【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测：第8章 第5节 椭圆]

[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：依题意知，2a ＝8，e ＝c a ＝34，∴a ＝4，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7. 又焦点位置不确定，故椭圆的标准方程为 x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1. 答案：B2．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1,2)D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2－k >02k －1>02k －1>2－k ，解得1<k <2.答案：C3．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 3 解析：依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.答案：D4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一个点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2，分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.答案：B5．已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，34 B.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫34，1∪⎝⎛⎭⎫1，43解析：椭圆标准方程为x 2＋y 21m＝1.当m >1时，e 2＝1－1m ∈⎝⎛⎭⎫14，1， 解得m >43；当0<m <1时，e 2＝1m －11m ＝1－m ∈⎝⎛⎭⎫14，1，解得0<m <34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 答案：C6．直线y ＝x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为( )A.－1＋52B.1＋52C.3－52D.12解析：设直线y ＝x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，在第一象限的交点为A ，依题意有，点A 的坐标为(c ，c )，又点A 在椭圆C 上，故有c 2a 2＋c 2b 2＝1，因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＋c 2a 2－c 2＝1，所以c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，又C 是椭圆，所以0<e <1，所以e ＝5－12. 答案：A 二、填空题7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 解析：由△ABF 2的周长＝4a ＝16，得a ＝4，又知离心率为22，即c a ＝22，得c ＝22，所以a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8，∴C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝18．(2014年陕西五校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m与椭圆相交于点A 、B .若△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为E ，如图：由椭圆的定义得△F AB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |；∵|AE |＋|BE |≥|AB |，∴|AB |－|AE |－|BE |≤0， 当AB 过点E 时取等号，∴△F AB 的周长：|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a ， ∴△F AB 的周长的最大值为4a ＝12， ∴a ＝3，∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝23.答案：239．已知点A (0,2)及椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点P ，则|P A |的最大值为________．解析：设P (x 0，y 0)，则－2≤x 0≤2，－1≤y 0≤1，∴|P A |2＝x 20＋(y 0－2)2. ∵x 24＋y 20＝1， ∴|P A |2＝4(1－y 20)＋(y 0－2)2＝－3y 20－4y 0＋8＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋232＋283. ∵－1≤y 0≤1，而－1<－23<1，∴当y 0＝－23时，|P A |2max ＝283， 即|P A |max ＝2213. 答案：2213三、解答题10．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2.当a ＝2b 时，求椭圆方程．解析：∵a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，∴c 2＝3b 2， 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝12b 2， 由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4b ， (|PF 1|＋|PF 2|)2＝12b 2＋4＝16b 2， 从而得b 2＝1，a 2＝4， ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.11．(2013年高考陕西卷)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．解析：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝ 2(x －1)2＋y 2， 化简得x 24＋y 23＝1.所以动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)解法一 由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．如图 将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1，得，(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0.其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0. 由根与系数关系得x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.②又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2>32， 解得k ＝－32或k ＝32，所以直线m 的斜率为－32或32.解法二 由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点，∴x 1＝x 22， ① y 1＝3＋y 22. ②又x 214＋y 213＝1， ③ x 224＋y 223＝1， ④ 联立①②③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)． ∴直线m 的斜率为－32或32.12．(能力提升)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过A与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且2F 1F 2→＋F 2Q →＝0.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，过右焦点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，点P (4,0)，求△PMN 面积的最大值．解析：(1)设Q (x 0,0)．∵F 2(c,0)，A (0，b )，则F 2A →＝(－c ，b )， AQ →＝(x 0，－b )，又F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0， 故x 0＝－b 2c ，又2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，∴F 1为F 2Q 的中点，故－2c ＝－b 2c ＋c ，即b 2＝3c 2＝a 2－c 2，∴e ＝c a ＝12.(2)∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，b ＝3c ，则F 2(c,0)，Q (－3c,0)，A (0，3c )． ∴△AQF 2的外接圆圆心为(－c,0)，半径 r ＝12|F 2Q |＝2c ＝a . ∴|－c －3|2＝2c ，解得c ＝1，∴a ＝2，b ＝3， 椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(3)设直线MN 的方程为：x ＝my ＋1，代入x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝43·3m 2＋33m 2＋4.∴S △PMN ＝12|PF 2|·|y 1－y 2|＝63·3m 2＋33m 2＋4，令3m 2＋3＝λ≥ 3，∴S △PMN ＝63λλ2＋1＝63λ＋1λ≤ 633＋13＝92，9∴△PMN面积的最大值为2，此时m＝0.。

