直角三角形全等的判定

三角形全等的判定方法6种
1、SSS（Side-Side-Side）（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。

2、SAS（Side-Angle-Side）（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。

3、ASA（Angle-Side-Angle）（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。

4、AAS（Angle-Angle-Side）（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。

5、RHS（Rightangle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理（斜边、直角边））：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。

（它的证明是用SSS原理）
下列两种方法不能验证为全等三角形：
1、AAA（Angle-Angle-Angle）（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似三角形。

2、SSA（Side-Side-Angle）（边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等。

第19章 几何证明§19.7 直角三角形全等的判定学习目标 通过探索判定两个直角三角形全等的特殊的方法，体会特殊与一般的关系，掌握“斜边直角边”这一判定两个直角三角形全等的特殊方法；会利用“斜边直角边”判定方法和一般三角形全等的方法判定直角三角形全等；继续体会用“分析综合法”探求解题思路，在探索判定两个直角三角形全等的特殊的方法的过程中体验转化的思想。

知识概要1.直角三角形全等的判定定理如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。

(简记为H .L .) 在两个直角形中，“边、边、角”对应的情况有两种：“S .A .S ”和“H .L ”定理.注意：任意三角形全等的判定方法同样适用于直角三角形，而H .L 定理是直角三角形特有的全等判定方法。

使用该特有方法时，一定要指出直角三角形这一前提条件。

2.判定两个直角三角形全等的方法一共有5种方法判定两个直角三角形全等：S .A .S ，A .A .S ，A .S .A ，S .S .S ，H .L .。

经典题型精析(一)一般方法判定直角三角形全等例1.如图，已知DC AB //，=∠=∠D A 52°，点E 在AD 上，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠.求证：DC AB BC +=.例2.如图，在ABC Rt ∆中，=∠ACB 90°，点E D 、分别在AC AB ,上，BC CE =，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得到CF ，连接EF 。

(1)补充完成图形； (2)若CD EF //，求证：=∠BDC 90°。

(二) H .L .定理的应用例3.已知：如图，AC 平分BAD ∠，AB CE ⊥于点E ，AD CF ⊥于点F ，且DC BC =。

求证:DF BE =.试一试：已知：如图，CD AD ⊥，CD BC ⊥，C D 、分别为垂足，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，DF BC =。

