高中数学必修三：概率与统计

高中必修三数学统计教案
主题：统计学概述
目标：学生能够了解统计学的基本概念和应用，并掌握一些基本的统计方法。

一、引入
通过实例引入统计学的概念，让学生了解统计学在日常生活中的重要性。

二、概念介绍
1.统计学的定义和作用：统计学是研究数据收集、整理、分析和解释的一门学科，是现代科学和社会科学中不可或缺的工具。

2.统计学的基本概念：总体、样本、抽样、数据等。

三、常用统计方法
1.描述统计方法：平均数、中位数、众数等。

2.概率统计方法：频率分布、概率分布、期望值等。

3.推断统计方法：参数估计、假设检验等。

四、练习
1.实例分析：通过实例让学生掌握如何应用统计方法进行数据分析。

2.练习题：让学生做一些实践练习，巩固所学的统计方法。

五、总结
总结本节课的内容，强调统计学的重要性，并展望后续学习内容。

六、作业
布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。

七、扩展
介绍一些统计学在现代科学研究和社会应用中的具体案例，激发学生对统计学的兴趣和好奇心。

注：此为一份简单的高中必修三数学统计教案范本，具体教学内容和方法可根据教学需求进行调整和改进。

概率统计通过上节课的学习，我们已经知道分布列实际是一种函数，确切的说是一种离散型的函数，所谓的分布列的表格就是列表法表示函数.比如我们可以类似于连续函数做出离散型函数的函数图象.如上一讲中的例6，我们知道它的分布列为：X0 1 2 3 4 5P136 112 19 13 19 13于是，我们可以根据分布列画出函数的图象.考点1：二点分布1.如果随机变量X 的分布列为X 1 0P p 1p -其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布．二点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．【举例】两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等，都可以用二点分布来研究.老师可以以下边的例子讲 解两点分布，让学生从直观上理解二点分布．屋子里关着一只鸟，这只鸟要从窗户飞出去，屋子里有三扇窗户，只有一个是开着的，剩下两个有玻璃，不过这只鸟的眼神不是特别好，看不清哪个是开着的．于是，他会随机的挑选一个撞过去，那么成功率就是13.随机变量X 为这只鸟从窗户飞出去的结果，成功定义为1，失败定义为0，则X 的分布列满足二点分布．X 1 0P1323知识点睛543210PX2.二点分布的期望与方差：若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则()()101E X p p p =⨯+⨯-=；()()()()()221011D X p p p p p p =-⋅+-⋅-=-【教师备案】二点分布严格定义是01-分布，不过实际上二点分布的模型可以应用于自然界所有“只有两种情况”的情况.比如：我们高考考北大，我们可以把考上定义为1，没考上定义为0，这样就可以写出一个二点分布的分布列．我们可以以这个分布列来估计考上北大的可能性，进而决定我们如何报考．这里会有一个比较有意思的问题：在什么情况下我们会比较纠结呢？直观的看，假设我们考上的概率是40%，考不上的概率是60%，我们就会侧重于不报考；如果考上的概率60%，考不上的概率是40%的话，我们就会考虑报考.但是如果我们发现考上的概率是50%的话，就彻底纠结了．这个时候其实我们最靠谱的办法是掷硬币……从数学的角度分析，这件事非常简单，我们知道二点分布的方差是()1p p -，由均值不等式很容易得出当12p =的时候，方差最大，也就是结果的波动性最大.此时我们是最没有办法估计结果的．【例1】 二点分布从装有6只白球和4只红球的口袋中任取1只球，用X 表示“取到的白球个数”，求随机变量X 的分布列及期望与方差．【解析】 由题意知()420645P X ===+，()631645P X ===+，故随机变量X 的分布列为()205P X ==，()315P X ==，概率分布表如下：X 0 1 P2535()35E X =，()2365525D X =⨯=．考点2：超几何分布1.超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn N P X m --==(01m l =，，，，l 为n 和M 中较小的一个 )．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．2.超几何分布的期望与方差：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布， 则()nME X N=；()11nM M N n D X N N N -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭． 【举例】可以继续延续之前那个鸟的例子，假设现在屋子里有100扇窗户，其中有10扇窗户是打开的，现在鸟不傻知识点睛经典精讲了，不过眼神依然不好.他现在决定尝试20次（否则可能撞的次数太多给撞死了），并且撞过的窗户不再去撞了，记录结果，统计一下有多少次能出去.这就是超几何分布，从模型角度讲，超几何分布就是“无放回”的抽取.超几何分布的典型例子就是生物学上的标记重捕法．先标记种群内的一部分个体，放回后再次捕捉，统计含有标记的数量，来估计总数，这实际是利用了超几何分布的期望的直观意义．【教师备案】老师在讲完超几何分布后，就可以让学生做例2，例2主要是让学生写超几何分布的分布列，关键是让学生从题目上就可以看出是超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式就可以很快写出分布列；然后老师就可以继续讲超几何分布的期望与方差，对于超几何的期望和方差，老师可以只介绍期望公式，方差的公式太麻烦了，所以不建议给学生讲解，而且期望的公式推导过程也不要求，只需让学生记住就行了．讲完期望公式后，就可以让学生做例3，例3主要是套公式，学生会发现，对于超几何分布求期望用公式也非常快．【例2】 求超几何分布的分布列一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球， ⑴ 求其中红球个数的分布列 ⑵ 求其中白球个数的分布列．【追问】从红球的分布列和白球的分布列你能看出X 和Y 的取值之间有什么关系？【解析】 ⑴ 记X 表示“取出4个球中红球的个数”，则X 服从参数为1044，，的超几何分布．∴0446410C C 1(0)C 14P X ⋅===，1346410C C 8(1)C 21P X ⋅===，2246410C C 3(2)C 7P X ⋅===， 3146410C C 4(3)C 35P X ⋅===，4046410C C 1(4)C 210P X ⋅===． ∴X 的分布列为：X0 1 2 3 4 P114821 37 435 1210⑵ 记Y 表示“取出4个球中白球的个数”，则Y 服从参数为1064，，的超几何分布．∴4046410C C 1(0)C 210P Y ⋅===，3146410C C 4(1)C 35P Y ⋅===， 2246410C C 3(2)C 7P Y ⋅===，1346410C C 8(3)C 21P Y ⋅===，0446410C C 1(4)C 14P Y ⋅===， ∴Y 的分布列为： Y0 1 2 3 4 P1210435 37 821 114【追问】4X Y +=，故(0)(4)(1)(3)P X P Y P X P Y ======，，．提高班学案1【铺1】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题，规定每次考试经典精讲都从备选题中随机抽出5题进行测试，求他答对题数的期望．【解析】 设答对的试题数为ξ，则ξ服从参数为1065，，的超几何分布，因此由公式知他答对题数的期望为()56310E ξ⨯==．【例3】 求超几何分布的期望一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个、黑球3个，现在从中随机摸出3个球． ⑴求摸到红球个数ξ的概率分布列和数学期望； ⑵求摸到黑球个数η的概率分布列和数学期望．【解析】 ⑴ 摸到红球的个数ξ为离散型随机变量，且ξ服从8N =，5M =，3n =的超几何分布，ξ可能取值为0123，，，．于是有()35338C C C m mP m ξ-==． ()035338C C 10C 56P ξ===，()125338C C 151C 56P ξ===， ()215338C C 152C 28P ξ===，()305338C C 53C 28P ξ===． 所以摸到红球个数的分布列为ξ 0 1 23 P156 **** **** 528 ∴()88E ξ==．⑵ 摸到黑球的个数η为离散型随机变量，且η服从8N =，3M =，3n =的超几何分布，η可能取值为0123，，，．于是有()33538C C C m m P m η-==． ()033538C C 50C 28P η===，()123538C C 151C 28P η===， ()213538C C 152C 56P η===，()303538C C 13C 56P η===． η 0 1 23 P528 1528 1556 156 ∴()88E η==．【点评】 解题的关键是能够判断所给问题属于超几何分布模型．尖子班学案1【拓2】 盒中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球个数的期望和方差． 【解析】 设取出白球个数为ξ，则ξ服从参数为532，，的超几何分布，ξ的可能取值为012，，．因此，()32 1.25E ξ⨯==，()()()()2221330 1.21 1.22 1.20.3610510D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．目标班学案1【拓3】 某人可从一个内有2张100元，3张50元的袋子里任取2张，求他获得钱数的期望值． 【解析】 方法一：设他取得100元的张数为X ，则X 服从参数为522，，的超几何分布．021120232323222555C C C C C C 361(0)(1)(2)C 10C 10C 10P X P X P X =========，，． 012X =，，时他所获得的钱数分别为100150200，，．因此他获得钱数的期望值为：100(0)150(1)200(2)140P X P X P X ⨯=+⨯=+⨯==元．方法二：设他取得100元的张数为X ，则X 服从参数为522，，的超几何分布．由公式知()22455E X ⨯==．因此他获得钱数的期望值为：4410050214055⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭元．考点3：二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率p 相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列X 01… k… nP00C nn p q111C n n p q- …C k k n kn p q- …C n n n p q称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．3．二项分布的期望与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则 ()E X np =，()D X npq =(1)q p =-．【教师备案】学生没学过二项式定理，所以期望和方差的推导了解即可． 