第一轮复习三视图与展开图

考点26基本作图、三视图与展开图中考数学中，基本作图的考察方式正在发生着变化，不会再考基本作图的操作，而是考察其写法，放在题干上用以确定角平分线和中垂线，之后再用其性质求解后续问题。

三视图与展开图的考察难度则比较简单，一般只考察基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用。

一、基本作图二、三视图三、直棱柱的展开与折叠考向一：基本作图一．基本尺规作图（1）作一条线段等于已知线段，如图1；（2）作一个角等于已知角，如图2（3）作已知角的平分线，如图3；（4）作已知线段的垂直平分线，如图4；（5）过一点作已知直线的垂线，如图5；图1图2图3图4图5二．利用尺规作图作三角形（1）已知三边作三角形，如图1（2）已知两边及其夹角作三角形，如图2；（3）已知两角及其夹边作三角形，如图3，图1图2图3三．尺规作图的考察方法分析1.通常是在选择填空题中以尺规作图的语言描述来确定角平分线或者中垂线，之后再结合其他知识点完成后续问题。

2.在解答题中，尺规作图的另一类考法是放在网格图中和相似等知识点结合，考察固定长度的线段或者角度构造。

1．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS2．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）AB．角平分线上的点到角两边的距离相等C．三角形三个内角的平分线交于同一个点D．三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N 两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则sin∠DCA＝（）A．B．C．D．4．如图，在平行四边形ABCD 中，以点B 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB ，BC 于点F ，G ，再分别以点F ，G 为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H ，作射线BH 交AD 于点E ，连接CE ，若AE ＝10，DE ＝6，CE ＝8，则BE 的长为（）A ．2B ．40C ．4D ．8考向二：三视图1．如图几何体中，从正面看（主视图）是长方形的是（）A ．B ．C．D．2．如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，若改变一个小正方体的位置后，它的俯视图和左视图都不变，那么变化后的主视图是（）A ．B ．C ．D ．3．如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的形状，其中小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的形状是（）A．B．C．D．4．已知圆锥的三视图及相关数据如图所示，则这个圆锥的侧面积为（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．10πcm2考向三：直棱柱的展开与折叠1．下列平面图形中，是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．2．由如图的正方体平面展开图可知，此正方体的“绿”字所在面的对面汉字是（）A．低B．碳C．发D．展3．如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和五边形，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图是（）A．B．C．D．4．如图，将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开_____条棱．（）A．3B．4C．5D．不确定1．（2022•贵港）一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与俯视图相同B．主视图与左视图相同C．左视图与俯视图相同D．三个视图完全相同2．（2022•宁波）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（2022•江西）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（）A．B．C．D．5．（2022•菏泽）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（）A．B．C．D．6．（2022•济南）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．球C．圆锥D．正四棱柱7．（2022•临沂）如图所示的三棱柱的展开图不可能是（）A．B．C．D．8．（2022•鄂尔多斯）下列尺规作图不能得到平行线的是（）A．B．C．D．9．（2022•盘锦）如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC的长是（）A．B．4C．6D．10．（2022•巴中）如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于CD为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是（）A．∠BCD＝120°B．若AB＝3，则BE＝4C．CE＝BC D．S△ADE＝S△ABE11．（2022•内蒙古）如图，在△ABC中，AB＝BC，以B为圆心，适当长为半径画弧交BA于点M，交BC于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝4，则△CEF的周长是（）A．8B．2C．2+6D．2+212．（2022•通辽）如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数°．13．（2022•贵港）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．14．（2022•重庆）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为S＝ah．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC于点D．（只保留作图痕迹）在△ADC和△CFA中，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵∠F＝90°，∴①．∵EF∥BC，∴②．