高考数学常用结论宝典最终版

高中数学二级结论1、任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。

①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x )4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b|7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 13、①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是||22222A a -B b =C14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±= （左加右减）15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x 的点P 到焦点的距离)公式，且F 1为左焦点，F 2为右焦点，e 为双曲线的离心率。

一、公式和结论1，指数运算性质：aa anm n m+=∙；()a amn nm =；()b a ab nnn= （R n m b a ∈>>.,0,0）2，对数运算性质：log a M +log a N =log a MN ；log a M - log a N =log a NM；a log a N=N ；log a M =a b Mb log log ；M aMa=l o g （0,0,1,1,0,0>>≠≠>>N M b a b a ）。

3，等差数列：1(1)n a a n d =+- ； ()n m a a n m d =+- ；n ma a d n m-=-()m n ≠；若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 。

{}a n是等差数列d a an n =⇔+_1（d 为常数） a a a n n n 212+++=⇔q pn a n +=⇔（p,q 为常数）Bn A n S n +=⇔2（A ，B 为常数）4，等比数列：qa a n n 11-= ；qa a mn m n -= （0,,≠∈+q N n m ） ；若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则aa a a qpnm=qq a S nn --=1)1(1 ；qa a Snn--=11（1≠q ）；a Sn n1∙= （q=1）；{}a n是等比数列q aann =⇔+1（q 为常数） a a a n n n 221+=+⇔ a a a n n n 21,,(++不等于0） q a nn c =⇔（c,q 为非0常数）B A q S nn +=⇔（A,B 为常数,A+B= -1）5, 绝对值不等式定理： b a b a b a +≤±≤-。

高中高考数学所有二级结论《[完整版]》一、几何结论1、关于点1.1 同一直线上三点，若其中两点间距相等，则三点共线；1.2 直线平分线定理：若直线Ⅰ平分线段AB，则AM/MB=1；1.3 直线的垂直平分线定理：若直线Ⅰ对AB的垂直平分线，则M是A、B中点；1.4 同一直线出发点，夹萝卜角度相等，终足点也在同一直线上；1.5 同一直线上三点，至少有2点共线；1.6 若任意一点位于AB的延长线上，则距AB同侧的距离相等；2、关于直线2.1 齐次直线：若直线上所有点满足y=ax+b，则直线称为齐次直线；2.2 相交线定理：若两条直线相交，则它们的夹角一定是锐角；2.3 相等的夹角可以定位：若两条直线的夹角为有限尺寸夹角，则它们可以定位；2.4 两平行线定理：若两条直线平行，则它们过同一直线上的任意一点都相等；2.5 同一实轴向非相交点所在直线定理：由两条实轴向非相交的直线，所形成的不规则四边形，相较相邻的两边的夹角度数之和为180°；3、关于三角形3.1 相等的边角定理：若两角的大小相等，则它们两理封闭的边也相等；3.2 对角线定理：若一个多边形的对角线相交，则其论线的和为360°；3.3 相等的三角形定理：若三角形的两边和它们之间的夹角相等，则三角形中的任何一点到另外两点的距离也相等；3.4 含有相同角的三角形定理：若两个三角形包含有相同大小的角，则其面积之比，与相应边的比值的平方成正比；3.5 三角形角度和定理：若三角形的三边的长度都不相等，那么它的三内角之和等于180°；3.6 斜边长度定理：若一个三角形的两边长度相等，那么它们所构成的内角一定是锐角；4、关于圆4.1 直径定理：若任意直线与圆相交，则此直线必经过圆心；4.2 垂足定理：若圆上存在一点，使得其到圆心的距离（即圆上点P到垂足M）尽可能的小，则M为圆上某一点P的垂足；4.3 旋转定理：把椭圆上的任意一点A旋转一定的角度，得到的椭圆上的点B，满足AB距离的平方等于AB分别到圆点的距离的积；二、代数结论1、关于一元二次方程1.1 一元二次方程的解：解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个解是：x1=(-b+√（b2-4ac）)/2a，x2=(-b-√（b2-4ac）)/2a；1.2 求解实数解：若b2-4ac>0，那么它有实数解，若b2-4ac=0，那么它有重根，若b2-4ac<0，则无实数解；2、关于一元三次方程2.1 三次方程的解：一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a ≠ 0）的三个实数解为：x1 = [-b + √（b2-3ac）]/3ax2 = [-b - √（b2-3ac）]/6a + i√3/6ax3 = [-b - √（b2-3ac）]/6a - i√3/6a；2.2 求解实数解：若b2-3ac>0，它有三个不同的实数解；若b2-3ac=0，它有重根；若b2-3ac<0，它有三个不同的实数解；3、关于系数代数方程3.1 二次代数方程：若一个二次代数方程ax2+bx+c=0有实数解，则它的解为x1=(-b+√（b2-4ac）/2a，x2=(-b-√（b2-4ac）/2a；3.2 三次代数方程：若一个三次代数方程ax3+bx2+cx+d=0有实数解，则它的解为x1=(-b+√（b2-3ac）/3a，x2=(-b-√（b2-3ac）/6a + i√3/6a，x3=(-b-√（b2-3ac）/6a - i√3/6a；4、关于函数4.1 闭区间：函数定义域上下端点其值皆有效，叫闭区间；4.2 周期：当变量满足周期函数关系，即变量与函数之间存在正反循环吻合关系时，称其为“周期函数”；4.3 偶函数：若变量x在定义域内变换了一倍角度，f（x）应等于自己，叫作偶函数；4.4 奇函数：若变量x在定义域内变换了一倍定义域，而f（x）值改变了符号，叫作奇函数；5、关于初等函数5.1 线性函数的定义：当关系式为y=ax+b，a、b为有理常数，b≠0时，它称为“线性函数”；5.2 二次曲线的定义：当关系式为y=ax2+bx+c（a≠0），a、b、c 为有理常数时，它称为“二次曲线”；5.3 对称性：定义域内一点同它的对称点在函数图像上所对应的点总是具有相同的函数值，称为函数具有“对称性”；5.4 反函数定义：当函数f（x）在它的定义域内是一一對應的，可以反求f（x）的值的函数，称为“反函数”；。

高考数学常用结论集锦1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .2U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔= 3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n－2)个4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.三次函数的解析式的三种形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠ 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-= ②函数()y f x =的图象关于直2a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=.③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称.特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.8.分数指数幂mna=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m nmnaa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.9. log (0,1,0)ba Nb a N a a N =⇔=>≠>.log log log a a a M N M N +=(0.1,0,0)a a M N >≠>> log log log a a aM M N N-=(0.1,0,0)a a M N >≠>> 10.对数的换底公式 log log log m a m N N a=.推论 log log m na a n bb m=.对数恒等式log a NaN =（0,1a a >≠）11.11,1,2n nn s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ).12.等差数列{}n a 的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；13.等差数列{}n a 的变通项公式d m n a a m n )(-+=对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，(m,n,p,q 为正整数)则q p m n a a a a +=+。