【教师备案】设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，由X 的分布列()C k k n kn P X k p q-==，0k =，1，2，…，n 和数学期望的定义式得到 00111222()0C 1C 2C C C n n n k k n kn n n n n n n E X p q p q p qk p qn p q ---=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯00111211(1)(1)1101111(C C C C )n n k k n k n n n n n n np p q p q p q pq -------------=⋅+++⋅++ 1()n np p q np -=+=，所以()E X np =． ∴()()220202C(1)C C (1)C nnnnii n ii in ii in ii i n i nnnn i i i i E Xi p qi i p qi p qi i p q E X ----======-+=-+∑∑∑∑()222(2)(2)22(1)Cni i n i n i n n pp qE X ------==-+∑()22(2)2(1)Cn j j n j n j n n pp q E X ----==-+∑()()2222(1)()(1)(1)n n n p p q E X n n p E X n n p np -=-++=-+=-+，知识点睛∴()()()22222()(1)()D X E X E X n n p np np np np npq =-=-+-=-=． 故()D X npq =．【举例】老师可以以二点分布知识点睛中的【举例】继续引申，从而让学生更直观的理解二项分布.现在假设这只鸟比较傻，每次都记不住上次的结果，那么这只鸟就可能需要不停的重复进行撞玻璃的操作，每次的成功率都是13.这种独立重复试验就可以用二项分布的模型来研究．从直观意义上来讲，二项分布可以看做是多个二点分布重复出现的结果.从模型角度讲，二项分布实际是“有放回”抽取的模型.对于二项分布的期望和方差，我们一样可以有直观意义.二项分布的期望指的是平均成功次数，而方差是随着次数的增多而增加，相比于二点分布，在同样的试验次数下，二项分布也是在12p =时方差最大，也就是结果最不稳定．【教师备案】老师在讲完二项分布后，就可以让学生做例4，例4主要是让学生写二项分布的分布列，关键是让学生从题目上就可以看出是二项分布，然后根据二项分布的概率公式就可以很快写出二项分布列；然后老师就可以继续讲二项分布的期望与方差，讲完期望与方差公式后，就可以让学生做例5，例5主要是套公式，学生会发现，对于二项分布求期望和方差用公式非常快，这时就不需要用上一讲讲的期望和方差最原始的公式了．提高班学案2【铺1】 某一学校心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问 该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列． 【解析】 3个人各做一次试验，看成三次独立重复实验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数ξ，故符合二项分布．由题意可知：3~34B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以3331()C 44kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0k =，1，2，3．ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P16496427642764【例4】 求二项分布的分布列一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．设ξ为这名学生在途中遇到的红灯次数，求ξ的分布列．【解析】 将遇到每个交通岗看做一次试验，遇到红灯的概率都是13，且每次试验结果相互独立，故1~63B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．所以ξ的分布为6612()C (0126)33k kk P k k ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，． ξ0 1 2 3 4 5 6 P64729 64243 80243 160729 20243 4243 1729提高班学案3经典精讲【铺1】 设()~B n p ξ，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，试求n p ，的值． 【解析】 因为()~B n p ξ，，所以()E np ξ=，()()1D npq np p ξ==-由题意可得方程组 ()2.41 1.44np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得0.46.p n =⎧⎨=⎩，【例5】求二项分布的期望某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． ⑴ 任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵ 任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．【解析】 ⑴ 任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是： 1()()()0.40.250.1P P A B P A P B =⋅=⋅=⨯=．所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=．⑵ 因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布(30.9)B ，．33()C 0.90.1k k k P k ξ-==⨯⨯，0123k =，，，．3(0)0.10.001P ξ===；2(1)30.90.10.027P ξ==⨯⨯=； 2(2)30.90.10.243P ξ==⨯⨯=；3(3)0.90.729P ξ===；ξ 012 3 P0.001 0.0270.243 0.729∴ξ的期望是30.9 2.7E ξ=⨯=．尖子班学案2【拓2】 某厂一批产品的合格率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算：⑴ 抽出的10件产品中平均有多少件正品；⑵ 计算抽出的10件产品中正品数的方差和标准差．【解析】 用X 表示抽得的正品数，由于是有放回地随机抽样，所以X 服从二项分布()100.98B ，． ⑴ 利用二项分布的期望公式得到()100.989.8E X =⨯=．平均有9.8件正品； ⑵ X 的方差()100.980.020.196D X =⨯⨯=，标准差()0.196D X σ．目标班学案2【拓3】 一份数学模拟试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每题选得正确答案得4分，不做选择或选错不得分，满分100分．张强选对任一题的概率为0.8，求他在这次数学测验中的成绩的期望． 【解析】 张强在数学测验中选择了正确答案的选择题的个数服从二项分布()~250.8X B ，，其数学期望有简便算法．设张强做对选择题的个数为X ，则()~250.8X B ，， 所以()250.820E X np ==⨯=．因为答对每题得4分，所以张强在这次数学测验中的成绩为4X ，其成绩的期望值为()()4442080E X E X ==⨯=．【点评】 本题中，利用二项分布的均值公式()E X np =快速地求出所求的期望值，当n 的值越大时，这一公式更加显得威力无比，因此我们要熟练掌握这一公式，并能灵活地运用它，在运用时，需要注意的是，只有随机变量X 服从二项分布时，才能运用该公式来求均值．考点4：综合运用【教师备案】老师在讲完上一讲的离散型随机变量和本讲前边的典型分布以后，学生对离散型随机变量都有了很明确的认识，所以这时候就可以让学生做一下下边的综合题，让学生再巩固一下离散型随机变量的分布列、期望和方差．【例6】 综合运用甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23． ⑴ 记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望()E ξ与方差()D ξ； ⑵ 求乙至多击中目标2次的概率；⑶ 求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【解析】 ⑴ ()303110C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()313131C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()323132C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()333113C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．ξ的概率分布如下表：ξ 0 1 23 P18 38 38 18 ()13310123 1.58888E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或()13 1.52E ξ=⨯=）()1133224D ξ=⨯⨯=；⑵ 乙至多击中目标2次的概率为3332191C 327⎛⎫-= ⎪⎝⎭．⑶ 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件1B ，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件2B ，则12A B B =+，1B 、2B 为互斥事件．()()()12311218278924P A P B P B =+=⋅+⋅=．所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124．尖子班学案3【拓2】 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，……，6），求： ⑴ 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； ⑵ 甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望． 【解析】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．⑴ 设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由古典概经典精讲型的概率计算公式得()2326C 14()111C 55P A P A =-=-=-=．⑵ ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且()26510C 3P ξ===，()26441C 15P ξ===，()26312C 5P ξ===，()26223C 15P ξ===，()26114C 15P ξ===从而知ξ有分布列 ξ 0 12 3 4 P13 415 15215 115所以，()14121401234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．目标班学案3【拓3】 甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们独立的射击两次，设甲、乙命中10环的次数分别为X 、Y ，则4()3E Y =．ξ为甲与乙命中10环的差的绝对值．求ξ的期望．【解析】 由已知可得~(20.5)~(2)X B Y B s ，，，，故4()23E Y s ==，所以23s =．||X Y ξ=-，ξ的取值可以是012，，．