数学2-2精选练习题

人教版数学七年级上册第2章2.1 ---2.2基础练习含答案2.1整式一．选择题1．若代数式2x|m|﹣（m+3）x+7是关于x的三次二项式，那么m的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．02．若（a﹣2）x3+x2（b+1）+1是关于x的二次多项式，则a，b的值可以是（）A．0，0B．0，﹣1C．2，0D．2，﹣1 3．下列代数式：0，﹣π，3x﹣2，a，，，，．多项式有（）个．A．4B．3C．2D．14．下列说法正确的是（）A．2x2﹣2x+35是五次三项式B．不是单项式C．的系数是D．﹣22xab2的次数是65．多项式2x5+4xy3﹣5x2﹣1的次数和常数项分别是（）A．5，﹣1B．5，1C．10，﹣1D．4，﹣1 6．关于整式的概念，下列说法正确的是（）A．的系数是B．32x3y的次数是6C．的常数项是D．﹣x2y+xy﹣7是5次三项式7．下列说法中，正确的为（）A．单项式﹣的系数是﹣2，次数是3B．单项式a的系数是0，次数是1C．是二次单项式D．单项式﹣的系数是﹣，次数是38．单项式﹣x2y的系数和次数分别是（）A．﹣1和2B．﹣1和3C．0和2D．0和39．下列说法正确的是（）①的相反数是﹣3；②a3b的次数是3；③多项式﹣5x+6x2﹣1是二次三项式；④﹣6.1是负分数；⑤的系数是﹣．A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列说法正确的是（）A．是单项式B．﹣πx的系数为﹣1C．﹣3是单项式D．﹣27a2b的次数是10二．填空题11．多项式3x2y﹣7x4y2﹣xy4﹣10是次项式．12．把多项式5xy﹣3x3y2﹣8+x2y3按x的降幂排列为．13．单项式﹣8x2y5的系数是，次数是．14．单项式的系数是，多项式xy2﹣2xy﹣1的次数是，二次项是．15．单项式的系数是；次数是．多项式3x2y﹣xy3+5xy﹣1是次多项式．三．解答题16．若关于x，y的多项式3x2﹣nx m y﹣x是一个三次三项式，且最高次项的系数是﹣3，求m ﹣n的值．17．多项式a2x3+ax2﹣4x3+2x2+x+1是关于x的二次三项式，求a2++a的值．18．若关于x、y的多项式（a﹣4）x a y+（4﹣a）x a﹣1y+（2﹣b）xy a﹣2+5a a﹣3y2是一个四次三项式，求a、b的值，并写出此三项式．19．已知关于x．y的多项式（m﹣1）x3y﹣（n+4）x3y n﹣1+6xy﹣2．（1）当m，n满足什么条件时．此多项式是四次三项式？（2）当m，n满足什么条件时．此多项式是三次三项式？参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：由题意得：|m|＝3，且m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：A．2．【解答】解：由题意得：a﹣2＝0，b+1≠0，解得：a＝2，b≠﹣1，故选：C．3．【解答】解：在代数式：0，﹣π，3x﹣2，a，，，，中，多项式有3x﹣2，，共2个；故选：C．4．【解答】解：A、2x2﹣2x+35是二次三项式，原说法错误，故此选项不符合题意；B、不是单项式，原说法正确，故此选项符合题意；C、﹣πxy2的系数是﹣π，原说法错误，故此选项不符合题意；D、﹣22xab2的次数是4，原说法错误，故此选项不符合题意；故选：B．5．【解答】解：多项式2x5+4xy3﹣5x2﹣1的次数和常数项分别是5，﹣1．故选：A．6．【解答】解：A、﹣的系数是﹣；B、32x3y的次数是4；C、﹣的常数项是﹣；D、﹣x2y+xy﹣7是三次三项式；故选：C．7．【解答】解：A、单项式﹣的系数是﹣，次数是3，故原题说法错误；B、单项式a的系数是1，次数是1，故原题说法错误；C、是二次多项式，故原题说法错误；D、单项式﹣的系数是﹣，次数是3，故原题说法正确；故选：D．8．【解答】解：单项式﹣x2y的系数和次数分别是：﹣1，3．故选：B．9．【解答】解：①的相反数是﹣；②a3b的次数是4；③多项式﹣5x+6x2﹣1是二次三项式；④﹣6.1是负分数；⑤的系数是﹣，其中正确的③④，共2个；故选：B．10．