湖北省黄冈中学2020届高三四月份理科数学试题参考答案

2020年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =„，{|()0}B x f x '=„，则(A B =I)A ．[1-，0]B ．[1-，2]C ．[0，1]D ．(-∞，1][2U ，)+∞2．（5分）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||(z z z += )A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+3．（5分）命题“(0,1)x ∀∈，x e lnx ->”的否定是( ) A ．(0,1)x ∀∈，x e lnx -„ B ．0(0,1)x ∃∈，00x e lnx ->C ．0(0,1)x ∃∈，00x e lnx -<D ．0(0,1)x ∃∈，00x e lnx -„4．（5分）已知||3a =r ，||2b =r ，若()a a b ⊥-r r r ，则向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为() A ．12B ．72 C ．12-D ．72-5．（5分）在三角形ABC 中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的( )条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A．11 12B．6C．112D．2237．（5分）木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为()A．2493π+B．4893π+C．48183π+D．144183π+8．（5分）函数cos23sin2([0,])2y x x xπ=∈的单调递增区间是()A．[0，]6πB．[0，]3πC．[6π，]2πD．[3π，]2π9．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩„„…所表示的平面区域内存在点(x，0)y，使不等式0010x my++„成立，则实数m的取值范围为()A．(-∞，5]2-B．(-∞，1]2-C．[4，)+∞D．(-∞，4]-10．（5分）已知函数1()2xf x e x-=+-的零点为m，若存在实数n使230x ax a--+=且||1m n-„，则实数a的取值范围是()A．[2，4]B．[2，7]3C．7[3，3]D．[2，3]11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线24y x=的焦点F重合；②双曲线E与过点(4,2)P的幂函数()af x x=的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是() A31+B51+C．32D5112．（5分）已知函数1()xf x xe-=，若对于任意的(0x∈，]e，函数2()()1g x lnx x ax f x=-+-+在(0，]e内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为()A ．(1，]eB ．2(e e-，]e C ．2(e e -，2]e e +D ．(1，2]e e-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.） 13．（5分）6(12)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为 ．14．（5分）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”， q 为“实”．即若ABC ∆的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则22222221[()]42a cb S ac +-=-．已知点D 是ABC ∆边AB 上一点，3AC =，2BC =，45ACD ∠=︒，tan BCD ∠=，则ABC ∆的面积为 ． 15．（5分）过直线7y kx =+上一动点(,)M x y 向圆22:20C x y y ++=引两条切线MA ，MB ，切点为A ，B ，若[1k ∈，4]，则四边形MACB 的最小面积S ∈的概率为 16．（5分）三棱锥S ABC -中，点P 是Rt ABC ∆斜边AB 上一点．给出下列四个命题： ①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的四个面都是直角三角形；②若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球体积为；③若3AC =，4BC =，SC S 在平面ABC 上的射影是ABC ∆内心，则三棱锥S ABC -的体积为2；④若3AC =，4BC =，3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为60︒． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4618a a +=，11121S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(3)2n n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．（12分）某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本)，并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．。

秘密★启用前2020年湖北荆州、黄冈、襄阳、十堰、宜昌、孝感、恩施七市（州）高三联合考试 数学（理工类）本科目考试时间：2013年4月18日下午15：00-17：00★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数1a iz i+=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为 A ．-i B ．i C ．-1 D ．1 答案：C解析：根据题意，由于复数其中a 为实数，若z 的实部为2，根据题意可知a+1=4,a=3，故可知其虚部为1，故答案为C 考点：复数的运算点评：解决的关键是根据复数的除法运算得到化简，并结合概念得到结论，属于基础题 2．已知向量a =(2，1)，b =(x ，-2)，若a ∥b ，则a +b =A ．(-2，-1)B ．(2，1)C ．(3，-1)D ．(-3，1) 答案：A解析：根据题意，由于向量a=(2，1)，b=(x ，-2)，若a ∥b ，那么可知有，2 (-2)-1x=0,解得x=-4,故可知a+b=(-2，-1)，选A. 考点：向量平行的充要条件 3．下列说法中不正确的个数是①命题“∀x ∈R ，123+-x x ≤0”的否定是“∃0x ∈R ，12030+-x x >0”；②若“p ∧q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；③“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“b=ac ”的既不充分也不必要条件 A ．O B ．1 C ．2 D ．3 答案：B解析：对于①命题“x ∈R ，≤0”的否定是“∈R ，>0”；显然成立。

对于②若“pq”为假命题，则p 、q 均为假命题；错误，因此只要有一个为假即为假，故错误。

对于③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件，应该是必要不充分条件，因此错误，故选B.考点：命题的真值点评：解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题。

2020年湖北省武汉市黄冈中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=xcosx + sinx 的图象大致为（A）（B）(C) (D)参考答案：D函数y=xcosx + sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，C.当时，,排除A,选D.2. 已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差为2，等比数列{b n}的公比为-2，则（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】由已知求得等比数列{b n}的通项公式，作比即可得到．【详解】∵等差数列{a n}的公差为2，数列{b n}是公比为﹣2的等比数列，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础题．3. 设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最小值为A 6B 7C 8D 23参考答案：B解析：由已知，先作出线性规划区域为一个三角形区域，得到三个交点（2，1）（1，2）（4，5），那么作一系列平行于直线的平行直线，当过其中点（2，1）时，目标函数最小。

4. 已知集合，，则A. B. C. D.参考答案：D略5. 已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|log x4=2}，则A∪B=（）A．{﹣2，1，2} B．{1，2} C．{﹣2，2} D．{2}参考答案：B【考点】并集及其运算．【分析】先将A，B化简，再计算并集，得出正确选项．【解答】解：∵A={x|x2﹣3x+2=0}={x|（x﹣1）（x﹣2）=0}={1，2}B={x|log x4=2}={2}∴A∪B={1，2}故选B．6. 庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排往前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有A．36种； B．42种； C．48种； D．54种参考答案：B7. 下列说法错误的是( )A．命题“若，则”的否命题是：“若，则”B．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.C．若命题：，则；D．“”是“”的充分不必要条件；参考答案：D8. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )（A）．y=cos2x，x R （B）．y=log2|x|，x R且x≠0（C）．y=，x R （D）．，x R参考答案：B9. 设集合，，则等于（）A． B． C． D．参考答案：D略10. 如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，…，为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，参考答案：B试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，．【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看，两个判断框执行的判断为求50个成绩中成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的个数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （不等式选做题）若不等式对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范圉是．参考答案：12. 给出下列结论：①函数在区间上有且只有一个零点；②已知l是直线，是两个不同的平面.若；③已知表示两条不同直线，表示平面.若；④在中，已知，在求边c 的长时有两解.其中所有正确结论的序号是：参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用．A2①④解析：①由，得，当x∈时f′（x）＞0，∴f（x）在上为单调增函数，又，∴函数在区间上有且只有一个零点，①正确；②由，可得l?β或l∥β或l与β相交，②错误；③m⊥α，m⊥n，可得n∥α或n?α，③错误；④在△ABC中，已知a=20，b=28，A=40°，则由正弦定理得：，即，则B有一个锐角和一个钝角，对应的边c的长有两解，命题④正确．∴正确的命题是①④．故答案为：①④．【思路点拨】利用导数判断函数f（x）=lnx﹣的单调性，结合函数零点存在性定理判断①；由空间中的点、线、面的位置关系判断②；利用正弦定理结合已知分析角B的可能情况，从而得到边c的解得情况判断④．13. 已知全集U=R，集合，则集合=________参考答案：14. 下列四种说法①命题“＞0”的否定是“”；②“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；③“若＜，则＜”的逆命题为真；④若A∪B＝A，C∩D＝C，则A B，C D．正确的命题有__________________.（填序号）参考答案：1,215. 在△中，已知，，且的面积为，则边长为．参考答案：7略16. 已知曲线y=ax2在x=1处切线的斜率是﹣4，则实数a的值为．参考答案：-2略17. 若等差数列{a n}的前5项和=25，且，则 .参考答案：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020普通高等学校招生全国统一考试线上测试（四）数学（理科）第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知函数2()2,f x x x =-集合A {|()0},{|()0},x f x B x f x '=≤=≤则A∩B= ( )A. [-1,0]B. [-1,2]C. [0,1]D. (-∞,1]∪[2,+∞) 2.设i 是虚数单位，若复数z=1+i,则22||z z z +=() A.1+iB.1-iC. -1-iD. -1+i 3.命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是().(0,1),ln x A x e x -∀∈≤000.(0,1),ln x B x e x -∃∈> 000. (0.1),ln x C x e x -∃∈<000.(01),ln x D x e x -∃∈≤ 4.已知||3,||2==a b ，若a ⊥(a -b ),则向量a +b 在向量b 方向的投影为1.2A 7.2B 1.2C - 7.2D - 5.在△ABC 中，“sinA>sinB”是“tanA> tanB”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()11.12A B.6 11.2C 22.3D第6题图 第7题图7.木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为.243A π+.483B π+.483C π+ .144183D π+8.