届人教版数学九年级上学期期中模拟试题word版(含解析)

河南省平顶山市新城区2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)一、选择题（每小题3分，共30分）1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．B．x+﹣1＝0C．3（x+2）2＝3x2﹣4x+1D．ax2+2x＝13．下列选项中，矩形具有的性质是（）A．四边相等B．对角线互相垂直C．对角线相等D．每条对角线平分一组对角4．一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中黄球可能有（）A．14个B．16个C．18个D．20个5．用配方法解方程x2+6x+2＝0时，配方结果正确的是（）A．（x+3）2＝7B．（x+3）2＝11C．（x﹣3）2＝7D．（x﹣3）2＝11 6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，那么AE的长是（）A．13cm B．15cm C．16cm D．18cm7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若S菱形ABCD＝24，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（）A．5B．10C．20D．408．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（）A．2019B．2020C．2021D．20229．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．210．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作第n个正方形的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝．12．若关于x的方程kx2+x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是．13．三张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、菱形、矩形的图案，现将印有图案的一面朝下，洗匀后从中随机抽取一张，记下图案后放回，再从中随机抽取一张，则两次抽到的卡片印有的图案都是轴对称图形的概率为．14．若线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm．15．已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为．三、解答题（共8题，共75分）16．（10分）解方程：（1）2x2﹣3x+1＝0（配方法）（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣2，0），C（0，﹣2）．（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画△A'B'C'，使它与△ABC位似，且相似比为2：1，并写出点A'，B'，C'的坐标；（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直接写出点P的坐标．18．（11分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB＝5，BC＝12，求菱形AFCE的面积．19．（11分）小刚所在的社区为了做好应对新冠疫情的防控工作，特招募社区抗疫志愿工作者．小刚的爸爸决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（体温检测），B（便民代购），C（环境消杀）其中一组．（1）求小刚的爸爸被分到C组的概率；（2）小明的爸爸也加入了该社区的志愿者队伍，请利用画树状图或列表的方法求小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的概率．20．（11分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）若AB＝3，AC＝4．求DE的长．21．（11分）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？22．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE．观察猜想：（1）在点D的运动过程中，CE与AD是否相等？请说明你的理由．探究说理：（2）如图2，当D运动到AB中点时，请探究下列问题：①四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．2021-2022学年河南省平顶山市新城区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；B、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；C、由＝得，xy＝6，故本选项比例式不成立；D、由＝得，3x＝2y，故本选项比例式成立．故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．B．x+﹣1＝0C．3（x+2）2＝3x2﹣4x+1D．ax2+2x＝1【分析】依据一元二次方程的定义进行判断即可．【解答】解：A、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；B、是关于x的分式方程，故本选项不符合题意；C、方程整理为16x＝﹣11，是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意；D、当a＝0时是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．3．下列选项中，矩形具有的性质是（）A．四边相等B．对角线互相垂直C．对角线相等D．每条对角线平分一组对角【分析】根据矩形的性质可判断．【解答】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，∴选项C正确故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．4．一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中黄球可能有（）A．14个B．16个C．18个D．20个【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.35，然后根据概率公式计算即可．【解答】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：＝0.35，解得：x＝14，即布袋中黄球可能有14个，故选：A．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．5．用配方法解方程x2+6x+2＝0时，配方结果正确的是（）A．（x+3）2＝7B．（x+3）2＝11C．（x﹣3）2＝7D．（x﹣3）2＝11【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．【解答】解：∵x2+6x+2＝0，∴x2+6x＝﹣2，∴x2+6x+9＝﹣2+9，即（x+3）2＝7，故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，那么AE的长是（）A．13cm B．15cm C．16cm D．18cm【分析】根据平行线分线段成比例，可以求得AE的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，∴，∴AE＝15cm，故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若S菱形ABCD＝24，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（）A．5B．10C．20D．40【分析】根据菱形的面积得出AC，进而利用勾股定理得出AB即可．【解答】解：∵S菱形ABCD＝24，BD＝6，∴，∴OB＝＝＝3，OA＝＝4，∴AB＝，∴菱形ABCD的周长＝20，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x ﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（）A．2019B．2020C．2021D．2022【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x ﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2022．【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，则x﹣1＝2021，解得x＝2022，所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．2【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1＝．∴PB的最小值是．故选：C．【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作第n个正方形的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质找出M1、M2、M3的坐标，据此求得前四个正方形的面积，从而得到面积的变化规律，从而得解．【解答】解：∵正方形OA1B1C的边长为1，对角线A1C和OB1交于点M1，∴第一个正方形的面积为1，点M1（，），则第二个正方形的面积为；∵以A1M1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2，∴点M2（，），则第三个正方形的面积为（1﹣）2＝＝；∵以A1M2为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3，∴M3（，），则第四个正方形的面积为（1﹣）2＝＝，……所以第n个正方形的面积为，故选：C．【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．二、填空题（每小题3分，共15分）11．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝50°．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质可以求得∠A 的度数，本题得以解决．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝＝AD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∵∠CDA＝80°，∴∠A＝∠ACD＝50°，故答案为：50°．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．12．若关于x的方程kx2+x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣．【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答．【解答】解：①当k＝0时，x﹣2＝0，解得x＝2；②当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2+x﹣2＝0有实数根，∴Δ＝12﹣4k×（﹣2）≥0，解得k≥﹣，由①②得，k的取值范围是k≥﹣．故答案为k≥﹣．【点评】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分k＝0和k≠0两种情况进行讨论．13．三张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、菱形、矩形的图案，现将印有图案的一面朝下，洗匀后从中随机抽取一张，记下图案后放回，再从中随机抽取一张，则两次抽到的卡片印有的图案都是轴对称图形的概率为．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：分别用A、B、C表示平行四边形、菱形、矩形，画树状图得：共有9种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的有4种情况，∴两次抽到的卡片印有的图案都是轴对称图形的概率为，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．14．若线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm．【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段，则AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．【解答】解：∵线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB＝×＝（cm）．故答案为：．【点评】此题考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割比的值是解题的关键．15．已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为．【分析】过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，由“HL”可证Rt△NFE≌Rt△BEC，可得∠BCE＝∠NEF，可证∠FEC＝90°，由勾股定理可求FC的长，通过证明△FHG∽△CDG，可得＝，即可求解．【解答】解：过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，设∠BAD的外角为∠MAD，∵AF平分∠MAG，FH⊥AD，FN⊥AM，∴∠F AH＝45°，FN＝FH，∵FH⊥AD，∴∠F AH＝∠AFH＝45°，∴AH＝FH，∴AF＝FH＝，∴FH＝AH＝1，∴FN＝FH＝1，∵点E是边AB上靠近点B的四等分点，∴BE＝1，∴EC＝＝＝，∵将线段EC绕点E旋转，∴EC＝EF，在Rt△NFE和Rt△BEC中，，∴Rt△NFE≌Rt△BEC（HL），∴∠BCE＝∠NEF，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠BEC+∠NEF＝90°，∴∠FEC＝90°，∴CF＝EC＝，∵∠FHG＝∠D＝90°，∠FGH＝∠CGD，∴△FHG∽△CDG，∴＝，∴FG＝FC＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．三、解答题（共8题，共75分）16．（10分）解方程：（1）2x2﹣3x+1＝0（配方法）（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）【分析】（1）利用配方法得到（x﹣）2＝，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2﹣x＝﹣，x2﹣x+＝﹣+，（x﹣）2＝，x﹣＝±，所以x1＝1，x2＝；（2）（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣2，0），C（0，﹣2）．（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画△A'B'C'，使它与△ABC位似，且相似比为2：1，并写出点A'，B'，C'的坐标；（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）画出一个以点O为位似中心的△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC的相似比为2：1即可．（2）根据矩形的性质，即可直接写出．【解答】解：（1）如图所示：点A'（2，﹣2），B'（4，0），C'（0，4）；（2）四边形AA'B'P是矩形，点P的坐标（1，3）．【点评】本题考查作图﹣位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．18．（11分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB＝5，BC＝12，求菱形AFCE的面积．【分析】（1）根据矩形性质可得AD∥BC，可得＝，根据EF是AC的垂直平分线，即可证明结论；（2）根据勾股定理可得FC的长，进而可得菱形的面积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴＝，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝OC，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形．（2）在矩形ABCD中，∠B＝90°，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝12，∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝FC，∴BF＝BC﹣FC＝12﹣FC，在Rt△ABF中，根据勾股定理得：AF2＝AB2+BF2，∴FC2＝25+（12﹣FC）2，解得FC＝，故菱形AFCE的面积S＝FC•AB＝×5＝．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，菱形的判定等知识点的运用，关键是根据题意推出OE＝OF，题目比较典型，难度适中．19．（11分）小刚所在的社区为了做好应对新冠疫情的防控工作，特招募社区抗疫志愿工作者．小刚的爸爸决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（体温检测），B（便民代购），C（环境消杀）其中一组．（1）求小刚的爸爸被分到C组的概率；（2）小明的爸爸也加入了该社区的志愿者队伍，请利用画树状图或列表的方法求小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的概率．【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的的结果数为3，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）P（小刚的爸爸被分到C组）＝；（2）根据题意，画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的结果有3种，∴P（小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组）＝．【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（11分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）若AB＝3，AC＝4．求DE的长．【分析】（1）利用已知条件易证AB∥DE，进而证明△DCE∽△BCA；（2）首先证明AE＝DE，设DE＝x，所以CE＝AC﹣AE＝AC﹣DE＝4﹣x，利用（1）中相似三角形的对应边成比例即可求出x的值，即DE的长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EDA，∵∠EAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AB∥DE，∴△DCE∽△BCA；（2）解：∵∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，设DE＝x，∴CE＝AC﹣AE＝AC﹣DE＝4﹣x，∵△DCE∽△BCA，∴DE：AB＝CE：AC，即x：3＝（4﹣x）：4，解得：x＝，∴DE的长是．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大．21．（11分）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？【分析】（1）由题意可得，3月份的销售量为：128件；设四、五月份销售量平均增长率为x，则4月份的销售量为：128（1+x）；5月份的销售量为：128（1+x）（1+x），又知5月份的销售量为：200件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；（2）利用销量×每件商品的利润＝2250求出即可．【解答】解：（1）设四、五月份销售量平均增长率为x，则128（1+x）2＝200解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）所以四、五月份销售量平均增长率为25%；（2）设商品降价m元，则（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）所以商品降价5元时，商场获利2250元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．22．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE．观察猜想：（1）在点D的运动过程中，CE与AD是否相等？请说明你的理由．探究说理：（2）如图2，当D运动到AB中点时，请探究下列问题：①四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；（2）①先证出BD＝CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝BD，即可得出四边形BECD是菱形；②当∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．【解答】解：（1）CE＝AD，∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD．（2）①四边形BECD是菱形，理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD＝CD．∵CE＝AD，∴BD＝CE．∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD＝CD∴四边形BECD是菱形；②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC．∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴菱形BECD是正方形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．。

2023-2024学年广东省广州市天河区九年级上册期中数学质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、座位号、考生号；再用2B 铅笔把考号对应的数字涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（）A ．B ．C ．D ．2．二次函数()23y x =+的顶点坐标是（）A ．()3,0B ．()3,0-C ．()0,3-D ．()0,33．用配方法解方程2420x x --=，配方正确的是（）A ．()222x +=B ．()222x -=C ．()222x -=-D ．()226x -=4．抛物线222y x x =-+与y 轴的交点坐标为（）A ．()2,0B ．()1,1C ．()0,2D ．()0,2-5．关于二次函数235y x =-+，下列说法中正确的是（）A ．图象的开口向上B ．当1x >-时，y 随x 的增大而增大C ．当0x =时，y 有最小值是5D ．图象的顶点坐标是()0,56．已知关于x 的方程23520x mx m -+-=的一个根为2x =，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（）A ．8B ．10C ．8或10D ．6或107．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y （平方米）和长方形的一边的长x （米）的关系式为（）A ．220y x x=-+B ．220y x x=-C ．210y x x=-+D ．210y x x=-8．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k <C ．1k <且0k ≠D ．1k >-且0k ≠9．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且()()2a m a n ++=，()()2b m b n ++=，则ab mn -的值为（）A ．-2B ．-1C ．2D ．410．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象过原点，如图所示．给出以下四个结论：①0abc =；②0a b c ++>；③a b >；④240ac b -<．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．二次函数2y ax =经过点()1,2P -，则a =________．12．已知点P 的坐标是()3,4，则该点关于原点对称的点的坐标是________．13．在平面直角坐标系中，将抛物线()2213y x =-+先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为________．14．关于x 的一元二次方程2370x x +-=的两根分别为α，β，则24ααβ++=________．15．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，且12AC BD +=，则四边形ABCD面积的最大值为________．16．二次函数241y ax x =--与x 轴有两个交点，且这两个交点的横坐标在-2和0之间（不包括-2和0），则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出详细过程或计算步骤）17．（本小题满分4分）解方程：2450x x --=；18．（本小题满分4分）如图，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转45°后得到A B C '''△，若45A ∠=︒，100B '∠=︒，求B CA '∠的度数．19．（本小题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC 各顶点都在格点上，点A ，C 的坐标分别为()1,2-、()0,1-，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）AC =________；（2）将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的11A B C △，直接写出A 点对应点1A 的坐标．20．（本小题满分6分）“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2021年绿化面积约1000万平方米，预计2023年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．（1）求每年绿化面积的平均增长率；（2）若2024年的绿化面积继续保持相同的增长率，则2024年的绿化面积是多少?21．（本小题满分8分）如图，抛物线212y ax x c =-+与x 轴交于()1,0A -和()3,0B 两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点A 的直线2y mx n =+与抛物线在第一象限交于点D ，若点D 的纵坐标为5，请直接写出当21y y <时，x 的取值范围是________．22．（本小题满分10分）已知关于x 的方程()222110x m x m +++-=有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若0x =是方程的一个根，求方程的另一个根．23．（本小题满分10分）已知抛物线21y x mx n =-++，直线2y kx b =+，1y 的对称轴与2y 交于点()1,5A -．点A 与1y 的顶点B 的距离是4．（1）求1y 的解析式；（2）若2y 随着x 的增大而增大．且1y 与2y 都经过x 轴上的同一点，求2y 的解析式．24．（本小题满分12分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边CD 、BC 上的两点，且45EAF ∠=︒．AE 、AF 分别交正方形的对角线BD 于G 、H 两点，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ ，连接EF ．（1）求证：FA 平分∠QAE ．（2）求证：EF BF DE =+．（3）试探索BH 、HG 、GD 三条线段间的数量关系，并加以说明．25．（本小题满分12分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且经过点30,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数2y ax bx c =++在14x ≤≤时，y 的最大值为2，求a 的值：（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A B ''．若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，求a 的取值范围．九年级数学期中考答案题号12345678910答案AB D CD BCD AC题号111213141516答案2()3,4--()2212y x =++418744a -<<-注：解答题答案仅供参考，有不同做法的请根据实际酌情给分。