直角三角形全等的判定
直角三角形全等是指两个直角三角形的对边，对应边和
斜边分别相等。

在进行直角三角形全等的判定时，可以使用两种不同的方法，即SAS（边-角-边）和SSS（边-边-边）定理。

1. SAS定理：
SAS定理是指两个直角三角形的一条边、夹角和另一条边分别
相等，则这两个直角三角形全等。

具体而言，需要满足以下条件：
a) 两个直角三角形的一个角为直角（90度）。

b) 两个直角三角形的一条边相等。

c) 两个直角三角形的夹角（不是直角的角）相等。

d) 两个直角三角形的另一条边相等。

2. SSS定理：
SSS定理是指两个直角三角形的三条边分别相等，则这两个直
角三角形全等。

具体而言，需要满足以下条件：
a) 两个直角三角形的一个角为直角（90度）。

b) 两个直角三角形的三条边分别相等。

需要注意的是，在判定直角三角形全等时，必须要确定
其中一个角为直角。

因为如果两个直角三角形的所有边长相等，但没有一个角为直角，那么这两个三角形并不一定全等。

在解题时，需要根据给定的条件，判断所给的直角三角
形是否全等。

常见的判定方法包括测量边长和角度、利用勾股定理判断是否满足直角条件等。

判断过程中需要小心操作，确保测量准确、计算无误。

总之，直角三角形的全等判定是一种基本的几何判断方法，可以通过SAS定理或SSS定理来进行。

在解题时，要注意给定的条件，准确判断边长和角度是否相等，以确定两个直角三角形是否全等。

直角三角形全等的判定【知识要点】1．斜边、直角边（HL ）①内容：有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等. ②作用：判定两个直角三角形全等.2．判定两个直角三角形全等的方法，共有五种：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .判定两个三角形全等，必须有一组边对应相等.3．判定两个直角三角形全等时应先考虑利用斜边、直角边条件（即HL ）来证，如不行再考虑用其他四种方法（其中SSS 没有必要）.【典型例题】例1.我们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等，请仿照方案（1），写出方案（2），（3），（4），你能行吗？ 方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等.方案（2）：方案（3）：方案（4）：例2．已知：如图所示，B 、E 、F 、C 在同一直线上，BC AF ⊥于F ，BC DE ⊥于E ，AB=DC ，BE=CF.求证：AB ∥CDA BFE CD例3. 如图，AE AB =，ED BC =，E B ∠=∠，CD AF ⊥，F 是垂足，试判断CF 与DF 有什么特殊的数量关系？并说明理由．例4．如图所示，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上一点，且BD=BC ，DE ⊥AB 交AC 于E.求证:CD ⊥BE.例5．如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，M 、N 分别是CE 、BD 上的点，若AM ⊥CE ，AN ⊥BD ，AM=AN.求证：EM=DNBAE D BCM BN B例6. 如图a 所示，ABC ∆中，90=∠BAC ，AC AB =，AE 是过A 的一条直线，且点B 、C 在AE 的异侧，AE BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ，试说明: （1）CE DE BD +=.（2）若直线AE 绕A 点旋转到如图b 的位置时（BD ＜CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？说明理由.（3）若直线AE 绕A 点旋转到如图c 的位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，则BD 与DE 、CE 的关系又怎样？ADBCE（c ）【初试锋芒】1．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） A 、一锐角对应相等 B 、两锐角对应相等 C 、一条边对应相等D 、两条直角边对应相等2．如图1，P 到AB 、AC 的距离PE PF =，则PAF PAE ∆≅∆的理由是（ ） A 、HL B 、AAS C 、SSS D 、ASA3．如图2中，90=∠C ，BC AC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，AB DE ⊥于E ，若cm AB 6=，则DEB ∆的周长（ ）A 、cm 5B 、cm 6C 、cm 7D 、cm 84．在A B C ∆和DEF ∆中，DE AB =，90=∠=∠D A ，只要再补充条件 、或 、或 , 就能说明DEF ABC ∆≅∆.5．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，D 是AC 上的一点，E 在BC 的延长线上，且AE=BD ，BD 的延长线与AE 交于点F.求证：BF ⊥AE AFBPEC图1图26.如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠C=180°7．已知：如图所示，AC AD CE CD DCE ⊥=︒=∠,,90于A ，AC BE ⊥于B ， 求证：AB+AD=AC8．如图，在ABC ∆中，高AD 、BE 交于点H ，M 、N 分别是BH 、AC 的中点，︒=∠45ABC ． 求证：DM=DN ．A DBN EHM【大展身手】1. 如图，△ABC 中，∠C=90°,AB=2AC ，M 是AB 的中点，点N 在BC 上，MN ⊥AB. 求证：AN 平分∠BAC2．如图，已知：BE ⊥CD ，BE=DE ，BC=DA ，求证：DF ⊥BC3.如图，已知AC=BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD. 求证：AD=BC.B A21N MCB CDEFAC。

全等三角形判定的三种类型1.SSS判定（边边边）SSS判定是指当两个三角形的三条边分别相等时，它们是全等三角形。

例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以通过SSS判定断定三角形ABC和DEF是全等的。

SSS判定的原理是，边长相等可以确保两个三角形的相应边之间的角度也是相等的，根据三角形角度之和为180°的性质，可以推导出它们的角度也是相等的，进而判断三角形全等。

2.SAS判定（边角边）SAS判定是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们是全等三角形。

例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果AB=DE，∠BAC=∠EDF，BC=EF，则可以通过SAS判定判断三角形ABC和DEF是全等的。

SAS判定的原理是，两个三角形的一边和与这边相邻的两个角相等时，可以确保这两个三角形的三个边都相等，从而判断它们全等。

3.ASA判定（角边角）ASA判定是指当两个三角形的两角和边分别相等时，它们是全等三角形。

例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，AC=DF，则可以通过ASA判定判断三角形ABC和DEF是全等的。

ASA判定的原理是，两个三角形的两个角和这两个角所夹的边相等时，可以确保这两个三角形的第三个角也相等，从而判断它们全等。

此外，还有两种特殊情况的判定方法：4.直角全等判定如果两个直角三角形的三个边分别相等，那么它们一定是全等的。

这是因为直角三角形的两个直角以及第三个角也是相等的。

5.等腰全等判定如果两个三角形都为等腰三角形，并且有一个角相等，那么它们一定是全等的。

这是因为等腰三角形的两个底角和底边相等，所以只需要一个额外的角相等即可推断两个等腰三角形全等。

综上所述，全等三角形的判定可以通过SSS、SAS、ASA以及两种特殊情况的判定方法来进行。

这些判定方法不仅可以帮助我们判断三角形的全等性质，而且在数学推导和证明过程中也有重要的应用。

直角三角形证明全等的方法
证明两个直角三角形全等只需要除直角外的两个条件分别对应相等即可。

如下四条选一。

1、证明两条直角边分别对应相等；
2、证明一条直角边和一个锐角分别对应相等；
3、证明斜边和一个锐角分别对应相等；
4、证明斜边和一条直角边分别对应相等。

与全等三角形的判定定理比较可知，第1条是两边夹角，第2、3两条都是两角一边，第4条较特殊，是两边和其中一边的对角，在全等三角形的条件里是没有的。

还有全等三角形有三条边分别对应相等的判定条件，直角三角形全等判定条件里没有类似的。

教学设计教学目标：知识目标：1、已知斜边和直角边会作直角三角形；2、熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；能力目标：通过探究性教学，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法；培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力；通过实践探究，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力。

情感目标：通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；在探究性教学活动中培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神。

教学重点：“斜边、直角边定理”的掌握和灵活运用。

教学难点：数学语言的正确表达。

教学方法：采用启发式和讨论式教学。

课前准备：课件、圆规、直尺、剪刀、草稿纸教学过程设计：（一）复习引入:判定三角形全等的方法有哪些？如图1，Rt ABC中，直角边、，斜边（二）动手操作、发现新知1、用直尺和圆规，画一个Rt ABC，使得∠C=90°,一直角边AC=8cm,斜边AB=10cm2、把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？3、判定两个直角三角形全等的判定定理：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或”HL”）（三）例题精讲，课本20页例1,、例2.（四）知识巩固，课本20页练习1、2.（五）布置作业：课本A组题（六）归纳总结，深化目标1、直角三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、AAS、SSS、HL其中HL只适用判定直角三角形全等。

2、使用HL时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等。

3、熟练使用“分析综合法”探求解题思路。

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