又∵③，∴△ADC≌△CFA（AAS）．同理可得：④．S△ABC＝S△ADC+S△ABD＝S矩形ADCF+S矩形AEBD＝S矩形BCFE＝ah．15．（2022•江西）课本再现（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；知识应用（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．1．（2022•阜新）在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．2．（2022•安徽）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（2022•绵阳）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（）A．B．C．D．4．（2022•青岛）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（）A．B．C．D．5．（2022•攀枝花）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．6．（2022•永州）我市江华县有“神州瑶都”的美称，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小．如图为类似“长鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（）A．B．C．D．7．（2022•黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A．7B．8C．9D．108．（2022•湖北）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．四棱柱9．（2022•盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（）A．强B．富C．美D．高10．（2022•德州）在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与AC大小关系的是（）A．B．C．D．11．（2022•威海）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（）A．B．C．D．12．（2022•恩施州）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD＝4，AB＝2．则四边形MBND 的周长为（）A．B．5C．10D．2013．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD＝3，则BD的长为（）A．4B．5C．6D．714．（2022•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F 均在格点上．（Ⅰ）线段EF的长等于；（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．15．（2022•烟台）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．1．（2022•宁波模拟）如图是一个底面为正三角形的直三棱柱，其主视图是（）A．B．C．D．2．（2023•红桥区模拟）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（）A．B．C．D．3．（2023•南山区模拟）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+4x+3B．x2+3x+2C．x2+2x+1D．2x2+4x4．（2022•孟村县校级模拟）如图，已知一个正方体是三个面分别标有〇、◎、※三种图案，则它的展开图可能是（）A．B．C．D．5．（2022•宽城区校级一模）下列四个选项中，不是正方体展开图的是（）A．B．C．D．6．（2022•东兴区校级二模）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（）A．B．C．D．7．（2022•丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A．B．C．D．8．（2022•玉环市一模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝100°．观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BFC 的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°9．（2022•连山区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，C 为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点P，则DP的长为（）A．B．C．D．110．（2023•定远县校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（）A．5B．6C．8D．1211．（2022•柳东新区模拟）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB＝6，BC＝8，则△ABE的周长为（）A．13B．14C．15D．1612．（2023•乌鲁木齐一模）如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS13．（2022•东胜区一模）尺规作图：过直线l外一点P作直线l的平行线．如图是四位同学的作图痕迹．其中作图错误的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁14．（2022•大名县校级四模）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要用尺规作图的方法在对边AD，BC 上分别找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）A．只有乙、丙才是B．只有甲，丙才是C．只有甲，乙才是D．甲、乙、丙都是15．（2023•仙桃校级一模）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上的两点，且四边形OBCD是菱形，连接BD．（1）在图1中，用无刻度的直尺作出△BOD的中线BP；（2）在图2中，用无刻度的直尺作出△BCD的中线DP．。