人教版九年级上册数学期中试卷（提升篇）（Word 版 含解析）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ． （1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．【答案】（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；【详解】解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①5 1.54t at -=-②由①②可得 1.1a =， 2.5t =．当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④，由③④可得0.5a =，2t =．综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等； ②AP BD ⊥，90BEP ∴∠=︒，90APB CBD ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90APB BAP ∴∠+∠=︒， BAP CBD ∴∠=∠，在ABP △和BCD 中，BAP CBD AB BCABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，BP CD ∴=， 即54t -=， 1t ∴=；（2）当38a =，83t =时，1DN at ==，而4CD =，DN CD ∴<，∴点N 在点C 、D 之间， 1.54AM t ==，4CD =， AM CD ∴=，如图②中，连接AC 交MD 于O ， 90ABC BCD ∠=∠=︒， 180ABC BCD ∴∠+∠=︒， //AB BC ∴，AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠， 在AOM 和COD △中， AMD CDM AM CDBAC DCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOM COD ASA ∴≅△△，OA OC ∴=，ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=， ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-， ADF CDF S S ∆∆∴=．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是1/cm s ，过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ，同时，点Q 从点C 出发沿CB 方向，在射线CB 上匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、QE ，PQ 与AC 交与点F ，设运动时间为()(08)<<t s t ．（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形；（2）设PQE 的面积为2()s cm ，求s 与t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932； （4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．【答案】（1）83t =；（2）S =299(08)8t t t -+<<；（3）当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932；（4）当573256=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）由四边形PFCE 是平行四边形，可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形，即PD CQ =，列式82t t -=，计算可解.（2）由PE AC ∥，得=DP DE DA DC ，代入时间t ，得886-=t DE 解得364=-DE t ，34CE t =再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系，可列函数式299(08)8S t t t =-+<<.（3）由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯，可解 当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，得22=EQ PE ，由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得，222+=CE CQ EQ ，222PD DE PE +=，即2222+=+CE CQ PD DE ，代入364=-DE t ，34CE t =，2CQ t =，8PD t =-可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ，计算验证可解.【详解】（1）当四边形PFCE 是平行四边形时，∥PF CE ， 又∵PD QC ，∴四边形CDPQ 为平行四边形， ∴PD CQ =， 即82t t -=， ∴83t =（2）∵PE AC ∥，∴=DP DEDA DC ， 即886-=t DE， ∴364=-DE t ，∴336644=-+=CE t t ， ∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t ， 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ，S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ，∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t （3）由题意，299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =，26t =所以当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ， ∴22=EQ PE ，在Rt CEQ 中，222+=CE CQ EQ ，在△Rt PDE 中，222PD DE PE +=， ∴2222+=+CE CQ PD DE ，即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t 解得1573256-=t ，2573256+=-t （舍）所以当57325-=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.3．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动，到达点C 停止运动．设运动时间为t 秒（1）如图1，过点P 作PD ⊥AC ，交AB 于D ，若△PBC 与△PAD 的面积和是△ABC 的面积的79，求t 的值； （2）点Q 在射线PC 上，且PQ ＝2AP ，以线段PQ 为边向上作正方形PQNM ．在运动过程中，若设正方形PQNM 与△ABC 重叠部分的面积为8，求t 的值．【答案】（1）t 1＝2，t 2＝4；（2）t 8． 【解析】 【分析】（1）先求出△ABC 的面积，然后根据题意可得AP ＝t ，CP ＝6﹣t ，然后再△PBC 与△PAD的面积和是△ABC 的面积的79，列出方程、解方程即可解答； （2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可. 【详解】（1）∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝12×6×6＝18， ∵AP ＝t ，CP ＝6﹣t ，∴△PBC 与△PAD 的面积和＝12t 2+12×6×（6﹣t ）， ∵△PBC 与△PAD 的面积和是△ABC 的面积的79， ∴12t 2+12×6×（6﹣t ）＝18×79， 解之，得t 1＝2，t 2＝4； （2）∵AP ＝t ，PQ ＝2AP ， ∴PQ ＝2t ，①如图1，当0≤t ≤2时，S ＝（2t ）2﹣12t 2＝72t 2＝8，解得：t 1t 2 ②如图2，当2≤t ≤3时，S ＝12×6×6﹣12t 2﹣12（6﹣2t ）2＝12t ﹣25t 2＝8， 解得：t 1＝4（不合题意，舍去），t 2＝45（不合题意，舍去）， ③如图3，当3≤t ≤6时，S ＝12 6×6﹣12t 2＝8，解得：t 1＝t 2＝﹣综上，t 的值为47或8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.4．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，()2517.2x +=，解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去）， 答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.5．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【答案】（1）10%；（2）方案②【解析】试题分析：首先设下调的百分率为x，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000（1-x）2=3240解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去）答：平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520＞316000 ∴方案②更优惠考点：一元二次方程的应用二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）6．已知，抛物线y＝-12x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．（1）直接填写抛物线的解析式________；（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.求证：MN∥y轴；（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG •CH 为定值.【答案】（1）2122y x x =-++；（2）见详解；（3）见详解． 【解析】 【分析】（1）把点C 、D 代入y ＝-12x 2+bx+c 求解即可； （2）分别设PM 、PC 的解析式，由于PM 、PC 与抛物线的交点分别为：M 、N.，分别求出M 、N 的代数式即可求解；（3）先设G 、H 的坐标，列出QG 、GH 的解析式，得出与抛物线的交点D 、E 的横坐标，再列出直线AE 的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证． 【详解】 详解：（1）∵y ＝-12x 2+bx+c 过点C （0,2），点Q （2,2）， ∴2122222b c c ⎧-⨯++⎪⎨⎪=⎩＝, 解得：12b c =⎧⎨=⎩. ∴y=-12x 2+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2由22122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩得12x 2+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =-由21=22y mx y x x =⎧⎪⎨-++⎪⎩得12x 2+(m-1)x-2=0， ∴124bx x a⋅=-=- 即x p•x m =-4，∴x m =4p x -=21k -. 由24y kx y x =+⎧⎨=+⎩得x N =21k -=x M , ∴MN ∥y 轴.（3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+， 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+22mk -∴=∴直线QG 的解析式为22my x m -=+ 同理可求直线QH 的解析式为22ny x n -=+； 由222122m y x m y x x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得221=222m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-2D x m ∴=-同理，2E x n =-设直线AE 的解析式为：y=kx+4，由24122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 得12x 2-(k-1)x+2=0124bx xa∴⋅=-=即x D x E=4，即（m-2）•（n-2）=4∴CG•CH=（2-m）•（2-n）=4.7．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1236 25SS=时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+23E'B的最小值．【答案】（1）抛物线y＝﹣34x2+94x+3，直线AB解析式为y＝﹣34x+3；（2）P（2，3 2）；（3）4103【解析】【分析】（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；（2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出65PNAN=，以此列出方程求解即可解决问题；（3）根据题意在y轴上取一点M使得OM′＝43，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+23E′B的最小值．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝mx 2﹣3mx+n （m≠0）与x 轴交于点C （﹣1，0）与y 轴交于点B （0，3），则有330n m m n ⎧⎨⎩++＝＝，解得433m n ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴抛物线239344y x x =-++， 令y ＝0，得到239344x x -++＝0， 解得：x ＝4或﹣1，∴A （4，0），B （0，3）， 设直线AB 解析式为y ＝kx+b ，则340b k b +⎧⎨⎩＝＝， 解得334k b ⎧-⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴直线AB 解析式为y ＝34-x+3． （2）如图1中，设P （m ，239344m m -++），则E （m ，0），∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，∴∠PMN ＝∠AEN ，∵∠PNM ＝∠ANE ，∴△PNM ∽△ANE ，∵△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，123625S S ＝， ∴65PN AN =， ∵NE ∥OB ， ∴AN AE AB OA =，∴AN＝54545 454（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝239344x x-++，∴PN＝239344m m-++﹣（34-m+3）＝34-m2+3m，∴2336455(4)4m mm-+=-，解得m＝2或4（舍弃），∴m＝2，∴P（2，32）．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝43，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝43×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴OE OBOM OE'=''，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴M E OEBE OB'''='＝23，∴M′E′＝23BE′，∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+23BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝2244()3+＝410． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM ′就是AE′+23BE′的最小值，属于中考压轴题．8．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -()1求此抛物线的关系式；()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=︒的点M 的坐标 【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为()0,3或113113++⎝⎭【解析】【分析】（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.（2）首先设点()2,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为()21333,22S PD t t =⨯=-+利用二次函数的性质即可求解； （3）根据PD y 轴，45PDM ∠=︒，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标． 【详解】()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++可解得1,3,a c =-=即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=解得121,3,x x =-=则点()3,0B ．设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)，将点,B C 的坐标代入，可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+设BCP 的面积为,S 则()21333,22S PD t t =⨯=-+ ∴当32t =时，S 有最大值，此时点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()3∵PD y 轴，45PDM ∠=︒第一种情况：令DM y x b =+,33D(22，）解得：b=0∴223y x y x x =⎧⎨=-++⎩解得：113x =∴11M 22+（， 第二种情况：令DM y x b =-+,33D(22，）解得：b=3 ∴2323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得：x=0或x=3（舍去）∴M 03（，）满足条件的点M 的坐标为()0,3或113113,⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭【点睛】 此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.9．如图①抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D （3，m ）在第一象限的抛物线上，连接BC ，BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足∠PBC ＝∠DBC ？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）存在．P （﹣34，1916）．（3）1539(,)24M -- 21139(,)24M - 3521(,)24M 【解析】【分析】（1）将A,B,C 三点代入y ＝ax 2+bx+4求出a,b,c 值，即可确定表达式；（2）在y 轴上取点G ，使CG ＝CD ＝3，构建△DCB ≌△GCB ，求直线BG 的解析式，再求直线BG 与抛物线交点坐标即为P 点，（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+4（a≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点．∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得k＝﹣14，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣14x+1．y BP＝﹣14x+1，y＝﹣x2+3x+4当y＝y BP时，﹣14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣34，x2＝4（舍去），∴y＝1916，∴P（﹣34，1916）．（3）1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下，如图B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线32x=，设N(32，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m，∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--；或∴0-32=4-m，∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-；第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，∴322 2m∴m=5 2∴﹣m2+3m+4=21 4∴3521 (,) 24M综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M.【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.10．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？【答案】（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【解析】【分析】 （1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+， 由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大． 故答案为：(1,41)m --+；13x ；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m -+，0)， 顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：423x =±，抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）11．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角00)90(θ︒︒<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ，若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ︒=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6.（1）连接OP ，求线段OP 的长；（2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60︒到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标； （3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标，【答案】（1）37OP =2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为：（32，3）或（6，12）． 【解析】【分析】 （1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ=︒，由AP=6，则AC=3，33PC =OP 的长度；（2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角形OCN ，作∠CJN 的角平分线，与直线OP 相交与点D ，然后由所学的性质，求出点D 的坐标即可．【详解】解：（1）如图，过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，连接OP ，∵AP∥OB，∴∠PAC=60θ=︒，∵PC⊥OA，∴∠PCA=90°，∵点P的斜坐标是()3,6，∴OA=3，AP=6，∴1 cos602ACAP︒==，∴3AC=，∴226333PC=-=，336OC=+=，在Rt△OCP中，由勾股定理，得226(33)37OP=+=；（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，∴∠COP=∠BOQ，∵OB=OC=6，∴△COP≌△BOQ（SAS）；∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，∴∠EBQ=60°，∵EQ∥OC，∴∠BEQ=60°，∴△BEQ是等边三角形，∴BE=EQ=BQ=3，∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，∵点Q在第四象限，∴点Q的斜坐标为（9，3 ）；（3）①取OM=PC=3，则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM，交点为D，如图：由平行四边形的性质，得CD=DM，OD=PD，∴点D为OP的中点，∵点P的坐标为（3，6），∴点D的坐标为（32，3）；②取OJ=JN=CJ，则△OCN是直角三角形，∵∠COJ=60°，∴△OCJ是等边三角形，∴∠CJN=120°，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交于点D，作DN⊥x轴，连接CD，如图：∵CJ=JN，∠CJD=∠NJD，JP=JP，∴△CJD≌△NJD（SAS），∴∠JCD=∠JND=90°，则由角平分线的性质定理，得CD=ND；过点D作DI∥x轴，连接DJ，∵∠DJN=∠COJ=60°，∴OI∥JD，∴四边形OJDI是平行四边形，∴ID=OJ=JN=OC=6，在Rt△JDN中，∠JDN=30°，∴JD=2JN=12；∴点D的斜坐标为（6，12）；综合上述，点D的斜坐标为：（32，3）或（6，12）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D的位置来解决问题，属于中考创新题型．注意运用分类讨论的思想进行解题．12．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，203AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的m的值；（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的ABF为A BF''，在旋转过程中，设A F''所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD 交于点Q，若△DPQ为等腰三角形，请直接写出此时DQ的长．【答案】（1）4；3（2）3或163（3）2512525310103243-、、103【解析】【分析】（1）由矩形的性质，利用勾股定理求解BD的长，由等面积法求解AE，由勾股定理求解BE即可，（2）利用对称与平移的性质得到：AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．当点F′落在AB上时，证明BB′＝B′F′即可得到答案，当点F′落在AD上时，证明△B′F′D为等腰三角形，从而（3）分4种情况讨论：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，证明A′Q ＝A′B ，利用勾股定理求解',,F Q BQ 从而求解DQ ，②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，证明点A′落在BC 边上，利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案，③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，证明∠A′QB ＝∠A′BQ ，利用勾股定理求解,BQ ，从而可得答案，④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，证明BQ ＝BA′，从而可得答案．【详解】解：（1）在Rt △ABD 中，AB ＝5，203AD =， 由勾股定理得：222025533BD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 11,22ABD S BD AE AB AD =⋅=⋅． 2532053 4.AB AD AE BD ⨯⋅∴=== 在Rt △ABE 中，AB ＝5，AE ＝4，由勾股定理得：BE ＝3．（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：由对称的性质可知，∠1＝∠2．由平移性质可知，AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．①当点F′落在AB 上时，∵AB ∥A′B′，∴∠3＝∠4，∴∠3＝∠2，∴BB′＝B′F′＝3，即m ＝3；②当点F′落在AD 上时，∵AB ∥A′B′，∴∠6＝∠2，∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，∴ A′B′⊥AD ，'''',B F D B DF ∴∠=∠∴△B′F′D 为等腰三角形，∴B′D ＝B′F′＝3，2516333BB BD B D ''∴=-=-=，即163m =． （3）DQ 的长度分别为2512525310103243--、、或103． 在旋转过程中，等腰△DPQ 依次有以下4种情形：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，且PD ＝DQ ，∴ ∠2＝2∠Q ，∵∠1＝∠3+∠Q ，∠1＝∠2，∴∠3＝∠Q ，∴A′Q ＝A′B ＝5，∴F′Q ＝F′A′+A′Q ＝4+5＝9．在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：222293310BQ F Q F B ''=+=+=．253103DQ BQ BD ∴=-=-； ②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝DQ ，∴∠2＝∠P ，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P ，∴BA′∥PD ，∵PD ∥BC ，∴此时点A′落在BC 边上．∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴BQ ＝A′Q ，∴F′Q ＝F′A′﹣A′Q ＝4﹣BQ ．在Rt △BQF′中，由勾股定理得：'2'22,BF F Q BQ +=即：2223(4),BQ BQ +-= 解得：258BQ =， 25251253824DQ BD BQ ∴=-=-=； ③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，且PD ＝DQ ，∴ ∠3＝∠4．∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，149022∴∠︒∠＝﹣． ∵∠1＝∠2，149012∴∠=︒-∠． 149012A QB ∴∠'∠︒∠＝＝﹣， 118019012A BQ A QB ∴∠'︒∠'∠︒∠＝﹣﹣＝﹣， ∴∠A′QB ＝∠A′BQ ，∴A′Q ＝A′B ＝5，∴F′Q ＝A′Q ﹣A′F′＝5﹣4＝1．在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：223110BQ +=，25103DQ BD BQ ∴=-= ④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝PD ，∴ ∠2＝∠3．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，∴BQ ＝BA′＝5，2510533DQ BD BQ ∴=-=-=． 综上所述，DQ 的长度分别为2512525310103243-、、103．【点睛】本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．13．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC中，把AB点A顺时针旋转α (0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，请问△AB′C′边B′C′上的中线AD与BC的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：(1)①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．猜想论证：(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用(3)如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠A+∠B=120°，BC=12，CD=6，DA=63，在四边形内部是否存在点P，使△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置(保留作图痕迹，不需要说明)并直接写出△PDC的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由．【答案】(1)①12；②4(2) AD=12BC，理由见解析(3)存在，13【解析】【分析】(1)①由已知条件可得AD⊥B′C′，由α+β=180°可得∠BAC+∠B′AC′=180°，已知∠BAC=60°，可求得∠B′AC′=120°继而∠B′=∠C′=30°，可得AD=12AB′=12BC②当∠BAC=90°时，可得∠B′AC′=∠BAC=90°，△B′AC′是直角三角形，可证得△BAC≌△B′AC′，推出对应边相等，已知BC=8求出AD的长.（2）先做辅助线，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：因为B′D=DC′，AD=DM，对角线相互平分，可得四边形AC′MB′是平行四边形，得出对应边相等，由∠BAB′+∠CAC′=180°推得∠BAC=∠AB′M，可证明△BAC≌△AB′M，所以BC=AM，AD=12 BC；(3)先做辅助线，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O假设P点存在，再证明理由.根据已知角可得出△DCM是直角三角形，∠MDC=30°，可得出CM3DM3在；∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∠M=90°﹣∠MDC=60°，可求得EM=12BM3DE=EM﹣DM3﹣33由已知DA3AE=DE且BE⊥AD，可得PF是线段BC的垂直平分线，证得PA=PD因为PB=PC，PF∥CD，可求得CF=12BC3，利用线段长度可求得∠CDF=60°利用全等三角形判定定理可证得△FCP≌△CFD(AAS)，进而证得四边形CDPF是矩形，得∠CDP=90°，∠ADP =60°，可得△ADP是等边三角形，求出DQ、DP，在Rt△PDQ中可求得PQ长度.【详解】(1)①∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∠BAC=60°∵DB′=DC′∴AD⊥B′C′∵∠BAB′+∠CAC′=180°∴∠BAC+∠B′AC′=180°∴∠B′AC′=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°∴∠B′=∠C′=30°∴AD=12AB′=12BC故答案：1 2②∵∠BAB′+∠CAC′=180°∴∠BAC+∠B′AC′=180°∵∠BAC=90°∴∠B′AC′=∠BAC=90°在△BAC和△B′AC′中，''"90"AB ABBAC B ACAC AC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△BAC≌△B′AC′(SAS)∴BC=B′C′∵B′D=DC′∴AD=12B′C′=12BC=4故答案：4(2)AD与BC的数量关系：AD=12BC；理由如下：延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴∠B′AC′+∠AB′M=180°，AC′=B′M=AC，∵∠BAB′+∠CAC′=180°，∴∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠BAC=∠AB′M，在△BAC和△AB′M中，'''AC B MBAC AB MAB AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC≌△AB′M(SAS)，∴BC=AM，∴AD=12 BC；(3)存在；作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；理由如下：延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O，如图4所示：∵∠A+∠B=120°，∴∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM3DM3，∠M=90°﹣∠MDC=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM333，∠MBE=90°﹣∠M=30°，∴EM=12BM3∴DE=EM﹣DM333∵DA3∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，∵PF是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，PF∥CD，在Rt△CDF中，∵CD=6，CF=12BC3∴tan∠CDF=CFCD633，∴∠CDF=60°，∴∠MDF=∠MDC+∠CDF=30°+60°=90°，∴∠ADF=90°=∠AEB，∴∠CBE=∠CFD，∵∠CBE=∠PCF，∴∠CFD=∠PCF=30°，∵∠CFD+∠CDF=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∴∠CPF=∠CDF=60°，在△FCP 和△CFD 中，CPF CDF PCF CFD CF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FCP ≌△CFD (AAS )，∴CD =PF ，∵CD ∥PF ，∴四边形CDPF 是矩形，∴∠CDP =90°，∴∠ADP =∠ADC ﹣∠CDP =60°，∴△ADP 是等边三角形，∴∠APD =60°，∵∠BPF =∠CPF =90°﹣30°=60°，∴∠BPC =120°，∴∠APD +∠BPC =180°，∴△PDC 与△PAB 之间满足小明探究的问题中的边角关系；在Rt △PDQ 中，∵∠PDQ =90°，PD =DA =63，DN =12CD =3， ∴PQ =22DQ DP +=223(63)+=313． 【点睛】本题考查了三角形的边旋转的问题，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系.在证明某点知否存在时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性.14．如图，在直角坐标系中，已知点A （-1，0）、B （0，2），将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ．（1）点C 的坐标为（ ， ）；（2）若二次函数的图象经过点C ． ①求二次函数的关系式；②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y 对应的取值范围；Z_X_X_K]③在此二次函数的图象上是否存在点P （点C 除外），使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，∴.解得∴二次函数的关系式为②当-1≤x≤4时，≤y≤8；③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点作⊥轴，∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，∴△≌△，∴AE＝AD＝2，＝CD＝1,∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△∴BF＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△是以AB为直角边的等腰直角三角形．【解析】(1)根据旋转的性质得出C点坐标；（2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；③分二种情况进行讨论.15．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形O E′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①30°或150°，②AF'的长最大值为2 22 +315α=．【解析】【分析】（1）延长ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；②当旋转到A、O 2，此时α=315°．【详解】(1)如图1,延长ED交AG于点H,。

