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高考物理万有引力定律知识点总结(万有引力定律及其应用 环绕速度第二宇宙速度 第三宇宙速度)一.开普勒行星运动规律：行星轨道视为圆处理 则32r K T =（K 只与中心天体质量M 有关）理解：（1）k 是与太阳质量有关而与行星无关的常量． 由于行星的椭圆轨道都跟圆近似，在近似的计算中，可以认为行星都是以太阳为圆心做匀速圆周运动，在这种情况下，a 可代表轨道半径．(2)开普勒第三定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时 a 3 /T 2 ＝k ′，比值k ′是由行星的质量所决定的另一常量，与卫星无关．二、万有引力定律(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．(2)公式：F ＝G 221rm m ,其中2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-，叫做引力常量。
(3)适用条件：此公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离．说明:(1)对万有引力定律公式中各量的意义一定要准确理解，尤其是距离r 的取值，一定要搞清它是两质点之间的距离. 质量分布均匀的球体间的相互作用力，用万有引力公式计算，式中的r 是两个球体球心间的距离． (2)不能将公式中r 作纯数学处理而违背物理事实，如认为r→0时，引力F→∞，这是错误的，因为当物体间的距离r→0时，物体不可以视为质点，所以公式F ＝Gm 1m 2r2就不能直接应用计算．(3)物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等、方向相反的，遵循牛顿第三定律，因此谈不上质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力，更谈不上相互作用的一对物体间的引力是一对平衡力．注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G 的物理意义是：G 在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．三．万有引力定律的应用（天体质量M , 卫星质量m ，天体半径R, 轨道半径r ，天体表面重力加速度g ，卫星运行向心加速度a n 卫星运行周期T)解决天体(卫星)运动问题的两种基本思路: 一是把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供;二是在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力.（1）)人造地球卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星r GM v =，r 越大，v 越小；3rGM =ω，r 越大，ω越小；GM r T 324π=，r 越大，T 越大；2n GM a r =， r 越大，n a越小。
卫星变轨问题引例：飞船发射及运行过程：先由运载火箭将飞船送入椭圆轨道，然后在椭圆轨道的远地点A 实施变轨，进入预定圆轨道，如图所示，飞船变轨前后速度分别为v1、v2，变轨前后的运行周期分别为T1、T2，飞船变轨前后通过A 点时的加速度分别为a1、a2，则下列说法正确的是 A ．T1＜T2，v1＜v2，a1＜a2 B ．T1＜T2，v1＜v2，a1＝a2C ．T1＞T2，v1＞v2，a1＜a2D ．T1＞T2，v1＝v2，a1＝a2解答：首先，同样是A 点，到地心的距离相等，万有引力相等，由万有引力提供的向心力也相等，向心加速度相等。
如果对开普勒定律比较熟悉，从T 的角度分析：由开普勒定律知道，同样的中心体，k=a^3/T^2为一常数。
从图中很容易知道，圆轨道的半径R 大于椭圆轨道的半长轴a ，这样可得圆轨道上运行的周期T2大于椭圆轨道的周期T1。
如果对离心运动规律比较熟悉，从v 的角度分析：1、当合力[引力]不足以提供向心力（速度比维持圆轨道运动所需的速度大）时，物体偏离圆轨道向外运动，这一点可以说明椭圆轨道近地点天体的运动趋向。
2、当合力[引力]超过运动向心力（速度比维持圆轨道运动所需的速度小）时，物体偏离圆轨道向内运动，这一点可以说明椭圆轨道远地点天体的运动趋向。
对椭圆轨道，A 点为远地点，由上述第2条不难判断，在椭圆轨道上A 点的运行速度v1比圆轨道上时A 点的速度v2小。
综上，正确选项为B 。
注意：变轨的物理实质就是变速。
由低轨变向高轨是加速，由高轨变向低轨是减速。
其基本操作都是打开火箭发动机做功，但加速时做正功，减速时做负功。
一、人造卫星基本原理1、绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。
2、轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GMr T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是唯一确定的。
3、如果卫星的质量是确定的，那么与轨道半径r 对应的卫星的动能E k 、重力势能E p 和总机械能E 机也是唯一确定的。
万有引力定律的综合应用一、卫星的发射和回收（卫星变轨问题）例1：如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后在轨道的Q 点“点火”使卫星沿椭圆轨道2运行，当它经过椭圆轨道的远地点P 时，再次“点火”将卫星送入同步轨道3。
卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时（即不包括“点火”过程），下面的判断正确的是（ ）A. 卫星轨道3上运行时的速率大于在轨道1上运行时的速率B. 卫星轨道3上运行时的角速度小于在轨道1上运行时的角速度C. 卫星轨道1上运行经过Q 时的加速度等于在轨道2上运行经过Q 点时的加速度D. 卫星轨道2上运行经过Q 时的加速度等于在轨道2上运行经过P 点时的加速度练习1、在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ。
则 （ ）A ．该卫星的发射速度必定大于11.2km/sB ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9km/sC ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度D ．卫星在Q 点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ二、双星问题例2．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2=3∶2，下列说法中正确的是( )A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2B ．m 1做圆周运动的半径为52L P31 2QQC ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2D ．m 2做圆周运动的半径为52L练习2、两颗靠得较近的天体叫双星，它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样它们就不会因引力作用而吸引在一起，则下述物理量中，与它们的质量成反比的是( )A ．线速度B ．角速度C ．向心加速度D ．转动半径 三、同步卫星、近地卫星和地球赤道上物体的区别例3．同步卫星A 的运行速率为v 1，向心加速度为a 1，运转周期为T 1；放在地球赤道上的物体B 随地球自转的线速度为v 2，向心加速度为a 2，运转周期为T 2；在赤道平面上空做匀速圆周运动的近地卫星C 的速率为v 3，向心加速度为a 3，运转周期为T 3.比较上述各量的大小得（ ）A.T 1=T 2>T 3B.v 3>v 2>v 1C.a 1<a 2=a 3D.a 3>a 1>a 2练习3、随绕地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星一起运动的物体甲所需的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；随地球同步卫星一起运动的物体乙所需的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2.假设甲、乙的质量相等，则( )A ．F 1＝F 2B ．a 1>a 2C ．v 1>v 2D ．ω1<ω2随堂练习：1．用m 表示地球通信卫星(同步卫星)的质量，h 表示它离地面的高度，R 0表示地球的半径，g 0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受到的地球对它的万有引力的大小是( )A ．等于0B ．C ．等于m 3R 20g 0ω40D ．以上结果均不对2．2011年11月3日和14日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器顺利完成两次交会对接．关于它们的交会对接，以下说法正确的是( )A ．飞船在同轨道上加速直到追上“天宫一号”完成对接B ．飞船从较低轨道，通过加速追上“天宫一号”完成对接C ．在同一轨道上的“天宫一号”通过减速完成与飞船的对接D ．若“神舟八号”与“天宫一号”原来在同一轨道上运动，则不能通过直接加速或减速某飞行器的方式完成对接3、地球半径为R ，地面重力加速度为g ，地球自转周期为T ，地球同步卫星高度为h ，则此卫星线速度大小为( ) A.h R g R +2 B.g h R )(+ C.T h R )(2+π D.T h R 2)(2+π4．“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r ，运行速率为v ，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时（ ）A ．r 、v 都将略微减小B 。
卫星变轨及能量问题[方法点拨] (1)卫星在运行中的变轨有两种情况，即离心运动和向心运动：①当v 增大时，所需向心力mv 2r 增大，卫星将做离心运动，轨道半径变大，由v ＝ GM r知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．②当v 减小时，向心力mv 2r减小，因此卫星将做向心运动，轨道半径变小，由v ＝ GM r知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(2)低轨道的卫星追高轨道的卫星需要加速，同一轨道后面的卫星追赶前面的卫星需要先减速后加速．1．(卫星变轨中速度、加速度的比较)如图1所示，假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞船在距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则( )图1A ．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为14g 0R B ．飞船在A 点处点火时，速度增加C ．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A 点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A 点的加速度D ．飞船在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2πR g 02．(卫星变轨时速度的变化)“嫦娥一号”探月卫星由地面发射后，由发射轨道进入停泊轨道，然后再由停泊轨道调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道，开始绕月球做匀速圆周运动，对月球进行探测，其奔月路线简化后如图2所示．若月球半径为R ，卫星工作轨道距月球表面高度为H .月球表面的重力加速度为g 6(g 为地球表面的重力加速度)，则下列说法正确的是( )图2A ．卫星从停泊轨道进入地月转移轨道时速度减小B ．卫星在工作轨道上运行的周期为T ＝2π6R ＋H 3gR 2C ．月球的第一宇宙速度为gRD ．卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度3．(变轨对接问题)“神舟十号”与“天宫一号”的交会对接，如图3所示，圆形轨道1为“天宫一号”运行轨道，圆形轨道2为“神舟十号”运行轨道，在实现交会对接前，“神舟十号”要进行多次变轨，则( )图3A ．“神舟十号”在圆形轨道2的运行速率大于7.9 km/sB ．“天宫一号”的运行速率小于“神舟十号”在轨道2上的运行速率C ．“神舟十号”从轨道2要先减速才能与“天宫一号”实现对接D ．“天宫一号”的向心加速度大于“神舟十号”在轨道2上的向心加速度4．(变轨时运动与能量分析)“嫦娥五号”作为我国登月计划中第三期工程的“主打星”，将于2017年前后在海南文昌卫星发射中心发射，登月后从月球起飞，并以“跳跃式返回技术”返回地面，完成探月工程的重大跨越——带回月球样品．“跳跃式返回技术”是指航天器在关闭发动机后进入大气层，依靠大气升力再次冲出大气层，降低速度后再进入大气层．如图4所示，虚线为大气层的边界．已知地球半径为R ，d 点距地心距离为r ，地球表面重力加速度为g .则下列说法正确的是( )图4A ．“嫦娥五号”在b 点处于完全失重状态B ．“嫦娥五号”在d 点的加速度大小等于gr 2R 2 C ．“嫦娥五号”在a 点和c 点的速率相等D ．“嫦娥五号”在c 点和e 点的速率相等5．有研究表明，目前月球远离地球的速度是每年3.82±0.07 cm.则10亿年后月球与现在相比( )A ．绕地球做圆周运动的周期变小B ．绕地球做圆周运动的加速度变大C ．绕地球做圆周运动的线速度变小D ．地月之间的引力势能变小6．“天宫一号”目标飞行器在离地面343 km 的圆形轨道上运行，其轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )A ．如不加干预，“天宫一号”围绕地球的运动周期将会变小B ．如不加干预，“天宫一号”围绕地球的运动动能将会变小C ．“天宫一号”的加速度大于地球表面的重力加速度D ．航天员在“天宫一号”中处于完全失重状态，说明航天员不受地球引力作用7．已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，引力常量为G ，若以无限远处为零引力势能面，则质量分别为M 、m 的两个质点相距为r 时的引力势能为－GMm r.一飞船携带一探测器在半径为3R 的圆轨道上绕地球飞行，某时刻飞船将探测器沿运动方向弹出，若探测器恰能完全脱离地球的引力范围，即到达距地球无限远时的速度恰好为零，则探测器被弹出时的速度为( ) A. gR3 B. 2gR 3 C.gR D.2gR 8．如图5，卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A 、C 为椭圆轨道长轴端点，B 、D 为椭圆轨道短轴端点，关于卫星的运动，以下说法不正确的是( )图5A ．A 点的速度可能大于7.9 km/sB ．C 点的速度一定小于7.9 km/sC ．卫星在A 点时引力的功率最大D ．卫星由C 运动到A 万有引力的平均功率大于卫星由B 运动到D 万有引力的平均功率9．(多选)2015年12月10日，我国成功将中星1C 卫星发射升空，卫星顺利进入预定转移轨道．如图6所示是某卫星沿椭圆轨道绕地球运动的示意图，已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，卫星远地点P 距地心O 的距离为3R .则( )图6A ．卫星在远地点的速度大于3gR 3B ．卫星经过远地点时速度最小C ．卫星经过远地点时的加速度大小为g9D ．卫星经过远地点时加速，卫星将不能再次经过远地点答案精析1．