2009~2013年高考真题备选题库 第8章 平面解析几何第5节 椭圆考点一 椭圆的定义、标准方程1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力．运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y ，由根与系数的关系得到a ，b 之间的关系，并由a ，b ，c 之间的关系确定椭圆方程．因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，选择D.答案：D2．（2013广东，5分）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：D3．（2013天津，13分）设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若·＋·＝8，求k 的值．解：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查考生的运算求解能力以及运用方程思想解决问题的能力．(1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)所以·＋·＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.4．（2012山东，5分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1解析：因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25 b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为(25b ，25b )，所以四边形的面积为4×25 b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.答案：D5．（2011浙江，5分）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2， ∴sin ∠COx ＝25， cos ∠COx ＝15， 则C 的坐标为(a35，2a 35)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∴a 2＝11b 2.∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案：C6．（2011新课标全国，5分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为____．解析：根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝17．（2012陕西，13分）已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，＝2，求直线AB 的方程． 解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由＝2及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2， 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2， 又由＝2，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由＝2及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，由＝2，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2， 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .8．(2010天津，12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且·＝4，求y 0的值．解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2得a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)，设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1. 由方程组消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k 1＋4k 2. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2)． 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴， 于是＝(－2，－y 0)，＝(2，－y 0)． 由·＝4，得y 0＝±2 2.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线的方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k (x ＋8k 21＋4k 2)．令x ＝0，解得y 0＝－6k1＋4k 2. 由＝(－2，－y 0)，＝(x 1，y 1－y 0)，·＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2(2－8k 2)1＋4k 2＋6k 1＋4k 2(4k 1＋4k 2＋6k1＋4k 2) ＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147， 所以y 0＝±2145.综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.考点二 椭圆的简单几何性质1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：D2．（2013辽宁，5分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解析：本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF |＝6，所以2a ＝6＋8＝14，又2c ＝10，所以e ＝1014＝57.答案：B3．（2013四川，5分）从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝⎛⎭⎫－c ，b2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：C4．（2012新课标全国，5分）设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2(32a －c )＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34.答案：C5．（2011浙江，4分）设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若＝5，则点A 的坐标是________．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得＝(m ＋2，n )，＝(c －2，d )．∵＝5，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴c 23＋d 2＝1，(m ＋625)23＋(n 5)2＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)6．(2011辽宁，12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，＝2.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －c )，x 2a 2＋y 2b 2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.因为＝2，所以－y 1＝2y 2. 即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a . 所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5.椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。

第五节 椭 圆[全盘巩固]1．已知椭圆x2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为 ( )A.3－12B.5－12C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，又因为e >0，故所求的椭圆的离心率为5－12.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13C.12D.33解析：选D 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1， 因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.所以e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.3．(2014·某某模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.4．(2014·某某模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能解析：选A 因为椭圆的离心率e ＝12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，b ＝a 2－c 2＝4c 2－c 2＝3c ，因此方程ax 2＋bx －c ＝0可化为2cx 2＋3cx －c ＝0又c ≠0，∴2x 2＋3x －1＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2，即点(x 1，x 2)在x 2＋y 2＝2内．5．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72B.32C. 3 D ．4 解析：选A 因为椭圆x 24＋y 2＝1的一个焦点F 1的坐标为F 1(－3，0)．过该点作垂直于x 轴的直线，其方程为x ＝－3，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝±12，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，±12， 所以|PF 1|＝12，又因|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 2|＝4－12＝72.6．(2014·某某模拟)已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数m 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 解析：选C 在椭圆x 2＋my 2＝1中，当0<m <1时，a 2＝1m，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1m－1，∴e 2＝c 2a 2＝1m －11m＝1－m ，又12<e <1， ∴14<1－m <1，解得0<m <34， 当m >1时，a 2＝1，b 2＝1m ，c 2＝1－1m，e 2＝c 2a 2＝1－1m 1＝1－1m ，又12<e <1， ∴14<1－1m <1，解得m >43， 综上可知实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞.7．