【解答】解：A、是多项式，原说法错误，故此选项不符合题意；B、﹣πx的系数为﹣π，原说法错误，故此选项不符合题意；C、﹣3是单项式，原说法正确，故此选项符合题意；D、﹣27a2b的次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意；故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：多项式3x2y﹣7x4y2﹣xy4﹣10是六次四项式；故答案为：六、四．12．【解答】解：多项式5xy﹣3x3y2﹣8+x2y3的各项为5xy，﹣3x3y2，﹣8，x2y3，按x的降幂排列为：﹣3x3y2+x2y3﹣5xy﹣8．故答案为：﹣3x3y2+x2y3﹣5xy﹣8．13．【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣8x2y5的数字因数是﹣8，所有字母的指数和为2+5＝7．故答案为：﹣8，7．14．【解答】解：的系数是﹣，多项式xy2﹣2xy﹣1的次数是3，二次项是﹣2xy；故答案为：﹣，3，﹣2xy．15．【解答】解：单项式的系数是：﹣；次数是：3．多项式3x2y﹣xy3+5xy﹣1是四次多项式．故答案为：﹣，3，四．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：∵关于x，y的多项式3x2﹣nx m y﹣x是一个三次三项式，且最高次项的系数是﹣3，∴m+1＝3，﹣n＝﹣3，解得：n＝3，m＝2，故m﹣n＝2﹣3＝﹣1．17．【解答】解：∵a2x3+ax2﹣4x3+2x2+x+1是关于x的二次多项式，∴，解得：a＝2，∴a2++a＝22++2＝．18．【解答】解：∵关于x、y的多项式（a﹣4）x a y+（4﹣a）x a﹣1y+（2﹣b）xy a﹣2+5a a﹣3y2是一个四次三项式，∴2﹣b＝0，a+1＝4，解得：a＝3，b＝2，∴此三项式为：（a﹣4）x a y+（4﹣a）x a﹣1y+（2﹣b）xy a﹣2+5a a﹣3y2＝﹣x3y+x2y+5y2．19．【解答】解：（1）①依题意得：n﹣1＝1，且m﹣1﹣n﹣4≠0，解得n＝2，m≠7；②依题意得：m﹣1＝0，n﹣1＝1，解得n＝2，m＝1；③依题意得：n+4＝0，且m﹣1≠02.2整式的加减一．选择题1．下列选项中，不是同类项的是（）A．42和π3B．n3和33n3C．3xy和﹣xy D．﹣2x2y和xy2 2．若﹣3a2b x与﹣3a y b是同类项，则y x的值是（）A．1B．2C．3D．43．下列各式中，错误的是（）A．a+b＝b+a B．C．a+（﹣a）＝0D．0+（﹣a）＝04．下列运算中，正确的是（）A．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b B．﹣2（x﹣3y）＝﹣2x+3yC．2（a+b）＝2a+b D．5x2﹣2x2＝3x25．下列运算正确的是（）A．3a+2a＝5a2B．3a﹣a＝3C．2a3+3a2＝5a5D．﹣0.25ab+ab＝06．﹣2x﹣2x合并同类项得（）A．﹣4x2B．﹣4x C．0D．﹣47．化简2a﹣a的结果是（）A．3a B．2a C．a D．﹣a8．下列变形正确的是（）A．﹣（a+2）＝a﹣2B．﹣（2a﹣1）＝﹣2a+1C．﹣a+1＝﹣（a﹣1）D．1﹣a＝﹣（a+1）9．下列各式计算正确的是（）A．m+n＝mn B．2m﹣（﹣3m）＝5mC．3m2﹣m＝2m2D．＝m﹣2n10．如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为7cm，宽为6cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm二．填空题11．已知单项式﹣a n b3与单项式﹣2a2b m﹣2是同类项，则m﹣n＝．12．若x+y＝3，xy＝2，则（x+2）+（y﹣2xy）＝．13．添括号：﹣x﹣1＝﹣（）．14．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：则代数式|a+c|﹣2|a﹣b|+|b﹣c|化简后的结果为．15．若单项式2x2a+b y2与的和是单项式，则a﹣b＝．三．解答题16．化简求值（﹣x2+4x﹣5）﹣2（x2+2x﹣3），其中x＝2．17．先化简，再求值：3（4a2+2a）﹣（2a2+3a﹣5），其中a＝﹣2．