D [据题意，飞船在轨道Ⅰ上运动时有：G Mm 4R 2＝m v 24R ，经过整理得：v ＝GM 4R ，而GM ＝g 0R 2，代入上式计算得v ＝g 0R4，所以A 选项错误；飞船在A 点处点火使速度减小，飞船做靠近圆心的运动，所以飞船速度减小，B 选项错误；据a ＝GM4R 2可知，飞船在两条运行轨道的A 点距地心的距离均相等，所以加速度相等，所以C 选项错误；飞船在轨道Ⅲ上运行时有：G Mm R 2＝mR 4π2T 2，经过整理得T ＝2πR g 0，所以D 选项正确．] 2．B [卫星从停泊轨道进入地月转移轨道时做离心运动，故卫星速度一定增大，A 项错；卫星在工作轨道上做圆周运动，万有引力充当向心力，即：GMmR ＋H 2＝m (2πT )2(R ＋H )，又月球表面物体所受万有引力近似等于重力，即：GMm ′R 2＝16m ′g ，解两式得：T ＝2π6R ＋H 3gR 2，B 项正确；月球的第一宇宙速度为 16gR ，C 项错；地球的第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动的最大速度，所以卫星在停泊轨道的运动速度一定小于地球的第一宇宙速度，D 项错．]3．B [卫星绕地球做圆周运动，向心力由万有引力提供，故有G mM r 2＝m v 2r＝ma .线速度v ＝ GM r，知卫星轨道高度越大线速度越小，而第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最大速度，A 项错误；线速度v ＝ GM r，“天宫一号”轨道半径大，故其线速度小于“神舟十号”的线速度，B 项正确；“神舟十号”与“天宫一号”实施对接，需要“神舟十号”抬升轨道，即“神舟十号”开动发动机加速做离心运动使轨道高度抬升与“天宫一号”实现对接，故“神舟十号”是要加速而不是减速，C 项错误；向心加速度a ＝GM r 2知，“天宫一号”的轨道半径大，故其向心加速度小，D 项错误．]4．D [由“嫦娥五号”运动轨迹可知，飞船在b 点的加速度方向与所受万有引力方向相反，处于超重状态，A 项错；由万有引力定律和牛顿第二定律得，飞船在d 点的加速度a ＝GMr2，又由万有引力与重力关系mg ＝GMm R 2，解得a ＝gR 2r2，B 项错；a 点到c 点过程中，万有引力做功为零，但大气阻力做负功，由动能定理可知，动能变化量不为零，故初、末速率不相等，C 项错；而从c 点到e 点过程中，所经空间无大气，万有引力做功也为零，所以动能不变，D 项正确．]5．C [对月球进行分析，根据万有引力提供向心力有：GMm r 2＝m (2πT )2r ，得：T ＝ 4π2r 3GM，由于半径变大，故周期变大，A 项错误；根据GMm r 2＝ma ，有：a ＝GM r2，由于半径变大，故加速度变小，B 项错误；根据GMm r 2＝m v 2r ，则：v ＝GM r，由于半径变大，故线速度变小，C 项正确；由于月球远离地球，万有引力做负功，故引力势能变大，D 项错误．]6．A [根据万有引力提供向心力有GMm r 2＝m 4π2r T 2，解得：T ＝ 4π2r 3GM ，卫星由于摩擦阻力作用，轨道高度将降低，则周期减小，A 项正确；根据GMm r 2＝m v 2r 解得：v ＝ GM r得轨道高度降低，卫星的线速度增大，故动能将增大，B 项错误；根据GMm r 2＝ma ，得a ＝GM r2，“天宫一号”的轨道半径大于地球半径，则加速度小于地球表面重力加速度，C 项错误；完全失重状态说明航天员对悬绳或支持物体的压力为0，而地球对他的万有引力提供他随“天宫一号”围绕地球做圆周运动的向心力，D 项错误．]7．B [由题设条件可知，探测器被弹出后到达距地球无限远时机械能为零，设探测器被弹出时的速度为v ，由机械能守恒定律可得12mv 2－GMm 3R ＝0；根据万有引力定律可得GMm ′R2＝m ′g ，联立可得v ＝ 2gR 3，选项B 正确，A 、C 、D 错误．] 8．C [贴近地球表面做圆周运动的线速度为7.9 km/s ，因为卫星在A 点做离心运动，速度可能大于7.9 km/s ，A 项正确；在C 点绕地球做匀速圆周运动的线速度小于7.9 km/s ，欲使卫星在C 点进入圆周运动轨道，卫星需加速，可知C 点的速度一定小于7.9 km/s ，B 项正确；在A 点万有引力的方向与速度方向垂直，则引力功率为零，C 项错误；卫星从C 点到A 点的运动过程中，引力做正功，从B 点到D 点的运动过程中，引力做功为零，可知卫星由C 点运动到A 点万有引力的平均功率大于卫星由B 点运动到D 点万有引力的平均功率，D 项正确．]9．BC [对地球表面的物体有GMm 0R2＝m 0g ，得GM ＝gR 2，若卫星沿半径为3R 的圆周轨道运行时有GMm 3R 2＝m v 23R，运行速度为v ＝ GM 3R ＝3gR 3，从椭圆轨道的远地点进入圆轨道需加速，因此，卫星在远地点的速度小于3gR 3，A 错误；卫星由近地点到远地点的过程中，万有引力做负功，速度减小，所以卫星经过远地点时速度最小，B 正确；卫星经过远地点时的加速度a ＝GM3R 2＝g9，C 正确；卫星经过远地点时加速，可能变轨到轨道半径为3R 的圆轨道上，所以卫星还可能再次经过远地点，D 错误．]。
3．万有引力定律的应用1．预言彗星回归1743年，克雷洛预言哈雷彗星于1759年4月份经过近日点得到了证实，1986年此彗星又一次临近地球，下一次来访将是2062年．2．预言未知星体根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知星体的轨道，如海王星、冥王星就是这样发现的．1．海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√) 2．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道发现的．(×) 3．科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析．(√) 如何通过天文观测计算月球绕地球转动时的向心加速度呢？【提示】 通过天文观测我们可以获得月球与地球之间的距离以及月球的公转周期，所以我们可以利用a n ＝4π2T 2r 计算月球绕地球运动时的向心加速度．1846年9月23日晚，德国的伽勒发现了海王星． 探讨：你知道海王星是如何发现的吗？【提示】 根据天王星的“出轨”现象，法国的勒维耶和英国的亚当斯根据万有引力定律经过计算，预言了新行星的存在，伽勒在他们预言的位置发现了这颗新行星——海王星．万有引力定律对天文学的发展起到了非常大的推动作用，根据万有引力定律可以计算天体的轨道、周期、质量和位置等，万有引力定律的发现，给天文学的研究开辟了一条新的道路．1．下列说法正确的是( )A ．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B ．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C ．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D ．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星【解析】 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A 、B 、C 错误，D 正确．【答案】 D2．科学家们推测，太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定( )A ．这颗行星的公转周期与地球相等B ．这颗行星的半径等于地球的半径C ．这颗行星的密度等于地球的密度D ．这颗行星上同样存在着生命【解析】 因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．由G Mmr 2＝m v 2r 可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度． 【答案】 A1．地球质量的计算选择地球表面的物体为研究对象，若不考虑地球自转，质量为m 的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ＝G Mm R 2，则M ＝gR 2G ，只要知道g 、R 的值，就可计算出地球的质量．2．太阳质量的计算选择某一行星为研究对象，质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G M s m r 2＝4π2mrT 2，由此可得太阳质量M s ＝4π2r 3GT 2，由此式可知只要测出行星绕太阳运动的公转周期T 和距离r 就可以计算出太阳的质量．1．地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力．(×) 2．绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力．(√) 3．利用地球绕太阳转动，可求地球的质量．(×)若已知月球绕地球转动的周期T 和半径r ，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？图3-3-1【提示】 能求出地球的质量．利用G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，求出的质量M ＝4π2r 3GT 2为中心天体的质量．做圆周运动的月球的质量m 在等式中已消掉，所以根据月球的周期T 、公转半径r ，无法计算月球的质量．1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图3-3-2所示)，迈出了人类征服宇宙的一大步．图3-3-2探讨1：宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m 的物体重力为F .怎样利用这个条件估测月球的质量？【提示】 设月球质量为M ，半径为R ，则F ＝G Mm R 2，故M ＝FR 2Gm . 探讨2：宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T ，怎样利用这个条件估测月球质量？【提示】 设月球质量为M ，半径为R ，由万有引力提供向心力，G MmR 2＝m 4π2T 2R ，M ＝4π2R 3GT 2.1．天体质量的计算若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得ρ＝3πr 3GT 2R 3.特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3πGT 2.3．(多选)由下列哪一组物理量可以计算地球的质量( )【导学号：22852067】A ．月球的轨道半径和月球的公转周期B ．月球的半径和月球的自转周期C ．卫星的质量和卫星的周期D ．卫星离地面的高度、卫星的周期和地球的半径【解析】 只要知道天体的一颗卫星或行星的周期和轨道半径，利用公式G Mm r 2＝mr 4π2T 2就可以计算出中心天体的质量，故选项A 、D 正确．【答案】 AD4．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T ，引力常量为G ，那么该行星的平均密度为( )【导学号：22852068】A.GT 23π B.3πGT 2 C.GT 24πD.4πGT 2【解析】 设飞船的质量为m ，它做圆周运动的半径为行星半径R ，则G MmR 2＝m (2πT )2R ，所以行星的质量为M ＝4π2R 3GT 2，行星的平均密度ρ＝M 43πR 3＝4π2R 3GT 243πR 3＝3πGT 2，B 项正确．【答案】 B5．火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为r ，运行周期为T ，引力常量为G ，试写出太阳质量的表达式．【解析】 设太阳质量为M ，火星的质量为m 火星与太阳间的引力提供向心力，则有 GMm r 2＝m v 2r ， v ＝2πr T .两式联立得M ＝4π2r 3GT 2. 【答案】 4π2r3GT 21．计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．2．要注意R 、r 的区分．R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径．以地球为例，若绕近地轨道运行，则有R ＝r .。
3. 卫星的变轨问题一、基础知识回顾1．当v 增大时，所需向心力m v 2r增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，克服引力做功，重力势能增加．但卫星一旦进入新的轨道运行，由v ＝GM r知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加． 2．当卫星的速度突然减小时，向心力mv 2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，引力做正功，重力势能减少，进入新轨道运行时由v ＝GM r知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)3．卫星绕过不同轨道上的同一点(切点)时，其加速度大小关系可用F ＝GMm r 2＝ma 比较得出．二、思想方法(1)物理思想：估算的思想、物理模型的思想．(2)物理方法：放大法、假设法、近似法.考向1 变轨过程中各参数的变化[例1] (多选)目前人类正在积极探索载人飞船登陆火星的计划，假设一艘飞船绕火星运动时，经历了由轨道Ⅲ变到轨迹Ⅱ再变到轨道Ⅰ的过程，如图所示，下列说法中正确的是( )A ．飞船沿不同轨道经过P 点时的加速度均相同B ．飞船沿不同轨道经过P 点时的速度均相同C ．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能小于在轨道Ⅱ上运动时的机械能D ．飞船在轨道Ⅱ上由Q 点向P 点运动时，速度逐渐增大，机械能也增大解析 根据万有引力定律可知，飞船沿不同轨道经过P 点时所受火星的万有引力相同，由牛顿第二定律可知飞船沿不同轨道经过P 点时的加速度均相同，故选项A 正确；飞船从外层轨道进入内层轨道时需要减速，所以飞船沿不同轨道经过P 点时的速度满足v Ⅲ＞v Ⅱ＞v Ⅰ，且飞船在轨道Ⅰ上运行时的机械能小于在轨道Ⅱ上运行时的机械能，故选项B 错误，选项C 正确；飞船在同一轨道上运行时，只有万有引力做功，其机械能守恒，故选项D 错误． 答案 AC考向2 卫星的追及相遇问题[例2] 2016年10月17日7时30分神舟十一号飞船发射升空．成功入轨后，经过5次远距离导引控制之后，飞船到达天宫二号后下方52公里左右的位置(如图所示)，两个航天器建立空空通信，转入到自主控制段.10月19日凌晨，神舟十一号飞船与天宫二号自动交会对接成功，开始在太空中的连体飞行．与前几次交会对接任务不同，此次交会对接轨道和返回轨道高度比之前增加了50公里，距地面高度为393公里．下列说法正确的是( ) A．神舟十一号飞船从图示状态下要与天宫二号对接，须向后喷气B．在图示状态时，天宫二号的向心加速度大于神舟十一号的向心加速度C．在图示状态时，天宫二号做匀速圆周运动的周期小于神舟十一号的周期D．天宫二号和神舟十一号组合体绕地球做匀速圆周运动的速度大于7.9 km/s解析根据天宫二号和神舟十一号绕地球做圆周运动所需要的向心力是由地球对它们的万有引力提供的，则有G Mmr2＝m⎝⎛⎭⎪⎫2πT2r＝mv2r＝ma，即v＝GMr，T＝4π2r3GM，a＝GMr2，由此可知：r越大，v越小，T越大，a越小，故B、C、D错误；神舟十一号飞船从图示状态下要与天宫二号对接，需加速做离心运动进入高轨道，才能实现对接，A正确；故选A.答案 A1．卫星变轨的两种常见情况2．航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝GMr判断．(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．(3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．针对训练1．