函数y cos 22([0,])2x x x π=∈的单调递增区间是() .[0,]6A π .[0,]3B π .[,]62C ππ .[,]32D ππ9.在平面直角坐标系中,若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点00(,),x y 使不等式0010x my ++≤成立,则实数m 的取值范围为( )5.(,]2A -∞- 1.(,]2B -∞- C. [4,+∞) D. (-∞,-4] 10. 已知函数1()2x f x ex -=+-的零点为m,若存在实数n 使230x ax a --+=) 且|m-n|≤1,则实数a 的取值范围是()A. [2,4] 7.[2,]3B 7.[,3]3C D. [2,3]11.已知双曲线2222:1(0,x y E a b a b-=>>0)满足以下条件: ①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合;②双曲线E 与过点P(4,2)的幂函数()a f x x =的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点.则双曲线的离心率是1.2A1.2B 3.2C.1D 12.已知函数1(),x f x xe -=若对于任意的0(0,],x e ∈函数20()ln ()1g x x x ax f x =-+-+在(0,e]内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为A. (1,e] 2.(,]B e e e - 22.(,]C e e e e -+ 2.(1,]D e e- 第II 卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.)613.(12)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为____14. 我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”.他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除,所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积.所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中,p 为“隅”,q 为“实”.即若△ABC 的大斜、中斜、小斜分别为a,b,c,则22222221[()]42a c b S a c +-=-.已知点D 是△ABC 边AB 上一点，AC=3, BC=2,∠A 81545,tan CD BCD ︒+=∠=，则△ABC 的面积为____ 15. 过直线y=kx+7上一动点M(x,y)向圆22:20C x y y ++=引两条切线MA,MB,切点为A, B,若k ∈[1,4],则四边形MACB 的最小面积[3,7]S ∈的概率为___16.三棱锥S-ABC 中，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一点.给出下列四个命题:①若SA ⊥平面ABC,则三棱锥S- ABC 的四个面都是直角三角形;②若AC=4, BC=4,SC=4, SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S- ABC 的外接球体积为323π；③若3,4,3,AC BC SC ===S 在平面ABC 上的射影是△ABC 内心，则三棱锥S- ABC 的体积为2; ④若AC=3, BC=4, SA=3, SA ⊥平面ABC,则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为60°.其中正确命题的序号是_____(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足461118,121.a a S +==(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设(3)2,n n n b a =+数列{}n b 的前n 项和为,n T 求.n T18. （12分）某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图。

2020届湖北省黄冈市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|A x y ==，集合2{|0}B x x x =-<，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{|1}<x x C ．{|01}x x << D ．{|0}x x <【答案】D【解析】可以求出集合A 、B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：{}{}101A x x x x =-≥=≤Q ，{}{200B x x x x x =->=<或}1x >，{|0}A B x x ∴⋂=<．故选：D ． 【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 2．复数4312iz i+=+的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．-1【答案】D 【解析】 由()()()()43124310521212125i i i iz i i i i +-+-====-++-，所以复数的虚部为1-，故选D ．3．若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，则a 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2【答案】A【解析】将圆的圆心代入直线方程即可. 【详解】解：因为直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=， 又圆的标准方程为22(1)(2)4x y -++=， 所以直线经过圆心(1,2)-，120a -+=所以1a =， 故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置问题，是基础题。

4．已知向量()1,2AB =-u u u r ，(),5BC x =-u u u r ，若7AB BC ⋅=-uu u r uu u r，则AC =u u u r （ ）A ．5B ．42C ．6D ．52【答案】A【解析】通过向量的数量积求解x ，并求出向量AC u u u r的坐标，然后利用向量模的坐标运算求出AC u u u r．【详解】解：向量()1,2AB =-u u u r ，(),5BC x =-u u u r ，若7AB BC ⋅=-uu u r uu u r，可得107x --=-，解得3x =-，所以()4,3AC AB BC =+=--u u u r u u u r u u u r ，则22(4)35AC =-+=uuu r ．故选：A ． 【点睛】本题考查向量的数量积的运算，向量的模的求法，是基本知识的考查．5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）A ．964B ．449C ．225D ．27【答案】B【解析】求得120ADB ∠=︒，在ABD V 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解． 【详解】解：18060120ADB ∠=︒-︒=︒Q ，在ABD V 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，即为222153253492AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得7AB =，2DE AD BD =-=Q ，224()749DEF ABC S S ∴==V V ． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A ．13B ．13-C ．5-D ．5【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】由题意，画出约束条件，所表示的平面区域，如图所示， 化目标函数32z x y =-为322z y x =-， 由图可知，当直线322zy x =-过A 时，直线在y 轴上的截距最大， 联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得A （-1，1），可得目标的最小值为3(1)215z =⨯--⨯=-，故选：C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．7．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．32种 D ．36种【答案】B【解析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A =种情况， ②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A =种情况；则若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案有121224+=种； 故选：B ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题． 8．已知实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】通过举反例得到“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；再由“224x y +≤”⇒“1xy ≤”.能求出结果．【详解】解：Q 实数0x >，0y >，∴当3x =，14y =时，13422224x y +=+>， ∴“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；反之，实数0x >，0y >，由基本不等式可得22x y +≥由不等式的基本性质得224x y ≤+≤，整理得24x y +≤，2x y ∴+≤，由基本不等式得212x y xy +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即“224x y+≤”⇒“1xy ≤”．∴实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的必要不充分条件．故选：B ． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中等题． 9．将函数()226f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，则12x x -的最大值为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】C【解析】首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果． 【详解】解：函数()226f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到226y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向上平移1个单位，得到()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，由于若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-， 所以函数在1x x =和2x 时，函数()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭都取得最大值． 所以()12262x k k Z πππ+=+∈，解得16x k ππ=+，由于且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以176x π=，同理2116x π=-，所以711366πππ+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题． 10．关于函数()1211x f x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭有下列结论： ①图象关于y 轴对称；②图象关于原点对称；③在(),0-∞上单调递增；④()f x 恒大于0．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③ B ．②④C ．③④D ．①③④【答案】D【解析】利用函数的奇偶性、单调性直接求解． 【详解】 解：函数()1211x f x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭， 在①中，()()121211************ x x x x x x xe e ef x f x x e x e x e e x e -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫-=+=-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴函数()1211xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确； 在②中，函数()1211xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，图象关于y 轴对称，故②错误； 在③中，任取120x x >>， 则()()()211212122222211111111x x x x x x x x e e e e e e e e -⎛⎫⎛⎫+-+=-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭， 120x x >>Q ，210x x e e ∴-<，110x e ->，210x e ->，12221111x x e e ∴+<+--， 111211011x x x e e e ++=>--Q ，同理22101x e +>-，即212211011x x e e +>+>--，120x x >>Q ，21110x x ∴>>，212112121111x x x e x e ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x <， 所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，则该函数在区间(),0-∞上为增函数， 故③正确；在④中，当0x >时，10x >，2101x e +>-，()0f x >， 当0x <时，10x <，2101xe +<-，()0f x >，()f x ∴恒大于0，故④正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．