2003年考研数学1真题

考研（数学一）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2011)已知当x→0时，函数f(x)=3sin．x=sin 3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=-4．正确答案：C解析：因为当x→0时，函数f(x)=3sin x=sin 3x与cxk是等价无穷小，所以从而k-1=2，即k=3，于是故应选C．2．(2012)设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2).….(enx-n)，其中n为正整数，则f’(0)=( ) A．(-1)n-1(n-1)!．B．(-1)n(n-1)!．C．(-1)n-1n!．D．(-1)nn!．正确答案：A解析：利用导数的定义求f’(0)．故应选A．3．(2012)曲线的渐近线的条数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：应同时考虑水平渐近线、铅直渐近线与斜渐近线．因为所以y=1是曲线的水平渐近线，同时说明曲线无斜渐近线．又因为所以x=1是曲线的铅直渐近线，x=-1不是曲线的铅直渐近线．综上所述，应选C．4．(2009)设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：本题主要考查分块矩阵的行列式、伴随矩阵的相关公式以及分块矩阵的逆矩阵．由=(-1)2×2｜A｜｜B｜=6知，矩阵可逆，从而故应选B．5．(2006)设A、B为两个随机事件，且P(B)＞0，P(A｜B)=1，则必有( ) A．P(A∪B)＞P(A)．B．P(A∪B)＞P(B)．C．P(A∪B)=P(A)．D．P(A∪B)=-P(B)．正确答案：C解析：本题主要考查乘法公式与加法公式．由已知条件与乘法公式有P(AB)=P(B)P(A｜B)=P(B)，再由加法公式有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)．故应选C．6．(2003)设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图1所示，则f(x)有( )A．一个极小值点和两个极大值点．B．两个极小值点和一个极大值点．C．两个极小值点和两个极大值点．D．三个极小值点和一个极大值点．正确答案：C解析：本题主要考查导函数y=f’(x)与函数y=f(x)的图形的关系与一元函数的极值(点)．由于已知函数是抽象函数，无法用推理法及反例排除法解决．考虑用y=f’(x)与y=f(x)的图形之间的关系画出y=f(x)的图形，利用定性分析的方法解决该问题．根据y=f’(x)的图形画出y=f(x)的图形，如图2所示，根据y=f(x)的图形知，f(x)有两个极小值点和两个极大值点．故应选C．7．(2011)函数f(x)=ln｜(x-1)(x-2)(x-3)｜的驻点个数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：因为，所以x=1，x=2，x=3是曲线y=f(x)的铅直渐近线．又，由此可画出f(x)=ln｜(x-1)(x-2)(x-3)｜的草图，如图3所示，由图形可知，存在两点x1，x2，使得f’(x1)=f’(x2)=0，即f(x)有两个驻点．故应选C．8．(2006)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( )A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：△y=f(x0+△x)-(x0)=f’(ξ)△x (x0＜ξ＜x0+△x)．因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调增加，从而f’(ξ)＞f’(x0)，于是△y=f’(ξ)△x＞f’(x0)△x=dy．又因为f’(x)＞0，所以0＜dy＜△y．故应选A．9．(1999)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则( )A．P{X+Y≤0}=B．P{X+Y≤1}=C．P{X-Y≤0}=D．P{X-Y≤1}=正确答案：B解析：由于均服从正态分布且相互独立的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，所以由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，于是其小于均值的概率为，从而P{X+Y≤1}=故应选B．10．(2002)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )A．B．C．D．正确答案：B解析：取，因为排除A、C、D．故应选B．11．(2005)以下四个命题中，正确的是( )A．若f’(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．B．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．C．若f’(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界．D．若f(x)在(0，1)内有界，则f’(x)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：取f’(x)=，在(0，1)内连续，但f(x)=lnx在(0，1)内无界，排除A．取f(x)=，在(0，1)内连续，但f(x)在(0，1)内无界，排除B．取f(x)=，在(0，1)内有界，但f’(x)=在(0，1)内无界，排除D．故应选C．12．(2004)设f’(x)在[a，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是( )A．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＞f(a)．B．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＞f(b)．C．至少存在一点x0∈(a，b)，使f’(x0)=0．D．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)=0．正确答案：D解析：取f(x)=2-x2，x∈[-1，1]，则f’(x)=-2x在[a，b]=[-1，1]上连续，且f’(a)=f’(-1)=2＞0，f’(b)=f’(1)=-2＜0，满足已知条件．由f(x)=2-x2的图形可知，在(-1，1)内，f(x)＞1，即对任意x0∈(-1，1)，都有f(x0)≠0，这表明D选项是错误的．故应选D．13．(2001)设f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )A．x=a是f(x)的极小值点．B．x=a是f(x)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：由f(x)的导数在x=a处连续及=f’(a)=0，即x=a是f(x)的驻点．从而所以x=a是f(x)的极大值点．故应选B．14．(2003)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=( ) A．在x=0处左极限不存在．B．有跳跃间断点x=0．C．在x=0处右极限不存在．D．有可去间断点x=0．正确答案：D解析：因为f(x)为不恒等于零的奇函数，所以f(0)=0，又f’(0)存在．所以故x=0是g(x)的可去间断点．应选D．15．(2005)设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x+y)+其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )A．B．C．D．正确答案：B解析：取φ(x)=x2，ψ(x)=0，则u(x，y)=(x+y)2+(x-y)2=2x2+2y2．于是由此可知，选项A、C、D都不正确．故应选B．16．(2005)设an＞0，n=1，2，…，若收敛，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：取收敛，但发散，排除A；发散，排除B；发散，排除C．故应选D．17．(2002)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)X=0( ) A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D解析：(推理法)因为当n＜m时，齐次线性方程组BX=0有非零解，从而线性方程组(AB)X=0有非零解，故应选D．18．(2002)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关．正确答案：A解析：因为β2不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，β2线性无关．取k=0，由B知，α1，α2，α3，β2线性相关，与α1，α2，α3，β2线性无关矛盾，排除B．取k=0，由C知，α1，α2，α3，β1线性无关，则β1不能由α1，α2，α3线性表示，与已知条件矛盾，排除C．取k=1，由D知，α1，α2，α3．β1+β2线性相关，因为α1，α2，α3线性无关，所以β1+β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，于是β2可由α1，α2，α3线性表示，与已知条件矛盾，排除D．故应选A．填空题19．(2000)=_____，正确答案：解析：由定积分的几何意义，表示由直线x=0，x=1，y=0与曲线y=所围成的图形的面积，如图5所示，所以(其中S为单位圆(x-1)2+y2≤1的面积)．20．(2001)(x3+sin2x)cos2xdx=_______．正确答案：解析：21．(2012)设区域D是由曲线y=sinx，x=，y=1围成，则(x5y-1)dxdy=_______.正确答案：-π解析：22．(2008)设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则(x2-y)dxdy=______．正确答案：解析：因为积分区域D关于x轴对称，函数y关于y是奇函数，所以．由轮换对称性以及极坐标下二重积分的计算方法，有23．(2009)设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}，则z2dxdydz=_______.正确答案：解析：利用轮换对称性，有再利用球坐标下三重积分的计算有24．(2007)设曲面∑：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1，则=_______.正确答案：解析：因为∑关于yOz平面对称，x关于x为奇函数，所以．由轮换对称性，其中S是∑的表面积，记∑在第一卦限部分的面积为S1．如图8所示，则。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x . 【评注】 本题属基本题型。

