2020_2021学年高中数学5.2.3简单复合函数的导数课后提升训练(含解析)新人教A版选择性必修第二册

人教版高中数学选择性必修第二册简单复合函数的导数分层作业(原卷版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1求较复杂函数的导数1．(5分)函数f (x )＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为()A ．abB ．－a (a －b )C ．0D ．a －b2．(5分)函数f (x )＝x x x 的导数是()A ．18x B ．－788x C ．788xD ．－188x3．(5分)函数y ＝x －(2x －1)2的导数y ′＝()A ．3－4x B ．3＋4x C ．5＋8xD ．5－8x4.(5分)若函数y ＝tan x ，则y ′＝________.知识点2求复合函数的导数5．(5分)下列函数不可以看成是复合函数的是()A ．y ＝x cos xB ．y ＝1ln xC ．y ＝(2x ＋3)4D ．y ＝6．(5分)函数y ＝sin2x －cos2x 的导数y ′＝()A ．22cosx B ．cos2x ＋sin xC ．cos2x －sin2xD ．22cosx 7．(5分)函数y ＝1(3x －1)2的导数是()A ．6(3x －1)3B ．6(3x －1)2C ．－6(3x －1)3D ．－6(3x －1)28．(5分)函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为()A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x 2x ＋5知识点3导数运算的应用9．(5分)设f (x )＝x e x ，若f ′(x 0)＝0，则x 0等于()A ．e 2B ．－1C ．ln 22D ．ln 210．(5分)曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －211．(5分)已知函数f (x )＝x f ′(x )是()A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数12.(5分)若f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则a ＝________.能力提升练能力考点适度提升13.(5分)函数f (x )的导数为()A ．f ′(x )＝B ．f ′(x )＝C ．f ′(x )＝D ．f ′(x )＝14．(5分)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝()A ．2B ．12C ．－12D ．－215．(5分)点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是()A B ．0∪3π4，C ．3π4，D ，3π416.(5分)y ＝sin2x ·cos3x 的导数是________________________．17.(5分)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.18.(5分)直线y ＝12x ＋b 能作为下列函数y ＝f (x )的切线的有________．(写出所有正确的函数序号)①f (x )＝1x ；②f (x )＝ln x ；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝－e x .19.(10分)求下列函数的导数．(1)y ＝x －sin x 2·cos x2；(2)y ＝1x·cos x .20.(10分)求y ＝ln(2x ＋3)－12，ln人教版高中数学选择性必修第二册简单复合函数的导数分层作业(解析版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1求较复杂函数的导数1．(5分)函数f(x)＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为()A．ab B．－a(a－b)C．0D．a－bD解析：∵f(x)＝x2－(a＋b)x＋ab，∴f′(x)＝2x－(a＋b)．∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b.2．(5分)函数f(x)＝x x x的导数是()A．18 x B．－788xC．788xD．－188xC解析：∵f(x)＝x x x＝x78，∴f′(x)＝78x－18＝788x.3．(5分)函数y＝x－(2x－1)2的导数y′＝() A．3－4x B．3＋4x C．5＋8x D．5－8x D解析：∵y＝x－(2x－1)2＝－4x2＋5x－1，∴y′＝－8x＋5.4.(5分)若函数y＝tan x，则y′＝________.1cos2x解析：∵y＝tan x＝sin xcos x，∴y′＝1cos2x.知识点2求复合函数的导数5．(5分)下列函数不可以看成是复合函数的是()A．y＝x cos x B．y＝1ln xC．y＝(2x＋3)4D．y＝A解析：A是两函数积的形式，不是复合函数，B，C，D均为复合函数．6．(5分)函数y＝sin2x－cos2x的导数y′＝()A ．22cosx B ．cos2x ＋sin xC ．cos2x －sin2xD ．22cos xA解析：y ′＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cosx 7．(5分)函数y ＝1(3x －1)2的导数是()A ．6(3x －1)3B ．6(3x －1)2C ．－6(3x －1)3D ．－6(3x －1)2C解析：∵y ＝1(3x －1)2＝(3x －1)－2，∴y ′＝－2(3x －1)－3·(3x －1)′＝－6(3x －1)3.故选C ．8．(5分)函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为()A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x 2x ＋5B解析：y ′＝x ′·ln(2x ＋5)＋x ·[ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.知识点3导数运算的应用9．(5分)设f (x )＝x e x ，若f ′(x 0)＝0，则x 0等于()A ．e 2B ．－1C ．ln 22D ．ln 2B解析：∵f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＝e x (x ＋1)，∴f ′(x 0)＝e x 0(x 0＋1)＝0.∴x 0＋1＝0.∴x 0＝－1.10．(5分)曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2A解析：∵f ′(x )＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝f ′(－1)＝2(－1＋2)2＝2.∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.11．(5分)已知函数f (x )＝x f ′(x )是()A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数D解析：f ′(x )＝x 2sin2x ，其最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数.12.(5分)若f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则a ＝________.2解析：∵f ′(x )＝12ax 2－1·(ax 2－1)′＝axax 2－1，∴f ′(1)＝a a －1＝2.∴a ＝2.能力提升练能力考点适度提升13.(5分)函数f (x )的导数为()A ．f ′(x )＝B ．f ′(x )＝C ．f ′(x )＝D ．f ′(x )＝C解析：f ′(x )＝＝14．(5分)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝()A ．2B ．12C ．－12D ．－2D解析：∵y ＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12.由题意知直线ax ＋y ＋1＝0的斜率k ′＝－a ＝2，∴a ＝－2.15．(5分)点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是()A B ．0∪3π4，C ．3π4，D ，3π4B解析：∵y ′＝3x 2－1≥－1，∴tan α≥－1.∵α∈[0，π)，∴α∈0∪3π4，16.(5分)y ＝sin2x ·cos3x 的导数是________________________．2cos2x cos3x －3sin2x sin3x解析：y ′＝(sin2x )′·cos3x ＋sin2x ·(cos3x )′＝2cos2x ·cos3x －3sin2x ·sin3x .17.(5分)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.2解析：因为y ′＝α·x α－1，所以在点(1,2)处的切线斜率k ＝α，则切线方程为y －2＝α(x －1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.18.(5分)直线y ＝12x ＋b 能作为下列函数y ＝f (x )的切线的有________．(写出所有正确的函数序号)①f (x )＝1x ；②f (x )＝ln x ；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝－e x .②③解析：①f ′(x )＝－1x 2<0，②f ′(x )＝1x，③f ′(x )＝cos x ，④f ′(x )＝－e x <0.由此可知，y ＝12x ＋b 可作为函数②③的切线.19.(10分)求下列函数的导数．(1)y ＝x －sin x 2·cos x2；(2)y ＝1x·cos x .解：(1)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(2)y ′cos x ＋1x (cos x )′＝(x －12)′cos x －1x sin x ＝－12x －32cos x －1x sin x＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x2x x.20.(10分)求y ＝ln(2x ＋3)－12，ln 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12y ′x ＝23－1＝1，－12，ln 1，所以倾斜角为π4.。

