三角形中考总复习专题训练(精华)

中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。

图形的——三角形1一．选择题（共9小题）1．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4 B．10π﹣4 C．10π﹣8 D．﹣83．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种4．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°5．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C 的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）7．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为何？（）A．110 B．125 C．130 D．1558．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．59．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70° B．80° C．40° D．30°二．填空题（共8小题）10．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为_________ （只需填一个整数）11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为_________ 度．12．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________ 度．13．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是_________ °．14．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= _________ ．15．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为_________ ．16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，BE=CF，请添加一个条件_________ ，使△ABC≌△DEF．17．如图，已知△ABC中， AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是_________ ．（只填一个即可）三．解答题（共7小题）18．已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．19．如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．21．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．22．如图，在△ABC和△AB D中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．24．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．图形的——三角形参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B． C．D．考点：三角形三边关系．分析：根据勾股定理可知x的平方取值范围在2与3的平方和与平方差之间．解答：解：因为32﹣22=5，32+22=13，所以5＜x2＜13，即．故选B．点评：本题考查了锐角三角形的三边关系定理，有一定的难度．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4 B．10π﹣4 C．10π﹣8 D．﹣8考点：三角形的面积．分析：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．解答：解：阴影部分的面积=π×22÷2+π×12÷2﹣4×2÷2=；故选A．点评：此题考查了三角形的面积；解题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积．3．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种考点：三角形三边关系．专题：常规题型．分析：要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．解答：解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．故选：C．点评：本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．4．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°考点：全等三角形的判定．分析：本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．解答：解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：C．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．E F∥BC考点：全等三角形的判定．分析：本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．解答：解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，（1）AB=DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；点评：本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C 的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．解答：解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选：A．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．7．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为何？（）A．110 B．125 C．130 D．155考点：全等三角形的判定与性质．分析：易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A=∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．解答：解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，∴∠BCA=∠ECD，∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，∴∠BCA+∠ECD=100°，∴∠BCA=∠ECD=50°，∵∠ACE=55°，∴∠ACD=105°∴∠A+∠D=75°，∴∠B+∠D=75°，∵∠BCD=155°，∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，故选C．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A． 3 B．4 C．6 D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥A C于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB 的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二．填空题（共8小题）10．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为 4 （只需填一个整数）考点：三角形三边关系．专题：开放型．分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围．解答：解：根据三角形的三边关系可得：3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，所以x可取整数4．故答案为：4．点评：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75 度．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据三角形三内角之和等于180°求解．解答：解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．点评：考查三角形内角之和等于180°．12．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 70 度．考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．专题：几何图形问题．分析：分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．解答：解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．13．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是140 °．考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答：解：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．故答案为：140．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．14．（2014•佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= 75°．考点：三角形的外角性质．分析：首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．解答：解：∵∠ACB=90°，∠1=45°，∴∠2=90°﹣45°=45°，∴∠α=45°+30°=75°，故答案为：75°．点评：此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．15．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为130°．考点：全等三角形的性质．分析：根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠A，再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．故答案为：130°．点评：本题考查了全等三角形的性质，四边形的内角和定理，根据对应顶点的字母写在对应位置上确定出∠C=∠A是解题的关键．16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，BE=CF，请添加一个条件AC=DF（或∠B=∠DEF 或AB∥DE），使△ABC≌△DEF．考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：可选择利用SSS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可．解答：解：①添加AC=DF．∵BE=CF，∴BC=EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．②添加∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BC=EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．③添加AB∥DE．∵BE=CF，∴BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AC=DF（或∠B=∠DEF或AB∥DE）．点评：本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定定理．17．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是BD=CE ．（只填一个即可）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD=CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD=∠CAE等．解答：解：BD=CE，理由是：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案为：BD=CE．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目比较好，难度适中．三．解答题（共7小题）18．已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据中点定义求出AC=CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．解答：证明：∵C是AB的中点（已知），∴AC=CB（线段中点的定义）．∵CD∥BE（已知），∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等）．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）．点评：本题主要考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．19．如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：先求出BC=EF，添加条件AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：AC=DF．证明：∵BF=EC，∴BF﹣CF=EC﹣CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：证明题．分析：根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AD=BC．点评：本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS．21．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：证明题．分析：连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．解答：证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．22．如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据“SAS”可证明△ADB≌△BAC，由全等三角形的性质即可证明AC=BD．解答：证明：在△ADB和△BAC中，，∴△ADB≌△BAC（SAS），∴AC=BD．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．23．如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．考点：全等三角形的判定与性质；旋转的性质．专题：几何综合题．分析：（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．解答：（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．24．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．（2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）解：∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．2点评：本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段．3。

