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吉林省2020年高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·三明月考) 已知集合，，则（）A . A⫋BB . B⫋AC .D .2. （2分）若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A .B . 4C .D . 63. （2分） (2019高三上·广东月考) 已知向量，，则与的夹角为A .B .C .D .4. （2分） (2016高一上·石家庄期中) 已知0＜a＜1，则a2、2a、log2a的大小关系是（）A . a2＞2a＞log2aB . 2a＞a2＞log2aC . log2a＞a2＞2aD . 2a＞log2a＞a25. （2分）(2017·济宁模拟) 在区间[0，8]上随机取一个x的值，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）一个容量为20的样本数据分组后，组距与频数如下：(10,20),2；(20,30),3；(30,40),4；(40,50),5；(50,60),4，(60,70),2.则样本在区间(－∞，50)上的频率是（）A . 0.20B . 0.25C . 0.50D . 0.707. （2分）已知点P是双曲线C：（a>1）上的动点，点M为圆O：x2+y2=1上的动点，且，若|PM|的最小值为，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）(2019·九江模拟) 如图，网格纸上小正方形边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）若函数f（x）=2sin（2x+）+a﹣1（a∈R）在区间[0，]上有两个零点x1 ， x2（x1≠x2），则x1+x2﹣a的取值范围是（）A . （﹣1，+1）B . [，+1）C . （﹣1，+1）D . [，+1）10. （2分） (2015高三上·贵阳期末) 已知O为坐标原点，点A（﹣1，2），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则• 的取值范围是（）A . [﹣1，0]B . [0，1]C . [1，3]D . [1，4]11. （2分） (2018高二上·吕梁月考) 正四棱锥S—ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·河北期末) 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A . 4B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在（x﹣）8的二项展开式中，常数项为28，则实数a的值是________．14. （1分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F到双曲线=1的渐近线的距离为， A，B为抛物线上的两动点，线段AB的中点M在定直线y=2上，则直线AB的斜率为________15. （1分） (2019高二下·上海期末) 数列共有13项，，，且，，满足这种条件不同的数列个数为________16. （1分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则△ABC的面积等于________三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2020高三上·滕州月考) 已知函数，，，数列，满足，，， .（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和 .18. （5分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．19. （10分）(2020·汨罗模拟) 冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为 .假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 .（1）若，试求p关于k的函数关系式；（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.（i）求证：数列等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值20. （5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，其左右焦点分别为F1、F2 ， |F1F2|=2．设点M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线斜率之积﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：x12+x22为定值，并求该定值．21. （10分） (2016高二下·晋中期中) 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x= 时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．22. （10分） (2018高三上·长春期中) 已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t 为参数，α为倾斜角)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4c os θ(其中坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l相交于不同的两点M，N，设P(4,2)，求|PM|＋|PN|的取值范围．23. （10分）(2017·唐山模拟) 已知函数f（x）=|x+2a|+|x﹣1|．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）当a≠0时，，求满足g（a）≤4的a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020年吉林省吉林市高考二模数学理一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.已知U=R，M={x|-l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则(ðU M)∩N=( )A.{x|2≤x≤3}B.{x|2＜x≤3}C.{x|x≤-1，或2≤x≤3}D.{x|x＜-1，或2＜x≤3}解析：利用补集的定义求出集合M的补集；借助数轴求出(ðu M)∩N.答案：D.2.如果复数z=21i-+，则( )A.|z|=2B.z的实部为1C.z的虚部为-1D.z的共轭复数为1+i解析：直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案. 答案：C.3.下列关于命题的说法错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”B.“a=2”是“函数f(x)=log a x在区间(0，+∞)上为增函数”的充分不必要条件C.若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D.命题“∃x∈(-∞，0)，2x＜3x”是真命题解析：选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项B看由a=2能否得到函数f(x)=log a x在区间(0，+∞)上为增函数，反之又是否成立；选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式.答案：D.4.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，b=3，c=2，则∠A=( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析：根据题意和余弦定理求出cosA的值，由A的范围求出角A的值.答案：C.5.函数f(x)=1x+ln|x|的图象大致为( )A. B. C. D.解析：当x＜0时，函数f(x)=1x+ln(-x)，由函数的单调性，排除CD；当x＞0时，函数f(x)=1x+ln(x)，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，答案：B.6.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )A.-2B.12C.-1D.2解析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 答案：B.7.设{a n }是公差不为零的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则该数列的前10项和等于( ) A.-10 B.-5 C.0 D.5解析：设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a 1+a 10=0，则可求得数列的前10项和等于0. 答案：C.8.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为( )A.4πB.283π C.443πD.20π解析：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积. 答案：B.9.已知2x ，把f(x)的图象向右平移12π个单位，再向上平移2个单位，得到y=g(x)的图象，若对任意实数x ，都有g(α-x)=g(α+x)成立，则g(α+4π)+g(4π)=( ) A.4 B.3 C.2 D.32解析：由条件利用三角函数的恒等变换求得g(x)的解析式，再根据题意可得g(x)的图象关于直线x=α对称，再根据正弦函数的图象的对称性求得α的值，可得g(α+4π)+g(4π)的值. 答案：A.10.在等腰直角△ABC 中，AC=BC ，D 在AB 边上且满足：()1CD tCA t CB =+-u u u r u u u r u u u r，若∠ACD=60°，则t 的值为( )A.12C.2D.12解析：易知A ，B ，D 三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可. 答案：A.11.已知双曲线C 1：24x -y 2=1，双曲线C 2：2222x y a b -=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S V =16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( )A.32B.16C.8D.4解析：求得双曲线C 1的离心率，求得双曲线C 2一条渐近线方程为y=bax ，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长. 答案：B.12.已知函数f(x)=1|2|0210x e x x x x -⎧⎪⎨--+≤⎪⎩，＞，，若关于x 的方程f 2(x)-3f(x)+a=0(a ∈R)有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( ) A.(0，14) B.(13，3) C.(1，2) D.(2，94) 解析：画出函数的图象，利用函数的图象，判断f(x)的范围，然后利用二次函数的性质求解a 的范围. 答案：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知O 是坐标原点，点A(-1，1).若点M(x ，y)为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是_____.解析：先画出满足约束条件212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入OA OM ⋅u u u r u u u u r 分析比较后，即可得到OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围.答案：[0，2].14.已知|a r |=2，|b r |=2，a r 与b r 的夹角为45°，且λb r -a r 与a r垂直，则实数λ=_____. 解析：根据向量λb r -a r 与向量a r 垂直⇔(λb r -a r )·a r=0再结合两向量数量积的定义即可求解..15.过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是_____.解析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线l 的方程，和抛物线方程联立，化为关于y 的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A ，B 两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解..16.艾萨克·牛顿(1643年1月4日-1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)零点时给出一个数列{x n }：满足x n+1=x n -()()n n f x f x '，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数f(x)=ax 2+bx+c(a＞0)有两个零点1，2，数列{x n }为牛顿数列，设a n =ln 21n n x x --，已知a 1=2，x n ＞2，则{a n }的通项公式a n =_____.解析：由已知得到a ，b ，c 的关系，可得f(x)=ax 2-3ax+2a ，求导后代入x n+1=xn-()()n n f x f x '，整理可得2112211n n n n x x x x ++--=--⎛⎫ ⎪⎝⎭，两边取对数，可得ln 21n n x x --是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求导答案.答案：2n.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)(M ＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2a-c)cosB=bcosC ，求f(2A)的取值范围.解析：(1)根据图象求出A ，ω 和φ，即可求函数f(x)的解析式；(2)利用正弦定理化简，求出B ，根据三角内角定理可得A 的范围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论答案：(1)由图象知A=1，T=4(5126ππ-)=π，∴ω=2， ∴f(x)=sin(2x+φ)∵图象过(6π，1)，将点(6π，1)代入解析式得sin(3π+φ)=1， ∵|φ|＜2π，∴φ=6π故得函数f(x)=sin(2x+6π).(2)由(2a-c)cosB=bcosC ，根据正弦定理，得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)， ∴2sinAcosB=sinA. ∵A ∈(0，π)， ∴sinA ≠0，∴cosB=12，即B=3π ∴A+C=23π，即0＜A ＜23π那么：f(2A )=sin(A+6π)，0＜A ＜23π，6π＜A+6π＜56π，sin(A+6π)∈(12，1]故得f(2A)∈(12，1].18.已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3=3，S 3=9 (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =2233log n a +，且{b n }为递增数列，若c n =14n n b b +⋅，求证：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜1.解析：(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，根据等比数列的前n 项和公式，从而解得； (Ⅱ)讨论可知a 2n+3=3·(-12)2n =3·(12)2n，从而可得b n =2233log n a +=2n ，利用裂项求和法求和.答案：(Ⅰ)设数列{an}的公比为q ， ①当q=1时，符合条件a 1=a 3=3，a n =3.②当q ≠1时，()21313191a q a q q ⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2121319a q a q q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩解得a 1=12，q=-12，所以a n =12×(-12)n-1.综上所述：数列{a n }的通项公式为a n =3(q=1)或a n =12×(-12)n-1.(Ⅱ)证明：若a n =3，则b n =0，与题意不符； 故a 2n+3=3·(-12)2n =3·(12)2n， 故b n =2233log n a +=2n ，故c n =14111n n b b n n +=-⋅+，故c 1+c 2+c 3+…+c n =1-111111122311n n n +-+⋯+-=-++＜1.19.某车间20名工人年龄数据如表：(Ⅰ)求这20名工人年龄的众数与平均数；(Ⅱ)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(Ⅲ)从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率.解析：(Ⅰ)利用车间20名工人年龄数据表能求出这20名工人年龄的众数和平均数. (Ⅱ)利用车间20名工人年龄数据表能作出茎叶图.(Ⅲ)记年龄为24岁的三个人为A1，A2，A3；年龄为26岁的三个人为B1，B2，B3，利用列举法能求出这2人均是24岁的概率.答案：(Ⅰ)由题意可知，这20名工人年龄的众数是30，这20名工人年龄的平均数为x=120(19+3×28+3×29+5×30+4×31+3×32+40)=30，(Ⅱ)这20名工人年龄的茎叶图如图所示：(Ⅲ)记年龄为24岁的三个人为A1，A2，A3；年龄为26岁的三个人为B1，B2，B3，则从这6人中随机抽取2人的所有可能为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}共15种.满足题意的有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}3种，故所求的概率为P=31 155=.20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°.点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.(Ⅰ)求证：AB∥EF；(Ⅱ)若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值.解析：(Ⅰ)推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF.(Ⅱ)取AD中点G，连接PG，GB，以G为原点，GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的二面角的正弦值.答案：(Ⅰ)∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF解：(Ⅱ)取AD 中点G ，连接PG ，GB ，∵PA=PD ，∴PG ⊥AD ， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PG ⊥平面ABCD∴PG ⊥GB ，在菱形ABCD 中，∵AB=AD ，∠DAB=60°，G 是AD 中点，∴AD ⊥GB ， 如图，以G 为原点，GA 、GB 、GP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G-xyz由PA=PD=AD=2得，G(0，0，0)，A(1，0，0)，B(00)，C(-20)，D(-1，0，0)，P(0，0又∵AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，∴点F 是棱PD 中点，∴F(-12，0)，AF u u u r =(-32，0，AB u u u r =(-1，0)，设平面AFE 的法向量为n r=(x ，y ，z)，则有00n AF n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，∴z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令x=3，则平面AFE 的一个法向量为n r=(3， ∵BG ⊥平面PAD ，∴GB uuu r=(00)是平面PAF 的一个法向量，|cos ＜n r ，GB uuu r ＞|=13n GB n GB⋅==⋅r u u u rr u u u r ， ∴平面PAF 与平面AFE 所成的二面角的正弦值为：sin ＜n r ，GB uuu r ＞=.21.如图，椭圆E ：2224x y b+=1(0＜b ＜2)，点P(0，1)在短轴CD 上，且PC PD ⋅u u u r u u u r=-2(Ⅰ) 求椭圆E 的方程及离心率；(Ⅱ) 设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解析：(Ⅰ)由已知可得点C ，D 的坐标分别为(0，-b)，(0，b).结合PC PD ⋅u u u r u u u r =-2列式求得b ，则椭圆方程可求，进一步求出c 可得椭圆的离心率；(Ⅱ)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2).联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横坐标的和与积OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，可知当λ=2时，OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r =-7为定值.