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曲面形态连续介质有限变形理论—变形梯度及其基本性质

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连续介质力学第四章

连续介质力学第四章
T
0 0
（ 4.47）
如果对变形梯度进行极分解:
0
F R U
，并且取 Q
0
R
T
,则
T
X , t ) h { { X ; F ( X , )} } R ( X , t ) h { { X ; U ( X , )} } R ( X , t ) （
（ 4.48）
为一常数
客观性原理认为,材料的本构关系不应该随观测者的改变而改变,即 在时空变换(4.2)式下,本构关系的形式是不变的,且本构关系中的张量应 该是客观性张量。
Network Optimization Expert Team
三、张量的客观性 1、客观性张量的定义
由(4.2)式,我们假定在参考时刻 t 0 ,有 Q ( t 0 ) I ,则根据(2.27)我们得到满 足如下的变形梯度的关系式
Network Optimization Expert Team
6、客观性原理
* * 现在考虑满足以下变换关系的两个时空系{ x , t }和 { x , t }
*
x
Q ( t ) x c ( t ), t
*
t a
( 4 .2 )
其中 Q ( t ) 为正交张量,
c ( t )为一向量, a
F Q (t ) F
*
( 4 .5 )
* * *
由极分解定理, F R U V R 和 F R U
U
*
V R
*
*
得
U , R Q R ,V
*
*
Q V Q
T
( 4 .6 )
同样的,根据(2.68)我们可以得到物质导数如下

第二章 连续介质塑性理论

第二章 连续介质塑性理论

ij ji
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z yz z Z 0 xz x y z
应力莫尔圆：
( x '
x y
2
)2 x ' y '2 (
x y
2
) 2 xy 2
（3）几何方程与小应变张量 ● 几何方程 小变形时的应变张量柯西（Cauchy）应变张量，位移与应变的关系称为几何方程
ε 1 ( u u ) 2
ij (ui , j u j ,i )
第二章 连续介质塑性理论
§2.1 预备知识
物体在外力作用下，会发生形状和尺寸的改变，称为变形。 弹性变形：外力除去后能恢复原状的变形 塑性变形：外力除去后不能恢复原状的变形
§2.1.1 单轴拉伸变形抗力曲线
（1）工程应力-应变曲线
工程应力（名义应力、条件应力）：试件所受载荷除以试件的原始截面积
P / A0
1 1
ij 应变速率：
1 i , j u j ,i ) (u 2
§2.1.3 不可压缩条件及等效应力、等效塑性应变
（1）不可压缩条件（Incompressibility condition）
d p ii 0
p ii 0 或
【例】 长方体塑性均匀变形 （2）等效应力（Effective stress）、应力强度
'ij sij ij m ij
3 应力偏量的特征方程： det[ 'ij ' ij ] ' J 2 ' J 3 0