函数●反函数：若[]x x g f =)(，则)()(1x g x f =- ● 函数的单调性函数单调性的证明步骤：1，任取。

2，求差。

3，结论 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么 []1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. ● 如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.●奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;在对称区间上，奇函数的单调性相同，偶函数相反；，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0，则必有f(0)=0; ● 若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.● 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b a x +=对称.● 若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. ●多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. ● 函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.● 两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.● 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. ● 互为反函数的两个函数的关系：a b fb a f =⇔=-)()(1.●若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x fk y -=-,并不是)([1b kx fy +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数.● 几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==.● 几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.二次函数● 二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. ●一元二次方程的实根分布若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q pm ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .●定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的 二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是m in (,)0()f x t x L ≥∉. (2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的 充要条件是(,)0()m an f x t x L ≤∉. (3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或240a b ac <⎧⎨-<⎩.●实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20ax bx c ++=， ①若240b ac ∆=->,则1,22x a=②若240b ac ∆=-=,则122b x x a==-;③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根； 在复数集C内有且仅有两个共轭复数根240)2x b ac a=-<●根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.● 有理指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．对于无理数指数幂都适用. ● 指数式与对数式的互化式log ba Nb a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.● 对数的换底公式log log log m a m N N a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log mna a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).● 对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a M N M N =+;(2) log log log a a a M M N N=-;(3)log log ()na a Mn M n R =∈.集合与简易逻辑● 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. ● 德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . ●包含关系：A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=● 容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+- ()card A B C cardA cardB cardC =++()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ .● 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. ●● 如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.数列● 若 ●●●数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2n nn s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ).●等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-.●等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.●等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒+=+q p n m qp n m a a a a a a a a q p n m ·等比数列等差数列1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q dq q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩； 其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111nn nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. ● 常用求和公式①2)1(321nn n ⨯+=++++ ②2)12(7531n n =-+++++③)12)(1(613212222++=++++n n n n④233332)1(321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n三角函数●常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.● 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.●和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b aϕ=).● 半角正余切公式：sin sin tan ,cot 21cos 1cos αααααα==+-●二倍角公式sin 22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.● 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.● 正弦定理 2sin sin sin a b c R ABC===.●余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.● 面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. （3）O A B S ∆=●三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.● 在三角形中有下列恒等式： sin()sin A B C +=● 角的变形：2()()2()()()ααβαββαβαβααββ=-++=+--=+-向量● 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . ● 向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. ● 平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对 实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． ● 向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a 平行b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.● a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．● a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． ● 平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. ●两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ). ●平面两点间的距离公式,A B d=||AB ==(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).● 向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. ●线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12P P PP λ=，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121O P O P O P λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. ● 三角形的重心坐标公式△ ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.●点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''O P O P P P ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP的坐标为(,)h k .● “按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++. (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4) 曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . ● 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为A B C ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为A B C ∆的外心222O A O B O C ⇔== .（2）O 为A B C ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为A B C ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为A B C ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为A B C ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.不等式●常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +∈⇒2a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. ● 极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s .推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大. ●一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.● 含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-. 75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.（22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.● 指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x aaf xg x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()aa f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x aaf xg x >⇔<; ()0log ()log ()()0()()aa f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩解析几何●斜率公式①2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.② k=tan α(α为直线倾斜角）● 直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).● 两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+， 222:l y k xb =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②两直线垂直的充要条件是 12120A A B B +=；即：12l l ⊥⇔12120A A B B += ● 夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.●1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.● 四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0A x B y C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．●点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).圆● 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).● 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线A B 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数． (3)过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数． ●点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上; d r <⇔点P 在圆内.● 直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 1，0<∆⇔⇔>相离r d ; 2，0=∆⇔⇔=相切r d ; 3，0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.● 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .椭圆● 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.●椭圆22221(0)x y a b ab+=>>焦半径公式1PF a ex =+，2PF a ex =-,12,F F 分别为左右焦点●焦点三角形：P 为椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上一点，则三角形12PF F 的面积S=212tan;2P F F b ∠∙特别地，若12,PF PF ⊥此三角形面积为2b ； ●在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上存在点P ，使12PF PF ⊥的条件是c≥b,即椭圆的离心率e 的范围是[2；●椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的外部22221x y a b ⇔+>.●椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y ab+=.（2）过椭圆22221(0)x y a b ab+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y ab+=.（3）椭圆22221(0)x y a b ab+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.双曲线●双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的焦半径公式21|()|aPF e x c =+，22|()|aPF e x c=-. ●双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)xya b a b -=>>的外部22221x y a b⇔-<. ●双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by ax ⇒渐近线方程：22220x y ab-=⇔x ab y ±=.(2)若渐近线方程为x ab y ±=⇔0=±by a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by ax .(3)若双曲线与12222=-b ya x有公共渐近线，可设为λ=-2222bya x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. ● 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y ab-=.（2）过双曲线22221(0,0)x ya b ab -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x xy y ab-=.（3）双曲线22221(0,0)xya b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.●焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b 值）抛物线●焦点与半径22(0),(,0),;44(0),(),;44a a y ax a x aaay a =≠=-=≠=-抛物线焦点是准线抛物线x 焦点是0,准线y● 焦半径公式抛物线22(0)y px p =>，C 00(,)x y 为抛物线上一点，焦半径02p C F x =+.过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122.对焦点在y 轴上的抛物线有类似结论。

高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .3.包含关系A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ .5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x NM f x ->-⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m i n m a x m ax ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.常见结论的否定形式14.四种命题的相互关系逆 逆若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质 （1）n a =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r srsa a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ). 40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s ()2(1s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈.cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈. tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.53. a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d=||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ= ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== . （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分；111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0a x b y c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=; ②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0A x B yC ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px = .102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB = ⇔(1)OP t OA tOB =-+ . ||AB CD ⇔AB 、CD共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD = 且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++ .119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC=++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD xAB yAC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r r rr（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅=(m为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅= 或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+ (当且仅当90θ= 时等号成立).134.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB = =.135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式dd =d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧.②1V S l =斜棱柱. 143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则 其体积343V R π=, 其表面积24S R π=． 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ .150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯ .151.排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 152.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+; （2）1mmn n n A A n m-=-; （3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 153.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质(1)mn C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .155.组合恒等式 （1）11mm n n n m C C m--+=;（2）1mmn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC=n2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ . 157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!! (2)11c b a m C C C N m mn n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.。

高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于123.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则tan θ=24.A 、B 、C 三点共线⇔nm n m +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则（这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABCcb a -+35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e Λ 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心 (3)O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M nX D 49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。

高中数学二级结论（经典实用）1、余弦定理：在任何三角形中，$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

2、正弦定理：在任何三角形中，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$为该三角形的外接圆半径。

3、勾股定理：对于任意直角三角形，斜边的平方等于两条直角边平方和。

4、解二元一次方程组：当方程组$ax+by=c$，$dx+ey=f$的系数矩阵的行列式不为零时，解得$x=\frac{ce-bf}{ae-bd}$，$y=\frac{af-cd}{ae-bd}$。

5、解二次方程：对于方程$ax^2+bx+c=0$，当$\Delta=b^2-4ac>0$时，有两个不同实根$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$；当$\Delta=0$时，有一个实根$x=-\frac{b}{2a}$；当$\Delta<0$时，有两个虚根$x_1=\frac{-b+\sqrt{-\Delta}}{2a}i$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{-\Delta}}{2a}i$。

6、二次函数的解析式：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，它的顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$，其中$\Delta=b^2-4ac$；当$a>0$时，开口向上，当$a<0$时，开口向下。

7、解一元高次方程：对于方程$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$，如果存在有理根$p/q$，则必有$p\mid a_0$，$q\mid a_n$，且$p,q$互质。