2024-2025学年度第一学期期中检测九年级数学试题（全卷共120 分，考试时间90分钟）一．选择题(本题共10 题，每题3 分，共30 分. 在每题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请将正确选项前的字母填写在答题卡上)1．一元二次方程x2﹣1=0 的根为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=0，x2=12．⊙O 的半径为4cm，圆心O 到直线l 的距离为3.5cm，那么直线l 与⊙O 的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3. ⊙O 中，∠AOB=84°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A．42° B．138°C．69°D．42°或138°4．抛物线y=（x﹣1）2+2 的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）5．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A ．B ．CD ．6．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100 元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81 元．则平均每次降低成本的百分率是（）A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0 的解集是（）A．x＞﹣3 B．x＜1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3 或x＞1 （第7 题）（第8 题）（第9 题）第 1 页第 2 页8．如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y=x 2﹣2x+2 上运动．过点 A 作 AC ⊥x 轴于点 C ， 以 AC 为对角线作矩形 ABCD ，连结 BD ，则对角线 BD 的最小值是（ ）．A ．2B ．1C ．3D ．1.59．如图，⊙O 的半径为 2，AB 、CD 是相互垂直的两条直径，点 P 是⊙O 上随意一点（P 与 A 、B 、C 、D 不重合），经过 P 作 PM ⊥AB 于点 M ，PN ⊥CD 于点 N ，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 沿着圆 周转过 45°时，点 Q 走过的路径长为（） A ．4π B ．2π C ．6π D ．3π 10．抛物线 y=ax 2+bx +c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如表所示．给出下列说法：①抛 物线与 y 轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是在 y 轴的右侧；③抛物线肯定经过点（3，0）；）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 二．填空题（共 8 小题，每题 3 分，共 24 分）11．当 m= 时，关于 x 的方程（m ﹣2）22m x -+2x ﹣1=0 是一元二次方程．12．若关于 x 的一元二次方程 kx 2﹣2x +1=0 有实数根，则 k 的取值范围是 ．13．已知扇形的圆心角为 90°，半径为 4，则围成的圆锥的底面半径为 ．14．如图，在 Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=45°，BC=4，以 BC 为直径的⊙O 与 AC 相交于点 O ，则 阴影部分的面积为 ． 15.如图所示，抛物线 y 1=﹣x 2 与直线 y 2=﹣32x ﹣92交于 A ，B 两点． 当 x 时，y 1＞y 2？ (第 14 题） （第 15 题） （第 16 题） （第 17 题）第 3 页16．如图，半径为 4 的⊙O 与含有 30°角的直角三角板 ABC 的边 AC 切于点 A ，将直角三角板沿 CA 边所在的直线向左平移，当平移到 AB 与⊙O 相切时，该直角三角板平移的距离为 ． 17．如图，网格的小正方形的边长均为 1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点都在格 点上，那么△ABC 的外接圆半径是 ．18．关于 x 的方程 a （x +m ）2+b=0 的解是 x 1=2，x 2=﹣1，（a ，b ，m 均为常数，a ≠0），则方程 a （x +m +2）2+b=0 的解是． 三．解答题（共 66 分）19．解下列方程：(每题 5 分，共 10 分)（1）x 2﹣4x +4=0； （2）（2x ﹣3）2=3（2x ﹣3）；20．（本题 8 分）已知：如图，△ABC 中，AC=BC ，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥AC 于点 E ，交 BC 的延长线于点 F ．求证：（1）AD=BD ；（2）DF 是⊙O 的切线．21．（本题 8 分）.如图，抛物线 y=212x +bx ﹣2 与 x 轴交于 A ，B 两 点，与 y 轴交于 C 点，且 A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与 x 轴另一个交点 B 的坐标，并视察图象干脆写出当 x为何值时 y ＞0？22（本题 8 分）如图 1，将边长为 8 的正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为 EF ．如 图 2，绽开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为GH ，点 B 的对应点为点 M ，EM 交 AB 于 N ，写出一个一元二次方程，使它的两根分别是 DH 和 CH 的长．23．（本题10 分）．已知△ABC 内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①所示，若AB 为⊙O 的直径，要使EF 成为⊙O 的切线，还须要添加的一个条件是（至少说出两种）：或者．（2）如图②所示，假如AB 是不过圆心O 的弦，且∠CAE=∠B，那么EF 是⊙O 的切线吗？试证明你的推断．24．（本题10 分）．徐州市富强文体平价店以每件50 元的价格购进800 件某体育用品，第一个月以单价80 元销售，售出了200 件，其次个月假如单价不变，预料仍可售出200 件，为增加销售量，确定降价销售，依据市场调查，单价每降低1 元，可多售出10 件，但最低单价应高于购进的价格；其次个月结束后，将对剩余的体育用品一次性清仓销售，清仓时单价为40 元，设其次个月单价降低x 元．（1）填表：（不需化简）（2）假如该店希望通过销售这批体育用品获利9000 元，那么其次个月的单价应是多少元？25．（本题12 分）．如图所示，在边长为1 的正方形ABCD 中，始终角三角尺PQR 的直角顶点P 在对角线AC 上移动，直角边PQ 经过点D，另始终角边与射线BC 交于点E．（1）PD=PE（2）连接PB，试证明：△PBE 为等腰三角形；（3）设AP=x，△PBE 的面积为y，①求出y 关于x 函数关系式；②当点P 落在AC 的何处时，△PBE 的面积最大，此时最大值是多少？第4页（共4页）第 4 页。