微分几何与曲面的性质与变换

微分几何与曲面的性质与变换

微分几何与曲面的性质与变换微分几何是数学中的一个分支，主要研究曲线和曲面的性质以及它们在空间中的变换。

通过微分几何的研究，我们能够深入了解曲面的形态、曲率以及它们的变换规律。

本文将重点探讨微分几何与曲面的性质与变换。

1. 曲面的定义与性质曲面是由平面来包裹而成的几何对象。

在微分几何中，我们主要关注的是二维曲面，即可以用二维投影来表示的曲面。

曲面可以通过参数方程来定义，例如常见的球面、圆柱面和锥面等。

曲面上的点可以由参数方程中的参数表示。

曲面的性质包括曲面的形状、曲率和法线等。

曲面的形状可以通过曲面的方程或参数方程来描述，例如曲面的曲率半径描述了曲面在某一点的局部弯曲程度。

曲面上每一点都有一个法线向量，它垂直于曲面，在计算曲面的性质时，法线的方向和长度起着重要的作用。

2. 第一基本形式微分几何中引入了第一基本形式的概念，用来刻画曲面上的测量性质。

第一基本形式是曲面上的度量，它由曲面的内部点之间的距离关系推导而来。

第一基本形式包含了曲面上的切线、曲率和曲面间的距离等信息。

通过第一基本形式，我们可以计算曲面上的曲率、曲面上两点之间的距离以及曲面上的长度等。

3. 曲面的变换微分几何中，曲面的变换是一个重要的研究对象。

曲面的变换包括刚体变换和仿射变换。

刚体变换是指在平移、旋转和缩放等约束下，可以保持曲面的形状和曲面上的相对距离不变。

仿射变换是指将曲面映射到另一个曲面，保持曲面上所有的直线和比例关系不变。

曲面的变换对于研究曲面的性质和形态有重要的意义。

通过变换，我们可以将一个曲面变形为另一个曲面，从而研究曲面的不同形态和性质。

变换还可以用于曲面的拓扑研究，通过变换可以判断两个曲面是否同胚，即是否存在一一对应的关系。

在计算机图形学和计算机视觉等领域中，曲面的变换是一个重要的研究内容。

通过曲面的变换，我们可以实现曲面的形变、变形以及场景中不同曲面之间的相互作用等效果。

微分几何与曲面的性质与变换之间有着密切的联系。

第三章 大变形运动学与连续介质力学(1)

第三章 大变形运动学与连续介质力学(1)

从而有
dx ( I H ) dX ，
dxi ( iJ H iJ )dX J
dX ( I h) dx ，
dX I ( jI hIj )dx j
（2）参考构形体元与现时构形体元之间的变换
dx
dx '
dx ''
x dX X
x dX ' X
x dX '' X
第三章 大变形运动学与连续介质力学
小变形： 包括弹性或塑性小变形，应变 ~ 0.1% Cauchy应变与位移是线性关系——几何线性问题 大变形（有限变形） ：
ij (ui , j u j ,i )
1 2
应变大，有时达到 100~ 200%，甚至更大 Cauchy应变不再适用——几何非线性问题，需要建立新的变形描述理论 通常由纯变形（stretch），刚体转动（rigid body rotation）及刚体位移 （ translation）组成
ˆ ˆi E 通常取两个完全重合的直角坐标系： e I
则下标可不区分大小写
参考构形中的质点P，或质点X（XJ） 微小线元PQ记作向量dX
经过运动与变形后，在t 时刻： 构形C变为构形c 质点XJ（质点P）运动到p，位移为u p的空间坐标为x（xi） 线元PQ变为pq ， dX变为dx
质点X（XJ）的运动： x x ( X , t ) ， xi xi ( X J , t ) x X u ， xi iJ X J ui
小变形Cauchy应变 ： ij (ui , j u j ,i ) 2 11 22 cos 1 若 90 ，则 11 22 1 刚体转动任意一点的应变都是0。 只有当 0 时应变公式才有足够的精度 Cauchy应变不适用于大变形

曲面论的概念

曲面论的概念

曲面论的概念曲面论是微分几何学的一个分支，研究的对象是曲面及其在空间中的性质和变化。

曲面是三维空间中的一个二维物体，可以用参数方程或隐函数方程来描述。

曲面论的核心思想是通过微分几何工具来研究曲面的几何性质和变化规律。

首先，我们来看曲面的定义。

对于一个三维空间中的点P，如果存在一个邻域使得这个邻域内的点可以由两个独立的参数u和v来唯一确定，则这个邻域就构成了一个曲面。

曲面可以用参数方程表示为：\[\begin{cases}x = x(u,v) \\y = y(u,v) \\z = z(u,v)\end{cases}\]或者用隐函数方程表示为F(x,y,z)=0。