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，仍有2OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =-3-4=-7，故存在常数λ=2，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值-7.答案：(Ⅰ)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，-b)，(0，b).又点P 的坐标为(0，1)，且PC PD ⋅u u u r u u u r =-2，即1-b 2=-2，解得b 2=3. ∴椭圆E 方程为2243x y +=1. ∵=1，∴离心率e=12； (Ⅱ)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得(4k 2+3)x 2+8kx-8=0. 其判别式△＞0，x 1+x 2=2843k k -+，x 1x 2=2843k -+. 从而，OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r =x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)]=(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=()222281143424)343(k k k k λλ-++-+-=++-2λ-3，当λ=2时，24243k λ-+-2λ-3=-7， 即OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r =-7为定值. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时2OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =-3-4=-7，故存在常数λ=2，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值-7.22.设函数f(x)=(x+b)lnx ，g(x)=alnx+12a -x 2-x(a ≠1)，已知曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y=0垂直.(1)求b 的值；(2)若对任意x ≥1，都有g(x)＞1a a -，求a 的取值范围. 解析：(1)求出函数导数，由两直线垂直斜率之积为-1，解方程可得b ； (2)求出导数，对a 讨论，①若a ≤12，则1a a -≤1，②若12＜a ＜1，则1a a -＞1，③若a ＞1，分别求出单调区间，可得最小值，解不等式即可得到所求范围.答案：(1)直线x+2y=0的斜率为-12， 可得曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)=2，又f ′(x)=lnx+b x+1，即ln1+b+1=2，所以b=1. (2)g(x)的定义域为(0，+∞)，g ′(x)= b x+(1-a)x-1=()1a x a x --(x-1). ①若a ≤12，则1a a-≤1，故当x ∈(1，+∞)时，g ′(x)＞0，g(x)在(1，+∞)上单调递增. 所以，对任意x ≥1，都有g(x)＞1a a -的充要条件为g(1)＞1a a -，即112a --＞1a a -，解得a ＜-1-1＜a ≤12②若12＜a ＜1，则1a a -＞1，故当x ∈(1，1a a-)时，g ′(x)＜0； 当x ∈(0，1)，(1a a-，+∞)时，g ′(x)＞0. f(x)在(1，1a a -)上单调递减，在(0，1)，(1a a-，+∞)上单调递增. 所以，对任意x ≥1，都有g(x)＞1a a -的充要条件为g(x)＞1a a -.而g(x)=aln ()212111a a a a a a a a ++----＞在12＜a ＜1上恒成立， 所以12＜a ＜1 ③若a ＞1，g(x)在[1，+∞)上递减，不合题意.综上，a 的取值范围是(-∞，∪-1，1).考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2020年吉林高三二模理科数学试卷注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。
一、标题1.集合的子集的个数是（ ）．A. B. C. D.2.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ）．A.数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的C.数据中可能有极端大的值D.数据中众数可能和中位数相同4.“”是”，”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（ ）．A.B.C.6.已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.7.已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ）．A.B.C.D.8.如图，正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（ ）．A.直线B.直线C.直线D.直线9.我国宋代数学家秦九韶（）在《数书九章》（）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．其实质是根据三角形的三边长，，来三角形面积，即．若的面积，，，则等于（ ）．B.C.或D.或10.已知双曲线的焦距为．点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）．A.B.C.D.11.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.12.如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足则等于（ ）．A.B.C.D.13.在空间直角坐标系中，，，，，则四面体的外接球的体积为 ．14.直线（，）过圆的圆心，则的最小值是 ．15.若函数在区间上恰有个不同的零点，则正数的取值范围是 ．16.关于函数有下列四个命题：①函数在上是增函数；②函数的图象关于中心对称；③不存在斜率小于且与数的图象相切的直线；④函数的导函数不存在极小值．其中正确的命题有 ．（写出所有正确命题的序号）（1）（2）17.已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且，，成等差数列．求的通项公式．若数列满足，求的值．（1）（2）18.如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，， , 是棱的中点．证明：．求二面角的余弦值．19.已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足．（1）（2）求的面积．若，求的最大值．（1）（2）（3）20.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域．现随机抽取了某阅读区本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）．文学类专栏科普类专栏其他类专栏文学类图书科普类图书其他图书根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率．根据统计数据估计图书分类错误的概率．假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为，，，其中，，，当，，的方差最大时，求，的值，并求出此时方差的值．（1）（2）21.设函数．若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围．若，证明：．（1）（2）22.已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线．求曲线的方程．若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程．2020年吉林高三二模理科数学试卷答案注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。
2020年吉林省高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|−2⩽x <3},B ={0,2,4}，则A ∩B =( )A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2. 复数z =i1+i (i 为虚数单位)的模长是( )A. 12B. √22C. 1D. 23. 若向量a ⃗ =(2,k)，b ⃗ =(−1,2)，满足a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k =( ) A. −1B. 1C. 4D. 04. 已知tan(α+β)=25,tan(β+π4)=14，则tan(a −π4)的值为( )A. 16B. 2213C. 322D. 13185. 如图中的程序框图运行结果M 为( )A. 3B. 13 C. 32 D. 16. 双曲线C ：x 24−y 22=1的离心率为( )A. √22B. √62C. √24D. √647. 在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3+a 11−3a 5=10，则15a 4=( )A. −1B. 0C. 1D. 28. 函数f(x)={(12)x −1,−1≤x ≤0x 2,0<x ≤2，若方程f(x)=x +a 恰有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,14)B. [−1,14]C. [−14,2]D. (−14,2]9.某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是()A. 23B. 43C. 4D. 2√5310.将函数的图象向右平移π6个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为()A. 7B. 6C. 5D. 411.将正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，则直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°12.设f(x)=13x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为()A. B.C. D. [−√5,√5]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知n≥3，若对任意的x，都有(x+2)n=a0(x−1)n+a1(x−1)n−1+135⋅(x−1)n−2+⋯+a n，则n=______．14.已知数列{a n}中，a2=2，a n+1−2a n=0，那么数列{a n}的前6项和是______．15.已知满足{x≥2x+y≤42x−y−m≤0 ，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则z的最小值为______．16.已知P是抛物线y2=4x上任意一点，Q是圆(x−4)2+y2=1上任意一点，则|PQ|的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．(1)若bcosA=c，求B；(2)若bsinA=c，求a2+b2+c2ab的最大值．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是BC和CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4，∠BAC=90°．(Ⅰ)求证：B1D⊥平面AED；(Ⅱ)求二面角B1−AE−D的余弦值．19.随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数510151055手机支付4610620(1)若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为X，求X的分布列及数学期望；(2)把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明能否有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联？(附)参考公式：(k2=n×(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d)临界值表：20.(1)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线√7x−√5y+12=0相切．求椭圆C的方程；(2)已知⊙A1：(x+2)2+y2=12和点A2(2,0)，求过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P的轨迹方程．21. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +5，曲线y =f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y =3x +1．(1)求a ，b 的值；(2)求y =f(x)在[−3,1]上的最大值．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =sinα ,y =2cosα(α为参数)，直线l 过点P (0,1)． (1)求曲线C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求|PA|⋅|PB|的取值范围．23. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)=x 2−2x −3(x >0)．(Ⅰ) 若函数g(x)=|f(x)|−a 有4个零点，求实数a 的取值范围； (Ⅱ) 求|f(x +1)|≤4的解集．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题 解：集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={0,2,4}， 所以A ∩B ={0,2}． 故选B ．2.答案：B解析：本题考查复数的模的求法，及复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题． 解：z =i1+i =i (1−i )(1+i )(1−i )=i+12=12+12i ，复数模长：|z |=√(12)2+(12)2=√22，故选B ．3.答案：B解析：解：∵向量a ⃗ =(2,k)，b ⃗ =(−1,2)，满足a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−2+2k =0， 解得实数k =1． 故选：B ．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.答案：C解析：本题考查了正切的差角公式，属于基础题．利用tan(α−π4)=tan[(α+β)−(β+π4)]即可求解．解：由题意可知，tan(α−π4)=tan[(α+β)−(β+π4)]=25−141+25×14=322，故选C．5.答案：C解析：解：执行程序框图，有x=1y=2M=32故选：C．执行程序框图，依次写出得到的x，y，M的值即可．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．6.答案：B解析：解：双曲线C：x24−y22=1，可得a=2，b=√2，则c=√6．双曲线的离心率为：√62．故选：B．利用双曲线方程求出a，b，c，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．7.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式即可得出．解：设公差为d≠0的等差数列{a n}，∵4a3+a11−3a5=10，∴2a 1+6d =10，即a 1+3d =5=a 4， 则15a 4=1． 故选：C ．8.答案：D解析：解：方程f(x)=x +a 恰有两个不相等的实数根 等价于函数y =f(x)与y =x +a 图象恰有两个不同的交点，由图象可知当直线介于两红色线之间时符合题意， ∵a 为直线的截距，由图易得上面直线的截距为2， 由{y =a +a y =x 2可得x 2−x −a =0，由△=0可得a =−14 ∴a 的取值范围为：a ∈(−14,2] 故选：D问题等价于函数y =f(x)与y =x +a 图象恰有两个不同的交点，数形结合可得． 本题考查函数的零点，转化和数形结合是解决问题的关键，属基础题．9.答案：B解析：解：根据三视图知，该几何体是底面为平行四边形的四棱锥P −ABCD ，如图所示；则该四棱锥的高为2，底面积为1×2=2， 所以该四棱锥的体积是V =13×2×2=43． 故选：B ．根据三视图知该几何体是底面为平行四边形的四棱锥，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．10.答案：C解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ω的最小值．解：∵将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin(ωx−ωπ6+π3)的图象关于y轴对称，∴−ωπ6+π3=kπ+π2，k∈Z，ω=−6k−1，因为ω>0，所以当k=−1时，ω的最小值为5，故选：C．11.答案：B解析：解：如图，当平面BAC⊥平面DAC时，取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE，cos∠DBE=BEBD =√22，∴∠DBE=45°．故选：B．当平面BAC⊥平面DAC时，取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE，由此能求出结果．本题考查直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．12.答案：C解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，分离参数的应用，构造函数求最值，考查恒成立方法的应用，属于中档题．由题意得f ′(x)=x 2+2ax +5≥0或f ′(x)=x 2+2ax +5≤0恒成立，分离参数得a ≥−x 2−52x或a ≤−x 2−52x在x ∈[1,3]时恒成立，利用导数求y =−x 2−52x的最值即可．解：f(x)=13x 3+ax 2+5x +6在区间[1,3]上为单调函数，又f ′(x)=x 2+2ax +5， 若函数f(x)在[1,3]单调递增，则有f ′(x)=x 2+2ax +5≥0恒成立， 故a ≥−x 2−52x在x ∈[1,3]时恒成立， 令g(x)=−x 2−52x，则g′(x)=−x 2+52x 2，令g′(x)=0，得x =±√5，所以g(x)在[1,√5)单调递增，在(√5,3]单调递减， 又g(1)=−3，g(√5)=−√5，g(3)=−73，所以g(x)在[1,3]上的最大值为g(√5)=−√5，最小值为g(1)=−3， 所以a ≥(−x 2−52x)max =−√5；若函数f(x)在[1,3]单调递减，则有f′(x)=x 2+2ax +5≤0恒成立， 故a ≤−x 2−52x在x ∈[1,3]时恒成立，所以a ≤(−x 2−52x)min =−3． 综上所述，a 的取值范围为．故选C ．13.答案：6解析：根据题意，分析有(x +2)n =[(x −1)+3]n ，由二项式定理求出其展开式，结合题意分析可得C n 2×32=135，即C n 2=15，解可得n 的值，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是(x +2)的变形，属于基础题．解：根据题意，(x +2)n =[(x −1)+3]n ，其展开式为：T r+1=C nr(x −1)n−r ×3r ， 又由(x +2)n =a 0(x −1)n +a 1(x −1)n−1+135⋅(x −1)n−2+⋯+a n ，则有C n 2×32=135，即C n 2=15，解可得：n =6．故答案为6．14.答案：63解析：解：∵a 2=2，a n+1−2a n =0， ∴a n+1=2a n ，∴2a 1=2，解得a 1=1． ∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2， ∴S 6=26−12−1=63．故答案为：63．利用等比数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了等比数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：5解析：解：不等式组对应的平面区域如图： 由z =3x +y 得y =−3x +z平移直线y =−3x +z ，则由图象可知当直线y =−3x +z 经过点C 时，直线y =−3x +z 的截距最大，此时z 最大，为3x +y =10由{3x +y =10x +y =4，解得{x =3y =1，即C(3,1)，此时C 在2x −y −m =0上， 则m =5．当直线y =−3x +z 经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小，此时z 最小， 由{x =22x −y −5=0，得{x =2y =−1，即A(2,−1)， 此时z =3×2−1=5， 故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值．然后即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：2√3−1解析：本题考查抛物线与圆的位置关系的应用，距离的最小值的求法，是中档题．