中考数学复习专题训练：《三角形综合》1．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长．2．如图，已知CD是△ABC的高，AD＝1，BD＝4，CD＝2．直角∠AEF的顶点E是射线CB上一动点，AE交直线CD于点G，EF所在直线交直线AB于点F．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若G为AE的中点，求tan∠EAF的值；（3）在点E的运动过程中，若，求的值．3．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，m），B（﹣m，0），C（n，0），AC＝5且∠OBA＝∠OAB，其中m，n满足．（1）求点A，C的坐标；（2）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．连接BP、CP，用含有t的式子表示△BPC的面积为S（直接写出t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使得S△PAB ＝S△POC，若存在，请求出t的值，并直接写出BP中点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．一副三角板直角顶点重合于点B，∠A＝∠C＝45°，∠D＝60°，∠E＝30°．（1）如图（1），若∠AFE＝75°，求证：AB∥DE；（2）如图（2），若∠AFE＝α，∠BGD＝β，则α+β＝度．（3）如图（3），在（1）的条件下，DE与AC相交于点H，连接CE，BH，若DG＝2CG＝2GH ，BC ＝10，S △CEH ＝S △BEH ，求△BDH 的面积．5．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，PC ＝PA ，设∠APB ＝α，∠BPC ＝β．（1）如图1，当点P 在△ABC 内， ①若β＝153°，求α的度数；小明同学通过分析已知条件发现：△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且PC ＝PA ，从而容易联想到构造一个顶角为120°的等腰三角形．于是，他过点A 作∠DAP ＝120°，且AD ＝AP ，连接DP ，DB ，发现两个不同的三角形全等： ≌ 再利用全等三角形及等腰三角形的相关知识可求出α的度数．请利用小王同学分析的思路，通过计算求得α的度数为；②小王在①的基础上进一步进行探索，发现α、β之间存在一种特殊的等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明．（2）如图2，点P在△ABC外，那么a、β之间的数量关系是否改变？若改变，请直接写出它们的数量关系；若不变，请说明理由．6．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG 交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上7．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE ＝α，且点A、D、E在同一直线上，连结BE（1）求证：AD＝BE．（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于E．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于E，BN⊥AE于N，BN＝a，CM＝b，直接写出AE 的值（用a，b的代数式表示）．8．已知，点A（t，1）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x 轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC．（1）如图1，若OB＝1，OC＝，且A，B，C在同一条直线上，求t的值；（2）如图2，当t＝1，∠ACO+∠ACB＝180°时，求BC+OC﹣OB的值；（3）如图3，点H（m，n）是AB上一点，∠A＝∠OHA＝90°，若OB＝OC，求m+n的值．9．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，点C为线段AB上一点，连接OC．（1）直接写出a＝，b＝；（2）如图1，P为OC上一点，连接PA，PB，若PA＝BO，∠BPC＝30°，求点P的纵坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点M是AB上一动点，以OM为边在OM的右侧作等边△OMN，连接CN．若OC＝t，求ON+CN的最小值（结果用含t的式子表示）10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B 停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC，且点Q在直线AB左侧，AP＝PQ，过点Q作QM⊥AB交射线AB于点M．设点P运动的时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；（2）求当点Q落在BC边上时t的值；（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式；（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值．11．如图，平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上，以AB 为斜边向上作等腰直角△ABC ，BC 交y 轴于点D ，C （﹣2，4）． （1）如图1，求点B 的坐标；（2）如图2，动点E 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿y 轴的正半轴运动，设运动时间为t 秒，连接CE ，设△ECD 的面积为S ，请用含t 的式子来表示S ；（3）如图3，在（2）的条件下，当点E 在OD 的延长线上时，点F 在直线CE 的下方，且CF ⊥CE ，CF ＝CE ．连接AD ，取AD 的中点M ，连接FM 并延长交AO 于点N ，连接FO ，当S △NFO ＝10S △AMN 时，求S 的值．12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点A（﹣2，0），点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°（1）求点B的坐标；（2）点P为AC延长线上一点，过P作PQ∥x轴交BC的延长线于点Q，若点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，请用含t的式子表示d；（3）在（2）的条件下，点E是线段CQ上一点，连接OE、BP，若OE＝PB，∠APB﹣∠OEB＝30°，求PQ的长．13．在平面直角坐标系中，点A（0，m），C（n，0）．（1）若m，n满足．①直接写出m＝，n＝；②如图1，D为点A上方一点，连接CD，在y轴右侧作等腰Rt△BDC，∠BDC＝90°，连接BA并延长交x轴于点E，当点A上方运动时，求△ACE的面积；（2）如图2，若m＝n，点D在边OA上，且AD＝11，G为OC上一点，且OG＝8，连接CD，过点G作CD的垂线交CD于点F，交AC于点FH．连接DH，当∠ADH＝∠ODC，求点D的坐标．14．如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别为x、y轴正半轴上一点，其中a、b满足：b﹣8＝+，C为AB的中点．（1）求A、B两点坐标；（2）E为OB上一点，连CE交x轴于D，若BE＝AD，如图1，求D点坐标；（3）F为x轴上的点，连FC，在（2）的条件下，若∠ACF＝45°，求F点坐标．15．如图所示，M为等腰三角形ABD的底边AB的中点，过D作DC∥AB，连接BC，AB ＝6cm，DM＝3cm，DC＝3﹣cm．动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S．（1）当点P在线段AM上运动时，PM＝．（用t的代数式表示）（2）求BC的长度；（3）当点P在MB上运动时，求S与t之间的函数关系式．16．如图，射线AN上有一点B，AB＝5，tan∠MAN＝，点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动，过点C作CD⊥AN交射线AM于点D，在射线CD上取点F，使得CF＝CB，连结AF．设点C的运动时间是t（秒）（t＞0）．（1）当点C在点B右侧时，求AD、DF的长．（用含t的代数式表示）（2）连结BD，设△BCD的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．（3）当△AFD是轴对称图形时，直接写出t的值．17．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE，连接CD．探究线段AE 与CD的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠ABE与∠DBC相等．”小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分∠ACD．”…老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD＝DF（如图2），如果BD＝BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系．”（1）求证：∠ABE＝∠DBC；（2）求证：线段BC平分∠ACD；（3）探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系，并加以证明．18．在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．19．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．20．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CE；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD 于点F，AE＝4，，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．参考答案1．（1）证明：∵∠DFA＝∠CFB，∠DAF＝∠CBF，∴∠D＝∠C，在△DAB和△CBA中，，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AD＝BC；（2）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图2所示：由（1）知，△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝2，DB＝EA，∠BDA＝∠AEB＝135°，∴∠BEC＝45°，∵∠C＝45°，∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE＝2，∠EBC＝90°，∴EC＝BE＝2，∵AC＝4，∴AE＝AC﹣EC＝4﹣2，∴BD＝AE＝4﹣2．（3）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图3所示：由（1）知△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝1，DB＝AE，∠BEA＝∠BDA＝108°，∠DBA＝∠EAB＝18°，∴∠BEC＝72°＝∠C，∠EFB＝∠DBA+∠EAB＝36°，∴BC＝BE＝1，∠EBC＝36°，∴∠C＝∠BEA﹣∠EBC＝72°，∴∠FBC＝72°，∴∠C＝∠FBC，∠EFB＝∠EBF＝36°，∴EF＝EB＝1，FB＝FC，∴AF＝FB＝FC＝1+EC，∵∠EBC＝∠EFB，∠∠C＝∠C，∴△CBE～△CFB，∴，∴BC2＝CE•CF，∴CE•CF＝1，∴CE（CE+1）＝1，即CE2+CE﹣1＝0，解得：（负值已舍去），∴，∴，∴．2．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵AD＝1，CD＝2，BD＝4，∴CD2＝AD•BD，∴＝，∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．（2）如图1中，作EH⊥AB于H．∵AD⊥AB，EH⊥AB，∴DG∥HE，∵AG＝GE，∵AD＝DH＝1，∵DB＝4，∴BH＝DB﹣DH＝3，∵EH∥CD，∴＝，∴＝，∴EH＝，∴tan∠EAF＝＝＝．（3）如图2中，作EH⊥AB于H．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴EH∥CD，∴＝＝＝，∵CD＝2，BD＝4，∴EH＝，BH＝，∴AH＝AB﹣BH＝5﹣＝，DH＝AH﹣AD＝，在Rt△AEH中，AE＝＝＝，∵DG∥EH，∴＝，∴＝，∴EG＝，∵AE⊥EF，EH⊥AF，∴△AEH∽△EFH，∴＝，∴＝，∴EF＝∴＝＝．3．解：（1）由，解得，∴A（0，4），C（3，0）．（2）如图1中，当0＜t＜4时，S＝•BC•OP＝×5×（4﹣t）＝﹣t+10．如图2中，当t＞4时，S＝•BC•OP＝×5×（t﹣4）＝t﹣10．综上所述，S＝．（3）当0＜t＜4时，由题意，×t×4＝××（4﹣t）×3，解得t＝．此时，OP＝4﹣＝，∴P（0，），∵B（﹣4，0），∴BQ的中点Q的坐标为（﹣2，）当t＞4时，由题意，×t×4＝××（t﹣4）×3，解得t＝36，此时OP ＝36﹣4＝32，∴P （0，﹣32），∵B （﹣4，0），∴BP 的中点Q 的坐标为（﹣2，﹣16）．综上所述，满足条件的t 的值为或36．点Q 的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣16）． 4．（1）证明：如图（1），∵∠AFE ＝75°，∠A ＝45°，∴∠ABE ＝75°﹣45°＝30°，∵∠E ＝30°，∴∠E ＝∠ABE ，∴AB ∥DE ；（2）解：如图（2），△ABF 中，∠AFE ＝∠A +∠ABE ＝α①，△BGE 中，∠BGD ＝∠E +∠CBF ＝β②，①+②得：α+β＝∠A +∠E +∠CBF +∠ABE ＝45°+30°+90°＝165°；故答案为：165；（3）解：∵DE ∥AB ，∴∠CGH ＝∠ABC ＝90°，∵S △CEH ＝S △BEH ，∴，∴CG＝BG，∵BC＝10，∴CG＝2，BG＝8，∵DG＝2CG＝2GH，∴DG＝4，GH＝2，∴△BDH的面积＝＝＝24．5．解：（1）①如图1，过点A作AH⊥DP于H，∵∠DAP＝∠BAC＝120°，∴∠DAB＝∠PAC，且AD＝AP，AB＝AC，∴△ADB≌△APC（SAS）∴BD＝PC＝PA，∠ADB＝∠APC，∵∠DAP＝120°，AD＝AP，AH⊥DP，∴∠ADP＝∠APD＝30°，DH＝PH，∴AP＝2AH，HP＝AH，∴DP＝AP，∴DB＝DP，∴∠DBP＝∠DPB＝∠APB﹣∠APD＝α﹣30°，∴∠BDP＝180°﹣2（α﹣30°）＝240°﹣2α，∴∠ADB＝∠BDP+∠ADP＝270°﹣2α＝∠APC，∵∠APB+∠APC+∠BPC＝360°，∴270°﹣2α+α+β＝360°，∴β﹣α＝90°，当β＝153°时，α＝63°，故答案为：△ADB，△APC，63°；②β﹣α＝90°，理由如上；（2）α+β＝90°，理由如下：如图2，作∠PAN＝120°，且PA＝NA，连接PN，BN，∵∠PAN＝∠BAC＝120°，∴∠BAN＝∠PAC，且AB＝AC，AP＝AN，∴△ABN≌△ACP（SAS）∴∠BNA＝∠APC，PC＝BN＝AP，∵∠PAN＝120°，PA＝NA，∴∠APN＝∠ANP＝30°，∴PN＝AP＝BN，∴∠BPN＝∠PBN＝α+30°，∵∠BPN+∠PBN+∠BNP＝180°，∴2（α+30°）+β﹣α+30°＝180°，∴α+β＝90°．6．（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．7．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）解：设AE交BC于点H，如图2所示：由（1）得：△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，∵∠AHC＝∠BHE，∴∠AEB＝∠ACH＝90°，∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∵CM⊥DE，∴CM＝DM＝ME＝7，∴DE＝2CM＝14，∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，∴AB＝＝＝26；（3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM．在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2×＝2×＝2b．∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝＝＝a．∵AD＝BE，AE＝AD+DE，∴AE＝BE+DE＝a+2b．8．解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，如图1所示：∵点A（t，1），∴AD＝1，OD＝t，∵A，B，C在同一条直线上，∴∠OCB＝∠DCA，∵tan∠OCB＝＝＝，∴tan∠OCB＝tan∠DCA＝＝，即＝，解得：CD＝，∴t＝OD＝OC+CD＝+＝3；（2）作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，如图2所示：则∠ADB＝∠ANB＝90°，∵t＝1，∴点A（1，1），∴AD＝AM＝OM＝1，∵∠ACO+∠ACB＝180°，∠ACN+∠ACB＝180°，∴∠ACO＝∠ACN，∵AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，∴AN＝AM＝AD＝1，在Rt△ABD和Rt△ABN中，，∴Rt△ABD≌Rt△ABN（HL），∴BN＝BD＝OB+1，同理：Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM＝CN，∵BC＝BN﹣CN，OC＝OM+CM＝1+CM，∴BC+OC﹣OB＝BN﹣CN+1+CM﹣OB＝OB+1﹣CN+1+CM﹣OB＝2；（3）作HG⊥OC于G，如图3所示：∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OCB＝45°，∵∠OHA＝90°，∴OH⊥AB，∴△OCH是等腰直角三角形，∵HG⊥OC，∴△OGH是等腰直角三角形，∴OG＝GH，即m＝﹣n，∴m+n＝0．9．解：（1）∵a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a＝b．b﹣4＝0，∴a＝4，b＝4，故答案为4，4．（2）如图1中，分别过A，B作OC的垂线，垂足分别为D，E．∵∠BEO＝∠ADO＝∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∠BOE+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵BO＝AO，∴△ADO≌△OEB（AAS），∴OD＝BE，∵∠BPC＝30°，∴PB＝2BE＝2OD，∵AP＝BO＝AO，AD⊥OP，∴OD＝DP，∴PB＝PO，过P作PF⊥OB，∴OF＝OB＝2，即点P的纵坐标的为2．（3）如图2中，以OA为边在x轴下方作等边△OAG，连接GN．∵∠MON＝∠AOG＝60°，∴∠MOA＝∠NOG，∵OM＝ON，OA＝OG，∴△OMA≌△ONG（SAS），∴∠OGN＝∠OAM＝45°，即点N在y轴与OG夹角为45°的直线GN上运动，作OH⊥OC交CA的延长线于H，连接NH．GH．由（2）可知∠ACO＝60°，在四边形ACOG中，∠COG＝360°﹣60°﹣60°﹣45°﹣60°＝135°，∴OC∥NG，∵OC⊥OH，∴OH⊥NG，∵∠OHC＝30°＝∠AGO，∴点G在以G为圆心GO为半径的⊙G上，∴GO＝GA，∴NH垂直平分线段OH，∴O，H关于GN对称，∴ON+NC＝NH+NC≥CH，∵CH＝2OC＝2t，∴ON+NC≥2t，∴ON+CN的最小值为2t．10．解：（1）如图1中，在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°，∴AB＝＝＝20，∵PQ∥AC，∴∠A＝∠QPM，∵∠C＝∠PMQ＝90°，∴△ACB∽△PMQ，∴＝＝，∴＝＝，∴PM＝4t，MQ＝3t，当0＜t≤时，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．当＜t≤4时，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．（2）如图2中，当点Q落在BC上时，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，解得t＝，∴当点Q落在BC边上时t的值为s．（3）如图3﹣1中，当＜t≤时，重叠部分是△DMK，S＝×DM×MK＝×（9t﹣10）×（9t﹣10）＝t2﹣t+．如图3﹣2中，当≤t≤4时，重叠部分是△PBK，S＝•PK•BK＝×（20﹣5t）•（20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．（4）如图4﹣1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG，∴△QGK≌△QGM（AAS），∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t，∴PG＝PK＝t，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，∴t＝．如图4﹣2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．∵•AC•BC＝•AB•CG，∴CG＝＝＝，AG＝＝＝，∵∠CMG＝∠GCM＝45°，∴CG＝GM＝，∴AM＝9t＝+，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为s或s．11．解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵C（﹣2，4），∴CH＝4，OH＝2，∵AC﹣BC，∠ACB＝90°，∴AH＝CH＝BH＝4，∴OB＝OH＝2，∵OD∥CH，∴CD＝DB，∴OD＝CH＝2，∴D（0，2），B（2，0）．（2）由（1）可知D（0，2），所以当0≤t＜2时，当t＞2时，，综上所述，S＝．（3）如图3中，延长AC交y轴于H，连接FD，AF．FO．∵C（﹣2，4），△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝8，由（1）知B（2，0），∴OB＝2，OA＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AOH＝90°，∴∠CHE＝∠CAB＝45°，∴OH＝OA＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠DCH＝90°，∵∠CHE＝45°，∴∠CDH＝∠CHE＝45°，∴CH＝CD，∵CF⊥CE，∴∠DCF+∠ECD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠HCE+∠ECD＝90°，∴∠HCE＝∠DCF，又∵CF＝CE，∴△HCE≌△DCF（SAS），∴HE＝FD＝6﹣t，∠CDF＝∠CHE＝45°，∵∠CBA＝45°，∴∠CDF＝∠CBA，∴FD∥AB，∴∠FDM＝∠NAM，∵M是AD中点，∴DM＝AM，又∵∠FMD＝∠NMA，∴△DMF≌AMN（ASA），∴AN＝FD＝6﹣t，∵DM ＝AM ，∴S △DMF ＝S △AMF∵△DMF ≌△AMN ，∴S △DMF ＝S △AMN ，∴S △NFA ＝2S △AMN∵S △NFO ＝10S △AMN∴S △NFO ＝5S △NFA ，∴5AN ＝ON ，∵OA ＝6，∴AN ＝1，∴AN ＝6﹣t ＝1，∴t ＝5，∴S ＝t ﹣2＝5﹣2＝3．12．解：（1）在Rt △AOC 中，A （﹣2，0），∠A ＝60°，∴OA ＝2，∠ACO ＝∠ABC ＝30°∴AC ＝2OA ＝4，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ＝8，即OB ＝AB ﹣OA ＝8﹣2＝6，则B （6，0）；（2）如图1所示，在Rt △MCP 中，MP ＝t ，∠MCP ＝30°，∴CP ＝2MP ＝2t ，在Rt △CQP 中，∠CQP ＝30°，CP ＝2t ，∴PQ ＝4t ，即d ＝4t ；（3）如图2所示，过P 作PM ∥y 轴，交BC 于M ，∴∠APM＝∠DCP＝∠ACO＝30°，∵∠APB﹣∠OEB＝30°，∴∠APB﹣30°＝∠OEB＝∠BPM，∵∠BMP＝180°﹣60°＝120°＝∠OCE，∵OE＝PB，∴△OCE≌△BMP（AAS），∴OC＝BM＝2，∵BC＝4，∴CM＝4﹣2＝2，Rt△PCM中，∠CPM＝30°，CP＝2t，∴PM＝4，∴PC2+CM2＝PM2，∴，4t2+12＝48，t＝3或﹣3（舍），∴PQ＝4t＝12．13．解：（1）①由，解得，故答案为4，4．②如图1中，∵A（0，4），C（4，0），∴OA＝OC＝4，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC＝OC，∠ACO＝45°，∵△DCB是等腰直角三角形，∴BC＝CD，∠DCB＝45°，∴∠OCD＝∠ACB，＝＝，∴∠OCD∽△ACB，∴∠BAC＝∠DOC＝90°，∴∠AEC＝∠ACE＝45°，∴AE＝AC，∵AO⊥EC，∴EO＝OC＝AO＝4，＝•EC•AO＝×8×4＝16．∴S△ACE（2）如图2中，作CP∥OA交DH的延长线于P，作DK⊥CP于K．∵PC∥OA，∴∠P＝∠ADH，∠DCP＝∠ODC，∵∠ADH＝∠ODC，∴∠P＝∠PCD，∴DP＝DC，∴△DPC是等腰三角形，∵∠DKC＝∠KCO＝∠DOC＝90°，∴四边形ODKC是矩形，∴OD＝CK，∵DK⊥PC，∴PK＝CK＝OD，设OD＝x，则PK＝CK＝x，PC＝2x，∵OA＝OC，AD＝11，OG＝8，∴CG＝OC﹣OG＝x+3，∵GH⊥DC，∴∠CFG＝∠COD＝90°，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠CGF+∠FCG＝90°，∴∠ODC＝∠CGF，∴∠CGH＝∠P，∵CH＝CH，∠HCG＝∠HCP＝45°，∴△HCG≌△HCP（AAS），∴CG＝CP，∴x+3＝2x，∴x＝3，∴D（0，3）14．解：（1）根据题意得：，解得：a＝4，∴b＝8，∴A（4，0），B（0，8）；（2）∵C为AB的中点，∴C（2，4），设OE＝b，∵BE＝AD，∴AD＝8﹣b，∵OA＝4，∴OD＝4﹣b，设直线CD的解析式为：y＝kx+b，把C（2，4）代入得：2k+b＝4，∴k＝，∴直线CD的解析式为：y＝x+b，∵D（b﹣4，0），则﹣+b＝0，解得：b＝2或8（舍），∴D（﹣2，0）；（3）由（2）知：直线CD的解析式为：y＝x+2分两种情况：①当F在点A的左侧时，如图2，过F作FG⊥AB于G，∵∠BAO＝∠FAG，∴tan∠BAO＝tan∠FAG＝＝＝2，设AG＝x，则FG＝2x，∵∠ACF＝45°，∠CGF＝90°，∴CG＝FG＝2x，∵AC＝AB＝＝2，∴AG＝2﹣2x＝x，x＝，∴AF＝x＝，∴OF＝4﹣＝，∴F（，0）；②当点F在点A的右侧时，如图3，过C作CP⊥CF，交x轴于点P，CH⊥x轴于H，过A作AG⊥CF于G，∵∠ACF＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴CG＝AG＝，由（2）知：AP＝，∵AH＝2，∴PH＝﹣2＝，∵CH＝OB＝4，∴PC＝＝，∵AG∥PC，∴，即＝，∴AF＝10，∴F（14，0），综上，点F的坐标为（，0）或（14，0）．15．解：（1）如图1中，PM＝3﹣t．故答案为3﹣t．（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图2，∵DA＝DB，AM＝BM，∴DM⊥AB．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠DMB＝90°．∴CE∥DM．∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME＝90°，∴四边形DCEM是矩形．∴CE＝DM＝3，ME＝DC＝．∵AM＝BM，AB＝6，∴AM＝BM＝3．∴BE＝BM﹣ME＝．∵∠CEB＝90°，CE＝3，BE＝，∴CB＝＝＝2．（3）①当3＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，∵QF⊥AB，CE⊥AB，∴∠QFB＝∠CEB＝90°．∴QF∥CE．∵BQ＝t，∴QF＝∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）•＝；②当＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图4，此时QF＝DM＝3．∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）×3＝．综上所述：当3＜t≤时，S＝；当＜t≤时，S＝．16．解：（1）在Rt△ACD中，AC＝3t，tan∠MAN＝，∴CD＝4t．∴AD＝＝＝5t，当点C在点B右侧时，CB＝3t﹣5，∴CF＝CB．∴DF＝4t﹣（3t﹣5）＝t+5．（2）当0＜t＜时，S＝•（5﹣3t）•4t＝﹣6t2+10t．当t＞时，S＝•（3t﹣5）•4t＝6t2﹣10t．（3）①如图1中，当DF＝AD时，△ADF是轴对称图形．则有5﹣3t﹣4t＝5t，解得t＝，②如图2中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．③如图3中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为或或．17．（1）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBD，∴∠ABE＝∠CBD．（2）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴BA＝BC，BE＝BD，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∴∠ACB＝∠BCD＝60°，∴CB平分∠ACD．（3）解：结论：EC+BE＝BC．理由：∵DA＝DF，∴可以将△DBF绕点D顺时针旋转，使得DF与DA重合，得到△DMA，连接AM．∵DA＝DF，BD＝BF，∴∠DAF＝∠F＝∠BDF，∵∠BCD＝∠ABC＝60°，∴CD∥AB，∴∠CDF＝∠DAF，∵∠MDA＝∠BDF＝∠F＝∠DAB，∴∠MDA＝∠CDA，∴D，C，M共线，∵∠AMD＝∠DBF＝∠CDB，∠ACM＝∠BCD＝60°，AM＝DM＝BD＝BF，∴△AMC≌△BDC（AAS），∴CM＝DC＝BD＝BE，∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，∴BC＝AC＝EC+AE＝CE+CD＝CE+BE，∴EC+BE＝BC．18．（1）解：如图1中，在CA上取一点H，使得CH＝CG．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE⊥CR，CE＝ER，∴AC＝AR，∴∠CAG＝∠GAB＝22.5°∵CG＝CH＝1，∴GH＝＝＝，∠CHG＝45°，∵∠CHG＝∠HAG+∠HGA，∴∠HAG＝∠HGA＝22.5°，∴HA＝HG＝，∵CB＝CA，CG＝CH，∴BG＝AH＝．（2）解：如图2中，连接CD，DE．∵CF⊥AG，BC⊥CF，∴∠BCF＝∠CAE＝90°﹣∠ACE在△AEC和△CFB，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CD＝BD，∠CDB＝90°，∵∠CDB＝∠CFB＝90°，∴∠FBD＝∠DCE，在△BFD与△CED中，，∴△BFD≌△CED（SAS），∴DF＝DE，∠FDB＝∠EDC，∴∠EDC+∠EDB＝∠BDF+∠BDE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF．（3）如图3中，结论：＝．理由：连接AF，在EC上取一点H，使得CH＝AH，连接AH．∵AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，AB＝AC＝BC，∵∠BAG＝15°，∴∠CAE＝75°，∵CE⊥AG，∴∠CEA＝90°，∴∠ACE＝15°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，∵BF⊥CE，∴∠FCB＝∠FBC＝45°，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴AF垂直平分线段BC，∴AF平分∠CAB，∴∠FAB＝∠CAB＝30°，∴∠EAF＝∠EFA＝45°，∴EF＝AE，设EF＝AE＝m，∵HC＝HA，∴∠HCA＝∠HAC＝15°，∴∠EHA＝∠HCA+∠HAC＝30°，∴AH＝2AE＝2m，EH＝m，∴EC＝2m+m，∴AC＝＝＝（+）m，∵BD＝AB＝AC＝m，∴＝．19．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如图2，连结BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴BD＝＝＝5．（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，∴CD2+CE2＝2AC2．∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，∴CD2+CE2＝BC2．20．（1）证明：如图1中，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD．。