11．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()23,0M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ） A ．78B ．1C ．76D ．3【答案】C【解析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 43cos BNB '∴∠=tan 43BNB '∠=，又()23,0M ，AB ∴的方程为()2343y x =--， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立()223432y x x y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．12．如图，在ABC V 中，1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，15AD =，则ABC V 的面积的最大值为（ ）A ．32B ．4C 15D ．3【答案】C【解析】设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠，根据三角形的面积公式求出AC ，AB ，然后由1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠()15421sin θϕ⎤=+-⎦，根据三角函数的性质求出面积的最大值． 【详解】解：设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠．3BD DC =Q ，152AD =，34ABD ABC S S ∴=V V ，131242AB ADsin AB ACsin BAC θ∴⋅=⋅⋅∠， 83AC sin θ∴=，同理()8AB sin BAC θ=∠-，()1124ABC S AB ACsin BAC sin BAC sin θθθθθ⎫∴=⋅∠=∠-=-⎪⎪⎝⎭V()421(sin θϕ⎤=+-⎦其中tan ϕ=，0BAC θ<<∠Q ，∴当22πθϕ+=时，sin(2)1max θϕ+=，()ABC max S ∴V ．故选：C ． 【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题13．在2log 0.2，0.22，0.30.2三个数中，则最大的数为______． 【答案】0.22【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】解：22log 0.2log 10<=Q ，2log 0.20∴<，0.20221>=Q ，0.221∴>，0.3000.20.21<<=Q ，0.300.21∴<<，0.22∴最大，故答案为：0.22． 【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．14．已知F 是双曲线C ：2213y x -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若OP OF =，则OPF V 的面积为______．【答案】32【解析】由题意画出图形，不妨设F 为双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 为第一象限点，求出P 点坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：如图，不妨设F为双曲线C：2213yx-=的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，21a=，23b=，则2c=，则以O为圆心，以2为半径的圆的方程为224x y+=．联立2222413x yyx⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得732P⎫⎪⎪⎝⎭，1332222OPFS∴=⨯⨯=V．故答案为：32．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15．设数列{}n a满足1a a=，()()()*1112n n na a a n N+--=∈，若数列{}n a的前2019项的乘积为3，则a=______．【答案】2【解析】本题先根据递推式的特点可知1na≠，然后将递推式可转化为11.1nnnaaa++=-再根据1a a=逐步代入前几项即可发现数列{}n a是以最小正周期为4的周期数列．再算出一个周期内的乘积为1，即可根据前2019项的乘积为3求出a的值．【详解】解：由题意，根据递推式，1na≠，故递推式可转化为111nnnaaa++=-．1a a=Q，211aaa+∴=-，232111111111aa aaaa aa+++-===-+---，34311111111a aaaa aa-+-===-++，45411111111a a a a a a a a -+++===---+． ∴数列{}n a 是以最小正周期为4的周期数列，1234111111a a a a a a a a a a +-⎛⎫∴⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅= ⎪-+⎝⎭． 201945043=⨯+Q ，122019123111311a a a a a a a a a a a a ++⎛⎫∴⋅⋯=⋅⋅=⋅⋅-== ⎪--⎝⎭， 解得2a =． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查周期数列的判定以及周期数列的性质应用，本题属中档题． 16．已知函数()()1f x x sinx cosx =++，若对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212|xxf x f x a e e --成立，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[)1,+∞【解析】求导可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，进而原问题等价于对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212x x f x ae f x ae ->-，构造函数()()x h x f x ae =-，则函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可． 【详解】解：()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x x x =++-=+'， 任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增， 不妨设12x x <，则()()12f x f x <，又12x x e e <，故()()1212|xxf x f x a e e --等价于()()2121x xf x f x ae ae -<-，即()()1212xxf x ae f x ae ->-，设()()()1,0,2x xh x f x ae x sinx cosx ae x π⎡⎤=-=++-∈⎢⎥⎣⎦， 易知函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， 故()()'10xh x x cosx ae =+-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1xx cosx a e +≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 设()()1,0,2xx cosx g x x e π+⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()()()211'0()x xx xcosx x sinx e x cosx e xsinx sinx xcosx g x e e⎡⎤-+-+⋅---⎣⎦==≤， 故函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，则()()01max g x g ==，故1a ≥． 故答案为：[)1,+∞． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．三、解答题17．已知函数()23f x sinxcos x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． ()1求512f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；()2求()f x 的最小正周期及单调增区间．【答案】（1）12-；（2）最小正周期为π，()f x 的单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）结合和差角公式及二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后直接代入即可求解；（2）结合正弦函数的性质即可求解． 【详解】解：(1)因为()212sin cos sin cos 2222f x x x x x x x ⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11cos 21sin 2sin 2cos 2sin 2222223x x x x x π-⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭， 所以5571sin sin sin sin 12636662f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()f x 的最小正周期22T ππ==． 令222232k x k πππππ-≤+≤+，解得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以()f x 的单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查和差角公式及二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，考查了正弦函数的性质的应用，属于中等题.18．已知数列{}n a 满足11a =，141n n a a n ++=-，1n =，2，3⋯.()1求数列{}n a 的通项；()2设12233445212221n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，求n S ．【答案】()21,122,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数； ()2 28n S n =-.【解析】()1利用数列的递推关系式推出114n n a a +--=，通过当n 为奇数，当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，分别求解通项公式；()2化简()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，然后求解数列的和即可． 【详解】解：()1141n n a a n ++=-Q ，1n =，2，3⋯①，()1411n n a a n -∴+=--，2n =，3，4⋯②-①②得114n n a a +--=，2n =，3⋯当n 为奇数，1141212n n a n +⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭，当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭所以21,22,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数；()122334452122212n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-()()()()224622424482n n n a a a a n +-=-+++⋯+=-=-．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法以及数列求和的方法，是中档题． 19．已知()2(,f x kx sin x asinx k =-+a 为实数)．()1当0k =，2a =时，求()f x 在[]0,π上的最大值； ()2当4k =时，若()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围．【答案】()12； ()2 []22-,. 【解析】()1求导后，列表得x ，()'f x ，()f x 的变化情况，进而求得最大值； ()2依题意，2460cos x acosx --≤恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解． 【详解】解：()1当0k =，2a =时，()22f x sin x sinx =-+，()()()2'2224222211f x cos x cosx cos x cosx cosx cosx =-+=-++=+-，则x ，()'f x ，()f x 的变化情况如下：233()32f x f π⎛⎫∴==⎪⎝⎭最大值；()()2f x 在R 上单调递增，则()()2242cos sin cos 0f x x x a x '=--+≥对x R ∀∈恒成立，得2460cos x acosx --≤，设[]1,1t cosx =∈-，()246g t t at =--，则()0g t ≤在[]1,1-上恒成立，则有()()120120g a g a ⎧-=-≤⎪⎨=--≤⎪⎩，得22a -≤≤．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及换元思想，属于基础题．20．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点A 为该椭圆的左顶点，过右焦点(),0F c 的直线l 与椭圆交于B ，C 两点，当BC x ⊥轴时，三角形ABC 的面积为18．()1求椭圆Γ的方程；()2如图，当动直线BC 斜率存在且不为0时，直线x c =分别交直线AB ，AC 于点M 、N ，问x 轴上是否存在点P ，使得PM PN ⊥，若存在求出点P 的坐标；若不存在说明理由．【答案】()1 2211612x y +=； ()2 存在，P ()1,0-或()5,0.