可判断出该几何体为．故选：D．7．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）A．9πB．6πC．3πD．（3+）π【答案】A【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．∴正三角形的边长＝＝2，∴圆锥的底面圆半径是，母线长是2，∴底面周长为2π∴侧面积为×2π×2＝6π，∵底面积为πr2＝3π，∴这个物体的表面积是9π．故选：A．二．填空题（共3小题）8．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（4，4）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，2），（6，2）．则木杆AB在x轴上的影长CD为12．【答案】见试题解答内容【解答】解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，∵P（4，4），A（0，2），B（6，2）．∴PM＝2，PE＝4，AB＝6，∵AB∥CD，∴＝．∴＝，∴CD＝12，故答案为：12．9．如图，在直角坐标系中，点P（3，2）是一个点光源．木杆AB两端的坐标分别为（2，1），（5，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为6．【答案】6．【解答】解：如图，延长PAPB交x轴分别于点A′、点B′，过点P作PN⊥x轴，交AB于点M，垂足为N，∵点A（2，1），点B（5，1），∴AB＝|2﹣5|＝3，AB∥x轴，∴PN⊥AB，又∵点P（3，2），∴PN＝2，PM＝MN＝1，∵AB∥x轴，∴△PAB∽△PA′B′，∴＝＝，∴A′B′＝2AB＝6，即AB在x轴上的影长为6，故答案为：6．10．航拍器拍出的照片会给我们视觉上带来震撼的体验，越来越受追捧．如图，航拍器在空中拍摄地面的区域是一个圆，且拍摄视角α固定：（1）现某型号航拍器飞行高度为36m，测得可拍摄区域半径为48m．若要使拍摄区域面积为现在的2倍，则该航拍器还要升高（36﹣36）m；（2）航拍器由遥控器控制，与（1）中同型号的航拍器最远飞行距离为距遥控器2000m，则该航拍器可拍摄区域的最大半径为m．（忽略遥控器所在高度）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意：tan＝＝，∵拍摄区域面积为现在的2倍，∴可拍摄区域半径为48m，设航拍器飞行高度为hm，则有tan＝＝，∴h＝36，该航拍器还要升高（36﹣36）m，故答案为（36﹣36）．（2）如图，由题意航拍器在以O为圆心，2000m为半径的圆上运动．航拍器可拍摄区域的最大直径为EE′，此时PE⊥OP，PE′⊥OP′，则有＝，∴OE＝（m），故答案为．三．解答题（共1小题）11．李明在参观某工厂车床工作间时发现了一个工件，通过观察并画出了此工件的三视图，借助直尺测量了部分长度．如图所示，该工件的体积是多少？【答案】17πcm3．【解答】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，底面直径分别是2cm和4cm，高分别是4cm和1cm，∴体积为：4π×22+π×12×1＝17π（cm3）．答：该工件的体积是17πcm3．1．（2023•大庆）一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：从上面看，是一个矩形．故选：A．2．（2023•广州）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体，由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合．故选：D．3．（2023•陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（）A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm【答案】A【解答】解：∵是⊙O的一部分，D是的中点，AB＝24cm，∴OD⊥AB，AC＝BC＝AB＝12cm．设⊙O的半径OA为R cm，则OC＝OD﹣CD＝（R﹣8）cm．在Rt△OAC中，∵∠OCA＝90°，∴OA2＝AC2+OC2，∴R2＝122+（R﹣8）2，∴R＝13，即⊙O的半径OA为13cm．故选：A．4．（2023•牡丹江）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解答】解：根据主视图和左视图可得：这个几何体有2层，3列，最底层最多有3×2＝6个正方体，第二层有1个正方体，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是6+1＝7个；5．（2023•贵州）如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：从正面看到的平面图形为等腰梯形．故选：A．6．（2023•自贡）如图中六棱柱的左视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题可得，六棱柱的左视图是两个相邻的长相等的长方形，如图：．7．（2021•毕节市）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5m．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB⊥BE，CD⊥BE，∴AB∥CD，∴△ECD∽△EAB，∴＝，∴＝，解得：AB＝8.5，答：路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5米，故答案为：8.5．8．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝9.88m．【答案】9.88．【解答】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△DEF，∴，即，解得AB＝9.88，∴旗杆的高度为9.88m．故答案为：9.88．9．（2022•徐州）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝30°．在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【答案】（170+60）cm．【解答】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，则DF＝CD＝90（cm），CF＝CD•cos∠DCF＝180×＝90（cm），由题意得：＝，即＝，解得：EF＝135，∴BE＝BC+CF+EF＝（255+90）cm，则＝，解得：AB＝170+60，答：立柱AB的高度为（170+60）cm．。