1.2。

3 简单复合函数的导数5分钟训练 （预习类训练,可用于课前）1。

函数y=(3x —4)2的导数是( ）A 。

4（3x-2）B 。

6x C.6x （3x —4） D.6(3x —4)答案：D解析：y′=［(3x-4)2］′=2(3x -4）·3=6（3x —4).2.函数y=sin2x 的导数是( ）A 。

cos2xB 。

2xsin2xC 。

2cos2xD 。

2sin2x答案：C解析:y′=(sin2x)′=cos2x·(2x ）′=2cos2x 。

3。

函数y=122+x 的导数为_____________。

解析：令y=21u ，u=2x 2+1，则y′x =y′u ·u′x =1221-u·（4x)=2x 212)12(-+x . 答案:2x 212)12(-+x4。

函数y=xcosx 2的导数是_____________。

解析：y′=cosx 2+x （-sinx 2）·2x=cosx 2—2x 2sinx 2.答案：cosx 2-2x 2sinx 210分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1。

函数y=（x+x 1)5的导数为( ） A.5(x+x 1)4 B.5(x+x 1）4（1+x1） C 。

5(x+x 1）4（1—x —2） D 。

5（x+x1)4(1+x -2） 答案：C解析：y′=［(x+x1)5]′ =5（x+x 1）4·(x+x1)′ =5(x+x 1)4（1—x -2). 2。

函数y=2sin3x 的导数是（ ）A.2cos3x B 。

—2cos3x C.6sin3x D 。

6cos3x答案：D解析:y′=(2sin3x)′=2cos3x·（3x ）′=6cos3x 。

3.若f （x)=-e —x ,则f′（x ）为（ ）A.—e —xB.e —x C 。

e x D.-e x答案：B解析：f′（x)=-e -x ·（—1)=e -x .4。

第五章三角函数5.2三角函数的概念第1课时任意角的三角函数的定义考点1有关任意角的三角函数的定义的问题1。

(2019·河南商丘九校高一上期末联考)若角α的终边上一点的坐标为（1，—1），则cos α等于（ )。

A.1 B.—1 C .√22 D.-√22 答案：C解析:∵角α的终边上一点的坐标为(1,—1)，此点与原点的距离r =√12+(-1)2=√2,∴cos α=x r =√2=√22. 2。