【解析】()1由离心率及三角形ABC 的面积和a ，b ，c 之间的关系求出椭圆方程；()2由()1知A 的坐标，设直线BC 的方程，及B ，C 的坐标，进而写直线AB ，AC 的方程，与直线x c =联立求出M ，N 的坐标，假设存在P 点，是PM PN ⊥，使0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，求出P 点坐标． 【详解】解：()1由已知条件得()22221212182c a b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯+⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4,23a b ==；所以椭圆Γ的方程为2211612x y +=：；()2设动直线BC 的方程为()2y k x =-，()11,B x y ，()22,C x y ，则直线AB 、AC 的方程分别为()1144y y x x =++和()2244yy x x =++， 所以点M 、N 的坐标分别为1212662,2,44y y M N x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭、，联立()22211612y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222341616480k x k x k +-+-=，所以22121222161648,3434k k x x x x k k -+==++； 于是()()()()()()22121212121212121236243622664444416M N k x x x x k x x y y y y x x x x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦=⋅==+++++++2222222221648163624343491648164163434k k k k k k k k k⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭==--++++，假设存在点(),0P t 满足PM PN ⊥，则2(2)0M N t y y -+=，所以1t =-或5，所以当点P 为()1,0-或()5,0时，有PM PN ⊥．考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的综合应用，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查计算能力，属于中难题．21．黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况(单位：百元)，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：()1求所得样本的中位数(精确到百元)；()2根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布()245,15N ，若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；()3若年旅游消费支出在40(百元)以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．(参考数据：()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈；(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈【答案】()145(百元)；()217.1万；()3分布列见解析，()245E X =． 【解析】()1设样本的中位数为x ，可得()40103904000.510001000100020x -++⋅=，解得x ； ()245μ=，15σ=，275μσ+=，旅游费用支出在7500元以上的概率为()1(22)22P x P x μσμσμσ--<<+≥+=，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7500元以上；()3由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35，X 可能取值为3，4，5，6，利用二项分布列即可得出．解：()1设样本的中位数为x ，则()40103904000.510001000100020x -++⋅=， 解得45x =，所得样本中位数为45(百元)；()245μ=，15σ=，275μσ+=，旅游费用支出在7500元以上的概率为()1(22)10.954420.022822P x P x μσμσμσ--<<+-≥+===，0.022875017.1⨯=，估计有17.1万市民旅游费用支出在7500元以上；()3由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35，X 可能取值为3，4，5，6．()3283()5125P X ===，()12332364()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22332545()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()33276()5125P X ===，故其分布列为：()83654272434561251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了二项分布列、互斥事件与对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知函数()()1xf x alnx x e =--，其中a 为非零常数．()1讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；()2若a e >，()i 证明：()f x 在区间()1,+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>． 【答案】（1）见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】()1先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a 进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，()()2i 转化为证明()'0f x =只有一个零点，结合函数与导数知识可证；()ii 由题意可得，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，代入可得，()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，结合函数的性质可证． 【详解】解：()1解：由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，()2x xa a x e f x xe x x-=-='Q ， ①当0a <时，20x a x e -<，从而()'0f x <， 所以()f x 在()0,+∞内单调递减，无极值点； ②当0a >时，令()2xg x a x e =-，则由于()g x 在[)0,+∞上单调递减，()00g a =>，(10ga a =-=-<，所以存在唯一的()00,x ∈+∞，使得()00g x =，所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()'0f x <，所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.综上所述，当0a <时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 只有一个极值点；()2证明：()i 由()1知()2xa x e f x x-'=． 令()2xg x a x e =-，由a e >得()10g a e =->，所以()0g x =在()1,+∞内有唯一解，从而()'0f x =在()0,+∞内有唯一解， 不妨设为0x ，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 所以0x 是()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，则当1x >时，()1'10h x x=-<，故()h x 在()1,+∞内单调递减，从而当1x >时，()()10h x h <=，所以1lnx x <-． 从而当a e >时，1lna >，且()()()()()1110lna f lna aln lna lna e a lna lna a =--<---=又因为()10f =，故()f x 在()1,+∞内有唯一的零点．()ii 由题意，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，从而()0120111x x x e lnx x e =-，即1011201x x x lnx e x --=． 因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>，故10112011x x x e x x --<-，即1020x x e x -<，两边取对数，得1020x x lnelnx -<，于是1002x x lnx -<，整理得0012x lnx x +>． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，还综合考查了函数与导数的综合应用，属于难题．。

2020届湖北省黄冈中学高三下学期适应性考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2430A x x x =-+<，{}2321x B x -=<，则A B =（ ）A ．33,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】分别求解二次不等式与指数不等式，然后两集合进行交集运算即可. 【详解】2430x x -+<即()()130x x --<，解得13x <<，则()1,3A =，233212302x x x -<⇒-<⇒<，所以3,2B ⎛⎫=-∞ ⎪⎝⎭，所以31,2A B ⎛⎫⋂= ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式、指数不等式，属于基础题. 2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =-，则12z z =（ ） A ．5- B ．5C ．4i +D ．4i -【答案】A【解析】根据复数的几何意义求出2z ，然后根据复数的乘法即可求得结果． 【详解】解：12z i =-对应的点的坐标为(2,1)-，复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，(2,1)∴关于虚轴对称的点的坐标为(2,1)--，则对应的复数，22z i =--，则()2212(2)(2)2145z z i i i =---=--=--=-，故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础． 3．如果数列{}n a 的前n 项和21()n n S a n N +=-∈，则5a =( ) A ．8 B ．16C ．32D ．64【答案】B【解析】根据题意得到()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥），两式做差得到12n n a a -=，可得到数列的通项，进而得到结果. 【详解】数列{}n a 的前n 项和()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥）,两式做差得到12n n a a -=（n 2≥），由此可得到数列是等比数列，令n=1代入得到1121S a =-=1a ，解得1a =1，故得到数列通项为12n n a ，令n=5得到516.a =故答案为B. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用. 4．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.5．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案. 【详解】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.6．陀螺是中国民间较早的体育活动工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是 一 个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．403πB ．523πC ．443πD ．20π【答案】B【解析】由三视图知该几何体的结构，然后由圆锥和圆柱的体积公式计算出体积． 【详解】由三视图知该几何体是上部为圆锥，中部为圆柱，下部为圆锥的组合体.其中，上部圆锥的底面半径为2，高为2；中部圆柱的底面半径为2，高为1；下部的圆锥的底面半径为4，高为2，所以该陀螺模型的体积为2221152222142333ππππ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=. 故选：B.【点睛】本题考查三视图，考查由三视图求组合体的体积，解题关键是由三视图确定组合体的结构．7．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则0127a a a a +++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．1- B ．2-C ．126D ．130-【答案】C【解析】根据赋值法可求出01278a a a a a +++⋅⋅⋅++，再求出8a 即可求解. 【详解】令1x =，得01282a a a a -=+++⋅⋅⋅+.又()77872128a C =-=-，所以11272a a a a ++⋅⋅⋅+=-128126+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，赋值法求系数和，考查了运算能力，属于中档题.8．已知0.20.2a =，0.30.2b =，2log 0.3c =，0.3log 0.2d =，则执行如图所示的程序框图，输出的x 值等于（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】D【解析】先根据程序框图得其输出的是a ，b ，c ，d 中最大的值，再比较指对数幂的大小即可得答案. 【详解】解：执行程序框图得，输出的x 的值是a ，b ，c ，d 中的最大值. 由于01a <<，01b <<，2log 10c <=，0.3log 0.31d >=， 所以a ，b ，c ，d 中d 最大. 