北师大版九年级数学上册《投影与视图》知识点归纳北师大版九年级数学上册《投影与视图》知识点归纳1、投影：物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影。

影子所在的平面称为投影面。

中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。

平行投影：太阳光线可以看成平行的光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。

区分平行投影和中心投影：观察光源；观察影子。

眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。

提示：点在一个平面上的投影仍是一个点；线段在一个面上的投影可分为三种情况：线段垂直于投影面时，投影为一点；线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。

平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。

正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。

视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。

在实际生活的工程中，人们通常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图。

这本个视图是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。

三个视图包括：主视图、俯视图和左视图。

主视图：从正面得到的视图。

反映物体的长和高俯视图：从上面视得的视图。

反映物体的长和宽左视图：从左面视得的视图。

反映物体的高和宽提示：在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。

三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。

一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。

视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。

在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。

九年级数学投影知识点人教投影是数学中一个重要的概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。

九年级学生在数学课上也会接触到一些有关投影的知识点，包括投影的概念、投影的性质以及投影在实际问题中的运用等。

下面，我们就来一起探讨一下九年级数学中的投影知识点。

首先，让我们来了解一下投影的概念。

在几何学中，投影是指由一个点沿着特定方向所射出的线或影子在另一个平面上的映射。

投影可以是平行于一个平面的，也可以是垂直于一个平面的。

而在代数学中，投影则是指一个向量在另一个向量上的映射。

这个概念的理解对于后面的学习非常重要。

接下来，我们来探讨一下投影的性质。

首先，投影是单射的，也就是说每一个点或向量都对应唯一一个投影。

其次，投影还有一些重要的特殊情况。

当投影的方向与投影面平行时，投影就是本身。

当投影的方向与投影面垂直时，投影等于零向量。

除了以上的基本性质，投影还有一些重要的运算规则。

例如，对于两个向量的和，它们在一个向量上的投影的和等于它们分别在这个向量上的投影的和。

另外，对于两个向量的数量积，它们在一个向量上的投影的数量积等于它们分别在这个向量上的投影的数量积。

在实际问题中，我们可以运用投影的知识解决一些几何和物理问题。

例如，在测量一个斜坡的高度时，我们可以利用光的投影原理，通过测量斜坡顶部和投影面上的两个点之间的距离，以及光源和测量仪器的距离，计算出斜坡的高度。

又如，在计算斜坡的弧长时，我们可以运用投影的概念，将斜坡的弧长投影到斜坡的高度上，再计算出实际的弧长。

除了上述例子，投影在现实中还有很多应用。

在建筑设计中，我们可以利用投影的概念来绘制三维建筑模型的平面图。

在航空航天领域中，我们可以利用投影的原理，计算卫星轨道的位置和对地面的影响。

总之，投影是数学中一个重要的概念，它在几何和代数学中都有广泛的应用。

九年级学生需要掌握投影的概念、性质和运算规则，并能够将其应用到解决实际问题中。

通过学习投影，学生不仅可以提高数学思维和解决问题的能力，还可以增加对数学的兴趣和理解。

中考数学复习14：投影与视图知识集结知识元投影与视图知识讲解投影与视图、展开图的识别一、视图1．视图：当我们从某个角度观察一个物体时，所看到的图像叫做物体的一个视图.视图也可以看作物体在某个角度的光线下的投影.2．主视图：在正面得到的由前向后观察物体的视图叫主视图.3．俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图.4．左视图：在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图.【注意】画三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等.5．几种常见的几何体的三视图：几何体主视图左视图俯视图【注意】在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的轮廓线通常画成虚线.二、立方体展开图展开图：将一个立体图形适当地剪开后，所展开的平面图形叫做平面展开图1、正方形展开图：第一类：有6种.特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型”第二类：有3种.特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型”第三类：仅有一种.特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型”第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型”三、投影1．投影：物体在光线的照射下，会在地面或墙上留下它的影子，这就是投影现象.2．平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影.3．平行投影的性质：在阳光下，物体的影子随时间的变化而变化，从早晨到正午，影子逐渐变短，从正午到黄昏，影子逐渐变长；物体上的点和影子上的对应点连线互相平行.同一时刻，在太阳光下，互相平行的物体、影长和物长的比相等.4．中心投影：由一点发出的光线形成的投影是中心投影.5．中心投影的性质：物体上的点和影子上的对应点的连线交于一点（光源）.6．视点：眼睛的位置称为视点.7．视线：由视点出发的线称为视线.8．盲区：视线看不到的地方称为盲区.例题精讲投影与视图例1.（2019∙朝阳）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．例2.（2019∙丹东）如图所示的几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，它的俯视图为（）A．B．C．D．例3.（2019∙永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是（）A．B．C．D．例4.（2019∙大连）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．例5.（2019∙陕西）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（）C．D．A．B．例6.（2019∙包头）一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（）A．24 B．24πC．96 D．96π例7.（2019∙贵港）某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．例8.（2019∙东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）C．3 D．3A．3B．例9.（2019∙台州）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．长方体B．正方体C．圆柱D．球例10.（2019∙宜宾）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（）A．10 B．9 C．8 D．7当堂练习单选题练习1.（2018∙鄂州）由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的三视图如下图所示，则这个立体图形可能是（）A．B．C．D．练习2.（2019∙临沂）如图所示，正三棱柱的左视图（）A．B．C．D．练习3.（2019∙自贡）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．练习1.（2011∙枣庄）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是_____．。