(0)()(0)(1)(2)P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ======+==+==甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是22111(0)2336P X Y ⎛⎫⎛⎫===⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是112211122(1)C C 22339P X Y ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是222222121(2)C C 239P X Y ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以12113(0)369936P ξ==++=； (2)(||2)(02)(20)(0)(2)(2)(0)P P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ξ==-====+=====+==，，甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是：222022111(2)(0)C C 2336P X P Y ⎛⎫⎛⎫===⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是：220222121(0)(2)C C 239P X P Y ⎛⎫⎛⎫===⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以115(2)36936P ξ==+=，因此1(1)1(0)(2)2P P P ξξξ==-=-==ξ的期望是157()22369E ξ=+⋅=．【例7】 综合运用袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等． ⑴ 求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；⑵ 用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和期望．【追问】用Y 表示取出的3个小球上所标的最小数字，Y 的分布列与期望是否可以直接看出来？【解析】 ⑴ “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则31114333312C C C C 27()C 55P A ⋅⋅⋅==． ⑵ 由题意X 所有可能的取值为1，2，3，4．31211(1)C 220P X ===；1221333333312C C C C C 19(2)C 220P X ⋅+⋅+===； 2112363633312C C C C C 6416(3)C 22055P X ⋅+⋅+====； 2112393933312C C C C C 13634(4)C 22055P X ⋅+⋅+====． 所以随机变量X 的分布列为X1 2 3 4P1220 19220 1655 3455随机变量X 的期望为()11916341551234220220555544E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【追问】(4)(1)(3)(2)(2)(3)(1)(4)P Y P X P Y P X P Y P X P Y P X ============，，，故Y 的概率分布与上述X 的分布正好有关系，如直接由X 的分布列得到：X 1 2 3 4P3455 1655 19220 1220且()()5E X E Y +=．从而15565()54444E Y =-=．设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一胜队，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假定A 、B 在每场比赛中获胜的概率都是12，需要比赛场数的期望是__________．【解析】 5.8125 【思路】随机变量ξ表示比赛场数，根据题意：“有一队胜4场比赛才宣告结束”，故ξ的取值应是4，5，6，7，把一次比赛看作一次试验，故n 场(4567)n =，，，比赛视为n 次独立重复试验．4ξ=表示甲胜4场或乙胜4场，且两两互斥．所以44411(4)2C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．5ξ=表示甲队第5场胜且前4场中胜3场，或乙队第5场胜且前4场中胜3场．所以44334411111(5)C C 22224P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类似地，55335511115(6)C C 222216P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，66336611115(7)C C 222216P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11比赛场数ξ的分布列为：ξ4 5 6 7 P18 14 516 516所以()11557593456713 5.812584161641616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=+⨯==．这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均进行6场比赛才能决出胜负．【错因分析】本题若审题不严，对比赛规则搞不清楚，弄不清随机变量的取值，则会出错．【演练1】从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，则随机变量ξ的方差为（ ）A ．65B ．1825C ．625D ．18125【解析】 B ；2~35B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴()231835525D ξ=⨯⨯=．【演练2】设有产品12件，其中有次品3件，正品9件，现从中随机抽取3件，求抽得次品件数ξ的分布列． 【解析】 从12件产品中随机抽取3件，抽得次品件数ξ是一个离散型的随机变量，它的取值可能是0、1、2、3．依题意，随机变量ξ（次品件数）服从超几何分布，所以，从12件产品中抽取3件，其中有k 件次品的概率为339312C C ()(0123)C k kP k k ξ-⋅===，，，． ∴0339312C C 21(0)C 55P ξ⋅===，1239312C C 27(1)C 55P ξ⋅===， ∴2139312C C 27(2)C 220P ξ⋅===，3039312C C 1(3)C 220P ξ⋅===， ∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3 P2155 2755 27220 1220【演练3】设在15个同类型的零件中有两个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数，求ξ的期望()E ξ和方差()D ξ．【解析】 ()313315C 220C 35P ξ===，()12213315C C 121C 35P ξ===，()21213315C C 12C 35P ξ===．故ξ的分布列是：ξ 01 2 P22351235 135实战演练12()2212120123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=，（ξ满足参数为1523，，的超几何分布，故232()155E ξ⨯==）()2222222122152012535535535175D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【演练4】有一批数量很大的商品次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求()E ξ，()D ξ．【解析】 因为商品数量相当大，抽200件商品可以看做200次独立重复试验，所以()~2001%B ξ，，因为()E np ξ=，()D npq ξ=，这里200n =，1%p =，99%q =，所以，()2001%2E ξ=⨯=，()2001%99% 1.98D ξ=⨯⨯=．【演练5】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12．⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵ 用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望()E ξ． 【解析】 ⑴ 设A 表示事件“3人各投篮1次，3人都没有投进”，1B 表示“甲投进”，2B 表示事件“乙投进”，3B 表示事件“丙投进”，则()()()()12312111113525P A P B P B P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=--⋅-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．⑵ ξ的可能取值为0123，，，，则()332705125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121323541C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ()212323362C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()333283C 5125P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭． ξ分布列为ξ的数学期望为()0123 1.2125125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．（或26()355E ξ=⨯=）大千世界：排球单循环赛，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍． 求证：冠军是一支南方球队．（注：每场比赛获胜队得1分，负队得0分） 【解析】 设北方球队共有x 支，则南方球队有9x +支，所有球队总得分为229(29)(28)C (29)(4)2x x x x x +++==++．由题意，南方球队总得分为9(29)(4)10x x ++，北方球队总得分为1(29)(4)10x x ++，南方球队内部比赛总得分29C x +，北方球队内部比赛总得分为2(1)C 2xx x -=， 由于北方球队总得分不少于北方球队内部比赛总得分，故 (29)(4)(1)02x x x x ++--≥．111693x +<=．13因为1(29)(4)10x x ++为整数，所以6x =或8x =． ①当6x =时，所有球队总得分为229C (29)(4)210x x x +=++=．南方球队内部比赛总得分9(29)(4)18910x x ++=，北方球队总得分为21018921-=．南方球队内部比赛总得分29C 105x +=，北方球队内部比赛总得分为26C 15=． 北方胜南方得分21156-=，北方球队最高得分5611+=，因为1115165189⨯=<，所以南方球队中至少有一支得分超过11分．故冠军在南方球队中．②当8x =时，所有球队总得分为229C (29)(4)300x x x +=++=，南方球队总得分为9(29)(4)27010x x ++=，北方球队总得分为30027030-=．南方球队内部比赛总得分29C 136x +=，北方球队内部比赛总得分28C 28=．北方胜南方得分30282-=，北方球队最高得分729+=，因为917153270⨯=<，所以南方球队中至少有一支得分超过9分，故冠军在南方球队中． 综上所述，冠军是一支南方球队．。