图形的性质——三角形2一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．60°3．已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（）A．5个B．4个C．3个D．2个4．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30° B．36° C．40° D．45°5．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm6．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或107．已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）A．21 B．20 C．19 D．188．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD=30°B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED二．填空题（共7小题）10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= _________ ．11如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为_________ ．12．等腰三角形的两边长分别为1和2，其周长为_________ ．13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_________ ．14．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为_________ cm．15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=_________ ．16．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为_________ （度）．三．解答题（共8小题）17．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．18．如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．19．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．求证：AB=BF．21．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．22．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．23．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．（2）BH⊥DE．24．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．图形的性质——三角形2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．解答：解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣30°）=75°，∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，∴BC=BD，∴∠CBD=180°﹣2∠ACB=180°﹣2×75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°．故选：B．点评：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．2．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°考点：等腰三角形的性质．分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C===40°．故选：B．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．3．已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（）A．5个B．4个C．3个D．2个考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：由已知条件，根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合边长是整数进行分析．解答：解：周长为13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或4，4，5；或6，6，1，共3个．故选：C．点评：本题考查了等腰三角形的判定；所构成的等腰三角形的三边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解答本题时要进行多次的尝试验证．4．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°考点：等腰三角形的性质．分析：求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．5．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D． 4cm＜AB＜10cm考点：等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．分析：设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．解答：解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（20﹣2x）cm，∴，解得5cm＜x＜10cm．故选：B．点评：本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．6．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．7．已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）A．21 B．20 C．19 D．18考点：等腰三角形的性质．分析：由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解．解答：解：8+8+5=16+5=21．故这个三角形的周长为21．故选：A．点评：考查了等腰三角形两腰相等的性质，以及三角形周长的定义．8．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A． 3 B．4 C．5 D．6考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD ﹣MD即可求出OM的长．解答：解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，∴OD=6，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．故选：C．点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD=30°B．AD=BD C．BD=2CD D．C D=ED考点：含30度角的直角三角形；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B，推出AD=BD，AD=2CD即可．解答：解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴∠CAD=∠BAD=∠B，∴AD=BD，AD=2CD，∴BD=2CD，根据已知不能推出CD=DE，即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确；故选：D．点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二．填空题（共7小题）10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= 3 ．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．解答：解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB===10，∵AD平分∠CAB，∴CD=DE，∴S△ABC=AC•CD+AB•DE=AC•BC，即×6•CD+×10•CD=×6×8，解得CD=3．故答案为：3．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．11．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为m+n ．考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，推出∠A=∠ABD=40°，求出∠ABC=∠C，推出AC=AB=m，求出△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC，代入求出即可．解答：解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠A=40°，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=40°，∵∠DBC=30°，∴∠ABC=40°+30°=70°，∠C=180°﹣40°﹣40°﹣30°=70°，∴∠ABC=∠C，∴AC=AB=m，∴△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n，故答案为：m+n．点评：本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．12．等腰三角形的两边长分别为1和2，其周长为 5 ．分析：根据题意，要分情况讨论：①1是腰；②1是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．解答：解：①若1是腰，则另一腰也是1，底是2，但是1+1=2，故不能构成三角形，舍去．②若1是底，则腰是2，2．1，2，2能够组成三角形，符合条件．成立．故周长为：1+2+2=5．故答案为：5．点评：本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为63°或27°．考点：等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．解答：解：在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，底角=（180°﹣54°）÷2=63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，此时底角=（180°﹣126°）÷2=27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故答案为：63°或27°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．14．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为35 cm．分析：题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．故其周长是35cm．故答案为：35．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=18°．考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．解答：解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．∵BD⊥AC于点D，∴∠CBD=90°﹣72°=18°．故答案为：18°．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．16．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为45 （度）．考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．解答：解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°．故答案为：45．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．三．解答题（共8小题）17．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．考点：全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角．专题：几何综合题．分析：（1）利用正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC 即可得出答案．解答：（1）证明：∵正五边形ABCDE，∴AB=BC，∠ABM=∠C，∴在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCN（SAS）；（2）解：∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠BAM+∠ABP=∠APN，∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．即∠APN的度数为108°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．18．如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．解答：证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM，∵M是BC的中点，∴BM=CM，在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM（SAS），∴MD=ME．点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．19．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：证明：∵正方形ABCD，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，∵∠ABG+∠CBF=90°，∴∠BAG=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．求证：AB=BF．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据EF⊥AC，得∠F+∠C=90°，再由已知得∠A=∠F，从而AAS证明△FBD≌△ABC，则AB=BF．解答：证明：∵EF⊥AC，∴∠F+∠C=90°，∵∠A+∠C=90°，∴∠A=∠F，在△FBD和△ABC中，，∴△FBD≌△ABC（AAS），∴AB=BF．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．21．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDB，则对应角相等：∠A=∠E．解答：证明：如图，∵BC∥DE，∴∠ABC=∠BDE．在△A BC与△EDB中，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A=∠E．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．22．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题；压轴题．分析：（1）证△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，根据全等三角形的性质求出即可；（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE （SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∴∠EAG=90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32，∴MN=点评：本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用．23．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．（2）BH⊥DE．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠C DE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．解答：证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，即∠BCH=∠DCE，在△BCH和△DCE中，，∴△BCH≌△DCE（SAS），∴BH=DE；（2）∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH=∠CDE，又∵∠CGB=∠MGD，∴∠DMB=∠BCD=90°，∴BH⊥DE．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．24．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，再利用“边角边”证明△BCP和△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PDC=∠PBC，再根据等边对等角可得∠PBC=∠PEC，从而得证．解答：证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCP=∠DCP，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴∠PDC=∠PBC，∵PB=PE，∴∠PBC=∠PEC，北京市∴∠PDC=∠PEC．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键．Earlybird。