人教版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣32．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+13．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x24．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝时,y ＝（m 2﹣1）是二次函数．7．（仙游县期中）若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数,则m 满足 ． 8．如果函数y ＝（m +1）x+2是二次函数,那么m ＝ ．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a 1 a 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．10．用“描点法”画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象时,列出了如下表格：x … 1 2 3 4 … y ＝ax 2+bx +c…﹣13…那么该二次函数在x ＝0时,y ＝ ．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？参考答案一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣3【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义,可得答案．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数,故A错误；B、y＝3x2﹣1是二次函数,故B正确；C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项,故C错误；D、y＝x3+2x﹣3是三次函数,故D错误；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义,形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数,要先化简再判断．2．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+1【考点】二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】整理成一般形式,根据二次函数定义即可解答．【解答】解：A、该函数中自变量x的次数是1,属于一次函数,故本选项错误；B、该函数是反比例函数,故本选项错误；C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x+1,属于一次函数,故本选项错误；D、该函数符合二次函数定义,故本选项正确．故选：D．【点评】考查了二次函数的定义：一般地,形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数,叫做二次函数．其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）也叫做二次函数的一般形式．3．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣x2是二次函数；B、y＝2（x﹣1）2+4＝2x2﹣4x+6,是二次函数；C、y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+x﹣2,是二次函数；D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4,是一次函数；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的定义,掌握二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．4．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正比例函数的图象；二次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向,与y轴的交点；一次函数经过的象限,与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0,c）,∴两个函数图象交于y轴上的同一点,排除B、C；当a＞0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除D；当a＜0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,A正确；故选：A．【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0,图象经过一、三象限；小于0,经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0,图象开口向上；二次项系数小于0,图象开口向下．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象；二次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0,b＜0,于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限,即可得到结论．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴的左侧,∴b＜0,∴一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象,解题的关键是明确二次函数的性质,由函数图象可以判断a、b的取值范围．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝2时,y＝（m2﹣1）是二次函数．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,再解出m的值即可．【解答】解：由题意得：m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,解得：m＝2,故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是注意二次函数的二次项系数不为零．7．（仙游县期中）若y＝（m+1）x2+mx﹣1是关于x的二次函数,则m满足m≠﹣1．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m+1≠0,再解不等式即可．【解答】解：由题意得：m+1≠0,解得：m≠﹣1,故答案为：m≠﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．8．如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数,那么m＝2．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数,∴m2﹣m＝2,（m﹣2）（m+1）＝0,解得：m1＝2,m2＝﹣1,∴m≠﹣1,故m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义,正确得出m的方程是解题关键．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a1＞a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【考点】二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解答】解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口,开口向下,则a2＜a1＜0,故答案为：＞．【点评】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．10．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时,列出了如下表格：x…12 3 4…y＝…0﹣1 0 3 …ax2+bx+c那么该二次函数在x＝0时,y＝3．【考点】二次函数的图象．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值,确定二次函数的对称轴,利用抛物线的对称性找到当x＝0时,y的值即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1,0）和点（3,0）,∴对称轴为x＝2,∴当x＝4时的函数值等于当x＝0时的函数值,∵当x＝4时,y＝3,∴当x＝0时,y＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质,利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？【考点】一次函数的定义；二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】（1）根据二次项的系数等于零,一次项的系数不等于零,可得方程和不等式,根据解方程和不等式,可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零,可得不等式,根据不等式,可得答案．【解答】解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0,∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义,二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．【考点】二次函数的定义．【专题】常规题型．【分析】根据二次函数定义可得m2+2m﹣1＝2且m﹣1≠0,再解即可．【解答】解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,∴m2+2m﹣1＝2,解得m＝1或﹣3,∵m﹣1≠0,∴m≠1,∴m＝﹣3．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时,x的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4,∴对称轴是过点（2,4）且平行于y轴的直线x＝2；（2）列表得：x…﹣1012345…y…﹣503430﹣5…描点,连线．（3）由图象可知,当y＜0时,x的取值范围是x＜0或x＞4．【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数的图象,从而求出y＜0时,x的取值．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7．【考点】一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式；二次函数的图象．【专题】一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．【分析】（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集．【解答】解：（1）②由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1,故答案为：x＞3或x＜1；③图象如右图所示,当﹣1＜x＜1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,当x＜﹣1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＜0,由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1,故答案为：+,﹣,x＞3或﹣1＜x＜1；（2）①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2,故答案为：x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2；②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7,故答案为：x＞9或x＜8且x≠7【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,写出相应的不等式的解集．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？【考点】二次函数的图象．【专题】常规题型．【分析】（1）先利用描点、连线的方法画出图形；（2）找出函数图象位于x轴上方时,自变量x的范围即可．【解答】解：（1）描点、连线得：（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时,y＞0．【点评】本题主要考查的是二次函数的图形,数形结合是解题的关键．。

2020-2021学年人教版五年级下册期中模拟测试数学试卷（A卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．3.02m³＝（________）dm³90020cm³＝（________）L4.07m³＝（________）m³（________）dm³9.08dm³＝（________）L（________）mL2．一个正方体的表面积是54dm²，体积是（______）dm³。

3．一个两位数既是5的倍数，也是3的倍数，而且是偶数，这个数最小是（______），最大是（______）。

4．16和24的公因数有（________）；8和12的公倍数有（________）。

5．一个长方体的体积是72cm³、长6cm 、宽5cm，高（________）cm 。

6．一个容量是15升的药桶，装满了止咳药水，把这些药水分别装在100毫升的小瓶里，可以装满（________）瓶。

7．在括号里填上适当的单位名称。

旗杆高15（______）教室面积80（______）油箱容积16（______）一瓶墨水60（______）8．左图从（_____）面看和（______）面看都是．从（________）面看是．9．在1~10中，（______）既不是质数，也不是合数。

既是质数，也是偶数的是（______）。

既是奇数，又是合数的是（______）。

10．一个长方体棱长总和是36cm，宽和高分别是3cm、2cm，它的体积是（______）cm³。

11．用3个棱长是2dm的正方体合成一个长方体，长方体的表面积比3个正方体的表面积之和少（________）dm²。

12．一个立体图形，从正面看是，从左面看是，要搭成这样的立体图形，至少要用（________）个小正方体，最多要用（________）个小正方体。

山东省临沂市沂水县2018—2019学年度九年级上学期期中考试数学试题2018.11注意事项：姓名：成绩：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．第Ⅰ卷（选择题共42分）一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案1.下列图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是2. 抛物线y=3(x−2)2+5的顶点坐标是A. (−2,5)B. (2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)A. 5x2−4x−4=0B. x2−5=0C. 5x2−2x+1=0D. 5x2−4x+6=04. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接 AC，AD,若∠ADC=55°，则∠CAB的度数为A．35° B．45° C．55° D．65°第4题第6题第9题90α- 180α-第10题 第11题11. 如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，若BD=8cm ，AE=2cm ，则OF 的长度是A. b 2<4acB. ac>0C. 2a −b=0D. a −b+c=0第13题 第14题14. 如图,在△ABC 中,∠C=90∘,AB=10cm,BC=8cm,点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动,同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动(点Q 运动到点B 停止),在运动过程中,四边形PABQ 的面积最小值为A.19cm 2B. 16cm 2C.15cm 2D.12 cm 2第Ⅱ卷（非选择题 共78分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上．15.一元二次方程2(1)0x m ++=的一个根是2，则另一个根是 . 16. 平面直角坐标中,点A 的坐标是(,3)a ,点B 的坐标是(4,)b ,若点A 与点B 关于原点对称,则ab 的值为 .17. 为提高市场竞争力，某工厂计划从2017年到2019年，把某种产品的成本下降19%，则平均每年下降的百分数为__ _.18. 已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应如表格所示，那么它的图像与x 轴的另一个交点坐标是_____.19. 如图，用一个半径为20cm ，圆心角为135°的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥 （不计接头损耗），则圆锥的底面半径r 为______ cm ．三、解答题（本大题7小题，共63分）20.（本题满分8分）解方程（1）22310x x --= （2）263(3)x x x -=-21.（本题满分8分）如图，在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E，D，连接ED.(1)试判断DE与BD是否相等，并说明理由；(2)如果BC=6，AB=5，求AE的长.23.（本题满分8分）(1)求h与t之间的函数关系式(不要求写t的取值范围)；(2)求小球飞行3s时的高度；(3)问：小球的飞行高度能否达到22m?请说明理由。

2020-2021学年度上学期期中教学质量监测九年级数学试题2020.11注意事项:1.答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚,然后将试题答案认真书写(填涂)在答题卡的规定位置,否则作废.2.本试卷共8页,考试时间120分钟,满分150分.3.考试结束只交答题卡.一､选择题(本大题共12个小题,满分48分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,错选､不选或选出的答案超过一个,均记零分.)1.如图,在ABCD中,E为CD上一点,连接AE､BD,且AE､BD交于点F,425S S⋅=：DEF ABF,则DE:EC的值为A.2:5B.2:3C.3:5D.3:22.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=2BC,则sinB的值为1A.B.C D.1.23.已知:如图,在⊙O中,OA⊥BC, ∠AOB=70°, 则∠ADC的度数为A.30°B.35°C.45°D.70°4.下列各组图形有可能不相似的是A.各有一个角是50°的两个等腰三角形B.各有一个角是100°的两个等腰三角形C.各有一个角是50°的两个直角三角形D.两个等腰直角三角形5.如图,在△ABC 中, AC ⊥BC,∠ABC=30°, 点D 是CB 延长线上的一点,且BD=BA,则tan ∠DAC 的值为.2A + .B .3C .2D6.如图,圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心O,过点C 的切线与AD 的延长线交于点E,若点D 是弧AC 的中点,且∠ABC=70°,则∠AEC 等于A.80°B.75°C.70°D.65°7.一座楼梯的示意图如图所示, BC 是铅垂线, CA 是水平线, BA 与CA 的夹角为θ,现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要A.(44sin )θ+平方米B.4cos θ平方米 C .4(4) tan θ+平方米 D.(4+4tanθ)平方米8.如图,△ABC 中,D ､E 分别为AC ､BC 边上的点, AB//DE, CF 为AB 边上的中线,若AD=5, CD=3, DE=4,则BF 的长为32.3A 16.3B 10C.3 8.3D 9. 如图,将等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到,,AB C ''若AC=1,则图中|阴影部分的面积为.A .B .C D 10.如图,点A 的坐标为(-3,-2),⊙A 的半径为1, P 为x 轴上-动点, PQ 切⊙A 于点Q,则当PQ 最小时,点P 的坐标为A. (-4,0)B. (-2,0)C.(-4,0) 或(-2,0)D. (-3,0)11.如图,圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心O,过点C 的切线与边AD 所在直线垂直于点M,若∠ABC=55°,则∠ACD 等于A.20°B.35°C.40°D.55°12.如图,在矩形ABCD 中, AB<BC,E 为CD 边的中点,将△ADE 绕点E 顺时针旋转180°,点D 的对应点为C,点A 的对应点为F,过点E 作ME ⊥AF 交BC 于点M,连接AM 与BD 交于点N,现有下列结论:①AM= AD+MC;②AM= DE+BM;2DE AD CM =⋅③;④点N 为△ABM 的外心.其中正确的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共6小题;满分24分.只要求填写最后结果,每小题填对得4分)13. 在△ABC 中,若∠A 、∠B 满足21|cos |(sin 02A B -+=,则∠C=___. 14. 已知:如图,在Rt △ABC 中, ∠BAC=90°, 斜边BC 上的高AD= 8cm , 4cos ,5B =则AC=___.15.如图,AB//CD, AD 、BC 相交于点E,过E 作EF//CD 交BD 于点F,如果AB ：CD=2:3, EF=6,那么CD 的长等于___.16. 如图,在半径为3的⊙O 中,直径AB 与弦CD 相交于点E,连接AC, BD,若AC=2,则tanD=_____.17.一条船从海岛A 出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B 处.灯塔C 在海岛A 的北偏西42°方向上,在海岛B 的北偏西84°方向上.则海岛B 到灯塔C 的距离是____.18. 如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°, AC=BC,在以AB 的中点O 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立的平面直角坐标系中,将△ABC 绕点B 顺时针旋转,使点A 旋转至y 轴的正半轴上的点A '处,若AO=OB=2,则阴影部分而积为____.三、解答题(本大题共7个小题,满分78分,解答应写出必要的文字说明?证明过程或推演步骤)19. (1)计算:tan 609tan308sin 602cos45︒︒︒︒+-+(2)在△ABC 中,90,C AC BC ︒∠===求∠A 的度数.20.已知.在△ABC 中,如图,,BC =∠BCA=135°, 求tanA 的值.21.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.ADF DEC；(1)求证:~(2) 若AB=8, AD=6√3,AF=求AE的长.22.如图, A, P, B, C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB= =60°(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论；(2)若BC的长为6, 求⊙O的半径.23.如图,防洪大堤的横截面ABGH是梯形,背水坡AB的坡度i=(垂直高度AE与水平宽度BE的比),AB= 20米,BC=30米,身高为1.7米的小明(AM=1.7米)站在大堤A点(M, A, E三点在同一条直线上),测得电线杆顶端D的仰角∠α=20°.(1)求∠ABC;(2)求电线杆CD 的高度. (结果精确到个位,参考数据sin20°≈0.3, cos20°≈0.9,tan 200.4,︒≈ 1.7)≈24.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引起一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在△ABC 中,∠A=48°, CD 是△ABC 的完美分割线,且AD=CD,求∠ACB 的度数.(2)如图2, 在△ABC 中, 2,AC BC ==CD 是△ABC 的完美分割线,且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形,找出CD 与BD 的关系｡25.如图, AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上一点(与点A, B 不重合),过点C 作直线PQ,使得.ACQ ABC ∠=∠(1)求证:直线PQ 是⊙O 的切线｡(2)过点A 作AD ⊥PQ 于点D,交⊙O 于点E,若⊙O 的半径为2,1sin .2DAC ∠=求图中阴影部分的面积.附加题(本题供有兴趣的同学选做,不计入总分)如图,在△ABC 中,AM 与BN 机交于D,BM=3MC,AD=DM,求:(1) BD: DN 的值;(2)面积:AFN CBN S S ∆∆.。