高考数学常用结论（高考总结）1.德摩根公式和集合相关运算公式2.二次函数的解析式的三种形式：①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.3.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.4.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.②函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.5.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称.③函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.6.分数指数幂m na=0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.7. log (0,1,0)b a N b a N a a N =⇔=>≠>.N e N=ln ,N a N a =log8.对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m na a nb b m=.9.数列的一般通项公式：11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩. 10.等差数列的通项公式和其前n 项和公式（错位相加法的证明）11.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.12.分期付款(按揭贷款) 每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).13.同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 14.正弦、余弦的诱导公式（图象是诱导公式的基础：奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩15.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 16.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（作用在于升降幂）.22tan tan 21tan ααα=-.17.三角函数的周期公式 函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.18.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===.（三角形三心的几何性质和向量性质） 19.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.20.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.（3）向量形式21.三角形内角和定理 在△ABC 中，有()222C A BA B C C A B πππ+++=⇔=-+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 22.平面两点间的距离公式,A B d =11(,)x y ，B 22(,)x y ). 23.向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 a P b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 24.线段的定比分公式（圆锥曲线的基础）25.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 26.点的平移公式 27.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤- 28.极值定理 已知y x ,都是正数，则有（1）如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s . 29.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.30.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.31.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.（32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.32.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩33.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.34.直线的四种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（4）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 35.两条直线的平行和垂直（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+（2）若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, 36.夹角公式 2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)12211212tan A B A B A A B B α-=+(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 37.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).38. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).39.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.40.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(22x c a e PF -=. 41.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.42.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2οοy py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y o o ，其中22y px =o o .43.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.44.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.45.圆锥曲线的两类对称问题：（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 46.“四线”一方程 对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.47.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ． 48.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OC z OB y OA x OP ++= 则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=．49. 空间两个向量的夹角公式 cos 〈a,b 〉=（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ）.50.直线AB 与平面所成角||||arcsinm AB mAB ⋅=β(为平面α的法向量).51.二面角l αβ--的平面角的法向量公式52.设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.53.若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+o (当且仅当90θ=o 时等号成立).54.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A Bd =55.点Q 到直线l 距离的向量公式 56.异面直线间距离的向量公式57.点B 到平面α的距离的法向量公式58.异面直线上两点距离公式d =(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).59. 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=（长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.60. 面积射影定理 'cos S S θ=(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 61.欧拉定理(欧拉公式) 2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F) 62.球的半径是R ，则其体积是343V R π=,其表面积是24S R π=． 63.分类计数原理（加法原理） 64.分步计数原理（乘法原理） 65.排列数公式 mn A =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．66.排列恒等式 （1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1mmn n n A A n m-=-;（3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n n A A mA -+=+.67.组合数公式 mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ，m ∈N *，且m n ≤).68.组合数的两个性质(1) mn C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =mn C 1+69.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-;（3）11mm nn n C C m--=; （4）∑=nr rn C=n2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C Λ.70.排列数与组合数的关系是：m mn n A m C =⋅！ .71.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ; 二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=.72.等可能性事件的概率()mP A n=. 73.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． 74.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 76.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).77.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．78.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k n n P k C P P -=-79.离散型随机变量的分布列的两个性质 80.数学期望81.数学期望的性质：（1）()()E a b aE b ξξ+=+；（2）若ξ～(,)B n p ，则E np ξ=. 82.方差 83.标准差.84.方差的性质(1)()22()D E E ξξξ=-;(2)()2D a b a D ξξ+=；（3）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.85.正态分布密度函数()()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.86.标准正态分布密度函数()()22,,x f x x -=∈-∞+∞.87.对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率()x F x μσ-⎛⎫=Φ⎪⎝⎭.()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<()()21F x F x =-21x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.88.回归直线方程 $y a bx =+，其中()()()1122211n ni i i i i i n ni i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑.89.相关系数 ()()niix x y y r --=∑ ()()niix x y y --=∑|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.90.特殊数列的极限 （1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩L L 不存在 .（3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）. 91.0lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.这是函数极限存在的一个充要条件.92.函数的夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：（1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.93.两个重要的极限 （1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…).94.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）00000()()()limlim x x x x f x x f x y f x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 95.瞬时速度00()()()lim lim t t s s t t s t s t t t υ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.96.瞬时加速度00()()()lim lim t t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 97.)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx''===00()()lim lim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆. 98.函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.99.几种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.(4) x x sin )(cos -='.(5) x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='.100.复合函数的求导法则 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.101.可导函数)(x f y =的微分dx x f dy )('=.102.,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）103.复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +104.复数的四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++;(2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-;(3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++.105.复平面上的两点间的距离公式 12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.106.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ∆=->,则1,22b x a -±=;②若240b ac ∆=-=,则122b x x a ==-;③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.。

高中高考数学所有二级结论《完整版》 .一、最大值最小值和极值点1、若解三角形的函数图象上的最小值为 b，则其最大值和极值点为 (a，b)。

2、使函数 y=f(x) 在闭区间 [a, b] 内取得最小值时，有：f(x) 在区间 (a, b) 的极值点位于 x=a 或 x=b。

6、若曲线 y=f(x) 的各个极值点间段形成单调递增或递减区间，则函数 y=f(x) 在该区间上取得同一值，并且该值为最小值或最大值。

2、若函数 y=f(x) 在a≤x≤b 的范围内单调递增，则函数可能在 (a, b) 的范围内取得极大值 c，其中 a 和 b 可能也是极值点；若函数 y=f(x) 在a≤x≤b 范围内单调递减，则函数可能在 (a, b) 的范围内取得极小值 d，其中 a 和 b 可能也是极值点。

三、极限1、函数 y=f(x) 对某个数 x 求极限时，当lim x→a f(x) 存在时，就可以确定函数在 x=a 的极限值及其未定义点，即lim x→a f(x)=L。

四、不等式1、若 y=f(x) 是多元函数，则该函数满足两个单调的不等式的交汇处就是极大值点，而满足两个逆单调的不等式的交汇处就是极小值点。

2、若函数 y=f(x) 是不等式 y>f(x) 的解，则当y≤f(x) 时，函数 y=f(x) 就取得最小值，而当y≥f(x) 时，函数 y=f(x) 就取得最大值。

3、若函数有极值点，那么该函数的对应的不等式中的所有值介于函数的最大值和最小值之间。

2、当有限次多项式函数 y=f(x) 在 having T 公式的拟合函数中有极值时，Tarrance 公式会捕捉该函数的起伏特性。

3、当函数 y=f(x) 可以用 Taylor 公式进行估计时，该函数在 x=a 处可能取得最大值或最小值，即函数可能在 x=a 上取得极值。

高中数学33条神级结论1. 根据角平分线定理，一个角的平分线会把对角线分成两个相等的部分。

2. 根据同位角对应定理，若两条直线被一条横截线相交，同位角对应相等。

3. 两个互补角的度数相加等于90度。

4. 两个补角的度数相加等于180度。

5. 三角形内角和为180度。

6. 三角形外角等于其对立内角之和。

7. 两个平行线被一条横截线相交，对应角相等。

8. 两个平行线被一条横截线相交，同位角相等。

9. 两个垂直角相等。

10. 在一个弦上的两个圆心角相等。

11. 同弦等圆的圆心角相等。

12. 圆周角等于其对应的圆心角的一半。

13. 位于一个弧上的两个弦的圆心角相等。

14. 在直角三角形中，三角形的两腰相等时，三角形是等腰三角形。

15. 等腰三角形的底角相等。

16. 在等腰三角形中，底边中线等于顶点到底边的距离。

17. 在等边三角形中，三角形的三个角和是180度。

18. 等边三角形的任意两个角都相等。

19. 等边三角形内角等于60度。

20. 一个正多边形的内角和为180度。

21. 一个正五边形的内角等于108度。

22. 一个正六边形的内角等于120度。

23. 一个正七边形的内角等于128.57度。

24. 一个正八边形的内角等于135度。

25. 一个正十边形的内角等于144度。

26. 一个正十二边形的内角等于150度。

27. 对角相等的四边形是平行四边形。

28. 平行四边形的对角线相等。

29. 一个长方形的对角线相等且垂直。

30. 一个正方形的对角线相等且互相垂直。

31. 一个菱形的对角线相互垂直且对角线相等。

32. 在一个梯形中，底边的平行线段长度相等。

33. 一个平行四边形的对角线平分。

以上是高中数学中33条神级结论，掌握好这些结论，将对你的数学学习有着重要的帮助。

祝愿你在数学的道路上一帆风顺！。

高考数学常用结论集锦1.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=②函数()y f x =的图象关于直2a bx +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=.③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--2.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m +=对称.特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- 3. 分数指数幂m na=0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m nmnaa -=（0,,a m n N *>∈，且1n >）4. 对数的换底公式log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a nb bm =.对数恒等式log a N a N =（0,1a a >≠）5. 若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。

如下图所示：44444444444844444444444764434421Λ4434421Λ444344421Λk kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++其前n 项和公式1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n S S b a 。