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案一、选择题1．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，EC＝4，CD＝3，则AC等于（）A．3 B．4 C．7 D．82．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC=60°，∠ACB= 40°然后在BC的同侧找到点M使∠MBC=60°，∠MCB=40°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA4．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为（）.A．0.4 cm2B．0.5 cm2C．0.6 cm2D．不能确定6．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立是（）A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP7．如图，△ABC中∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC ②∠ABC+2∠APC=180°③∠CAB=2∠CPB④S△PAC=S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（）A．6 B．3 C．2 D．1.5二、填空题9．如图BA=BE，∠1=∠2要使△ABD≌△EBC还需添加一个条件是．（只需写出一种情况）10．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是．11．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=8，则AD+DE的值为．12．如图，在△ABC中AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=70°那么∠A的大小等于度．13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三、解答题14．如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C.（1）求证：BD=CD；（2）若∠B=∠BDC=100°，求∠BAD的度数.15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数.16．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．（1）求证：CD=BE；（2）求∠CFE的度数．18．如图，在△AOB和△COD中OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°连接AC、BD交于点M，连接OM．求证：（1）∠AMB=36°；（2）MO平分∠AMD．参考答案1．C2．C3．D4．B5．B6．D7．D8．D9．BD =BC 或∠A =∠E 或∠C =∠D （任填一组即可）10．411．812．4013．414．（1）证明：∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD .在△ABD 和△ACD 中{∠BAD =∠CAD ∠B =∠C AD =AD∴△ABD ≌△ACD(AAS)∴BD =CD .（2）解：由(1)得：△ABD ≌△ACD∴∠C =∠B =100°，∠BAD =∠CAD∵∠BAC +∠B +∠BDC +∠C =360°∴∠BAC =60°∴∠BAD =30°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）∴BC ＝DC ；（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：∵△ABD 、△AEC 都是等边三角形∴AD=AB ，AC=AE ，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，∠CAE=60°∵∠DAB=∠DAC+∠CAB ，∠CAE=∠BAE+∠CAB∴∠DAC=∠BAE在△DAC 和△BAE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE∴△DAC ≌△BAE∴CD=BE（2）解：∵△DAC ≌△BAE∴∠ADC=∠ABE∴∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF=∠BDF+∠DBA+∠ADC=∠BDA+∠DBA=60°+60°=120°18．（1）解：证明：∵∠AOB=∠COD=36°∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD 在△AOC和△BOD中{OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌△BOD(SAS)∴∠OAC=∠OBD∵∠AEB是△AOE和△BME的外角∴∠AEB=∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC∴∠AMB=∠AOB=36°；（2）解：如图所示，作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H∴OG是△AOC中AC边上的高，OH是△BOD中BD边上的高由（1）知：△AOC≌△BOD∴OG=OH∴点O在∠AMD的平分线上即MO平分∠AMD．。

三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。

2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值X围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D【解析】：如图∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。

3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B【解析】如图，延长BC交AD于点E，∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，故答案为：B.【分析】延长BC交AD 于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。

4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。

中考数学解直角三角形练习第一课时(锐角三角函数)课标要求1、 通过实例认识直角三角形的边角关系：即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、cotA ）2、 熟知300、450、600角的三角函数值3、 会用计算器求锐角的三角函数值：以及由已知的三角函数值求相应的锐角。

4、 通过特殊角三角函数值：知道互余两角的三角函数的关系。

5、 了解同角三角函数的平方关系。

sin 2α+cos 2α=1：倒数关系tan α·cot α=1.6、 熟知直角三角形中：300角的性质。

中招考点1、 锐角三角函数的概念：锐角三角函数的性质。

2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。

3、 运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。

典型例题[例题1] 选择题（四选一）1、如图19-1：在Rt △ABC 中：CD 是斜边AB 上的高：则下列线段比中不等于sinA 的是（ ）A. AC CDB. CB BDC.AB CBD.CBCD分析：sinA=AC CD ； sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= ABBC；从而判断D 不正确。

故应选D.。

2、在Rt △ABC 中：∠C ＝900：∠A ＝∠B ：则cosA 的值是（ ） A.21B. 22 C.23 D.1分析：先求出∠A 的度数：因为∠C ＝900：∠A ＝∠B ：故∠A ＝∠B ＝450：再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450=22故选B.。

3、在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=23 ；则cosB 的值为（ ）A. 21B. 22C.23D.33分析：方法一：因为sinA=23；故锐角A ＝600。

因为∠C ＝900：所以∠B ＝300.cosB=23.故选C.方法二：因为 ∠C ＝900：故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝23.故选C..4、如图19-2：在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=53.则BC ：AC 等于（ ）A C图19-1A. 3：4B. 4：3C.3：5D.4：5 分析： 因为∠C ＝900：sinA ＝53 ；又sinA=AB BC .所以AB BC ＝53； 不妨设BC ＝3k ；AB=5k ；由勾股定理可得AC ＝22BC AB -＝4k ；所以BC ：AC ＝3k:4k=3:4故选A.。

初三中考数学复习三角形内角和定理专题复习练习1. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为( )A．125° B．120° C．140° D．130°2. 如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1 3. 如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3等于( )A．180° B．360° C．540° D．无法确定4. 如图，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°5. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( )A．110° B．80° C．70° D．60°6. 下面四个图形中，能判断∠1>∠2的是( )7. 如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数为( )A．53° B．63° C．73° D．83°8. 已知AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A的度数为( )A．30° B．35° C．40° D．45°9. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC 沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )A．40° B．35° C．30° D．25°10. 如图，a，b，c，d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是( )A．∠1＋∠5＋∠4＝180° B．∠4＋∠5＝∠2C．∠1＋∠3＋∠6＝180° D．∠1＋∠6＝∠211. 如图所示，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线．若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝____度．12. 如图，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝______．13. 如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝____度．14. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．15．如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于_______．16．在△ABC 中，∠A∶∠B＝2∶1，∠C＝60°，则∠A ＝____°. 17. 如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．18. 如果等腰三角形的一个外角为110°，求它的底角．19. 在三角形ABC 中，∠BAE ＝12∠BAC ，∠C>∠B ，且FD ⊥BC 于D 点．(1)试推出∠EFD ，∠B ，∠C 的关系；(2)当点F 在AE 的延长线上时，其余条件不变，你在题(1)推导的结论还成立吗？请直接写出结论．20. 如图，CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 与BA 的延长线相交于点E ，求证：∠BAC>∠B.21. 如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，试说明：∠BOC ＝90°＋12∠A.参考答案1---10 DBBCC DBCAD 11. 35 12. 60° 13. 45 14. 30° 15. 360° 16. 8017. 解：在△ABN 中，∠A ＋∠B ＋∠1＝180°，在△CDP 中，∠C ＋∠D ＋∠3＝180°，在△EFM 中，∠E ＋∠F ＋∠2＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠1＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠3＋∠2＝540°，在△MNP 中，∠5＋∠4＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝360°18. 解：①当110°是顶角的外角时，则底角为110°×12＝55°，②当110°是底角的外角时，则底角为180°－110°＝70°，即它的底角是55°或70°19. 解：(1)∠EFD ＝90°－∠FED ＝90°－(∠B ＋∠BAE)＝90°－∠B －12∠BAC＝90°－∠B －12(180°－∠B －∠C)＝90°－∠B －90°＋12∠B ＋12∠C ＝12(∠C－∠B)(2)在(1)中推导的结论成立，∠EFD ＝12(∠C －∠B)20. 证明：∵∠BAC>∠ACE ，∠DCE>∠B ，又∠ACE ＝∠DCE ，∴∠BAC>∠B 21. 证明：∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A。