(2019·青岛二中月考)已知角α的终边过点P （—4,3），则2sin α+tan α的值是（ ）。

A 。

—920B 。

920 C.—25 D.25答案:B解析：∵角α的终边经过点P （-4,3),∴r =|OP ｜=5。

∴sin α=35,cos α=—45，tan α=—34。

∴2sin α+tan α=2×35+(-34)=920。

故选B 。

3.(2019·陕西山阳中学高一上期末考试)点A （x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为（ )。

A.√3 B.—√3 C.√33 D.—√33 答案:A解析：因为tan60°=√3,所以y x=√3,故选A 。

4。

（2019·山西太原外国语学校高一上第三次月考)若角α的终边过点P (2sin30°，—2cos30°)，则sin α的值为( ）。

A 。

12B 。

-12 C.-√32 D 。

-√33答案：C解析:由题意得P (1，-√3）,它与原点的距离r =√12+(-√3)2=2，所以sin α=—√32。

5。

（2019·新疆兵团二中高三上第二次月考）已知点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ=( )。

A.—13 B 。

±13C 。

—3 D.±3答案:C解析：因为点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，所以a =log 313=—1,即M (13,-1)，所以tan θ=-113=-3,故选C 。

第四章测评（时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

已知数列{a n ｝的通项公式为a n =n 2—n ，则可以作为这个数列的其中一项的数是（ ) A 。

10B.15C.21D.42n=7时,a 7=72-7=42,所以42是这个数列中的一项.2。

已知数列｛b n ｝是等比数列，b 9是1和3的等差中项，则b 2b 16=（ )A 。

16B 。

8C 。

4D 。

2b 9是1和3的等差中项,所以2b 9=1+3,即b 9=2.由等比数列｛b n }的性质可得b 2b 16=b 92=4.3.(2019全国Ⅰ，理9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和。

已知S 4=0,a 5=5，则( )A 。

a n =2n —5 B.a n =3n-10C 。

S n =2n 2—8nD 。

S n =12n 2—2n{b 4=4b 1+4×32·b =0,b 5=b 1+4b =5,解得{b1=-3,b =2.故a n=2n-5，S n=n2—4n，故选A。

4。

等差数列{a n}中,S16〉0，S17<0,当其前n项和取得最大值时,n=（)A.8 B。

9 C.16 D。

17,S16>0,即a1+a16=a8+a9>0,S17<0，即a1+a17=2a9〈0,所以a9〈0，a8〉0,所以等差数列｛a n}为递减数列，且前8项为正数,从第9项以后为负数，所以当其前n项和取得最大值时，n=8。

故选A。

5.已知数列{a n}是以2为首项,1为公差的等差数列，{b n｝是以1为首项,2为公比的等比数列,则b b1+b b2+…+b b10=（）A。

1 033 B.1 034 C。

2 057 D。

2 058a n=n+1，b n=2n-1,于是b bb =b2b-1=2n—1+1，因此b b1+b b2+…+b b10=（20+1)+(21+1)+…+(29+1)=(1+2+22+…+29)+10=1-2101-2+10=1 033.6。