九年级数学投影和视图知识点随着科技的发展和社会的进步，我们生活中的许多事物都跟几何形体有关。

为了更好地理解和描述这些物体，我们需要掌握一些数学知识，尤其是关于投影和视图的概念。

一、什么是投影？投影是指将三维空间中的物体沿某个方向投射到二维平面上的过程。

在实际生活中，我们可以用手机或相机拍摄照片，也可以用幻灯机或投影仪将图片或视频投射到屏幕上，这些都是投影。

那么，如何计算物体的投影呢？首先，我们要确定投影的方向和投影面。

然后，通过与投影面垂直的直线或射线与物体的交点，就可以确定物体的投影。

二、什么是正投影和斜投影？在正投影中，物体与投影面垂直，也就是说，投影是垂直于投影面的。

这种投影形式常常出现在我们的日常生活中，比如我们站在墙前，头上的阴影就是一种垂直投影。

而在斜投影中，物体与投影面不垂直，投影是倾斜的。

这种投影形式更贴近我们在屏幕上所看到的图像，比如电视、电影中的画面，都是通过斜投影来展示的。

三、什么是视图？视图是指通过某种角度观察物体所得到的结果。

我们可以从不同的角度观察同一个物体，得到不同的视图。

常见的视图有正视图、侧视图和俯视图。

正视图是指从物体的正面观察，得到的视图。

正视图可以清楚地看到物体的正面形状和细节。

侧视图是指从物体的侧面观察，得到的视图。

侧视图可以清楚地看到物体的侧面形状和细节。

俯视图是指从物体的上方俯视，得到的视图。

俯视图可以清楚地看到物体的顶部形状和细节。

四、如何绘制视图？为了正确地绘制视图，我们需要了解物体的投影。

以正视图为例，可以从俯视图中获取物体在平面上的投影形状和尺寸，然后根据这些投影进行绘制。

首先，我们可以在平面上绘制出物体的投影。

然后，根据投影的形状和尺寸，再根据一定的比例关系，绘制出物体的正面形状和细节。

绘制侧视图和俯视图的方法与此类似，只需根据不同的视角和投影，绘制出对应的视图即可。

五、为什么学习投影和视图？学习投影和视图的目的是为了更好地理解和描述三维空间中的物体。

第32讲 投 影 知识能力解读知能解读（一）投影及相关概念一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫作物体的投影，照射光线叫作投影线，投影所在的平面叫作投影面. 知能解读（二）平行投影与中心投影（1）平行投影：由平行光线形成的投影叫作平行投影.如物体在太阳的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影.（2）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫作中心投影.如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影. 知能解读（三）正投影（1）正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫作正投影.正投影是平行投影的特殊情形.在实际制图时，经常应用投影.（2）线段的正投影：①当线段AB 平行于投影面时，它的正投影11A B AB =； ②当线段AB 倾斜于投影面时，它的正投影22A B AB <； ③当线段AB 垂直于投影面时，它的正投影是一个点. （3）正方形的正投影；①当正方形平行于投影面时，它的正投影与它本身形状、大小一样；②当正方形倾斜于投影面时，它的正投影与它本身形状、大小不无安全一样； ③当正方形垂直于投影面时，它的正投影成为一条线段.（4）当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同. 点评物体证投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关. 知能解读（四）灯光下的影子与太阳光下的影子的区别（1）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；灯光光线是发散的，灯光下的影子与物体的高度不成比例.（2）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子则不一定.（3）灯光是从一点发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；而太阳光是平行光.方法技巧归纳方法技巧（一）投影的区分与识别的方法根据两种物体的影子判断是在灯光下还是在太阳光下的投影，关键是看这两种物体的顶端和其影子的顶端的连线是平行还是相交，若平行则是在太阳光下的投影，若相交则是在灯光下的投影. 点拨若光线是平行的，则是太阳光线，并且影子的方向是一致的；若光线相交于一点，则为灯光的光线.方法技巧（二）看投影时间 注意本题在观察影子的位置变化情况时应注意与地理坐标相结合：上北、下南、左西、右东. 方法技巧（三）确定中心投影的光源识别中心投影，关键看相应的光线位置关系，如果相应光线相交于同一点，这种投影就是中心投影.反过来，我们可以利用这一特点确定中心投影的光源.方法技巧（四）物体正投影的画法平面图形、立体图形的正投影作图是点、线段的正投影作图的综合，因此，平面图形、注意侧棱AB在投影面P上的投影应为A B这这条线段，因为能看到，所以画成实线，不要11画成虚线或漏画.易混易错辨析易混易错知识平行投影与中心投影.平行投影是物体在太阳光线照射下形成的投影，其特征是形成影子的光线是平行的；中心投影是物体在灯光照射下形成的投影，其特征是形成影子的光线交于一点.