武汉理工大学 2003 年研究生入学考试试题课程 数学分析 （共 页，共 题，答题时不必抄题，标明题目序号）一、计算下列各题（12′×6=72分）1．求极限x t x x t x t sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛，记此极限为)(x f ，求函数)(x f 的间断点，并指出其类型。

2．求dx e e x x2arctan ⎰3．计算二重积分dxdy e y x D },max{22⎰⎰，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=1010),(y x y x D 4．计算曲线积分224y x ydx xdy I L +-=⎰，其中L 是以点（1，0）为中心，R 为半径的圆周（R ＞1），取逆时针方向。

5．设xdx x I n n cos sin 40⎰=π，n =0，1，2，…，求n n I ∑∞=06．计算dxdy z z ydzdx xdydz )2(2-++⎰⎰∑，∑为曲面22y x z +=介于z =0与z =1之间的部分，取下侧。

二（15分）、设)(x f 在0=x 的某邻域内的二阶导数存在且连续，0))(3sin (lim 230=+→xx f x x x ，求)0(f ，)0(f '，)0(f ''。

三（15分）、假设f 是一可微函数，求曲面)(x y xf z =上任一点)0(),,(0000≠x z y x M 处的切平面方程，并指出该切平面是否过坐标原点。

四（15分）、设),,(z y x F 的一阶偏导数处处存在且连续，且0>≥∂∂+∂∂-∂∂αzF y F x x F y （α为常数），令)0(),sin ,cos ()(≥-=t t t t F t f ，求证+∞=+∞→)(lim t f t 。