[课下梯度提能]一、基本能力达标1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4解析：选A A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u 的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .3．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2D ．1解析：选C y ′＝e x －1＋x e x －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2.4．设f (x )＝ln(2x －1)，若f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)＝1，则x 0的值为( ) A.e ＋12 B.32 C ．1D.34解析：选B 由f (x )＝ln(2x －1)，得f ′(x )＝22x －1.由f ′(x 0)＝22x 0－1＝1，解得x 0＝32.故选B.5．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．3x ＋2y ＋2ln 2－3＝0B ．2x －3y ＋2ln 2－3＝0C ．3x －2y ＋2ln 2－3＝0D ．2x ＋3y ＋2ln 2－3＝0 解析：选C f ′(x )＝11＋x－1＋2x . 由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.6．函数y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的导数为________．解析：∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x 2sin 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2′sin 4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2·(sin 4x )′＝－12sin 4x －2x cos 4x . 答案：－12sin 4x －2x cos 4x7．已知函数f (x )＝(2x ＋a )2且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2(2x ＋a )(2x ＋a )′＝8x ＋4a ，则8×2＋4a ＝20，解得a ＝1. 答案：18．函数f (x )＝ln (2x ＋3)－2x 2x 的图象在点(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：f′(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫22x＋3－4x x－[ln(2x＋3)－2x2]x2＝2x2x＋3－ln(2x＋3)－2x2x2，则f′(－1)＝－4，故该切线方程为y＝－4x－2，切线在x，y轴上的截距分别为－12，－2，故所求三角形的面积为12.答案：1 29．求下列函数的导数：(1)y＝sin(2x－1)；(2)y＝x·e2x＋1.解：(1)y＝sin(2x－1)由y＝sin u与u＝2x－1复合而成，∴y x′＝(sin u)′·(2x －1)′＝2cos u＝2cos(2x－1)．(2)y′＝(x·e2x＋1)′＝x′·e2x＋1＋x·(e2x＋1)′＝e2x＋1＋x·e2x＋1·(2x＋1)′＝e2x＋1(1＋2x)．10．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离．解：设直线l与曲线y＝ln(2x－1)相切于点P(x0，y0)，且与直线2x－y＋3＝0平行．由直线l的斜率k＝22x0－1＝2，得x0＝1，所以P(1,0)，因此直线l的方程为2x－y－2＝0.直线l与直线2x－y＋3＝0的距离为d＝55＝5，所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 5.二、综合能力提升1．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1 B．2C．－1 D．－2解析：选B ∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a，∵直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切， ∴切线的斜率为1，则1x ＋a＝1， ∴x ＝1－a ，y ＝ln 1＝0，∴切点坐标为(1－a,0)， ∵切点(1－a,0)在切线y ＝x ＋1上， ∴0＝1－a ＋1，解得a ＝2.2．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(－π＜φ＜0)．若f (x )＋f ′(x )是偶函数，则φ＝( )A.π3 B ．－π3 C.π6D ．－π6解析：选Bf (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6，因为f (x )＋f ′(x )为偶函数，所以当x ＝0时2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6＝±2，则φ＋5π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π－π3，k ∈Z ， 又－π＜φ＜0，所以φ＝－π3.3．已知A (1，f ′(1))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))，a ＝(1,1)，∴f (x )＝AB ―→·a ＝x －1＋ln(2－x )－f ′(1)＝ln(2－x )＋x －f ′(1)－1， ∴f ′(x )＝12－x ·(2－x )′＋1＝1x －2＋1，∴f ′(1)＝0，∴f (x )＝ln(2－x )＋x －1.4．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s (t )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋5π6(0≤t ≤24)，其中s 的单位是m ，t 的单位是h ，求函数在t ＝18时的导数，并解释它的实际意义．解：设f (x )＝3sin x ，x ＝φ(t )＝π12t ＋5π6. 由复合函数求导法则得s ′(t )＝f ′(x )·φ′(t )＝3cos x ·π12＝π4cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋5π6. 将t ＝18代入s ′(t )，得s ′(18)＝π4cos 7π3＝π8(m/h)． 它表示当t ＝18 h 时，潮水的高度上升的速度为π8 m/h.。

