复变函数与积分变换 第二章第四节平面场的复势_复变函数论

复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。

关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数 complex function第二章复变函数的积分 complex function integral第三章幂级数展开 power series expansion第四章留数定理 residual theorem第五章傅立叶变换 Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。

；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角 (ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。

复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。

复变函数论数学
复变函数论是数学的一个分支，研究复变函数的性质和变换。

复变函数是指定义在复平面上的函数，取值为复数。

它比实变函数更加复杂，有许多独特的性质和应用。

复变函数论主要包括以下内容：
1. 复数及其性质：复数是由实部和虚部组成的数，与实数的性质有所不同，例如有无穷多个复数的平方是-1。

复数还有其他重要性质，如乘法和除法的公式等。

2. 复变函数的导数和积分：与实变函数一样，复变函数也有导数和积分的概念。

但是，与实变函数不同的是，导数和积分具有更多的性质和奇异性。

3. 复变函数的级数表示：复变函数可以用级数表示，这种表示方法称为洛朗级数。

洛朗级数是一种特殊的幂级数，包含着函数的所有信息。

4. 解析函数和亚纯函数：解析函数是指在某个开区域内有导数的复变函数。

它具有许多重要的性质，如极值定理和最大-最小原理等。

亚纯函数是指在一定范围内可导，但是可能在某些点上存在奇异性的函数。

5. 积分定理和残量定理：积分定理和残量定理是复变函数论中最重要的定理之一。

它们可以通过对复变函数积分来计算它的值。

积分定理与Cauchy积分定理和Cauchy-Goursat定理等有关。

残量定理是通过计算奇点处的残量来求解积分。

复变函数论在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如电动力学、热力学和信号处理等。

《复变函数》教案第一章：复数的概念与运算1.1 复数的基本概念介绍复数的定义：形如a + bi 的数，其中i 是虚数单位，i^2 = -1。

解释实部和虚部的概念。

强调复数是实数域的拓展。

1.2 复数的运算掌握复数加法、减法、乘法和除法的运算规则。

举例说明复数运算的实质：代数形式的运算。

1.3 复数的几何表示引入复平面（复数坐标系）。

讲解复数在复平面上的表示：点的坐标。

介绍共轭复数的概念及其在复平面上的表示。

第二章：复变函数的定义与基本性质2.1 复变函数的定义给出复变函数的定义：定义在复平面上的函数，输入为复数，输出也为复数。

强调函数的连续性和可导性。

2.2 复变函数的基本性质介绍复变函数的奇偶性、周期性和可积性等基本性质。

举例说明这些性质的应用和判定方法。

2.3 复变函数的极限与连续性讲解复变函数在一点或一点的邻域内的极限概念。

强调复变函数的连续性及其与实变函数连续性的联系。

第三章：解析函数3.1 解析函数的定义引入解析函数的概念：在其定义域内具有无穷导数的复变函数。

解释解析函数的导数性质：解析函数是解析的，即在其定义域内每个点上都可以求导。

3.2 解析函数的例子举例说明常见解析函数：三角函数、指数函数、对数函数等。

强调解析函数在复平面上的图形特点：没有奇点。

3.3 解析函数的积分讲解解析函数的积分性质：解析函数在其定义域内积分路径无关。

介绍柯西积分定理和柯西积分公式。

第四章：积分变换4.1 傅里叶变换引入傅里叶变换的概念：将一个函数从时域转换到频域的积分变换。

讲解傅里叶变换的数学表达式及其物理意义。

4.2 拉普拉斯变换介绍拉普拉斯变换的概念：解决偏微分方程的积分变换方法。

强调拉普拉斯变换的应用领域：工程和物理学。

4.3 其他积分变换简要介绍希尔伯特变换、哈特莱变换等其他积分变换。

强调这些变换在信号处理等领域的应用。

第五章：复变函数在几何中的应用5.1 复数与几何的关系强调复变函数与复数几何的紧密联系。

复变函数与积分变换复习重点总结一、复变函数基本概念1.复数的定义与运算规则。

复数由实部和虚部构成，在复平面上表示为点，加减乘除等运算遵循分配律。

2.复平面及相关概念。

复平面是复数集合在直角坐标系上的表示，实部和虚部在坐标轴上的投影分别对应x轴和y轴，共轭复数、模、幅角等概念。

3.复变函数的定义与性质。

复变函数表示为z的其中一种函数，具有实变量函数的性质，例如连续性、可微性等。

二、整函数1.整函数的定义与性质。

整函数指复变函数在全复平面都解析，可以用无穷级数表示为幂级数形式。

2.全纯函数与调和函数。

全纯函数是整函数的一种特殊情况，对应于实变量函数的解析函数，调和函数满足拉普拉斯方程。

3.零点与奇点。

零点是整函数取值为0的点，奇点是整函数在一些点上无定义或有定义但不解析的点。

4.极限定理与唯一性定理。

解析函数具有一致性和唯一性，即零点有稠密性，且相同函数在相同域上必然一致。

三、留数定理1.留数的概念与计算方法。

留数是复变函数在奇点处的残余，可以通过留数公式计算得到，留数与曲线积分的关系。

2. 留数定理与积分公式。

留数定理为计算曲线闭合积分提供了便捷的方法，包括留数定理、Cauchy积分公式、Cauchy积分定理等。

3.洛朗展开与留数计算。

洛朗展开将复变函数表示为一部分主要项和无穷级数项的形式，通过计算主要项的留数可以快速得到积分结果。