高中高考数学所有二级结论《完整版》-高中高考数学是高中学习的重点科目之一，也是考生们备战高考的重点科目之一。

在数学学习中，二级结论是非常重要的知识点，掌握好二级结论可以帮助我们更好地解题和理解数学知识。

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一、数列及数列的通项公式1. 等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d2. 等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an)n/23. 等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)4. 等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1)/(q - 1)二、平面几何1. 相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例2. 相似三角形的边长比例关系：ab/cd = ac/bd = bc/ad3. 相似三角形的高比例关系：ha/hb = ca/cb4. 相似三角形的面积比例关系：S1/S2 = a1^2/a2^25. 平行线与三角形的性质：平行线分割三角形的边，得到的线段成比例三、立体几何1. 圆柱的侧面积：S = 2πrh2. 圆柱的体积：V = πr^2h3. 圆锥的侧面积：S = πrl4. 圆锥的体积：V = 1/3πr^2h5. 球的表面积：S = 4πr^26. 球的体积：V = 4/3πr^3四、函数1. 一次函数的图像：直线2. 一次函数的性质：线性增长3. 一次函数的斜率：k = △y/△x = (y2 - y1)/(x2 - x1)4. 二次函数的图像：抛物线5. 二次函数的性质：开口方向，顶点坐标6. 二次函数的判别式：△ = b^2 - 4ac，△ > 0 有两个不相等的实根，△ = 0 有两个相等的实根，△ < 0 无实根7. 二次函数的顶点坐标：(h, k)8. 二次函数的对称轴：x = h9. 二次函数的最值：最大值 h = -b/2a，最小值 h = -b/2a五、概率统计1. 随机事件的概率：P(A) = n(A)/n(S)2. 互斥事件的概率：P(A∪B) = P(A) + P(B)3. 独立事件的概率：P(A∩B) = P(A) * P(B)4. 全概率公式：P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + . + P(A∩Bn)5. 条件概率公式：P(B|A) = P(A∩B)/P(A)六、解析几何1. 直线的斜率：k = △y/△x = (y2 - y1)/(x2 - x1)2. 直线的点斜式方程：y - y1 = k(x - x1)3. 直线的一般式方程：Ax + By + C = 04. 直线的截距式方程：x/a + y/b = 15. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2以上就是高中高考数学所有二级结论的完整版。

高中数学常用二级结论大全一、基础常用结论1.立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2-ab+b2)；立方和公式：a3 +b3=(a+b)(a2 -ab + b2).3V2.任意的简单”面体内切球半径为—(V是简单〃面3表体的体积，S表是简单〃面体的表面积).3.在Rt△必。

中，。

为直角，内角4, B,。

所对的边分别是a, b,c,则的内切圆半径为“ + '2帽4.斜二测画法直观图面积为原图形面积的竺倍.45.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和-6.函数Xx)具有对称轴x = o, x-b {a ^b),则7(x) 为周期函数且一个正周期为2|0-如.7.导数题常用放缩e x>x + \, -1< —<Jnx<x-bX Xe x > ex(x >1).8.点(x, *)关于宜线Ax + By + C = 0的对称点坐标( 2J(Av + ^ + C) IB^Ax + By + Q^为京奇一声奇一)•9.已知三角形三边X, y, z,求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如后，V28. V29)：/! + /? =勇+£s=J"+w‘+y2C + A = z2,I二、圆锥曲线相关结论2.若圆的H 彳仝端点以（毛，乂），方（*2,其），则圆的方^.^J （x-x l ）（x-x 3） + （y-y l ）（y-y 2） = O .11. IFfil 刘毛■ + % = l （u A 0,5 A O ）的rfti 积 s 为S =a £b z12.过梱JI 列准线上-一点作撇例的两茶印纱，两印点连线 J?亍在宜紐必经过楠四1相应的角点.13-圆锥曲绶的切线方•程求法：隐函数我导.推论：CD 过阻I （X —。