专题13 三视图与展开图1.视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。

2.物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

（1）主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图,能反映物体的前面形状。

（2）俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图，能反映物体的上面形状。

（3）左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图，能反映物体的左面形状，有时也叫做侧视图。

物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。

3.展开图：平面图形有三角形、四边形、圆等.立体图形有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形。

【例题1】（2019•四川省达州市）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可作出判断．从左面看可得到从左到右分别是3，1个正方形．专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．【答案】（18+2）cm2．【解析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+2（cm2）．【例题3】（2019•江苏连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．专题典型训练题一、选择题1.（2019广东深圳）下列哪个图形是正方体的展开图（）A．B． C．D．【答案】B【解析】立体图形的展开图B中图形符合“一四一”模型，是正方体的展开图．故选B．2.（2019•山东省济宁市）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】考点是几何体的展开图。

三视图和展开图的认识1.定义：三视图是指一个物体在三个不同方向上的投影，包括正视图、俯视图和侧视图。

2.作用：通过三视图可以全面了解物体的形状和结构，是工程制图和建筑设计中必不可少的一部分。

3.绘制方法：(1)正视图：物体正面朝向观察者，投影在水平面上。

(2)俯视图：物体上方朝向观察者，投影在垂直于水平面的竖直面上。

(3)侧视图：物体左侧或右侧朝向观察者，投影在垂直于水平面和俯视图所在平面的斜面上。

4.定义：展开图是将一个立体图形展开成平面图形，以便于观察和计算。

(1)矩形展开图：最常见的展开图类型，适用于各种矩形容器、包装盒等。

(2)圆形展开图：适用于圆形或近似圆形的物体，如圆筒、圆盘等。

(3)三角形展开图：适用于三角形的物体，如三角尺、三角形的包装盒等。

(4)其他多边形展开图：适用于各种多边形的物体，如六边形、八边形等。

5.绘制方法：(1)矩形展开图：将立体图形的侧面沿着高展开，得到一个长方形或正方形。

(2)圆形展开图：将立体图形的侧面沿着直径展开，得到一个扇形。

(3)三角形展开图：将立体图形的侧面沿着高展开，得到一个三角形。

(4)其他多边形展开图：根据立体图形的形状和结构，选择合适的方法将其展开。

三、三视图与展开图的相互关系1.展开图可以转化为三视图：通过观察展开图，可以确定物体的正视图、俯视图和侧视图。

2.三视图可以转化为展开图：根据三视图，可以绘制出物体的展开图。

3.展开图中的信息可用于三视图的绘制：展开图中的边长、角度等信息可以用于确定三视图中的尺寸和形状。

四、实际应用1.工程制图：在建筑设计、机械设计等领域，三视图和展开图是表达物体形状和结构的重要手段。

2.制造业：在制造过程中，通过三视图和展开图可以方便地切割、加工和组装物体。

3.教育：在三视图和展开图的教学中，有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

4.日常生活中：展开图在包装、折叠等方面有广泛应用，如纸箱、衣物等。

五、注意事项1.准确绘制：在绘制三视图和展开图时，要注意尺寸、形状和位置的准确性。