18．先化简，再求值：2ab2﹣[a3b+2（ab2﹣a3b）]﹣5a3b，其中a＝﹣2，b＝．19．数学老师给出这样一个题目：□﹣2×△＝﹣x2+2x．（1）若“□”与“△”相等，求“△”（用含有x的代数式表示）（2）若“□”为﹣3x2﹣2x+6，当x＝1时，请你求出“△”的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：A．42和π3都是数字，是同类项；B．n3和33n3所含字母相同且相同字母指数相同，是同类项；C．3xy和﹣xy所含字母相同且相同字母指数相同，是同类项；D．2x2y和xy2所含字母相同，但相同字母指数不相同，不是同类项；故选：D．2．【解答】解：∵﹣3a2b x与﹣3a y b是同类项，∴x＝1，y＝2，∴y x＝21＝2．故选：B．3．【解答】解：A、a+b＝b+a，正确，不合题意；B、，正确，不合题意；C、a+（﹣a）＝0，正确，不合题意；D、0+（﹣a）＝﹣a，原式计算错误，符合题意．故选：D．4．【解答】解：A、﹣（a﹣b）＝﹣a+b，故此选项错误；B、﹣2（x﹣3y）＝﹣2x+6y，故此选项错误；C、2（a+b）＝2a+2b，故此选项错误；D、5x2﹣2x2＝3x2，正确．故选：D．5．【解答】解：A.2a+3a＝5a，故本选项不合题意；B.3a﹣a＝2a，故本选项不合题意；C.2a3与3a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；D．﹣0.25ab+ab＝0，故本选项符合题意．故选：D．6．【解答】解：﹣2x﹣2x＝（﹣2﹣2）x＝﹣4x．故选：B．7．【解答】解：2a﹣a＝（2﹣1）a＝a．故选：C．8．【解答】解：A、原式＝﹣a﹣2，故本选项变形错误．B、原式＝﹣a+，故本选项变形错误．C、原式＝﹣（a﹣1），故本选项变形正确．D、原式＝﹣（a﹣1），故本选项变形错误．故选：C．9．【解答】解：A、m+n，不是同类项，无法合并，故此选项错误；B、2m﹣（﹣3m）＝5m，正确；C、3m2﹣m，不是同类项，无法合并，故此选项错误；D、＝m，故此选项错误；故选：B．10．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm（x＞y），则根据题意得：3y+x＝7，阴影部分周长和为：2（6﹣3y+6﹣x）+2×7＝12+2（﹣3y﹣x）+12+14＝38+2×（﹣7）＝24（cm）故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：∵单项式﹣a n b3与单项式﹣2a2b m﹣2是同类项，∴n＝2，m﹣2＝3，解得：m＝5，∴m﹣n＝5﹣2＝3，故答案为：3．12．【解答】解：（x+2）+（y﹣2xy）＝x+y﹣2xy+2∵x+y＝3，xy＝2，∴原式＝3﹣4+2＝1．故答案为：1．13．【解答】解：﹣x﹣1＝﹣（x+1）．故答案为：x+1．14．【解答】解：根据数轴得a＜b＜0＜c且|a|＞|b|＞|c|，则a+c＜0，a﹣b＜0，b﹣c＜0，则|a+c|﹣2|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a+c）+2（a﹣b）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣c+2a﹣2b﹣b+c＝a﹣3b．故答案为：a﹣3b．15．【解答】解：由题意得：，解得：，则a﹣b＝0，故答案为：0．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：原式＝﹣x2+4x﹣5﹣2x2﹣4x+6＝﹣3x2+1，当x＝2时，原式＝﹣3×22+1＝﹣12+1＝﹣11．17．【解答】解：原式＝12a2+6a﹣2a2﹣3a+5＝10a2+3a+5．当a＝﹣2时，原式＝10×（﹣2）2+3×（﹣2）+5＝40﹣6+5＝39．18．【解答】解：2ab2﹣[a3b+2（ab2﹣a3b）]﹣5a3b＝2ab2﹣a3b﹣2（ab2﹣a3b）﹣5a3b＝2ab2﹣a3b﹣2ab2+a3b﹣5a3b＝﹣5a3b，当a＝﹣2，b＝时，原式＝﹣5×（﹣2）3×＝8．19．【解答】解：（1）由题意得：□﹣2×△＝﹣x2+2x，∴﹣△＝﹣x2+2x，∴△＝x2﹣2x。