考研数学一（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2002年] 设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn( )．A．有相同的数学期望B．有相同的方差C．服从同一指数分布D．服从同一离散型分布正确答案：C解析：列维一林德伯格中心极限定理成立的条件之一是X1，X2， (X)具有相同的、有限的数学期望和非零方差，而选项A、B不能保证同分布．可排除．而选项D虽然服从同一离散型分布，但不能保证E(Xi)与D(Xi)均存在，也应排除．仅C入选．知识模块：大数定律和中心极限定理2．[2005年] 设X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ(λ＞1)的指数分布．记ф(x)为标准正态分布函数，则( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由于随机变量序列X1，X2，…，Xn独立同服从参数为λ的指数分布，有E(Xi)=1／λ，D(Xi)=1／λ2(i=1，2，…，n)，由列维一林德伯格中心极限定理知，当n→∞时，随机变量的极限分布为标准正态分布，即=P(Un≤x)=ф(x)．仅C入选．知识模块：大数定律和中心极限定理3．设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则( )．A．X+Y服从正态分布B．X2+Y2服从χ2分布C．X2和Y2都服从χ2分布D．X2／Y2服从F分布正确答案：C解析：因X～N(0，1)，Y～N(0，1)，故X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念4．[2017年] 设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论不正确的是( )．A．(Xi一μ)2服从χ2分布B．2(Xn一X1)2服从χ2分布C．服从χ2分布D．n(—μ)2服从χ2分布正确答案：B解析：若总体X～N(μ，σ2)，则因为总体X～N(μ，1)，所以再由得，从而综上所述，不正确的是B．仅B入选．知识模块：数理统计的基本概念5．[2003年] 设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y=1／X2，则( )．A．Y～χ2(n)B．Y～χ2(n一1)C．Y～F(n，1)D．Y～F(1，n)正确答案：C解析：因X～t(n)(n＞1)，故存在随机变量U～N(0，1)，V～χ2(n)，且U与V独立，使即因V～χ2(n)，U～N(0，1)，因而U2～χ2(1)，又V与U独立，得到．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念6．[2005年] 总体X～N(0，1)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个简单随机样本，，S2分别为样本均值和样本方差，则( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：因X12～χ2(1)，Xi2～χ2(n一1)，且X12与相互独立，可知仅D 入选．知识模块：数理统计的基本概念7．[2013年] 设随机变量X～t(n)，Y~F(1，n)，给定α(0＜α＜0．5)，常数c满足P(X＞c)=α，则P(Y＞c2)=( )．A．αB．1一αC．2αD．1—2α正确答案：C解析：因X～t(n)，故X2～F(1，n)，因而Y=X2．因t分布的概率密度函数为偶函数，所以给定α(0＜α＜0．5)，存在c＞0使P(X＞c)=α时，必有P(X＞c)=P(X＜一c)=α，则P(Y＞c2)=P(X2＞c2)=P(X＞c)+P(X＜一c)=2P(X＞c)=2α．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念填空题8．[2001年] 设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计P(｜X—E(X)｜≥2)≤______．正确答案：解析：由切比雪夫不等式即得知识模块：大数定律和中心极限定理9．[2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，Yn=依概率收敛于______．正确答案：1/2解析：利用辛钦大数定律求之．由于X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机变量样本，X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从参数为2的指数分布．因而知X12，X22，…，Xn2也相互独立，且同分布．又X服从参数为2的指数分布，故E(Xi)=E(X)=1／2，D(Xi)=D(X)=(1／2)2=1／4 (i=1，2，…，n)，则E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1／4+(1／2)2=1／2 (i=1，2，…，n)．根据辛钦大数定律知，一组相互独立、同分布且数学期望存在的随机变量X12，X22，…，Xn2，其算术平均值依概率收敛于数学期望：即表示依概率收敛于)，亦即依概率收敛于1／2．知识模块：大数定律和中心极限定理10．设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1一2X2)2+6(3X3-4X4)2，则当a=______，b=______时，统计量X服从χ2分布，自由度为______．正确答案：a=1／20，b=1／100，χ2解析：因X1，X2，X3，X4为正态总体的简单随机样本，故X1，X2，X3，X4相互独立，且X1-2X2与3X3-4X4都服从正态分布：X1—2X2～N(0.5×22)=N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，因独立，由题目知，即所以a=1／20，b=1／100，且X服从自由度为2的χ2分布．知识模块：数理统计的基本概念11．设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，32)，而X1，X2，…，X9和Y1，Y2，…，Y9分别为来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量服从______分布，参数为______．正确答案：t，9解析：将U的分子分母同除以9，则分子为=(X1+X2+…+X9)／9～N(0，9／9)=N(0，1)．或由X1，X2，…，X9相互独立且Xi～N(0，32)知，X1+X2+…+X9～N(0，9×32)=N(0，92)，故(X1+X2+…+X9)／9～N(0，1)．而分母为又(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2～χ2(9)．这是因为Yi／3～N(0，1)，且Y1，Y2，…，Y9相互独立；又由X，Y相互独立知，(X1+X2+…+X9)／9与(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2相互独立．于是由t分布的典型模式知，即U服从t分布，参数为9．知识模块：数理统计的基本概念解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2006年)若f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是A．若f’x(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)=0．B．若f’0(x0，y0)=0．则f’(x0，y0)≠0．C．若f’x(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0、)=0．D．若f’x(x0，y01)≠0，则f’y(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x．y)在约束条件φ(x，y)=0下的极值点。