第五章一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数课后篇巩固提升基础达标练1.下列函数不是复合函数的是( ) A .y=-x 3-1x+1 B .y=cos x+π4C .y=1lnxD .y=(2x+3)4不是复合函数,B 、C 、D 均是复合函数,其中B 是由y=cos u ,u=x+π4复合而成;C 是由y=1u,u=ln x 复合而成;D 是由y=u 4,u=2x+3复合而成.2.(2020安徽高二期末)函数f (x )=sin 2x 的导数是 ( )A.2sin xB.2sin 2xC.2cos xD.sin 2xy=sin 2x 写成y=u 2,u=sin x 的形式.对外函数求导为y'=2u ,对内函数求导为u'=cos x ,故可以得到y=sin 2x 的导数为y'=2u cos x=2sin x cos x=sin2x ,故选D .3.(2020福建高二期末)已知函数f (x )=sin2xx,则f'(x )=( )A.xcos2x -sin2xx 2B.xcos2x+sin2xx 2 C.2xcos2x -sin2xx 2D.2xcos2x+sin2xx 2f (x )=sin2xx ,故f'(x )=(sin2x )'x -sin2x ·x 'x 2=2xcos2x -sin2xx 2,故选C .4.(2020山东高三期末)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a )相切,则a 的值为( ) A.1B .2C .-1D .-2(x 0,x 0+1),依题意有{1x 0+a=1,x 0+1=ln (x 0+a ),由此得x 0+1=0,x 0=-1,a=2.5.(多选)设函数f (x )=cos(√3x+φ)(0<φ<2π),若f (x )+f'(x )是奇函数,则φ的可能取值为( ) A.π6B.5π6C.7π6D.11π6解析f'(x )=-√3sin(√3x+φ),f (x )+f'(x )=cos(√3x+φ)-√3sin(√3x+φ)=2sin √3x+φ+5π6.若f (x )+f'(x )为奇函数,则f (0)+f'(0)=0, 即0=2sin φ+5π6,因此φ+5π6=k π(k ∈Z ).又因为φ∈(0,2π),所以φ=π6或φ=7π6.6.(2020海南中学高二期末)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x ),且f (ln x )在x=e 处的导数为1e2,则f'(1)= .g (x )=f (ln x ),由复合函数的求导法则可得g'(x )=1xf'(ln x ).由题意可得g'(e)=1e f'(1)=1e 2,解得f'(1)=1e .故答案为1e .7.若曲线y=x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P 的坐标是 ,切线方程为 .P (x 0,y 0).∵y=x ln x ,∴y'=ln x+x ·1x=1+ln x.∴k=1+ln x 0.又k=2,∴1+ln x 0=2,∴x 0=e .∴y 0=elne=e.∴点P 的坐标是(e,e).故切线方程为y-e =2(x-e),即2x-y-e =0.2x-y-e =08.(2020江苏高三开学考试)已知函数f (x )=m ln x 图象与函数g (x )=2√x 图象在交点处切线方程相同,则m 的值为 .f (x )和g (x )的交点为(x 0,y 0),则由f (x )=m ln x ,得f'(x )=m,∴f (x )在(x 0,y 0)处的切线方程的斜率k 1=m,同理,函数g (x )在(x 0,y 0)处的切线方程的斜率k 2=√x0x 0,∵f (x )和g (x )在交点处切线方程相同, ∴k 1=k 2,即m x 0=√x 0x 0,①又y 0=f (x 0)=m ln x 0,② y 0=g (x 0)=2√x 0,③由①②③解得,m=e .9.求下列函数的导数. (1)y=e 2x+1;(2)y=1(2x -1)3;(3)y=5log 2(1-x );(4)y=sin 3x+sin 3x.函数y=e 2x+1可看作函数y=e u 和u=2x+1的复合函数,∴y x '=y u '·u x '=(e u )'(2x+1)'=2e u =2e 2x+1.(2)函数y=1(2x -1)3可看作函数y=u -3和u=2x-1的复合函数,∴y x '=y u '·u x '=(u -3)'(2x-1)'=-6u -4=-6(2x-1)-4=-6(2x -1)4.(3)函数y=5log 2(1-x )可看作函数y=5log 2u 和u=1-x 的复合函数,∴y x '=y u '·u x '=(5log 2u )'·(1-x )'=-5uln2=5(x -1)ln2.(4)函数y=sin 3x 可看作函数y=u 3和u=sin x 的复合函数,函数y=sin3x 可看作函数y=sin v 和v=3x 的复合函数.∴y x '=(u 3)'·(sin x )'+(sin v )'·(3x )'=3u 2·cos x+3cos v=3sin 2x cos x+3cos3x.能力提升练1.曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( ) A .13B .12C .23 D .1解析依题意得y'=e -2x ·(-2)=-2e -2x ,y'x=0=-2e-2×0=-2. 曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x ,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2、y=0与y=x 的图象,因为直线y=-2x+2与y=x 的交点坐标是23,23,直线y=-2x+2与x 轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23=13.2.已知点P 在曲线y=4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) A.0,π4B.π4,π2C.π2,3π4D.3π4,π 解析因为y=4e x +1,所以y'=-4e x (e x +1)2=-4e x e 2x +2e x +1=-4e x +1ex +2.因为e x >0,所以e x +1e x ≥2,所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈3π4,π.3.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末改编)直线y=12x+b 能作为下列( )函数的图象的切线. A.f (x )=1x B.f (x )=x 4 C.f (x )=sin x 2D.f (x )=e xf (x )=1x ,得f'(x )=-1x 2=12,无解,故A 排除;由f (x )=x 4,得f'(x )=4x 3=12,故x=12,即曲线在点12,116的切线为y=12x-316,B 正确;由f (x )=sin x 2,得f'(x )=12cos x 2=12,取x=2k π,k ∈Z ,当k=0时,x=0,故曲线在点(0,0)的切线为y=12x ,C 正确;由f (x )=e x ,得f'(x )=e x =12,故x=-ln2,曲线在点-ln2,12的切线为y=12x+12ln2+12,D 正确,故选BCD .4.曲线y=sin 2x 在点(0,0)处的切线方程为 .y=f (x )=sin2x ,∴f'(x )=2cos2x.当x=0时,f'(0)=2,得切线的斜率为2, 所以k=2.所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.故答案为2x-y=0.x-y=05.函数y=ln e x1+ex 在x=0处的导数为 .ln e x1+e x =lne x -ln(1+e x )=x-ln(1+e x ),则y'=1-e x1+e x .当x=0时,y'=1-11+1=12.6.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则x>0时,f(x)的解析式为,曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x,又f(x)为偶函数,所以f(x)=ln x-3x(x>0).当x>0时,f'(x)=1x-3,f'(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.(x)=ln x-3x y=-2x-17.(1)已知f(x)=eπx sin πx,求f'(x)及f'12;(2)在曲线y=11+x2上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.∵f(x)=eπx sinπx,∴f'(x)=πeπx sinπx+πeπx cosπx=πeπx(sinπx+cosπx).∴f'12=πeπ2sinπ2+cosπ2=πeπ2.(2)设切点的坐标为P(x0,y0),由题意可知y'x=x0=0.又y'=-2x(1+x2)2,∴y'x=x0=-2x0(1+x02)2=0.解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.素养培优练用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020(x≠0,且x≠1).f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2021x2020,g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2021,则有f(x)=g'(x).而由等比数列求和公式可得g(x)=x(1-x 2021)1-x =x-x20221-x,于是f(x)=g'(x)=x-x20221-x'=(1-2022x 2021)(1-x)+(x-x2022) (1-x)2=1-2022x 2021+2021x2022 (1-x)2,即1+2x+3x2+4x3+…+2021x2020=1-2022x 2021+2021x2022 (1-x)2.。