④“ x > 2 ”是“ 1 4．由直线 x = 12 D ． 15B ． 2 ln 2高中数学选修2-1、2-2 综合试题班级-------------姓名-----------得分-----------一、 选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．复数 z 的虚部记作 Im （z ），若 z= 5 1 + 2i，则 Im （ z ）=（ ）A ．2B ． 2iC ．－2D ．－2i2．考察以下列命题：①命题“ lg x = 0, 则x=1 ”的否命题为“若 lg x ≠ 0, 则x ≠ 1 ”②若“ p ∧ q ”为假命题，则 p 、q 均为假命题③命题 p ： ∃x ∈ R ，使得 s in x > 1 ；则 ⌝p ： ∀x ∈ R ，均有 sin x ≤ 11< ”的充分不必要条件x 2则真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．43.在平行六面体 ABCD - A B C D 中， M 为 A C 与 B D 的交点。

1 1 111 111若 AB = a ， AD = b ， AA = c 则与 BM 相等的向量是（）11 1 1 1A ． - a + b + cB ． a + b + c2 2 2 2A1DD1 C1 MB1 C1 1 1 1C ． - a - b + cD ． a - b + c2 2 2 2A B1 , x = 2, 曲线 y = - 及轴所围图形的面积为 （ ）2 xA ．- 2ln 2 C ． 1 ln 2 45．已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上有一点 M （4，y ），它到焦点 F 的距离为 5，则 ∆OFM 的面积（O 为原点）为（）A ．1B ．2C ． 2D ． 2 26．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：…①②③7．在正三棱柱ABC-A B C中，若AB=2B B，则AB与C B所成角的大小为（）②实数a,b,有(a+b)2=a2+2ab+b2;类比向量a,b,有(a+b)2=a+2a⋅b+b按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n+2B．6n-2C．8n+2D．8n-2111111A．60°B．75°C．105°D．90°8．给出下面四个类比结论（）①实数a,b,若ab=0则a=0或b=0；类比向量a,b,若a⋅b=0，则a=0或b=022③向量a，有a2=a2；类比复数z，有z2=z2④实数a,b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z，z有z2+z2=0，则212z=z=012其中类比结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．39．已知抛物线＝2px（p>1）的焦点F恰为双曲线（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为()A．2B．2C．2+1D．2+210．设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C二、填空题（每小题5分，共20分。

西师大版小学数学二年级下册重点练习试题一、万以内数的认识例1：（ )个一是一百，( )个十是一千，( )个百是一万，( )个一是一千，( )个十是一万。

分析：此题属于进率的问题，首先要弄清它们之间相隔几个计数单位，再根据相邻计数单位之间进率都是10来推算即可；根据题意可知：一到百，中间隔了一个计数单位，我们可以根据相邻计数单位之间的进率都是10来推算:10个一是十，20个一是二十…… 90个一是九十，100个一是一百；同样的道理，十到千，10个十是一百，20个十是二百……90个十是九百，100个十是一千；百到万，10个百是一千，20个百是二千…… 90个百是九千，100个百是一万。

所以两个计数单位之间隔了一个计数单位，进率是100。

一到千，中间隔了两个单位，通过拨计数器上的珠子我们可以知道进率是1000，所以1000个一是1000，1000个十是一万。

解答：100, 100, 100, 1000, 1000例2：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大，如果把这两个数字交换位置，所得的数的和原数相加等于110，猜一猜，这个两位数是多少？分析：由题意可知：一个两位数，我们可以将这个两位数记成ab,把这两个数字交换位置，所得的数我们称为新两位数是ba,把原来的两位数和新两位数相加，列竖式就可以看出a加b等于10.ab＋ ba110解答：两个数相加得十的数有：9和1,8和2,7和3,6和4,5和5。