则必有若f’x(x0，y0)≠0，由①式知，λ≠0，加之原题设φ’y(x，y)≠0，由②式知，λφ’(x0，y0)≠0，从而必有f’y(x0，y0)≠0，故应选(D)．知识模块：多元函数微分学2．(2008年)函数在点(0，1)处的梯度等于A．iB．一iC．jD．一j正确答案：A解析：解1 由知则f’x(0，1)=1，f’(0，1)=0，所以gradf(0，1)=i 解2 由知则gradf(0．1)=i 知识模块：多元函数微分学3．(2010年)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F’2≠0，则A．x．B．z．C．一x．D．一z．正确答案：B解析：由隐函数求导公式得则解 2 等式分别对x，y求偏导得(1)式乘x2加(2)式乘xy得(一z)F’2+F’2(xzx+yzy)=0则xzx+yzy=z (F’2≠0) 知识模块：多元函数微分学4．(2011年)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是A．f(0)＞1，f”(0)＞0．B．f(0)＞1，f”(0)＜0．C．f(0)＜1，f”(0)＞0．D．f(0)＜1，f”(0)＜0．正确答案：A解析：则AC—B2＞0故应选(A)．知识模块：多元函数微分学5．(2012年)如果f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．B．若极限存在，则f(x，y)在(0，0：)处可微．C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在．D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在．正确答案：B解析：解l 由f(x，y)在(0，0)处连续可知，如果存在，则必有又极限则由存在知即由微分的定义知f(x，y)在(0，0)处可微．解2 排除法：取f(x，y)=|x|+|y|，显然，存在，但f(x，y)=|x|+|y|在(0，0)处不可微，这是由于f(x，0)=|x|，而|x|在x=0处不可导，则fx(0，0)不存在．则排除(A)；若取f(x，y)=x，显然，f(x，y)在(0，0)处可微，但不存在，则不存在，排除(C)．又则不存在，排除(D)．故应选(B)．知识模块：多元函数微分学6．(2013年)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为A．x—y+z=一2．B．x+y+z=0．C．x一2y+z=一3．D．x—y一z=0．正确答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)一yz+x，则则所求切平面方程为x一(y 一1)+(z+1)=0即x—y+z=一2 知识模块：多元函数微分学7．(2017年)函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量n=(1，2，2)的方向导数为A．12．B．6．C．4．D．2．正确答案：D解析：fx(1，2，0)=2xy|(1，2，0)=4 fy(1，2，0)=x2|(1，2，0)=1 fz(1，2，0)=3z2|(1，2，0)=0 向量n={1，2，2}的方向余弦为则知识模块：多元函数微分学填空题8．(2003年)曲面z=x2+y2与平面2x+4y一z—0平行的切平面方程是_____________．正确答案：2x+4y—z=5解析：曲面z=x2+y2在点(x0，y0，z0)处切平面的法向量为n1={2x0，2y0，一1)而平面2x+4y一z=0的法向量为n2={2，4，一1}．由题设知n1／／n2，则从而有x0=1，y0=2，代入z=x2+y2 得z0=5，n1={2，4，一1}则所求切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z一5)=0即2x+4y—z=5 知识模块：多元函数微分学9．(2005年)设函数单位向量则正确答案：解析：ux(1，2，3)=uy(1，2，3)=uz(1，2，3)=则知识模块：多元函数微分学10．(2007年)设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，则正确答案：yxy-1f’1+y2lnyf’2．解析：由复合函数求导法知知识模块：多元函数微分学11．(2009年)设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则正确答案：f’2+xf”12+xyf”22解析：知识模块：多元函数微分学12．(2011年)设函数则正确答案：4解析：解1 △解2 由偏导数定义知知识模块：多元函数微分学13．(2012年)正确答案：(1，1，1)解析：知识模块：多元函数微分学14．(2014年)曲面z=z2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为_____________．正确答案：2x—y一z=1．解析：由z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)得z’x=2x(1一siny)一y2cosx，z’x(1，0)=2 z’y=一x2cosy+2y(1一sinx)，z’ y(1，0)=一1所以，曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1．0．1)处的法向量为[*]=(2．一1，一1)，该点处切平面方程为2(x-1)一y一(z一1)=0即2x—y一z=1．知识模块：多元函数微分学15．(2015年)若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，则dz|(0，1)=_____________．正确答案：一dx解析：将x=0，y=1代入ez+xyz+x+cosx=2 中得ez+1=2，则z=0．方程ez+xyz+x+cosx=2两端微分得ezdz+yzdx+xzdy+xydz+dx—sinxdx=0 将x=0，y=1．z=0代入上式得dx+dz=0则dz|(0,1)=一dx 知识模块：多元函数微分学16．(2016年)设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z—y2=x2f(x一z，y)确定，则dz|(0，1)=___________.正确答案：一dz+2dy．解析：解1 由原方程知，当x=0，y=1时，z=1．方程(x+1)z一y2=xf(x —z，y)两边求全微分zdx+(x+1)dz一2ydy=2xf(x一z，y)dx+x2[f’1·(dx一dz)+f’2dy] 将x=0，y=1，z=1代入上式得dz|(0，1)=-dx+2dy 解2 由原方程知，当x=0，y=1时，z=1．方程两边分别对x、y求偏导数，有把x=0，y=1，z=1代入上式得所以dz|(0，1)=-dx+2dy 知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(3)2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)的平均值为40 (cm)，贝U 的置信度为0.95的置信区间是(注：标准正态分布函数值(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)一个极小值点和两个极大值点 两个极小值点和一个极大值点 两个极小值点和两个极大值点已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim f (x, y)―xyx 0, y 0(1)lim (cos x)x 0(2)曲面z x 2(3) 设x 21ln(1 x 2)2x 4y z 0平行的切平面的方程是a n cosnx()，则 a2 =(4) 从R 2的基到基1 的过渡矩阵为(5) 设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为 f (x, y)6x, 0 0,x y 其他,1,则 P{X Y 1}(6) 已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布 N(,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度(1) 设函数f(x)在()内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) (B) (C) 0, lim b nn1 ,lim c nn，则必有(A) a nb n 对任意n 成立.(B) b n C n 对任意(C) 极限lim a n C n 不存在. n(D)极限lim b n C n 不存在.n1，则2 2 2(x y )n y 2与平面 0n(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设向量组I:1, 2, , r可由向量组II:1? 2 ,,s线性表示，则(A)当r s时, 向量组II必线性相关•(B)当(r s 时，向量组II必线性相关(C)当r s时，向量组I必线性相关•(D)当j r s 时，向量组1必线性相关[](5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m n矩阵，现有4个命题:①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A)①②•(B)①③•(C)②④•(D)③④•[ ](6) 设随机变量X~t(n)(n1),Y 1X2，则(A)2Y~ (n )•(B)Y〜2(n 1).(C)Y ~ F(n,1)・(D)Y〜F(1, n).[]三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形 D.(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分12分)1 2x ( i)n将函数f (x) arctan 展开成x的幕级数，并求级数的和•1 2x n 02n 1五、(本题满分10分)已知平面区域D {(x, y) 0 x ,0 y }，L为D的正向边界•试证：sin y . sin x . sin y . sin x .(1) ;xe dy ye dx xe dy ye dx；sin y . sin x . - 2(2) ；xe dy ye dx 2 .六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层•汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k>0)•汽锤第一次击打将桩打进地下根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？.设土a m.(注：m 表示长度单位米.) 七、(本题满分12分)A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵. 十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1 : ax2by 3c 0， 2 : bx2cy 3a 0， 3: cx2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 十一、(本题满分10分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从 甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率 .十二、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为设函数y=y(x)在()内具有二阶导数，且y 0, x x(y)是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程第(ydydxsin x)(-dx)3 0变换为y=y(x)满足的微分方程; dy求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0, y (0)、(本题满分12分) 设函数f(x)连续且恒大于零，2 2 2f (x y z )dv(t)y 2)dF(t))d，G(t)f(x 2D(t)t 2，1f(x )dx(t) {( x, y, z) x 2 2 y 2 .2-1z t }，D(t){(x, y) x 22 .2,yt}(1)讨论F(t)在区间 (0, )内的单调性(2)证明当t>0时， F(t)-G(t).九、(本题满分10分)3 2 2 0 1 0设矩阵A 2 3 2， P 1 0 1， B P 1A P ，求 B+2E 2 2 3 0 0 1a b c 0.其中的特征值与特征向量，其中A *为D(t)0是未知参数•从总体X 中抽取简单随机样本 X 1,X 2, ,X n ，记? min (X^X ?, ,X n ).(1) 求总体 X 的分布函数 F(x); (2) 求统计量 ?的分布函数 F ?(x)；(3) 如果用 ?作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性f(x)2e 2(x ),x0, x其中2003年考研数学一真题评注、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)1ln(1 x 2)lim 1_ ln cosx【详解 1】lim(cosx)ln(1 x )= e x 0ln(1 x)x 0sin x1所以原式=e 2故所求的切平面方程为2(x 1) 4(y 2) (z 5) 0,即卩 2x 4y z 5._ 1= ,e .(1) i|m (cos x)【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式lim f (x)g(x) (1 ) = e lim(f(x) 1)g(x)进行计算求极限均而lim x 0 ln(1In cos xx 2) lim 竺空x 0x 2limcosxx 02x，故原式=e1 e"【详解2】 因为lim (cos x 1)x 0ln(1 x 2)1 2xlim 2—x 0 x 2(2) 曲面z2y 与平面2x4yz 0平行的切平面的方程是 2x 4y z 5. 【分析】 待求平面的法矢量为 n {2,4, 1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程 ，而切点坐标可根据曲面z 2 2x y 切平面的法矢量与 n{2,4, 1}平行确定•【详解】22令 F (x, y, z) z x y ,则F x 2x ， F y 2y ， F z 1 .设切点坐标为(x 0,y °,Z 0)，则切平面的法矢量为 { 2x 。