中考数学专题训练：全等三角形一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是()A．∠A＝∠C B．∠D＝∠BC．AD∥BC D．DF∥BE2. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点．若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为()A．15°B．20°C．25°D．30°3. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是()A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D4. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有()A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对5. 如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为()图12-1-10A.2B.3C.5D.2.56. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是()A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC，AD=BC7. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE ＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为()A．a＋c B．b＋cC．a－b＋c D．a＋b－c8. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()9. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3等于() A．90°B．120 C．135°D．150°10. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上二、填空题（本大题共10道小题）11. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.12. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD.请添加一个适当的条件：______________，使得△ABD≌△CDB.(只需写出一个)13. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是(只填一个即可).14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：________，使△AEH≌△CEB.15. 如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC，应添加的条件是__________．16. 如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件：________，使得△ABO≌△CDO.17. △ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O 到AB的距离为________．18. 如图，P A⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且P A＝PB.若∠MON＝50°，∠OPC ＝30°，则∠PCA的大小为________．19. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．20. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．三、解答题（本大题共6道小题）21. 如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC.求证：Rt△ABC≌Rt△DEF.22. 如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上.若AD=16，BC=10，求AB的长.23. 观察与类比(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°.点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC，连接AF.求证：DF＝BC ＋CF；(2)如图②，AB＝AD，AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，延长BC交DE于点F，写出DF，BC，CF之间的数量关系，并证明你的结论．24. 如图所示，已知在△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA 上由点C向点A以a cm/s的速度运动，设运动的时间为t s(t>0).(1)求CP的长(用含t的式子表示);(2)若以C，P，Q为顶点的三角形和以B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值.25. △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，①求证：△BPE∽△CEQ；②当BP＝2，CQ＝9时，求BC的长．26. 已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．2021中考数学一轮专题训练：全等三角形-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B[解析] 在△ADF和△CBE中，由AD＝BC，∠D＝∠B，DF＝BE，根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以得到△ADF≌△CBE.故选B.2. 【答案】D[解析] 由条件可知∠ADB＝∠EDB＝∠EDC＝60°，且∠DEB＝∠DEC＝90°，∴∠C＝30°.3. 【答案】C4. 【答案】C【解析】由题意可知，△ABD≌△CBD，△MON≌△M′ON′，△DON ≌△BON′，△DOM≌△BOM′共4对．5. 【答案】B[解析] ∵△ABE≌△ACF，AB=5，∴AC=AB=5.∵AE=2，∴EC=AC-AE=5-2=3.6. 【答案】C[解析] A.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项不符合题意;B.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项不符合题意;C.∵△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB.∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项符合题意;D.∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC，故本选项不符合题意.故选C.7. 【答案】D[解析] ∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED＝∠AFB＝90°，∠A＝∠C.又∵AB＝CD，∴△CED≌△AFB.∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b，DF ＝DE－EF＝b－c.∴AD＝AF＋DF＝a＋b－c.故选D.8. 【答案】C[解析] 选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.又∵BD=CE=2，∠B=∠C，∴△BDE≌△CEF.故能判定两个小三角形全等.9. 【答案】C[解析] 在图中容易发现全等三角形，将∠3转化为与其相等的对应角后可以看出∠3与∠1互余．故∠1＋∠3＝90°.易得∠2＝45°，故∠1＋∠2＋∠3＝135°.10. 【答案】D【解析】如解图，①当OM1＝2时，点N1与点O重合，△PMN 是等边三角形；②当ON2＝2时，点M2与点O重合，△PMN是等边三角形；③当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PMN是等边三角形；④当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4(SAS)，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PMN是等边三角形，此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】120°【解析】由于△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，在△ABC 中，∠B＝180°－24°－36°＝120°.12. 【答案】答案不唯一，如AB＝CD[解析] 由已知AB∥CD可以得到一对角相等，还有BD＝DB，根据全等三角形的判定，可添加夹这个角的另一边相等，或添加另一个角相等均可．13. 【答案】AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF[解析]已知条件已经具有一边一角对应相等，需要添加的条件要么是夹已知角的边，构造SAS全等，要么添加另外的任一组角构造ASA或AAS，或者间接添加可以证明这些结论的条件即可.14. 【答案】AH＝CB(符合要求即可)【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．15. 【答案】∠B＝∠D16. 【答案】∠A ＝∠C 或∠B ＝∠D 或AB ∥CD(答案不唯一)[解析] 由题意可知∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD.∵AB 是∠AOB 的对边，CD 是∠COD 的对边，∴只能添加角相等，故可添加∠A ＝∠C 或∠B ＝∠D 或AB ∥CD.17. 【答案】2.5 [解析] 设点O 到AB ，BC ，AC 的距离均为h ，∴S △ABC ＝12×8·h ＝10，解得h ＝2.5，即点O 到AB 的距离为2.5.18. 【答案】55° [解析] ∵PA ⊥ON ，PB ⊥OM ，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°.在Rt △AOP 和Rt △BOP 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PB ，OP ＝OP ，∴Rt △AOP ≌Rt △BOP(HL)．∴∠AOP ＝∠BOP ＝12∠MON ＝25°.∴∠PCA ＝∠AOP ＋∠OPC ＝25°＋30°＝55°.19. 【答案】5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ，∴∠PAQ ＝90°.∴∠C ＝∠PAQ ＝90°. 分两种情况：①当AP ＝BC ＝5时，在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝QP ，BC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA(HL)；②当AP ＝CA ＝10时，在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝PQ ，AC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △PQA(HL)．综上所述，当AP ＝5或10时，△ABC 与△APQ 全等．20. 【答案】32° [解析] ∵PD ＝PE ＝PF ，PD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，∴CP 平分∠ACF ，BP 平分∠ABC.∴∠PCF ＝12∠ACF ，∠PBF ＝12∠ABC.∴∠BPC ＝∠PCF －∠PBF ＝12(∠ACF －∠ABC)＝12∠BAC ＝32°.三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】证明：∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝FC ＋EC ，即BC ＝EF.∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABC 和△DEF 都是直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ， ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF(HL)．22. 【答案】解:∵△ACF ≌△DBE ，∴AC=DB.∴AC-BC=DB-BC ，即AB=CD.∵AD=16，BC=10，∴AB=CD=(AD-BC )=3.23. 【答案】解：(1)证明：∵DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝∠AEF ＝∠ACB ＝90°.在Rt △ACF 和Rt △AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AE ，AF ＝AF ， ∴Rt △ACF ≌Rt △AEF(HL)．∴CF ＝EF.在Rt △ADE 和Rt △ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AC ，∴Rt △ADE ≌Rt △ABC(HL)． ∴DE ＝BC.∵DF ＝DE ＋EF ，∴DF ＝BC ＋CF.(2)BC ＝CF ＋DF.证明：如图，连接AF.在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AE ， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADE(HL)．∴BC ＝DE.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90°＝∠AED.在Rt △ACF 和 Rt △AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AE ，AF ＝AF ，∴Rt △ACF ≌△AEF(HL)．∴CF＝EF.∵DE＝EF＋DF，∴BC＝CF＋DF.24. 【答案】解:(1)依题意得BP=3t cm，BC=8 cm，∴CP=(8-3t)cm.(2)∵∠B和∠C是对应角，∴分两种情况讨论:①若△BDP≌△CPQ，则BD=CP，BP=CQ.∵AB=10 cm，D为AB的中点，∴BD=5 cm.∴5=8-3t，解得t=1.∴CQ=BP=3 cm.∴a==3.②若△BDP≌△CQP，则BD=CQ，BP=CP.∵BP=3t cm，CP=(8-3t)cm，∴3t=8-3t，解得t=.∵BD=CQ，∴5=a，解得a=.综上所述，a的值为3或.25. 【答案】(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，又∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝EC.∴在△BPE与△CQE中，∠∠BP CQ B C BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BPE ≌△CQE (SAS)；(2)①证明：∵∠BEF ＝∠C ＋∠CQE ，∠BEF ＝∠BEP ＋∠DEF ， ∠C ＝∠DEF ＝45°，∴∠CQE ＝∠BEP ，∵∠B ＝∠C ，∴△BPE ∽△CEQ ；②解：由①知△BPE ∽△CEQ ， ∴BE BP CQ CE=， ∴BE ·CE ＝BP ·CQ ，又∵BE ＝EC ，∴BE 2＝BP ·CQ ，∵BP ＝2，CQ ＝9，∴BE 2＝2×9＝18，∴BE ＝32，∴BC ＝2BE ＝6 2.26. 【答案】(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，在△ABE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)；(2)解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°.∴在△ABE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)，∴BE ＝CD .∵DH ⊥AB ，∴∠DHA ＝90°，∵∠CAB ＝60°，∴∠ADH ＝30°，∴AD ＝2AH ，∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，解图∵AC ＝6，BE ＝2，∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8，∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°，∴∠CDS ＝30°，∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7，∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2，∴BD ＝213，∵EK ∥BD ，∴△CBD ∽△CEK ，∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK ，∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝8133. ∵HM ∥AC ，∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4，又∵HM ∥AC ，∴△HMG ∽△KCG ， ∴HM KC ＝MG CG ，即382＝MG 4－MG，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407， ∵EK ∥BD ，∴△GBP ∽△GEK ， ∴BP EK ＝GB GE ，∴BP ＝261315.。