我国的“神舟十一号”载人航天飞船于2016年10月17日发射升空，入轨两天后，与“天宫二号”进行对接，假定对接前，“天宫二号”在图所示的轨道3上绕地球做匀速圆周运动，而“神舟十一号”在图中轨道1上的P 点瞬间改变其速度大小，使其运行的轨道变为椭圆轨道2，并在椭圆轨道2与轨道3的切点与“天宫二号”进行对接，图中P 、Q 、K 三点位于同一直线上，则( )A ．“神舟十一号”在P 点轨道1的加速度大于轨道2的加速度B ．如果“天宫二号”位于K 点时“神舟十一号”在P 点处变速，则两者第一次到达Q 点即可对接C ．“神舟十一号”沿椭圆轨道2从P 点飞向Q 点过程中机械能不断增大D ．为了使对接时两者的速度相同，“神舟十一号”到达Q 点时应稍微加速解析：选D.根据a ＝GM r 2可知，“神舟十一号”在P 点轨道1的加速度等于轨道2的加速度，选项A 错误；由图示可知，在轨道3上运行时的周期大于在轨道2上运行时的周期，如果“天宫二号”位于K 点时“神州十一号”在P 点处变速，“神舟十一号”要比“天宫二号”早到的Q 点，则两者第一次到达Q 点时不能对接，故B 错误；“神州十一号”沿椭圆轨道2从P 点飞向Q 点过程中只有万有引力做功，其机械能守恒，故C 错误；为了使对接时两者的速度相同，“神舟十一号”到达Q 点时应稍微加速，使两者速度相等，然后实现对接，故D 正确；故选D.2．卫星发射进入预定轨道往往需要进行多次轨道调整．如图所示，某次发射任务中先将卫星送至近地轨道，然后再控制卫星进入椭圆轨道．图中O 点为地心，A 点是近地轨道和椭圆轨道的交点，远地点B 离地面高度为6R (R 为地球半径)．设卫星在近地轨道运动的周期为T ，下列对卫星在椭圆轨道上运动的分析，其中正确的是( )A ．控制卫星从图中低轨道进入椭圆轨道需要使卫星减速B ．卫星通过A 点时的速度是通过B 点时速度的6倍C ．卫星通过A 点时的加速度是通过B 点时加速度的6倍D ．卫星从A 点经4T 的时间刚好能到达B 点解析：选D.控制卫星从图中低轨道进入椭圆轨道需要使卫星加速，选项A 错误；根据开普勒行星运动第二定律可得：v A ·R ＝v B ·(6R ＋R )，则卫星通过A 点时的速度是通过B 点时速度的7倍，选项B 错误；根据a ＝GM r 2，则a A a B ＝7R 2R 2＝49，则卫星通过A 点时的加速度是通过B 点时加速度的49倍，选项C 错误；根据开普勒第三定律，R3T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2R ＋6R 23T ′2，解得T ′＝8T ，则卫星从A 点经4T 的时间刚好能到达B 点，选项D 正确；故选D.3．已知，某卫星在赤道上空轨道半径为r 1的圆形轨道上绕地球运行的周期为T ，卫星运动方向与地球自转方向相同，赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方．假设某时刻，该卫星如图所示，在A 点变轨进入椭圆轨道，近地点B 到地心距离为r 2.设卫星由A 到B 运动的时间为t ，地球自转周期为T 0，不计空气阻力．则( )A ．T ＝38T 0 B ．t ＝r 1＋r 2T 2r 1 r 1＋r 22r 1C ．卫星在图中椭圆轨道由A 到B 时，机械能增大D ．卫星由图中圆轨道进入椭圆轨道过程中，机械能不变解析：选A.赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方，知三天内卫星转了8圈，则有3T 0＝8T ，解得T ＝38T 0，故A 正确；根据开普勒第三定律知，⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1＋r 2232t 2＝r 31T 2，解得t ＝T r 1＋r 24r 1 r 1＋r 22r 1，故B 错误；卫星在图中椭圆轨道由A 到B 时，只有万有引力做功，机械能守恒，故C 错误；卫星由圆轨道进入椭圆轨道，需减速，则机械能减小，故D 错误．。
万有引力定律的应用——人造卫星系列问题学案【学习目标】1． 能根据万有引力提供卫星运动的向心力，解决相关问题2． 弄清T ，v ，ω，a ，Ek ，Ep ，E 随r 变化的规律3． 掌握卫星变轨的规律【知识再现】一、万有引力定律1. 内容：______________________________________________________________________2. 公式：____________________________________________________3. 适用条件二、卫星的运动1. 稳定运行基本方法：把卫星的运动看成 运动，卫星所受 全部提供向心力。
“供需平衡” 运动类型：_________________常用公式：2. 不稳定运行“供过于求” 运动类型：_________________；“供不应求” 运动类型：__________________三、卫星的能量卫星发射过程，伴随卫星高度的升高，引力做负功，卫星的动能转化为卫星的势能【知识提升】[播放Flash]提出问题：地球上的物体要达到多大的速度才能发射成为地球的卫星？这个速度是如何推导出的？[知识点]1．第一宇宙速度（1）公式（2）理解[知识点]3．高轨道一般卫星的规律例1、在圆轨道上运动的质量为m 的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R ，地面上的重力加速度为g ，求卫星运动的线速度，周期，加速度。
某同学给出了如下的解题过程 )2(2222R T m R v m ma mg ⎪⎭⎫ ⎝⎛===π Rg v 2=∴ g R T /22π= g a = 试分析同学的解答是否正确？如果错误，请做出正确解答，并指出造成错误的原因。
例2、如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星，a和b的质量相同而小于c的质量，下列说法中正确的是（）A．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度B．b、c的周期相等，且大于a的周期C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度D．b所需的向心力最小[播放Flash][思考]卫星在近地轨道上的P点开启发动机，向高轨道变轨，卫星应该采取什么措施？卫星在P 点变轨后能否直接进入更高的圆轨道？[知识点]2．卫星变轨问题例3、如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。
02.变轨问题—万有引力与航天绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供，r m r Tm ma r v m r GMm 222224ωπ====，轨道半径r 确定后（在轨），与之对应的卫星线速度r GM v =，周期GMr T 32π=，向心加速度=a 2r GM 等也都是唯一确定的。
如果卫星的质量是确定的，那么，与轨道半径r 对应的卫星的动能、重力势能、总机械能也是唯一确定的。
一旦卫星发生了变轨，即轨道半径r 发生了变化，上述所有物理量都将随之变化。
一类变轨是卫星因为受稀薄大气的影响速度变小，从而做向心运动，使卫星在更低的轨道运行；另一类变轨例如发射同步卫星，先将卫星发射到近地轨道I ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为1v ，变轨时在P 点点火加速，短时间内将速率由1v 增加到2v ，使卫星进入椭圆形转移轨道 II ；卫星运行到远地点Q 时，速率为3v ，此时进行第二次点火加速，短时间内将速率由3v 增加到4v ，使卫星进入同步轨道III ，绕地球做匀速圆周运动。
如图所示：1.如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E 运行，在P 变轨后进入轨道2做匀速圆周运动下列说法正确的是A.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同B.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量 【答案】B【解析】从1到2，需要加速逃逸，A 错；2Mm Gma R =可得21a R∝,半径相同，加速度相同，卫星在椭圆轨道1上运动时，运动半径变化，a 在变，C 错B 对；卫星在圆形轨道2上运动时，过程中的速度方向时刻改变，所以动量方向不同，D 错。
2.如图6所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。
若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的A.动能大B.向心加速度大C.运行周期长D.角速度小【解析】根据r m r Tm ma r v m r GMm 222224ωπ====， 得，动能=k E r GMm 2，r 变大，所以动能变小，A 错误；加速度=a 2r GM ，r 变大，所以加速度变小，B 错误；周期GMr T 32π=，r 变大，所以周期变大，C 正确；角速度3rGM=ω，r 变大，所以角速度变小，D 正确。
微型专题 4 卫星变轨问题和双星问题知识目标核心素养1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度.1.掌握卫星变轨的实质及蕴含的思想方法.2.掌握“双星”的特点，建立“双星”问题模型.一、人造卫星的发射、变轨与对接1．发射问题要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星一很大的发射初速度，且发射速度v ＞v 1＝7.9km/s ，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F引＝F 向，即G Mm r 2＝m v2r，从而使卫星进入预定轨道．2．卫星的变轨问题卫星变轨时，先是线速度v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化．(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v2r减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁．(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v2r增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁．以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据．3．飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图1甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接．图1(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度．例1如图2所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是()图2A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B ．卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度小于它在轨道3上经过P 点时的加速度答案 B解析卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：G Mm r 2＝m v2r ，v ＝GMr因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，A 项错误．由开普勒第三定律知T 3>T 2，B 项正确．在Q 点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速．所以在Q 点v 2Q >v 1Q ，C 项错误．在同一点P，由GMmr2＝ma知，卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度，D项错误．【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的对接和变轨问题判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路：(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断．(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小．(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析．(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝Fm＝GMr2判断．二、双星问题1．如图3所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”．图32．双星问题的特点(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．(3)两星的运动周期、角速度相同．(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm1m2L2＝m1ω2r1＝m2ω2r2.例2两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图4所示．已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T .图4答案Lm 2m 1＋m 2Lm 1m 1＋m 24π2L3Gm 1＋m 2解析双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力对m1：Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2，对m 2：Gm 1m 2L 2＝m2r 2ω2，且r 1＋r 2＝L ，解得r 1＝Lm 2m 1＋m 2，r 2＝Lm1m 1＋m 2.由G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2及r 1＝Lm2m 1＋m 2得周期T ＝4π2L3G m 1＋m 2.【考点】双星问题【题点】双星问题针对训练(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常数并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星的()A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度答案BC解析两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gm 1m 2l2＝m 1ω2r 1①Gm1m2l2＝m2ω2r2②l＝r1＋r2③由①②③式得G m1＋m2l2＝ω2l，所以m1＋m2＝ω2l3G，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v＝ωr得v1＝ωr1④v2＝ωr2⑤由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．质量之积和各自的自转角速度无法求解.1.(卫星的变轨问题)(多选)肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，如图5所示，在距月球表面100 km的P点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km 的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，则下列说法正确的是( )图5A．“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长B．“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长C．