(2013·某某高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：如图，△MF 1F 2中，∵∠MF 1F 2＝60°，∴∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°， 又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ， ∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a ＝23＋1＝3－1.答案：3－18．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知点M 在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋6－32＋42＝15.答案：159．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若AF ＝3FB ，则k ＝________. 解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得 (3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF ＝3FB ，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23m 2＋4， 把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cmm 2＋4，－3y 22＝－c 23m 2＋4，故9m 2＝m 2＋4， 故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝± 2.又k >0，故k ＝ 2. 答案： 210．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0， 解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即线段AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.11．(2014·某某模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点，所以a ＝3，b ＝1， 椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴， y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)． 又因为|AO |＝3，|PO |＝3，所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0.当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y ＝kx ，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x |＝33k 2＋1， 则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝－1k x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3kk －1，y 0＝－3k －1，则|PO |＝9k 2＋9k －12.因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝3|AO |，代入得 9k 2＋9k －12＝3·3k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)或k ＝－1， 此时直线AB 的方程为y ＝－x ，综上，直线AB 的方程为y ＝－x 或y ＝0.12．(2013·某某高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3)．(1)求椭圆C 的方程； (2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点．过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连接AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点 D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4. 又因为椭圆C 过点P (2，3)，所以2a 2＋3b2＝1，故a 2＝8，b 2＝4.从而椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)由题意，点E 坐标为(x 0,0)．设D (x D,0)，则AE ＝(x 0，－22)，AD ＝(x D ，－22)． 再由AD ⊥AE 知，AE ·AD ＝0，即x D x 0＋8＝0.由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0.因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫8x 0，0.故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8. 又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 20＋2y 20＝8.①从而k QG ＝－x 02y 0.故直线QG 的方程为y ＝－x 02y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8x 0.②将②代入椭圆C 的方程，得 (x 20＋2y 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0.③再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．[冲击名校]已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． (1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程； (2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ ＝QB ，且NQ ·AB ＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值X 围．解：(1)由题意，知m ＋1>1，即m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0.又由Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1) ＝4(m ＋1)(m －2)≥0，解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2. 此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3.当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23， 此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)>0，即t 2<1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k 2.由AQ ＝QB ，得Q 为线段AB 的中点，则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q ＋t ＝t 1＋3k 2.∵NQ ·AB ＝0，∴直线l 的斜率k 与直线QN 的斜率k 乘积为－1， 即k QN ·k ＝－1，∴t1＋3k 2＋1－3kt 1＋3k2·k ＝－1，化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2<2t ，解得0<t <2.又k ≠0，即3k 2>0，故2t ＝1＋3k 2>1，得t >12.综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. [高频滚动]已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程； (2)若OP ·OQ ＝－2，某某数k 的值；(3)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．解：(1)设圆心C (a ，a )，半径为r . 因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)， 所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2，所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4. (2)因为OP ·OQ ＝2×2×cos〈OP ，OQ 〉＝－2，且OP 与OQ 的夹角为∠POQ (0°≤∠POQ ≤180°)，所以cos ∠POQ ＝－12，∠POQ ＝120°，所以圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1，又d ＝1k 2＋1，所以k ＝0.(3)设圆心O 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0,1)，且l ⊥l 1，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又易知|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12·|PQ |·|MN |，即S ＝12×2×4－d 2×2×4－d 21 ＝216－4d 21＋d 2＋d 21·d 2＝212＋d 21·d 2≤2 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222 ＝2 12＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7.。