因为十位上的数字比个位上的数字大，所以这个两位数是91,82,73,64.例3：在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数，分别是哪几个数？分析：此题关键明白在算盘上一粒珠子在上档表示5，在下档则表示1，同时需注意要表示的是三位数，以免出错。

根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成3类：第1类：两粒珠子都在上档，可以组成505，550；第2类：两粒珠子都在下档，可以组成101，110，200；第3类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成510，501，150，105，600。

初中数学代数式求值精选练习题及答案1、已知3a-b+2c=7,5a+4b-3c=6，求代数式a+11b-12c的值；2、已知2m6+ m4= 3，求m的值；3、已知x2 −3x−27=0，求代数式1（x+4）2+（x+4）2的值；4、已知x，y，z为正数，且xy=28，yz=48，xz=84，求代数式x+2y+3z值；5、已知a= 2b−3，求代数式6ab+3a（2-3b）+3a+7的值；6、已知m a=2，m a+b=14，求代数式√m a + m b的值；7、已知x，y，z为整数，若x+y+z=3，x2+ y2+z2=5，求代数式x3+y3+ z3-10的值；8、已知m2-n2=12，（m+n）2= 16，求代数式8mn+9的值；9、已知x=√2+√3，求代数式x2−2√3x-4的值；10、已知m +n =-5，求代数式m2- 10n- n2的值。