2023-2024学年湖北省武汉市青山区九年级上学期期中数学质量检测模拟试题第I 卷（选择题，共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.1.一元二次方程223x x -=化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是（）A.2，3B.2，-3C.-2，-3D.2，-12.搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F 遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A. B.C. D.3.用配方法解一元二次方程2890x x ++=，此方程可化为（）A.()249x +=- B.()247x +=- C.()2425x += D.()247x +=4.将抛物线2y x =向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为（）A.()235y x =-+ B.()253y x =+-C.()235y x =+- D.()253y x =-+5.一元二次方程2250x x --=的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定6.如图，点A ，B ，C 在O 上，若90C ∠=︒，则ABO ∠的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°7.如图，在64⨯的方格纸中，格点ABC △（三个顶点都是格点的三角形）经过旋转后得到格点DEF △，则其旋转中心是（）A.格点MB.格点NC.格点PD.格点Q8.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是（）A.()2250013200x += B.()2500123200x +=C.()2320012500x -= D.()3200122500x -=9.如图，四边形ACBD 是O 内接四边形，延长BC ，DA 交于点E ，延长CA ，BD 交于点F ，30E F ∠=∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，若CD =AF 的长为（）+ B.2+ C.3 D.410.关于x 的二次函数2221y x mx m m =-+++，在12x -≤≤时的最大值与最小值的差大于15，则m 的取值范围是（）A.5m > B.2m <-或3m >C.23m -<< D.2m <-第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置.11.点()4,5A -关于原点成中心对称的点的坐标为_______.12.已知一元二次方程2280x x --=的两根为1x ，2x ，则12x x +=_______.13.如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，若6CD =，2EB =，则OA 的长为_______.14.如图，在一幅长为60cm ，宽为40cm 的亚运会吉祥物图画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是23500cm ，则纸边的宽为________cm.15.如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()1,0x ，()2,0，且101x <<.下列四个结论：①0abc <；②0a b c ++>；③230b c +<；④不等式22cax bx c x c ++<-+的解集为02x <<.其中一定正确的是_________.（填写序号）.16.如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，E 、F 分别为AD 、CD 边上的点，30EBF ∠=︒，CF m =，AE n =.则EF =_______.（用含m ，n 的代数式表示）三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17.（本题满分8分）解方程.2240x x --=18.（本题满分8分）如图，在ABC △中，108BAC ∠=︒，将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△.若点B '恰好落在边BC 上，且AB CB ''=，求C '∠的度数.19.（本题满分8分）某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a 元，则每天可卖出()80010a -件，如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大．．．．．．，求每件商品的售价是多少元？20.（本题满分8分）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，B 为 AC 的中点.（1）试判断ABC △的形状，并说明理由；（2）若6AD CD +=，求BD 的长.21.（本题满分8分）如图，是由边长为1的小正方形组成的77⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点，BC ，AC 是O 的两条弦，且点A ，B ，C 都是格点，点D 是O 与格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.图1图2（1）在图1中，先画出圆心O ，再画 AC 的中点E ；（2）在图2中，先在O 上画点F （异于点C ），使BF BC =，再过点D 作//DG CF 交O 于点G.22.（本题满分10分）要修建一个圆形喷水池，在池中心O 处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A 与点O 在同一水平面，安装师傅调试发现。

2023-2024学年江西省南昌市九年级上册期中数学质量检测模拟试题一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卷上．1．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，它是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．抛物线223y x x =++与y 轴的交点坐标是（）A ．()0,1B ．()0,2C ．()0,3D ．()0,3-3．若关于x 的一元二次方程220x x m ++=无实数根，则m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1m ≥C ．1m <D ．1m ≤4．若1x ，2x 是一元二次方程2310x x +-=的两个实数根，则12x x +的值为（）A ．1B ．1-C ．3D ．1-5．如图，将ABC △绕点A 顺时针旋转120°得到AB C ''△，若点C ，B ，C '在同一条直线，则ACB ∠的度数为（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．65°6．对于抛物线21y ax bx c =++和抛物线22y ax bx c =--+，下列结论错误的是（）A ．两条抛物线开口方向相反B ．两条抛物线对称轴相同C ．两条抛物线一定有两个不同的交点D ．两条抛物线关于直线y =c 对称二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．若1x =是关于x 的方程20x c -=的一个实数根，则c =______．8．将抛物线2y x =向上平移2个单位，所得抛物线解析式为______．9．已知点()3,2A -与点(),B a b 关于原点对称，则a b +=______．10．《九章算术》中记载这样一个问题：今有户不知高、广，竿不知长短。

白河县第一中学2014届九年级上学期期中考数 学 试 卷(全卷三大题，含23个小题，共4页；满分100分，考试时间120分钟) 一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的是 （ ） A ．2230x x --= B. 32+5x x= C. 23-2+0x x = D. 22+y 1x = 2．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是 （ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算中，错误的是 ( ) A=== D．2(2=4．一元二次方程2220x x ++=的根的情况是 ( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根5.用配方法解方程2870x x ++=,则配方正确的是： ( ) A.()249x -= B. ()249x += C. ()2816x -= D. ()2857x +=6.如图，已知AB 为O ⊙的直径，30CAB ? ，则D Ð的度数为 ( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．80°7．大理市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为（ ） A ．x(x-10)=200 B ．2x-2(x-10)=200 C ．2x+2(x+10)=200 D ．x(x+10)=2008．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）第6题图A ．50B ．64C ．68D ．72 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9.使2-x 有意义的x 的取值范围是________________。

10．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣7x+4=0的两根，则x 1+x 2= x 1•x 2= 。

浙江省宁波地区2013-2014学年第一学期期中模拟九年级数学试卷一、选择题 (每小题3分, 共36分)1. 抛物线y=2(x+1)2－3的顶点坐标是（ ▲ ） A ．（－1，－3） B ．（－1，3） C ．（1，－3） D ．（1，3）2. 如图所示，点A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠AOC ＝130°，则∠ABC 等于（ ▲ ） A.50° B.60° C.65° D.70°3. 如果两个等腰直角三角斜边的比是1︰2，那么它们面积的比是（ ▲ ） A. 1︰1 B. 1C. 1︰2D. 1︰44．已知⊙O 的弦AB 长为8cm ，弦AB 的弦心距为3cm ，则⊙O 的直径为（ ▲ ）cm ． A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 如图，在5. △ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：BC=2DE ； ②△ADE ∽△ABC ； ③AC ABAE AD = 其中正确的有（ ▲ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个6.如图，矩形ABOC 的面积为3，反比例函数ky x =的图象过点A ，则k =（ ▲ ）.A ．3-B ．5.1-C ．3D ．6-7.小洋用彩色纸制做了一个圆锥型的生日帽，其底面半径为6cm ，母线长为12cm ，不考虑接缝，这个生日帽的侧面积为（ ▲ ）A ．36πcm2B ．72πcm2C ．100πcm2D ．144πcm28．若反比例函数y1=x k的图象和一次函数 y2 = ax + b 的图象如图所示，则当y1﹤y2时，相应的x 的取值范围是（ ▲ ） A ．－5﹤x ﹤－1 B ．x ﹤－5或x ﹥－1 C ．－5﹤x ﹤－1或x ﹥0 D ．x ﹤－5或－1﹤x ﹤09. 已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：(第8题)(第6题)A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间 10. 已知点E 在半径为5的⊙O 上运动，AB 是⊙O 的一条弦且AB=8，则使△ABE 的面积为8的点E 共有（ ▲ ）个．A ．1 B. 2 C.3 D.411．如图，在反比例函数x y 4=(x >0)的图像上，有点P1、P2、P3 、P4 ,它们的横坐标依次是1、2、3、4，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3的值为（ ▲ ）. A ．4 B. 3 C. 3.5 D. 4.512.设一元二次方程（x-1）（x-2）=m （m ＞0）的两实根分别为α，β， 且α＜β，则α，β满足（ ▲ ）A 、1＜α＜β＜2B 、1＜α＜2＜βC 、α＜1＜β＜2D 、α＜1＜2＜β二．填空题（每小题3分，共18分）13．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ▲ .14.如图，ΔABC 中，BC ＝3，AC ＝4，若ΔABC ∽ΔBDC ，则CD= ▲15. 如图，A 、B 是双曲线x ky =的一个分支上的两点，且点 B(a ，b)在点A的右侧，则b 的取值范围是 ▲ 。

OACB青山区2014—2015学年度第一学期九年级期中测试数 学 试 卷（本试卷满分120分 考试时间120分钟）一.选择题.（本题共有10小题，每小题3分，共30分）1.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，期中为中心对称图形的是（ ）2.将一元二次方程23x x +=化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A.0,3 B.0,1 C.1,3 D.1，-13.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠C=40°，则∠AOB 的度数为（ ） A.20° B.40° C.80° D.100°4.若12,x x 是一元二次方程2320x x --=的两个根，则12x x 的值是（ ） A.3 B.-2 C.-3 D.25.若二次函数22y x x c =++配方后为2()7y x h =++，则c 、h 的值分别为（ ） A.8、-1 B.8、1 C.6、-1 D.6、16.若点B （a ，0）在以点A （1,0）为圆心，以3为半径的圆内，则a 的取值范围是（ ） A.-2＜a ＜4 B.a ＜4 C.a ＞-2 D.a ＞4或a ＜-27.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 顶点的横、纵坐标都 是整数，若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得 到△DEF ，其中A 、B 、C 分别和D 、E 、F 对应，则旋转中心 的坐标是（ ）A.（0,0）B.（1,0）C.（1，-1）D.（0.5,0.5）8.有一个患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感， 则每轮传染中平均一个人传染人的个数为（ ） A.10 B.11 C.60 D.129.二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表： x 01y…44 （1）ac ＜0； （2）当x ＞1时，y 的值随x 值得增大而增大； （3）-1是方程20ax bx c ++=的一个根； （4）当-1＜x ＜2时，2ax bc c ++＜0其中正确的个数为（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个10.已知：AB 是⊙O 的直径，AD 、BC 是⊙O 的切线，P 是⊙O 上一动点，若AD=3，AB=4，BC=6，则△ODC A B P OA DCBA D BC PCD 的面积的最小值是（ ）A.2B.4C.8D.9 二.填空题（本题共有6题，每小题3分，共18分）11.已知点A （a ，1）与点B （5，b ）关于原点对称，则ab 的值为 . 12.请写出一个开口向上，顶点为（3,2）的抛物线的解析式 .13.如图，在Rt △OAB 中，∠B=90°，∠AOB=30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△11OA B ，则∠1AOB = . 14.如图，⊙O 的半径为3，点P 是弦AB 延长线上一点，连OP ，若OP=4，∠P=30°，则弦AB= . 15.某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y= . 16.如图，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，CB=4，AB=AC=AD=3，则BD 的长为 .第10题图 第13题图 第14题图 第16题图 三.解答题（本题共9题，共72分）17.（本小题满分6分）解方程：2230x x +-=18.（本小题满分6分）已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为y 轴，且过点C （0，3）. （1）求：此抛物线的解析式；（2）若点（-2，1y ）与（3，2y ）在此抛物线上，则1y 2y （填“＞”、“”＝或“＜”）19.（本小题满分6分）如图，在⊙O 中，AD=BC ，求证：DC=ABOACyxB GFOAB CD E20.（本小题7分）已知二次函数2223y x mx m =-++（m 是常数）.（1）求证：不论m 为何值，该函数的图像与x 轴没有公共点；（2）当m=1时，该函数的图像沿y 轴向下平移h 个单位长度后，得到的函数的图像与x 轴只有一个公共点，则h= ；所得新抛物线的解析式为 .21.（本小题满分7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （2,4）、 B （1,0）、C （5,1）.（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△111A B C ，其中A 、B 、C 分别 和1A 、1B 、1C 对应，则点1C 的坐标为 . （2）将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°得△222A B C ， 其中A 、B 、C 分别和2A 、2B 、2C 对应，画出 △222A B C ，则点2C 的坐标为 ； （3）△111A B C 与△222A B C 关于点成中心对称22.（本小题满分8分）如图，在半径为5 的⊙O 中，AB 是直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D. （1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）若点E 是半圆的中点，AD 和⊙O 交于点F ，AF=6，连接FE ，交AC 于点G ，连结OG ，求A OG S △.G第24题图1HF BCADI G第24题图2HFBCA DI第24题图3H BCADIG23.（本小题满分10分）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓，我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务。