易混易错（一）不能正确表示太阳光线致错易混易错（二）混淆中心投影与平行投影致错中考试题研究中考命题规律本讲在中考中主要考查平行投影与中心投影的识别及应用，通常以填空题、选择题的形式出现.中考试题（一）平行投影的应用中考试题（二）中心投影的应用知识能力解读知能解读（一）试图的概念及特点（1）视图：当我们从某一个方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫作物体的一个视图.视图可以看作是物体在某一方向光线下的正投影机.（2）三视图：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的平面叫作正面，下方的平面叫作水平面，右边的平面叫作水平面，右边的平面叫作侧面.一个物体在三个投影面内分别进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫作主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫作俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫作左视图.将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的三视图.三视图中，主视图与俯视图可以表示同一个物体的长，主视图和左视图可以表示同一个物体的高，左视图与俯视图可以表示同一个物体的宽.画三视图时，三个视图都要放在正确的位置上（主视图在左边，它的正下方是俯视图，左视图在主视图的右边），并注意：主视图与俯视图的长对这正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等.画图时还规定：看的见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线化成虚线.注意画立体图形时要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，于点一般的立体图形要先仔细观察和想象，再画它的三视图.知能解读（四）由视图到立体图形由视图现象实物时不像由实物到视图那样唯一确定，要借助于三个视图综合分析、想象，仅仅一个方向的视图只能了解物体的部分信息.由一个视图往往可以想象出多种形状的物体，根据视图只能描述物体的形状.注意三个视图的作用：由视图描述物体的形状，三个视图可以提供不同的信息.（1）主视图：由主视图可以分清物体的长和高，主要提供正面的形状.（2）左视图：由左视图可以分清物体的高和宽.（3）俯视图：由俯视图看不出高度，这一点认识很重要.由俯视图可以分清物体的长和宽.方法技巧归纳方法技巧（一）三视图的识别在识别时一是要认识常见几何体的三视图，二是要有空间想象能力，三是要善于观察生活中的物体.点拨掌握集中简单几何体的三视图是画几何体的视图的基础.日常生活中看到的很多物体，它们的形状不很规则，但是它们一般可以看作是由一些基本几何体（棱柱、棱台、棱锥、圆柱、圆台、圆锥、球等）组合或切割而成的.方法技巧（二）三视图的画法三视图的具体画法：（1）确定主观视图的位置，画出主视图；（2）在主观视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；（3）在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.注意画立体图形的三视图时，一是注意三视图的位置；二是避免斜视几何体.方法技巧（三）由三视图还原立体图形的方法由三视图描述几何体，一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体的形状，再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个面的尺寸.点拨由三视图来判断实际几何体的形状时，关键在于找到三视图之间的关系以及对一些简单几何体三视图的熟练掌握.方法技巧（四）由三视图求几何体的表面积的方法由三视图求几何体的表面积时，首先要根据三视图描述几何体（或画出表面展开图），再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系和轮廓线的位置确定各条线段的尺寸，然后应面积公式求出表面积.点拨由三视图求几何体的表面积关键是确定几何体的形状.技巧方法（五）根据视图判断小正方体的个数由三视图判断几何体的形状，首先，分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，再综合起来考查.点拨主视图表示几何体的上、下、左、右，俯视图表示几何体的左、右、前、后，左视图表示几何体的上、下、前、后，据此可判断搭建一个几何体所需要的正方体的个数.易混易错辨析易混易错知识画视图时虚线与实现混淆.在三视图中，看不到的轮廓线要求画成虚线，同学们容易疏忽而将其画成实线.易混易错（一）由三视图还原立体图形时因忽视其中的条件而致误易混易错（二）画视图时将看不见的棱画成实线而致误中考试题研究中考命题规律本讲在中考中主要考查基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球等）的三视图，会判断简单物体的三视图，会利用空间想象能力作图或识图，通常以选择题、填空题的形式出现. 中考试题（一）判断物体的三视图中考试题（二）由三视图判断几何体中考试题（三）利用三视图计算。