故选：D. 【点睛】本题考查条件结构的程序框图，指对数幂的大小比较，是中档题.9．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =.E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点.若54DE BF ⋅=-，则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ） A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 【答案】A【解析】记AB a =，AD b =，AB 与AD 的夹角为θ，将DE 、BF 用a 、b 表示，利用平面向量数量积计算出cos θ的值，结合角θ的取值范围可求得角θ的值. 【详解】记AB a=，AD b=，则12DE DC CE a b=+=-，12BF BC CF b a=+=-.()221115522244DE BF a b b a a b a b⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-++⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1551411cos2442a ba b a ba bθ⋅-++⋅=-⇒⋅=⇒==⋅，0θπ≤≤，因此，3πθ=.故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 10．已知函数()2log,02sin,2104x xf xx xπ⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数1x，2x，3x，4x，满足()()()123f x f x f x==()4f x=，其中1234x x x x<<<，则1234x x x x的取值的范围是（）A．()40,64B．()40,48C．()20,32D．()20,36【答案】C【解析】作出()f x的函数图象，求出1x，2x，3x，4x的范围，根据对数函数的性质得出121=x x，利用三角函数的对称性得出3412x x+=，代入式子化简得出关于3x的二次函数，根据3x的范围和二次函数的性质求出值域即可．【详解】解：函数()f x的图象如图所示.设()()()()1234f x f x f x f x t ====，则01t <<.()10,1x ∈，()22122121,2log log 1x x x x x ∈⇒-=⇒=.点()3,x t ，()4,x t ，关于直线6x =对称，所以4312x x =-.而()32,4x ∈，所以()()()2343331236620,32x x x x x =-=--∈，故()12343420,32x x x x x x =∈， 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数的图象，对数函数、三角函数的性质的应用，二次函数的性质，属于中档题．11．函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在Y 轴上，下列说法：①函数()f x 的最小正周期是2π；②函数()f x 的图象关于点5,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称；③点M 的坐标是()0,3，其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】①根据函数()f x 的图象以及圆C 的对称性，转化求解函数的周期，可判定①错误；②由函数图象关于点,03C π⎛⎫⎪⎝⎭对称，求得函数的对称中心，可判定②错误； ③求出函数的解析式，求得点M 的坐标，可判定③正确. 【详解】①中，根据函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象以及圆C 的对称性， 可得M ，N 两点关于圆心(),0C c 对称，所以3c π=，于是262T c ππ=+=，所以2ππω=，解得2ω=，函数的周期为T π=，所以①错误； ②中，由函数图象关于点,03C π⎛⎫⎪⎝⎭对称，及周期T π=知， 函数图象的对称中心为,032k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k Z ∈， 而5323k πππ+=不存在k Z ∈的解，所以②错误； ③中，由2ω=及6x π=-的相位为0，得033ππϕϕ-+=⇒=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0f =(M ，所以③正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答熟记三角函数的对称性和函数的周期性的判定是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点A 关于平面BDC 1对称点为M ，则M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为（ ）A ．32B ．54C ．43D ．53【答案】D【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDC 1的法向量n =（1，-1，1），从而平面BDC 1的方程为x-y+z=0，进而过点A （1，0，0）且垂直于平面BDC 1的直线方程为（x-1）=-y=z ，推导出过点A （1，0，0）且垂直于平面BDC 1的直线方程与平面BDC 1的交点为211333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-，得到点A 关于平面BDC 1对称点M 122333⎛⎫⎪⎝⎭，，-，由此能求出M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离． 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，D （0，0，0），B （1，1，0），C 1（0，1，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1）， DB =（1，1，0），1DC =（0，1，1）， 设平面BDC 1的法向量n =（x ，y ，z ），则100n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x=1，得n =（1，-1，1），∴平面BDC 1的方程为x-y+z=0，过点A （1，0，0）且垂直于平面BDC 1的直线方程为： （x-1）=-y=z ，令（x-1）=-y=z=t ，得x=t+1，y=-t ，z=t ，代入平面方程x-y+z=0，得t+1+t+t=0，解得t=13- ，∴过点A （1，0，0）且垂直于平面BDC 1的直线方程与平面BDC 1的交点为211333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-∴点A 关于平面BDC 1对称点M 122333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-，1225333A M ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，-，平面A 1B 1C 1D 1的法向量m =（0，0，1），∴M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为d=15=3m A M m⋅ 故选D ． 【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，考查平面方程、中点坐标公式、点到平面的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题13．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，O 是坐标原点.点A 在抛物线C 上，且AO AF =，则线段AF 的长是______.【答案】32【解析】首先根据题意AO AF =，结合抛物线方程，求得12A x =，设点A 在x 轴上方，求得12A ⎛ ⎝，之后应用两点间距离公式求得结果. 【详解】不妨设点A 在x 轴上方，则由1OF =知，12A x =，所以A y =12A ⎛ ⎝，于是AF =32OA ==. 故答案为：32. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线上的点的坐标的求解，两点间距离公式，属于基础题目. 14．已知函数()sin xxf x e =，则曲线()y f x =在()0,0处的切线方程为______. 【答案】y x =【解析】根据导数的除法运算求出函数的导数、()0f '、()0f ，即可写出切线方程. 【详解】因为()cos sin xx xf x e-'=，()01f '=，()00f =， 所以切线方程为y x =.故答案为：y x = 【点睛】本题考查导数的除法运算、曲线在某点处的切线，属于基础题.15．已知双曲线C 的中心在原点，()2,0F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的方程是______.【答案】2213x y -=【解析】先利用点F ，N 的坐标求出直线AB 的斜率，再利用点差法得到a 2=3b 2，结合a 2+b 2=4求出a ，b 的值，从而得到双曲线C 的方程. 【详解】由F ，N 的坐标得1lk .设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则224a b +=.设()11,A x y ，()22,B x y ， 则126x x +=-，122y y +=-，12121l y y k x x -==-.由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=， 即22260lk a b-+=， ∴223a b .于是23a =，21b =，所以C 的方程为2213x y -=.故答案为：2213x y -=【点睛】本题主要考查了双曲线方程，以及双曲线与直线的位置关系，考查了点差法的应用，属于中档题.16．在ABC 中，若111tan tan tan A B C+=，则cos C 的最小值为______. 【答案】23【解析】根据题设条件整理得2sin sin sin cos C A B C =，由正弦定理，得到2cos c ab C =，结合余弦定理，化简得()22212c a b =+，进而得到22222cos 23a b c a b C ab ab+-+==，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 因为111tan tan tan A B C +=，所以cos cos cos sin sin sin A B C A B C+=，整理得sin cos cos sin cos sin sin sin A B A B CA B C +=，即()sin cos sin sin sin A B C A B C+=， 即sin cos sin sin sin C C A B C=，即2sin sin sin cos C A B C =，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得2cos c ab C =， 又由余弦定理得()2221cos 2ab C a b c =+-，所以22222a b c c +-=，即()22212c a b =+，再由2222222cos 2333a b c a b ab C ab ab ab +-+==≥=，当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23. 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及基本不等式的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.三、解答题17．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，分别用甲、乙两种方法培育该品种花苗.为比较两种培育方法的效果，选取了40棵花苗，随机分成两组，每组20棵.第一组花苗用甲方法培育，第二组用乙方法培育.培育完成后，对每棵花苗进行综合评分，绘制了如图所示的茎叶图：（1）分别求两种方法培育的花苗综合评分的中位数.你认为哪一种方法培育的花苗综合评分更高？并说明理由.（2）综合评分超过80的花苗称为优质花苗，填写下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）85.5，73.5，甲种方法培育的花苗综合评分更高，理由见解析；（2）列联表见解析，有把握.【解析】（1）根据茎叶图，其第20和21两个数的平均数为中位数，由中位数大小估计评分的高低即可；（2）由茎叶图中数据可填写列联表，计算2K 后可得结论． 【详解】（1）第一组花苗综合评分的中位数为85.528586=+； 第二组花苗综合评分的中位数为737473.52+=， （从中位数、平均数、分布等某一角度说明即可），甲种中位数大，甲种方法培育的花苗综合评分更高. （2）列联表如表所示.乙培育法 5 15 20 合计 202040由于()2240151555107.87920202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关. 【点睛】本题考查茎叶图，，考查列联表，独立性检验，根据公式计算出2K 即可得出结论．本题考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．属于中档题．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC 是等边三角形，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，1PA =，2AB =.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成角的正弦值为15？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 点是线段PB 的中点.【解析】（1）证明平面P AC ⊥平面ABC ，推出BE ⊥AC ，然后证明BE ⊥平面P AC ，得到平面BEF ⊥平面P AC ；（2）以E 为坐标原点，分别以EB ，EC ，EF 方向为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系，求出平面PBC 的法向量，求出)()31,1,AG AB BG λλλ→→→=+=--+，利用空间向量的数量积推出结果即可. 【详解】（1）∵PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面ABC .