九年级数学期中考试卷一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2C．D．﹣2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x≥﹣1D．x≤﹣13．二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4；4．如图，已知在半径为6的⊙O中，点A，B，C在⊙O上且∠ACB＝60°，则的长度为（）A．6πB．4πC．2πD．π第4题图第6题图第7题图第8题图5．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（）A．y＝（x+2）2﹣2B．y＝（x﹣4）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣1D．y＝（x﹣1）2+56．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，点E是AB边上一点，将△ADE沿直线DE折叠，得到△FDE，连接FC，EC．若四边形DECF是菱形，则BE的长为（）A．1B．√3C．2D．4﹣√37．如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离AE为，在△ABC中，BC＝2，AB＝，将△ABC绕点C 在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，A′C交直线l2于点D，则CD的长度为（）A．B．C．D．﹣8．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（）A．B．2C．D．9．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值为（）A．B．C．D．第9题图第10题图10．随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择：（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（）A．240m B．300m C．320m D．360m二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：2x2y﹣8y＝．12．已知三个数1，，2，请再添上一个数使它们能构成一个比例式，那么添上的这个数是．13．已知，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图，由图可知不等式ax2+bx+c＞0的解集为．第13题图第14题图14．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．15．南浔区某校在开展特色阳光大课间活动中融入了单脚跳跳球运动，如图1，当人单脚跳的过程中，小球会随着球杆绕着脚开始不停的旋转．大课间活动中，五位同学分别站在A、B、C、D、E点处，A处同学跳的时候，小球开始在地面上不停旋转形成⊙A，如图2为活动过程的俯视示意图，ED⊥DB，AB ⊥BD交⊙A于点G，GB＝80cm，ED＝100cm，＝，连接AD，∠DAB＝45°，当小球转到点F时，EF∥DB，FC⊥DB，则球杆AG＝cm．第15题图第16题图16．如图1是超市手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm．（1）求扶手前端D到地面的距离为；（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，坐板EF的宽度为．三．解答题（共9小题，共66分）17．（6分）（1）计算：|2﹣1|+（﹣1）0﹣（）﹣1；（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x﹣1）．18．（6分）每年的6月26日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共4名学生参加“无毒青春健康人生”主题征文竞赛．（1）若从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是．（2）若从参赛的4名学生中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的概率．19．（6分）如图，在7×11的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；（2）在图2中仅用无刻度的直尺，画∠B的角平分线BE（保留画图痕迹，不写画法）．20．（8分）某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）求y与x的关系式；（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．（1）求证：∠ABD＝∠BCD；（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．第21题图第22题图22．（10分）在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段P A 绕点P顺时针方向旋转α，α＝∠ABC，得到PE，连接CE．（1）【观察发现】如图1，当BA＝BC，且∠ABC＝60°时，BP与CE的数量关系是，BC 与CE的位置关系是．（2）【猜想证明】如图2，当BA＝BC，且∠ABC＝90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）【拓展探究】在（2）的条件下，若AB＝8，AP＝5，请直接写出CE的长．23．（10分）定义：在平面直角坐标系中，若两条抛物线的顶点关于原点成中心对称，且二次项系数之积等于﹣2．我们就称其中一条抛物线是另一条抛物线的逆对抛物线．（1）写出抛物线y＝x2+2x﹣3的顶点坐标，并写出它的逆对抛物线；（2）已知抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线．①当抛物线y1经过点（﹣2，﹣1）时，求a+b+c的值；②设抛物线y1与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），抛物线y2与x轴的交点为C（在其对称轴左侧）．若这三点依次排列后，点B恰好是A，C两点连线的中点，求此时m的值．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点C的直线y＝x+4与y＝kx+4分别交x轴于点A，B．点E是AC的中点，点D的坐标是（﹣，0）．连结OE交CD于F．（1）求点A，F的坐标；（2）若∠ACD＝∠OCB，求k的值；（3）在（2）的条件下，过点F作直线l垂直于x轴，设点M在直线y＝kx+4上，点N在x轴上，问：直线l上是否存在点H，使得以B，M，N，H为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点H的坐标；若不存在，说明理由．九年级数学期中考试参考答案一．选择题（共10小题）1．﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．故选：A．2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x≥﹣1D．x≤﹣1【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x+1≥0，解得：x≥﹣1，故选：C．3．二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4【分析】根据二次函数对称轴为直线x＝﹣求解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．故选：C．4．如图，已知在半径为6的⊙O中，点A，B，C在⊙O上且∠ACB＝60°，则的长度为（）A．6πB．4πC．2πD．π【分析】求出弧AB所对的圆心角度数，依据弧长公式进行计算即可．【解答】解：连接OA、OB，则∠AOB＝2∠ACB＝120°，∴OA＝OB＝6，∴的长度为＝4π，故选：B．5．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（）A．y＝（x+2）2﹣2B．y＝（x﹣4）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣1D．y＝（x﹣1）2+5【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；故选：D．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，点E是AB边上一点，将△ADE沿直线DE折叠，得到△FDE，连接FC，EC．若四边形DECF是菱形，则BE的长为（）A．1B．√3C．2D．4﹣√3【分析】根据直角三角形的边角关系，在△ABC中可求出AC，∠B，由翻折变换的性质可知AD＝FD＝，∠A＝∠DFE＝30°，根据菱形的性质可得DE＝DF＝CE＝CF＝CD，进而得出△DCF和△DCE 都是正三角形，得出△BCE是直角三角形即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴∠B＝60°，AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，∵点D是AC边的中点，∴AD＝CD＝，由翻折变换可知，AD＝FD＝，∠A＝∠DFE＝30°，又∵四边形DECF是菱形，∴DE＝DF＝CE＝CF＝CD＝，∴△DCF和△DCE都是正三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，∴∠BEC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝2，∴BE＝BC＝1，故选：A．7．如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离AE为，在△ABC中，BC＝2，AB＝，将△ABC绕点C在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，A′C交直线l2于点D，则CD的长度为（）A．B．C．D．﹣【分析】根据勾股定理得到BE＝＝2，求得CE＝4，求得AC＝，过D作DH⊥AC于H，设CH＝x，则DH＝x，根据相似三角形的性质即可得到答案．【解答】解：∵AE⊥l2，∴∠AEB＝90°，∵AE＝，AB＝，∴BE＝＝2，∵BC＝2，∴CE＝4，∴AC＝＝＝，过D作DH⊥AC于H，∴∠DHC＝∠AHD＝90°，∵将△ABC绕点C在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，∴∠DCH＝60°，设CH＝x，则DH＝x，∴AH＝AC﹣CH＝﹣x，∵直线l1∥l2，∴∠DAB＝∠ACE，∵∠AEB＝∠AHD＝90°，∴△ACE∽△DAH，∴＝，∴＝，∴x＝，∴CH＝，∴CD＝2CH＝．故选：C．8．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（）A．B．2C．D．【分析】连结OF，作FG⊥OB于点G，可得△EOD∽△DGF，然后设DE＝10x，OD＝10y，可得DG ＝9x，FG＝9y，再结合勾股定理可以列出方程组，求出y即可．【解答】解：连结OF，作FG⊥OB于点G，∵∠EDF＝90°，∴∠ODE+∠FDG＝90°，∵∠DFG+∠FOG＝90°，∴∠DFG＝∠ODE，∵∠EOD＝∠DGF＝90°，∴△EOD∽△DGF，∴，设DE＝10x，OD＝10y，则DG＝9x，FG＝9y，∵OE2+OD2＝ED2，∴（10x）2+（10y）2＝102，∴x2+y2＝1，∵DO＝2BD，∴BD＝5y，∴OF＝OB＝15y，∵OG2+FG2＝OF2，∴（10y+9x）2+（9y）2＝（15y）2，整理得180xy＝125y2﹣81，∴（180xy）2＝（125y2﹣81）2，∴32400（1﹣y2）⋅y2＝15625y4+20250y2+6561，整理得：48025y4﹣52650y2+6561＝0，解得：或，∵BD＞DG，∴5y＞9x＞0，即（5y）2＞（9x）2，当时，，，∴（舍去），∴，∴，∴＝，故选：D．9．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值为（）A．B．C．D．【分析】如图1中，设AB＝a，则AC＝DE＝a，CE＝2a，求出h，l，可得结论．【解答】解：如图1中，设AB＝a，则AC＝DE＝a，CE＝2a，∴h＝a+2a，l＝2a，∴＝＝，故选：C．10．随看科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择：（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（）A．240m B．300m C．320m D．360m【分析】可设小明的速度是xm/分，则公交车速度是5xm/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为ym，计算得到小明的路程，公交车的路程，再根据到B公交站的路程之间的不等关系路程不等式求解即可．【解答】解：设小明的速度是xm/分，则公交车速度是5xm/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为ym，到A公交站：xt+5xt＝720，解得xt＝120，则5xt＝5×120＝600，到B公交站：5y﹣600≤600+y，解得y≤300．故A，B两公交站之间的距离最大为300m．故选：B．二．填空题（共6小题）11．分解因式：2x2y﹣8y＝2y（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式2y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2x2y﹣8y，＝2y（x2﹣4），＝2y（x+2）（x﹣2）．故答案为：2y（x+2）（x﹣2）．12．已知三个数1，，2，请再添上一个数，使它们能构成一个比例式，那么添上的这个数是2或或．【分析】设添加的数是x，根据比例的性质得出1×x＝或x＝1×2或1×＝2x，再求出x即可．【解答】解：设添加的数是x，则1×x＝或x＝1×2或1×＝2x，解得：x＝2或或，即这个数是2或或．13．已知，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图，由图可知不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣3或x＞1．【分析】根据函数图象关于对称轴对称，可得函数图象与x轴的交点，根据函数图不等式的关系，可得答案．【解答】解：由图象得抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，函数图象与x轴的交点坐标之一是（1，0），∴函数图象与x轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0），∴函数图象位于x轴上方的部分是x＜﹣3或x＞1，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣3或x＞1，故答案为：x＜﹣3或x＞1．14．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．15．南浔区某校在开展特色阳光大课间活动中融入了单脚跳跳球运动，如图1，当人单脚跳的过程中，小球会随着球杆绕着脚开始不停的旋转．大课间活动中，五位同学分别站在A、B、C、D、E点处，A处同学跳的时候，小球开始在地面上不停旋转形成⊙A，如图2为活动过程的俯视示意图，ED⊥DB，AB ⊥BD交⊙A于点G，GB＝80cm，ED＝100cm，＝，连接AD，∠DAB＝45°，当小球转到点F时，EF∥DB，FC⊥DB，则球杆AG＝100cm．【分析】如图，连接AF，过点F作FT⊥AB于T．设BC＝xcm，AB＝BD＝3xcm，在Rt△AFT中，利用勾股定理构建方程求出x即可．【解答】解：如图，连接AF，过点F作FT⊥AB于T．∵AB⊥DB，∠DAB＝45°，∴∠B＝90°，∴∠BAD＝∠BDA＝45°，∴AB＝BD，∵＝，∴可以假设BC＝xcm，AB＝BD＝3xcm，∵EF∥CD，DE⊥CD，CF⊥CD，∴∠E＝∠EDC＝∠FCD＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴DE＝CF＝100（cm），同法可证CF＝BF＝100（cm），BC＝FT＝xcm，∵BG＝80cm，∴AF＝AG＝（3x﹣80）cm，∵AF2＝AT2+FT2，∴（3x﹣80）2＝（3x﹣100）2+x2，∴x＝60，∴AG＝3×60﹣80＝100（cm）．故答案为：100．16．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD ＝50cm．（1）求扶手前端D到地面的距离为（35+25）cm；（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，坐板EF的宽度为（20﹣20）cm．【分析】（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，构造Rt△AMC和Rt△CGD中，通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度；（2）由平行线的性质知∠EFH＝∠DCG＝60°；根据题意得到CD＝50cm，DF＝20cm，FH＝20cm，如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，通过解Rt△EQF和Rt△EQH，根据等量关系HQ+FQ＝FH＝20cm列出方程x+x＝20，通过解方程求得答案．【解答】解：（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，垂足为G，则∠DCG＝60°．∵AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，∴∠A＝∠B＝30°，则在Rt△AMC中，CM＝＝30cm．∵在Rt△CGD中，sin∠DCG＝，CD＝50cm，∴DG＝CD•sin∠DCG＝50×sin60°＝（cm）．又GN＝CM＝30cm，前后车轮半径均为5 cm，∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5＝25+30+5＝35+25（cm）；故答案为：（35+25）cm；（2）∵EF∥CG∥AB，∴∠EFH＝∠DCG＝60°，∵CD＝50cm，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，∴FH＝20cm，如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，在Rt△EQF中，∠EFH＝60°，∴EF＝2FQ＝2x，EQ＝x，在Rt△EQH中，∠EHD＝45°，∴HQ＝EQ＝x，∵HQ+FQ＝FH＝20cm，∴x+x＝20，解得x＝．∴EF＝2（10﹣10）＝20﹣20（cm）．答：坐板EF的宽度为（20﹣20）cm．故答案为：（20﹣20）cm．三．解答题（共9小题）17．（1）计算：|2﹣1|+（﹣1）0﹣（）﹣1；（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x﹣1）．【分析】（1）利用绝对值、零指数幂和负整数指数的意义计算；（2）先利用乘法公式展开，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝2﹣1+1﹣＝；（2）原式＝x2﹣2x+1﹣x2+x＝1﹣x．18．每年的6月26日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共4名学生参加“无毒青春健康人生”主题征文竞赛．（1）若从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是．（2）若从参赛的4名学生中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）将甲学校两人记为a、b，将乙学校两人记为c、d，画树状图得出所有等可能结果，从中找到这两名学生来自不同学校的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是＝，故答案为：；（2）将甲学校两人记为a、b，将乙学校两人记为c、d，画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中这两名学生来自不同学校的结果数为8，所以这两名学生来自不同学校的概率为＝．19．如图，在7×11的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；（2）在图2中仅用无刻度的直尺，画∠B的角平分线BE（保留画图痕迹，不写画法）．【分析】（1）利用平行四边形的判定作出点D即可，注意满足条件的点D有3个．（2）利用格点特征作出AC的中点D，故过D作射线BE即可．【解答】解：（1）如图，点D1，D2，D3即为所求．（2）如图，扇形BE即为所求．20．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）求y与x的关系式；（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，进而求解；（3）由题意得：w＝（x﹣20×2）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得x1＝70，x2＝90，而40≤x≤a，进而求解．【解答】解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得，故y与x的关系式为y＝﹣x+120；（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，∵x﹣20≥0，﹣x+120≥0，x﹣20≤20×100%，∴20≤x≤40，∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，故当x＜70时，w随x的增大而增大，∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；（3）当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得x1＝70，x2＝90，∵x﹣2×20≥0，∴x≥40，又∵x≤a，∴40≤x≤a．∴有两种情况，①a＜80时，即40≤x≤a，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，②a≥80时，即40≤x≤a，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，∴这种情况不成立，∴a＝70．21．如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．（1）求证：∠ABD＝∠BCD；（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由CD平分∠ACB，根据圆周角定理，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ABD；（2）过点E作EM⊥AD于点M，求出AD长，则AB＝AD，可求出AB；则答案得出；（3）过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，可证明△DAF≌△DBN，则AF＝BN，DF＝CF则结论AF+BC＝DF可得出．【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BCD；（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∴∠DAB＝∠BCD＝45°，∵AE＝17，∴ME＝AM＝17×＝，∵DE＝13，∴DM＝＝＝，∴AD＝AM+DM＝12，∴AB＝AD＝12＝24，∴AO＝＝12；（3）AF+BC＝DF．理由如下：如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，∵四边形DACB内接于圆，∴∠DBN＝∠DAF，∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN，∴△DAF≌△DBN（AAS），∴AF＝BN，CF＝CN，∵∠FCD＝45°，∴DF＝CF，∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF．即AF+BC＝DF．22．在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段P A绕点P 顺时针方向旋转α，α＝∠ABC，得到PE，连接CE．（1）【观察发现】如图1，当BA＝BC，且∠ABC＝60°时，BP与CE的数量关系是BP＝CE，BC 与CE的位置关系是BC⊥CE．（2）【猜想证明】如图2，当BA＝BC，且∠ABC＝90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）【拓展探究】在（2）的条件下，若AB＝8，AP＝5，请直接写出CE的长．【分析】（1）如图1中，连接AE．证明△BAP≌△CAE（SAS），可得结论．（2）（1）中的结论BC⊥CE成立．BP＝CE不成立，结论是EC＝BP．利用相似三角形的性质证明即可．（3）分两种情形利用（2）中结论求出BP，可得结论．【解答】解：（1）如图1中，连接AE．∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∵P A＝PE，∠APE＝∠ABC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠P AE＝60°，∴∠BAC＝∠P AE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴BC⊥CE，故答案为：BP＝CE，BC⊥CE．（2）如图2中，（1）中的结论BC⊥CE成立．BP＝CE不成立，结论是EC＝BP．理由：如图2中，连接AE．∵△ABC，△APE都是等腰直角三角形，∴AC＝AB，AE＝AP，∠BAC＝∠ACB＝∠P AE＝45°，∴∠BAP＝∠CAE，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴∠ABD＝∠ABC＝45°∵＝＝，∴△CAE∽△BAP，∴＝＝，∠ABP＝∠ACE＝45°∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴EC＝BP，BC⊥EC．（3）当点P在线段BD上时，如图2中，∵AB＝CB＝8，∠ABC＝90°，∴AC＝8，∵BD⊥AC，∴AD＝DC＝4，∵AP＝5，∴PD＝＝＝3，∵BD＝AD＝DC＝4，∴BP＝BD﹣PD＝，∴EC＝BP＝2．当点P在BD的延长线上时，如图3中，同法可得PD＝3，∴BP＝BD+PD＝7，∴EC＝BP＝14．综上所述，EC的长为2或14．23．定义：在平面直角坐标系中，若两条抛物线的顶点关于原点成中心对称，且二次项系数之积等于﹣2．我们就称其中一条抛物线是另一条抛物线的逆对抛物线．（1）写出抛物线y＝x2+2x﹣3的顶点坐标，并写出它的逆对抛物线；（2）已知抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线．①当抛物线y1经过点（﹣2，﹣1）时，求a+b+c的值；②设抛物线y1与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），抛物线y2与x轴的交点为C（在其对称轴左侧）．若这三点依次排列后，点B恰好是A，C两点连线的中点，求此时m的值．【分析】（1）将抛物线y＝x2+2x﹣3配方，求出顶点坐标为（﹣1，﹣4），进而它的逆对抛物线的顶点坐标，进而求出它的逆对抛物线；（2）①将点（﹣2，﹣1）代入抛物线y1＝mx2+4mx+3m求出m的值，进而求出它的逆对抛物线的解析式，即可求解；②根据抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线求出y2的解析式，根据y1＝mx2+4mx+3m的解析式求出A，B的坐标，根据点B恰好是A，C两点连线的中点，求出点C的坐标，将C点坐标代入y2＝﹣（x﹣2）2+m即可求解．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵（﹣1，﹣4）关于原点的对称点是（1，4），∴它的逆对抛物线为y＝﹣2（x﹣1）2+4；（2）①∵抛物线y1经过点（﹣2，﹣1），∴4m﹣8m+3m＝﹣1，∴m＝1，∴y1＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴抛物线y1＝mx2+4mx+3m的顶点坐标为（﹣2，﹣1），∵抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线，∴抛物线y2＝ax2+bx+c的顶点为（2，1），∴抛物线y2＝﹣2（x﹣2）2+1＝﹣2x2+8x﹣7，∴a＝﹣2，b＝8，c＝﹣7，∴a+b+c＝﹣2+8+（﹣7）＝﹣1，②由题意得，抛物线y1＝mx2+4mx+3m的顶点坐标为（﹣2，﹣m），∵抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线，∴a＝﹣，抛物线y2＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，m），∴y2＝﹣（x﹣2）2+m，令y1＝0，即mx2+4mx+3m＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∴抛物线y1与x轴的两个交点为A（﹣3，0），B（﹣1，0），当点B恰好是A，C两点连线的中点时，点C的坐标为（1，0），∴﹣+m＝0，即m＝±．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点C的直线y＝x+4与y＝kx+4分别交x轴于点A，B．点E是AC的中点，点D的坐标是（﹣，0）．连结OE交CD于F．（1）求点A，F的坐标；（2）若∠ACD＝∠OCB，求k的值；（3）在（2）的条件下，过点F作直线l垂直于x轴，设点M在直线y＝kx+4上，点N在x轴上，问：直线l上是否存在点H，使得以B，M，N，H为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点H的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由A、C两点坐标，求出E点坐标，从而求出OE解析式，与CD的解析式联立成方程组解得；（2）作∠COG＝∠OAC＝45°，从而得出△GOC∽△DAC，求出OG，确定G点坐标，从而求出k；（3）BM为边和对角线分类，当是边时，利用边长相等列方程求，为对角线时，表示出对角线交点坐标，代入一次函数关系式求．【解答】解：（1）由x+4＝0得，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），又C（0，4），∴E（﹣2，2，），∴直线OE的解析式是：y＝﹣x，设CD的解析式是：y＝mx+b，∴，∴，∴y＝3x+4，由得，，∴F（﹣1，1）；（2）如图1，在Rt△AOC中，∵OC＝OA＝4，∴∠CAO＝∠OCA＝45°，作∠COG＝∠OAC＝45°，交BC于G，∵∠ACD＝∠OCB，∴△GOC∽△DAC，∴＝＝，∴＝，∴OG＝，作GH⊥OC于H，∴OH＝GH＝OG•sin∠GOH＝＝，∴G（，），∴，∴k＝﹣2；（3）如图2，由﹣2x+4＝0得，x＝2，∴B（2，0），BM是边，当HM＝MB时，设H（﹣1，m），由﹣2x+4＝m得，x＝﹣，∴M（﹣，m），由BM2＝HM2得，（﹣）2+m2＝（﹣+3）2，∴m1＝，m2＝，如图3，BM是边，当BM＝MN时，∴M在直线l上，当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+4＝6，∴H（﹣1，﹣6），如图4，当BM是对角线，设H（﹣1，a），∴BN＝BH＝，∴N（2+，0），∴I（，），∴﹣2×+4＝，∴a1＝﹣4，a2＝0（舍去），综上所述：H（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，﹣6）或（﹣1，﹣4）．。