考研数学一2003真题2003年的考研数学一真题涵盖了多个知识点，包括线性代数、概率统计和数学分析等内容。

在本文中，我将对这些真题进行分析和解答，希望能帮助考生们更好地理解和应对考试。

一、线性代数1. 以下关于实对称矩阵A的说法，正确的是（）。

(A) A的解空间是一维的(B) A与一个对角矩阵相似(C) A是正交矩阵(D) A的特征值全为1解答：根据实对称矩阵的性质，其特征值全为实数。

所以选项(D)正确。

2. 设A是n阶矩阵，方程组Ax=b有且仅有两个解x=x1和x=x2，则以下哪个条件成立（）。

(A) Ax1=Ax2(B) x1、x2是A的特征向量(C) Ax=b有唯一解(D) A的零空间是一维的解答：根据题意，Ax=x1和Ax=x2是同一个方程组的解，所以Ax1-Ax2=0，即Ax1=Ax2，选项(A)正确。

二、概率统计1. 设随机变量X和Y相互独立且都服从标准正态分布N(0,1)，则P(|X|<a, |Y|<a)的值为（）。

(A) 1-a^2/π(B) 1-(2a^2)/π(C) 1-(a^2)/π(D) a^2/π解答：根据独立事件的概率乘法定理，P(|X|<a, |Y|<a) =P(|X|<a)P(|Y|<a) = 2Φ(a)Φ(a) = 2Φ(a)^2，其中Φ代表标准正态分布的累积分布函数。

所以选项(B)正确。

2. 设X1，X2，...，Xn为来自总体X的一个样本，它们的期望和方差分别为E(X)和Var(X)，则样本X1+X2+...+Xn的期望和方差分别为（）。

(A) nE(X)、n^2Var(X)(B) E(X)、Var(X)(C) nE(X)、n^2Var(X)/n(D) nE(X)、nVar(X)解答：根据期望和方差的性质，已知X1，X2，...，Xn是来自总体X的样本，所以期望和方差分别为nE(X)和nVar(X)。