曲面论主要研究的内容可以分为以下几个方面：1. 曲面的基本性质：曲面论研究曲面的局部性质，例如曲面上的切向量、法向量、曲率等。

曲面上每一点都有一个与之相切的平面，称为切平面。

曲面的法向量是垂直于切平面的向量，它可以用曲面的参数方程来表示。

2. 第一基本形式：第一基本形式是曲面的内禀度量，描述了曲面上切向量的内积。

它反映了曲面的长度、角度、曲线弯曲等性质。

第一基本形式可以通过曲面的参数方程来计算。

3. 第二基本形式：第二基本形式是曲面对于切平面的曲率性质。

它与曲面的法向量和曲面的法向量的导数相关。

第二基本形式可以用曲面的方程来计算。

4. 高斯曲率和平均曲率：高斯曲率和平均曲率是曲面论中的重要概念。

高斯曲率是曲面上局部形状的量度，描述了曲面的弯曲程度。

平均曲率反映了曲面在某一点的整体弯曲情况。

5. 曲面的变化：曲面论还研究了曲面的变化规律，包括曲面的平移、旋转、放缩等。

这些变化可以通过微分几何的方法来描述和研究。

应用方面，曲面论在计算机图形学、计算机辅助设计、物理学、生物学等领域都有广泛的应用。

在计算机图形学中，曲面论可以用来构造和渲染三维模型。

在计算机辅助设计中，曲面论可以用来建立和分析复杂曲面形状。

在物理学中，曲面论可以用来描述空间中的电磁场、引力场等。

曲面论知识点总结

曲面论知识点总结

曲面论知识点总结曲面是三维空间中的一个特殊的几何概念，它在数学中有着重要的地位。

曲面理论研究曲面的性质、形状以及与其他几何概念之间的关系，广泛应用于物理学、计算机图形学、工程等领域。

本文将就曲面的定义、参数化、曲面的性质等知识点进行总结。

一、曲面的定义曲面是三维空间中的一种二维对象，可以用各种数学方法描述，常见的方法有参数方程和隐式方程。

常见的曲面包括球面、圆柱面、圆锥面等。

曲面的定义可以用数学语言描述为：在三维空间中，一般点(x, y, z)可以用参数形式描述为：P(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中u和v分别表示曲面上的两个参数。

根据参数的不同取值，曲面上的点可以覆盖整个曲面。

二、曲面的参数化曲面的参数化是指用参数的方法来描述曲面上的点。

参数化的目的是将曲面上的点与参数空间中的点建立起一一对应的关系，以方便对曲面上的点进行计算和研究。

不同的曲面可以采取不同的参数化方法，一般来说，可以采用自然参数化、球坐标参数化等方法来描述曲面。

例如，球面可以用球坐标参数化描述为：P(u, v) = (r * sinu * cosv, r * sinu * sinv, r * cosu)，其中u和v分别表示极角和方位角，r表示球的半径。

通过参数化，我们可以方便地对球面上的点进行计算和研究。

三、曲面的性质曲面有许多重要的性质，包括曲率、法线、切平面等。

这些性质可以帮助我们更好地理解曲面的形状和结构，从而在实际问题中应用。

以下就曲面的性质进行详细介绍：1. 曲率：曲率是描述曲面弯曲程度的重要概念，可以分为高斯曲率、平均曲率等多种类型。

曲率的计算可以通过偏微分方程或直接计算曲面上某点的曲率向量而得到。

2. 法线：曲面上的每一点都有一个与曲面垂直的法线，它可以用来描述曲面的方向。

法线在计算机图形学中有着重要的应用，可以用来进行阴影计算、光照计算等。

3. 切平面：曲面上的每一点都有一个切平面，它与曲面在该点的切线垂直。

连续介质力学作业(第二章)习题和答案

连续介质力学作业（第二章）参考答案1、初始构型和当前构型的转换关系：21122X X x +=，21222X X x +=，33X x = 其中()321,,X X X 为一个物质点在初始构型上的坐标，()321,,x x x 为同一个物质点在当前构型上的坐标。

参考基是~3~2~1,,e e e 标准正交基求：（1）变形梯度F（2）右Cauchy-Green 变形张量C （3）Green 变形张量E（4）初始构型上一向量~33~22~11~e X e X e X X ++=，变形后在当前构型上是~x ，证明~~~~X C X x x ••=•和()~~~~~~2X E X X X x x ••=•−•（5）左Cauchy-Green 变形张量b （6）Almansi 变形张量A解答：（1）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛3213211001220221X X X x x x （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=100232022310012202211001220221TTF F C（3）()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−=000041220224121I C E （4）~33~221~121~2222e X e X X e X X x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=[]~~3213212321222123221221~~100023202232223232222XC X X X X X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=• []()~~321321212221~~~~210002120221222121XE X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=•−• （5）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001220221F ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=1000232022310012202211001220221TTF F b（6）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−=−10005.2220225.2211b I A2、一个连续体内的任意一点，初始时刻坐标为()Y X ,，经过t 时刻后，变为()y x ,，其中：atY X x +=，Y y = ，其中a 是常数。