图形的——三角形1一．选择题（共9小题）1．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4 B．10π﹣4 C．10π﹣8 D．﹣83．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种4．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°5．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C 的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）7．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为何？（）A．110 B．125 C．130 D．1558．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．59．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70° B．80° C．40° D．30°二．填空题（共8小题）10．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为_________ （只需填一个整数）11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为_________ 度．12．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________ 度．13．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是_________ °．14．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= _________ ．15．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为_________ ．16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，BE=CF，请添加一个条件_________ ，使△ABC≌△DEF．17．如图，已知△ABC中， AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是_________ ．（只填一个即可）三．解答题（共7小题）18．已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．19．如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．21．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．22．如图，在△ABC和△AB D中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．24．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．图形的——三角形参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B． C．D．考点：三角形三边关系．分析：根据勾股定理可知x的平方取值范围在2与3的平方和与平方差之间．解答：解：因为32﹣22=5，32+22=13，所以5＜x2＜13，即．故选B．点评：本题考查了锐角三角形的三边关系定理，有一定的难度．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4 B．10π﹣4 C．10π﹣8 D．﹣8考点：三角形的面积．分析：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．解答：解：阴影部分的面积=π×22÷2+π×12÷2﹣4×2÷2=；故选A．点评：此题考查了三角形的面积；解题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积．3．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种考点：三角形三边关系．专题：常规题型．分析：要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．解答：解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．故选：C．点评：本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．4．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°考点：全等三角形的判定．分析：本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．解答：解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：C．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．E F∥BC考点：全等三角形的判定．分析：本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．解答：解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，（1）AB=DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；点评：本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C 的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．解答：解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选：A．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．7．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为何？（）A．110 B．125 C．130 D．155考点：全等三角形的判定与性质．分析：易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A=∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．解答：解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，∴∠BCA=∠ECD，∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，∴∠BCA+∠ECD=100°，∴∠BCA=∠ECD=50°，∵∠ACE=55°，∴∠ACD=105°∴∠A+∠D=75°，∴∠B+∠D=75°，∵∠BCD=155°，∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，故选C．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A． 3 B．4 C．6 D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥A C于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB 的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二．填空题（共8小题）10．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为 4 （只需填一个整数）考点：三角形三边关系．专题：开放型．分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围．解答：解：根据三角形的三边关系可得：3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，所以x可取整数4．故答案为：4．点评：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75 度．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据三角形三内角之和等于180°求解．解答：解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．点评：考查三角形内角之和等于180°．12．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 70 度．考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．专题：几何图形问题．分析：分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．解答：解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．13．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是140 °．考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答：解：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．故答案为：140．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．14．（2014•佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= 75°．考点：三角形的外角性质．分析：首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．解答：解：∵∠ACB=90°，∠1=45°，∴∠2=90°﹣45°=45°，∴∠α=45°+30°=75°，故答案为：75°．点评：此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．15．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为130°．考点：全等三角形的性质．分析：根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠A，再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．故答案为：130°．点评：本题考查了全等三角形的性质，四边形的内角和定理，根据对应顶点的字母写在对应位置上确定出∠C=∠A是解题的关键．16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，BE=CF，请添加一个条件AC=DF（或∠B=∠DEF 或AB∥DE），使△ABC≌△DEF．考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：可选择利用SSS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可．解答：解：①添加AC=DF．∵BE=CF，∴BC=EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．②添加∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BC=EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．③添加AB∥DE．∵BE=CF，∴BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AC=DF（或∠B=∠DEF或AB∥DE）．点评：本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定定理．17．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是BD=CE ．（只填一个即可）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD=CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD=∠CAE等．解答：解：BD=CE，理由是：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案为：BD=CE．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目比较好，难度适中．三．解答题（共7小题）18．已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据中点定义求出AC=CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．解答：证明：∵C是AB的中点（已知），∴AC=CB（线段中点的定义）．∵CD∥BE（已知），∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等）．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）．点评：本题主要考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．19．如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：先求出BC=EF，添加条件AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：AC=DF．证明：∵BF=EC，∴BF﹣CF=EC﹣CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：证明题．分析：根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AD=BC．点评：本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS．21．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：证明题．分析：连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．解答：证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．22．如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据“SAS”可证明△ADB≌△BAC，由全等三角形的性质即可证明AC=BD．解答：证明：在△ADB和△BAC中，，∴△ADB≌△BAC（SAS），∴AC=BD．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．23．如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．考点：全等三角形的判定与性质；旋转的性质．专题：几何综合题．分析：（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．解答：（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．24．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．（2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）解：∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．点评：本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段．。

9.1 三角形(2) 同步练习◆课堂测控测试点三角形的三条重要线段1．锐角三角形的三条高在三角形_________，钝角三角形有______条高在三角形外，直角三角形有两条高恰好是_________．2．如图1，BD=DE=EF=CF，图中共有_______个三角形，AF是△______的中线，AE是△_______的中线．(1) (2) (3)3．如图2，∠AEB=90°，则AE是______个三角形的高，它们分别是______．4．如图3，△ABC中BC边上的高是________，△ACD中CD边上的高是_____，以CF为高的三角形是________．5．关于三角形的角平分线和中线，下列说法正确的是（）A．都是直线 B．都是射线 C．都是线段 D．可以是射线或线段6．如果一个三角形的三条高的交点恰是一个三角形的顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定7．下列说法正确的是（）A．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部;B．三角形的角平分线、高都在三角形的内部;C．三角形的高、中线都在三角形的内部;D．三角形的角平分线、中线在三角形的内部8．在图4中第一个三角形中作三条中线、在第二个三角形作三条角平分线，在第三个三角形中作三条高线．◆课后测控1．如图5，AD为△ABC的中线，AE•是△ABC•的角平分线，•若BD=•2cm，•则BC=_____cm，若∠BAC=80°，则∠CAE=________．(5) (6) (8)2．如图6，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则BC边上的高是______，AC•边上的高是______，AB边上的高是______，三条高的交点是______．3．如图7，BD是△ABC的中线，AB=6cm，BC=4cm，则△ABD与△BCD•的周长差为_______cm．4．如图，画△ABC的AB边上的高，正确的是（）5．下面的说法：①三角形一边的对角也是另外两边的夹角；②三角形的角平分线就是三角形的内角的平分线；③三角形的中线就是顶点和它的对边中点的连线段；④△ABC中，顶点A就是∠A，其中正确的说法是（）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①③6．下面说法正确的是（）A．三角形的高就是顶点到对边垂线段的长 B．直角三角形有且仅有一条高C．三角形的高都在三角形的内部 D．三角形三条高至少有一条高在三角形内部7．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形C．直角三角形 D．周长相等的三角形8．如图，在△ABC中，AD⊥BC且AD平分∠BAC，若∠1=30°，则∠C为多少度？∠B呢？△ABC是什么三角形？9．如图，已知：D是△ABC的BC边延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于E，•∠A=40°，∠D=30°，求∠ACB的度数．10．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，与∠ABC的角平分线BE 相交于点D，求∠ADE的度数．答案:回顾探索1．中线 2．顶点与垂足间的线段2．顶点与交点之间的线段课堂测控1．内两两直角边2．10 AEC ADF和△ABC3．三△ADE，△ ABE，△ACE4．AD AD △BCF和△ACF5．C 6．B 7．D 8．画图略课后测控1．4 40°2．AC BC CD C3．2（点拨：由BD是中线知AD=CD）4．D 5．B 6．D 7．B8．60°，60°，等边三角形9．80°（点拨：根据三角形内角和等于180°先求∠B=60°，再求∠ACB=80°）10．45°（点拨：由∠C=90°，AD、BE是∠CAB、∠CBA的平分线可得∠BAD+•∠ABD=45°，又∠ADE=∠BAD+∠ABD）学校 班级 姓名…………………………………密………………………封………………………线……………………………中考专题训练 三角形（一）一、选择题1．（2013德阳）如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（）． A ． 5. 5 B ．5 C ．4.5 D ．4 是一个三角形的边长的是（）． 2．（2013温州）下列各组数可能A ．1，2，4 B ．4，5，9 C ．4，6，8 D ．5，5，113．（2013宁波）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（）．A ．5B ．6C ．7D ．8 4．（2013陕西）如图，在四边形中，对角线AB=AD ，CB=CD ，若连接AC 、BD 相交于点O ，则图中全等三角形共有（）． A ．1对B ．2对 C ．3对D ．4对5．（2011泸州）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC 向BA 方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C ′，折痕为BE ，则EC 的长度是（）． A ．B ．C ．D ．6．（2012贵阳）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交于BC 的延长线于点F ，若∠F=30°，DE=1，则EF 的长是（）． A ．3 B ．2 C ．D ．17．（2012宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（）．B C DAO第4题图第5题图第6题图A ．90B ．100C ．110D ．1218．（2013牡丹江）如图，在△ABC 中∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论：①PM=PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC ．其中正确的个数是（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题9．（2013温州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1=40°，∠2=70°，则∠3=度．10．（2013黔西南州）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ， DF=DE ，则∠E=度．11．（2012四川南充）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是cm ．12．（2012山东枣庄）如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB＝5，BC ＝8，则EF 的长为_．13．（2012甘肃白银）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接第7题图 第8题图第9题图第10题图第11题图第12题图小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是．第13题图第14题图14．（2012山东临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．三、解答题15．（2012广东广州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．16．(2012湖南湘西)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．（1）求∠BAC的度数．（2）若AC=2，求AD的长．17．（2012重庆市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）18．（2012广东肇庆）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．19．（2012北京市）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．20．（2012浙江绍兴）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．21．（2012山东滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）求正方形ABCD的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．22．(2011广东河源)如图,已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转α的大小是否发生变化？（旋转角小于180°），此时（只需直接写出你的猜想，不必证明）23．（2011吉林长春）探究：如图①，在的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE,,连结AC、EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．应用：以的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连结EF、GH、IJ、KL，若的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为________．24．（2013常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．北师大版七年级下第五章三角形一、三角形三边关系和角关系1、三角形任意两边之和大于第三边。

三角形常见模型综合中考直击本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中都有考查。

1(2022年鄂尔多斯中考试卷第14题)如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC=5，AD= 10，BE=132，则AB的长是 ．【模型】倍长中线类模型：∥+中点→三角形全等【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF=BC=5，BE=EF，由勾股定理可求AB的长．【解答】解：如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点，∴DE=CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE，∵∠FED=∠BEC，∴△BCE≌△FDE(ASA)，∴DF=BC=5，BE=EF，∴BF=2BE=13，在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB=12．故答案为：12．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键。

教材方位三角形常见模型是解决中考数学问题的有效“捷径”，因为各个模型总结了不同类题的问题特征，并且给予了问题的解决方向，熟悉模型能有效提高做题速度，节约考试时间。

本考点是中考五星高频考点，难度中等或较大，个别还会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。

技法指引全等常见模型：①K型图：图形条件与结论辅助线注意事项条件：AC=BC,AC⊥BC 结论：分别过点A、B作ADK型图可以和等腰直角三角板结合，也可以和正方12△ADC ≌△CEB (AAS )⊥l ,BE ⊥l形结合K 型全等模型变形--三垂定理：如图，亦有△ADC ≌△CEB (AAS )总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K 型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系②手拉手：模型名称几何模型图形特点具有性质全等型手拉手AD =AEAB =AC ∠BAC =∠DAE连结BD 、CE ①△ABD ≌△ACE②△AOB ∽△HOC ③旋转角相等(即∠1=∠2=∠3)④A 、B 、C 、D四点共圆⑤AH 平分∠BHE③倍长中线：基本图形辅助线条件与结论应用环境延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE条件：△ABC ，AD =BD结论：△ABD ≌△CED (SAS )①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题相似常见模型：①A 字图：变型当DE ⎳BC 时，△ADE ∾△ABC 性质：①AD AB =AE AC=DE BC ②AD DB =AE EC当∠ADE =∠ACB 时△ADE ∽△ACB 性质：AD AC =AE AB=DEBC3②8字图：AB CD =JA JC=JBJD 变型③一线三等角常用结论：1.易得△左∽△右；2.如图②，当DE =DF 时，△BDE ≌△CFD ；3.中点型“一线三等角”中，可得三个三角形两两相似如右图，若∠1=∠2=∠3，且BD =DC ，则△1∽△2∽△一般地：当动点E 运动到底边的中点时，CF 有最大值组合常见模型：①知2得1：②勾股定理面积应用：当AB ∥CD 时△AOB ∽△DOC 性质：AB CD =OA OD =OBOC当∠A =∠C 时△AJB ∽△CJD 性质：AB CD =JA JC=JBJD ①AD 为角平分线；②DE ∥AB ；③AE=ED 若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成立。