十五导数的四则运算法则简单复合函数的导数(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020·秦州高二检测)函数f(x）=x—2ln x,则f′（1）=（）A。

—1 B。

1 C。

2 D.-2【解析】选A.根据题意,f(x)=x—2ln x，其导数f′(x)=1-，则f′(1)=1—2=-1.2。

（2020·福州高二检测）已知函数f（x）=,则f′(x）= (）A. B.C。

D。

【解析】选C。

根据题意，f(x）=，则f′（x）==。

3。

(2020·高安高二检测）f(x)=x（2 018+ln x)，若f′（x0)=2 020,则x0等于（）A.e2B。

1 C.ln 2 D。

e【解析】选D.f（x)=x（2 018+ln x）,则f′（x）=2 019+ln x,所以f′（x0)=2 019+ln x0=2 020,所以x0=e。

4.（2020·兰州高二检测）已知f(x)=sin x+cos x+，则f′等于（）A。

—1+ B.1+C.1 D。

—1【解析】选D。

f′(x）=cos x-sin x,故f′=cos —sin =—1。

二、填空题(每小题5分,共10分)5。

(2020·南通高二检测）已知函数f(x）=(x+a）ln x，f′(x）是函数f(x)的导函数.若f(1)=f′(1)，则实数a的值为________。

【解析】根据题意,函数f(x)=(x+a)ln x,则f(1)=(1+a）ln 1=0,则f′(x）=(x+a）′ln x+（x+a）(ln x）′=ln x+,则f′(1）=ln 1+1+a=1+a，则有1+a=0，解得a=-1.答案:—16。

(2020·全国Ⅰ卷）曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为________.【解题指南】设切线的切点坐标为(x0，y0）,对函数求导，利用y′=2，求出x0，代入曲线方程求出y0,得到切线的点斜式方程，化简即可.【解析】设切线的切点坐标为(x0,y0）,y=ln x+x+1，y′=+1，y′=+1=2，x0=1,y0=2,所以切点坐标为（1，2)，所求的切线方程为y—2=2(x—1），即y=2x.答案：y=2x三、解答题（每小题10分，共20分)7.求下列函数的导数:（1)y=x.（2)y=.(3）y=cos （3x—2).(4）f(x)=3x2+xcos x+lg x。