连续介质力学大纲-2010

附件7:大连理工大学研究生课程教学大纲模板连续介质力学（课程名称）ΧΧΧΧ（课程编号）开课院系：工程力学系64学时/4学分任课教师：李锡夔，郭旭英文名称：Continuum Mechanics 开课学期：1课程作用与任务：连续介质力学是近代力学的一个重要分支，它以统一的观点研究模型化为连续介质的物体在外部及其内各部分相互作用下有关运动、变形等的宏观力学行为，是诸多力学课程的理论基础。

连续介质力学的基本框架建立在变形场论的基础之上，张量表示和运算是连续介质力学最基本的数学工具之一。

本课程的主要内容包括：张量理论基础；变形和运动的几何学描述；不同描述下连续介质运动的各种守恒律以及能量平衡方程；宏观连续体的本构理论等。

考虑到作为连续介质力学主要任务之一的初、边值问题求解，本课程特别注意到了与基于连续介质力学理论的有限元等数值方法的衔接，课程中还着重介绍了基于内变量理论以及热力学第二定律构建有限变形下弹塑性材料本构方程的一般理论和方法。

教学对象：博士、硕士(都可以）适合专业：力学、航空、汽车、造船、土木、水利、机械、材料、动力教学主要内容及对学生的要求：1、学习内容：向量和张量基础，变形与运动、应力与应变度量，质量和动量守恒方程和连续介质热动力学，弹塑性本构方程的一般途径2、实验内容：无3、先修知识：理论力学、材料力学、弹塑性力学基础知识考核方式：考试（闭卷）教材名称：主要参考书目：1．Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures, V olume 1: Essentials，(Chapter 4. Basic continuum mechanics.) M.A.Crisfield, Joun Wiley & Sons, 1991.2．Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures, V olume 2: Advanced topics (Chapter 10. More continuum mechanics.) M.A.Crisfield, Joun Wiley & Sons, 1997.3．Non-linear Finite Elements for Continua and Structures(Chapter 3. Continuum mechanics.) T.Belytschko, W.K.Liu, B.Moran, Joun Wiley & Sons, 2001. 4．连续介质力学基础, 黄筑平, 高等教育出版社, 2003.教学内容、教学方式及学时分配：编制人签字：主管研究生副院长（主任）签字：编制时间：。

大变形运动学与连续介质力学


σ
|
F
|1
FSF T
ST | F | (F 1σF T )T | F | F 1σT F T S 第二Piola-Kirchhoff应力张量是对称张量
Lagrange应力与Kirchhoff应力的关系：
Ij SIJ
x j X J X I x j
SIJ Ij
，或
Σ SF T
S
ΣF
T
§3.3.2 应力率
§3.2.4 变形率与应变速率张量
1．速度梯度及其分解
质点 P ' 相对于质点P 的相对速度为：
di
i (x j
xj ,t) i (x j ,t)
i x j
dx j
，
dυ υ dx x
速度梯度张量（Euler速度梯度张量）：
lij
i x j
i, j
，
l υ grad υ x
则 di lijdx j ， dυ ldx
F x βT X
cos sin 0
F sin cos 0
0
0 1
cos sin 0
F 1 sin cos 0
0
0 1
速度梯度：
f F 1 X β F T x
变形率：
旋转张量：
3．应变速率张量
（1）Green应变速率张量
线元长度平方的变化率：
d (ds2 dS 2 ) d (ds2 ) d (dxT dx) d (dxT dx) dυT dx dxT dυ
TJI N J
， T (N ) SN
SIJ 称为克希荷夫（Kirchhoff）应力张量，也叫伪应力张量或第二类皮奥拉克希荷夫（Piola-Kirchhoff）应力张量