所以选项(A)正确。

三、数学分析1. 设函数f(x)在区间[0,2π]上连续且单调递增，且f(0)=0，f(π)=1，则曲线y=f(x)的下方所围图形的面积为（）。

2003年考研数学一真题2003年考研数学一真题：回顾与思考2003年的考研数学一真题是历年来备受考生关注的一份试卷。

作为考研数学考试的重要组成部分，数学一试卷所涵盖的知识点广泛而深入。

本文将回顾2003年考研数学一真题，并对其中的一些问题进行思考和解析。

第一部分：选择题选择题是考研数学一真题的第一部分，也是考生们最为熟悉的题型之一。

2003年的选择题涵盖了代数、几何、概率与统计等多个方面的知识点。

其中，代数部分的题目涉及到了矩阵、行列式、向量等内容，几何部分则包括了平面几何、立体几何等。

概率与统计部分则考查了概率计算、随机变量等知识。

对于选择题的解答，考生们需要具备扎实的数学基础和灵活的解题思路。

在解答选择题时，可以通过排除法、代入法等方法来确定正确答案。

同时，对于不确定的选项，可以通过计算或逻辑推理来验证其正确性。

在解答选择题时，考生们应该注重时间的掌握，合理安排答题顺序，避免在某一道题上花费过多的时间。

第二部分：填空题填空题是考研数学一真题的第二部分，也是考生们需要掌握的重要题型之一。

与选择题不同，填空题需要考生们自己计算并填写答案，对数学基础的要求更高。

2003年的填空题主要涉及到了微积分、常微分方程、数列与级数等知识点。

对于填空题的解答，考生们需要熟练掌握相关的计算方法和公式。

在计算过程中，注意细节，避免计算错误。

对于较为复杂的题目，可以通过化简、分解等方法来简化计算过程。

此外，对于填空题，考生们还需要注意答题格式的规范性，确保答案的准确性。

第三部分：解答题解答题是考研数学一真题的第三部分，也是考生们需要展示自己数学能力的重要环节。

2003年的解答题主要涉及到了线性代数、概率与统计、数学分析等多个方面的知识点。

题目要求考生们运用所学的数学知识，进行证明、计算等操作。

对于解答题的解答，考生们需要注意解题思路的清晰和逻辑的严谨。

在解答过程中，可以运用已学的知识和方法，进行推导、证明等操作。

2003年考研数学（一）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】.（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】和 《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例8.13】.（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第（6）小题和《数学复习指南》P.240 【例8.37】.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例3.35】. （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x xy1DO211 x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N n X μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . 【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例6.16】.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] yO x【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是 .)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想，类似分析思想的例题见《数学复习指南》P.43 【例1.71】.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。