设点P的坐标为(14m2,m)，圆(x−4)2+y2=1的圆心坐标A(4,0)，求出|PA|的最小值，即可得到|PQ|的最小值．解：设点P的坐标为(14m2,m)，圆(x−4)2+y2=1的圆心坐标A(4,0)，∴|PA|2=(14m2−4)2+m2=116(m2−8)2+12≥12，∴|PA|≥2√3，∵Q是圆(x−4)2+y2=1上任意一点，∴|PQ|的最小值为2√3−1，故答案为：2√3−1．17.答案：解：(1)因为bcosA=c，由正弦定理得sinBcosA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB=0，因为0<A<π，sinA≠0，所以cosB=0，B=π2，(2)因为bsinA=c，由正弦定理得sinBsinA=sinC，由余弦定理得，当C=π4时，a2+b2+c2ab可取最大值2√2．解析：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，难度一般，(1)正弦定理结合已知条件和角的取值范围可得答案；(2)直接应用正弦定理余弦定理结合bsinA=c可得答案．18.答案：解：(Ⅰ)依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，∵AB=AC=AA1=4，∴A(0,0，0)，B(4,0，0)，E(0,4，2)，D(2,2，0)，B1(4,0，4)，∴B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，−4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，2)， ∵B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+4+0=0， ∴B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1D ⊥AD ， ∵B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+8−8=0， ∴B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1D ⊥AE ，又AD ，AE ⊂平面AED ，且AD ∩AE =A ， 则B 1D ⊥平面AED ；(Ⅱ)由(Ⅰ)知B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，−4)，为平面AED 的一个法向量， 设平面B 1AE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，2)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，4)， ∴{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{4y +2z =04x +4z =0，令y =1，得x =2，z =−2，即n⃗ =(2,1，−2)， ∴cos(n ⃗ ,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=n⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√9×√24=√66， ∴二面角二面角B 1−AE −D 的余弦值为√66．解析：(Ⅰ)建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别计算B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，利用直线与平面垂直的判定定理可证B 1D ⊥平面AED ；(Ⅱ)由(Ⅰ)分别求出平面AED 和平面B 1AE 一个法向量；利用空间两个向量的夹角公式即可求出二面角B 1−AE −D 的余弦值．此题考查了二面角及求法，直线与平面垂直的判定，锻炼了学生空间想象能力和逻辑推理能力，熟练掌握二面角的求法及直线与平面垂直的判定方法是解本题的关键．19.答案：解：(1)年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中使用手机支付的有2人，则抽取的2人中使用手机支付的人数X 可能取值为0，1，2．∴p (X =0)=C 32C 52=310;P (X =1)=C 31C 21C 52=35;P (X =2)=C 22C 52=110．∴X的分布列为：∴E(X)=0×310+1×35+2×110=45;(2)2×2列联表如图所示，∵K2=50×(20×12−8×10)20×30×28×22=800231≈3.463<3.841，∴没有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联．解析：本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望及独立性检验．(1)由随机变量的X的所有可能取值为0，1，2，求得对应的概率，得到分布列，求得数学期望；(2)由列联表，代入公式，K2=50×(20×12−8×10)20×30×28×22=800231≈3.463<3.841，得到结果．20.答案：解：(1)由题意得{ca =12√7+5=ba2=b2+c2，解得a=4，b=2√3，c=2故椭圆C的A1方程为x216+y212=1.(2)⊙A1：(x+2)2+y2=12和点A2(2,0)，过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P满足：||PA 1|−|PA 2||=2√3<|A 1A 2|故P 点的轨迹为以A 1，A 2为焦点的双曲线2a =2√3,c =2,解得a =√3,b =1圆心P 的轨迹方程为：x 23−y 2=1解析：(1)利用椭圆的离心率以及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线√7x −√5y +12=0相切，列出方程组求解a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)判断P 点的轨迹为以A 1，A 2为焦点的双曲线，求出a ，b ，即可得到双曲线方程． 本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)由f(x)=x 3+ax 2+bx +5得，f′(x)=3x 2+2ax +b ，∴y =f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为： y −f(1)=f′(1)(x −1)，即y −(a +b +6)=(3+2a +b)(x −1)， 整理得y =(3+2a +b)x +3−a ．又∵y =f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y =3x +1， ∴{3+2a +b =33−a =1，解得{a =2b =−4，∴a =2，b =−4．(2)由(1)知f(x)=x 3+2x 2−4x +5， f′(x)=3x 2+4x −4=(3x −2)(x +2)， 令f′(x)=0，得x =23或x =−2． 当x 变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表：∴f(x)的极大值为f(−2)=13，极小值为f(23)=9527， 又∵f(−3)=8，f(1)=4， ∴f(x)在[−3,1]上的最大值为13．解析：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值关系，属于中档题． (1)先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出a 和b 的值；(2)由(1)求出f′(x)，再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程为为参数)， 根据得曲线C 的标准方程为x 2+y 24=1；(2)设直线l 的参数方程为代入椭圆方程得：，则，又因为，∴|PA|⋅|PB|的取值范围为[34,3]．解析：本题考查椭圆的参数方程，直线的参数方程的几何意义，基础题． (1)根据消去参数α，直接得到曲线C 的标准方程；(2)设直线l 的参数方程为代入椭圆方程利用韦达定理求解，根据三角函数的值域求解即可．23.答案：(本小题满分12分)解：(Ⅰ)因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)=x 2−2x −3(x >0)， 则f(x)={x 2−2x −3,(x >0)0,(x =0)−x 2−2x +3,(x <0).…(2分) 从而可得函数y =f(x)与y =|f(x)|的图象分别如下图所示．…(4分)因为函数g(x)=|f(x)|−a有4个零点，则题设可等价转化为函数y=|f(x)|与函数y=a的图象有4个交点．…(5分)由右上图可知，a=4或0<a≤3，…(6分)即：当a=4或0<a≤3时，函数g(x)=|f(x)|−a有4个零点．…(7分)(Ⅱ)令f(x)=4得，x=2√2+1或−1，…(8分)因为f(x)是定义在R上的奇函数，当f(x)=−4时，解得x=−2√2−1或1…(9分)结合左上图可知，|f(x+1)|≤4⇔−2√2−1≤x+1≤2√2+1，…(10分)即：−2√2−2≤x≤2√2.…(11分)所以所求解集为[−2√2−2,2√2].…(12分)解析：(Ⅰ)利用f(x)是定义在R上的奇函数，求出函数的解析式，画出函数y=f(x)与y=|f(x)|的图象，利用函数g(x)=|f(x)|−a有4个零点，转化为函数y=|f(x)|与函数y=a的图象有4个交点．推出实数a的取值范围即可．(Ⅱ)令f(x)=4得，x=2√2+1或−1，利用函数f(x)是定义在R上的奇函数，结合图象，求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的图象的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用，考查计算能力．。
2019-2020学年吉林省吉林市普通中学度高三第二次调研测试数学（理）试题一、单选题1．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】 由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ） A ．数据中可能有异常值 B ．这组数据是近似对称的 C ．数据中可能有极端大的值 D ．数据中众数可能和中位数相同【答案】B【解析】根据中位数、平均数、众数的定义说明． 【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B 错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础． 4．“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】先求出满足1cos 22α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 由1cos 22α=-得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的必要不充分条件．故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．5．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ） A ．3y x = B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =【答案】D【解析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线． 【详解】如图，作出A ，B ，C ，D 中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线3log y x =的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D 是正确选项， 故选：D ． 【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．6．已知实数x ，y 满足线性约束条件10+20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．5-D ．5【答案】B【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：11x x y =⎧⎨+=⎩，可得点的坐标为：()1,1A -，据此可知目标函数的最小值为：min 2211z x y =+=-=.故选B . 【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.7．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1 B.2 C.12D ．4 【答案】B【解析】因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于原点 半径，可知p 的值为2，选B.8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B【答案】C【解析】根据线面平行的判定定理判断． 【详解】首先四个选项的直线都不在平面1ACD 内，由中点及正方体的性质知//EF AC ，11////GH AC AC ，11//AB DC ，∴直线EF ，GH ，1A B 都与平面1ACD 平行，剩下的只有EH 不与平面1ACD 平行．实际上过A 作1CD 的平行线，这条平行线在平面1ACD 内且与EH 相交（它们都在平面11ABB A 内）．故选：C ． 【点睛】本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理．9．我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =若ABC ∆的面积S =，a =2b =，则c 等于（ ）A ．5B ．9C 3D ．5或9【答案】C【解析】把已知数据代入面积公式解方程即得． 【详解】=2221111[3()]424c c --=，整理得4214450c c -+=，29c =或5，即c =3．故选：C ． 【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知,a b 代入面积公式解方程即可得．10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．BC ．2D ．3【答案】A【解析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y xa =，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．11．已知ln a π=，5log 2b =，12c e -=，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与12比较． 【详解】首先125ln 1,0log 21,01eπ-><<<<，a 最大，其次551log 2log 2<=，1212e -=>=，∴c b >，∴a c b >>． 故选：B ． 【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较，如0，1，2等等．本题中是与12比较的．12．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若AB =1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2BC ．23D ．83【答案】D【解析】选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++5211BA BC =-⋅++ ，∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC⋅22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，)A，()0,3,0B ，()0,0,5C ，)D，则四面体ABCD 的外接球的体积为______. 【答案】36π；【解析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体ABCD 外接球的直径． 【详解】取(0,3,5),(0,0,0)E F G O ，则O A F B C E D G-是长方体，其对角线长为6l ==，∴四面体ABCD 外接球半径为32lr ==． 334433633V r πππ==⨯=，故答案为：36π．【点睛】本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知．14．直线20+-=mx ny （0m >，0n >）过圆C ：222210x y x y +---=的圆心，则24m n+的最小值是______.【答案】3+【解析】求出圆心坐标，代入直线方程得,m n 的关系，再由基本不等式求得题中最小值． 【详解】圆C ：222210x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)3x y -+-=，圆心为(1,1)C ， 由题意20m n +-=，即2m n +=，∴24122()()333m n m n m n m n n m +=++=++≥+=+2m nn m=，即1),2(2m n ==时等号成立，故答案为：3+． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．15．若函数()1sin 262f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取值范围是______. 【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【解析】求出函数()f x 的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间[]0,π上，第四个零点在区间[]0,π外即可．【详解】由()1sin 2062f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＝，得2(1)66k x k ππωπ+=+-⋅，k Z ∈， 1=[(1)]266k x k πππω+--⋅，k Z ∈， ∵(0)0f =，∴1(3)2661(4)266ππππωππππω⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ ，解得423ω≤<．故答案为：4[,2)3． 【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间[]0,π上．由此可得ω的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．16．关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题： ①函数()y f x =在()2,4-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于23且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③【解析】由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断． 【详解】函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--的定义域是(2,4)-， 由于()()()26ln 2ln 4lnln(1)44x f x x x x x+=+--==-+--， 614u x=-+-在(2,4)-上递增，∴函数()y f x =在()2,4-上是递增，①正确； (2)ln(4)ln(2)()f x x x f x -=--+=-，∴函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称，②正确；22116662'()2482(1)993f x x x x x x =+==≥=+-+---+，1x =时取等号，∴③正确；2116'()2428f x x x x x =+=+--++，设()'()g x f x =，则2212(1)'()(28)x g x x x -=-++，显然1x =是()g x 即'()f x 的极小值点，④错误．故答案为：①②③. 【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足12a =，且223,2,a S a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log n n b a =，求2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-的值.【答案】（1）()21*2n n a n N -=∈（2）20000-【解析】（1）由公比q 表示出232,,a a S ，由223,2,a S a 成等差数列可求得q ，从而数列的通项公式；（2）求（1）得n b ，然后对和式2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-两两并项后利用等差数列的前n 项和公式可求解． 【详解】（1）∵{}n a 是等比数列，且223,2,a S a 成等差数列∴2234S a a =+，即()211114a a q a q a q +=+∴244q q q +=+，解得：1q =-或4q = ∵0q >，∴4q = ∵12a = ∴()121*242n n n a n N --=⋅=∈（2）∵2log 21n n b a n ==- ∴2222221357197199-+-+⋅⋅⋅+-()()()()()()13135757197199197199=-++-++⋅⋅⋅+-+ ()()21357199=-++++⋅⋅⋅+ 119921002+=-⋅⋅ 20000=-【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的n 项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．