三视图、展开图及投影例析1.立体图形的三视图分别从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同方向看一个物体，然后描绘出三张所看到的图，即视图.其中，从正面看到的图形，称为主视图；从上面看到的图形，称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧面图（经常以左视图为主）.反之，也可由视图到立体图形，只是仅由一个视图无法准确判断实物，只有借助于三个视图的综合分析、想象才能确定实物.【例1】请画出下面三棱柱的三视图.【分析】随着三棱柱的摆放角度不同视图也不同，画三视图时要求虚实线分开（虚线是看不见的部分），而且主视图要反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽.解：【例2】下图所示的几何体的左视图是（）.【分析】几何体由两层组成，左视图即从左边看到立体图形的形状，表示物体的高和宽.解：A.【小结】本题考查我们根据立体图形画三视图的能力.在画复杂几何体的三视图时，要仔细观察，并想象出实物，再画三视图.【例3】如图所示的是由几个小立方体所搭成的几何图形的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出该几何体的主视图和左视图.【分析】我们观察所给俯视图及图中的数字，按照小立方体的排列方法可以抽象出几何体的形状，再根据这个实物画出它的主视图和左视图.解：根据每个小方格中的数字，可以抽象出如左边的实物图，再根据实物图画出几何体的主视图和左视图.【例4】如果下图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）.Ａ.3 Ｂ.4 Ｃ.5 Ｄ.6【分析】根据三视图，想象立体图形，根据“长对正”“高平齐”“宽宽相等”可知小正方形共有4块.解：B.2.立体图形的展开图立体图形是由面围成的，同一个立体图形，沿不同方式展开得到的平面图形是不一样的，常见几何体的展开图有：①圆锥：圆锥的侧面展开图是一个扇形，其中扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是底面的周长.②圆柱：圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的一边长是底面的圆周长，另一边长是圆柱的高.③正方体：正方体的表面展开图共有11种情况，我们归纳为4类，详见A3版.【例5】（2007·北京课改区）将如图所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（）.【分析】展示给我们的正面是扇形两边OA与OB重合的部分.我们可找一等腰直角三角形纸片画上如图的直线进行演示一下，与选项对照便可得结果.解：B.【例6】下列图形（1）（2）（3）（4）分别能折叠成什么图形.【分析】要想正确解答此题，需要我们熟悉一些常见几何体的展开图.解：（1）圆柱；（2）五棱柱；（3）圆锥；4）三棱柱.3.平行投影与中心投影平行光线所形成的投影，称为平行投影；从一点发出的光线所形成的投影称为中心投影.【例7】小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（）.【分析】因为太阳光线是平行投影，所以矩形木框在地面上形成的投影不可能是有两边不平行的梯形.解：A【例8】如图a、b是两棵小树在同一时刻的影子，请指出哪一个是太阳光线，哪一个是灯光光线？【分析】太阳光线的影子应在树的同侧，而且影子是互相平行的，灯光光线的影子可以在树的两侧.解：图a是灯光光线，图b是太阳光线.【例9】）已知：如图27.1－2，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．图27.1－2图27.1－3【解】（1）如图27.1－3，连结AC，过点D作DF⊥AC，交直线BC于F，线段EF即为DE的投影；（2）因为AC⊥DF，所以∠ACB＝∠DFE．又因为∠ABC＝∠DEF＝90°，所以△ABC ∽△DEF．所以AB BC，所以DE=10cm.DE EF【点评】注意不同时刻同一物体的影长是不同的，但同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形是相似的．。