∵AB BC=，E为AC的中点，∴BE AC⊥.又平面PAC平面ABC AC=，BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面PAC.又BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.（2）∵PA⊥平面ABC，∴PA AC⊥.又点E，F分别为AC，PC的中点，所以//EF PA，从而EF AC⊥.又由于BE⊥平面PAC，∴BE AC⊥，BE EF⊥，所以EB，EC，EF两两互相垂直.以E为坐标原点，分别以EB，EC，EF方向为x，y，z轴正方向建立如图坐标系. 由于()0,1,0A-，()0,1,1P-，)3,0,0B，()0,1,0C，于是()3,1,1BP→=--，()3,1,0BC→=-.设平面PBC的法向量(),,n x y z→=，则30,30,x y zx y⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取1x=，则3,23y z==，于是(3,23n→=.)3,1,0AB→=，设()3,,BG BPλλλλ→→==--，[]0,1λ∈，则))31,1,AG AB BGλλλ→→→=+=--+.由2152315124584AG nAG nλλλ→→→→⋅=⇒=⇒=⋅-+⋅或1110λ=（舍去）.故存在满足条件的G点，G点是线段PB的中点.【点睛】本题主要考查直线与平面以及平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.19．如图，已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>过点31,⎛⎫⎪⎪⎝⎭，其的左、右顶点分别是A，B，下、上顶点分别是C，D，P是椭圆上第一象限内的一点，直线PA，PB的斜率1k，2k满足1214k k⋅=-.（1）求椭圆C的方程；（2）过P点的直线PO交椭圆于另一点Q，求四边形APCQ面积的取值范围.【答案】（1）2214xy+=；（2）(2,22.【解析】（1）由1214k k⋅=-可得2214ba-=-，再把已知点的坐标代入后列出关于,a b的方程组求解可得椭圆标准方程；（2）设直线PQ的方程为()0y kx k=>，求出点A，C到直线PQ的距离12,d d在，再由直线与椭圆相交的弦长公式求得弦长PQ，表示出四边形面积为k的函数，由函数性质可得取值范围．【详解】（1）设()00,P x y，则20001222000y y yk kx a x a x a=⋅=+--.又()222222002221b a xx yya b a-+=⇒=，所以212214bk ka==-.①又由椭圆C过点⎛ ⎝⎭得221314ab +=，② 由①②得2a =，1b =，故椭圆方程为2214x y +=.（2）()2,0A -，()0,1C -，设直线PQ 的方程为()0y kx k =>，则点A ，C 到直线P ，Q的距离分别为1d =，2d =.又由22,14y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得P ⎛⎫，所以2PQ OP ==. 四边形APQC 的面积()1221212k S PQ d d +=+===. 由[)144,k k+∈+∞得(S ∈.故四边形APCQ 面积的取值范围是(2,. 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交的面积问题．解题时列出关于,a b 的方程组是求方程的关键．直线与椭圆相交问题可设出直线方程为(0)y kx k =>，把面积用k 表示，然后由函数性质得出取值范围．20．今年上半年“新冠肺炎”全球大爆发.在某个时间点，某城市从有人发病到发现人传人时，已有发病人数00.3a =（千人），从此时起，每周新增发病人数t a （单位：千人）与时间t （单位：周）之间近似地满足()()01*N t t a et λ-=∈，且当2t =时，22a=（千人）.为阻止病毒蔓延，该城市第3周后果断采取了封城的隔离措施，再经过2周后隔离措施产生了效果，新增发病人数()()09*612,N t t a et t λ--=≤≤∈.（1）求该城市第5，6，7周新增发病人数；（2）该城市从发现人传人时，就不断加大科技投入，第t 周治愈人数t b （单位：千人）与时间t （单位：周）存在关系()()03*19,N t t b et t λ-=≤≤∈，为了保障每一位“新冠肺炎”病人能及时入院治疗，该城市前9周（不考虑死亡人数的前提下）至少需准备多少张床位？（注：出院人数不少于新增发病人数时，总床位不再增加） 【答案】（1）16千人，8千人，4千人；（2）23.55千张床位. 【解析】（1）由02e λ=，直接计算可得567,,a a a ；（2）1t t t c a b -=-，确定0t c >的正负，得25t ≤≤时，0t c >，60c <，7890,0,0c c c <<<，计算()0126125a a a a b b b +++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+可得．【详解】 （1）022a eλ==，当15t ≤≤时，()0112t t t a e λ--==； 当69t ≤≤时，()0992tt t a eλ--==.∴45216==a ，3628a ==，2724a ==.故第5，6，7周新增发病人数分别为16千人，8千人，4千人. （2）()()033*219,N t t t b e t t λ--==≤≤∈.记1t t t c a b -=-，则当25t ≤≤时，141220t t t t t c a b ---=-=->， 当69t ≤≤时，94122t t t t t c a b ---=-=-，所以60c >，70c <，80c <，90c <. 至少需准备的床位数为()0126125a a a a b b b +++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()0142120.3222822223.55--=+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+=.故该城市前9周至少需准备23.55千张床位. 【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，直接利用已知函数模型进行计算，属于基础题． 21．已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '. （1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e=-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+.【答案】（1）当10a -<<时，()f x '在10,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a ≥时， ()f x '在()0,∞+上单调递增； （2）证明见解析.【解析】（1）先求导得()()1ln 1a f x a x x+'=+-，再分10a -<<和0a ≥讨论即可得()f x '的单调性；（2）令函数()()3g x f x x e=+-，则()()1g x f x ''=+，结合（1）得在()0,∞+上()g x '单调递增，()10g '=，进而得在()0,1上()g x 单调递减，在()1,+∞上()g x 单调递增，再结合10g e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()10g <，()0g e >得11x e >，2x e <，故121x e x e+>+. 【详解】解：（1）()()()1ln 1,0,a f x a x x x+'=+-∈+∞， ()()2211ax a a a f x x x x+++''=+=. 若10a -<<，令()0f x ''>解得10a x a +<<-，即()f x '在10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增；令()0f x ''<解得1a x a +>-时，即()f x '在1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 若0a ≥，易得当0x >时，()0f x ''>，即()f x '在()0,∞+单调递增.故当10a -<<时，()f x '在10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a ≥时， ()f x '在()0,∞+上单调递增. （2）令()()3g x f x x e=+-，则()()1g x f x ''=+. 由（1）知在()0,∞+上()g x '单调递增.又()()1110g f ''=+=，所以在()0,1上，()0g x '<，()g x 单调递减；在()1,+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增.又()113121110a g a a e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-=-+-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3110g e=-<，()()()331110g e ae a e a e e e e ⎛⎫=-++-=-+--> ⎪⎝⎭，所以11x e >，2x e <，故121x e x e+>+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性（含参）和零点，考查运算求解能力，是中档题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l20y +-=，曲线1C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，倍得曲线2C .（1）求直线l 的斜率和曲线2C 的普通方程；（2）设点()0,2P ，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值. 【答案】（1）2213y x +=；（2）【解析】（1）由直线l 方程可直接得直线l 的斜率，曲线1C 的参数方程先利用坐标变换以后可得曲线2C 参数方程，消参后可得2C 普通方程（2）写出直线l 的参数方程的标准形式，利用t 的几何意义即可求出11PA PB+的值. 【详解】（1）直线l的斜率为k =曲线2C的参数方程为cos ,,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩化为直角坐标方程为2213y x +=.（2）直线l的参数方程为1,22x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.将l 的参数方程代入2213y x +=，并整理得2320t ++=. 设点A 对应的参数为1t ，点B 对应的参数为2t，则12t t +=，1223t t =，所以10t <，20t <，故1212121111t t PA PB t t t t ++=--=-=【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程互化，以及直线参数方程标准形式中t 的几何意义，属于中档题.23．设a ，b ，0c >，且1ab bc ca ++=，求证：（1）3a b c++； （23(c a ++ 【答案】(1) 证明见解析 (2) 证明见解析【解析】（1）运用分析法证明．要证3a b c ++，结合条件，两边平方，可得2221a b c++，运用重要不等式，累加即可得证．（2）问题转化为证明1，根据基本不等式的性质证明即可．【详解】 证明：（1）运用分析法证明．要证3a b c ++，即证2()3a b c ++，由a ，b ，c 均为正实数，且1ab bc ca ++=，即有2222()3a b c ab bc ca +++++，即为2221a b c ++，① 由222a b ab +，222b c bc +，222a c ac +，相加可得2221a b c zb bc ca ++++=，则①成立．综上可得，原不等式成立．（2）+， 而由（1）3a b c ++，∴3(a+，a b+即1，即：ab bc ac ++，而2ab ac ac +，2ab bc +，2bc ac +，1ab bc ac ∴++=成立，（当且仅当3a b c ===． 【点睛】 本题考查了基本不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．。

根据点 P 与正方体各表面的距离都大于 ，则所在的区域为以棱长为 的正方体内，则概率为 2湖北省黄冈中学、孝感高中 2020 届高三（上）期末联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．（5 分）设 i 为虚数单位，复数 z 满足 zi=2+i ，则 z 等于（ ）A ．2﹣iB ．﹣2﹣iC ．1+2iD ．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：计算题．分析：将 zi=2+i 变形，可求得 z ，再将其分母实数化即可． 解答：解：∵zi=2+i ，∴z == = =1﹣2i ，故选 D ．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将其分母实数化是关键，属于基础题．2．（5 分））设集合 U={（x ，y ）|x ∈R ，y ∈R}，A={（x ，y ）|2x ﹣y+m ＞0}，B={（x ，y ）|x+y ﹣n ≤0}， 那么点 P （2，3）∈A ∩（∁U B ）的充要条件是（ ） A ．m ＞﹣1，n ＜5B ．m ＜﹣1，n ＜5C ．m ＞﹣1，n ＞5D ．m ＜﹣1，n ＞5考点：集合的包含关系判断及应用． 专题：压轴题．分析：由 P （2，3）∈A ∩（∁U B ）则点 P 既适合 2x ﹣y+m ＞0，也适合 x+y ﹣n ＞0，从而求得结果． 解答：解：∁U B={（x ，y ）|x+y ﹣n ＞0}∵P （2，3）∈A ∩（∁U B ） ∴2×﹣3+m ＞0，2+3﹣n ＞0 ∴m ＞﹣1，n ＜5 故选 A点评：本题主要考查元素与集合的关系．3．（5 分）在棱长为 a 的正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中随机地取一点 P ，则点 P 与正方体各表面的距 离都大于 的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：几何概型． 专题：概率与统计． 分析：两正方体的体积之比．解：符合条件的点 P 落在棱长为 的正方体内， 解：如图所示 S=S △ABO ﹣S曲边梯ABO解答：根据几何概型的概率计算公式得．故选 A ．