18．如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，AA '=，M 是棱CC '的中点.（1）证明：AB A M ''⊥；（2）求二面角A MB A ''--的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）由侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，得可侧面与底面垂直，从而BC 与侧面AA C C ''垂直，因此有BC A M '⊥，即有B C A M '''⊥，于是只要证A M AC ''⊥即可有线面垂直，从而证AB A M ''⊥，这个A M AC ''⊥在矩形ACC A ''由相似三角形可得证；（2）以分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MA B ''和平面MAB '法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）． 【详解】（1）证明：∵AA '⊥平面ABC ∴四边形ACC A ''是矩形∵M 为CC '中点，且AA CC ''==∴C M '=∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒∴AC A C ''==∴C M A C A C AA'''=''' 连接AC ' ，∵MC A C A A ''''∠=∠，∴MC A ''∆与C A A ''∆相似 ∴C A M A AC ''''∠=∠，∴90A AC AA M '''∠+∠=︒ ∴A M AC ''⊥∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面ACC A '' ∴B C ''⊥平面ACC A ''∵A M '⊂平面ACC A ''，∴B C A M '''⊥ ∴A M '⊥平面AB C ''，∴A M AB ''⊥．（2）解∶如图，分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A '，2M ⎛ ⎝⎭，(B '，)A ，∴3,0,2MA ⎛⎫'=⎪⎪⎭，0,1,2MB ⎛⎫'= ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,2MA ⎛=- ⎭， 设平面MA B ''的法向量为()1111,,n x y z =，则10MA n '⋅=，20MB n '⋅=解得：12,22n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭同理，平面MAB '的法向量212n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设二面角A MB A ''--的大小为θ，则1212122cos cos ,|3||||1n n n n n n θ⋅=<>===⋅ 即二面角A MB A ''--的余弦值为23. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角．证明线面垂直，就要证线线垂直，而证明线线垂直又可通过线面垂直得出，因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化，用好用活判定定理和性质定理．立体几何中求空间角可用空间向量法求解，即建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与空间角的关系求解．19．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值.【答案】（1）5（2）【解析】（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值． 【详解】 解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π- ∵()sin 220cos 0bc A B C ++= ∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A ==（2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭∴当4A π=时，c bb c+取最大值【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，这样可把22c b b c b c bc++=表示为角A 的函数，从而求得最值．20．为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率1p ； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率2p ；（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为a ，b ，c ，其中0a >，100a b +=，50c =，当a ，b ，c 的方差2s 最大时，求a ，b的值，并求出此时方差2s 的值. 【答案】（1）23（2）725（3）当100a =，0b =时，2s 取最大值50003【解析】（1）文学类图书共有150本，其中正确分类的有100本，由此可计算概率； （2）图书分类错误的共有140本，图书总共有500本，易得概率； （3）计算平均值，再计算方差2s ，转化为a 的函数后可得最大值． 【详解】 解：（1）由题意可知，文学类图书共有1004010150++=本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率110021503p == （2）图书分类错误的共有302040101030140+++++=本，因为图书共有500本，所以图书分类错误的概率2302040101030750025p +++++==（3）a ，b ，c 的平均数()1503x a b c =++=所以方差()()()22221505050503s a b ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()22150001003a b a b ⎡⎤=++-+⎣⎦ ()22150003a b =+-()22110050003a a ⎡⎤=+--⎣⎦21220050003a a ⎡⎤=-+⎣⎦∵0a >，0b ≥，∴当100a =，0b =时，2s 取最大值50003. 【点睛】本题考查古典概型，考查方差的计算．考查了学生的数据处理能力．属于中档题．21．设函数())ln 1f x x a=-.（1）若函数()y f x =在()1,+∞是单调递减的函数，求实数a 的取值范围；（2）若0n m >>，证明：2ln ln n m +<. 【答案】（1）2a ≥（2）证明见解析【解析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数()f x ，不等式凑配后知，利用2a =时()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭可证结论． 【详解】（1）因为()y f x =在()1,+∞上单调递减， 所以()10f x x '=-≤，即a ≥在()1,+∞上恒成立 因为y=在()1,+∞()0,2，所以2a ≥ （2）因为0n m >>，所以1nm> 由（1）知，当2a =时，()y f x =在()1,+∞上单调递减所以()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭即ln 210nm ⎫-<⎪⎪⎭所以2ln ln n m +<. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．22．已知()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为34-，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与4x =相交于点T ，求||||TF MN 的最小值及此时直线l 的方程.【答案】（1）()221243x y x +=≠±（2）||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x = 【解析】（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为(,)P x y ，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，消元并整理得()2234690my my ++-=，设()12,M x y ，()22,N x y ，则可得12y y +，，12y y ，由12MN y =-求出MN ，将直线FT 方程()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -，求得TF ，计算||||TF MN ，设t =.显然1t ≥，构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线l 的方程. 【详解】（1）设(),P x y ，则34PA PB k k ⋅=-，即()3224y y x x ⋅=---- 整理得()221243x y x +=≠±（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=即()2234690m y my ++-=设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+ 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -∴TF ==∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝设t =.显然1t ≥ 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”即||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x =. （注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.） 【点睛】本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．。
2020届高三数学第二次调研考试试题理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，进而求交集即可.【详解】，，所以，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查对数函数的单调性与二次不等式的解法，属于基础题.2.设复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算得到，进而得到其共轭复数即可.【详解】，，的共轭复数为，故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除法运算，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3.已知为数列前项和，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据得到，从而为等比数列，利用等比数列前n项和公式可得结果.【详解】时，，两式相减，整理得，∵，∴，所以是首项为，公比为的等比数列，∴，故选D.【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.4.已知，为互相垂直单位向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量夹角公式即可得到结果.【详解】代数法：，故选A.【点睛】本题考查向量夹角公式，考查向量的运算法则及几何意义，考查学生的运算能力与数形结合能力，属于基础题.5.下列说法正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样.②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学.③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.④在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位.A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】B【解析】【分析】①由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样；②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；④在回归直线方程0.1x+10中，回归系数为0.1，利用回归系数的意义可得结论．【详解】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从某处抽取一件产品进行某项指标检测，由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样，故①不正确；②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水，故②不正确；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；④在回归直线方程0.1x+10中，回归系数为0.1，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位，故④正确．故选：B．【点睛】本题考查命题真假判断，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．6.若,且，则的值为( ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，根据诱导公式得，又因为，所以，所以所以，故选A．7.设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：画圆：(x–1)2+(y–1)2=2，如图所示，则(x–1)2+(y–1)2≤2表示圆及其内部，设该区域为M.画出表示的可行域，如图中阴影部分所示，设该区域为N.可知N在M内，则p是q的必要不充分条件.故选A.【考点】充要条件的判断，线性规划【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合．本题的条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
吉林省实验中学2020届高三第二次模拟理科数学考试试题(含答案)吉林省实验中学2020届高三第二次模拟考试数学学科（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1. 若集合{}22<-∈=x N x A ,{}2)1(log 2<+=x x B ,则B A I 为（ ）A. {}31<<x xB.{}211<<x xC.{}3,2,1 D.{}2,1 2. 命题“2)2(log ),3,1(23>+∈∀x x x ”的否定为（ ） A. 2)2(log ),3,1(23<+∈∀x x x B.2)2(log ),3,1(02030>+∈∃x x x B. 2)2(log ),3,1(23≤+∈∀x x x D.2)2(log ),3,1(02030≤+∈∃x x x3. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,log 0,12)(21x x x x f x ，若0)(=-a x f 有两个零点，则a 的范围（ ）A. ),1(+∞B.[),0+∞C. ]2,1(D. ),2(+∞ 4. “21<<y x 或”是”3<+y x ”的（ ）条件A. 充分不必要B.必要不充分C. 充分必要D.即不充分也不必要5. 函数)4(log 4)(21++-=x x x f 的值域是（ ）A. (]4,4-B. [)4,3-C.[)+∞-,3D.(]3,-∞-6. 已知[]x a e x p ln ,,1:2<∈∀，04,:0200=++∈∃a x x R x q 使，若命题""q p ∧为假，则a 的取值范围是（ ）A. ()+∞,0B.()+∞,4C. [)+∞,0D.[)4,07. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)6()4(x f x f -=-，则=+++)2020()2()1(f f f Λ（ ）A. 无法确定B. 0C. 2D. 48. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对()+∞∈∀,0,21x x ，当21x x ≠时，总有()[]0)()(2121<--x f x f x x 成立，则（ ）A. )2()2()41(log 32233-->>f f fB. )2()2()41(log 23323-->>f f fC. )41(log )2()2(33223f f f >>-- D. )41(log )2()2(32332f f f >>--9. 已知x x f ln 3)(=，⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,22)(2x x x x x x g ，令)()()(x g x f x h -=，则函数)(x h y =的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410. 设)(x f 是定义在R 的函数，满足0)(2)2(=++x f x f π，且[]0,2π-∈x 时，x x f sin )(=，若对(]a x ,∞-∈∀，恒有4)(≤x f 成立，则a 的最大值为（ ） A. 25π B. 29π C. 625π D. 631π11. 若点P 的坐标满足1ln -=x y ，则点P 的轨迹为（ ）A. B.C. D.12. 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '， x R ∀∈，有()()2f x f x x -+=，且()+∞∈,0x 时总有x x f <')(成立，若02135)()13(2>----++a a a f a f ，则实数a 的取值范围为（ ）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-21,21B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,D. ⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21二、填空题（每题5分，共20分）13. 集合{}52<<-=x x A ，()12,1+-=m m B ，若A B A =Y ，则m 的取值范围是 .14. 已知函数)(x f 的定义域为R ，对21x x <∀，都有2121)()(x x x f x f ->-，且1)2(=f ，则不等式x x f 2121log 1)(log <+的解集为 .15. 若对R x x ∈∀21,，总有4)()()(++=+y f x f y x f 成立，则)(4cos sin )(x f x xx g ++=的最大值和最小值的和为 .16. 若曲线21:(0)C y ax a => 与曲线2:x C y e = 存在公共切线，则a 的取值范围是 .三、解答题（一）必做题，共60分17. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足C C A B sin 23cos sin sin +=。
2020年吉林省第二次高考模拟考试理科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数ii z 212019-=，则复数z 的虚部为（ ）A.52-B.i 52-C.51-D.i 51- 2. 已知集合A={-2，-1,0,1,2}，B={x|（x-1）（x+2）<0},则A ∩B=（ ） A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2}3. 如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为 A. 4 B. 5 C. 8 D. 94. 已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为（ ） A.B.C.D.5. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，CC 1的中点，以下四个结论： ①直线DM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 6．已知数列}{n a 是等比数列，且4622a a a =，则=53a a （ ） A ．0B ．2C ．4D ．0或47．函数()232=||f x x x -+的单调递增区间是( ) A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞C ．(],1-∞和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[)2,+∞8．若函数(),y f x =的定义域是[0,4]，则函数()g x =的定义域是（ ）。
