09 包含与排除 简单

（二十九）包含与排除（上）《奥赛天天练》第二十一讲《包含与排除》。

包含与排除问题也叫重叠问题，从三年级奥数课堂开始由浅入深逐步学习，此类问题说明及容斥原理具体内容，请查阅：三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理四年级奥数解析（二十九）容斥原理这一讲将在三、四年级学习的基础上，进一步学习运用容斥原理二解答稍复杂的包含与排除问题。

【容斥原理二】如果被计数的事物有A、B、C三类，则:三类元素总个数二A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数一既是A类乂是B类的元素个数一既是A类乂是C类的元素个数一既是B类乂是C类的元素个数+既是A类乂是B类又是C类的元素个数。

【原理证明】如下图，三个圆片两两重叠，用红色圆片面积表示A类事物元素个数、黄色圆片面积表示B类事物元素个数、蓝色圆片面积表示C类事物元素个数，三个圆片覆盖的总面积就表示三类元素的总个数：A、B、C三个圆片共同重叠的正中间的一块，覆盖了三层圆片，重叠了2次；剩下的重叠部分都覆盖了两层圆片，重叠了1次。

三个圆片覆盖的总面积就等于三个圆片的面积之和减去重叠部分的面积，重叠1次的减去重叠面积，重叠2次的减去重叠面积的2倍。

但用三个圆片的总面积依次减去AB的重叠部分、AC的重叠部分和BC的重叠部分，重叠1次的面积正好减去了，可三个圆片共同重叠的部分既属于AB的重叠部分，也属于AC的重叠部分，同时属于BC的重叠部分。

这一块儿面积重叠2次，却减去了3次，多减了1次，要补上去。

所以：三类元素总个数二A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数一既是A类乂是B类的元素个数一既是A类乂是C类的元素个数一既是B类乂是C类的元素个数+既是A类乂是B类又是C类的元素个数。

【题目】：在参加数学竞赛的46人中，做对第二题的有32人，做对笫4题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有儿人？【解析】：用做对第2题与做对第4题的人数和，减去两题都做对的人数（重叠部分），求出的就是这两题中至少做对了一题的人数：32+24-20=36 （人）。

包含与排除集合与元素：就是集合与个体；包含与被包含的关系。

1、集合通常用A、B 、C……2、集合分类╱交集：几个集合共同元素的个数。

符号记作∣∩∣╲并集：几个集合合并在一起，所有元素的实际总个数，符号∣∪∣╱1、例举法例：A{1、2、3、5、7} B{1、3、4、6、8}3、表示方法－2、图示法例：╲3、数值法例：∣A∣＝5∣∣B∣＝5 ∣A∩B∣＝2 ∣A∪B∣＝8❉两项公式：∣A∪B∣＝∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣∣A∩B∣＝∣A∣＋∣B∣－∣A∪B∣1、某班学生去图书馆借书，每人都借了课外书，统计结果是：借语文书的有39人，借数学书的32人，语文、数学两种都借的有26人，全班一共几人？2、桥南小学三年级学生采集标本，采集昆虫标准有27人，采集植物的有21人，两种标本都采集的有8人，全班共有多少人？3、一个班有学生54人，参加数学课外活动的有38人，参加语文课外活动的有29人，至少有多少人两样活动都参加了？❉如果没有搞特殊的，总数＝并集如果有搞特殊的，总数＝并集+特殊的4、某班36人在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，问：有几个同学两题都不对？5、一个班42人订报纸，订《少年报》的人有32人，订阅《小学生报》的有27人，有多少人订阅两种报纸？6、有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑、摔跤都不会。

问：既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？7、学校开运动会，参加田赛的26人，参加径赛的30人，其中既参加田赛又参加径赛的有12人，田赛和径赛的都没有参加的有4人，这个班有多少人？8、在50名出国人员中，有4人既不懂英语也不懂日语，但其中有37人懂英语，有43人懂日语。

有多少人既懂英语又懂日语？9、幼儿园里，会弹钢琴的有25人，会拉手风琴的有20人，既会钢琴又会手风琴的有15人，两样都不会的有10人，这个班一共多少人？10、全班50名同学，只参加数学小组的27人，既参加数学小组又参加作文小组的有5人，两个小组都没有参加的4人，求只参加作文小组的有几人？11、有50名同学参加短跑和跳远，短跑达标的38人，跳远达标的31名，两项都达标22名，两项都没达标的多少人？12、学校田径队有40人以上参加比赛，有18人参加田赛，有28人参加径赛，问只参加田赛与只参加径赛的人数是多少？13、某班成立英语和微机小组，有25人参加英语小组，其中10人既参加英语又参加微机小组，没有参加微机的有18人。

四年级弃九法讲解从第4四年级弃九法讲解9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。

利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。

例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。

但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。

有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。

这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。

一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。

利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。

例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。

分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。

只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。

口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。

所以这个多位数除以9余1。

例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。

我们已经熟知1＋2＋3＋…＋9＝45，而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，…，9都可以划掉。

在1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，…，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，…，9，也都划掉。

这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。

所以这个数除以9余1。

在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。

5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
【解析】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。
全组人数 完成了两项制作的人数，
即 完成了两项制作的人数．
所以，完成了两项制作的人数为： (人)．
3、五年级一班共有 人，每人参加一个兴趣小组，共有 、 、 、 、 五个小组，若参加 组的有 人，参加 组的人数仅次于 组，参加 组、 组的人数相同，参加 组的人数最少，只有 人．那么，参加 组的有_______人．
那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，
进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12幅，
那么就可以求出其他年级的画作共有3幅．
考点二：三量重叠问题
例1、全班有 个学生，其中 人会骑自行车， 人会游泳， 人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有 个人数学不及格，那么，
教数：3
学员姓名：
辅导科目：奥数
教师：
授课主题
第24讲——包含与排除
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
1了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容
2掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用