点评：本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A 的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．4．（5 分）（2012 湘潭三模）求曲线 y=x 2 与 y=x 所围成图形的面积，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：定积分的简单应用．分析：画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．解答： 形 ，故选 B ．点评：用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算．5．（5 分）函数 f （x ）=2x +x 3﹣2 的零点个数是（）个． A ．0 B ．1C ．2D ．3考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数 f （x ）=2x +x 3﹣2 在 R 上单调递增，f （0）f （1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点，从而得出结论．解答：解：由于函数 f （x ）=2x +x 3﹣2 在 R 上单调递增，又 f （0）=﹣1＜0，f （1）=1＞0，所以 f （0）f （1）＜0，故函数 f （x ）=2x +x 3﹣2 在区间（0，1）内有唯一的零点，故函数 f （x ）=2x +x 3﹣2 在 R 上有 唯一零点． 故选 B ．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．由题意可知，该程序的作用是求解 n= 的值，然后利用裂项求和即可求解解：由题意可知，该程序的作用是求解 n=6．（5 分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A ．B ．C ．D ．考点：程序框图． 专题：图表型． 分析：解答：的值，而．故选 C ．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能7．（5 分）设函数 y=f （x ）在定义域内的导函数为 y=f ′（x ），y=f （x ）的图象如图 1 所示，则 y=f ′ （x ）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合．分析：先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象．解答：解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增∴在区间（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0故选D点评：解决函数的单调性问题，一般利用单调性与导函数符号的关系：导函数大于0函数递增；导函数小于0函数递减．8．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等考点：平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由模长公式可得==1，故A正确；由数量积为0可得向量垂直，故B正确；由夹角公式可得向量夹角的余弦值，但角的范围不一定，故C错误；而D由投影相等可与模长相等等价，结合A可知正确，故可得答案．解答：解：由模长公式可得==1，==1，即=，故A正确；∵（）•（）=||2﹣||2=0，∴（）⊥（），故B正确；由夹角公式可得．当α﹣β∈[0，π]时，＜＞=α﹣β；当α﹣β∉[0，π]时，＜＞≠α﹣β，故C不正确；由投影相等可得D正确．故选C点评：本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的模长和投影及夹角，属中档题．，故9．（5分）已知直线：A1x+B1y+C1=0（C1≠0）与直线l2：A2x+B2y+C2=0（C2≠0）交于点M，O为坐标原点，则直线OM的方程为（）A．B．C．D．考点：两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．专题：综合题；直线与圆．分析：将两直线的一般式中的常数项均变为1，验证O、M的坐标是否均满足该直线的方程即可判断．解答：解：x+y+1=0，l2：x+y+1=0，两式相减得（﹣）x+（﹣）y=0．∵点O、M的坐标都满足该直线的方程，∴点O、M都在该直线上，∴直线OM的方程为（﹣）x+（﹣）y=0．故选A．点评：本题考查两条直线的交点坐标，考查转化思想与分析验证能力，属于难题．．10．（5 分）若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．10πB ．25πC ．50πD ．100π考点：球的体积和表面积；球内接多面体． 专题：计算题．分析：几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．解答：解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体， 其外接与球，它的对角线的长为球的直径，得长方体的体对角线的长为，∴长方体的外接球的半径为，∴球的表面积为 50π， 故选 C ．点评：本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．（一）必考题（11～ 14 题）（二）选考题（请考生在 15、16 两题中任选一题作答．如果全选，则按第 15 题作答结果计 分）11．（5 分）（2012•临沂二模）为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数 据整理后，画出了频率分布直方图（如图） 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1：2：3， 第 2 小组的频数为 12，则抽取的男生人数是 48 ．频率分布直方图：小长方形的面积=组距× （ 由辅助角公式可得 f （x ）=asinx+bcosx= 解：∵f （x ）=asinx+bcosx=考点：频率分布直方图． 专题：常规题型．分析：根据前 3 个小组的频率之比为 1：2：3，可设前三组的频率为 x ，2x ，3x ，再根据所以矩形的面积和为 1 建立等量关系，求出 x ，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求．解答：解：由题意可设前三组的频率为 x ，2x ，3x ，则 6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48．点评：等于频数除以频率等知识，属于基础题．，各个矩形面积之和等于 1，样本容量12． 5分）若值为是函数 f （x ）=asinx+bcosx （a 、b 均为常数）图象的一条对称轴，则．的考点：正弦函数的对称性；函数的值． 专题：计算题；三角函数的图像与性质． 分析：经过函数图象的最高点或最低点可求解答：（θ 为辅助角），结合对称轴（θ 为辅助角）∵x=∴是函数的对称轴且对称轴经过函数图象的最高点或最低点，．故答案为：点评：本题考查了正弦函数的性质的应用，利用辅助角公式化简函数 y=asinx+bcosx 为一个角的一个三角函数的形式是求解问题的关键13．（5 分）（2011•河南模拟）（1﹣ax ）2（1+x ）6 的展开式中，x 3 项的系数为﹣16，则实数 a 的值为 2 或 3 ．考点：二项式系数的性质． 专题：计算题．分析：利用完全平方公式将第一个因式在看；利用二项展开式的通项公式求出第二个因式的 x 3，x 2， x 项的系数；求出（1﹣ax ）2（1+x ）6 的展开式中，x 3 项的系数，列出方程求出 a 的值．解答：解：∵（1﹣ax ）2=1﹣2ax+a 2x 2，解：作出可行域如图所示，可得直线 l ：z=x+2y 与 y 轴交于点 ．又（1+x ）6 展开式的通项为 T r+1=C 6r x r ，所以（1+x ）6 展开式中含 x 3，x 2，x 项的系数分别是 C 63；C 62；C 61． 所以（1﹣ax ）2（1+x ）6 的展开式中，x 3 项的系数为 C 63﹣2aC 62+a 2C 61 ∴C 63﹣2aC 62+a 2C 61=﹣16解得 a=2 或 a=3． 故答案为：2 或 3．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查等价转化的能力．14．（5 分）若 z=x+2y ，则 z 的取值范围是 ．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的阴影部分．将直线 l ：z=x+2y 进行平移并加以观察，可得当直线 ly 经过原点时，z 达到最小值 0；当直线 l 与余弦曲线相切于点 A 时，z 达到最大值，用导数求切线的方法算出 A 的坐标并代入目标函数，即可得到 z 的最大 值．由此即可得到实数 z 的取值范围．解答：观察图形，可得直线 l ：z=x+2y 经过原点时，z 达到最小值 0直线 l ：z=x+2y 与曲线∵由得，相切于点 A 时，z 达到最大值．∴代入函数表达式，可得，由此可得 z max == ．综上所述，可得 z 的取值范围为故答案为：．点评：本题给出约束条件，求目标函数 z=x+2y 的取值范围．着重考查了简单线性规划和运用导数求函数图象的切线的知识，属于中档题．15．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，已知在△ABC中，∠B=90°O是AB上一点，以O为圆．心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则CD的长为3．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：选作题．分析：利用圆的切线性质、切割线定理、勾股定理即可得出．解答：解：由AD与圆O相切于点D，根据切割线定理可得AD2=AE•AB，又AD=2，AE=1，∴．由CD，CB都是圆O的切线，根据切线长定理可得，设CD=x，则CB=x．由切线的性质可得：AB⊥BC，∴AB2+BC2=AC2，∴42+x2=（x+2）2，得x=3，即CD=3．故答案为3．点评：熟练掌握圆的切线性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．16．（5分）（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值．解答：解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0）∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2∵曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个焦点在极轴上∴令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上解得a=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=|x+2|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣|3x﹣4|≤1；（2）若f（x）+|x﹣a|＞1恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）依题意|x+2|﹣|3x﹣4|≤1，通过分类讨论去掉绝对值符号，再解，最后取其并集即可；（2）方法1：在数轴上，设点A，B，M对应的实数分别为﹣2，a，x，利用绝对值的几何意义得|MA|+|MB|≥|AB|即可；方法2：由绝对值三角不等式得|x+2|+|x﹣a|≥|（x+2）﹣（x﹣a）|=|a+2|，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）由f（x）﹣|3x﹣4|≤1得|x+2|﹣|3x﹣4|≤1，即或或得解集为{x|x≤，或x≥}．（6分）（2）方法1：在数轴上，设点A，B，M对应的实数分别为﹣2，a，x，则“f（x）+|x﹣a|＞1恒成立”⇔“|x+2|+|x﹣a|＞1恒成立”⇔“|MA|+|MB|＞1恒成立”．∵|MA|+|MB|的最小值为|AB|，即|a+2|，∴|a+2|＞1，得a+2＞1，或a+2＜﹣1，即a＞﹣1，或a＜﹣3．方法2：由绝对值三角不等式得|x+2|+|x﹣a|≥|（x+2）﹣（x﹣a）|=|a+2|，∴|a+2|＞1，解得a＞﹣1，或a＜﹣3．（12分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与绝对值不等式的几何意义，考查推理与运算能力，属于难题．18．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．（1）由图可求得其周期 T ，继而可求得 ω，再利用点（解：（1）∵T=（ ﹣ ）= ，分析：求得其解析式；，2）在图象上可求得 φ，从而可（2）利用三角函数间的关系及倍角公式，辅助角公式可求得 h （x ）=sin （6x+用正弦函数的单调性即可求得 h （x ）的单调递增区间．解答：∴ω==3，∴f （x ）=2sin （3x+φ）．∵点（，2）在图象上，）+ ，利∴2sin （3× +φ）=2，即 sin （φ+ ）=1，∴φ+=2k π+（k ∈Z ），即 φ=2k π+．故 f （x ）=2sin （3x+）．（6 分）（2）h （x ）=2sin （3x+）cos3x =2（sin3xcos +cos3xsin）cos3x==（six3xcos3x+cos 23x ）（sin6x+cos6x+1）=sin （6x+由 2k π﹣）+≤6x+．≤2k π+ （k ∈Z ）得函数 h （x ）的单调递增区间为[ ﹣ ， + ]（k ∈Z ）．（12 分）点评：本题考查由 y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数中的恒等变换应用及正弦函数的单调性，考查化归思想与综合运算能力，属于难题．19．（12 分）某单位进行这样的描球游戏：甲箱子里装有3 个白球，2 个红球，乙箱子里装有 1 个白 球，2 个红球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的 白球不少于 2 个则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）．（1）求在 1 次游戏中①摸出 3 个白球的概率；②获奖的概率； （2）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 EX ．考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：综合题． 