2020届吉林省长春市高三质量监测（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|(2)0A x x x =-≤，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I （ ） A ．{}1,3- B ．{}0,1,2 C ．{}1,2 D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得A B I . 【详解】由()20x x -≤解得02x ≤≤，所以[]0,2A =，所以{}0,1,2A B =I . 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =，则a =（ ）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【答案】A【解析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z ==解得0a =或2a =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题. 3．下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x=D ．14y x =【答案】C【解析】分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1a B ．3aC ．8aD ．10a【答案】A【解析】将已知条件转化为1,a d 的形式，由此确定数列为0的项. 【详解】由于等差数列{}n a 中5732a a =，所以()()113426a d a d +=+，化简得10a=，所以1a 为0.故选：A 【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-r u r u u r，且a =r λ=（ ）A ．－1B ．2C ．0或－1D ．2或－1【答案】D【解析】利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数λ的值. 【详解】由于a =r 23a =r ，即()2123e e λ-=u r u u r ，2222112222cos6013e e e e λλλλ-⋅+=-⋅+=o u r u r u u r u u r ，即220λλ--=，解得2λ=或1λ=-.故选：D 【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.6．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲 【答案】D【解析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项. 【详解】对于A 选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A 选项错误. 对于B 选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B 选项错误. 对于C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C 选项错误. 对于D 选项，甲的总得分45334322+++++=分，乙的总得分54545427+++++=分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D 选项正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()lna xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧【答案】A【解析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =，则AC 边上的高为（ ）A B ．2C D 【答案】C【解析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高. 【详解】过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-，所以A 为钝角，且sin A ==，所以()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=+5321152sin cos cos sin 32326A C A C -=+=⨯-⨯=.在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B=，即1525152-=-，所以25BC =.在Rt BCD ∆中有1sin 2552BD BC C ==⨯=，即AC 边上的高为5. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．36种【答案】B【解析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数. 【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有22326C A ⨯=种.如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种.故总的方法数有6612+=种. 故选：B 【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB成角为4π.正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2A C G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ，不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r ，故//GC ED 不成立，故②错误.③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r，设EF 和1BB 成角为θ，则1122cos 222EF BB EF BB θ⋅-===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.11．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x = B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =【答案】C【解析】根据抛物线方程求得M 点的坐标，根据//MA x 轴、120AMF ∠=︒列方程，解方程求得p 的值. 【详解】不妨设M 在第一象限，由于M 在抛物线上，所以1,2M p ⎛⎫⎪⎝⎭，由于以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，根据抛物线的定义可知，MA MF =、//MA x 轴，且,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭.由于120AMF ∠=︒，所以直线MF 的倾斜角α为120o ，所以0tan1203122MF p k p-===--o ，解得3p =，或13p =（由于10,122p p -<>，故舍去）.所以抛物线的方程为26y x =.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(],1-∞【答案】A【解析】构造函数()()1g x f x =-，通过分析()g x 的单调性和对称性，求得不等式()(32)2f x f x +-≤的解集.【详解】构造函数()()()11111x x g x f x ex e --=-=-+-，()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到()()11x x h x g x e x e=+=-+， ()h x 的定义域为R ，且()()1xx h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 图像关于()1,0对称. 不等式()(32)2f x f x +-≤等价于()()13210f x f x -+--≤， 等价于()()320g x g x +-≤，注意到()10g =，结合()g x 图像关于()1,0对称和()g x 单调递增可知3221x x x +-≤⇒≥. 所以不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是[)1,+∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.二、填空题13．若,x y 满足约束条件222022x y y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为__________．【答案】4 【解析】【详解】 作出可行域如图所示：由222x y y -=⎧⎨=⎩，解得()2,2A .目标函数z x y =+，即为y x z =-+，平移斜率为-1的直线，经过点()2,2A 时，224max z =+=.14．若()1253a x dx -=⎰，则a =______. 【答案】2【解析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a 的值． 【详解】解：若1205()3a x dx -=⎰，则31015|33ax x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1533a -=，所以2a =．故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 15．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）在区间[),2ππ上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是________.【答案】511,612⎛⎤⎥⎝⎦【解析】首先根据x 的取值范围，求得6x πω+的取值范围，由此求得函数()f x 的值域，结合()f x 区间[),2ππ上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得ω的取值范围.【详解】由于2,0x ππω≤<>，所以2666x πππωπωωπ+≤+<+，由于()f x 区间[),2ππ上的值小于0恒成立， 所以2222666k x k πππππωπωωπππ+<+≤+<+≤+（k Z ∈）.所以522661121122266212k k k k k πωωππππωπππω⎧>+⎧⎪+>+⎪⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪+≤+≤=+⎪⎪⎩⎩， 由于0>ω，所以511210612120k k k k ⎧+<+⎪⇒≤<⎨⎪≥⎩， 由于k Z ∈，所以令0k =得511612ω<≤. 所以ω的取值范围是511,612⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：511,612⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、双空题16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O，且BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为________.【答案】343π【解析】由于BD 是球的直径，故当,OC BD OA BD ⊥⊥时，三棱锥A BCD -体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥A BCD -体积最大时，等边三角形ABC 的外接圆半径，由此求得等边三角形ABC 的外接圆的面积，也即求得平面ABC 截球所得的截面圆的面积. 【详解】依题意可知，BD 是球的直径，所以当,OC BD OA BD ⊥⊥，即2OC OA ==时，三棱锥A BCD -体积取得最大值为1112222223323BCD S OA ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.此时2BC AC AB ===，即三角形ABC 是等边三角形，设其外接圆半径为r ，由正弦定理得223sin3r r π=⇒=，所以等边三角形ABC 的外接圆的面积，也即平面ABC 截球所得的截面圆的面积为2244433r πππ=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：(1).22(2). 43π【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.四、解答题17．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求m 的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）0.025m =（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为1列方程，解方程求得m 的值. （2）根据表格数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. 【详解】（1）由题意()0.00520.0150.020.03101m ⨯++++⨯=，解得0.025m =. （2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为()0.025+0.0031010030⨯⨯=. 完善列联表如下：2 2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++2100(800300)4.76250503070⨯-=≈⨯⨯⨯，对照表格可知，4.762 6.635<，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查22⨯列联表独立性检验，属于基础题.18．如图，直三棱柱111ABC A B C-中，底面ABC为等腰直角三角形，AB BC⊥，124AA AB==，M，N分别为1CC，1BB的中点，G为棱1AA上一点，若1A B⊥平面MNG.（1）求线段AG的长；（2）求二面角B MG N--的余弦值.【答案】（1）1AG=（25【解析】（1）先证得1AB GN⊥，设1A B与GN交于点E，在BNE∆中解直角三角形求得1,BE A E，由此求得AG的值.（2）建立空间直角坐标系，利用平面BMG和平面NMG的法向量，计算出二面角B MG N--的余弦值.【详解】（1）由题意，11A B MNGA B GNGN MNG⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面，设1A B与GN交于点E，在BNE∆中，可求得45BE=，则165A E=，可求得13A G=，则1AG=（2）以1B为原点，1B B方向为x轴，1B C方向为y轴，11B A方向为z轴，建立空间直角坐标系.(4,0,0)B ，(2,2,0)M ，(3,0,2)G ，(2,0,0)N(2,2,0)BM =-u u u u r ，(1,0,2)BG =-u u u r，易得平面BMG 的法向量为1(2,2,1)n =u r .(0,2,0)NM =u u u u r ，(1,0,2)NG =u u u r，易得平面NMG 的法向量为2(2,0,1)n =-u u r .设二面角B MG N --为θ，由图可知θ为锐角，所以1212||5cos 5||||35n n n n θ⋅===⋅⋅u r u u r u r u u r .即二面角B MG N --的余弦值为5.【点睛】本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．已知数列{}n a 满足，11a =，24a =，且21430n n n a a a ++-+=()*n ∈N .（1）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设2n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；312n n a -=（2）1(21)33(1)42n n n n n S +-⨯++=-【解析】（1）根据题目所给递推关系式得到()2113n n n n a a a a +++-=-，由此证得数列{}1n n a a +-为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列{}n b 的前n 项和n S 【详解】（1）已知21430n n n a a a ++-+=，则()2113n n n n a a a a +++-=-，且213a a -=，则{}1n n a a +-为以3为首相，3为公比的等比数列，所以13nn n a a +-=，()()()112211312n n n n n n a a a a a a a a ----=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+=. （2）由（1）得：3nn b n n =⋅-，1213233n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯，①23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯+⨯，②①－②可得11211332333332n nn n n T n n ++---=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯=-⨯，则111333(21)33424n n n n n n T +++-⨯-⨯+=-+=即1(21)33(1)42n n n n n S +-⨯++=-. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-. （1）求C 的方程；（2）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）是定值，且定值为2【解析】（1）设出P 点坐标并代入椭圆方程，根据34AP BP k k ⋅=-列方程，求得22b a的值，结合22c =求得,a b 的值，进而求得椭圆C 的方程.（2）设出直线,AP OM 的方程，联立直线AP 的方程和椭圆方程，求得P 点的横坐标，联立直线OM 的方程和椭圆方程，求得2M x ，由此化简求得2||||2||AP AQ OM ⋅=为定值. 【详解】（1）已知点P 在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上，可设()00,P x y ，即2200221x y a b+=，又2200022200034AP BPy y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==-=-+--， 且22c =，可得椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设直线AP 的方程为：(2)y k x =+，则直线OM 的方程为y kx =. 联立直线AP 与椭圆C 的方程可得：()2222341616120kxk x k +++-=，由2A x =-，可得226834P k x k -=+，联立直线OM 与椭圆C 的方程可得：()2234120kx +-=，即221234Mx k=+， 即2222|02|||||2||P A Q P M MAx x x x x AP AQ OM x x -⋅-+⋅+⋅===. 即2||||||AP AQ OM ⋅为定值，且定值为2.【点睛】本小题主要考查本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的定值问题的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()x f x e =.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若对任意的m ∈R ，当0x >时，都有212()1m f x x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭恒成立，求最大的整数k .（参考数据：1.78≈）【答案】（1）y ex =（2）2【解析】（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程. （2）对m 分成，0,0m m =≠两种情况进行分类讨论.当0m ≠时，将不等式212()1m f x x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭转化为2112()f x x m -+>，构造函数1()2()h x f x x=+，利用导数求得()h x 的最小值（设为a）的取值范围，由21a m->的得210am -+>在m ∈R 上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得k 的取值范围. 【详解】（1）已知函数()xf x e =，则(1,(1))f 处即为(1,)e ， 又()xf x e '=，(1)k f e '==，可知函数()xf x e =过点(1,(1))f 的切线为(1)-=-y e e x ，即y ex =.（2）注意到0x >，不等式212()1m f x x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭中， 当0m =时，显然成立；当0m ≠时，不等式可化为2112()f x x m -+>令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=-， 1122211()2221240h e e '=-=⎛⎫⎪⎭- <⎝，232 1.7830122h '=-=-≈⨯-⎭>⎝所以存在01,23x ⎛∈ ⎝⎭，使()0020120x h x e x '=-=.由于2x y e =在()0,∞+上递增，21y x=在()0,∞+上递减，所以0x 是()'h x 的唯一零点.且在区间()00,x 上()0h x '<，()h x 递减，在区间()0,x +∞上()0h x '>，()h x 递增，即()h x 的最小值为()0020001112x h x e x x x =+=+，令012)t x =∈，则220011(3t t x x +=+∈，将()h x 的最小值设为a，则(3a ∈，因此原式需满足21a m->，即210am -+>在m ∈R 上恒成立， 又0a >，可知判别式840k a ∆=-<即可，即2ak <，且(3a ∈+ k 可以取到的最大整数为2.