微分几何第二章曲面论曲面的概念


VS
高斯曲率
设曲面$S$在点$P$处的两个主曲率分别为 $k_1, k_2$，则称$K = k_1k_2$为曲面在 点$P$处的高斯曲率。高斯曲率是曲面内蕴 几何量的重要代表，反映了曲面在一点处 的弯曲程度。
法截线和法截线族
法截线
设曲面$S$在点$P$处的法向量为 $mathbf{n}$，过点$P$且与法向量 $mathbf{n}$垂直的平面称为法截面。 法截面与曲面交于一条曲线，该曲线 称为法截线。
曲面性质
曲面具有连续性、光滑性、可定向性等性质。其中连续性指 曲面上任意两点都可以用一条连续曲线连接；光滑性指曲面 上任意一点都存在切线平面；可定向性指曲面存在连续的单 位法向量场。
曲面分类与举例
曲面分类
根据曲面的形状和性质，可以将曲面分为闭曲面、开曲面、紧致曲面、非紧致曲面等类 型。
举例
球面、环面、柱面、锥面等都是常见的曲面类型。例如，球面可以表示为 $mathbf{r}(theta, varphi) = (Rcosthetasinvarphi, Rsinthetasinvarphi,
法截线族
过曲面上一点的所有法截线构成的集 合称为该点的法截线族。法截线族在 微分几何中具有重要的研究价值，与 曲面的形状和性质密切相关。
04
曲面局部理论：可 展曲面与极小曲面
可展曲面定义及性质
定义
可展曲面是一类特殊的曲面，它可以在不改 变距离的情况下完全展开到一个平面上。也 就是说，它的高斯曲率为零。
02
第一基本形式与度 量性质
第一基本形式定义及性质
第一基本形式定义
第一基本形式是微分几何中曲面论的基本概念，用于描述曲面上的度量性质。它是一个二次微分形式，记作$I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$，其中$E, F, G$是曲面上的系数函数。
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Σ
变
形
理
∂xi A Σ (ξΣ , t)g i (xΣ , t)∆ξΣ A ∂ξΣ [ i ] [ B ] ∂xΣ A = ( ξ , t ) g ( x , t ) ⊗ G ( x ) · ∆ξΣ GB (xΣ ) Σ Σ i Σ A ∂ξ ] [ ] [ Σ ◦ ◦ . ∂xi A Σ ( ξ , t ) g ( x , t ) ⊗ G ( x ) · Σ ( ξ + ∆ ξ ) − Σ ( ξ ) , = Σ Σ i Σ Σ Σ Σ A ∂ξΣ ∂xi Σ (ξΣ , t)g i (xΣ , t) ⊗ GA (xΣ ) ∈ T 2 (R3 ), A ∂ξΣ
谢锡麟
VΣ
A m ξ Σ = {ξΣ }A=1
◦
DΣ
V xΣ x Σ = xΣ ( ξ Σ , t ) X
m+1
Σ ( xΣ , t 0 ) Xm
xm Σ
m−1 xΣ
m xΣ = { x i Σ }i=1
t
VΣ
Figure 1: 高维曲面理论构型构造示意 1. 计算曲面变形梯度的物质导数, 有
˙ ˙ ∂xi ∂xi ∂xi ˙ A A Σ Σ Σ ˙ ( ξ , t ) g ( x , t ) ⊗ G ( ξ ) = ( ξ , t ) g ⊗ G + (ξ Σ , t)g i (xΣ , t) ⊗ GA , F = Σ Σ i Σ i A A A ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ˙ ∂xi ∂ 2 xi ∂x ˙i Σ Σ ( ξΣ , t) = A Σ (ξ Σ , t) =: (ξΣ , t) = A A ∂ξΣ ∂ξΣ ∂t ∂ξΣ ∂ gi ∂ gi ˙ g i (xΣ , t) = (xΣ , t) + x ˙s (xΣ , t) = Σ ∂t ∂xs Σ 由此, 有
理
行相同而自然为零, 所以有
gs V ·
=
曲面变形梯度的行列式定义为 det F ( i ) √ gΣ ∂xΣ √ (ξ Σ , t). det A ∂ξΣ GΣ
证明 高维曲面理论的构型构造如图1所示, 以下按高维情形进行证明.
讲 稿
Σ Σ
·V.
2
谢
锡 麟
曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质
曲面形态连续介质有限变形理论—变形梯度及其基本性质
谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 21 日
1.1