第八节 函数与方程[全盘巩固]1．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的一个零点所在的区间是( )A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：选B 由题意知，函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，结合四个选项可知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)<0，f (2)>0，所以函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的一个零点所在的区间是(1,2)．2．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13解析：选C 构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，则函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故函数的零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解x 0属于区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.3．(2014·金华模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12解析：选C 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f －1f 0<0，f 1f 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋2m ＋1]2m ＋1<0，[m －2＋m ＋2m ＋1][4m －2＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.4．(2014·济南模拟)设函数f 1(x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f 2(x )＝log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点分别为x 1，x 2，则( )A ．0<x 1x 2<1 B ．x 1x 2＝1 C ．1<x 1x 2<2 D ．x 1x 2≥2解析：选A 依题意知x 1>x 2>0，且log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝0，log 12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝0，则log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝log 12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝－log 2x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，所以log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2<0＝log 21，所以0<x 1x 2<1.5．已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b＝2，则n 的值为( )A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2解析：选A a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图象，由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点，所以n ＝－1.6．(2014·开封模拟)偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0,9]上解的个数是( )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10解析：选C 依题意得f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0,9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0,9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为________．解析：法一：令f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln x ＝2，解得x ＝－3或x ＝e 2，所以函数f (x )有两个零点．法二：画出函数f (x )的图象(图略)可得，图象与x 轴有两个交点，则函数f (x )有两个零点．答案：28.(2014·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为__________．解析：由g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m ，作出函数y ＝f (x )的图象，当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，只需直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个交点即可，如图，只需－14<m <0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，09．(2014·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.解析：∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数， ∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3. ∴a ＋b ＝5. 答案：510．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0,1)．11．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解：(1)法一：∵g (x )＝x ＋e2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e，g (x )＝m 就有实数根．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有实数根，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴f (x )的图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．12．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解：∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89>0，∴若存在实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. ②当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意， 故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．[冲击名校]1．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f x ＋1，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12解析：选D 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]．因为函数f (x )＋1＝1fx ＋1，所以f (x )＝1fx ＋1－1＝1x ＋1－1＝－xx ＋1.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－xx ＋1，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1].函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1,1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1,1]内有两个根，令y ＝m (x ＋1)，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象(图略)，可知当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点 B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点 C ．无论k 为何值，均有2个零点 D ．无论k 为何值，均有4个零点解析：选B 当k >0时，f (f (x ))＝－1，结合图(1)分析，则f (x )＝t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1，x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3，x 4.此时共计存在4个零点．当k <0时，f (f (x ))＝－1，结合图(2)分析， 则f (x )＝t ∈(0,1)，此时仅有1个零点x 0.[高频滚动]1．若函数f(x)＝a2x－4，g(x)＝log a|x|(a>0，a≠1)，且f(2)·g(－2)<0，则函数f(x)、g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )A B C D解析：选B f(2)·g(－2)＝a0log a2<0，得0<a<1，所以f(x)＝a2x－4在R上为减函数，g(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．2．已知函数y＝f(x)的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f(x＋a)－f(x)是其定义域上的增函数，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A B C D解析：选A 设x1<x2，由g(x)为其定义域上的增函数，得f(x1＋a)－f(x1)<f(x2＋a)－f(x2)，即f(x1＋a)－f(x2＋a)<f(x1)－f(x2)，所以f x1＋a－f x2＋ax1＋a－x2＋a >f x1－f x2x1－x2，即曲线y＝f(x)的割线的斜率单调递增．结合函数图象可知，选项A正确．。