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 22．已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 和2C 的普通方程；（2）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值.【答案】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=（2）1)【解析】（1）消去曲线12,C C 参数方程中的参数，求得1C 和2C 的普通方程. （2）设出过原点O 的直线的极坐标方程，代入曲线12,C C 的极坐标方程，求得,ON OM 的表达式，结合三角函数值域的求法，求得||||ON OM 的最小值.【详解】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=.（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R πθββπβρ⎛⎫=≤<≠∈ ⎪⎝⎭； 由22(2)4x y -+=得2240x y x +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=在曲线1C 中，4|o |c s OM β=.由80x y +-=得曲线2C 的极坐标方程为cos sin 80ρθρθ+-=，所以 而O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8||sin cos ON ββ=+，因此28||24sin cos ||4cos sin cos cos 214ON OM ββπβββββ+===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即||||ON OM1)=. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题. 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-. （1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|33x x -<<（2）()0,a ∈+∞【解析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集. （2）对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况，求得()f x 的最小值，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x x f x ax x a x x a a x x a ⎧⎪+>⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩()f x 的最小值为1f a ⎛⎫-⎪⎝⎭和()1f 中的最小值，其中1111f a a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，(1)11f a =+>.所以()1f x >恒成立.当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意. 当0a <时，()1111,1f a f a a ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意； 若2a <-，则11f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。
吉林市普通中学2020-2021学年度高中毕业班第二次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题1. 集合{}22A x x =-<<，{}13B x x =-≤<，那么A B =（ ）A. {}23x x -<< B. {}12x x -≤<C. {}21x x -<≤D. {}23x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据并集的定义，直接求解. 【详解】{}22A x x =-<<，{}13B x x =-≤<，{}23A B x x ∴⋃=-<<.故选：A2. 在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A. (1,2) B. (2,1)C. (1,2)-D. (2,1)-【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及复数表示的几何意义即可求解.【详解】解：因为复数i （2+i ）=2i ﹣1， 故复数对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C.【点睛】本题考查了复数的乘法运算以及复数的几何意义，属于基础题.3. 若()1,2,3,4,5i x i =对应数据的茎叶图如图甲所示，现将这五个数据依次从小到大输入程序框（如图乙）进行计算（其中20x =），则下列说法正确的是（ ）A. 输出的S 值是10B. 输出S 值是2C. 该程序框图的统计意义为求这5个数据的标准差D. 该程序框图的统计意义为求这5个数据的方差 【答案】A 【解析】【分析】根据程序框图计算运算结果即可得出选项. 【详解】由程序框图可得()()()()()222221820192020202120222010S =-+-+-+-+-=.故选：A4. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的正视图、侧视图、俯视图依次是（ ）A. ①②③B. ②①③C. ②①④D. ③①④【答案】C 【解析】【分析】根据三视图的定义直接选出结果即可. 【详解】由三视图的定义可知： 正视图为②；侧视图为①；俯视图为④. 故选：C5. 已知ABC 中，“sin sin A B >”是“cos cos A B <”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由三角形大边对大角可知sin sin A B A B >⇔>，由cos y x =在()0,π上的单调性可得cos cos A B A B >⇔<，由此可确定结果.【详解】由正弦定理以及三角形大边对大角可得：sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，又(),0,A B π∈，cos y x =在()0,π上单调递减，cos cos A B A B ∴>⇔<，即sin sin cos cos A B A B >⇔<，∴“sin sin A B >”是“cos cos A B <”成立的充分必要条件.故选：C.6. 等比数列{}n a 中，147108a a a a +++=，3691232a a a a +++=，则{}n a 的前12项和为（ ） A. 24 B. 48C. 56D. 24或56【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据147108a a a a +++=，3691232a a a a +++=，利用等比数列的性质求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质得：()25811147108a a a a q a a a a q +++=+++=，()369122581132a a a a q a a a a +=+++=++，所以2832q =， 解得2q =±，所以2581116a a a a +++=±，所以{}n a 的前12项和为8321656S =+±=或24， 故选：D7. 圆22420x y x +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为 A. 250x y --= B. 210x y --= C. 20x y --= D. 40x y +-=【答案】D 【解析】【详解】根据圆x 2+y 2-4x+2=0与直线l 相切于点A （3，1），得到直线l 过（3，1）且与过这一点的半径垂直，做出过这一点的半径的斜率，再做出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程． 解：∵圆x 2+y 2-4x+2=0与直线l 相切于点A （3，1）， ∴直线l 过（3，1）且与过这一点的半径垂直， ∵过（3，1）的半径的斜率是1032--=1， ∴直线l 的斜率是-1，∴直线l 的方程是y-1=-（x-3） 即x+y-4=0 故选D ．8. 将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移π6，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数()g x 的图像关于点()π,0对称 B. 函数()g x 的最小正周期为π2C. 函数()g x 的图像关于直线π6x =对称 D. 函数()g x 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D 【解析】【分析】本题可根据图像变换得出()πsin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，通过函数()g x 关于点,06k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称得出A 错误，然后根据最小正周期2T π=得出B 错误，再然后根据函数()g x 关于直线23x k ππ=+对称得出C 错误，最后根据函数()g x 在区间22,233ππk k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦上单调递增判断出D 正确.【详解】函数()f x 的图像向右平移π6，得到ππsin 2sin 2666y x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到()πsin 6g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，A 项：6x k ππ-=，即()6x k k Z ππ=+∈，函数()g x 的图像关于点(),06k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，A 错误； B 项：最小正周期221T ππ==，B 错误； C 项：62x k πππ-=+，即2ππ3xk k Z ， 函数()g x 的图像关于直线2ππ3x k k Z 对称，C 错误； D 项：πππππ262k x k ，即π2π2π2π33k x k k Z ，函数()g x 在区间()22,2ππ33k k k Z ππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 正确，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换以及正弦函数的性质，主要考查正弦函数的单调性、周期性以及对称性，考查三角函数图像的平移变换及伸缩变换，考查推理能力，是中档题.9. 人们眼中的天才之所以优秀卓越，并非是他们的天赋异禀，而是付出了持续不断的努力．一万小时的锤炼是任何人从平庸变成非凡，从困境走向成功的必要条件．某个学生为提高自己的数学做题准确率和速度，决定坚持每天刷题，刷题时间x 与做题正确率y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报刷题时间为6个单位的准确率为（ ） A. 72.0% B. 67.7%C. 65.5%D. 63.6%【答案】C 【解析】【分析】首先根据题意得到 3.5x =，42y =，代入回归直线方程得到9.1a =，即9.49.1y x =+，再将6x =代入回归直线方程计算即可. 【详解】23453.54x +++==，26394954424y +++==， 因为9.4y x a =+过点()3.5,42，所以9.1a =，即回归直线方程为9.49.1y x =+. 当6x =时，9.469.165.5y =⨯+=.故选：C10. 法国机械学家莱洛（F ．Reuleaux 1829-1905）发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形ABC 之内（如图阴影部分）的概率是（ ）A.332π23- B.32π23- C.2π3- D.π3-【答案】B 【解析】【分析】由扇形面积公式、正三角形面积公式得：封闭曲线的面积为2(3)a S π-=，由几何概型的概率公式得解．【详解】设正三角形的边长为a ，由扇形面积公式可得封闭曲线的面积为22213(3)3223a S a a ππ-=⨯⨯⨯-=，设阴影部分的面积为1S ，由几何概型中的面积型可得：此点取自正三角形ABC 之内（如图阴影部分）的概率是()12233422332S P S a ππ===-- 故选：B【点睛】方法点睛：几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式得解；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.11. 已知函数()22cos f x x x =+，则不等式()()21f x f x -<的解集是（ ）A. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭B. (),1-∞C. ()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】依题意得出()f x 是定义域为R 的偶函数，且在[0,)+∞单调递增，进而可得结果. 【详解】显然2()2cos f x x x =+是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时，()22sin ()f x x x g x '=-=，()22cos 0g x x '=-≥， 所以()g x 即()'f x 在[0,)+∞单调递增，所以()(0)0f x f ''≥=， 所以()f x 在[0,)+∞单调递增，故不等式222(21)()(|21|)(||)|21|||1|21|||3410 1.3f x f x f x f x x x x x x x x -<⇔-<⇔-<⇔-<⇔-+<⇔<< 所以，不等式解集为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意得出()f x 是定义域为R 的偶函数，且在[0,)+∞单调递增.12. 已知双曲线C ：22197x y -=的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B两点，则14FA FB-的取值范围是（ ） A. 13,67⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,06⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】设FA r =，1r ≥，则14146FA FB r r -=-+，构造函数21463()66r f r r r r r-=-=++，[1,)r ∈+∞，用导数求()f r 在[1,)+∞上的取值范围即可. 【详解】设FA r =，则1r c a ≥-=.设双曲线的右焦点为F '，由对称性可知BF FA r '==，则26FB r a r =+=+，所以14146FA FB r r -=-+.令21463()66r f r r r r r -=-=++，[1,)r ∈+∞， 则222223(412)3(2)(6)()(6)(6)r r r r f r r r r r --+-'==++，令()0f r '=得6r =， 当(1,6)x ∈时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(6,)x ∈+∞时，()0f r '>，()f r 单调递增. 所以min 1()(6)6f r f ==-，又当(6,)x ∈+∞时()0f r <，所以max 3()(1)7f r f ==. 故14FA FB -的取值范围是13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B .【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：构造函数21463()66rf r r r r r-=-=++，[1,)r ∈+∞，用导数求()f r 在[1,)+∞上的取值范围.二、填空题13. 已知x ，y 满足约束条件23601330x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩，则3z x y =-的最大值为______． 【答案】5 【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，由3z x y =-，得1133y x z =-，作出直线:30l x y -=，平移直线l ，有图可得当直线l 平移到经过点B 的位置时，解得B 点坐标代入目标函数即可得出答案． 【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示： 由3z x y =-，可得1133y x z =-， 作出直线:30l x y -=，平移直线l ，由图可得，当直线l 平移到经过点B 的位置时，直线在y 轴上的截距最小，此时，3z x y =-取得最大值，由1330x x y =⎧⎨++=⎩，可得点B 的坐标为4(1,)3-，所以3z x y =-的最大值为413()53-⨯-=，故答案为：5．【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.14. 已知10sin cos 5αα+=sin 2α=______． 【答案】35【解析】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得结果． 【详解】因为10sin cos 5αα+=21+2sin cos 5αα=，即21sin 23α+=，得3sin 25α=-. 故答案为：35. 15. 已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为60，向量1232m e e =-，则|m =_____． 7【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2m 的值，进而可求得m 的值. 【详解】根据题意，两个单位向量1e 、2e 的夹角为60，则121211cos 601122e e e e ⋅=⋅=⨯⨯=， 1232m e e =-，则()222221211221329124131272m m e e e e e e ==-=-⋅+=-⨯=， 因此，7m =.【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．16. 在三棱锥S ABC -中，6AB =，8BC =，10AC =，二面角S AB C --，S AC B --，S BC A --的大小均为45°，则三棱锥S ABC -的顶点S 在底面ABC 的射影为ABC 的______（填重心、垂心、内心、外心）．三棱锥S ABC -的外接球的半径为______．【答案】 (1). 内心 (2).【解析】【分析】过S 作底面ABC 的垂线，垂直为E ，过E 分别作EF AC ⊥，EG AB ⊥，EH BC ⊥，连接SE ，SG ，SH ，则SFE ∠，SGE ∠，SHE ∠分别为二面角S AC B --，S AB C --，S BC A --的平面角，由二面角S AB C --，S AC B --，S BC A --的大小相等及三角形全等，可得S 在底面射影为底面三角形ABC 的内心；利用等面积法求得底面内切圆的半径，设D 是AC 的中点，则D 是三角形ABC 的外心，由三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，得OD ⊥平面ABC ，可得//OD SE ，则M ，D ，E 共线，利用解析法求得DE ，设三棱锥S ABC -的外接球的半径为R ，即OC OA R ==，然后利用三角形相似列式求得R .【详解】解：如图，过S 作底面ABC 的垂线，垂足为E ，过E 分别作EF AC ⊥，EG AB ⊥，EH BC ⊥，连接SE ，SG ，SH ，由三垂线定理可得，SF AC ⊥，SG AB ⊥，SH BC ⊥，则SFE ∠，SGE ∠，SHE ∠分别为二面角S AC B --，S AB C --，S BC A --的平面角，二面角S AB C --，S AC B --，S BC A --的大小相等，可得SFE SGE SHE ∠=∠=∠，又直角边SE 为公共边，EF EG EH ∴==，S ∴在底面射影为底面三角形ABC 的内心；6AB =，8BC =，10AC =，222AB BC AC ∴+=，可得ABC 是以角B 为直角的直角三角形．由等面积法求得：11()22BC AB AB BC AC EF ⋅=++⨯，得2EF =， 设D 是AC 的中点，则D 是三角形ABC 的外心，三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，则OD ⊥平面ABC ，则//OD SE ，M ∴，D ，E 共线，在直角三角形ABC 中，分别以BC ，BA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由(2,2)E ，(4,3)D ，得22(42)(32)5DE =-+-=．设三棱锥S ABC -的外接球的半径为R ，即OC OA R ==，若O 与S 在平面ABC 的同侧，由直角梯形SEDO 与直角三角形ODC 得：222255R R --=-，R 无解；若O 与S 在平面ABC 的异侧，则222525R R -+=-，解得41R =，故答案为：内心；41．【点睛】方法点睛：求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC 外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.