四、解析函数与幂级数展开1.解析函数的定义与性质。

解析函数是在一些域上解析的复变函数，具有在其定义域上处处可微的特点，可以表示为幂级数形式。

2.幂级数展开与泰勒级数。

将解析函数表示为幂级数展开的形式，其中泰勒级数是幂级数的一种特殊情况，可以用于近似计算。

3.余项估计与收敛半径。

余项估计用于估计幂级数展开的误差范围，收敛半径表示幂级数展开的有效范围。

4.解析函数的四则运算与复合函数。

解析函数具有基本的四则运算和复合运算规则，可通过幂级数展开来计算。

五、积分变换1.积分变换的基本概念与性质。

复变函数知识点梳理复变函数知识点梳理第一章：复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念，大部分内容与实变函数近似，不难理解。

一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法，其实就是把表示形式变来变去，方便和其他的数学知识联系起来。

二、复数的运算高中知识，加减乘除，乘方开方等。

主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。

三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数，因为复数的性质，所以平面图形的方程式二元的。

四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点，一一映射到球面上，意义是扩充了复数域和复平面，就是多了一个无穷远点，现在还不知道有什么意义，猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。

五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标，复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标，所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。

六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。

第二章：解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念，将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。

一、解析函数的概念介绍复变函数的导数，类似于实变二元函数的导数，求导法则与实变函数相同。

所谓的解析函数，就是函数处处可导换了个说法，而且只适用于复变函数。

而复变函数可以解析的条件就是：μ对x 与ν对y 的偏微分相等且μ对y 和ν对x 的偏微分互为相反数，这就是柯西黎曼方程。

二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念：调和函数。

就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。

而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。

而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数，而这两个调和函数互为共轭调和函数。

和实变函数中的初等函数形式一样，但是变量成为复数，所以有一些不同的性质。

第三章：复变函数的积分这一章，主要是将实变函数的积分问题，在复变函数这个体系里进行了系统的转化，让复变函数有独立的积分体系。

但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。

第二章 解析函数§1 复变函数一 、复变函数的概念1． 定义：设D 为复平面上的点集，对∀点D z ∈，按某种法则，总有另一复数W 与之对应，则称W 是Z 的复变函数,记为)(z f w =。

其中，称W 为像；Z 为原像。

若W Z 与是一一对应，则称)(z f w =为单值函数，若W Z 与 是相互一一对应，则称)(z f w =为单叶函数；Z 对应多个W ， 则称)(z f w =为多值函数。

2、复变函数与实变函数的关系设iy x z +=，iv u y x iv y x u z f W +=+==),(),()(，即有⎩⎨⎧⋅=⋅=)()(y x v v y x u u 这说明了一个复变函数可以用两个二元实变函数 ),(),,(y x v y x u 来表示。

例：xy i y x Z W 2)(222+-==⎩⎨⎧=-=⇒xy v yx u 222。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=⇒+-+=+-===22222222221y x y v y x x u y x y i y x x y x iy x z z z z w3．关于映射的慨念复变函数在几何上又称为映射（或变换）。

这种函数关系要用两个平面来表示。

函数)(z f w =在几何上可以看成是把z 平面上的一个点集G 映射到w 平面上的一个点集*G 。

例 z w =，显然，它将z 平面上的点i z 321+=映射成w 平面上的 点i w 321-=，将点i z 212-=映射成w 平面上的点i w 212+=， 将三角形ABC 映射成w 平面上的三角形'''C B A .见下图：例2 问：函数2z w =将z 平面上的曲线C x =映射成w 平面上的何种曲线？解 ⎩⎨⎧=-=⇒+-=+==xyv y x u xy i y x iy x z w 22)(222222xy v 2=可得22242C v C u c x x v y -=⇒==是w 平面上 关于以u 轴为对称的抛物线。