第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用学习目标核心素养1.能用导数解决函数的零点问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．3．能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点）1。

借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养．2．通过学习用导数解决生活中的优化问题,培养数学建模的核心素养．3．借助实际问题的求解,提升逻辑推理及数学运算的核心素养.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？1．函数图象的画法函数f (x)的图象直观地反映了函数f (x)的性质．通常,按如下步骤画出函数f (x)的图象：(1）求出函数f （x）的定义域;（2)求导数f ′（x)及函数f ′(x）的零点；(3)用f ′（x）的零点将f （x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f ′（x）在各区间上的正负,并得出f （x）的单调性与极值；(4)确定f （x）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f （x）的大致图象．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示]（1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．（2)求实际问题的最大(小）值时,一定要从问题的实际意义去考查,不符合实际意义的应舍去,如：长度、宽度应大于0,销售价为正数等．1．判断正误（正确的打“√"，错误的打“×”）(1)用导数研究实际问题要先求定义域．（）(2）方程x e x＝2有两个不相等的实数根．(）（3）做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4 m．()［提示］（2）令y＝x e x，，则y′＝e x（x＋1）．由于x＞－1时，y′＞0,x＜－1时，y′＜0。

∴x＝－1时y＝x e x取到最小值－错误!。

函数求导1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限） （1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00。

（3）取极限求导数=)(0'x f xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0002．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。

函数在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。

3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nxx⑤a a a xx ln )('=⑥xx e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '=⑧x x 1)(ln '= ⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -= （2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 例：（1）()324y x x =- （2）sin xy x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+复合函数的导数如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且(f [)(x ϕ])ˊ= [])(x f ϕ')(x ϕ'或记作 x y '=u y '•x u '熟记链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则x y '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则x y '=)()()(x v u f ψϕ'''（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