三、解答题17. 已知等差数列{}n a 满足534a a =+，且31a -是21a -和41a +的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）21n n +． 【解析】【分析】（1）首先根据数列是等差数列，求出公差，再根据等比中项的定义，列式求通项公式；（2）由条件可知()()1112121n n n b a a n n +==-+，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为534a a =+，所以2d =．又31a -是21a -和41a +的等比中项，有()()()2324111a a a -=-+．即()()()2111317a a a +=++，得11a =． ()1121n a a n d n =+-=-，所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-．（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111112335572121n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+. 18. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知6C π=，()sin ,1m A →=-，()cos ,1n B →=，且//m n →→.（1）求A 的值；（2）若点D 为边BC 上靠近B 的四等分点，且AD =ABC 的面积.【答案】（1）6π；（2）【解析】 【分析】（1）根据题意，由//m n →→，利用平面向量共线的坐标运算，得出sin cos A B =-，且6C π=，进而得出1sin cos cos cos sin sin sin 2A B A C A C A A =-=-=-，即可求出sin A A =，结合三角形的内角，即可求出A 的值；（2）设BD x =，由点D 为边BC 靠近B 点的四等分点，得4BC x =，由三角形内角和可算出23B A B ππ=--=，在ABD △中，利用余弦定理求出x ，从而得出AB 和BC ，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC 的面积.【详解】解：（1）由题可知，()sin ,1m A →=-，()cos ,1n B →=，且//m n →→，∴()sin cos 10A B -⨯-=，即sin cos A B =-，∴()sin cos cos cos cos sin sin A B A C A C A C =-=+=-， 又6C π=，∴1sin cos cos sin sin sin 2A A C A C A A =-=-，即3sin 2A A =，∴sin A A =， 若cos 0A =，则sin 0A =，与22sin cos 1A A +=矛盾，∴cos 0A ≠，∴tan A =， 又A 为ABC 的内角，∴6A π=，∴A 的值为6π. （2）设BD x =，由点D 为边BC 靠近B 点的四等分点，得4BC x =，由（1）得6A π=，且已知6C π=，则23B A B ππ=--=， 在ABD △中，根据余弦定理：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，得2222(21)(4)24cos3x x x x π=+-⋅⋅⋅， 解得：1x =，∴4AB BC ==，∴112sin 44sin 43223ABC S BA BC B π=⋅⋅=⨯⨯⨯=△， ∴ABC 的面积为43.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算和三角形的面积，通过余弦定理解三角形以及两角和与差的正弦公式的应用，考查化简运算能力.19. 已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，PAB △是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，O 为AB 中点．（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）求PC 与平面POD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（210． 【解析】【分析】（1）利用线面面面垂直的性质定理即可证明.（2）方法一：取CD 的中点E ，连接OE 在正方形ABCD 中，以O 为原点，以OA ，OE ，OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面POD 一个法向量，根据s in ,s co PC n θ=即可求解；方法二：连接OC ，由（1）利用等体法求出C 到平面POD 的距离为h ，根据sin h PCθ=即可求解. 【详解】（1）PAB △是正三角形，O 为AB 中点，PO AB ∴⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ∴⊥平面ABCD .（2）方法一：取CD 的中点E ，连接OE 在正方形ABCD 中，O 为AB 中点，∴OE AB ⊥，由（1）知，PO ⊥平面ABCD ，所以以O 为原点，以OA ，OE ，OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -．∵2AB = ∴(3P ，()1,2,0C ，()0,0,0O ，()1,2,0D -， ∴(1,2,3PC =，(3OP =，()1,2,0OD =-设平面POD 法向量为(),,n x y z = 则3020n OP z n OD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得()2,1,0n =． 10cos ,225PC nPC n PC n ⋅===⨯设PC 与平面POD 所成角θ，则10sin θ=． 所以PC 与平面POD 所成角的正弦值为10． 方法二：连接OC ，在等边三角形PAB 中2AB =，所以3PO =．在直角三角形OBC 中1OB =，2BC =， 所以5OC由（1）知PO ⊥平面ABCD ，所以POC △与POD 都是直角三角形，． 所以223522PC PO OC =++=POD S △111535222PO OD =⨯⨯==． 设C 到平面POD 的距离为h由C POD P OCD V V --=得1133POD OCD S h S PO ⨯⨯=⨯⨯△△， 即115123323h ⨯⨯=⨯45h =． 设PC 与平面POD 所成的角为θ 则45105sin 22h PC θ=== 所以PC 与平面POD 10 【点睛】思路点睛：解决线面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.20. 2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀．我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15~65小时内，其数据分组依次为：[)15,25，[)25,35，[)35,45，[)45,55，[]55,65，得到频率分布直方图如图所示，其中0.028a b -=．（1）求a ，b 的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）学校要在参加公益劳动总时间在[)35,45、[)45,55这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率．【答案】（1）0.042a =，0.014b =；平均数为40.2；（2）35． 【解析】【分析】（1）根据矩形面积和为1，求,a b 的值，再根据频率分布直方图求平均数；（2）首先利用分层抽样，在[)35,45中抽取3人，在[)45,55中抽取2人，再编号，列举基本事件，求概率，或者利用组合公式，求古典概型概率.【详解】（1）依题意，()0.0050.0110.028101b a ++++⨯=，故0.056a b +=．又因为0.028a b -=，所以0.042a =，0.014b =．所求平均数为200.11300.14400.42500.28600.0540.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）．所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为40.2．（2）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生比例为0.42:0.283:2=． 又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生中随机抽取5人，则在[)35,45中抽取3人，分别记为a ，b ，c ，在[)45,55中抽取2人，分别记为M ，N ，则从5人中随机抽取2人的基本事件有(),a b ，(),a c ，(),a M ，(),a N ，(),b c ，(),b M ，(),b N ，(),c M ，(),c N ，(),M N ．这2人来自不同组的基本事件有：(),a M ，(),a N ，(),b M ，(),b N ，(),c M ，(),c N ，共6个， 所以所求的概率63105P ==． 解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生比例为0.42:0.283:2=．又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生中随机抽取5人，则在[)35,45中抽取3人，在[)45,55中抽取2人，则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为2510C =．这2人来自不同组的基本事件数为11326C C =． 所以所求的概率63105P ==． 21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且12PF F △的周长是6，()4,0Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过椭圆的左焦点1F 且与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，试问：直线QM 与直线QN 的斜率的和是否为定值？若是，请求出此定值：若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）直线QM 与直线QN 的斜率的和不为定值． 【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可得12PF F △的周长为22a c +，再由离心率12c e a ==，即可求出a 、c ，最后根据222a c b -=求出b ，即可得解；（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线l 的斜率k 存在时，设直线方程为(1)y k x =+，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，121244QM QN y y k k x x +=+--计算可得． 【详解】（1）由椭圆的定义知12PF F △的周长为22a c +，所以226a c +=．又因为椭圆C 的离心率12c e a ==，所以2a c =， 联立解得2a =，1c =，所以b == 因此所求的椭圆方程为22143x y +=； （2）设()11,M x y ，()22,N x y当直线l 的斜率k 存在且不为零时，设直线方程为()1y k x =+． 联立22143x y +=消去y 得()22223484120k x k x k +++-=． 则2122834k x x k -+=+，212241234k x x k-=+ 因为()()()()()()122112121214144444QM QN k x x k x x y y k k x x x x +-++-+=+=---- ()()12121212238416kx x k x x k x x x x -+-=-++ 222222228242483434041232163434k k k k k k k k k -+-++=⋅≠-++++ 当直线l 与x 轴垂直时，有0OM ON k k +=．所以，直线QM 与直线QN 的斜率的和不为定值．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22. 已知函数()()ln2f x x a x ⎛=-- ⎝⎭且4f =（其中e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性；（3）若()f x k =有两个不相等实根1x ，2x ，证明：12x x +>．【答案】（1）()()1ln f x x x ⎛=-- ⎝⎭；（2）函数()f x 在(上单调递增，在)+∞上单调递减；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据4f =求出a 的值即得解； （2）利用导数和二次求导求出函数的单调性；（3）构造函数()()()F x F x f x =-，(x ∈，得到()y F x =在(上单调递增，得到()()21f x f x <，即得解.【详解】（1）12224f a ⎛⎫⎫=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a =，所以函数解析式()()1ln f x x x ⎛=- ⎝⎭ （2）函数()f x 的定义域为()0,∞+()11ln ln f x x x x x ⎛⎛⎫'=-+-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭设()ln g x x =-，()1g x x'=， 在()0,∞+上，()0g x '<恒成立所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()f x '在()0,∞+上单调递减又0f '=，则在(上()0f x '>，在)+∞上()0f x '<．所以函数()f x 在(上单调递增，在)+∞上单调递．（3）构造函数()()()F x F x f x =-，(x ∈．所以()()()F x f x f x '''=+()ln lnx x =+-()lnx x ⎡⎤=-⎣⎦设()t x x =，当(x ∈时，()0,t e ∈．设()ln e h t t t =-，且()210e h t t t'=--< 可知()h t 在()0,e 上单调递减，且()0h e =．所以()0h t >在()0,t e ∈上恒成立即()0F x '>在(x ∈上恒成立所以()y F x =在(上单调递增．不妨设12x x <，由（2）知12x x ()()()(1110F x f x f x Ff f =-<=-=即()()11f x f x <．因为()()12f x f x =，所以()()21f x f x <由（2）知()f x 在)+∞上单调递减得21x x >．所以12x x +>【点睛】方法点睛：若12,x x 是函数()f x 的两个零点，而0x x =是函数()f x 的极值点，证明1202x x x +<（或1202x x x +>），极值点偏移问题常用的解题步骤是：（1）构建函数0()()(2)h x f x f x x =--（移小不移大），（2）判断函数()h x 的单调性（一般利用复合函数的单调性求单调性）；（3）证明()0h x >（或()0h x <）即0()(2)f x f x x >-（或0()(2)f x f x x <-）；（4）利用函数()f x 的单调性证1202x x x +<（或1202x x x +>）.。
吉林省2020年高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，R为实数集，则（）A . [0,1]B . (0,1]C .D . 以上都不对2. （2分） (2019高二下·赣县期中) 若复数满足（为虚数单位），则等于（）A . 1B . 2C .D .3. （2分）(2017·烟台模拟) 关于x，y的不等式组，表示的区域为D，若区域D内存在满足t≤3x﹣y的点，则实数t的取值范围为（）A . （﹣∞，1]B . [1，+∞）C . （﹣∞，5]D . [5，+∞）4. （2分）某程序框图如图所示，则该程序运行后的输出结果是（）A .B .C .D .5. （2分）等差数列{an}中，a3和a9是关于x的方程x2﹣16x+c=0（c＜64）的两实根，则该数列前11项和S11=（）A . 58B . 88C . 143D . 1766. （2分） (2015高三上·东莞期末) 已知直线l过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F且与x垂直，l与E 所围成的封闭图形的面积为24，若点P为抛物线E上任意一点，A（4，1），则|PA|+|PF|的最小值为（）A . 6B . 4+2C . 7D . 4+27. （2分）(2019·浙江模拟) 已知a为第二象限角，且3sina+cosa=0，则sina=（）A .B .C . -D . -8. （2分）某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票3张，五元餐票1张，若从他口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于4元的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二上·河南月考) 已知三角形中，，，连接并取线段的中点，则的值为（）A . -5B .C .D . -210. （2分） (2015高二上·永昌期末) 已知双曲线与抛物线y2=8x的焦点重合，直线y=x+1与该双曲线的交点个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 不确定11. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·吴起期中) 函数f（x）=A . （-2,-1）B . （-1,0）C . （0,1）D . （1,2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·揭阳模拟) 的展开式中的系数为________；14. （1分） (2017高一下·东丰期末) 已知四棱锥的三视图如图所示，正视图是斜边长为4的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则四棱锥四个侧面中，面积最大的值是________15. （1分） (2016高一上·包头期中) 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．16. （1分） (2016高二上·澄城期中) 数列{an}中，已知对任意n∈N* ，a1+a2+a3+…+an=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2=________三、解答题 (共5题；共38分)17. （5分） (2018高一上·陆川期末) 已知中，内角的对边分别为，若.（I）求角的大小；（II）若，求周长的最大值.18. （5分）(2017·怀化模拟) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠ADC=120°，AB=2CD=2，平面D1DCC1垂直平面ABCD，D1C⊥AB，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：D1M∥面B1BCC1；（Ⅱ）若DD1=2，求平面C1D1M和平面ABCD所成的锐角的余弦值．19. （13分） 2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：频率分布表：分数段频数频率50.5～60.5160.0860.5～70.5400.270.5～80.5500.2580.5～90.5m0.3590.5～100.524n（1）这次抽取了________名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m=________，n=________；（2）补全频数分布直方图；（3）第（2）小题是频数分布直方图，如果换成是频率分布直方图，那么求频率分布直方图中的中位数和平均数．20. （10分）在平面直角坐标系xOy中，点P到F1（0，﹣）、F2（0，）两点的距离之和等于4．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于A、B两点，当k为何值时| + |=| |（O为坐标原点）此时| |的值是多少？21. （5分） (2019高三上·赤峰月考) 已知函数，点，在曲线上.（Ⅰ）讨论函数的极值情况；（Ⅱ）若，比较与的大小关系，并说明理由.四、选做题 (共2题；共20分)22. （10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ= ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|．23. （10分）(2018·石家庄模拟) 已知函数的定义域为；（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共38分) 17-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、四、选做题 (共2题；共20分)22-1、22-2、23-1、23-2、。