“嫦娥三号”经过P点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大D．“嫦娥三号”经过P点时，在三个轨道上的加速度相等答案AD解析由于“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ上运动的半径，也大于轨道Ⅲ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为TⅠ＞TⅡ＞TⅢ，故A正确，B错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P 点进行“刹车制动”，所以经过P点时，在三个轨道上的线速度关系为vⅠ＞vⅡ＞vⅢ，所以C 错误；由于“嫦娥三号”在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D正确．【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题2．(卫星、飞船的对接问题)如图6所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功．假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )图6A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接答案 C解析飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；同时，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误．3.(双星问题)如图7所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是( )图7A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶２B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶２C．m1做圆周运动的半径为2 5 LD ．m 2做圆周运动的半径为25L 答案 C解析设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得G m 1m 2L2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶２所以可解得r 1＝25L ，r 2＝35Lm1、m 2运动的线速度分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω，故v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3.综上所述，选项C 正确．【考点】双星问题【题点】双星问题一、选择题考点一卫星的变轨问题1．(多选)如图1所示，航天飞机在完成太空任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的近地点，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图1A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度B．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度答案ABC【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题2．(多选)如图2所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0.飞船在半径为4R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )图2A．飞船在轨道Ⅲ上的运行速率大于g0RB．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率小于在轨道Ⅱ上B处的运行速率C．飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度D．飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝4∶１答案BC解析由mv2R＝mg0知，v＝g0R，即飞船在轨道Ⅲ上的运行速率等于g0R，A错误．由v＝GMr知，vⅠ<vⅢ，而飞船在轨道Ⅱ上的B点做离心运动，有vⅡB>vⅢ，则有vⅡB>vⅠ，B正确．由a＝GMr2知，飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度，C正确．由T＝2πr3GM知，飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝8∶1，D错误．【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题3．如图3所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200 km，远地点N距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2.当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3，比较飞船在M、N、P三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )图3A．v1＞v3＞v2，a1＞a3＞a2B．v1＞v2＞v3，a1＞a2＝a3C．v1＞v2＝v3，a1＞a2＞a3D．v1＞v3＞v2，a1＞a2＝a3答案 D解析根据万有引力提供向心力，即GMmr2＝ma得：a＝GMr2，由题图可知r1＜r2＝r3，所以a1＞a2＝a3；当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，所以v3＞v2，根据GMmr2＝mv2r得：v＝GMr，又因为r1＜r3，所以v1＞v3，故v1＞v3＞v2.故选 D.【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题4．(多选)如图4所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射．卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面。
微型专题4 卫星变轨问题和双星问题一、人造卫星的发射、变轨与对接 1．发射问题要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星一很大的发射初速度，且发射速度v ＞v 1＝7.9 km/s ，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F 引＝F 向，即G Mm r 2＝m v 2r，从而使卫星进入预定轨道．2．卫星的变轨问题卫星变轨时，先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化．(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁．(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁．以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据． 3．飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图1甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接．图1(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度．例1 如图2所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( )图2A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B ．卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度小于它在轨道3上经过P 点时的加速度 答案 B解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：G Mm r 2＝m v 2r ，v ＝GMr因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，A 项错误． 由开普勒第三定律知T 3>T 2，B 项正确．在Q 点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速． 所以在Q 点v 2Q >v 1Q ，C 项错误． 在同一点P ，由GMmr 2＝ma 知，卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点的加速度，D 项错误． 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的对接和变轨问题判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路：(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断．(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小． (3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析．(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a ＝Fm ＝G M r2判断． 二、双星问题1．如图3所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”．图32．双星问题的特点(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度相同．(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1＋r 2＝L .3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2. 例2 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图4所示．已知双星的质量分别为m 1和m 2，它们之间的距离为L ，求双星的运行轨道半径r 1和r 2及运行周期T .图4答案 Lm 2m 1＋m 2 Lm 1m 1＋m 24π2L3G (m 1＋m 2)解析 双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力 对m 1：Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2， 对m 2：Gm 1m 2L2＝m 2r 2ω2，且r 1＋r 2＝L ， 解得r 1＝Lm 2m 1＋m 2，r 2＝Lm 1m 1＋m 2. 由G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2及r 1＝Lm 2m 1＋m 2得周期T ＝4π2L3G (m 1＋m 2).【考点】双星问题 【题点】双星问题针对训练 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常数并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星的( ) A ．质量之积 B ．质量之和 C ．速率之和 D ．各自的自转角速度答案 BC解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gm 1m 2l2＝m 1ω2r 1① Gm 1m 2l2＝m 2ω2r 2② l ＝r 1＋r 2③由①②③式得G (m 1＋m 2)l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得v 1＝ωr 1④ v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算． 质量之积和各自的自转角速度无法求解.1.(卫星的变轨问题)(多选)肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，如图5所示，在距月球表面100 km 的P 点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P 点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km 的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P 点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，则下列说法正确的是( )图5A．“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长B．“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长C．“嫦娥三号”经过P点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大D．“嫦娥三号”经过P点时，在三个轨道上的加速度相等答案AD解析由于“嫦娥三号”在轨道Ⅰ 上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ 上运动的半径，也大于轨道Ⅲ 的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为TⅠ＞TⅡ＞TⅢ，故A正确，B错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P点进行“刹车制动”，所以经过P点时，在三个轨道上的线速度关系为vⅠ＞vⅡ＞vⅢ，所以C错误；由于“嫦娥三号”在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D正确．【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题2．(卫星、飞船的对接问题)如图6所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功．假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )图6A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接答案 C解析飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；同时，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误．3.(双星问题)如图7所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是( )图7A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为25LD ．m 2做圆周运动的半径为25L答案 C解析 设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得G m 1m 2L2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2 所以可解得r 1＝25L ，r 2＝35Lm 1、m 2运动的线速度分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω，故v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3. 