参考答案1、已知3a-b+2c=7,5a+4b-3c=6，求代数式a+11b-12c的值；解：已知3a-b+2c=7将上式变换一下，得b=3a+2c-7---------------①将①代入5a+4b-3c=6，得5a+4（3a+2c-7）-3c =6整理，得17a+5c=34---------------②代数式a+11b-12c将①代入=a+11（3a+2c-7）-12c=34a+10c-77=2（17a+5c）-77将②代入=2×34-77=-92、已知2m6+ m4= 3，求m的值；解：2m6+ m4= 32（m2）3+ （m2）2= 3令m2=t，原式则为2t3 + t2 =32t3 + t2 -3 =02t3 + t2 -2-1 =0（2t3 - 2）+（t2 -1）=02（t3 -1）+（t2 -1）=02（t-1）（t2 +t+1）+（t+1）（t-1）=0 （t-1）〔2（t2 +t+1）+（t+1）〕=0（t-1）（2t2 +3t+3）=0因为2t2 +3t+3 =2（t+34）2+ 158>0所以2t2 +3t+3≠0故：只有t-1=0即t=1又m2=t所以m2=1，得m=±1故：m的值为±13、已知x2 −3x−27=0，求代数式1（x+4）2+（x+4）2解：x2 −3x−27=0x2 −3x−27−1= -1x2 −3x−28= -1（x+4）（x-7）= -1等号两边同时除以（x+4），得X -7= −1x+4等号两边同时乘以-1，得7-x = 1x+4-----------------①代数式1（x+4）2+（x+4）2=（1x+4）2+2×1x+4×（x+4）+（x+4）2-2=〔1x+4+（x+4）〕2-2将①带入，用7-x替换1x+4=〔（7−x）+（x+4）〕2-2 =（11）2-2=1094、已知x，y，z为正数，且xy=28，yz=48，xz=84，求代数式x+2y+3z值；解：xy=28-------------------①yz=48-------------------②xz=84-------------------③三个等式相乘，得（xyz）2= 28*48*84=（4*7）*（4*12）*（7*12）（xyz）2=（4∗7∗12）2因为x，y，z为正数所以xyz =4∗7∗12 -----④④÷①，得：z=12④÷②，得：x=7④÷③，得：y=4代数式x+2y+3z将x=7，y=4，z=12代入=7+2*4+3*12=515、已知a= 2b−3，求代数式6ab+3a（2-3b）+3a+7的值；解：a= 2b−3等式两边同时乘以b-3，得ab-3a=2上式变换一下，得ab=3a+2--------------①代数式6ab+3a（2-3b）+3a+7=6ab+6a-9ab+3a+7=-3ab+9a+7将①代入=-3（3a+2）+9a+7=-9a-6+9a+7=16、已知m a=2，m a+b=14，求代数式√m a + m b的值；解：m a+b=14m a×m b=14已知m a=2--------------①即：2 ×m b=14m b= 7-------------②代数式√m a + m b将①②代入=√2+7=37、已知x，y，z为整数，若x+y+z=3，x2+ y2+z2=5，求代数式x3+y3+ z3-10的值；解：因为x，y，z为整数且x2+ y2+z2=5若其中一个数为±3，它的平方为9，显然大于5所以：x，y，z只能取±2，±1, 0 -------------------①（A）设x= -2，因为x+y+z=3，所以y+z=5，这时y或z必定有一个取±3或±4或±5，不符合①，所以舍去；（B）设x= 2因为x+y+z=3，所以y+z=1即：y=1-z--------------------------②又x2+ y2+z2=5，所以y2+z2=1-------③将②代入③（1−z）2+z2=12z2-2z=0解得：z=0，或z=1对应的y=1或0整理得：{x=2y=0x=1或{x=2y=1z=0求代数式（x3+y3+ z3）-10=（23+03+ 13）-10=-1（C）设x= -1因为x+y+z=3，所以y+z=4，因为x，y，z只能取±2，±1, 0所以，这时只能是：y=z=2整理得：{x=−1 y=2 x=2求代数式（x3+y3+ z3）-10=（−13+23+ 23）-10=5（D）设x= 1因为x+y+z=3，所以y+z=2，即y=2- z又x2+ y2+z2=5，所以y2+z2=4将y=2- z代入（2−z）2+z2=4化简，得2z2-4z=0解得：z=0，或z=2对应y=2或y=0整理得：{x=1y=0x=2或{x=1y=2z=0求代数式（x3+y3+ z3）-10=（13+23+ 03）-10= -1（E）设x= 0因为x+y+z=3，所以y+z=3，即y=3- z又x2+ y2+z2=5，所以y2+z2=5将y=3- z代入（3−z）2+z2=5化简，得2z2-6z+4=0，即z2-3z+2=0即（z-2）（z-1）=0解得：z=2或z=1对应：y=1或y=2整理得：{x=0y=2x=1或{x=0y=1z=2求代数式（x3+y3+ z3）-10=（03+23+ 13）-10= -18、已知m2-n2=12，（m+n）2= 16，求代数式8mn+9的值；解：m2-n2=12（m +n）（m -n）=12两边同时平方，得（m + n）2（m−n）2=144将（m+n）2= 16代入16*（m−n）2=144（m−n）2=9等号左边展开：m2-2mn + n2=9------------①又（m+n）2= 16等号左边展开：m2+2mn + n2=16-----------②②-①，得4mn=7代数式8mn+9=2*4mn+9=2*7+9=239、已知x=√2+√3，求代数式x2−2√3x-4的值；解：x=√2+√3x= √2−√3（√2+√3）（√2−√3）= √2−√32−3=√2−√3−1=√3-√2--------------①x2 = （√3 − √2）2 =3+2-2√6=5-2√6---------------------②代数式x2−2√3x−4将①②代入=（5-2√6）-2√3（√3-√2）+4=5-2√6-6+2√6+4=310、已知m +n =-5，求代数式m2- 10n- n2的值。

二年级数学下册精选拓展练习题，孩子提高成绩必练，赶紧收藏二年级数学拓展题1、二（1）班有49个同学，二（2）班有男生25个男生， 26个女生。

二（2）比二（1）班多几个同学？2、商店运来50千克白糖，第一天卖掉15千克，第二天比第一天多卖掉5千克。

商店现在还有多少千克白糖？3、一桶油连桶共重15千克，吃了一半后，连桶共重8千克。

吃掉了多少千克油？原来满桶的油重多少千克？4、小刚用50张纸订草稿本，每9张订1本，要订6本，还缺几张纸？5、把10张纸片可以平均分成几份，有几种分法？6、把12根火柴平均分成几份，有几种分法？7、( )里应该填几？▲＋▲＋▲=▲×□□＋○=18○÷▲=3▲=( )8、▲÷▲=□▲-▲=○□＋○=( )9、二（2）班有30个同学去野外植树，他们每5人一组，每组植4棵。