小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学必修3-第12章：概率初步-知识点
1、①概率：事件发生的 可能性大小 ；②随机现象：具有 不确定性 的现象；③随机试验：可随意重复 的实验。

2、样本空间：一个随机实验中所有可能出现的结果 所组成的集合 ，用Ω 表示。

其中的元素称为 基本事件 或者 样本点 ，事件是样本空间的 子集 。

3、常见的三种事件：①必然发生的 必然 事件，②必然不发生的不可能 事件，③可能发生也可能不发生的 不确定 事件，也叫 随机 事件。

4、古典概率模型：①包含 有限个 基本事件，②每一个事件的发生都 等可能 。

古典概率中，随机事件A 发生的概率P （A ）= 总个数样本空间中基本事件的中的基本事件个数
事件A 。

5、事件的相互关系：若事件A 发生，事件B 必发生，则A 是B 的子集 ，表示为
6
7
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件是否相互独立。

12。

统计与概率的关系统计与概率是数学中两个重要的概念，它们有着紧密的关系。

统计是通过对已有的数据进行收集、整理和分析，从中得出结论或推断的一门学科。

而概率则是用来描述事件发生的可能性的一种数学工具。

在实际生活和科学研究中，统计与概率常常相互依存，相互补充，共同帮助我们理解和解决问题。

统计与概率之间的关系体现在统计学中的概率论部分。

概率论是研究随机现象的数学理论，它是统计学的理论基础之一。

通过概率论，我们可以计算事件发生的可能性，从而对未知的事物进行预测和推断。

例如，我们可以通过概率论来计算掷骰子时每个点数出现的概率，或者计算在一批产品中出现次品的概率。

这些概率计算是统计学中常用的方法，可以帮助我们做出合理的决策。

统计与概率之间的关系还体现在统计推断中。

统计推断是通过对样本数据进行分析和推断，来对总体特征进行估计的方法。

在进行统计推断时，我们需要根据样本数据的分布情况，结合概率论的知识，对总体参数进行估计。

例如，在进行调查时，我们可以通过对一部分人的调查结果进行统计推断，来估计整个人群的特征。

这其中就涉及到了概率论中的概率分布和抽样分布等知识。

统计与概率的关系还可以从实际问题的解决中得到体现。

在现实生活中，我们经常需要通过统计和概率来解决问题。

例如，在医学研究中，我们可以通过统计方法来分析一种药物的疗效，或者预测某种疾病的发生概率。

在金融领域，我们可以通过统计方法来分析股票的涨跌概率，或者估计某种投资产品的风险。

在工程领域，我们可以通过统计方法来分析产品的可靠性，或者预测设备的寿命。

这些实际问题的解决都离不开统计与概率的知识和方法。

统计与概率是数学中两个紧密相关的学科，它们相互依存，相互补充，共同帮助我们理解和解决问题。

统计通过对已有数据的收集和分析，可以得出结论和推断；概率则是描述事件发生可能性的数学工具。

统计与概率在统计学中的概率论部分以及统计推断中起着重要的作用，并在实际问题的解决中得到广泛应用。

概率统计１．必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0<P(A)<1。

2.等可能事件的概率：（古典概率）P(A)=nm 理解这里m 、ｎ的意义。

互斥事件（A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生，这时P(A •B)=０）P(A+B)=P （A ）+ P(B) 对立事件（A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生。

这时P(A •B)=０）P （A ）+ P(B)＝１独立事件：（事件A 、B 的发生相互独立，互不影响）P(A •B)＝P(A) • P(B)独立重复事件（贝努里概型）P n (K)=C n k p k (1－p)k 表示事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k ．次．的概率。

P 为在一次独立重复试验中事件A 发生的概率。

特殊：令k=0 得：在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为．．．．．．．．P n(０)=C n 0p 0(1－p)n=(1－p)n令k=n 得：在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为．．．．．．．．P n (n)=C n n p n (1－p)0 =p n3.统计总体、个体、样本、，样本个体、样本容量的定义；抽样方法：1简单随机抽样：包括随机数表法，标签法；2系统抽样 3分层抽样。

样本平均数：∑==+⋯+++=ni i n x n x x x x n x 13211)(1 样本方差：S 2 =n1[(x 1－x )2+(x 2－x )2+ (x 3－x )2+…+(x n －x )2] 样本标准差：s=2S 作用：估计总体的稳定程度理解频率直方图的意义，会用样本估计总体的期望值和方差，用样本频率估计总体分布。