2019-2020学年吉林省吉林市普通中学度高三第二次调研测试数学（理）试题一、单选题1．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】 由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ） A ．数据中可能有异常值 B ．这组数据是近似对称的 C ．数据中可能有极端大的值 D ．数据中众数可能和中位数相同【答案】B【解析】根据中位数、平均数、众数的定义说明． 【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B 错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础． 4．“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】先求出满足1cos 22α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 由1cos 22α=-得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的必要不充分条件．故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．5．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ） A ．3y x = B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =【答案】D【解析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线． 【详解】如图，作出A ，B ，C ，D 中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线3log y x =的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D 是正确选项， 故选：D ． 【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．6．已知实数x ，y 满足线性约束条件10+20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．5-D ．5【答案】B【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：11x x y =⎧⎨+=⎩，可得点的坐标为：()1,1A -，据此可知目标函数的最小值为：min 2211z x y =+=-=.故选B . 【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.7．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1 B.2 C.12D ．4 【答案】B【解析】因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于原点 半径，可知p 的值为2，选B.8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B【答案】C【解析】根据线面平行的判定定理判断． 【详解】首先四个选项的直线都不在平面1ACD 内，由中点及正方体的性质知//EF AC ，11////GH AC AC ，11//AB DC ，∴直线EF ，GH ，1A B 都与平面1ACD 平行，剩下的只有EH 不与平面1ACD 平行．实际上过A 作1CD 的平行线，这条平行线在平面1ACD 内且与EH 相交（它们都在平面11ABB A 内）．故选：C ． 【点睛】本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理．9．我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =若ABC ∆的面积S =，a =2b =，则c 等于（ ）A ．5B ．9C 3D ．5或9【答案】C【解析】把已知数据代入面积公式解方程即得． 【详解】=2221111[3()]424c c --=，整理得4214450c c -+=，29c =或5，即c =3．故选：C ． 【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知,a b 代入面积公式解方程即可得．10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．BC ．2D ．3【答案】A【解析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y xa =，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．11．已知ln a π=，5log 2b =，12c e -=，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与12比较． 【详解】首先125ln 1,0log 21,01eπ-><<<<，a 最大，其次551log 2log 2<=，1212e -=>=，∴c b >，∴a c b >>． 故选：B ． 【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较，如0，1，2等等．本题中是与12比较的．12．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若AB =1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2BC ．23D ．83【答案】D【解析】选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++5211BA BC =-⋅++ ，∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC⋅22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，)A，()0,3,0B ，()0,0,5C ，)D，则四面体ABCD 的外接球的体积为______. 【答案】36π；【解析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体ABCD 外接球的直径． 【详解】取(0,3,5),(0,0,0)E F G O ，则O A F B C E D G-是长方体，其对角线长为6l ==，∴四面体ABCD 外接球半径为32lr ==． 334433633V r πππ==⨯=，故答案为：36π．【点睛】本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知．14．直线20+-=mx ny （0m >，0n >）过圆C ：222210x y x y +---=的圆心，则24m n+的最小值是______.【答案】3+【解析】求出圆心坐标，代入直线方程得,m n 的关系，再由基本不等式求得题中最小值． 【详解】圆C ：222210x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)3x y -+-=，圆心为(1,1)C ， 由题意20m n +-=，即2m n +=，∴24122()()333m n m n m n m n n m +=++=++≥+=+2m nn m=，即1),2(2m n ==时等号成立，故答案为：3+． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．15．若函数()1sin 262f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取值范围是______. 【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【解析】求出函数()f x 的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间[]0,π上，第四个零点在区间[]0,π外即可．【详解】由()1sin 2062f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＝，得2(1)66k x k ππωπ+=+-⋅，k Z ∈， 1=[(1)]266k x k πππω+--⋅，k Z ∈， ∵(0)0f =，∴1(3)2661(4)266ππππωππππω⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ ，解得423ω≤<．故答案为：4[,2)3． 【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间[]0,π上．由此可得ω的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．16．关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题： ①函数()y f x =在()2,4-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于23且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③【解析】由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断． 【详解】函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--的定义域是(2,4)-， 由于()()()26ln 2ln 4lnln(1)44x f x x x x x+=+--==-+--， 614u x=-+-在(2,4)-上递增，∴函数()y f x =在()2,4-上是递增，①正确； (2)ln(4)ln(2)()f x x x f x -=--+=-，∴函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称，②正确；22116662'()2482(1)993f x x x x x x =+==≥=+-+---+，1x =时取等号，∴③正确；2116'()2428f x x x x x =+=+--++，设()'()g x f x =，则2212(1)'()(28)x g x x x -=-++，显然1x =是()g x 即'()f x 的极小值点，④错误．故答案为：①②③. 【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足12a =，且223,2,a S a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log n n b a =，求2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-的值.【答案】（1）()21*2n n a n N -=∈（2）20000-【解析】（1）由公比q 表示出232,,a a S ，由223,2,a S a 成等差数列可求得q ，从而数列的通项公式；（2）求（1）得n b ，然后对和式2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-两两并项后利用等差数列的前n 项和公式可求解． 【详解】（1）∵{}n a 是等比数列，且223,2,a S a 成等差数列∴2234S a a =+，即()211114a a q a q a q +=+∴244q q q +=+，解得：1q =-或4q = ∵0q >，∴4q = ∵12a = ∴()121*242n n n a n N --=⋅=∈（2）∵2log 21n n b a n ==- ∴2222221357197199-+-+⋅⋅⋅+-()()()()()()13135757197199197199=-++-++⋅⋅⋅+-+ ()()21357199=-++++⋅⋅⋅+ 119921002+=-⋅⋅ 20000=-【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的n 项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．18．如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，AA '=，M 是棱CC '的中点.（1）证明：AB A M ''⊥；（2）求二面角A MB A ''--的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）由侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，得可侧面与底面垂直，从而BC 与侧面AA C C ''垂直，因此有BC A M '⊥，即有B C A M '''⊥，于是只要证A M AC ''⊥即可有线面垂直，从而证AB A M ''⊥，这个A M AC ''⊥在矩形ACC A ''由相似三角形可得证；（2）以分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MA B ''和平面MAB '法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）． 【详解】（1）证明：∵AA '⊥平面ABC ∴四边形ACC A ''是矩形∵M 为CC '中点，且AA CC ''==∴C M '=∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒∴AC A C ''==∴C M A C A C AA '''='''连接AC ' ，∵MC A C A A ''''∠=∠，∴MC A ''∆与C A A ''∆相似 ∴C A M A AC ''''∠=∠，∴90A AC AA M '''∠+∠=︒ ∴A M AC ''⊥∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面ACC A '' ∴B C ''⊥平面ACC A ''∵A M '⊂平面ACC A ''，∴B C A M '''⊥ ∴A M '⊥平面AB C ''，∴A M AB ''⊥．（2）解∶如图，分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A '，M ⎛ ⎝⎭，(B '，)A ，∴3,0,MA ⎛'=⎭，MB ⎛'= ⎝⎭，3,0,MA ⎛= ⎭， 设平面MA B ''的法向量为()1111,,n x y z =，则10MA n '⋅=，20MB n '⋅=解得：12,2n ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭同理，平面MAB '的法向量21n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设二面角A MB A ''--的大小为θ，则1212122cos cos ,|3||||1n n n n n n θ⋅=<>===⋅ 即二面角A MB A ''--的余弦值为23. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角．证明线面垂直，就要证线线垂直，而证明线线垂直又可通过线面垂直得出，因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化，用好用活判定定理和性质定理．立体几何中求空间角可用空间向量法求解，即建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与空间角的关系求解．19．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值.【答案】（1）5（2）【解析】（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值． 【详解】 解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π- ∵()sin 220cos 0bc A B C ++= ∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A == （2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭∴当4A π=时，c bb c+取最大值【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，这样可把22c b b c b c bc++=表示为角A 的函数，从而求得最值．20．为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率1p ； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率2p ；（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为a ，b ，c ，其中0a >，100a b +=，50c =，当a ，b ，c 的方差2s 最大时，求a ，b的值，并求出此时方差2s 的值. 【答案】（1）23（2）725（3）当100a =，0b =时，2s 取最大值50003【解析】（1）文学类图书共有150本，其中正确分类的有100本，由此可计算概率； （2）图书分类错误的共有140本，图书总共有500本，易得概率； （3）计算平均值，再计算方差2s ，转化为a 的函数后可得最大值． 【详解】 解：（1）由题意可知，文学类图书共有1004010150++=本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率110021503p == （2）图书分类错误的共有302040101030140+++++=本，因为图书共有500本， 所以图书分类错误的概率2302040101030750025p +++++==（3）a ，b ，c 的平均数()1503x a b c =++= 所以方差()()()22221505050503s a b ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()22150001003a b a b ⎡⎤=++-+⎣⎦ ()22150003a b =+-()22110050003a a ⎡⎤=+--⎣⎦21220050003a a ⎡⎤=-+⎣⎦ ∵0a >，0b ≥，∴当100a =，0b =时，2s 取最大值50003. 【点睛】本题考查古典概型，考查方差的计算．考查了学生的数据处理能力．属于中档题．21．设函数())ln 1f x x a=-.（1）若函数()y f x =在()1,+∞是单调递减的函数，求实数a 的取值范围；（2）若0n m >>，证明：2ln ln n m +<. 【答案】（1）2a ≥（2）证明见解析【解析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数()f x ，不等式凑配后知，利用2a =时()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭可证结论． 【详解】（1）因为()y f x =在()1,+∞上单调递减， 所以()10f x x '=-≤，即a ≥在()1,+∞上恒成立 因为y=在()1,+∞()0,2，所以2a ≥ （2）因为0n m >>，所以1nm> 由（1）知，当2a =时，()y f x =在()1,+∞上单调递减所以()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭即ln 210nm ⎫-<⎪⎪⎭所以2ln ln n m +<. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．22．已知()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为34-，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与4x =相交于点T ，求||||TF MN 的最小值及此时直线l 的方程. 【答案】（1）()221243x y x +=≠±（2）||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x = 【解析】（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为(,)P x y ，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，消元并整理得()2234690my my ++-=，设()12,M x y ，()22,N x y ，则可得12y y +，，12y y ，由12MN y =-求出MN ，将直线FT 方程()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -，求得TF ，计算||||TF MN ，设t =.显然1t ≥，构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线l 的方程. 【详解】（1）设(),P x y ，则34PA PB k k ⋅=-，即()3224y y x x ⋅=---- 整理得()221243x y x +=≠±（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++= 即()2234690m y my ++-=设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+ 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -∴TF ==∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝设t =.显然1t ≥ 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”即||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x =. （注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.） 【点睛】本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．。