综上所述，选项C 正确． 【考点】双星问题 【题点】双星问题一、选择题考点一 卫星的变轨问题1．(多选)如图1所示，航天飞机在完成太空任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的近地点，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图1A ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度B ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度C ．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D ．在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 答案 ABC【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题2．(多选)如图2所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0.飞船在半径为4R 的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )图2A ．飞船在轨道Ⅲ上的运行速率大于g 0RB ．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率小于在轨道Ⅱ上B 处的运行速率C ．飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B 处的向心加速度D ．飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比T Ⅰ∶T Ⅲ＝4∶1 答案 BC解析 由mv 2R＝mg 0知，v ＝g 0R ，即飞船在轨道Ⅲ上的运行速率等于g 0R ，A 错误．由v ＝GMr知，v Ⅰ<v Ⅲ，而飞船在轨道Ⅱ上的B 点做离心运动，有v ⅡB >v Ⅲ，则有v ⅡB >v Ⅰ，B 正确．由a ＝GM r2知，飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B 处的向心加速度，C 正确．由T ＝2π r 3GM知，飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比T Ⅰ∶T Ⅲ＝8∶1，D 错误．【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题3．如图3所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M 距地面200 km ，远地点N 距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M 、N 点时的速率分别是v 1和v 2.当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v 3，比较飞船在M 、N 、P 三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )图3A ．v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 3＞a 2B ．v 1＞v 2＞v 3，a 1＞a 2＝a 3C ．v 1＞v 2＝v 3，a 1＞a 2＞a 3D ．v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 2＝a 3 答案 D解析 根据万有引力提供向心力，即GMm r 2＝ma 得：a ＝GMr2，由题图可知r 1＜r 2＝r 3，所以a 1＞a 2＝a 3；当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，所以v 3＞v 2，根据GMm r 2＝mv 2r 得：v ＝GMr，又因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，故v 1＞v 3＞v 2.故选D. 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题4．(多选)如图4所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射．卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km 、周期为118 min 的工作轨道Ⅲ，开始对月球进行探测，下列说法正确的是( )图4A ．卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小B ．卫星在轨道Ⅲ上经过P 点的加速度比在轨道Ⅰ上经过P 点的加速度大C ．卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的长D ．卫星在轨道Ⅰ上经过P 点的速度比在轨道Ⅲ上经过P 点的速度大 答案 AD解析 卫星在轨道Ⅲ上的半径大于月球半径，根据G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝GMr，可知卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小，A 正确．卫星在轨道Ⅲ上和在轨道Ⅰ上经过P 点时所受万有引力相等，所以加速度也相等，B 错误．轨道Ⅲ的半径比轨道Ⅰ的半长轴小，根据开普勒第三定律，卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的短，C 错误．卫星从轨道Ⅰ经多次变轨进入轨道Ⅲ，在P 点需依次减速，D 正确． 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题5．(多选)如图5所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )图5A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B ．a 加速可能会追上bC ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等到同一轨道上的cD ．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大 答案 BD解析 因为b 、c 在同一轨道上运行，故其线速度、加速度大小均相等．又由b 、c 轨道半径大于a 轨道半径，由v ＝GMr可知，v b ＝v c ＜v a ，故选项A 错；当a 加速后，会做离心运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与b 所在轨道相切(或相交)，且a 、b 同时来到切(或交)点时，a 就追上了b ，故选项B 正确；当c 加速时，c 受的万有引力F ＜m v c 2r c，故它将偏离原轨道，做离心运动，当b 减速时，b 受的万有引力F ＞mv b2r b，它将偏离原轨道，做近心运动，所以无论如何c 也追不上b ，b 也等不到c ，故选项C 错；对a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v ＝GMr可知，r 减小时，v 逐渐增大，故选项D 正确． 考点二 双星问题6．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2之间的距离为r ，已知引力常数为G ，由此可求出S 2的质量为( ) A.4π2r 2(r －r 1)GT2B.4π2r 31GT 2C.4π2r3GT 2D.4π2r 2r 1GT2答案 D解析 设S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2，对于S 1有G m 1m 2r 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 1，得m 2＝4π2r 2r 1GT 2.【考点】双星问题 【题点】双星问题7．两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A ．质量大的天体线速度较大B ．质量小的天体角速度较大C ．两个天体的向心力大小一定相等D ．两个天体的向心加速度大小一定相等 答案 C解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B 项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C 项正确，D 项错误；根据牛顿第二定律，有：G m 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2 其中：r 1＋r 2＝L 故r 1＝m 2m 1＋m 2L r 2＝m 1m 1＋m 2L故v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1故质量大的天体线速度较小，故A 项错误． 【考点】双星问题 【题点】双星问题8．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O 点运动的( ) A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍 答案 A解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相同，B 错误．双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相同，D 错误．根据m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，得r 1r 2＝m 2m 1＝17，A 正确．根据v ＝ωr ，得v 1v 2＝r 1r 2＝17，C 错误．【考点】双星问题 【题点】双星问题9．(多选)宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起．如图6所示，某双星系统中A 、B 两颗天体绕O 点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比r A ∶r B ＝1∶2，则两颗天体的( )图6A ．质量之比m A ∶mB ＝2∶1 B ．角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶2C ．线速度大小之比v A ∶v B ＝1∶2D ．向心力大小之比F A ∶F B ＝2∶1答案 AC解析 双星都绕O 点做匀速圆周运动，由二者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω.根据牛顿第二定律，对A 星：G m A m B L2＝m A ω2r A ① 对B 星：Gm A m B L2＝m B ω2r B ② 联立①②得m A ∶m B ＝r B ∶r A ＝2∶1.根据双星运行的条件有角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶1，由v ＝ωr 得线速度大小之比v A ∶v B ＝r A ∶r B ＝1∶2，向心力大小之比F A ∶F B ＝1∶1，选项A 、C 正确，B 、D 错误． 【考点】双星问题【题点】双星问题10．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.n 3k 2T B.n 3k T C.n 2kT D.n kT 答案 B解析 如图所示，设两恒星的质量分别为M 1和M 2，轨道半径分别为r 1和r 2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得GM 1M 2r 2＝M 1(2πT )2r 1＝M 2(2πT )2r 2，解得G (M 1＋M 2)r 2＝(2πT )2(r 1＋r 2)，即GM r 3＝(2πT)2①当两星的总质量变为原来的k 倍，它们之间的距离变为原来的n 倍时，有GkM (nr )3＝(2πT ′)2② 联立①②两式可得T ′＝n 3kT ，故选项B 正确． 【考点】双星问题 【题点】双星问题 二、非选择题11．(卫星的有关计算)设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图7所示．设轨道舱的质量为m ，月球表面的重力加速度为g ，月球的半径为R ，轨道舱到月球中心的距离为r ，引力常数为G ，试求：图7(1)月球的质量；(2)轨道舱的速度大小和周期．答案 (1)gR 2G (2)Rg r 2πr R rg解析 (1)设月球的质量为M ，则在月球表面GMm ′R 2＝m ′g ， 得月球质量M ＝gR 2G(2)设轨道舱的速度为v ，周期为T ，则G Mm r 2＝m v 2r 得：v ＝R grG Mm r 2＝m 4π2T 2r 得：T ＝2πr Rr g. 12．(变轨问题)中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，A 点距地面的高度为h 1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图8所示．设飞船在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，若已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，求：图8(1)飞船在B 点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速？ (2)飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小． (3)椭圆轨道远地点B 距地面的高度h 2.答案 (1)加速 (2)gR 2(R ＋h 1)2 (3)3gR 2t 24n 2π2－R 解析 (2)在地球表面有mg ＝GMm R 2① 根据牛顿第二定律有：GMm(R ＋h 1)2＝ma A ② 由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小为a A ＝gR 2(R ＋h 1)2.(3)飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有G Mm (R ＋h 2)2＝m 4π2T 2(R ＋h 2)③ 由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T ＝tn④由①③④式联立解得h 2＝3gR 2t 24n 2π2－R . 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题。