）2 +（j/_z>）2 = r 2 上任 意一点。

（工。

，》。

）的切线方程为（X 。

一a ）（x —5） + （》。

38个常用结论内容提要一些常用的结论,整理成到一起, 形成了这本常用结论小册子.把结论分成了两类:一类是重要结论, 这是必须掌握的;另一类是二级结论, 可以选择性地掌握.目录函数重要结论3:函数图象的对称轴和对称中心结论重要结论4:双对称的周期结论重要结论5:经典切线放缩不等式二级结论27:常用泰勒公式平面向量重要结论6:向量中线定理重要结论7:三点共线向量系数和结论重要结论8:投影向量计算公式重要结论9:重心坐标二级结论29:极化恒等式三角函数、解三角形重要结论10:角平分线性质定理重要结论11:三角形的内切圆半径公式二级结论28:万能公式数列重要结论12:等差、等比数列的片段和性质立体几何重要结论13:三垂线定理二级结论31:正四面体外接球、内切球半径解析几何重要结论14:椭圆通径公式重要结论15:双曲线通径公式重要结论17:弦长公式重要结论18:双曲线的焦点到渐近线距离结论重要结论19:切线、切点弦统一结论重要结论20:椭圆的中点弦斜率积结论重要结论21:双曲线的中点弦斜率积结论二级结论32:角版焦半径、焦点弦公式, 焦原三角形面积公式二级结论33:原点三角形面积公式二级结论34:椭圆的第三定义斜率积结论二级结论35:双曲线第三定义斜率积结论二级结论36:抛物线的垂直定点结论二级结论37:以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线相切二级结论38:点乘双根法概率统计重要结论22:平均数、方差的性质重要结论23:期望、方差的性质重要结论24:超几何分布期望公式不等式二级结论25:糖水不等式二级结论26:三元均值不等式其它重要结论1:子集个数结论重要结论2:等比性质重要结论16:韦达定理推论二级结论30:重心等分面积结论38个常用结论重要结论1:(子集个数结论)设集合A有n n∈N*个元素,则A的子集有2n个, 非空子集有2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个．证明：设A的元素分别为x1,x2,⋯,x n,集合B是集合A的子集,则要分析集合B有几种情况,可分步考虑A中的每个元素是否在B中,因为x1,x2,⋯,x n均可能在或不在B中,所以每个元素都有2种情况,由分步乘法计数原理,集合B有2×2×⋯×2=2n种情况,故A的子集有2n个,去掉空集, A的非空子集有2n-1个,去掉A本身, A的真子集有2n-1个,去掉空集和A本身, A的非空真子集有2n-2个.重要结论2:(等比性质)设ab=cd,且b+d≠0,则ab=cd=a+cb+d .证明：设ab=cd=k,则a=bk,c=dk ,所以a+cb+d=bk+dkb+d=k b+db+d=k,故ab=cd=a+cb+d .重要结论3:(函数图象的对称轴和对称中心结论)(1)若f x 满足f a+x=f b-x,则f x 的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若f x 满足f a+x+f b-x=c,则f x 的图象关于点a+b2,c2对称.(3)若将上述(1)(2)中的x全部换成2x(或3x等等),结论依然成立.例如,若f a+2x=f b-2x,则仍可得到f x 关于直线x=a+b2对称.证明：(1)设P x,f x是函数f x 图象上任意一点,则P关于直线x=a+b2的对称点为Pa+b-x,f x,如图1,要证结论成立,只需证P 也在f x 的图象上,即证f x =f a+b-x,在f a+x=f b-x中将x换成x-a可得f a+x-a=f b-x-a,所以f x =f a+b-x,故f x 的图象关于直线x=a+b2对称;(2)设P x,f x是函数f x 图象上任意一点,则P关于a+b2,c2的对称点为P a+b-x,c-f x,如图2,要证结论成立,只需证P 也在f x 的图象上,即证c -f x =f a +b -x ,也即证f x +f a +b -x =c ,在f a +x +f b -x =c 中将x 换成x -a 可得f a +x -a +f b -x -a =c ,所以f x +f a +b -x =c ,故f x 的图象关于a +b 2,c 2对称.(3)以f a +2x =f b -2x 为例,此式对任意的实数x 都成立,则将x 换成x 2可得f a +x =f b -x ,所以f x 的图象关于直线x =a +b 2对称.图1图2重要结论4:(双对称的周期结论, 可借助三角函数辅助理解)(1)若函数f x 有两条对称轴,则f x 一定是周期函数,周期为对称轴距离的2倍.(2)若函数f x 有一条对称轴,一个对称中心,则f x 一定是周期函数,周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.(3)若函数f x 有在同一水平线上的两个对称中心,则f x 一定是周期函数,周期为对称中心之间距离的2倍.证明：(1)设函数f x 的两条对称轴分别为x =a ,x =b ,不妨假设b >a ,则f 2a +x =f -x f 2b +x =f -x ,所以f 2a +x =f 2b +x ,在上式中将x 换成x -2a 可得f x =f x +2b -2a ,所以f x 一定是周期函数,周期T =2b -2a ,周期为对称轴之间距离的2倍.(2)设函数f x 的对称轴为x =a ,对称中心为b ,c ,则f 2a +x -f -x =0f 2b +x +f -x =2c所以f2a+x+f2b+x=2c,将x换成x-2a可得f x +f x+2b-2a=2c ,所以f x+2b-2a=-f x +2c(i),在式(i)中将x换成x+2b-2a可得f x+2b-2a+2b-2a=-f x+2b-2a+2c ,结合式(i)可得f x+4b-4a=--f x +2c+2c=f x ,所以函数f x 一定是周期函数,周期T=4b-4a ,周期为对称轴与对称中心之间距离的4倍.(3)设f x 的两个对称中心分别为a,m,b,m,不妨假设b>a ,则f2a+x+f-x=2mf2b+x+f-x=2m,两式作差得:f2a+x-f2b+x=0 ,所以f2a+x=f2b+x,将x换成x-2a可得f2a+x-2a=f2b+x-2a,所以f x =f x+2b-2a,故f x 为周期函数,周期为T=2b-2a ,周期为两对称中心之间距离的2倍.重要结论5:(经典切线放缩不等式)(1)e x≥x+1,当且仅当x=0时取等号.(2)e x≥ex,当且仅当x=1时取等号.(3)1-1x≤ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号.(4)ln x≤xe,当且仅当x=e时取等号.上述不等式的图象特征如下面的两个图:证明：(1)设f x =e x-x-1,x∈R,则f x =e x-1,所以f x <0⇔x<0 ,f x >0⇔x>0,故f x 在-∞,0上↘,在0,+∞上↗ ,所以f x ≥f0 =0,从而e x-x-1≥0,故e x≥x+1,取等条件是x=0 . (2)设g x =e x-ex, x∈R,则g x =e x-e,所以g x <0⇔x<1 ,g x >0⇔x >1,故g x 在-∞,1 上↘,在1,+∞ 上↗ ,所以g x ≥g 1 =0,从而e x -ex ≥0,故e x ≥ex ,取等条件是x =1 .(3)设h x =ln x -x +1,x >0,则h x =1x -1=1-x x,所以h x >0⇔0<x <1 ,h x <0⇔x >1,故h x 在0,1 上↗,在1,+∞ 上↘ ,所以h x ≤h 1 =0,从而ln x -x +1≤0,故ln x ≤x -1,取等条件是x =1 ,在上式中将x 换成1x 可得ln 1x ≤1x -1,所以-ln x ≤1x -1,故ln x ≥1-1x ,取等条件是1x =1,即x =1 .(4)设r x =ln x -x e ,x >0,则r x =1x -1e =e -x ex,所以r x >0⇔0<x <e ,r x <0⇔x >e ,故r x 在0,e 上↗,在e ,+∞ 上↘ ,所以r x ≤r e =0,从而ln x -x e ≤0,故ln x ≤x e,取等条件是x =e .重要结论6:(向量中线定理)如图,设D 是BC 中点,则AD =12AB +12AC .证明：AD =AB +BD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +12AC .重要结论7:(三点共线向量系数和结论)如图,平面内A ,B ,C 三点不共线,点D 满足AD =λAB +μAC λ,μ∈R ,则B ,C ,D 三点共线的充要条件是λ+μ=1 .证明：先看充分性.当λ+μ=1时, μ=1-λ ,所以AD =λAB +μAC =λAB +1-λ AC =λAB -AC +AC =λCB +AC ,从而AD -AC =λCB ,故CD =λCB ,所以B ,C ,D 三点共线,充分性成立;再看必要性. 当B ,C ,D 三点共线时,可设BD =mBC ,所以AD =AB +BD =AB +mBC =AB +m AC -AB =1-m AB +mAC ,与AD =λAB +μAC 对比可得λ=1-m μ=m ,所以λ+μ=1-m +m =1,必要性成立;所以B ,C ,D 三点共线的充要条件是λ+μ=1 .重要结论8:(投影向量计算公式)向量b 在向量a 上的投影向量为a ⋅b a2a .证明：如图,设e 为与a 同向的单位向量,则b 在a 上的投影向量为b cos θ e ,由于e =a a ,所以b cos θ e =b cos θ a a =b cos θa a =a ⋅b cos θa 2a =a ⋅b a2a .重要结论9:(重心坐标)△ABC 的顶点分别为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3,y 3 ,则△ABC 的重心G 的坐标为x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33. 这一结论可推广到空间中.证明：如图,设G x ,y 为△ABC 的重心,则AG :GD =2:1 ,所以AG =23AD =23×12AB +AC =13AB +AC (i ),又AG =x -x 1,y -y 1 ,AB =x 2-x 1,y 2-y 1 ,AC =x 3-x 1,y 3-y 1 ,所以由式(i )可得x -x 1=13x 2-x 1+x 3-x 1 y -y 1=13y 2-y 1+y 3-y 1 ,整理得:x =x 1+x 2+x 33y =y 1+y 2+y 33 ,故重心G 的坐标为x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33.重要结论10:(角平分线性质定理)如图, △ABC 的内角A 的平分线与BC 交于点D ,则AB AC=BD CD .证明：设△ABC的BC边上的高为h,则S△ABDS△ACD=12BD⋅h12CD⋅h=BDCD(i),又AD是内角A的平分线,所以∠BAD=∠CAD ,故S△ABDS△ACD=12AB⋅AD⋅sin∠BAD12AC⋅AD⋅sin∠CAD=ABAC,结合式(i)可得ABAC=BDCD.重要结论11:(三角形的内切圆半径公式)设△ABC的面积为S,周长为L,内切圆半径为r,则r=2S L .证明：如图,设切点分别为D,E,F,则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC ,所以S=S△OAB+S△OBC+S△OAC=12AB⋅OD+12BC⋅OE+12AC⋅OF=12AB⋅r+12BC⋅r+12AC⋅r=12AB+BC+ACr=12Lr,所以r=2SL .重要结论12:(等差、等比数列的片段和性质)(1)若a n是公差为d的等差数列,其前n项和为S n,则S m,S2m-S m,S3m-S2m,⋯也构成等差数列,公差为m2d .(2)若a n是公比为q的等比数列,其前n项和为S n,则当q≠-1或m为奇数时, S m,S2m-S m,S3m-S2m,⋯也构成等比数列,公比为q m .证明：(1)S m=a1+a2+⋯+a m, S2m-S m=a m+1+a m+2+⋯+a2m ,因为a m+1-a1=md, a m+2-a2=md, ⋯, a2m-a m=md ,所以S2m-S m-S m=a m+1+a m+2+⋯+a2m-a1+a2+⋯+a m=a m+1-a1+a m+2-a2+⋯+a2m-a m=md+md+⋯+md=m2d,同理, S3m-S2m-S2m-S m=a2m+1+a2m+2+⋯+a3m-a m+1+a m+2+⋯+a2m=a2m+1-a m+1+a2m+2-a m+2+⋯+a3m-a2m=md+md+⋯+md=m2d,以此类推, S m,S2m-S m,S3m-S2m,⋯构成公差为m2d的等差数列.