福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)

- 22 - 福建师大附中2020-2021学年上学期期末考试

高二数学试卷

第Ⅰ卷（选择题，共70分）

一、单项选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.

1.已知空间向量1,2,31a，6,2,0b共线，则实数的值是（ ）

A. -3 B. 2 C. -3或2 D. 3或-2

【答案】C

【解析】

【分析】

由向量共线定理求解．

【详解】由题意存在实数k，使得akb，即(1,2,31)(6,2,0)k，

∴1622310kk，解得21213k或31313k．

故选：C.

【点睛】本题考查空间向量共线，掌握空间向量共线定理是解题基础．

2.设fx是可导函数，且000lim2xfxfxxx，则0fx（ ）

A. 2 B. -1 C. 1 D. -2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据导数的定义求解．

【详解】0000000[()]limlim()2xxfxfxxfxxfxfxxx．

故选：A.

- 22 - 【点睛】本题考查导数的定义，0000()limxfxxfxfxx，注意极限中形式的一致性．

3.正方体1111ABCDABCD中，M是1DD的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱11AB上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 与P点的位置有关

【答案】C

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，用向量法求解．

【详解】如图，以1,,DADCDD为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则

(2,0,0),(0,0,1),(1,1,0)AMO，设(2,,2)Pm，

(2,0,1),(1,1,2)AMOPm，

∴210(1)120AMOPm，∴AMOP，即AMOP．

∴直线OP与直线AM所成的角为2．

故选：C.

【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是建立空间直角坐标系，用空间向量法求解．

- 22 - 4.已知正四面体DABC的各棱长为1，点E是AB的中点，则ECAD的值为（ ）

A. 14 B. 14 C. 34 D. 34

【答案】A

【解析】

【分析】

把EC表示为ACAE，然后再求数量积．

【详解】由题意，四面体DABC是正四面体，每个面都是正三角形，

∴ECAD()ACAEADACADAEAD1111cos601cos6024．

故选：A.

【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是把EC表示为ACAE，然后计算即可．

5.在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，11AA，则1AB与平面11ABCD所成角的正弦值为（ ）

A. 255 B. 25 C. 105 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】

做出线面角，在直角三角形中解角的正弦值.

【详解】

做11BHBC于H点，连接AH，因为1ABCB面，1ABBH，又因为111,BHBCBCABB，111BHABCD面，根据线面角的定义得到1BAH为所求

- 22 - 角，在11BBC中，1111,2,BBBC由等面积法得到12,5BH15AB，线面角的正弦值为：112.5HBAB

故答案为B.

【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的求法．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．

6.函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为22(2)8,081fee，所以排除,AB选项；当0,2x时，4xyxe有一零点，设为0x，当0(0,)xx时，()fx为减函数，当0(,2)xx时，()fx为增函数．故选D

7.若函数sinxfxexa在0,上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）

A. 2, B. 1, C. 2, D. 1,

【答案】D

【解析】

分析】

()0fx在0,恒成立，再转化为求函数最值．

- 22 - 【详解】()(sincos)[2sin()]4xxfxexaxexa，

由题意[2sin()]04xexa在[0,]x恒成立，即2sin()4ax在[0,]x恒成立，

[0,]x时，5[,]444x，2sin()[,1]42x，

所以22sin()14x，

所以1a．

故选：D.

【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，函数在区间0,上单调递增，转化为()fx0在区间0,上恒成立，不等式恒成立又可转化为求函数最值．本题对学生的转化与化归能力有一定的要求．

8.在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是0,0,2A，2,2,0B，1,2,1C，2,2,2D.则点B到面ACD的距离是（ ）

A. 233 B. 33 C. 223 D. 23

【答案】A

【解析】

【分析】

求出平面ACD的一个法向量n，再求出BD在n方向上的投影的绝对值即可．

【详解】由题意(2,2,0),(1,0,1),(0,0,2)ADCDBD,

设平面ACD的一个法向量为(,,)nxyz，则

2200nADxynCDxz，取1x，则(1,1,1)n，

∴22333BDnn，即B到平面ACD的距离是233．

故选：A.

- 22 - 【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离．设n是平面的一个法向量，Q是平面内任一点，则P到平面的距离是PQnn．

9.已知函数22,02,0xxxaxfxaexax恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）

A. ,01, B. ,01, C. ,01 D. ,0

【答案】C

【解析】

【分析】

分别讨论0x时，2()2fxxxa的零点个数，0x时，()2xfxaexa的零点个数，综合后可得结论．

【详解】0x时，()2xfxaexa，()1xfxae， (0)fa，

当0a，()0fx，()fx递减，(0)0fa，(ln2)ln20f，因此()fx在[0,)上有且只有一个零点．

当1a时，()0fx，()fx递增，(0)0fa，(ln4)2ln40fa，因此在()fx在[0,)上有且只有一个零点，

01a时，，1()1()xxfxaeaea，1(ln)0fa，1[0,ln)xa时，()fx递减，1(ln,)xa时，()fx递增，(0)0fa， x时，2xaexa，()fx在[0,)上有一个零点，

∴aR，()fx在[0,)上有一个零点，

0x时，22()2(1)1fxxxaxa，

若0a或1a，()fx有一个零点，若1a，()fx无零点，若01a，()fx有两个零点．

因此满足题意的a的取值范围是

(,0]{1}

故选：C.

【点睛】本题考查函数的零点个数，对分段函数来讲要分段讨论，对于复杂的函数一般可通

- 22 - 过导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在定理确定零点个数．

10.已知fx是定义在,00,22上的偶函数，且当02x时，有'cossin0fxxfxx，则不等式2cos3fxfx的解集为（ ）

A. ,0,233 B. ,0,332

C. ,00,33

D. ,32

【答案】C

【解析】

【分析】

构造新函数()()cosfxgxx，确定它的单调性后结合偶函数性质可解题中不等式．

【详解】设()()cosfxgxx，则2()cos()sin()cosfxxfxxgxx，

∵当02x时，有'cossin0fxxfxx，∴()0gx，∴()gx在(0,)2上单调递增．

又fx是定义在,00,22上的偶函数，∴()gx也是定义在,00,22上的偶函数（因为()()()()cos()cosfxfxgxgxxx），

不等式2cos3fxfx可化为()()3coscos3ffxx，即()()3gxg，()()3gxg

∴03x，03x或03x．

故选：C.

【点睛】本题考查用导数解不等式，解题关键是构造新函数()()cosfxgxx，确定它的奇偶性和单调性．

二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部