微型专题4 卫星变轨问题和双星问题一、人造卫星的发射、变轨与对接 1．发射问题要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星一很大的发射初速度，且发射速度v ＞v 1＝7.9 km/s ，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F引＝F 向，即G Mm r 2＝m v 2r，从而使卫星进入预定轨道．2．卫星的变轨问题卫星变轨时，先是线速度v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化．(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁．(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁．以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据． 3．飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图1甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接．图1(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度．例1 如图2所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( )图2A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B ．卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度小于它在轨道3上经过P 点时的加速度 答案 B解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：G Mm r 2＝m v 2r ，v ＝GMr因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，A 项错误． 由开普勒第三定律知T 3>T 2，B 项正确．在Q 点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速． 所以在Q 点v 2Q >v 1Q ，C 项错误． 在同一点P ，由GMmr 2＝ma 知，卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点的加速度，D 项错误．【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的对接和变轨问题判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路：(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断． (2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小．(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析．(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a ＝F m ＝G M r2判断． 二、双星问题1．如图3所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”．图32．双星问题的特点(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度相同．(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1＋r 2＝L .3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2.例2 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图4所示．已知双星的质量分别为m 1和m 2，它们之间的距离为L ，求双星的运行轨道半径r 1和r 2及运行周期T .图4答案 Lm 2m 1＋m 2 Lm 1m 1＋m 24π2L3G (m 1＋m 2)解析 双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力 对m 1：Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2， 对m 2：Gm 1m 2L2＝m 2r 2ω2，且r 1＋r 2＝L ，解得r 1＝Lm 2m 1＋m 2，r 2＝Lm 1m 1＋m 2. 由G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2及r 1＝Lm 2m 1＋m 2得周期T ＝4π2L3G (m 1＋m 2).【考点】双星问题 【题点】双星问题针对训练 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常数并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星的( ) A ．质量之积 B ．质量之和 C ．速率之和 D ．各自的自转角速度答案 BC解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gm 1m 2l2＝m 1ω2r 1① Gm 1m 2l2＝m 2ω2r 2② l ＝r 1＋r 2③由①②③式得G (m 1＋m 2)l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得v 1＝ωr 1④ v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算． 质量之积和各自的自转角速度无法求解.1.(卫星的变轨问题)(多选)肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，如图5所示，在距月球表面100 km的P点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km 的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，则下列说法正确的是( )图5A．“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长B．“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长C．“嫦娥三号”经过P点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大D．“嫦娥三号”经过P点时，在三个轨道上的加速度相等答案AD解析由于“嫦娥三号”在轨道Ⅰ 上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ 上运动的半径，也大于轨道Ⅲ 的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为TⅠ＞TⅡ＞TⅢ，故A正确，B错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P 点进行“刹车制动”，所以经过P点时，在三个轨道上的线速度关系为vⅠ＞vⅡ＞vⅢ，所以C 错误；由于“嫦娥三号”在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D正确．【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题2．(卫星、飞船的对接问题)如图6所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功．假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )图6A ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案 C解析 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A 错误；同时，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B 错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C 正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D 错误． 3.(双星问题)如图7所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，下列说法中正确的是( )图7A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为25LD ．m 2做圆周运动的半径为25L答案 C解析 设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2 所以可解得r 1＝25L ，r 2＝35Lm 1、m 2运动的线速度分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω，故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.综上所述，选项C正确．【考点】双星问题【题点】双星问题一、选择题考点一卫星的变轨问题1．(多选)如图1所示，航天飞机在完成太空任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的近地点，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图1A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度B．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度答案ABC【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题2．(多选)如图2所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0.飞船在半径为4R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )图2A．飞船在轨道Ⅲ上的运行速率大于g0RB．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率小于在轨道Ⅱ上B处的运行速率C．飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度D．飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝4∶1答案BC解析 由mv 2R ＝mg 0知，v ＝g 0R ，即飞船在轨道Ⅲ上的运行速率等于g 0R ，A 错误．由v ＝GM r知，v Ⅰ<v Ⅲ，而飞船在轨道Ⅱ上的B 点做离心运动，有v ⅡB >v Ⅲ，则有v ⅡB >v Ⅰ，B 正确．由a ＝GMr 2知，飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B 处的向心加速度，C 正确．由T ＝2πr 3GM知，飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比T Ⅰ∶T Ⅲ＝8∶1，D 错误． 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题3．如图3所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M 距地面200 km ，远地点N 距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M 、N 点时的速率分别是v 1和v 2.当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v 3，比较飞船在M 、N 、P 三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )图3A ．v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 3＞a 2B ．v 1＞v 2＞v 3，a 1＞a 2＝a 3C ．v 1＞v 2＝v 3，a 1＞a 2＞a 3D ．v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 2＝a 3 答案 D解析 根据万有引力提供向心力，即GMm r 2＝ma 得：a ＝GMr2，由题图可知r 1＜r 2＝r 3，所以a 1＞a 2＝a 3；当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，所以v 3＞v 2，根据GMm r 2＝mv 2r得：v ＝GMr，又因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，故v 1＞v 3＞v 2.故选D. 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题4．(多选)如图4所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射．卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km 、周期为118 min 的工作轨道Ⅲ，开始对月球进行探测，下列说法正确的是( )图4A ．卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小B ．卫星在轨道Ⅲ上经过P 点的加速度比在轨道Ⅰ上经过P 点的加速度大C ．卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的长D ．卫星在轨道Ⅰ上经过P 点的速度比在轨道Ⅲ上经过P 点的速度大 答案 AD解析 卫星在轨道Ⅲ上的半径大于月球半径，根据G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝GMr，可知卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小，A 正确．卫星在轨道Ⅲ上和在轨道Ⅰ上经过P 点时所受万有引力相等，所以加速度也相等，B 错误．轨道Ⅲ的半径比轨道Ⅰ的半长轴小，根据开普勒第三定律，卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的短，C 错误．卫星从轨道Ⅰ经多次变轨进入轨道Ⅲ，在P 点需依次减速，D 正确． 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题5．(多选)如图5所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )图5A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B ．a 加速可能会追上bC ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等到同一轨道上的cD ．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大 答案 BD解析 因为b 、c 在同一轨道上运行，故其线速度、加速度大小均相等．又由b 、c 轨道半径大于a 轨道半径，由v ＝GMr可知，v b ＝v c ＜v a ，故选项A 错；当a 加速后，会做离心运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与b 所在轨道相切(或相交)，且a 、b 同时来到切(或交)点时，a 就追上了b ，故选项B 正确；当c 加速时，c 受的万有引力F ＜m v c 2r c ，故它将偏离原轨道，做离心运动，当b 减速时，b 受的万有引力F ＞m v b 2r b，它将偏离原轨道，做近心运动，所以无论如何c 也追不上b ，b 也等不到c ，故选项C 错；对a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v ＝GMr可知，r 减小时，v 逐渐增大，故选项D 正确． 考点二 双星问题6．