(2)当q≠-1或m为奇数时, S m,S2m-S m,S3m-S2m,⋯均不为0,且S2m-S mS m=a m+1+a m+2+⋯+a2ma1+a2+⋯+a m=a1q m+a2q m+⋯+a m q ma1+a2+⋯+a m=q m , S3m-S2mS2m-S m=a2m+1+a2m+2+⋯+a3ma m+1+a m+2+⋯+a2m=a m+1q m+a m+2q m+⋯+a2m q ma m+1+a m+2+⋯+a2m=q m,以此类推, S m,S2m-S m,S3m-S2m,⋯构成公比为q m的等比数列.重要结论13:(三垂线定理)如图, a⊂α,l在α内的射影是b,若a⊥b,则a⊥l , 此结论反过来也成立,即当a⊥l时,也有a⊥b .证明：因为c⊥αa⊂α,所以a⊥c,故a⊥b⇔a⊥图中的三角形所在平面⇔a⊥l重要结论14:(椭圆通径公式)对于椭圆, 过其焦点且垂直于长轴的弦叫做通径, 通径的长为2b2a,其中a,b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长.证明：如图,不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0,其焦点为±c,0,过其焦点且与长轴垂直的直线的方程为x=c或x=-c,以x=c为例,将x=c代入x2a2+y2b2=1可得c2a2+y2b2=1 ,解得:y=±b21-c2 a2=±b2⋅a2-c2a2=±b4a2=±b2a ,所以图中通径长AB=2b2a,由椭圆的对称性可知通径A B 的长也为2b2a .重要结论15:(双曲线通径公式)对于双曲线, 过其焦点且垂直于实轴的弦叫做通径,通径的长为2b 2a,其中a ,b 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长.证明：如图,不妨设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ,其焦点为±c ,0 ,过其焦点且与实轴垂直的直线的方程为x =c 或x =-c ,以x =c 为例,将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1可得c 2a 2-y 2b2=1 ,解得:y =±b 2c 2a 2-1=±b 2⋅c 2-a 2a 2=±b 4a 2=±b 2a ,所以图中通径长AB =2b 2a ,由双曲线的对称性可知通径A B 的长也为2b 2a .重要结论16:(韦达定理推论)设x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两根,则x 1-x 2 =Δa.证明：由韦达定理, x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a,所以x 1-x 2 =x 1-x 2 2=x 1+x 2 2-4x 1x 2=-b a 2-4⋅c a =b 2a 2-4c a =b 2-4ac a 2=Δa.重要结论17:(弦长公式)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,若A ,B 在直线y =kx +b 上,则AB =1+k 2⋅x 1-x 2 ;若A ,B 在直线x =my +t 上,则AB =1+m 2⋅y 1-y 2 .特别地,当A ,B 是直线与椭圆(或双曲线、抛物线)交点时,常联立直线与椭圆(或双曲线、抛物线)的方程,得到关于x 或y 的一元二次方程,则上述弦长公式中的x 1-x 2 ,y 1-y 2 可由韦达定理推论来算.以x 1-x 2 为例,假设联立直线与圆锥曲线得到的一元二次方程是ax 2+bx +c =0a ≠0 ,则x 1-x 2 =Δa,所以此时的弦长公式可写成AB =1+k 2⋅x 1-x 2 =1+k 2⋅Δa .证明：由两点间的距离公式, AB =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2(i ),若A ,B 两点在直线y =kx +b 上,则y 1=kx 1+by 2=kx 2+b ,代入(i )得AB =x 1-x 22+kx 1+b -kx 2-b 2=x 1-x 22+k 2x 1-x 2 2=1+k 2x 1-x 2 2=1+k 2⋅x 1-x 2 ;若A ,B 两点在直线x =my +t 上,则x 1=my 1+tx 2=my 2+t ,代入(i )得AB =my 1+t -my 2-t 2+y 1-y 2 2=m 2y 1-y 2 2+y 1-y 2 2=m 2+1 y 1-y 2 2=1+m 2⋅y 1-y 2 .重要结论18:双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b .证明：不妨设双曲线为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ,则该双曲线的渐近线为y =±ba x , 即bx±ay =0,设双曲线的焦点为±c ,0 ,则焦点到渐近线的距离d =±cbb 2+±a 2=bc a 2+b 2=bcc =b .重要结论19:(切线、切点弦统一结论)设点P x 0,y 0 ,将圆的标准方程x -a 2+y -b 2=r 2变成x -a x 0-a +y -b y 0-b =r2,或在圆的一般式方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0中,用x 0x 替换x 2,用y 0y替换y 2,用x +x 02替换x ,用y +y 02替换y ,可以得到一个新方程,当P 在圆上时,如图1,该方程表示切线l ;当P 在圆外时,如图2,该方程表示切点弦AB 所在直线的方程. 本结论对椭圆、双曲线、抛物线也成立.图1图2证明：按圆、椭圆、双曲线、抛物线逐一论证上述统一结论较繁琐, 下面我们只证圆的切点弦方程.如下图,因为PA ,PB 是圆的切线,所以PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,故P ,A ,C ,B 四点都在以PC 为直径的圆上, AB 即为该圆与圆C 的公共弦,由P x 0,y 0 ,C a ,b 可得PC 中点为x 0+a 2,y 0+b2,PC 2=x 0-a 2+y 0-b 2 ,故以PC 为直径的圆的方程为x -x 0+a 2 2+y -y 0+b 22=14x 0-a 2+y 0-b 2 ,展开整理得:x 2+y 2-x 0+a x -y 0+b y +ax 0+by 0=0(i ),圆C 的方程为x 2+y 2-2ax -2by+a 2+b 2=r 2(ii ),用方程(ii )减去方程(i )可得x 0-a x +y 0-b y -ax 0-by 0+a 2+b 2=r 2 ,整理得直线AB 的方程为x 0-a x -a +y 0-b y -b =r 2 .重要结论20:(椭圆的中点弦斜率积结论)如图, AB 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的一条不与坐标轴垂直且不过原点的弦, M 为AB 中点,则k AB ⋅k OM =-b2a2 .注:对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 ,则上述斜率积为-a 2b2 .证明：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x 1≠x 2,y 1≠y 2 ,因为A ,B 都在椭圆上,所以x 21a 2+y 21b2=1x 22a 2+y 22b 2=1,两式作差得:x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0,整理得:y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=-b 2a2(i ),注意到y 1-y 2x 1-x 2=k AB ,y 1+y 2x 1+x 2=2y M 2x M =y M x M =k OM ,所以式(i )即为k AB ⋅k OM =-b 2a 2 ,对于焦点在y 轴上的情形,证法与上面相同,不再赘述.重要结论21:(双曲线的中点弦斜率积结论)如图, AB 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0 ,b >0)的一条不与坐标轴垂直且不过原点的弦, M为AB 中点,则k AB ⋅k OM =b2a2 .注:对于焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 ,则上述斜率积为a 2b2 .证明：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x 1≠x 2,y 1≠y 2 ,因为A ,B 都在双曲线上,所以x 21a 2-y 21b2=1x 22a 2-y 22b 2=1,两式作差得:x 21-x 22a 2-y 21-y 22b 2=0,整理得:y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=b 2a2(i ),注意到y 1-y 2x 1-x 2=k AB ,y 1+y 2x 1+x 2=2y M 2x M =y M x M =k OM ,所以式(i )即为k AB ⋅k OM =b 2a2 ,对于焦点在y 轴上的情形,证法与上面相同,不再赘述.重要结论22:(平均数、方差的性质)设数据x 1,x 2,⋯,x n 的平均数为x,方差为s 2 , 标准差为s ,则数据ax 1+b ,ax 2+b ,⋯,ax n+b 的平均数为ax+b ,方差为a 2s 2,标准差为a s .证明：由题意, x =x 1+x 2+⋯+x n n ,s 2=1nx 1-x 2+x 2-x 2+⋯+x n -x2 ,所以y =y 1+y 2+⋯+y nn =ax 1+b +ax 2+b +⋯+ax n +b n=a x 1+x 2+⋯+x n +nb n =a ⋅x 1+x 2+⋯+x n n+b =ax +b ,故新数据的方差s 21=1ny 1-y 2+y 2-y 2+⋯+y n -y 2=1nax 1+b -ax -b 2+ax 2+b -ax -b 2+⋯+ax n +b -ax -b 2=1na 2x 1-x 2+a 2x 2-x 2+⋯+a 2x n -x 2 =a 2⋅1nx 1-x 2+x 2-x 2+⋯+x n -x 2 =a 2s 2 ,标准差s 1=a 2s 2=a s .重要结论23:(期望、方差的性质)设随机变量X 的期望为E X ,方差为D X ,标准差为D X ,若Y =aX +b ,则Y 的期望E Y =aE X +b ,方差D Y =a 2D X ,标准差为a D X .证明：设X 的分布列为X x 1x 2...x n Pp 1p 2...p n则E X =x 1p 1+x 2p 2+⋯+x n p n (i ),D X =x 1-E X 2p 1+x 2-E X 2p 2+⋯+x n -E X 2p n (ii ),因为Y =aX +b ,所以Y 的分布列为Y ax 1+b ax 2+b ...ax n +b Pp 1p 2...p n故E Y =ax 1+b p 1+ax 2+b p 2+⋯+ax n +b p n =a x 1p 1+x 2p 2+⋯+x n p n +b p 1+p 2+⋯+p n (iii ),将式(i )和p 1+p 2+⋯+p n =1代入式(iii )可得E Y =aE X +b ,D Y =ax 1+b -E Y 2p 1+ax 2+b -E Y 2p 2+⋯+ax n +b -E Y 2p n =ax 1+b -aE X -b 2p 1+ax 2+b -aE X -b 2p 2+⋯+ax n +b -aE X -b 2p n =a 2x 1-E X 2p 1+a 2x 2-E X 2p 2+⋯+a 2x n -E X 2p n=a 2x 1-E X 2p 1+x 2-E X 2p 2+⋯+x n -E X 2p n =a 2D X ,随机变量Y 的标准差为D Y =a 2D X =a D X .重要结论24:(超几何分布期望公式)设随机变量X 服从超几何分布,三个参数分别为N ,n ,M ,则E X =n ⋅MN.