变形梯度的可微性定义
元之间的线性变换; 按微分学可做如下分析: Σ (ξ Σ + ∆ξΣ , t) − Σ (ξΣ , t) = =
此处
称为介质形态为曲面的连续介质有限变形运动的变形梯度, 或简称为 “曲面变形梯度” . 就曲面有限变形理论, 只有任意张量场沿着曲面上某一曲线的变化率, 就此可定义 “相对于 Euler 坐标的全梯度”, 如对 Φ, 可有 Φ⊗
论
讲 稿
∂Φ (xΣ , t) ⊗ g s . ∂xs Σ 1
与一般情形一致, 变形梯度可以理解为初始物理构型中有向线元同当前物理构型中有向线
∂xi ∂Σ A Σ ( x , t ) (ξ Σ , t)∆ξΣ Σ A ∂xi ∂ξ Σ Σ
谢
1 知识要素
锡 麟
曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 证明 基于置换算子, 相关方阵行列式可表示如下: ] [ ( i ) m ∑ ∂x ∂xΣ ∂x1 Σ · · · σ(Σ (ξΣ , t). det (ξ Σ , t) = sgnσ A σ (1) m) ∂ξΣ ∂ξ ∂ξ σ ∈P
1.3
限
适用于高维曲面理论. 1. 2.
Σ d F = (V ⊗ ) · F , 此处 dt Σ
变
变形梯度的基本性质
性质 1.2 (变形梯度基本性质). 变形梯度具有如下基本性质, 不仅适用于二维曲面理论而且 ∂ (xΣ , t); ∂xs Σ
Σ Σ
形
有
d det F = θ det F , 此处 θ dt
F
限
1.2
基础性引理
有
为研究曲面变形梯度的基本性质, 需要以下引理. 引理 1.1 (变形关系行列式物质导数). ( det ( i ) ˙) ∂xi ∂x ˙s ∂xΣ Σ Σ (ξ Σ , t) = (ξ Σ , t). s (xΣ , t) det A A ∂x ∂ξΣ ∂ξΣ Σ
如不引起混淆, 也可简称为变形梯度.
m
谢锡麟
Σ
Σ
由此, 可有 (
i=1
σ ∈Pm
论
Σ
˙) ∂xi Σ det (ξ Σ , t) A ∂ξΣ ˙1 ˙ m−1 m 1 2 m ∑ ∂x ∂x ∂xΣ ∂x ∂x ∂xΣ (ξ Σ , t) · · · σ(Σ + · · · + σΣ · · · σ(Σ = sgnσ σΣ (1) σ (2) m) (1) m−1) σ (m) ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ σ ∈ Pm ˙i m ∑ 1 m ∑ ∂x ∂x ∂x (ξ Σ , t) = sgnσ σΣ · · · σΣ · · · σ(Σ (1) (i) m) ∂ξ ∂ξ ∂ξ i=1 σ ∈Pm Σ Σ Σ ] [ m 1 i ∑ ∑ ∂xΣ ∂x ˙Σ ∂xm Σ = sgnσ · · · σ(i) · · · σ(m) (ξ Σ , t) σ (1) ∂ξ ∂ξΣ ∂ξΣ i=1 σ ∈Pm Σ [ ( ) ] m ∑ s i m ∑ ∂x ∂x1 ∂ x ˙ ∂x Σ Σ Σ = sgnσ (ξ , t) · · · (ξ , t) · · · σ(Σ (ξ , t) s (xΣ , t) σ (1) Σ σ (i) Σ m) Σ ∂x ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ Σ i=1 σ ∈Pm [ ] m ∑ ∑ ∂x ˙i ∂x1 ∂xs ∂xm Σ Σ Σ Σ = (xΣ , t) sgnσ · · · σ(i) · · · σ(m) (ξ Σ , t). σ (1) ∂xs ∂ξ ∂ξ ∂ξ Σ
在上式中, 对 σ 求和的结果为行列式, 故只有当 s = i 时此行列式才非零, 否则此行列式将有两 ( det [ ] ˙) m i 1 i m ∑ ∑ ∂xi ∂ x ˙ ∂x ∂x ∂x Σ Σ Σ (xΣ , t) sgnσ (ξ Σ , t) (ξ Σ , t) = · · · σΣ · · · σ(Σ i A σ (1) (i) m) ∂x ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ Σ i=1 σ ∈Pm ( i ) ∂x ˙s ∂xΣ Σ = (xΣ , t) det (ξ Σ , t). s A ∂xΣ ∂ξΣ