人教版高中数学必修三第三章统计3.1.1《随机事件的概率》要点梳理【学习目标】在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．【要点梳理·夯实知识基础】12.频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中______________为事件A出现的频数，称______________________为事件A 出现的频率．[答案]事件A出现的次数nA 事件A出现的比例fn(A)＝nAn3．概率(1)含义：概率是度量随机事件发生的________的量.(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于________，因此可以用__________来估计概率P(A)．[答案](1)可能性(2)概率P(A) 频率fn(A)【考点探究·突破重点难点】考点一：事件类型的判断1.下列事件:①明天下雨;②3>2;③航天飞机发射成功;④x∈R,x2+2<0;⑤某艘商船遭遇索马里海盗;⑥任给x0∈R,x0+2=0.其中随机事件的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:D2.下列说法正确的是()A.某人购买福利彩票一注,中奖500万元,是不可能事件B.三角形的两边之和大于第三边,是随机事件C.没有空气和水,人类可以生存下去,是不可能事件D.科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现,是必然事件答案:C3.从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后,从中一次随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到,这件事情()A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生答案:D解析:∵若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张,一定还有1张黑桃;若抽出了全部的梅花与黑桃共7张,则还会有3张红桃;若抽出了全部的红桃与黑桃共8张,则还会有2张梅花;∴这个事件一定发生,是必然事件.考点而：试验的结果分析4.下列命题中正确的个数是()①先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果为正面,正面;正面,反面;反面,反面,共计3种.②从12个同类产品(其中10个是正品,2个次品)中,任意抽取3个产品的每一个结果中一定含有正品.③某地举行运动会,从来自A学校的a,b志愿者中选一人,从来自B学校的c,d,e志愿者中选一人共2人为体操馆服务,则有ac,ad,ae,bc,bd,be,共6种选法. A.0 B.1 C.2 D.3答案:C解析:①中应该有4个结果,即正面,正面;正面,反面;反面,正面;反面,反面.故①不正确.②③正确.5.先后投掷2枚均匀的一分、二分的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则包含3个试验结果的是()A.至少一枚硬币正面向上B.只有一枚硬币正面向上C.两枚硬币都是正面向上D.两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上答案:A解析:“至少一枚硬币正面向上”包括“一分正面向上,二分正面向上”,“一分正面向上,二分正面向下”,“一分正面向下,二分正面向上”3种试验结果.6.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).(1)写出这个试验的所有结果.(2)“x+y=5”包含的结果有哪些?“x<3且y>1”呢? (3)“xy=4”包含的结果有哪些?“x=y ”呢?解:(1)结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)“x+y=5”包含的结果为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).“x<3且y>1” 包含的结果为(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4). (3)“xy=4”包含的结果为(1,4),(2,2),(4,1). “x=y ”包含的结果为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4). 考点三：随机事件的频率与概率7.下列说法:①频率反映的是事件发生的频繁程度.概率反映的是事件发生的可能性大小;②做n 次随机试验,事件A 发生m 次,则事件A 发生的频率nm就是事件A 的概率;③频率是不能脱离具体的n 次的试验值,而概率是确定性的,不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确说法的序号是 . 答案:①③④解析:由频率及概率的定义可知①是正确的.在②中,nm是事件A 发生的频率,虽然概率是与频率接近的一个常数,但是概率不一定等于频率,故②是错误的.由概率的定义知③④是正确的.8.在抛掷骰子的游戏中,将一枚质地均匀的骰子抛掷6次,对于点数4的出现有下列说法:①一定会出现;②出现的频率为61;③出现的概率是61;④出现的频率是32.其中正确的是 . 答案:③9.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布:经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):(1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以下.解:由题意知总人数为40+200+400+100+40+20=800.则选修李老师高等数学的学生考试成绩在90分以上,60~69分,60分以下的频率分别为80040＝201；800100＝81；80060＝403.用以上信息估计王小慧得分的概率情况如下:(1)“得90分以上”的概率为201,(2)“得60~69分”的概率为81,(3)“得60分以下”的概率为403.[3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.32.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .45.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.517.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2%12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确B.错误C.不一定D.无法解释二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .15.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 .18.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .三、解答题19.从含有两个正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A对应的结果.20.对一批U盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘?21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测解答一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.3答案:A2.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 答案:D解析:三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边.3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定答案:B4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案:B解析:①为必然事件;④为不可能事件. 5.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边 答案: C6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.51答案:B7.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 答案:B解析:从A ,B ,C ,D ,E 五人中选2人,不同的选法有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E )共10种.8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个答案: C9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A解析:①错误;②出现正面的概率为21,故错误;③频率与概率不是一回事,故错误. 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}答案: C11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2% 答案: D解析:抽取出次品的频率是1002=2%,用频率估计概率,抽出次品的概率大约是2%. 12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确 B.错误 C.不一定D.无法解释答案: B 二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).答案:52解析:数据在155.5~170.5之间有8名学生,则身高在此范围内的频率为208＝52,所以概率约为52.14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .答案: 52 0.5215.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 答案:(-1,2),(1,-2) 解析:由直线与圆相切知,543b a +=1,所以3a+4b=±5,依次取a=-2,-1,0,1,2,验证知,只有⎩⎨⎧=-=21b a ，⎩⎨⎧==2-1b a 满足等式.16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为 . 答案: 0.51 241 800 0.5解析:a=200102=0.51,b=500×0.482=241;c=505.0404=800. 易知正面向上的频率在0.5附近,所以若掷硬币一次,正面向上的概率应为0.5.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 . 答案: 0.3518.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 . 答案: 0.03 三、解答题19.从含有两个正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A 为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A 对应的结果. [解析](1)试验所有结果:a 1,a 2;a 1,b 1;a 2,b 1;a 2,a 1;b 1,a 1;b 1,a 2.共6种. (2)事件A 对应的结果为:a 1,b 1;a 2,b 1;b 1,a 1;b 1,a 2. 20.对一批U 盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U 盘,至少需进货多少个U 盘?[解析](1)表中各个次品频率分别为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a 越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘,为保证其中有2 000个正品U 盘,则x(1-0.02)≥2 000,因为x 是正整数,所以x ≥2 041,即至少需进货2 041个U 盘.21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.解：(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为1513.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为87.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为87.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.[解析] 设水库中鱼的尾数为n,从水库中任捕一尾,每尾鱼被捕的频率(代替概率)为n2000,第二次从水库中捕出500尾,带有记号的鱼有40尾,则带记号的鱼被捕 的频率(代替概率)为50040,由n 2000=50040,得n=25 000.所以水库中约有25 000尾.。

随机事件的概率【知识梳理】．事件的分类()前提：对于给定的随机事件，在相同的条件下重复次试验，观察事件是否出现．()频数：指的是次试验中事件出现的次数.频率：指的是事件出现的比例()＝.．概率()定义：对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率()稳定在某个常数上，把这个常数记作()，称为事件的概率．()范围：[]．()意义：概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．【常考题型】题型一、事件的分类【例】 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：()某人购买福利彩票一注，中奖万元；()三角形的内角和为°；()没有空气和水，人类可以生存下去；()同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；()从分别标有的四张标签中任取一张，抽到号标签；()科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解] ()购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．()所有三角形的内角和均为°，所以是必然事件．()空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．()同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．()任意抽取，可能得到号标签中的任一张，所以是随机事件．()由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．【类题通法】对事件分类的两个关键点()条件：在条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；()结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．【对点训练】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．()我国东南沿海某地明年将受到次冷空气的侵袭．()若为实数，则≥.()抛掷硬币次，至少有一次正面向上．()同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中的炮弹击中目标．()没有水分，种子发芽．解：()我国东南沿海某地明年可能受到次冷空气侵袭，也可能不是次，是随机事件．()对任意实数，≥总成立，是必然事件．()抛掷硬币次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．()同一门炮向同一目标发射，命中率可能是，也可能不是，是随机事件．()没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件.题型二、试验及重复试验的结果的分析【例】指出下列试验的条件和结果：()某人射击一次，命中的环数；()从装有大小相同但颜色不同的，，，这个球的袋中，任取个球；()从装有大小相同但颜色不同的，，，这个球的袋中，一次任取个球．[解]()条件为射击一次；结果为命中的环数：，共种．()条件为从袋中任取个球；结果为：，，，，共种．()条件为从袋中任取个球；若记(，)表示一次取出的个球是和，则试验的全部结果为：(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，共种．【类题通法】分析试验结果的方法()首先要准确理解试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是后续学习求事件的概率的前提和基础．()在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活的经验，按一定的次序一一列举，才能保证没有重复，也没有遗漏．【对点训练】下列随机事件中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？试验的可能结果有哪几种？()一天中，从北京站开往合肥站的列列车，全部正点到达；()某人射击两次，一次中靶，一次未中靶．解：()一列列车开出，就是一次试验，共有次试验．试验的结果有“只有列列车正点到达”“只有列列车正点到达”“全部正点到达”“全部晚点到达”，共种．()射击一次，就是一次试验，共有次试验．试验的结果有“两次中靶”“第一次中靶，第。

统计1：简单随机抽样（1）总体和样本①在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体．②把每个研究对象叫做个体．③把总体中个体的总数叫做总体容量．④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．（2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

（3）简单随机抽样常用的方法：①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

（4）抽签法:①给调查对象群体中的每一个对象编号；②准备抽签的工具，实施抽签；③对样本中的每一个个体进行测量或调查（5）随机数表法：2：系统抽样（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。