天津市津南区东部学区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.将方程5x2−1=4x化成一元二次方程的一般式，则一次项系数是()A. 5B. 4C. −4D. −12.一元二次方程x2+x+6=0的根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根3.用配方法解方程x2−8x+2=0，配方后的方程是()A. (x−4)2=14B. (x−4)2=2C. (x−1)2=6D. (x−1)2=−74.若方程5x2+x−5=0的两个实数根分别为x1，x2.则x1+x2等于()A. −15B. 15C. −1D. 15.关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是()A. m>−1B. m>1C. m≤1D. m≤−16.对于抛物线y=2(x−1)2+3的顶点坐标是()A. (1,3)B. (3,1)C. (−3,2)D. (2,3)7.关于二次函数y=x2−x的下列结论，不正确的是()A. 图象的开口向上B. 当x<0时，y随x的增大而增大C. 图象经过点(2,2)D. 图象的对称轴是直线x=128.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠BOC的度数为()A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°9.下列说法正确的是()A. 平分弦的直径垂直于弦B. 三个点确定一个圆C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 圆内接四边形的对角互补10.某中学九年级以班级为单位组织篮球比赛，每两班之间都要比赛一场，共比赛了15场，设参赛班级的个数为x，则x的值为()A. 5B. 6C. 7D. 811.某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为()A. 800(1+2x)=100B. 100(1−x)2=80C. 80(1+x)2=100D. 80(1+x2)=10012.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)，其中，自变量x与函数值y之间满足下面对应关系：x…−5−3−1…y=ax2+bx+c…−2.5 1.5 1.5…则b(a+b+c)a的值是()A. −10B. −5C. −52D. −54二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.方程4x2−6x=0的根为______．14.若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2016的值为．15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=______．16.把抛物线y=12(x+2)2−1先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是______．17.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1，若点A(4,0)在该抛物线上，则4a−2b+c的值为______ ．18.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且−2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为______．三、解答题（本大题共8小题，共666分）19.解下列方程．(1)x2+10x−2=0(配方法)．(2)3x2−6x−2=0(公式法)．20.用因式分解法解方程．(1)x(2x−5)=2(2x−5)．(2)4x2−4x+1=(x+3)2．21.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与对应的函数y的值(部分)如表所示：x…−3−2−1012…y…m−2−3−216…解答下列问题：(1)表格中m的值等于______；(2)求这个二次函数的解析式；(3)在直角坐标系中，画出这个函数的图象．22.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD⏜=CD⏜，∠BAC=70°，∠ACB=50°．(1)求∠ABD的度数；(2)求∠BAD的度数．23.已知点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．(1)如图1，若BC为⊙O的直径，求∠CBD的大小；(2)如图2，若∠CAB=60°，BD=5，求⊙O的半径．24.如图1，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图2，地毯中央的矩形图案长6m、宽3m，整个地毯的面积是40m2，求花边的宽．(1)设花边的宽为x m，用含x的代数式表示：矩形地毯ABCD的长为______m；矩形地毯ABCD的宽为______m；矩形地毯ABCD的面积为______m2；(2)列出方程，并求出问题的解．25.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每周可卖出300件．如果每件商品的售价每降价1元，每周可多卖20件(每件售价不能低于40元).设每件商品的售价下降x元，每周的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大的周利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是5280元？26.已知抛物线y=−12x2+32x+2，与x轴交于两点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．(Ⅰ)求点A，B和点C的坐标；(Ⅱ)已知P是线段BC上的一个动点．①若PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，当BP+PQ取最大值时，求点P的坐标；②求√2AP+PB的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：5x2−1=4x，5x2−4x−1=0，所以一次项系数是−4，故选：C．先转化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．2.【答案】D【解析】解：Δ=12−4×1×6=−23<0，所以方程没有实数根．故选：D．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．3.【答案】A【解析】解：∵x2−8x+2=0，∴x2−8x=−2，∴x2−8x+16=−2+16，即(x−4)2=14，故选：A．将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式即可．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4.【答案】A【解析】解：根据根与系数的关系得，x 1+x 2=−15． 故选：A ．直接利用根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，则x 1+x 2=−ba ，x 1x 2=ca ．5.【答案】C【解析】解：根据题意得Δ=(−2)2−4×1×m ≥0， 解得m ≤1， 故选：C ．根据判别式的意义得到Δ=(−2)2−4×1×m ≥0，然后解关于m 的不等式即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与Δ=b 2−4ac 有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．6.【答案】A【解析】解：抛物线y =2(x −1)2+3的顶点坐标是(1,3)． 故选：A ．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．本题考查二次函数的性质，记住顶点式y =a(x −ℎ)2+k ，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是直线x =ℎ．7.【答案】B【解析】解：∵y =x 2−x =(x −12)2−14，∴图象开口向上，对称轴为直线x =12，顶点为(12,−14)， ∴当x >12时，y 随x 的增大而增大， 把x =2代入y =x 2−x 得，y =2，∴图象经过点(2,2)，故选项A、C、D正确，选项B不正确；故选：B．根据二次函数的性质和图象上点的坐标特征可以判断各个选项是否正确．本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选：D．由⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．9.【答案】D【解析】解：A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；B、不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故错误，不符合题意；C、在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，故错误，不符合题意；D、圆内接四边形的对角互补，正确，符合题意；故选：D．利用垂径定理，圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质及确定圆的条件分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，垂径定理及确定圆的条件，难度不大．10.【答案】Bx(x−1)=15，【解析】解：依题意得：12整理得：x2−x−30=0，解得：x1=6，x2=−5(不合题意，舍去)．故选：B．利用比赛的总场次数=参赛班级数×(参赛班级数−1)÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2017年蔬菜产量为80吨，则2018年蔬菜产量为80(1+x)吨，2019年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，即：80(1+x)(1+x)=100或80(1+x)2=100．故选：C．利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．12.【答案】A【解析】解：由表格可得，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−3+(−1)2=−2，∴−b2a=−2，x=1和x=−5对应的函数值相等，∴ba=4，∵当x=1时，y=a+b+c，x=−5时，y=−2.5，∴a+b+c=−2.5，∴b(a+b+c)a =ba⋅(a+b+c)=4×(−2.5)=−10，故选：A．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到对称轴，从而可以得到a和b的关系，x= 1和x=−5对应的函数值相等，从而可以求得所求式子的值．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13.【答案】x1=0，x2=32【解析】解：4x2−6x=0，2x(2x−3)=0，∴2x=0或2x−3=0，∴x1=0，x2=3；2故答案为：x1=0，x2=3．2根据解一元二次方程的方法−因式分解法解方程即可．本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．14.【答案】2019【解析】【分析】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出2m2−3m=1是解此题的关键．把x=m代入方程，求出2m2−3m=1，再将要求的式子变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵m是方程2x2−3x−1=0的一个根，∴代入得：2m2−3m−1=0，∴2m2−3m=1，∴6m2−9m+2016=3(2m2−3m)+2016=3×1+2016=2019，故答案为：2019．15.【答案】8cm【解析】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=1CD=4(cm)2在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE=√OC2−CE2=√52−42=3(cm)，∴AE=AO+OE=5+3=8(cm)．故答案为：8cm．先根据垂径定理可得出CE的长度，再在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，然后利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．(x+3)2+116.【答案】y=12(x+2)2−1先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位【解析】解：将抛物线y=12(x+2+1)2−1+2，长度，平移后抛物线的解析式为：y=12(x+3)2+1．即y=12(x+3)2+1．故答案为：y=12根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出抛物线的解析式即可．此题主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解决问题的关键．17.【答案】0【解析】解：∵点A(4,0)关于直线x=1的对称点为(−2,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−2,0)，∴4a−2b+c=0．故答案为0．先求出点A(4,0)关于直线x=1的对称点为(−2,0)，而点A(4,0)在该抛物线上，则利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−2,0)，然后根据二次函数图象上点的坐标特征求解．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．18.【答案】1【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由−2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，∴对称轴是直线x=−2a2a=−1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a>0，∵−2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，∴3a2+3a−6=0，∴a1=1，或a2=−2(不合题意舍去)．故答案为：1．19.【答案】解：(1)x2+10x−2=0，x2+10x=2，配方，得x2+10x+25=2+25，(x+5)2=27，开方，得x+5=±√27，解得：x1=−5+3√3，x2=−5−3√3；(2)3x2−6x−2=0，这里a=3，b=−6，c=−2，∵Δ=b2−4ac=(−6)2−4×3×(−2)=60>0，∴方程有两个不相等的实数根，x=−b±√b2−4ac2a =6±√602×3，解得：x1=3+√153，x2=3−√153．【解析】(1)移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；(2)先求出b2−4ac的值，再代入公式求出即可．本题考查了解一元二次方程，能灵活运用各个方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．20.【答案】解：(1)∵x(2x−5)=2(2x−5)，∴x(2x−5)−2(2x−5)=0，则(2x−5)(x−2)=0，∴2x−5=0或x−2=0，解得x1=2.5，x2=2；(2)∵4x2−4x+1=(x+3)2，∴(2x−1)2−(x+3)2=0，∴(2x−1+x+3)(2x−1−x−3)=0，即(3x+2)(x−4)=0，∴3x+2=0或x−4=0，．解得x1=4，x2=−23【解析】(1)移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；(2)左边写成完全平方式，移项后，再利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.【答案】1【解析】解：(1)根据图表可知：二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−2,−2)，(0,−2)，=−1，∴对称轴为直线x=−2+02∵(1,1)与(−3,1)关于直线x=−1对称，∴m=1；故答案为1；(2)∵对称轴是直线x=−1，∴顶点为(−1,−3)，设y=a(x+1)2−3，将(0,−2)代入y=a(x+1)2−3得，a−3=−2，解得a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)2−3．(3)在直角坐标系中，画出这个函数的图象如图：．(1)根据抛物线的对称性即可求得m的值；(2)直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；(3)描点、连线画出图象即可．本题考查的是二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．22.【答案】解：(1)∵∠BAC=70°，∠ACB=50°，∴∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=60°，∵AD⏜=CD⏜，∠ABC=30°；∴∠ABD=∠CBD=12(2)由圆周角定理得：∠ACD=∠ABD=30°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=80°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD=180°−∠BCD=100°．【解析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据圆周角定理求出∠ABD的度数；(2)根据圆周角定理求出∠BCD，进而求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB=90°，∵AD平分∠CAB，∠CAB=45°，∴∠CAD=12∴∠CBD=∠CAD=45°；(2)如图2，连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠EBD=90°，∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∠CAB=30°，∴∠DAB=12∴DE=2BD，∵BD=5，∴DE=10，∴⊙O的半径为5．【解析】(1)根据圆周角定理得到∠CAB=90°，根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；(2)如图2，连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，得到∠EBD=90°，根据角平分线的定∠CAB=30°，根据直角三角形的性质得到结论．义得到∠DAB=12本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24.【答案】(6+2x)(3+2x)(6+2x)(3+2x)【解析】解：(1)设花边的宽为x m，则矩形地毯ABCD的长为(6+2x)m，宽为(3+2x)m，∴矩形地毯ABCD的面积为(6+2x)(3+2x)m2．故答案为：(6+2x)；(3+2x)；(6+2x)(3+2x)．(2)依题意得：(6+2x)(3+2x)=40，整理得：2x2+9x−11=0，(不合题意，舍去)．解得：x1=1，x2=−112答：花边的宽为1m．(1)设花边的宽为xm，则矩形地毯ABCD的长为(6+2x)m，宽为(3+2x)m，利用矩形的面积计算公式，即可找出矩形地毯ABCD的面积为(6+2x)(3+2x)m2；(2)由(1)的结论结合整个地毯的面积是40m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出花边的宽为1m．本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各边之间的关系，用含x的代数式表示出矩形地毯ABCD的长、宽和面积；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．25.【答案】解：(1)由题意得：y=(60−x−40)(300+20x)=(20−x)(300+20x)=−20x2+100x+6000，∵每件售价不能低于40元，∴0≤x≤20，∴y与x的函数关系式为y=−20x2+100x+6000(0≤x≤20)；(2)y=−20x2+100x+6000=−20(x−5)2+6125，2∵−20<0，∴当x=5时，y有最大值，最大值为6125，2=57.5(元)，∴售价为60−52答：当售价为57.5元时，每周可获得最大利润，最大利润6125元；(3)由题意得：−20x2+100x+6000=5280，解之得：x1=−4(不符合题意，舍去)，x2=9，∴售价=60−9=51(元)．答：售价为51元时，每周利润为5280元．【解析】(1)根据每周的销售利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可；(2)根据(1)的函数关系式，由函数的性质求函数最值；(3)令y=5280得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值即可．本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数关系式和方程．26.【答案】解：(Ⅰ)对于抛物线y=−12x2+32x+2，令x=0，得到y=2，可得C(0,2)，令y=0，得到x2−3x−4=0，解得x=−1或4，∴A(−1,0)，B(4,0)．(Ⅱ)①如图1中，在射线CO上截取CM，使得CM=CB．∵C(0,2)，B(4,0)，∴OC=2，OB=4，直线BC的解析式为y=−12x+2，∵∠COB=90°，∴BC=√22+42=2√5，∴CM=BC=2√5，OM=2−2√5，∴M(0,2−2√5)，∴直线BM的解析式为y=√5−12x+2−2√5，设P(m,−12m+2)，延长QP交BM于D，Q(m,−12m2+32m+2)，D(m,√5−12m+2−2√5)，∵QD//CM，∴∠PDB=∠CMB，∵CM=CB，∴∠CMB=∠CBM=∠PDB，∴PB=PD，∴PQ+PB=PQ+PD=QD=(−12m2+32m+2)−(√5−12m+2−2√5)=−12m2+4−√52m+2√5，∵−12<0，∴当m=−4−√522×(−12)=4−√52时，PQ+PB的值最大，此时P(4−√52,4+√54).②如图2中，连接AC，将线段CB绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接FB，过点P作PN⊥BF于N，过点A作AH⊥BF于H．由旋转的性质可知F(2,6)，∵B(4,0)，A(−1,0)，C(0,2)，∴OA=1，OC=2，OB=4，∴OC2=OA⋅OB，∴OAOC =OCOB，∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO=∠CBO，∵∠CBO+∠OCB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∴∠ACB=90°，∵∠BCF=90°，∴∠ACF=180°，∴A，C，F共线，∵S△ABF=12×5×6=12⋅AH⋅BF，BF=√22+62=2√10，∴AH=3√102，∵√2AP+PB=√2(AP+√22PB)=√2(AP+PN)，∵AP+PN≥AH，∴当A，P，N共线时，AP+PN的值最小，×√2=3√5．∴√2AP+PB的最小值=3√102【解析】(Ⅰ)利用待定系数法解决问题即可．(Ⅱ)①如图1中，在射线CO上截取CM，使得CM=CB.证明PB=PD，把问题转化为求DQ 的最大值即可．②如图2中，连接AC，将线段CB绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接FB，过点P作PN⊥BF于N，过点A作AH⊥BF于H.由题意√2AP+PB=√2(AP+√2PB)=√2(AP+2PN)，再根据AP+PN≤AH，求出AH即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，垂线段最短，待定系数法等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2023-2024学年广东省深圳市龙华区九年级上学期期中数学质量检测模拟试题注意事项：1.答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名和考生号；将条形码横贴在答题卡指定区域。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