2003考研数学一答案【篇一：2003年考研数学一真题】p class=txt>一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1（1） lim(cosx)ln(1?x) . x?0（2）曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是.（3）设x?2?an?0?ncosnx(???x??)，则a2.（4）从r的基?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡矩阵为 . ????????（5）设二维随机变量(x,y)的概率密度为f(x,y)??2?1??1??1??1??6x,0?x?y?1,则p{x?y?1}? . 其他，?0,（6）已知一批零件的长度x (单位：cm)服从正态分布n(?,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则?的置信度为0.95的置信区间是 .,?(1.645)?0.95.) (注：标准正态分布函数值?(1.96)?0.975二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(a) 一个极小值点和两个极大值点.(b) 两个极小值点和一个极大值点.(c) 两个极小值点和两个极大值点.(d)[ ]（2）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有 n??n??n??(a) an?bn对任意n成立.(b) bn?cn对任意n成立.(c) 极限limancn不存在. (d) 极限limbncn不存在. [ ] n??n??（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limx?0,y?0f(x,y)?xy?1，则 (x2?y2)2(a) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(b) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(c) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(d) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ]（4）设向量组i：?1,?2,?,?r可由向量组ii：?1,?2,?,?s线性表示，则(a) 当r?s时，向量组ii必线性相关. (b) 当r?s时，向量组ii必线性相关.(c) 当r?s时，向量组i必线性相关.(d) 当r?s时，向量组i必线性相关.[ ]（5）设有齐次线性方程组ax=0和bx=0, 其中a,b均为m?n矩阵，现有4个命题：①若ax=0的解均是bx=0的解，则秩(a)?秩(b)；②若秩(a)?秩(b)，则ax=0的解均是bx=0的解；③若ax=0与bx=0同解，则秩(a)=秩(b)；④若秩(a)=秩(b)，则ax=0与bx=0同解.以上命题中正确的是(a) ①②. (b) ①③.(c) ②④. (d) ③④. [ ]（6）设随机变量x~t(n)(n?1),y?(a) y~1，则 2x?2(n). (b) y~?2(n?1).(c) y~f(n,1). (d) y~f(1,n). [ ]三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形d.(1) 求d的面积a;(2) 求d绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积v.四、（本题满分12分） ?1?2x(?1)n将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数，并求级数?的和.1?2xn?02n?1五、（本题满分10分）已知平面区域d?{(x,y)0?x??,0?y??}，l为d的正向边界. 试证： (1)(2) siny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx;llxelsinydy?ye?sinxdx?2?2.六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米.）七、（本题满分12分）设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程?(y?sinx)()?0变换为y=y(x)满足的微分方程； 2dydy(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零， 3的解. 2???f(t)??(t)f(x2?y2?z2)dv2d(t)??f(x?y)d?2，g(t)?d(t)??f(x2?y2)d??t， ?1f(x)dx22222222其中?(t)?{(x,y,z)x?y?z?t}，d(t)?{(x,y)x?y?t}.(1) 讨论f(t)在区间(0,??)内的单调性.(2) 证明当t0时，f(t)?九、（本题满分10分） 2?g(t).?322??010??????1**设矩阵a?232，p?101，b?pap，求b+2e 的特征值与特征向量，其中a为???????223???001??a的伴随矩阵，e为3阶单位矩阵.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l1: ax?2by?3c?0，l2: bx?2cy?3a?0，l3: cx?2ay?3b?0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、（本题满分8分）设总体x的概率密度为?2e?2(x??),x??, f(x)?? x??,?0,??min(x,x,?,x). 其中??0是未知参数. 从总体x中抽取简单随机样本x1,x2,?,xn，记?12n(1) 求总体x的分布函数f(x);(2) 求统计量??的分布函数f??(x)；(3) 如果用??作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学一真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1（1） lim(cosx)ln(1?x) =x?0?1e. g(x)【分析】 1型未定式，化为指数函数或利用公式limf(x)可.1(1?)=elim(f(x)?1)g(x)进行计算求极限均【详解1】 lim(cosx)x?0ln(1?x)=ex?0ln(1?x)lim1lncosx,?sinx1?lncosxlncosx112?lim?lim??而 lim，故原式=e?.22x?0ln(x?0x?02x21?x)xe?12x1??， 22x【详解2】因为lim(cosx?1)?x?01?lim2ln(1?x)x?0所以原式=e?12?1e.（2）曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是2x?4y?z?5.【分析】待求平面的法矢量为n?{2,4,?1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标22可根据曲面z?x?y切平面的法矢量与n?{2,4,?1}平行确定.22??【详解】令 f(x,y,z)?z?x?y，则fx???2x，fy???2y， fz??1.设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 {?2x0,?2y0,1}，其与已知平面2x?4y?z?0平行，因此有?2x0?2y01??， 24?122可解得x0?1,y0?2，相应地有 z0?x0?y0?5.故所求的切平面方程为2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即 2x?4y?z?5.【篇二：2003年数学二考研试题与答案】=txt>一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1（1）若x?0时，(1?ax)4?1 与xsinx是等价无穷小，则a=.（2）设函数y=f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） y?2x的麦克劳林公式中xn项的系数是 .（4）设曲线的极坐标方程为??ea?(a?0) ，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .?1???1???1?11?11???1，则 ?1??2（5）设?为3维列向量，?t是?的转置. 若??tt??= .（6）设三阶方阵a,b满足a2b?a?b?e，其中e为三阶单位矩阵，若?1?a?0????20201??0，则b?. ?1??二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有n??n??n??(a) an?bn对任意n成立.(b) bn?cn对任意n成立.(c) 极限limancn不存在. (d) 极限limbncn不存在. [ ] n??n??（2）设an?3nn?1?232xn?1?xdx, 则极限limnan等于n??n3?1(a) (1?e)?1. (b) (1?e)2?1.3?13(c) (1?e)2?1. (d)(1?e)2?1. [ ]（3）已知y?xlnx22是微分方程y??xx??()的解，则?()的表达式为 xyyyxxy22y（a） ?yxxy22. (b) .22(c) ?.(d) .[ ]（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (a) 一个极小值点和两个极大值点. (b) 两个极小值点和一个极大值点.(c) 两个极小值点和两个极大值点.(d) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]??（5）设i1??4tanxxdx,i2??4xtanx, 则(a) i1?i2?1. (b) 1?i1?i2.(c) i2?i1?1. (d) 1?i2?i1. [ ] （6）设向量组i：?1,?2,?,?r可由向量组ii：?1,?2,?,?s线性表示，则 (a) 当r?s时，向量组ii必线性相关. (b) 当r?s时，向量组ii必线性相关. (c) 当r?s时，向量组i必线性相关. (d) 当r?s时，向量组i必线性相关. [ ]三、（本题满分10分）?3?ln(1?ax),x?0,??x?arcsinx6,x?0, 设函数 f(x)??ax2?e?x?ax?1x?0,,?x?xsin4?问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）?x?1?2t2,2dy?u1?2lnte设函数y=y(x)由参数方程?(t?1)所确定，求2y?dudx??1u?x?9.五、（本题满分9分）计算不定积分?xearctanx3.2(1?x)2六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.dxdy22(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程分方程；?(y?sinx)(dxdy)?0变换为y=y(x)满足的微3(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?七、（本题满分12分）讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?ln八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(交点为q，且线段pq被x轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；432的解.x的交点个数.21,)，其上任一点p(x,y)处的法线与y轴的22(2) 已知曲线y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s. 九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式； (2) 求曲线x??(y)的方程.23(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.) 十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f?(x)?0. 若极限lim?f(2x?a)x?a存在，证明：x?a(1) 在(a,b)内f(x)0; (2) 在(a,b)内存在点?，使b?a22?b?2?f(?)；af(x)dx(3) 在(a,b) 内存在与(2)中?相异的点?，使f?(?)