第一章立体几何初步[课时作业][A组基础巩固]1．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是() A．平行B．相交C．异面D．以上均可能解析：这两条直线可能平行，可能相交，也可能异面．答案：D2.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G、H，则HG与AB 的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB，又AB平面EFGH，EF平面EFGH，∴AB∥平面EFGH，又AB平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.答案：A3.如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有() A．1条B．2条C．3条D．无数条解析：如图，过M作MQ∥AA1交AB于Q，过Q作QH∥AC，交BC 于点H ，过点H 作NH ∥BB 1，交B 1C 于点N .因为BB 1∥AA 1，所以NH ∥MQ ，则平面MQHN ∥平面ACC 1A 1，则MN ∥平面ACC 1A 1.因为M 为线段A 1B 上的动点，所以这样的MN 有无数条，故选D. 答案：D4.如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，线段P A ，PB ，PC 分别交α于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( ) A ．2∶5 B ．3∶8 C ．4∶9D ．4∶25解析：由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ， 从而S △A ′B ′C ′S △ABC＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝⎝⎛⎭⎫252＝425. 5．若直线l 不存在与平面α内无数条直线都相交的可能，则直线l 与平面α的关系为________． 解析：若直线l 与平面α相交或在平面α内，则在平面α内一定存在无数条直线与直线l 相交，故要使l 不可能与平面α内无数条直线都相交，只有l ∥α. 答案：l ∥α6.空间四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ＝4，E 是AB 的中点，过E 与AC 、BD 都平行的截面EFGH 分别与BC 、CD 、DA 交于F 、G 、H ，则四边形EFGH 的周长为________．解析：易知EFGH 为平行四边形，且F 、G 、H 分别为BC 、CD 、AD 的中点，∴EF ＝12AC ＝2，同理FG ＝GH ＝EH ＝2，∴四边形EFGH 的周长为8. 答案：87.如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________. 解析：∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝23a .故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝223a .答案：223a8.如图，P 为▱ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当P A ∥平面EBF 时，PFFC＝________. 解析：连接AC 交BE 于点G ，连接FG ，因为P A ∥平面EBF ，P A 平面P AC ，平面P AC ∩平面BEF ＝FG ，所以P A ∥FG ，所以PF FC ＝AGGC .又因为AD ∥BC ，E 为AD 的中点， 所以AG GC ＝AE BC ＝12，所以PF FC ＝12.答案：129．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，BC ∥AD ，E 为侧棱PD 的中点，且BC ＝2，AD ＝4.求证：CE ∥平面P AB .证明：取AD 的中点O ，连接OC ，OE (图略)． ∵E 为侧棱PD 的中点， ∴OE ∥P A ，∴OE ∥平面P AB .∵BC ＝2，AD ＝4，BC ∥AD ，∴四边形ABCO 为平行四边形， ∴OC ∥AB ，∴OC ∥平面P AB .∵OC ∩OE ＝O ，∴平面OCE ∥平面P AB . ∵CE 平面OCE ，∴CE ∥平面P AB .10．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是AD1，BD的中点．求证：PQ∥平面DCC1D1.证明：证法一连接AC、CD1，∵P，Q分别是AD1，AC的中点，∴PQ∥CD1.又P平面DCC1D1，CD1平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.证法二取AD中点G，连接PG、GQ.则有PG∥D1D.又PG平面DCC1D1，D1D平面DCC1D1，∴PG∥平面DCC1D1，同理GQ∥平面DCC1D1.又PG∩GQ＝G，∴平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ平面PGQ，∴PQ∥平面DCC1D1.[B组能力提升]1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为()A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．梯形解析：由于正方体中平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，又截面EFGH 与平面ABB 1A 1、平面DCC 1D 1分别相交于GF ，EH ，由面面平行的性质定理知GF ∥EH ；同理可得EF ∥GH ，故四边形EFGH 一定是平行四边形，选A. 答案：A2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上存在一点E (不与端点重合)，使得BD 1∥平面B 1CE ，则( ) A ．BD 1∥CE B ．AC 1⊥BD 1 C ．D 1E ＝2EC 1D ．D 1E ＝EC 1解析：连接BC 1，设B 1C ∩BC 1＝O ，连接OE ，如图，BD 1∥平面B 1CE ，平面BC 1D 1∩平面B 1CE ＝OE ，∴BD 1∥OE ，∵O 为BC 1的中点，∴E 为C 1D 1的中点，∴D 正确，C 错误；由异面直线的定义，知BD 1，CE 是异面直线，故A 错误；连接AD 1，在矩形ABC 1D 1中，AC 1与BD 1不垂直，故B 错误．故选D. 答案：D3．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________． 解析：当P 点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD ＝24，当平面α和平面β在点P 同侧时可求得BD ＝245.答案：24或2454．在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，EF ∥平面ABCD ，EA ＝ED ＝AB ＝2EF ＝2，M 为BC 的中点，求证：FM ∥平面BDE .证明：取CD 的中点N ，连接MN ，FN (图略)． 因为N ，M 分别为CD ，BC 的中点，所以MN ∥BD .又BD 平面BDE ，且MN 平面BDE ，所以MN ∥平面BDE ，因为EF ∥平面ABCD ，EF 平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，所以EF ∥AB . 又AB ＝CD ＝2DN ＝2EF ＝2，AB ∥CD ， 所以EF ∥DN ，EF ＝DN ，所以四边形EFND 为平行四边形，所以FN ∥ED . 又ED 平面BDE ，且FN平面BDE ，所以FN ∥平面BDE .又FN ∩MN ＝N ，所以平面MFN ∥平面BDE . 又FM 平面MFN ，所以FM ∥平面BDE .5．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，且AB ＝23CD .试问在PC 上能否找到一点E ，使得BE ∥平面P AD ？若能，请确定E 点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由． 解析：在PC 上取点E ，使CE PE ＝12，则BE ∥平面P AD .证明如下：如图，延长DA 和CB 交于点F ，连接PF .梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝23CD .∴AB CD ＝BF FC ＝23，∴BC BF ＝12. 又CE PE ＝12，∴△PFC 中，CE PE ＝BCBF， ∴BE ∥PF ，而BE 平面P AD ，PF 平面P AD .∴BE ∥平面P AD .6.如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．解析：相交直线AA ′、BB ′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB 、A ′B ′，由面面平行的性质定理可得，AB ∥A ′B ′.同理相交直线BB ′、CC ′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC 、B ′C ′，从而BC ∥B ′C ′.同理易证AC ∥A ′C ′.∴∠BAC 与∠B ′A ′C ′的两边对应平行且方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′. ∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三内角分别相等，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∵AB ∥A ′B ′，AA ′∩BB ′＝O ， ∴在平面ABA ′B ′中，△AOB ∽△A ′OB ′.∴A ′B ′AB ＝OA ′OA ＝23.而S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×2×1＝1.∴S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2， ∴S △A ′B ′C ′＝49S △ABC ＝49×1＝49.。