中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习（含答案解析）一．全等三角形的判定与性质1．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．∵I是△ABD的内心，∴∠BAI＝∠CAI，∵AB＝AC，AI＝AI，∴△BAI≌△CAI（SAS），∴IB＝IC，∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，∴△IDT≌△IDE（AAS），∴DE＝DT，IT＝IE，∵∠BEI＝∠CTI＝90°，∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），∴BE＝CT，设BE＝CT＝x，∵DE＝DT，∴10﹣x＝x﹣4，∴x＝7，∴BE＝7．故选：B．2．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．18【答案】B【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．3．（2022•南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B 顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】①②③【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∵∠A1BA2＝∠ABC＝90∴∠ABA1＝∠CBA2，∵BA1＝BA2，∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确，过点D作DT⊥CA1于点T，∵CD＝DA1，∴∠CDT＝∠A1DT，∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDT＝45°，∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°，∴∠CDT＝∠BCA1，∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确．连接P A，AC．∵A，A1关于DE对称，∴P A＝P A1，∴P A1+PC＝P A+PC≥AC＝，∴P A1+PC的最小值为，故③正确，过点A1作A1H⊥AB于点H，∵∠ADE＝30°，∴AE＝A1E＝AD•tan30°＝，∴EB＝AB﹣AE＝1﹣，∵∠A1EB＝60°，∴A1H＝A1E•sin60°＝×＝，∴＝×（1﹣）×＝，故④错误．故答案为：①②③．4．（2022•朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为．【答案】3或．【解答】解：如图，E点在AD的右边，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD．在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD＝2，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1＝3，∴等边三角形ABC3，如图，E点在AD的左边，同上，△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBD＝120°，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，则∠EBF＝60°，∴EF＝BE＝CD，BF＝BE＝CD，∴CF＝BF+BD+CD＝CD，在Rt△EFC中，CE＝2，∴EF2+CF2＝CE2＝4，∴+＝4，∴CD＝或CD＝﹣（舍去），∴BC＝，∴等边三角形ABC的边长为，故答案为：3或．5．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P 是x轴上一动点，把线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．【答案】2【解答】解：方法一：∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°，∴∠P1AO＝30°，且AO＝4，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，∴P1A＝P1F1＝AF1＝，∴点F1的坐标为（，0），如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO＝F2O＝4，∴点F2的坐标为（0，﹣4），∵tan∠OF1F2＝＝＝，∴∠OF1F2＝60°，∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，∴F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则×OF1×OF2＝×F1F2×h，∴××4＝××h，解得h＝2，即线段OF的最小值为2；方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，∠P AF＝60°，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，在△BAP和△OAF中，，∴△BAP≌△OAF（SAS），∴BP＝OF，∵P是x轴上一动点，∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，∴BP′＝OB＝×4＝2，∴OF的最小值为2，故答案为2．二．勾股定理6．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【答案】48【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．7．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt △DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A 重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【答案】21【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F 作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．8．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【答案】80【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI 于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．三．等腰直角三角形（共2小题）9．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE ＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得P A+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【答案】B【解答】解：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠AEC+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，∵tan∠CDF＝＝＝2，∴CJ＝m，∵AO⊥DE，CJ⊥DE，∴AO∥CJ，∴＝＝＝，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，P A+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC ＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，∴∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD＝t，∴2+t＝t，∴t＝+1，∴CE＝BD＝t＝3+，故④错误．故选：B．10．（2022•绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝2，CD＝2，则△ABE的面积为．【答案】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB＝2，∵∠ADC＝90°，CD＝2，∴AD＝，∵，∴DF＝，∴AF＝，∴CF＝，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，∴EF＝，∴AE＝，∴．故答案为：．11．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△P AB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．【答案】B【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，∵S△P AB +S△ABC＝S△PBC+S△P AC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△P AB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．12．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．【答案】C【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF ＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠F AP，∴△CPN∽△FP A，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴＝，∵CE＝+，∴＝，∴CH＝2，故选：C．13．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．3【答案】C【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．14．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，如图：∵CD⊥x轴，CE⊥y＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，∴AC＝＝＝BC＝AB，在Rt△BCD中，BD＝＝＝，在Rt△AOB中，OB＝＝＝，∵OB+BD＝OD＝m，∴+＝m，化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，解得m＝或m＝﹣（舍去），∴m＝，故选：C．三．等腰直角三角形（共1小题）15．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为．【答案】7【解答】解：设MN交BC于D，连接EC，如图：由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE＝4，∴∠ECB＝∠B＝45°，∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，在Rt△ACE中，AE＝＝＝3，∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，故答案为：7．四．等边三角形的性质（共2小题）16．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC +S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，故选：C．17．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC 上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为．【答案】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案为：．五．含30度角的直角三角形（共1小题）18．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D ＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m （结果取整数，参考数据：≈1.7）．【答案】370【解答】解：解法一：如图，延长DC，AB交于点G，过点N作NH⊥AD于H，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△DCM是等边三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．六．等腰直角三角形（共2小题）19．（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若AB＝2，则AM的长为（）A．4B．2C．D．【答案】B【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，∴DA＝DM＝DB，∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，∴△AMB是等腰直角三角形，∴AM＝AB＝×2＝2，故选：B．20．（2022•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D 为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P 的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为．【答案】或【解答】解：如图：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∵点D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，∵∠ADQ＝90°，∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，∴AQ＝＝＝，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，∴AQ′＝＝＝，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，故答案为：或．30。

中考数学总复习《图形的旋转综合题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.（1）求证：是等边三角形；（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.2．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．l l l，正方形1234且垂直于于点Ｅ，分别交24,l l于点F，G，1,2===．EF DG DF（1）AE=____，正方形ABCD的边长＝____；（2）如图2，将AEG∠绕点A顺时针旋转得到AE D∠''，旋转角为(090)αα<<，点D'在直线3l'''，使点,B C''分别在直线24,l l上．上，以AD'为边在的E D''左侧作菱形AD C B①写出B AD∠''与α的函数关系并给出证明；'''的边长．②若α=30°，求菱形AD C B5．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．6．(1)如图1，在△ABC中BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=1∠ABC(0°＜∠CBE2（2）类比引申如图2，四边形ABCD中AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．8．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．9．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，当ABC的三个内角均小于''，连接如图1，将得到A P C已知当ABC有一个内角大于或等于≥︒，则该三角形的“费马点”为120如图4，在ABC中三个内角均小于为ABC的“费马点”，求PA PB+参考答案：1．解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE∴∠DCE=60°，DC=EC∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时由旋转的性质得，BE=AD∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE由（1）知，△CDE是等边三角形∴DE=CD∴C△DBE=CD+4由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小此时，CD=23cm∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形∴当点D与点B重合时，不符合题意②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=∠CBE-∠ABC=∠CAD-∠ABC=60°，∠BDE＜60°∴∠BED=90°由（1）可知，△CDE是等边三角形∴∠DEC=60°∴∠CEB=30°∵∠CEB=∠CDA∴∠CDA=30°∵∠CAB=60°∴∠ACD=∠ADC=30°∴DA=CA=4∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=∠CBE+∠ABC=∠CAD+∠ABC=120°＞90°∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=180°-∠CBE-∠ABC=180°-∠CAB-∠ABC=60°又由（1）知∠CDE=60°∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC而∠BDC＞0°∴∠BDE＞60°∴只能∠BDE=90°∴∠BDC=30°∴∠BCD=60°-30°=30°∴∠BDC=∠BCD∴BD=BC=4∴OD=14cm∴t=14÷1=14s综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．2．（1）结论：BQ=CP．理由：如图1中作PH∥AB交CO于H．在Rt△ABC中∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点∴CO=AO=BO，∠CBO=60°∴△CBO是等边三角形∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°∴∠CHP=∠CPH=60°∴△CPH是等边三角形∴PC=PH=CH，∴OH=PB∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP∵∠OPQ=∠OCP=60°∴∠POH=∠QPB∵PO=PQ∴△POH≌△QPB∴PH=QB∴PC=BQ．（2）成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延长线于H．在Rt△ABC中∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点∴CO=AO=BO，∠CBO=60°∴△CBO是等边三角形∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°∴∠CHP=∠CPH=60°∴△CPH是等边三角形∴PC=PH=CH3．（1）如图1将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′∴△ABP′≌△CBP∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3在Rt△PBP′中BP=BP′=2∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22∵AP=1∴AP2+PP′2=1+8=9∵AP′2=32=9∴AP2+PP′2=AP′2∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′在Rt△AED′和Rt△B′MA 中'''B M AE AB AD =⎧⎨=⎩ ∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL ）∴∠D′AE+∠B′AM=90°∠B′AD′+α=90°∴∠B′AD′=90°﹣α；②过点E 作ON 垂直于l 1分别交l 1，l 2于点O ，N若α=30°，则∠ED′N=60°，AE=1，故EO=，EN=，ED′=533由勾股定理可知菱形的边长为：2584133+=．5．解：（1）如图1，延长ED 交AG 于点H∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点∴OA =OD ，OA ⊥OD∵OG =OE在△AOG 和△DOE 中同理可求∠BOG′=30°∴α=180°−30°=150°．综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．②如图3，当旋转到A．O、F′在一条直线上时，AF′的长最大∵正方形ABCD的边长为1∴OA=OD=OC=OB=22∵OG=2OD∴OG′=OG=2∴OF′=2∴AF′=AO+OF′=22+2∵∠COE′=45°∴此时α=315°．6．解：（1）∵△BE′A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到∴BE′=BE，∠E′BA=∠EBC．∵∠DBE=12∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =12∠ABC．∴∠ABD＋∠E′BA =12∠ABC，即∠E′BD=12∠ABC．∴∠E′BD=∠DBE．在△E′BD和△EBD中∵BE′=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD ∴△E′BD≌△EBD（SAS）．∴DE′=DE．（2）以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°，得到△BE′A（点C与点A 重合，点E到点E′处），连接DE′．由（1）知DE′=DE．由旋转的性质，知E′A=EC，∠E′ AB=∠ECB．又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°．∴∠E′AD=∠E′AB＋∠BAC=90°．在Rt△DE′A中DE′2=AD2+E′A2∴DE2=AD2+EC2．7．解：（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1∵∠ADC=∠B=90°∴∠FDG=180°，点F、D、G共线则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF 即∠EAF=∠FAG在△EAF和△GAF中AE AG{EAF FAGAF AF=∠=∠=∴△AFG≌△AEF（SAS）．∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；故答案为：SAS；△AFG；（2）类比引申∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：∵AB=AD∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：∴∠BAE=∠DAG，BE=DG∵∠BAD=90°，∠EAF=45°∴∠BAE+∠DAF=45°∴∠EAF=∠FAG∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDG=180°，点F、D、G共线在△AFE和△AFG中,,AE AG FAE FAGAF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE≌△AFG（SAS ）∴EF=FG∵FG=DG+DF∴EF=BE+DF故答案为：∠B+∠ADC=180°；（3）联想拓展猜想：DE 2=BD 2+EC 2．理由如下：把△ACE 绕点A 逆时针旋转90°到ABF 的位置，连接DF ，如图3所示：则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°∴∠FAB=∠CAE．BF=CE ，∠ABF=∠C∴∠FAE=∠BAC=90°∵∠DAE=45°∴∠FAD=90°-45°=45°∴∠FAD=∠DAE=45°在△ADF 和△ADE 中,AF AE FAD DAE ADAD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF≌△ADE（SAS ）∴DF=DE∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=∠C=45°∴∠C=∠ABF=45°∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°∴△BDF 是直角三角形∴BD 2+BF 2=DF 2∴BD 2+EC 2=DE 2．8．（1）证明：如图1∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵点M 为DE 的中点，∴DM=EM．在△ADM 和△NEM 中∵MAD MNE ADM NEM DM EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM≌△NEM（AAS ）． ∴AM=MN．∴M 为AN 的中点．（2）证明：如图2∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中∵AB NEABC NECBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明如下：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中∵AB NEABC NECBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN 为等腰直角三角形．9．（1）解：∵60PC P C PCP ''=∠=︒，∴PCP '△为等边三角形；∴PP PC '= 60P PC PP C ''∠=∠=︒又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥由两点之间线段最短可知，当B ，P ，P ' A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值 最小值为A B '，此时的P 点为该三角形的“费马点”∴180BPC P PC '∠+∠=︒ 180A P C PP C ∠+∠='''︒∴120BPC ∠=︒ 120A P C ''∠=︒又∵A P C APC ≅''∴120APC AP C '∠=∠=︒∴360120APB APC BPC ∠=︒-∠-∠=︒∴120APC BPC APB ∠=∠=∠=︒；∵120BAC ∠≥︒∴BC AC > BC AB >∴BC AB AC AB +>+ BC AC AB AC +>+∴三个顶点中顶点A 到另外两个顶点的距离和最小．又∵已知当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120︒；④A ．（2）将APC △绕，点C 顺时针旋转60︒得到A P C ''，连接PP '2(PA a PB a PC a a PA ++=最小时，总的铺设成本最低 顺时针旋转90︒得到A P C ''，连接PC 90PCP ACA ''∠=∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H∵60ACB ∠=︒ 90ACA '∠=︒∴30A CH '∠=︒∴12km 2A H A C ''==∴22224223(km)HC AC AH =-=-= ∴2323=43(km)BH BC CH =+=+∴2222(43)2213(km)A B AH BH '=+=+= 2PA PB PC ++的最小值为213km 总的铺设成本2(2)=213PA a PB a PC a a PA PB PC a =++=++（元） 故答案为：213a。