(b2?a2)?十一、（本题满分10分） ?2?若矩阵a?8???0p?12????abaf(x)dx.2200??a相似于对角阵?，试确定常数a的值；并求可逆矩阵p使?6??ap??.十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1: ax?2by?3c?0， l2: bx?2cy?3a?0， l3: cx?2ay?3b?0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.1一．（1）. 【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知lim(1?ax)4xsinx2x?0?1，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.12【详解】当x?0时，(1?ax)4?1~?142ax，xsinx~x.221于是，根据题设有 lim(1?ax)xsinx24??limx?01x?042x??14a?1，故a=-4.【评注】本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》p.38 【例1.62】. （2）.. 【分析】先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】等式xy?2lnx?y4两边直接对x 求导，得 y?xy??2x?4yy?，3将x=1,y=1代入上式，有 y?(1)?1. 故过点(1,1)处的切线方程为y?1?1?(x?1)，即 x?y?0.【评注】本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例题见《数学复习指南》p.55 【例2.13】和【例2.14】.（3）.. 【分析】本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值f f(n)(n)(0)，则麦克劳林公式中x项的系数是n(0)n!.【详解】因为 y??2xln2，y???2x(ln2)2，?,y(x)?2x(ln2)n，于是有y(n)y(n)(0)?(ln2)，故麦克劳林公式中x项的系数是nn(0)n!?(ln2)n!.【评注】本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. （4.）. 【分析】利用极坐标下的面积计算公式s?【详解】所求面积为s?=114a12????(?)d?即可.2?22??(?)d??2?021?22?e2a?d?e2a??14a(e4?a?1).【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂. 完全类似例题见《数学复习指南》p.200 【例7.38】.（5）.. 【分析】本题的关键是矩阵??的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.?1???1???1?11?11??1?????1=?1?1???1????1???1????11?，知???1，于是????1??t【详解】由??t????1t?1????11??1?3.????1??【篇三：最新考研数学三(2003-2013年)历年真题+答案详解】s=txt>数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1???xcos,若x?0,（1）设f(x)?? 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是x若x?0,??0,（2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2?________. （3）设a0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而d表示全平面，则i???f(x)g(y?x)dxdy=_______.?0,其他，d（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)t,a?0；e为n阶单位矩阵，矩阵a?e???t， b?e?1??t， a其中a的逆矩阵为b，则a=______.（5）设随机变量x 和y的相关系数为0.9, 若z?x?0.4，则y与z 的相关系数为________.（6）设总体x服从参数为2的指数分布，x1,x2,?,xn为来自总体x 的简单随机样本，则当n??1n时，yn??xi2依概率收敛于______.ni?1二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)? f(x)x(a) 在x=0处左极限不存在.(b) 有跳跃间断点x=0.(c) 在x=0处右极限不存在.(d) 有可去间断点x=0.[ ] （2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是(a) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. （b）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (c) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零.(d) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在.[ ]（3）设pn??an?an2，qn??an?an2?，n?1,2,?，则下列命题正确的是(a) 若?an?1n条件收敛，则?pn?1n与?qn?1都收敛.(b) 若?an?1?n绝对收敛，则 ?pn?1?n与?qn?1?n都收敛.(c) 若?an?1??n条件收敛，则 ?pn?1??n与?qn?1??n敛散性都不定.(d) 若?an?1n绝对收敛，则n?1n与?qn?1n敛散性都不定. [ ]?abb???（4）设三阶矩阵a?bab，若a的伴随矩阵的秩为1，则必有 ????bba??(a) a=b或a+2b=0. (b) a=b或a+2b?0.(c) a?b且a+2b=0.(d) a?b且a+2b?0. [ ] （5）设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是(a) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性无关.(b) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0.(c) ?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(d) ?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：a1={掷第一次出现正面}，a2={掷第二次出现正面}，a3={正、反面各出现一次}，a4={正面出现两次}，则事件(a) a1,a2,a3相互独立. (b) a2,a3,a4相互独立.(c) a1,a2,a3两两独立. (d) a2,a3,a4两两独立. [ ]三、（本题满分8分）设f(x)?1111??,x?[,1). ?xsin?x?(1?x)2试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连续.四、（本题满分8分）12?2f?2f12设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又??1g(x,y)?f[xy,(x?y2)],求222?u?v?2g?2g?. ?x2?y2五、（本题满分8分）计算二重积分i??(xe??d2?y2??)sin(x2?y2)dxdy.其中积分区域d={(x,y)x2?y2??}.六、（本题满分9分）x2n求幂级数1??(?1)(x?1)的和函数f(x)及其极值.2nn?1?n七、（本题满分9分）设f(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在(??,??)内满足以下条件：f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)=0, f(x)?g(x)?2ex.(1) 求f(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出f(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在??(0,3)，使f?(?)?0.九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn?? ?a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn??????????????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn?0,?0,?0, ?0,其中?ai?1ni?0. 试讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分）设二次型222f(x1,x2,x3)?xtax?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)，中二次型的矩阵a的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分）设随机变量x的概率密度为?1,若x?[1,8],?f(x)??3x2其他;??0,f(x)是x的分布函数. 求随机变量y=f(x)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量x与y独立，其中x的概率分布为x~??0.30.7??，??而y的概率密度为f(y)，求随机变量u=x+y的概率密度g(u).?12?2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1???xcos,若x?0,（1）设f(x)?? 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是??2. x 若x?0,??0,【分析】当x?0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当??1时，有11???1??xcos?x??2sin,若x?0,f?(x)?? xx若x?0,?0,?显然当??2时，有limf?(x)?0?f?(0)，即其导函数在x=0处连续. x?0（2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2? 4a6 .【分析】曲线在切点的斜率为0，即y??0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b2与a的关系.【详解】由题设，在切点处有2y??3x2?3a2?0，有 x0?a2.又在此点y坐标为0，于是有30?x0?3a2x0?b?0,222故b2?x0(3a2?x0)?a2?4a4?4a6.【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而d表示全平面，则i???f(x)g(y?x)dxdy=a2 .?0,其他，d【分析】本题积分区域为全平面，但只有当0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 i? =a??f(x)g(y?x)dxdy=d0?x?1,0?y?x?1??a2dxdy2?1dx?x?1xdy?a2?[(x?1)?x]dx?a2.1【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)t,a?0；e为n阶单位矩阵，矩阵a?e???t， b?e?其中a的逆矩阵为b，则a= -1 .【分析】这里??t为n阶矩阵，而?t??2a2为数，直接通过ab?e 进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有1??t， a1??t) a11=e???t???t???t???taa11=e???t???t??(?t?)?taa1=e???t???t?2a??ta1=e?(?1?2a?)??t?e,a11于是有 ?1?2a??0，即 2a2?a?1?0，解得 a?,a??1. 由于a0 ,故a=-1.2aab?(e???t)(e?。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim 20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .【评注】 本题属基本题型。