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2之间的距离为r ，已知引力常数为G ，由此可求出S 2的质量为( )A.4π2r 2(r －r 1)GT2B.4π2r 31GT 2C.4π2r3GT 2D.4π2r 2r 1GT2答案 D解析 设S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2，对于S 1有G m 1m 2r 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 1，得m 2＝4π2r 2r 1GT 2.【考点】双星问题 【题点】双星问题7．两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A ．质量大的天体线速度较大 B ．质量小的天体角速度较大 C ．两个天体的向心力大小一定相等 D ．两个天体的向心加速度大小一定相等 答案 C解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B 项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C 项正确，D 项错误；根据牛顿第二定律，有：Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2 其中：r 1＋r 2＝L 故r 1＝m 2m 1＋m 2L r 2＝m 1m 1＋m 2L故v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1故质量大的天体线速度较小，故A 项错误． 【考点】双星问题 【题点】双星问题8．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O 点运动的( ) A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍 答案 A解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相同，B 错误．双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相同，D 错误．根据m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，得r 1r 2＝m 2m 1＝17，A 正确．根据v ＝ωr ，得v 1v 2＝r 1r 2＝17，C 错误． 【考点】双星问题 【题点】双星问题9．(多选)宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起．如图6所示，某双星系统中A 、B 两颗天体绕O 点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比r A ∶r B ＝1∶2，则两颗天体的( )图6A ．质量之比m A ∶mB ＝2∶1B ．角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶2C ．线速度大小之比v A ∶v B ＝1∶2D ．向心力大小之比F A ∶F B ＝2∶1答案 AC解析 双星都绕O 点做匀速圆周运动，由二者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω.根据牛顿第二定律，对A 星：G m A m B L2＝m A ω2r A ① 对B 星：Gm A m B L2＝m B ω2r B ② 联立①②得m A ∶m B ＝r B ∶r A ＝2∶1.根据双星运行的条件有角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶1，由v ＝ωr 得线速度大小之比v A ∶v B ＝r A ∶r B ＝1∶2，向心力大小之比F A ∶F B ＝1∶1，选项A 、C 正确，B 、D 错误．【考点】双星问题 【题点】双星问题10．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.n 3k 2T B.n 3k T C.n 2kT D.n kT 答案 B解析 如图所示，设两恒星的质量分别为M 1和M 2，轨道半径分别为r 1和r 2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得GM 1M 2r 2＝M 1(2πT )2r 1＝M 2(2πT )2r 2，解得G (M 1＋M 2)r 2＝(2πT )2(r 1＋r 2)，即GMr3＝(2πT)2①当两星的总质量变为原来的k 倍，它们之间的距离变为原来的n 倍时，有GkM (nr )3＝(2πT ′)2② 联立①②两式可得T ′＝n 3kT ，故选项B 正确． 【考点】双星问题 【题点】双星问题 二、非选择题11．(卫星的有关计算)设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图7所示．设轨道舱的质量为m ，月球表面的重力加速度为g ，月球的半径为R ，轨道舱到月球中心的距离为r ，引力常数为G ，试求：图7(1)月球的质量；(2)轨道舱的速度大小和周期．答案 (1)gR 2G (2)Rg r 2πr R rg解析 (1)设月球的质量为M ，则在月球表面GMm ′R 2＝m ′g ， 得月球质量M ＝gR 2G(2)设轨道舱的速度为v ，周期为T ，则G Mm r 2＝m v 2r 得：v ＝R grG Mm r 2＝m 4π2T 2r 得：T ＝2πr Rr g. 12．(变轨问题)中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，A 点距地面的高度为h 1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图8所示．设飞船在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，若已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，求：图8(1)飞船在B 点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速？ (2)飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小． (3)椭圆轨道远地点B 距地面的高度h 2.答案 (1)加速 (2)gR 2(R ＋h 1)2 (3)3gR 2t 24n 2π2－R解析 (2)在地球表面有mg ＝GMm R 2① 根据牛顿第二定律有：GMm(R ＋h 1)2＝ma A ② 由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小为a A ＝gR 2(R ＋h 1)2.(3)飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有G Mm (R ＋h 2)2＝m 4π2T 2(R ＋h 2)③ 由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T ＝tn④由①③④式联立解得h 2＝3gR 2t 24n 2π2－R . 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题。
微型专题4 卫星变轨问题和双星问题知识目标核心素养1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度.1.掌握卫星变轨的实质及蕴含的思想方法.2.掌握“双星”的特点，建立“双星”问题模型.一、人造卫星的发射、变轨与对接1．发射问题要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星一很大的发射初速度，且发射速度v＞v1＝7.9 km/s，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F引＝F向，即GMmr2＝mv2r，从而使卫星进入预定轨道．2．卫星的变轨问题卫星变轨时，先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化．(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝mv2r减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁．(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁．以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据． 3．飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图1甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接．图1(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度．例1 如图2所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( )图2A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B ．卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度小于它在轨道3上经过P 点时的加速度 答案 B解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：G Mm r 2＝m v 2r ，v ＝GMr因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，A 项错误． 由开普勒第三定律知T 3>T 2，B 项正确．在Q 点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速． 所以在Q 点v 2Q >v 1Q ，C 项错误．在同一点P ，由GMmr 2＝ma 知，卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点的加速度，D 项错误．【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的对接和变轨问题判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路：(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断． (2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小．(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析．(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a ＝Fm ＝G M r2判断． 二、双星问题1．如图3所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”．图32．双星问题的特点(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度相同．(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1＋r 2＝L .3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2.例2 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图4所示．已知双星的质量分别为m 1和m 2，它们之间的距离为L ，求双星的运行轨道半径r 1和r 2及运行周期T .图4答案 Lm 2m 1＋m 2 Lm 1m 1＋m 24π2L3G (m 1＋m 2)解析 双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力 对m 1：Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2， 对m 2：Gm 1m 2L2＝m 2r 2ω2，且r 1＋r 2＝L ， 解得r 1＝Lm 2m 1＋m 2，r 2＝Lm 1m 1＋m 2. 由G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2及r 1＝Lm 2m 1＋m 2得周期T ＝4π2L3G (m 1＋m 2).【考点】双星问题 【题点】双星问题针对训练 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常数并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星的( ) A ．质量之积 B ．质量之和 C ．速率之和 D ．各自的自转角速度答案 BC解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gm 1m 2l2＝m 1ω2r 1①Gm 1m 2l2＝m 2ω2r 2② l ＝r 1＋r 2③由①②③式得G (m 1＋m 2)l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得v 1＝ωr 1④ v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算． 质量之积和各自的自转角速度无法求解.1.(卫星的变轨问题)(多选)肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，如图5所示，在距月球表面100 km 的P 点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P 点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km 的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P 点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，则下列说法正确的是( )图5A ．“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长B ．“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长C ．“嫦娥三号”经过P 点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大D ．“嫦娥三号”经过P 点时，在三个轨道上的加速度相等 答案 AD解析 由于“嫦娥三号”在轨道 Ⅰ 上运动的半长轴大于在轨道 Ⅱ 上运动的半径，也大于轨道 Ⅲ 的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为T Ⅰ＞T Ⅱ＞T Ⅲ，故A 正确，B 错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P 点进行“刹车制动”，所以经过P 点时，在三个轨道上的线速度关系为v Ⅰ＞v Ⅱ＞v Ⅲ，所以C 错误；由于“嫦娥三号”在P 点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D 正确．【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题2．(卫星、飞船的对接问题)如图6所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功．