分析：（1）①求出基本事件总数，计算摸出 3 个白球事件数，利用古典概型公式，代入数据得到结果；②获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据①求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果；（2）确定在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，求出相应的概率，即可写出分布列，求出数学期望．解答：解：（1）①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A i（i=，0，1，2，3），则P（A3）=•=②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A2）=•+•=且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=+=（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣2=，P（X=1）=C21×（1﹣）=，P（X=2）=（2=，所以X的分布列是X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：PC⊥AC；（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；（3）求点B到平面MAC的距离．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：方法1：（1）通过证明PC⊥平面ABC，然后证明PC⊥AC．（2）取BC的中点N，连MN，证明MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．利用．求出二面角M﹣AC﹣B的余弦值．（3）先证明NE⊥平面MAC，通过解三角形求出点N到平面MAC的距离，利用点N是线段BC的中点，推出点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍．方法2：（1）同方法一；（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），求出有关点的坐标，利用，求出设平面MAC的一个法向量为，求出平面ABC的一个法向量为到二面角M﹣AC﹣B的余弦值．．利用．得（3）利用点B到平面MAC的距离．解答：解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴在△Rt AMN中，∠AMN=60°．在△ACN中，．在△Rt AMN中，在△Rt NCH中，．．在△Rt MNH中，∵故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为，∴．（8分）．（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，∴点N到平面MAC的距离为．∵点N是线段BC的中点，∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为．（12分）方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），则．．∵，且z＞0，∴，得z=1，∴．设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由得得∴．平面ABC的一个法向量为．．显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）点B到平面MAC的距离．（12分）点评：本题考查直线与平面的垂直的判定定理的应用，二面角的求法，点到平面的距离的求法，几何法与向量法的区别与联系，考查空间想象能力与计算能力．21．（13分）已知斜率为﹣2的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为为坐标原点，且．直线l2与y轴交于点M（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点P，Q，O．（1）求椭圆C的方程；（2）求λ的值；（3）求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；方程思想；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程作差，据中点坐标公式、直线斜率公式即可求得a2值；（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），l2：y=kx+m，由，用横坐标表示出来即可求得λ值；（3）将直线l2的方程与椭圆方程联立消y，由（2）的结论及韦达定理可得k，m的关系式，再由△＞0消掉k即可求得m的取值范围；解答：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵，，∴两式相减得，即=0，即，得，所以椭圆C的方程为2x2+y2=1．（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），l2：y=kx+m（∵l2与y轴相交，∴l2的斜率存在）．由，得，得，即，将①代入②得（λ﹣3）m=0，∵m≠0，∴λ=3．（3）将y=kx+m代入2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）=0．∵λ=3，∴由消去x3、x4得，．由△＞0得k2＞2（m2﹣1），即2（m2﹣1），即，即，解得，或．两式相减，得 n （S n+1﹣S n ）=（n+2） S n ﹣S n ﹣1），即 na n+1=（n+2）a n ，即．所以 m 的取值范围为，或 ．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理、判别式是解决该类问题的基础知识，应熟练掌握，涉及弦中点问题常 考虑“平方差法”．22．（14 分）在数列中，a 1=1，前 n 项和 S n 满足 nS n+1﹣（n+3）S n =0．（1）求{a n }的通项公式；（2）若 ，求数列{（﹣1）n b n }的前 n 项和 T n ；（3）求证：．考 数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式． 点：专 等差数列与等比数列． 题： 分析：（1）方法一：由已知变形得，利用“累乘求积”即可得出；方法二：利用得到 a n 的关系式，再利用“累乘求积”即可得出；（2）根据所求的数列的通项公式的特点，利用等差数列的前 n 项和公式，可先求出当 n 为偶数 时的 T n ，进而即可得出 n 为奇数时的 T n ；（3）通过构造函数，利用函数的单调性及裂项求和即可证明．解答：解：（1）方法 1：∵，且 S 1=a 1=1，∴当 n ≥2 时， ，且 S 1=1 也适合．当 n ≥2 时， ，且 a 1=1 也适合，∴．方法 2：∵nS n+1﹣（n+3）S n =0，∴（n ﹣1）S n ﹣（n+2）S n ﹣1=0，（又∵可求得 a 2=3，∴也适合上式．综上，得 ．当n≥2时，适合，，且a1=1也∴．（2）．设．当n为偶数时，∵∴，．当n为奇数（n≥3）时，T1=c1=﹣4也适合上式．综上：得．（3）令f（x）=x﹣ln（1+x）．当x＞0时，∵，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，得ln（1+x）＜x．令，得，∴，且，∴，∴．点数列掌握数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、通项公式与前n项和的关系评：、“累乘求积”、构造函数并利用函数的单调性及裂项求和是解题的关键．。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作湖北省黄冈中学2015届高三4月理科数学训练题 2015-4-22一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则A B =I （ ） A ．{}3,4,5 B ．{}4,5,6 C ．{}36x x <≤ D ．{}36x x <≤2.已知a R ∈,则“2a =”是“复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为虚数单位)为纯虚数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ） ①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化； ②在线性回归分析中，相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；③已知随机变量ξ服从正态分布(5,1)N ，且(46)0.68P ξ≤≤=则(6)0.1587;P ξ>=④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人.A ．1B ．2C ．3D ．44.对任意非零实数a 、b ,若a b ⊗的运算原理如图 所示，则12)31(4log -⊗的值为（ ）A ．1B ．13C ．43D ．2y x A Q PO （第10题5.已知锐角βα,满足：1sin cos ,6αα-=3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则βα,的大小关系是（ ） A ．βα< B ．αβ> C ．βαπ<<4 D. αβπ<<46.圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60︒的扇形, 则该几何体的侧面积为 （ ）A ．10123π+B ．1063π+ C ．122π+D ．64π+ 7.设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数2x y =与kx y = 的图像所围成的阴影部分为S ，任取]16,0[],4,0[∈∈y x ,则点),(y x 恰好落在阴影区域内的概率为（ ） A ．9617 B ．325 C ．61 D ．487 8.已知函数21()(,g x a x x e e=-≤≤e 为自然对数的底数)与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21[1,2]e +B ．2[1,2]e -C ．221[2,2]e e +-D ．2[2,)e -+∞ 9．如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点Q P ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为( )A ．233B ．72C ．396D ．310．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N=Q，M N=φ，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割，试判断，对于任一戴德金分割(),M N ，下列选项不可能成立的是（ ）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素 第10题图C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素二、填空题：本大题共5个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为___________12.已知点(,)(0,4)(2,0)P x y A B -到和的距离相等，则24x y +的最小值为_______13．如图，已知||3,||1OA OB ==,0OA OB ⋅=,6AOP π∠=若OP tOA OB =+,则实数t 等于____________14.用)(n g 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9,(9)9g =，10的因数有1,2,5,10,(10)5g =,那么)12()3()2()1(2015-++++g g g g =__________（二）选做题：请考生在下面两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分．15．如图，AB 与圆O 相切于点,A 又点D 在圆内，DB 与圆相交于点,C 若3,2,6,BC DC OD AB ====那么该圆的半径的长为________16.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(2x t t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数),在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=.则l 与C 的交点直角坐标为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC ∆的三内角分别为,,,3A B C B π=,向量(1cos 2,2sin )m A C =+-,(tan ,cos )n A C =,记函数()f A m n =⋅.(Ⅰ)若()0,2f A b ==,求ABC ∆的面积;(Ⅱ)若关于A 的方程()f A k =有两个不同的实数解,求实数k 的取值范围.18．近年来，随着地方经济的发展，劳务输出大省四川、河南、湖北、安徽等地的部分劳务人员选择了回乡就业，因而使得沿海地区出现了一定程度的用工荒.今年春节过后，沿海某公司对来自上述四省的务工人员进行了统计（见下表）：省份四川 河南 湖北 安徽 人数 45 60 30 15为了更进一步了解员工的来源情况，该公司采用分层抽样的分法从上述四省工人员工中随机抽50名参加问卷调查.O B P A（Ⅰ）从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名，求这两名来自同一个省份的概率；（Ⅱ）在参加问卷调查的50名务工人员中，从来自四川、湖北两省的人员中随机抽取两名，用ξ表示抽得四川省务工人员的人数，求ξ的分布列和数学期望.19. 如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,//,AD BC AD CD ⊥,且22,42,2AD CD BC PA ====,点M 在PD 上.(Ⅰ)求证:AB PC ⊥;(Ⅱ)若二面角M AC D --的大小为45,求BM 与平面PAC 所成角的正弦值.20.已知数列{n a }的前n 项和1122n *n n S a ()(n N )-=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ． （I ）求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设2n n n c log a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为Tn ，求满足2521*n T (n N )<∈的n 的最大值。