二级结论25:(糖水不等式)设a >b >0,c >0,则b +c a +c >ba.证明：b +c a +c -ba =b +c a -a +c b a +c a =c a -b a +c a (i )因为a >b >0,c >0,所以a +c a >0,a -b >0 ,结合(i )可得b +c a +c -b a >0,故b +c a +c >ba.二级结论26:(三元均值不等式)设a ,b ,c 为正实数,则a +b +c3≥3abc ,当且仅当a =b =c 时取等号. 此不等式可变形成abc ≤a +b +c 33.二级结论27:(常用泰勒公式)(1)e x=1+x +x 22!+x 33!+⋯+x nn !+⋯;(2)ln 1+x =x -12x 2+13x 3-⋯+-1 n +1n x n +⋯;(3)1+x a =1+ax +a a -1 2!x 2+⋯+a a -1 a -2 ⋯a -n +1 n !x n+⋯;(4)sin x =x -x 33!+x 55!-⋯+-1 n -12n -1 !x 2n -1+⋯;(5)cos x =1-x 22!+x 44!-⋯+-1 n2n !x 2n +⋯ .二级结论28:(万能公式)设α≠2k π+π且α≠k π+π2,其中k ∈Z ,则(1)sin α=2tan α21+tan 2α2;(2)cos α=1-tan 2α21+tan 2α2;(3)tan α=2tan α21-tan 2α2 .证明：(1)sin α=2sinα2cos α2=2sin α2cos α2cos 2α2+sin 2α2=2tan α21+tan 2α2;(2)cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos 2α2-sin 2α2cos 2α2+sin 2α2=1-tan 2α21+tan 2α2;(3)tan α=tan 2×α2 =2tan α21-tan 2α2. 二级结论29:(极化恒等式)如图,设D 为BC 中点,则AB ⋅AC =AD 2-BD 2 .证明：AB ⋅AC =AD +DB ⋅AD +DC ,因为DC =-DB ,所以AB ⋅AC =AD +DB ⋅AD -DB =AD 2-BD 2 ,此结论虽然归为了二级结论, 但针对性较强(涉及中线或底边中点的数量积问题), 推荐掌握.二级结论30:(重心等分面积结论)设△ABC 的重心为G ,则S △GAB =S △GAC =S △GBC ．证明：如图,因为G 是△ABC 的重心,所以D ,E ,F 分别为所在边的中点,且AG :GD =BG :GE =CG :GF =2:1,考虑△GAB 和△GBD 的面积,若都以B 为顶点,则它们的高相等,设为h ,则S △GAB S △GBD =12AG ⋅h 12GD ⋅h =AG GD =2 ,所以S △GAB =23S △ABD ,又D 为BC 中点,所以S △ABD =12S △ABC ,从而S △GAB =23×12S △ABC =13S △ABC ,同理, S △GAC =S △GBC =13S △ABC ,故结论成立.二级结论31:(正四面体外接球、内切球半径)设正四面体的棱长为a ,则其外接球半径R =64a ,内切球半径r =612a .证明：如图, 将正四面体放入正方体中, 二者有相同的外接球,由正四面体的棱长为a 可得正方体的棱长为22a ,所以正方体的外接球半径R =22a ×32=64a ,故正四面体的外接球半径R =64a ,内切球半径r 即为球心O 到正四面体的面的距离,如图,球心O 为正方体的中心,即CE 的中点,由图可知CE 在面AEBF 内的射影是EF ,因为AB ⊥EF ,所以由三垂线定理, AB ⊥CE ,又CE 在面BGDE 内的射影为EG ,且BD ⊥EG ,所以由三垂线定理, BD ⊥CE ,故CE ⊥平面ABD ,设OE 与平面ABD 交于点I ,则点O 到平面ABD 的距离OI =OE -IE =12CE -IE =32×22a -IE =64a -IE (i ),由三棱锥的等体积性, V E -ABD =V A -EBD ,所以13×12×a 2×32×IE =13×12×22a 2×22a ,解得:IE =66a ,代入(i )得OI =64a -66a =612a ,所以正四面体的内切球半径r =612a .二级结论32:(角版焦半径、焦点弦公式, 焦原三角形面积公式)设抛物线y 2=2px p >0 的焦点为F ,O 为原点.(1)焦半径公式:如图1,设A 为抛物线上任意一点,记∠AFO =α,则焦半径AF =p1+cos α.(2)焦点弦公式:如图2, AB 是抛物线的焦点弦,记∠AFO =α,则AB =2psin 2α.(3)焦原三角形面积公式:如图3,设AB 是抛物线的焦点弦,记∠AFO =α,则S △AOB =p 22sin α.图1图2图3证明：(1)作AM ⊥x 轴于M ,先考虑M 在F 右侧的情形,如图4,设A x 0,y 0 ,则FM =x 0-p2,又FM =AF cos ∠AFM =AF cos π-α =-AF cos α ,与上式比较可得:-AF cos α=x 0-p2,另一方面,由坐标版焦半径公式知AF =x 0+p2,与上式作差消去x 0整理得:AF =p1+cos α;同理可证当M 在F 左侧或恰好与F 重合时,都有AF =p1+cos α.(2)如图5, ∠BFO =π-α ,由(1)中的焦半径公式可得AF =p1+cos α,BF =p 1+cos π-α=p1-cos α ,所以AB =AF +BF =p 1+cos α+p1-cos α=p 1-cos α +p 1+cos α 1+cos α 1-cos α =2p 1-cos 2α=2p sin 2α.(3)如图6,作OD ⊥AB 于D ,则OD =OF sin ∠OFD=OF sin π-α =OF sin α=p2⋅sin α ,由(2)中的焦点弦公式可得AB =2psin 2α ,所以S △AOB =12AB ⋅OD =12⋅2p sin 2α⋅p 2⋅sin α=p 22sin α.图4图5图6二级结论33:(原点三角形面积公式)设O 为原点, A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 .证明：如图,设∠AOB =θ,则cos θ=OA ⋅OBOA ⋅OB,所以S △AOB =12OA ⋅OB ⋅sin θ=12OA⋅OB ⋅1-cos 2θ=12OA⋅OB ⋅1-OA ⋅OBOA ⋅OB 2=12OA 2⋅OB 2-OA ⋅OB 2=12x 21+y 21 x 22+y 22 -x 1x 2+y 1y 2 2=12x 21x 22+x 21y 22+y 21x 22+y 21y 22-x 21x 22+y 21y 22+2x 1x 2y 1y 2=12x 21y 22+x 22y 21-2x 1x 2y 1y 2=12x 1y 2-x 2y 12=12x 1y 2-x 2y 1 .二级结论34:(椭圆的第三定义斜率积结论)如图1,设A ,B 分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点, P 是椭圆上不与A ,B 重合的任意一点,则k PA ⋅k PB =-b 2a2.注:(1)上述结论中A ,B 是椭圆的左、右顶点,可将其推广为椭圆上关于原点对称的任意两点,如图2,只要直线PA ,PB 的斜率都存在,就仍然满足k PA ⋅k PB =-b 2a2 .(2)若是焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 ,则上述斜率积为-a 2b2 .图1图2证明：图1是图2的特殊情况, 故下面只证图2的一般性结论,设A x 1,y 1 ,P x 2,y 2 ,则B -x 1,-y 1 ,k PA ⋅k PB =y 2-y 1x 2-x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=y 22-y 21x 22-x 21(i ),因为点A 在椭圆上,所以x 21a 2+y 21b2=1 ,故y 21=b 21-x 21a 2=-b 2a2x 21-a 2 ,同理y 22=-b 2a2x 22-a 2 ,所以y 22-y 21=-b 2a 2x 22-a 2-x 21+a 2=-b 2a2x 22-x 21 ,代入(i )得:k PA ⋅k PB =-b 2a2;在上述条件中令A -a ,0 ,B a ,0 ,即得图1的特殊情况下的结论,对于焦点在y 轴上的情形,证法与上面相同,不再赘述.此结论虽然归为了二级结论,但针对性较强(涉及椭圆上的点P 与椭圆上关于原点对称的A ,B 两点的连线斜率积问题),推荐掌握.二级结论35:(双曲线第三定义斜率积结论)如图1,设A ,B 分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右顶点, P 是双曲线上不与A ,B 重合的任意一点,则k PA ⋅k PB =b 2a2 .注:(1)上述结论中A ,B 是双曲线的左、右顶点,可将其推广为双曲线上关于原点对称的任意两点,如图2,只要直线PA ,PB 的斜率都存在,就仍满足k PA ⋅k PB =b 2a2 .(2)若是焦点在y 轴上的双曲线,则上述斜率积为a2b2 .图1图2证明：图1是图2的特殊情况, 故下面只证图2的一般性结论,设A x 1,y 1 ,P x 2,y 2 ,则B -x 1,-y 1 ,k PA ⋅k PB =y 2-y 1x 2-x 1,y 2+y 1x 2+x 1=y 22-y 21x 22-x 21(i ),因为点A 在双曲线上,所以x 21a 2-y 21b2=1 ,故y 21=b 2x 21a 2-1=b 2a 2x 21-a 2 ,同理, y 22=b 2a 2x 22-a 2,所以y 22-y 21=b 2a 2x 22-a 2-x 21+a 2 =b 2a2x 22-x 21 ,代入(i )得:k PA ⋅k PB =b 2a2;在上述条件中令A -a ,0 ,B a ,0 ,即得图1的特殊情况下的结论,对于焦点在y 轴上的情形,证法与上面相同,不再赘述.此结论虽然归为了二级结论,但针对性较强(涉及双曲线上的点P 与双曲线上关于原点对称的A ,B 两点的连线斜率积问题),推荐掌握.二级结论36:(抛物线的垂直定点结论)设A ,B 为抛物线y 2=2px p >0 上两点,O 为原点,若OA ⊥OB ,则直线AB 过定点M 2p ,0 .证明：设直线AB 的方程为x =my +t ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,因为OA ⊥OB ,所以OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=0(i ),联立x =my +t y 2=2px 消去x 整理得:y 2-2pmy -2pt =0(ii ),由韦达定理, y 1y 2=-2pt ,所以x 1x 2=y 212p ⋅y 222p =y 1y 22p 2=t 2 ,代入(i )得t 2-2pt =0,所以t =0或2p ,当t =0时, A ,B 中有一个与原点重合,不合题意,所以t =2p ,经检验,满足方程(ii )的判别式Δ>0 ,从而直线AB 的方程为x =my +2p ,故直线AB 过定点M 2p ,0 .二级结论37:(以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线相切)证明：设以AB 为直径的圆的圆心为AB 中点P ,半径为r ,则r =12AB , 如图,作AM ⊥准线l 于点M ,BN ⊥l 于点N ,PQ ⊥l 于点Q ,则由抛物线定义, AM =AF ,BN =BF ,所以PQ=12AM+BN=12AF+BF=12AB,这说明点P到准线的距离等于r ,故准线与以AB为直径的圆相切.二级结论38:(点乘双根法)若将直线与圆雉曲线方程联立,得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0,设该方程的两根为x1,x2 ,现在要算x1-tx2-t, 将其展开为x1x2-t x1+x2+t2 ,结合韦达定理来算可行,但有时这样做计算量较大,更简单的方法是根据x1,x2是该方程的两根,将该方程左侧的ax2+bx+c化为两根式,得到ax2+bx+c=a x-x1x-x2,观察发现在两端同时令x=t ,即可得到at2+bt+c=a t-x1t-x2,从而x1-tx2-t=at2+bt+ca ,这样就快速求出了目标量x1-tx2-t,此法叫做“点乘双根法”.。