二(2)班这次一共植了多少棵树？10、在33个苹果中拿走多少个，可以使余下的苹果能平均放在5个盘子里？11、有一串珠子按2颗白色，5颗红色的顺序串起来，你能猜出第29颗珠子是什么颜色吗？12、在一根绳子上挂彩旗。

按4面红旗、4面黄旗的顺序挂起来。

那么，第30面彩旗是什么颜色的？13、河边有一群白羊和黑羊，把白羊赶走一半后，剩下的白羊植树是黑羊的3倍。

原来白羊的只数是黑羊的几倍？14、7名队员一共种了30棵树，除了组长王刚多种了2棵树外，其余同学种的棵树同样多。

其余同学每人种了几棵？王刚呢？15、小朋友排队，第一队有8个小朋友，第二队有14个小朋友。

要使两队的人数星等，应该怎样做？16、王奶奶拿1千克重的纸箱买枣，买满一箱枣共重11千克，现在王奶奶要把买来的枣分给李阿姨一半，王奶奶应该分给李阿姨几千克？17、有一个四位数，最高位数字是1 ，十位上的数字是最大的一位数，并且任意相邻三个数的和都是15 。

这个四位数是( )18、由2、0、4、7组成的最大的四位数，最小的四位数是( )19、你能按要求用两个6、两个0 组成符合下列要求的四位数吗？一个0也不读的是( )；只读一个0的是( )。

目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

高二数学选修2-2、2-3期末检测试题命题：伊宏斌 命题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．过函数x y sin =图象上点O （0，0），作切线，则切线方程为 （ ） A ．x y = B ．0=y C ．1+=x y D ．1+-=x y 2．设()121222104321x a x a x a a x x x ++++=+++ ,则=0a ( )A ．256B ．0C ．1-D ．1 3．定义运算a cad bc b d=-，则ii 12(i 是虚数单位)为 ( ) A ．3 B ．3- C ．12-i D ．22+i4．任何进制数均可转换为十进制数,如八进制()8507413转换成十进制数，是这样转换的：()1676913818487808550741323458=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,十六进制数1444706165164163162)6,5,4,3,2(23416=+⨯+⨯+⨯+⨯=,那么将二进制数()21101转换成十进制数，这个十进制数是 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．155．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n 条直线把平面分为)(n f 部分，则2)1(1)(++=n n n f 。

”在证明第二步归纳递推的过程中，用到)()1(k f k f =++ 。

( ) A ．1-k B ．k C ．1+k D ．2)1(+k k6.记函数)()2(x fy =表示对函数)(x f y =连续两次求导,即先对)(x f y =求导得)('x f y =,再对)('x f y =求导得)()2(x fy =,下列函数中满足)()()2(x f x f=的是（ ）7．甲、乙速度v 与时间t 的关系如下图，)(b a 是b t =时的加速度，)(b S 是从0=t 到b t =的路程，则)(b a 甲与)(b a 乙，)(b S 甲与)(b S 乙的大小关系是 ( )A ．)()(b a b a 乙甲>，)()(b S b S 乙甲>B ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<C ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲>D ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲< 8．如图，蚂蚁从A 沿着长方体的棱以 的方向行走至B ，不同的行走路线有( )A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条9、等比数列{a }n 中，120143,9a a ==，122014(x)(x a )(x a )....(x )f x a =---，'(x)f 为函数(x)f 的导函数，则'(0)f =（ ）A 0B 10073C 20163D 3021310.设{}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=M ，由M 到M 上的一一映射中，有7个数字和自身对应的映射个数是 ( )A .120B .240C .710 D .360B第8题图第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题（本大题4个小题，每小题5分，共25分） 11（15）如果5025001250(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，那么1349a a a +++= ．12．设复数z 满足条件1z =，那么z i +取最大值时的复数z 为 ． 13．已知数列{}a n 为等差数列，则有，02321=+-a a a 0334321=-+-a a a aa a a a a 123454640-+-+=类似上三行,第四行的结论为__________________________。

第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9） 函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=.车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-； （6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、3213()34r V Vπ'=. 4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x x y x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. 4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：注：图象形状不唯一.因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++.下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，（第3题）矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x xπ'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<. 令845()0c ac bc L x xb b +'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此04π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n l l n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm n ξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..。