假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )图6A ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案 C解析 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A 错误；同时，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B 错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C 正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D 错误． 3.(双星问题)如图7所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，下列说法中正确的是( )图7A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为25LD ．m 2做圆周运动的半径为25L答案 C解析 设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2 所以可解得r 1＝25L ，r 2＝35Lm 1、m 2运动的线速度分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω，故v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3. 综上所述，选项C 正确． 【考点】双星问题 【题点】双星问题一、选择题考点一卫星的变轨问题1．(多选)如图1所示，航天飞机在完成太空任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的近地点，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图1A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度B．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度答案ABC【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题2．(多选)如图2所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0.飞船在半径为4R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )图2A．飞船在轨道Ⅲ上的运行速率大于g0RB．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率小于在轨道Ⅱ上B处的运行速率C．飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度D．飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝4∶1答案BC解析 由mv 2R ＝mg 0知，v ＝g 0R ，即飞船在轨道Ⅲ上的运行速率等于g 0R ，A 错误．由v ＝GM r知，v Ⅰ<v Ⅲ，而飞船在轨道Ⅱ上的B 点做离心运动，有v ⅡB >v Ⅲ，则有v ⅡB >v Ⅰ，B 正确．由a ＝GMr 2知，飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B 处的向心加速度，C 正确．由T ＝2πr 3GM知，飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比T Ⅰ∶T Ⅲ＝8∶1，D 错误． 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题3．如图3所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M 距地面200 km ，远地点N 距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M 、N 点时的速率分别是v 1和v 2.当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v 3，比较飞船在M 、N 、P 三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )图3A ．v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 3＞a 2B ．v 1＞v 2＞v 3，a 1＞a 2＝a 3C ．v 1＞v 2＝v 3，a 1＞a 2＞a 3D ．v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 2＝a 3 答案 D解析 根据万有引力提供向心力，即GMm r 2＝ma 得：a ＝GMr2，由题图可知r 1＜r 2＝r 3，所以a 1＞a 2＝a 3；当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，所以v 3＞v 2，根据GMm r 2＝mv 2r得：v ＝GMr，又因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，故v 1＞v 3＞v 2.故选D. 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题4．(多选)如图4所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射．卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km 、周期为118 min 的工作轨道Ⅲ，开始对月球进行探测，下列说法正确的是( )图4A ．卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小B ．卫星在轨道Ⅲ上经过P 点的加速度比在轨道Ⅰ上经过P 点的加速度大C ．卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的长D ．卫星在轨道Ⅰ上经过P 点的速度比在轨道Ⅲ上经过P 点的速度大 答案 AD解析 卫星在轨道Ⅲ上的半径大于月球半径，根据G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝GMr，可知卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小，A 正确．卫星在轨道Ⅲ上和在轨道Ⅰ上经过P 点时所受万有引力相等，所以加速度也相等，B 错误．轨道Ⅲ的半径比轨道Ⅰ的半长轴小，根据开普勒第三定律，卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的短，C 错误．卫星从轨道Ⅰ经多次变轨进入轨道Ⅲ，在P 点需依次减速，D 正确． 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题5．(多选)如图5所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )图5A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B ．a 加速可能会追上bC ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等到同一轨道上的cD ．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大 答案 BD解析 因为b 、c 在同一轨道上运行，故其线速度、加速度大小均相等．又由b 、c 轨道半径大于a 轨道半径，由v ＝GMr可知，v b ＝v c ＜v a ，故选项A 错；当a 加速后，会做离心运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与b 所在轨道相切(或相交)，且a 、b 同时来到切(或交)点时，a 就追上了b ，故选项B 正确；当c 加速时，c 受的万有引力F ＜m v c 2r c ，故它将偏离原轨道，做离心运动，当b 减速时，b 受的万有引力F ＞m v b 2r b，它将偏离原轨道，做近心运动，所以无论如何c 也追不上b ，b 也等不到c ，故选项C 错；对a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v ＝GMr可知，r 减小时，v 逐渐增大，故选项D 正确． 考点二 双星问题6．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2之间的距离为r ，已知引力常数为G ，由此可求出S 2的质量为( )A.4π2r 2(r －r 1)GT2B.4π2r 31GT 2C.4π2r3GT 2D.4π2r 2r 1GT2答案 D解析 设S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2，对于S 1有G m 1m 2r 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 1，得m 2＝4π2r 2r 1GT 2.【考点】双星问题 【题点】双星问题7．两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A ．质量大的天体线速度较大 B ．质量小的天体角速度较大 C ．两个天体的向心力大小一定相等 D ．两个天体的向心加速度大小一定相等 答案 C解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B 项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C 项正确，D 项错误；根据牛顿第二定律，有：Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2 其中：r 1＋r 2＝L 故r 1＝m 2m 1＋m 2L r 2＝m 1m 1＋m 2L故v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1故质量大的天体线速度较小，故A 项错误． 【考点】双星问题 【题点】双星问题8．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O 点运动的( ) A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍 答案 A解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相同，B 错误．双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相同，D 错误．根据m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，得r 1r 2＝m 2m 1＝17，A 正确．根据v ＝ωr ，得v 1v 2＝r 1r 2＝17，C 错误． 【考点】双星问题 【题点】双星问题9．(多选)宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起．如图6所示，某双星系统中A 、B 两颗天体绕O 点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比r A ∶r B ＝1∶2，则两颗天体的( )图6A ．质量之比m A ∶mB ＝2∶1 B ．角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶2C ．线速度大小之比v A ∶v B ＝1∶2D ．向心力大小之比F A ∶F B ＝2∶1答案 AC解析 双星都绕O 点做匀速圆周运动，由二者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω.根据牛顿第二定律，对A 星：G m A m B L2＝m A ω2r A ① 对B 星：Gm A m B L2＝m B ω2r B ② 联立①②得m A ∶m B ＝r B ∶r A ＝2∶1.根据双星运行的条件有角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶1，由v ＝ωr 得线速度大小之比v A ∶v B ＝r A ∶r B ＝1∶2，向心力大小之比F A ∶F B ＝1∶1，选项A 、C 正确，B 、D 错误．【考点】双星问题 【题点】双星问题10．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.n 3k 2T B.n 3k T C.n 2kT D.n kT 答案 B解析 如图所示，设两恒星的质量分别为M 1和M 2，轨道半径分别为r 1和r 2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得GM 1M 2r 2＝M 1(2πT )2r 1＝M 2(2πT )2r 2，解得G (M 1＋M 2)r 2＝(2πT )2(r 1＋r 2)，即GMr3＝(2πT)2①当两星的总质量变为原来的k 倍，它们之间的距离变为原来的n 倍时，有GkM (nr )3＝(2πT ′)2② 联立①②两式可得T ′＝n 3kT ，故选项B 正确． 【考点】双星问题 【题点】双星问题 二、非选择题11．(卫星的有关计算)设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图7所示．设轨道舱的质量为m ，月球表面的重力加速度为g ，月球的半径为R ，轨道舱到月球中心的距离为r ，引力常数为G ，试求：图7(1)月球的质量；(2)轨道舱的速度大小和周期．答案 (1)gR 2G (2)Rg r 2πr R rg解析 (1)设月球的质量为M ，则在月球表面GMm ′R 2＝m ′g ， 得月球质量M ＝gR 2G(2)设轨道舱的速度为v ，周期为T ，则G Mm r 2＝m v 2r 得：v ＝R grG Mm r 2＝m 4π2T 2r 得：T ＝2πr Rr g. 12．(变轨问题)中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，A 点距地面的高度为h 1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图8所示．设飞船在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，若已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，求：图8(1)飞船在B 点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速？ (2)飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小． (3)椭圆轨道远地点B 距地面的高度h 2.答案 (1)加速 (2)gR 2(R ＋h 1)2 (3)3gR 2t 24n 2π2－R解析 (2)在地球表面有mg ＝GMm R 2① 根据牛顿第二定律有：GMm(R ＋h 1)2＝ma A ② 由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小为a A ＝gR 2(R ＋h 1)2.(3)飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有G Mm (R ＋h 2)2＝m 4π2T 2(R ＋h 2)③ 由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T ＝tn④由①③④式联立解得h 2＝3gR 2t 24n 2π2－R . 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题。