可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。

如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。

因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。

更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。

3：分层抽样（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

高中数学统计知识点高中数学概率与统计
高中数学统计知识点包括以下内容：
1. 数据的收集和整理：包括原始数据的收集和整理，如问卷调查、实验结果等。

2. 描述统计：用于对数据进行总结和描述的方法，包括平均数、中位数、众数、极差、标准差等。

3. 概率：研究随机事件发生的可能性的数学分支，包括基本概念、概率的计算方法和
性质。

4. 概率分布：描述随机变量取值与相应概率的分布，包括离散型随机变量和连续型随
机变量的分布。

5. 统计推断：从样本数据中推断总体的特征的方法，包括点估计和区间估计。

6. 假设检验：用于推断总体参数的假设检验方法，包括单样本检验、双样本检验和相
关性检验等。

7. 相关分析：研究两个或多个变量之间关系的方法，包括相关系数和回归分析等。

8. 抽样调查：从总体中随机选择样本进行调查和统计分析的方法，包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。

以上是高中数学概率与统计的主要知识点，通过掌握这些知识，可以进行数据的整理
和分析，并进行相关的统计推断和假设检验。

高中数学概率统计
概率统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象和事件发
生的可能性。

在高中阶段，学生需要通过研究概率统计来理解和应
用概率的基本概念和计算方法。

概率是指某个事件发生的可能性大小。

在数学中，概率可以通
过计算来得出。

常见的计算方法包括频率概率和几何概率。

学生需
要学会根据给定的条件计算概率，包括单个事件和多个事件的概率
计算。

在概率统计中，还有一些重要的概念需要学生掌握。

例如，样
本空间是指随机事件所有可能结果的集合；事件是样本空间的子集，表示满足特定条件的结果集合；试验是指对随机现象进行观察和记
录的过程。

高中数学概率统计还涉及到一些常见的概率分布，如二项分布、均匀分布和正态分布。

学生需要理解这些分布的特点和应用场景，
以及如何计算和图示化概率分布。

通过研究高中数学概率统计，学生可以提高他们的数据分析和问题解决能力。

他们能够在实际生活中应用概率统计的知识，例如在投资、保险和赌博等方面做出理性的决策。

总之，高中数学概率统计是一门重要的数学课程，它帮助学生理解和应用概率的基本概念和计算方法，提高他们的数学思维和问题解决能力。

高中数学统计与概率教案教学内容：概率的概念与基本性质教学目标：1. 理解概率的概念及其重要性；2. 掌握基本事件与样本空间的概念；3. 学会利用频率计算概率；4. 掌握概率的基本性质。

教学准备：1. 教材：高中数学教材；2. 教具：教科书、黑板、彩色粉笔、学生练习册；3. 辅助工具：计算器、数据表。

教学步骤：一、导入环节教师引入概率的概念，通过生活中的例子引入概率的概念与重要性，让学生了解概率在日常生活中的应用。

二、概率的基本概念1. 基本概念的讲解：事件、基本事件、样本空间；2. 通过示例引导学生理解基本事件与样本空间的概念；3. 导入频率的概念，引导学生用频率来计算概率。

三、概率的计算1. 讲解如何计算概率：概率的定义与计算方法；2. 通过案例分析，让学生熟练掌握计算概率的方法；3. 给学生练习题目，加深对概率计算方法的理解。

四、概率的性质1. 讲解概率的基本性质：加法原理、乘法原理等；2. 通过例题讲解概率的性质及应用；3. 引导学生运用概率的性质解决实际问题。

五、课堂练习布置练习题，让学生巩固所学知识，并留出时间解答问题。

同时，鼓励学生在实际生活中应用概率知识。

六、课堂总结教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生需要掌握的知识与技能。

同时，激励学生继续努力学习数学统计与概率。

教学反馈：1. 对学生答题情况进行评价，鼓励正确答题，对错误答题进行分析指导；2. 收集学生的问题与建议，以便完善教学内容与方法；3. 鼓励学生在实际生活中应用概率知识，加深对概率的理解与应用能力。

教学反思：1. 教师对本节课的教学效果进行自我评价，找出教学中存在的不足和问题；2. 思考如何更好地引导学生理解和掌握概率知识；3. 调整教学方法与内容，提高教学效果，更好地促进学生的学习成长。

高中数学新概率与统计教案课程目标：
1. 理解概率与统计的基本概念和原理；
2. 掌握概率与统计的基本计算方法；
3. 能够应用概率与统计的知识解决实际问题。

第一节：概率的基本概念
1. 概率的概念及其表示方法；
2. 事件与样本空间；
3. 基本概率公式的推导和应用；
4. 条件概率的定义与计算。

第二节：随机变量与概率分布
1. 随机变量的定义与分类；
2. 离散随机变量与连续随机变量的概念；
3. 概率密度函数与概率分布函数；
4. 均匀分布、正态分布等常见分布的特点及应用。

第三节：统计推断
1. 抽样调查的基本方法；
2. 样本均值与总体均值的关系；
3. 样本方差与总体方差的估计；
4. 中心极限定理及其应用。

第四节：相关性与回归分析
1. 相关性的定义与性质；
2. 相关系数的计算与解释；
3. 简单线性回归分析的原理与方法；
4. 多元线性回归分析的应用与实际案例。

课堂活动：
1. 小组讨论：根据实际情景计算概率；
2. 实验演示：通过掷骰子、抽样调查等方式，体验概率与统计的应用；
3. 课堂练习：完成相关章节的习题，巩固概念与计算方法；
4. 实际案例分析：结合真实数据，进行相关性与回归分析，培养学生的数据解读能力。

课后作业：
1. 完成相关章节的课后习题；
2. 分析一个真实生活案例，运用概率与统计知识进行分析；
3. 阅读相关资料，了解概率与统计在不同领域的应用；
4. 准备下节课的讨论或展示内容。