1.将一元二次方程2275x x =-化成一般形式之后，则一次项系数和常数项分别为（）A.7-，5- B.5，7- C.5，7D.7-，52.若四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中3cm b =，6cm c =，9cm d =，则线段a 的长度为（）A.8cmB.2cmC.4cmD.1cm3.如图，若直线123l l l ∥∥，且:3:4DE EF =，6AB =，则BC =（）A.5B.8C.9D.104.若1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则12x x +的值是（）A.3- B.15C.5- D.55.用配方法解一元二次方程229x x -=，配方后可变形为（）A.()2110x -= B.()2110x +=C.()218x -=- D.()218x +=-6.如图，延长ABCD □的边AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，DB ，EC .再添加一个条件，不能使四边形BCED 成为矩形的是（）A.AB BE =B.BE DC ⊥C.90ADB ∠=︒D.CE DE⊥7.一次聚会，每两个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了56件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x ，根据题意可列方程为（）A.()156x x +=B.()156x x -=C.()2156x x += D.()1562x x -=⨯8.如图，将边长为4cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ABC △沿AD 方向平移，得到A B C '''△，若两个三角形重叠部分的面积是24cm ，则它移动的距离AA '等于（）图1图2A.3cmB.2.5cmC.1.5cmD.2cm9.如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形ABCD 和一个等边DEF △，使得点E ，F 分别在AB 和BC 上，那么B ∠的度数为（）A.105︒B.100︒C.95︒D.80︒10.如图，正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上一点，过P 作PE BC ⊥，PF DC ⊥，垂足分别为E 、F ，连接EF ，若EF =，13PE CD =，点D 到AP 的距离（）A.655B.3225D.355二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.已知关于x 的方程210mx x +-=有实数根，则m 的取值范围是______.12.一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干题红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则摸到红色幸运星颗数约为______颗13.如图，一张ABC △的纸片，P 在边BC 上，将点A 折至点P 时，BD 为折痕，其中点D 在边AC 上，若ABC △的面积为100，ABC △的面积为60，则:BP PC =______.14.如图，若菱形ABCD 的面积为23cm ，120A ∠=︒，将菱形ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形对角线的交点O 处，折痕为EF ，则EF =______cm.15.在ABC △中，AD 是BAC ∠的角平分线，BE AD ⊥交线段AD 于点E ，17AB =，5AC =，4BC =，则BEC △的面积为______.三.解答题（共7小题）16.（9分）解方程：（第15题）（1）230x x -=；（2）2450x x --=；（3）()3122x x x -=-.17.（7分）不透明的盒中有4个完全相同的球，球上分别标有数字“1，2，3，4”.（1）若从盒中随机取出1个球，取出的球上的数字是奇数的概率是______；（2）若从盒中取出一个球，记录球上的数字后不放回.再从剩下的球中取出一个球，并再次记录球上的数字，求两次数字的和为偶数的概率是多少？通过画树状图或列表法解决.18.（6分）大新同学在学习北师大版九上第一章《特殊平行四边形》，通过习题1.4的第4题，知道了“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

山东省烟台市莱州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题和答案详细解析(题后)一、单选题1. 在中，，，则（）．A．B．C．D．2. 下列说法中，正确的有（）个①为锐角，则；②﹔③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形﹔④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；⑤；⑥当的三边长扩大为倍时，则的值也相应扩大倍．A．B．C．D．二、解答题3. 如图，中，，，，若用科学计算器求的度牧，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（）．A．B．C．D．三、单选题4. 关于函数的图象，下列叙述正确的是（）．A．的值越大，开口越大B．的绝对值越大，开口越大C．的绝对值越大，开口越小D．的值越小，开口越小5. 若点A（﹣3，m），B（5，m）在同一个函数图像上，这个函数可能为（）A．y＝（x﹣1）2+2022 B．y＝（x+1）2+2022C．y＝（x+3）2﹣2022 D．y＝（x﹣2）2﹣20226. 如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为（）A．200米B．米C．米D．米7. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（）A．B．C．D．8. 下列选项中，阴影部分面积最小的是（）A．B．C．D．9. 将函数的图象向左平移1个单位，平移后的图象过点，，，则、、的大小关系是（）．A．B．C．D．10. 如图是抛物线（、、为常数，且）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，直线与抛物线交于A、B两点．下列结论：①；②；③；④抛物线与x轴的另一个交点是；⑤当时，有；⑥（实数）其中正确的是（）．A．①②③⑥B．①③④C．①③⑤⑥D．②④⑤四、填空题11. 函数的自变量的取值范围是______．12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=_____．13. 如图，在边长1正网格中，A、B、C都在格点上，AB与CD相交于点D，则sin ∠ADC=_____．14. 抛物线开口向______，有最______点，顶点坐标是______．15. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是______．16. 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB//x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm则右轮廓线DFE所在抛物线的函数表达式为 ___（不用写x的取值范围）．五、解答题17. 计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．18. 如图，AD是△ABC的中线，.求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．20. 如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．21. 海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方向行驶，在距离A为海里的D处拦截到该可疑船只．(1)求点A到直线CB的距离；(2)若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：）22. 我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示，前20天，y与x是正比例函数关系；从第20天开始，y与x是反比例函数关系．(1)求y与x的关系式；(2)研究表明，体内抗体浓度不低于70微克/ml且持续时间超过72天效果最佳．此次注射能否达到最佳效果？23. 中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点（长度单位：）(1)直接写出的值；(2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/，求购买地毯需多少元？(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG在这个坐标系中的解析式．24. 已知抛物线y＝a+c（a≠0）过点P（3，0），Q（1，4）．(1)求抛物线的解析式；(2)点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB⊥x轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角△ABC．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②点C能否落在抛物线上，若能求点C的坐标，若不能说明理由．答案详解1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.21 / 21。