专题13 三视图与展开图1.视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。

2.物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

（1）主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图,能反映物体的前面形状。

（2）俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图，能反映物体的上面形状。

（3）左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图，能反映物体的左面形状，有时也叫做侧视图。

物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。

3.展开图：平面图形有三角形、四边形、圆等.立体图形有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形。

【例题1】（2019•四川省达州市）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可作出判断．从左面看可得到从左到右分别是3，1个正方形．专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．【答案】（18+2）cm2．【解析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+2（cm2）．【例题3】（2019•江苏连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．专题典型训练题一、选择题1.（2019广东深圳）下列哪个图形是正方体的展开图（）A． B．C．D．【答案】B【解析】立体图形的展开图B中图形符合“一四一”模型，是正方体的展开图．故选B．2.（2019•山东省济宁市）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】考点是几何体的展开图。

第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相□01平行且□02全等多边形互相□03平行且□04相似侧棱□05平行且相等相交于□06一点，但不一定相等延长线交于□07一点侧面形状□08平行四边形□09三角形□10梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，□11垂直于底面相交于□12一点延长线交于□13一点—轴截面全等的□14矩形全等的□15等腰三角形全等的□16等腰梯形□17圆侧面展开图□18矩形□19扇形□20扇环—(3)特殊的四棱柱2．直观图(1)画法：常用□21斜二测画法．(2)规则①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为□2245°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面□23垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍□24平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度□25不变，平行于y轴的线段长度在直观图中□26变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的□27正前方、□28正左方、□29正上方观察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．(2)三视图的画法①基本要求：□30长对正，□31高平齐，□32宽相等．②画法规则：□33正侧一样高，□34正俯一样长，□35侧俯一样宽；重叠的线只画一条，看不到的线画□36虚线．1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．2．三视图的绘制在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线．3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.4．直观图与原图形面积的关系S 直观图＝24S 原图形(或S 原图形＝22S 直观图)．1．下列结论正确的是( )A ．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B ．六条棱长均相等的四面体是正四面体C ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D ．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 答案 B解析 底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A 错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C 错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D 错误．2．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④答案 C解析 由几何体的结构可知，如题图放置的圆锥、正四棱锥各自的正视图和侧视图相同，且其不与俯视图相同；正方体的三个视图都相同；正三棱台的三个视图都不相同，故选C.3. (2022·天水模拟)一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )A．2 3 B．2 2C．4 3 D．8 2答案 D解析由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2.在斜二测画法画出的直观图中，∠B′O′A′＝45°且O′B′＝22，那么在原图形中，∠BOA＝90°且OB＝42，因此，原平面图形的面积为2×42＝8 2.故选D.4．(2020·全国Ⅱ卷)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )A．E B．FC．G D．H答案 A解析根据三视图，画出多面体立体图形，如图所示，正视图中M点即为端点所在位置，其在侧视图中所对应的点为E.故选A.5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 D解析由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D.6．(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即可)．答案②⑤(或③④)解析根据“长对正，高平齐，宽相等”及图中数据，可知②③只能是侧视图，④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是②⑤或③④.若为②⑤，则如图1；若为③④，则如图2.考向一空间几何体的结构特征例1 (1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B.1 C.2 D.3答案 A解析①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(2)给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．答案②③④解析①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．1.下列结论正确的是( )A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C ．正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 答案 D解析 由图1知，A 错误；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B 错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C 错误；由母线的概念知，D 正确．考向二 平面图形与其直观图的关系例2 (1)(2021·四川泸州诊断考试) 如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为( )A ．24 2B ．12 2C ．48 2D ．20 2答案 A解析 解法一：由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′，∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2.故选A.解法二：由题意可知，S四边形O ′A ′B ′C ′＝O ′A ′·O ′C ′＝2×6＝12，∴S原＝22S四边形O ′A ′B ′C ′＝24 2.故选A.(2)在等腰梯形ABCD 中，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．答案22解析 解法一：因为OE ＝22－12＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ′＝24，所以直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.解法二：如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵CD ＝1，AD ＝CB ＝2，AB ＝3，∴CH ＝1，∴S 四边形ABCD ＝12×(1＋3)×1＝2.∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ＝24×2＝22.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y 轴的线段长度减半，平行于x 轴和z 轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．2.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B ．38a 2 C.68a 2 D ．616a 2 答案 D解析 解法一：如图①②所示的平面图形和直观图．可知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2. 解法二：由题意可知，S △ABC ＝34a 2，∴S △A ′B ′C ′＝34a 2×24＝616a 2. 3. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y ′轴，BC ，AD 平行于x ′轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为________．答案8 cm2解析解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.解法二：依题意可知，S直观图＝2 2 cm2，故S原图形＝22S直观图＝8 cm2.精准设计考向，多角度探究突破考向三空间几何体的三视图角度由空间几何体的直观图识别三视图例3 (1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.