【知识梳理】1．系统抽样的概念要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．2．系统抽样的步骤【常考题型】题型一、系统抽样的概念【例1】 (1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．以上都不对(2)为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k ＝________.[解析] (1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n (n ∈N *)号，符合系统抽样的特点．(2)根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k ＝1 20030＝40. [答案] (1)C (2)40【类题通法】系统抽样的判断方法判断一个抽样是否为系统抽样：(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体，(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样，(3)最后看是否等距抽样．【对点训练】某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了( )A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．放回抽样法解析：选C 此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n ，符合系统抽样特点.题型二、系统抽样的设计【例2】 (1)某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是________．[解析] ∵采用系统抽样方法，每16人抽取一个人，1～16中随机抽取一个数抽到的是7，∴在第k 组抽到的是7＋16(k －1)，∴从33～48这16个数中应取的数是7＋16×2＝39.[答案] 39(2)某企业对新招的504名员工进行岗前培训，为了了解员工的培训情况，试用系统抽样的方法按照下列要求抽取员工，请你写出具体步骤．①从中抽取8名员工，了解基本理论的掌握情况．②从中抽取50名员工，了解实际操作的掌握情况．[解] ①第一步，将504名员工随机编号，依次为001,002,003，…，503,504，将其等距分成8段，每一段有63个个体；第二步，在第一段(001～063)中用简单随机抽样方法随机抽取一个号码作为起始号码，比如26号；第三步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体：将编号为26,26＋63,26＋63×2，…，26＋63×7的个体抽出组成样本．②第一步，用随机方式给每个个体编号：001,002,003，…，503,504；第二步，利用随机数表法剔除4个个体，比如剔除编号为004,135,069,308的4个个体，然后再对余下的500名员工重新编号，分别为001,002,003，…，499,500，并等距分成50段，每段10个个体；第三步，在第一段001,002,003，…，010中用简单随机抽样方法抽出一个号码(如006)作为起始号码；第四步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体，将编号为006,016,026，…，486,496的个体抽出组成样本．【类题通法】设计系统抽样应关注的几个问题(1)系统抽样一般是等距离抽取，适合总体中个体数较多，个体无明显差异的情况；(2)总体均匀分段，通常在第一段(也可以选在其他段)中采用简单随机抽样的方法抽取一个编号，再通过将此编号加段距的整数倍的方法得到其他的编号．注意要保证每一段中都能取到一个个体；(3)若总体不能均匀分段，要将多余的个体剔除(通常用随机数表的方法)，不影响总体中每个个体被抽到的可能性．【对点训练】某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．解：(1)先把这253名学生编号000,001， (252)(2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生．(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3， (250)(4)分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段．每段含5名学生．(5)以第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l.(6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本.题型三、简单随机抽样与系统抽样的综合问题【例3】某集团有员工1 019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人．该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人，如何确定人选？[解]获得过国家级表彰的人员选5人，适宜使用抽签法：其他人员选30人，适宜使用系统抽样法．(1)确定获得过国家级表彰的人员人选：①用随机方式给29人编号，号码为1,2， (29)②将这29个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；③将得到的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；④从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码；⑤从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体取出，人选就确定了．(2)确定其他人员人选：第一步：将990名其他人员重新编号(分别为1,2，…，990)，并分成30段，每段33人； 第二步，在第一段1,2，…，33这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如3)作为起始号码； 第三步，将编号为3,36,69，…，960的个体抽出，人选就确定了．(1)，(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选．【类题通法】系统抽样与简单随机抽样的区别和联系1．区别(1)系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约抽样成本；(2)系统抽样所得样本的代表性与具体的编号有关，而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关．如果编号的个体特征随编号的变化呈一定的周期性，可能会使抽样的代表性很差；(3)系统抽样的应用比简单随机抽样的应用更广泛，尤其是工业生产线上产品质量的检验，不知道产品的数量，因此不能用简单随机抽样．2．联系(1)将总体均分后的起始部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；(2)与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的；(3)与简单随机抽样一样是不放回的抽样；(4)总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除再进行系统抽样．【对点训练】下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数：1 200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；抽样间隔：1 20030＝40； 确定随机数字：取一张人民币，后两位数为12；确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户……(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题，试修改．(3)何处是用简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，末位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12,12号为第二样本户．(3)确定随机数字：取一张人民币，其末位数为2.【练习反馈】1．为了检查某城市汽车尾气排放执行情况，在该城市的主要干道上抽取车牌末尾数字为5的汽车检查，这种抽样方法为( )A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．其他方式的抽样解析：选C 符合系统抽样的特点．2．从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．3,13,23,33,43C ．1,2,3,4,5D ．2,4,6,16,32 解析：选B 用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k ，k ＋d ，k ＋2d ，k ＋3d ，k ＋4d ，其中d ＝505＝10，k 是1到10中用简单随机抽样方法得到的编号，因此只有选项B 满足要求． 3．将参加数学竞赛的1 000名同学编号如下：0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，如果第1部分编号为0001,0002，…，0020，第1部分随机抽取的一个号码为0015，则抽取的第40个号码为________．解析：利用系统抽样的概念，若n 部分中在第1部分抽取的号码为m ，分段间隔为d ，则在第k 部分中抽取的第k 个号码为m ＋(k －1)d ，所以抽取的第40个号码为0 015＋39×20＝0 795.答案：0 7954．一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t ，则在第k 组中抽取的号码个位数字与t ＋k 的个位数字相同，若t ＝7，则在第8组中抽取的号码应该是________．解析：∵k ＝8，t ＝7，t ＋k ＝15，∴在第8组中抽取的号码是75.答案：755．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请写出用系统抽样抽取的过程．解：(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15 000.(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分含100个个体．(3)在第一部分，即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56.(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14 956，这样就得到一个样本容量为150的样本．。