三角形1. 下列说法正确的是()A．所有的等腰三角形都是锐角三角形B．等边三角形属于等腰三角形C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形2. 三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个()A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形3. 如图所示，AD是△ABC的角平角线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC ＝80°，则∠EAD的度数是()A．20°B．30°C．45°D．60°4. 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°5. 下列说法错误的是()A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，则∠A的度数为()A．35°B．45°C．55°D．65°7. 如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是()A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1 8. 下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a(a>0) 9. 有3 cm，6 cm，8 cm，9 cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则能组成三角形的个数为()A．1 B．2 C．3 D．410. 如图，具有稳定性的有()A．①②B．③④C．②③④D．①②③11. 如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝________.12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝________，∠BCE＝________，∠ACB＝________.13. 如图，一张直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝________度。

2021中考专题训练：三角形一、选择题1. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()A. 2 cm，3 cm，5 cmB. 7 cm，4 cm，2 cmC. 3 cm，4 cm，8 cmD. 3 cm，3 cm，4 cm2. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝()A. 35°B. 95°C. 85°D. 75°3. (2019•荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1∠的度数是A．95︒B．100︒C．105︒D．110︒4. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是()A. 5B. 7C. 8D. 105. 某木材市场上木棒规格与对应单价如下表:规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m单价(元/根) 10 15 20 25 30 35小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场去购买一根木棒，则小明的爷爷至少带的钱数应为()A.10元B.15元C.20元D.25元6. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有()A．1种B．2种C．3种D．4种7. (2019•大庆)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM 的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是A．15°B．30°C．45°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为()A．70°B．108°C．110°D．125°二、填空题9. 如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的大小为.10. 已知一个等腰三角形两边的长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是.11. 如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C＝90°，∠1＝36°，则∠2＝________．12. 如图，已知∠A＝54°，∠B＝31°，∠C＝21°，则∠1＝________°.13. 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若∠AFD=158°，则∠EDF=°.14. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．15. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD 的面积之比是________．16. 如图，直角三角形的两条直角边AC，BC分别经过正九边形的两个顶点，则图中∠1+∠2的度数是.三、解答题17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．18. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B＝25°，∠E＝30°，求∠BAC的度数．19. 在△ABC中，∠B＝55°，且3∠A＝∠B＋∠C，求∠A和∠C的度数.20. 如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高．(1)若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；(2)若∠C＞∠B，猜想∠DAE与∠C－∠B之间的数量关系，并加以证明．21. 如图11－Z－11，点B在点A的南偏西45°方向，点C在点A的南偏东30°方向，点C在点B的北偏东60°方向，求∠C的度数．22. 观察与转化思想如图是五角星形，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E的度数．2021中考专题训练：三角形-答案一、选择题1. 【答案】D 【解析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行判断，A 中2＋3＝5不能构成三角形；B 中2＋4＜7不能构成三角形；C 中3＋4＜8不能构成三角形；只有D 选项符合．2. 【答案】C 【解析】∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝2∠ACE ＝120°，∵∠A ＋∠B ＝∠ACD ，∠B ＝35°，∴∠A ＝∠ACD －∠B ＝120°－35°＝85°.3. 【答案】C 【解析】如图，由题意得，2454903060∠=︒∠=︒︒=︒，-，∴3245∠=∠=︒， 由三角形的外角性质可知，134105∠=∠+∠=︒，故选C ．4. 【答案】D【解析】∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥BC，DE＝12AB，DF＝12BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∵AB＝4，BC＝6，∴DE＝BF＝2，DF＝BE＝3，∴四边形BEDF的周长为：2(DE＋DF)＝10.5. 【答案】C[解析] 由三角形三边大小关系可得第三根木棒的长度应该大于2 m 且小于8 m，所以满足要求的木棒有3 m，4 m，5 m，6 m，其中买3 m木棒用钱最少，为20元.6. 【答案】C7. 【答案】B【解析】∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM=12∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM=12∠ACM，则∠BEC=∠ECM–∠EBM=12×(∠ACM–∠ABC)=12∠A=30°，故选B．8. 【答案】C[解析] ∵在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠BCP＝∠1＋∠BCP＝∠ACB＝70°.∴∠BPC＝180°－∠2－∠BCP＝180°－70°＝110°.二、填空题9. 【答案】34°[解析]根据题意可得BA=BD，∵∠B=40°，∴∠BAD=∠BDA=70°.∵∠B=40°，∠C=36°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°，故答案为34°.10. 【答案】15[解析] 若腰长为3，3+3=6，∴3，3，6不能组成三角形;若腰长为6，3+6=9>6，∴3，6，6能组成三角形，该三角形的周长为3+6+6=15.11. 【答案】54°【解析】如解图，过点C 作直线CE ∥a ，则a ∥b ∥CE ，则∠1＝∠ACE ，∠2＝∠BCE ，∵∠ACE ＋∠BCE ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∵∠1＝36°，∴∠2＝54°.12. 【答案】106[解析] 由三角形的外角性质可知，∠CDB ＝∠A ＋∠C ＝75°，∴∠1＝∠CDB ＋∠B ＝106°.13. 【答案】68[解析] ∵∠AFD=158°，∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-158°=22°. ∵FD ⊥BC ， ∴∠FDC=90°.∴∠C=180°-∠FDC-∠CFD=180°-90°-22°=68°. ∵∠B=∠C ，DE ⊥AB ，∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=180°-68°-90°=22°. ∴∠EDF=180°-90°-22°=68°.14. 【答案】4【解析】∵△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 相交于点G ，∴S △ABD＝S △ACD ＝12S △ABC ＝12×12＝6，AG ＝2GD ，∴由三角形的面积公式得S △ACG ＝23S△ACD ＝4，又∵AE ＝CE ，∴S △CEG ＝12S △ACG ＝2，同理S △BGF ＝2，∴S 阴影＝2＋2＝4.15. 【答案】4∶3 【解析】如解图，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE ＝DF ＝h ，则S △ABD S △ACD＝12AB·h12AC·h ＝43.16. 【答案】190°[解析] 如图，正九边形的一个内角为=140°，∠3+∠4=90°，则∠1+∠2=140°×2-90°=190°.三、解答题17. 【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°－∠A＝50°. ∴∠CBD＝130°.∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝12∠CBD＝65°.(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°－65°＝25°.∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.18. 【答案】解：∵∠B＝25°，∠E＝30°，∴∠ECD＝∠B＋∠E＝55°.∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠ECD＝55°.∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝85°.19. 【答案】解：∵在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，3∠A＝∠B＋∠C，∴4∠A＝180°，解得∠A＝45°.∵∠B＝55°，∴∠C＝180°－45°－55°＝80°.20. 【答案】解：(1)在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠BAC＝70°.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC ＝35°. ∵AE 是BC 上的高，∴∠AEB ＝90°. ∴∠BAE ＝90°－∠B ＝40°. ∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝5°. (2)∠DAE ＝12(∠C －∠B)． 证明：∵AE 是△ABC 的高， ∴∠AEC ＝90°. ∴∠EAC ＝90°－∠C. ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAC ＝12∠BAC.∵∠BAC ＝180°－∠B －∠C ， ∴∠DAC ＝12(180°－∠B －∠C)． ∴∠DAE ＝∠DAC －∠EAC ＝12(180°－∠B －∠C)－(90°－∠C) ＝12(∠C －∠B)．21. 【答案】解：∵∠NBC ＝60°，∠NBA ＝∠BAS ＝45°， ∴∠ABC ＝∠NBC －∠NBA ＝60°－45°＝15°. 又∵∠BAC ＝∠BAS ＋∠SAC ＝45°＋30°＝75°， ∴在△ABC 中，∠C ＝180°－(75°＋15°)＝90°.22. 【答案】解：如图，∵∠1是△CEG 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E.同理可得∠AFB ＝∠B ＋∠D.∵在△AFG中，∠A＋∠1＋∠AFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.。