(2)(2021·黄山一模)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )答案 B解析截去两个三棱锥后的几何体的侧视图可以看见的实线段为AD1，AD，DD1，D1B1，AB1，而线段B1C被遮住，在侧视图中为虚线，所以侧视图为B.角度由空间几何体的三视图还原直观图例4 (1)(2022·九江模拟)如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )答案 D解析先观察俯视图，由俯视图可知B和D中的一个正确，由正视图和侧视图，可知D 正确．(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的所有面中直角三角形的个数是( )A．2 B．3C．4 D．5答案 C解析由三视图知，将此几何体还原在正方体中，为如图所示的四棱锥P－ABCD.易知四棱锥P－ABCD的四个侧面都是直角三角形，所以此几何体的所有面中直角三角形的个数是4，故选C.角度由两个视图补画第三个视图例 5 (1)(2022·绵阳模拟) 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )答案 B解析由几何体的正(主)视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．从左侧观察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线．故选B.(2)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．答案③解析由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图，所以该几何体的俯视图为③.三视图问题的常见类型及求解策略(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．(2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．(3)常见的三视图对应的几何体①三视图为三个三角形，对应三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；⑤三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )答案 A解析该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为A中的图．故选A.5．(2021·全国甲卷) 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )答案 D解析 根据已知条件作出所得多面体的直观图如图所示，由直观图可知该多面体的侧视图为D.6．(2021·成都模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之和为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 设点P 在平面A 1ADD 1的射影 为P ′，在平面C 1CDD 1的射影为P ″，如图所示．所以三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图分别为△P ′AD 与△P ″CD ，因此所求面积S ＝S △P ′AD ＋S △P ″CD＝12×1×2＋12×1×2＝2.故选B.1. 如图所示，从三棱台A ′B ′C ′－ABC 中截去三棱锥A ′－ABC ，则剩余部分是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台答案 B解析剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C，故选B.2．(2021·江西新余模拟)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( )答案 A解析由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3．如图，直观图所表示的平面图形是( )A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案 D解析直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图，AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.4. (2022·甘肃白银模拟)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是( )答案 C解析该几何体的侧视图是从左边向右边看．故选C.5．(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2 B．2 2C．4 D．4 2答案 B解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，因为圆锥的侧面展开图为一个半圆，所以2πr ＝πl.所以l＝2r＝2 2.故选B.6．如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A－BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )答案 A解析正视图中棱AD看不见，俯视图中棱BD看不见，均为虚线，故选A.7. 某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如右图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是( )答案 D解析几何体的正视图和侧视图完全相同，则该几何体从正面看和从侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．故选D.8．(2022·江西吉安模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正(主)视图是( )答案 C解析由于三棱柱为正三棱柱，故侧面ADEB⊥底面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD 在面ADEB上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面DEF不垂直．故选C.9．一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )答案 D解析该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD.故选D.10. 在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②答案 D解析在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2，2,2)，则空间几何体ABCD即为满足条件的四面体，得出其正视图和俯视图分别为④和②，故选D.11. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )A．217 B．2 5C．3 D．2答案 B解析根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽、圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42＋22＝25，故选B.12．(2021·安徽马鞍山模拟) 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A．10 B．12C．14 D．6答案 B解析由多面体的三视图还原直观图如图所示．该几何体由上方的三棱锥A－BCE和下方的三棱柱BCE－B1C1A1构成，其中侧面CC1A1A和侧面BB1A1A是梯形，则梯形的面积之和为2×2＋4×22＝12.故选B.13．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案26 2－1解析先求面数，有如下两种解法．解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26个面．解法二：一般地，对于凸多面体，有顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝22x.又AM＋MN＋NF＝1，∴22x＋x＋22x＝1.∴x＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1.14．(2021·河南六校联考)现有编号为①，②，③的三个三棱锥(底面水平放置)，其俯视图分别为图1，图2，图3，则至少存在一个侧面与其底面互相垂直的三棱锥的所有编号是________．答案①②解析编号为①的三棱锥，其直观图可能是图①，侧棱VC⊥底面ABC，则侧面VAC⊥底面ABC，满足题意；编号为②的三棱锥，其直观图可能是图②，侧面PBC⊥底面ABC，满足题意；编号为③的三棱锥，顶点的投影不在底面边上(如图③)，不存在侧面与底面垂直．故答案为①②.15．若已知△ABC 的直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求△ABC 的面积． 解 如图所示是△ABC 的直观图△A ′B ′C ′.作C ′D ′∥y ′轴交x ′轴于点D ′，则C ′D ′对应△ABC 的高CD ，∴CD ＝2C ′D ′＝2×2×C ′O ′＝22×32a ＝6a . 而AB ＝A ′B ′＝a ，∴S △ABC ＝12a ·6a ＝62a 2.16. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正(主)视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧(左)视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解 由正视图和侧视图的三角形，结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，取BC 的中点E ，连接OE ，VE ，则△VOE 为直角三角形，VE 为△VBC 的边BC 上的高，VE ＝ VO 2＋OE 2＝4 2.同理，侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5.所以S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 17．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是多少？解 由三视图可知，该多面体是一个三棱锥，其直观图如图三棱锥A －BCD .将其放入棱长为2的正方体模型中，可求得AC ＝2，BC ＝BD ＝5，AD ＝22，AB ＝ 12＋22＋22＝3，故最长的棱的长度为3.18. 一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S .解 (1) 由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．所以S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.。