【知识梳理】1.简单随机抽样的定义设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n W N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.2.抽签法把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取二个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.3.随机数法随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.【常考题型】题型一、简单随机抽样的概念【例1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区参加救灾工作；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.［解］(1)不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.(2)不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.(3)不是简单随机抽样.因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中”等可能抽样”的要求.(4)是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样.【类题通法】简单随机抽样的判断策略判断一个抽样能否用简单随机抽样，关键是看它是否满足四个特点：①总体的个体数目有限；②从总体中逐个进行抽取；③是不放回抽样；④是等可能抽样.同时还要注意以下几点：①总体的个体性质相似，无明显的层次；②总体的个体数目较少，尤其是样本容量较小；③用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性，个体间无固定的距离.【对点训练】下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（）A.某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1〜40,有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C.某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本D.某乡农田有：山地800公顷，丘陵1 200公顷，平地2 400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量解析：选B A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B的总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便；C由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D总体容量大，且各类田地的差别很大，也不宜采用简单随机抽样法题型二、抽签法及其应用【例2】（1）下列抽样实验中，适合用抽签法的有（）A.从某厂生产3 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两工厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验［解析］A，D两项总体容量较大，不适合用抽签法；对C项甲、乙两厂生产的产品质量可能差异明显.［答案］B（2）某大学为了选拔世博会志愿者，现从报告的18名同学中选取6人组成志愿小组，请用抽签法写出抽样过程.［解］第一步，将18名同学编号，号码是01,02，…，18 ；第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；第四步，从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步，所得号码对应的同学就是志愿小组的成员.【类题通法】1.抽签法的适用条件一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时适宜用抽签法.2.应用抽签法的关注点(1)对个体编号时，也可以利用已有的编号.例如，从某班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号等.(2)在制作号签时，所使用的工具(纸条、卡片或小球等)应形状、大小都相同，以保证每个号签被抽到的概率相等.(3)用抽签法抽样的关键是将号签搅拌均匀.只有将号签搅拌均匀，才能保证每个个体有相等的机会被抽中，从而才能保证样本具有代表性.(4)要逐一不放回抽取.【对点训练】现有30本《三维设计》，要从中随机抽取5本进行印刷质量检验，请用抽签法进行抽样，并写出抽样过程.解：总体和样本数目较小，可采用抽签法进行：①先将30本书进行编号，从1编到30 ；②把号码写在形状、大小均相同的号签上；③将号签放在某个箱子中进行充分搅拌，然后依次从箱子中取出5个号签，按这5个号签上的号码取出样品，即得样本.题型三、随机数表法的应用【例3】(1)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001,002,…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6 列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号，(下面抽取了随机数表第1行至第5行.)03 47 43 73 86 97 74 24 67 62 16 76 62 27 66 12 56 85 99 26 55 59 56 35 64 36 96 47 36 6142 81 14 57 2056 50 26 71 0796 96 68 27 3138 54 82 46 2246 98 63 71 6242 53 32 37 3232 90 79 78 5305 03 72 93 1531 62 43 09 9033 26 16 80 4527 07 36 07 5113 55 38 58 5957 12 10 14 2106 18 44 32 5360 11 14 10 9524 51 79 89 7388 97 54 14 1088 26 49 81 7623 83 01 30 30［解析］从随机数表第3行第6列的数2开始向右读第一个小于850的数字是227 ,第二个数字665，第三个数字650，第四个数字267 ,符合题意.［答案］227,665,650,267(2)现有一批零件，其编号为600,601,602,…，999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检查，若用随机数表法，怎样设计方案?［解］第一步，在随机数表中任选一数字作为开始数字，任选一方向作为读数方向.比如：选第7行第6个数“7”，向右读.第二步，从“7”开始向右每次读取三位，凡在600〜999中的数保留，否则跳过去不读，依次得753,724,688,770,721,763,676,630,785,916.第三步，以上号码对应的10个零件就是要抽取的对象.(答案不唯一)【类题通法】利用随机数表法抽样时应注意的问题(1)编号要求位数相同，若不相同？需先调整到一致两再进行抽样，如当总体中有100个个体时，为了操作简便可以选择从00开始编号，那么所有个体的号码都用两位数字表示即可，从00~ 99号.如果选择从1开始编号那么所有个体的号码都必须用三位数字表示，从001 ~ 100很明显每次读两个数字要比读三个数字节省读取随机数的时间.(2)第一个数字的抽取是随机的.(3)当随机数选定，开始读数时，读数的方向可左，可右，可上，可下，但应是事先定好的.【对点训练】现有一批编号为10,11，…，98,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验，如何用随机数表法设计抽样方案？解：第一步，将元件的编号调整为010,011,012，...，099,100 , (600)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向.比如，选第5行第7个数9.第三步，从数9开始，向右读，每次读取三位，凡不在010~600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到544,354,378,520,384,263.第四步，以上这6个号码所对应的6个元件就是所要抽取的对象.【练习反馈】1.为了了解一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是()A.总体B.个体C.总体的一个样本D.样本容量解析：选C 200个零件的长度是从总体中抽出的个体所组成的集合，所以是总体的一个样本.故选C.2.抽签法中确保样本具有代表性的关键是()A .制签B .搅拌均匀C .逐一抽取D .抽取不放回解析：选B 在数理统计里，为了使样本具有较好的代表性，设计抽样方法时，最重要的是将 总体“搅拌均匀”，使每个个体有同样的机会被抽到，而抽签法是简单随机抽样，因此在给总体标 号后，一定要搅拌均匀.3 .用随机数法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是20解析：因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每一个个体被抽到的可能性都为瑞 0.2.答案：0.24 .一个总体的60个个体编号为00,01,…，59,现需从中抽取一容量为8的样本，请从随机 数表的倒数第5行（下表为随机数表的最后5行）第11列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样 本的号码是 _______解析：所取的号码要在00〜59之间且重复出现的号码仅取一次.答案：18,00,38,58,32,26,25,395 .某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人抽查学习负担情况.用抽签法设计一个 抽样万案.解：第一步：编号，把43名运动员编号为1〜43;第二步：制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这43个数；第三步：搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌；第四步：抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取5次，从而得到容量为5的入选样本. 95 33 95 22 0081 76 80 26 9290 84 60 79 8096 35 23 79 1846 40 62 98 8016 46 70 50 8020 31 89 03 4380 60 47 18 9771 59 73 05 5082 96 59 26 9418 74 72 00 18 82 80 84 25 39 24 36 59 87 38 05 98 90 07 35 54 97 20 56 95 67 72 16 42 79 38 46 82 68 72 63 49 30 21 30 08 22 23 71 77 66 39 67 98 60 38 79 58 69 32 82 07 53 89 35 15 74 80 08 32 32 14 82 99 70 91 01 93 20 49。

高中数学必修三概率知识点一、概述高中数学必修三中的概率知识点是数学学科的重要组成部分，也是日常生活和工作中经常涉及的重要内容之一。

概率论是研究随机现象的数学学科，通过对随机事件的分析和推断，揭示其内在规律和特点。

概率知识点作为高中数学必修三的重要内容，涉及概率的基本概念、事件的关系和运算、古典概型、几何概型以及离散型随机变量等知识点。

掌握这些知识点对于理解现实生活中的各种随机现象，进行科学合理的决策和风险评估具有重要意义。

在学习概率知识点时，需要掌握其基本概念和原理，学会运用概率思维解决实际问题，培养逻辑思维能力和数据处理能力。

概率知识点也是后续学习统计学、金融数学等学科的基础，对于提高数学素养和综合能力具有不可替代的作用。

1. 概率论的重要性概率论是数学的一个分支，用于研究随机现象的数量规律。

在高中数学必修三的学习中，概率知识点的重要性不容忽视。

它不仅仅是一门学科的核心内容，更是理解现实世界的一把钥匙。

在我们的日常生活中，无论是天气预测、金融投资、医学研究，还是游戏设计、风险评估等各个领域，概率知识都有着广泛的应用。

学习概率论不仅能够提高学生解决实际问题的能力，更能培养他们的逻辑思维和决策能力。

概率论是理解和预测随机事件的重要工具。

在日常生活和工作中，我们经常会遇到各种随机事件，比如抛硬币、抽奖等。

通过学习概率，我们可以知道这些随机事件的规律和趋势，从而更好地做出预测和决策。

其次val 序列深入式学习，概率论对于决策制定具有指导意义。

在金融投资领域，投资者可以通过学习概率知识，分析股票市场的走势和风险，从而做出更明智的投资决策。

在医学领域，医生可以根据疾病的发病率和患者的症状概率来做出诊断。

掌握概率知识对于个人和社会都具有重要意义。

它使我们能够更好地理解世界，做出明智的决策。

对于现代社会的发展，人们更需要有利用数学方法来理解世界的技能，这已成为我们教育的一大目标。

通过学习概率知识，学生可以为他们的未来生涯发展打下坚实的基础。

一、随机事件的概率1.事件与随机事件在一定条件下必然发生的事件叫；在一定条件下不可能发生的事件叫；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫。

2.事件的频率与概率⑴若在n次试验中事件A发生了m次, 则称为事件A的频率。

记做。

二、⑵若随着试验次数n的增大, 事件A的频率总接近某个常数p, 在它的附近作微小摆动, 则称为事件A的概率, 记做, 显然。

三、 3.概率从数量上反映了一个事件的大小。

四、概率的基本性质1.事件的关系与运算:（1）互斥事件：若为, 则称事件与事件互斥。

（2）对立事件：若为, 为, 则称事件与事件互为对立事件。

2.概率的几个基本性质:（1）概率的取值范围是: 。

（2）的概率为1；的概率为0。

五、（3）如果事件与事件互斥, 那么。

六、（4）如果事件与事件对立, 那么；；。

七、古典概型1.古典概型的特征:（1）：一次试验中, 基本事件只有有限个；八、（2）: 每个基本事件发生的可能性都相等。

九、2、求古典概率的常用方法: 列举法与列表法。

十、几何概型1.几何概型的特征:（1）几何概型的基本事件有无穷多个；（2）每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。

2.求几何概率用到的一个方法: 线性规划。

练习题：1.甲盒中有红, 黑, 白三种颜色的球各3个, 乙盒子中有黄, 黑, 白, 三种颜色的球各2个, 从两个盒子中各取1个球, 求取出的两个球是不同颜色的概率.2.设关于的一元二次方程, 若是从区间任取的一个数, 是从区间任取的一个数,求上述方程有实数根的概率.3.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两次, 将得到的点数分别记为.将的值分别作为三条线段的长, 求这三条线段能围成等腰三角形的概率.1 / 1。