解。 方程中的介电常数 ε(ω) 近似为 ε(ω) = ( n +Δn ) 2 ≈ n α Δn, 其中 Δn≈ n2 | E | 2 + i 作为微扰 。 + 2n 首先在 Δn = 0 2 k0 的情形 (普通单模光纤在线性极化情形 ) 下求得模场分布函 数 F ( x, y ) 和对应的波数 β(ω) ; 然后再考虑 Δn的影响 。 根据
∫ ∫ ∫ ∫
式中 x 为假定沿 x 方向偏振光的单位偏振矢量 , E ( r, t) 为时 将 β代入方程 ( 19 ) 可求得慢变振幅 的傅里叶变换 间的慢变函数 。 类似地 , 极化强度分量 PL ( r, t) 和 PNL ( r, t) 也 9A β-β ( 22 ) = i[β(ω) +Δ 有相似的表达式 。 0 ]A 9z 由于非线性效应 , 非线性极化 PNL ( r, t) 对电场 E ( r, t) 2 2 ( ) β β β (β - β 方 0)。 的响应有一定的延迟 , 光纤介质的极化率 χ3 对电场的响应 这里用到了为小量Δ , 并做了近似β - ≈ 2 2 ( 22 ) 的傅里叶逆变换给出了 A ( z, t) 的传输方程 。 程 然而 ,我 时间一般为几十飞秒 , 因此对于飞秒量级的光脉冲 , 一般需 β(ω) 的准确函数形式 , 因此 , 在频率 ω0 处把 要考虑非线性色散效应 ; 对于皮秒量级的光脉冲 , 我们可以 们很少能知道 ( 3) β (ω) 展开成 Taylo r级数 : 认为非线性响应是瞬时的 。 所以三阶极化率 χ 的时间关系 1 1 可由三个 δ( t - t1 ) 函数的积得到 。 由 ( 9 ) 式得 β(ω) = β ω - ω0 )β (ω - ω0 ) 2β (ω 0 + ( 1 + 2 + 2 6 ( 3) ( 11 ) PNL ( r, t) = ε 0χ …E ( r, t 1 ) E ( r, t 2 ) E ( r, t 3) ω0 ) 3β ( 23 ) 3 + … , 忽略三次谐波 , 则有 其中 : ( 12 ) PNL ( r, t) ≈ ε 0ε NL E ( r, t) j β βj = d j , j = 1, 2 … . 3 ( 3) 2 χ | E ( r, t) | 为介电常数的非线性部分 。 ω ω =ω0 其中 ε d NL = 4 xxx ω ν ω0 , 则展开式中的三次项及高阶项通常都可以 若谱宽 Δ 根据慢变包络近似和 PNL 的微扰假设 , 可以将 ε NL 作为 被忽略 , 这与前面的准单色假定一致 。 在某些特定的 ω0 值 , 常数处理 。 将以上关系式代入 ( 5 ) 式 , 有 若β 将 2 ≈ 0, 即在光纤的零色散波长附近 , 需要考虑三次项 。 2 2 ( 13 ) 方程 ( 23 ) 代入到方程 ( 22 ) , 并取傅里叶逆变换 , 得到慢变振 E +ε(ω) k0 E = 0 ω 幅包络 A ( z, t) 的微分方程 : 其中 k0 = , 且介电常数 c 9A 9A i 92 A Δ ( 1) β ( 24 ) =-β +iβ A , 2 ε(ω) = 1 +χ ( ω ) ε ( ) + 14 xxx NL 9z 9t 2 9t2 β由 ( 21 ) 给定 , 它包括了光纤的损耗和非线性效应 。 其中 Δ 这里 E 是 E 的傅立叶变换 2 ∞ 假设幅度 A是归一化的 , | A | 代表光功率 , 把 ( 23 ) 代入到方 ω -ω0 ) t i( ( 15 ) 程 ( 24 ) 可得 : E ( r,ω - ω0 ) E ( r, t) e dt -∞ 9A β 9A i 92 A α 2 ( ) β ( 25 ) + + A =+γ i | A | A, 1 2 ε ( ω ) 由于 χ1 (ω) 和 ε 都是复数 , 因此介电常数 也是复 NL 9z 9t 2 9t2 2 数 , 习惯上定义 n2ω0 其中 γ = 为 非 线 性 系 数 , A eff = ( | F ( x, y ) 2 2 α α α ( ) cA eff R2 n = n + n2 | E | = + 2 | E | 16 2 2 4 对石英光纤 ,α2 很小 , 常被忽略 。 | dxdy ) / | F ( x, y ) | dxdy为有效纤芯截面 。 显然 , A eff 依 R2 方程 ( 13 ) 可利用变量分离法求解 , 假定解的形式为 : 赖于光纤参数 , 如纤芯半径 、 纤芯 - 包层折射率差等 。 一般 ( 17 ) E ( r,ω - ω0 ) = F ( x, y) A ( z,ω - ω0 ) exp ( β i 0 z) μ 地 , 根据光纤设计的不同 , 在 1. 5 m 波长附近 A eff 变化范围为 2 2 - 20 2 其中 F ( x, y ) 是光场的模分布 , A ( z,ω - ω0 ) 是 z的慢变函数 , 20 μ μ m ～ 100 m 。 若取 n2 ≈ 2. 6 × 10 m /W , 非线性系数 γ 1 1 β 这样可以将方程 ( 13 ) 分离为两个关于 F ( x, y ) 和 可在 1W / km ～ 10W / km 范围内变化 。 0 是波数 。