高中数学二级结论1、任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。

①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x )4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b|7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 13、①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是||22222A a -B b =C14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±= （左加右减）15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x 的点P 到焦点的距离)公式，且F 1为左焦点，F 2为右焦点，e 为双曲线的离心率。

高考数学常用结论1.德摩根公式cu(a?b)?cua?cub;cu(a?b)?cua?cub.2.a?b?a?a?b?b?a?b?cub?cua?a?cubcua?b?r3.卡片（a？b）？卡达？卡德？卡片（a？b）card(a?b?c)?carda?cardb?cardc?card(a?b)卡片（a？b）？信用卡（b？c）？信用卡（c？a）？卡片（a？b？c）。

4.二次函数的解析式的三种形式①一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);2.② 顶点类型F（x；？）a（？x？）H（？K）③ A0）零点公式F（x）？a（x？x1）（x？x2）（a？0）。

5.设x1?x2??a,b?,x1?x2那么（x1？x2）？f（x1）？f（x2）？？0f（x1）？f（x2）x1？x2f（x1）？f（x2）x1？x2？f（x）在哪里？a、 b？以上为附录数；（x1？x2）？f（x1）？f（x2）？？f（x）在哪里？a、 b？以上是一封降价信数.让函数y？F（x）在一定区间内是可微的，如果F？（x） ?？0，那么f（x）是一个递增函数；如果f？（x） ?？那么f（x）是一个减法函数6.函数y?f(x)的图象的对称性:①函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x).②函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b2对称?f(a?mx)?f(b?mx)?f(a?b?mx)?f(mx).7.两个功能图像的对称性：① 功能y？F（x）和函数y？关于直线X的F（？X）的图像？0（即Y轴）对称性② 功能y？F（MX？A）和函数y？F（B？MX）的图像是关于直线x？线y=x是对称的ma?b2m对称.③函数y?1nf(x)和y?f?1(x)的图象关于直8.分数指数幂ana？？Mnam（a？0，m，n？n？和n？1）（a？0，m，n？n？和n？1）1man9.loganban(a0,a1,n0).b10。