江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练(1)

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（4）班级 学号 姓名1．已知空间的点A （1，0，2），B （1，－3，1），M 是z 轴上的点，AM=BM ，则点M 的坐标是 ．2．已知平面上的点A （－2，1），B （1，3），AP AB 23=，则点P的坐标是 ．3．不等式2log ()x -<1+x 的解集是 ． 4．若右边的程序流程图输出数对i ，j ，则这两个数的和是 ．5．某商场举行抽奖活动，从装有编为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．中奖的概率是 ．6．已知正项数列{a n }的首项为l ，且对于一切正整数n 都有na n 2=[(n +1)a n +1+a n ]a n +1， 则数列的通项公式是a n = ．7．关于x 的方程x 2－2ax +a 2－4a =0有模为3的虚数根，则实数a 的值是 ． 8．已知以F 1，F 2为焦点的椭圆，其离心率为e ，以F 1为顶点、F 2为焦点的抛物线与椭圆的一个交点是P ，若e PF PF =||||21，则e 的值为 ．9．若))(2)(1()(a x x x x f ---=，其中1＜a ＜2，则='+'+')()2(4)1(12a f a f f ．10．如图长方体中，O 在AD 上，AB=8，AD=10，DO=AA 1=6．若以O 为球心，r 为半径作球面，使其与长方体的 六个面都有公共点，则r 的取值范围是 ．11．已知：,cos ),(cos ,cos )x x x x ==a b ，()221f x m =⋅+-a b （,x m ∈R ）. （1）求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期； （2）若]2,0[π∈x 时()f x 的最小值为5，求m 的值.12．如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论．SCBDO E。

江苏省南通市2011届高三第二次调研测试试题（数学）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 若15ii 3ia b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位），则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）． 4． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则111213a a a ++= ▲ ．9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--．下列四个不等关系：()()s i nc o s 6π6πf f <；(sin1)(cos1)f f >；()()cos sin 332π2πf f <；(cos2)(sin 2)f f >．其中正确的个数是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y =-+-，． 已知点()10B ，，点M 为直线220x y -+=上的动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是▲ ．13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC =OA OB λμ+，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ．【填空题答案】1. x －y －2=02. 825-3. 真4. 26275. 26.(){}20， 7. 12 8. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 21- 12. ()312， 13. 150 14. ()2+∞，二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段P A 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO的中点，4AB BC AC ===，PA PC ==．求证： （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，PABCOEFG(第15题)因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边P A 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△P AB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.16．（本小题满分14分）已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()1f C =，且△ABC ，求sin A +sin B 的值．【解】（1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x ++． (3)分由()π2cos 16x ++=，得()π1co s 62x +=， ………………5分 于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分因为△ABC 1πsin 26ab =，于是ab =. ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b .PABCOE FGQ由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 于是2a b += ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1s i 2A B a b +=+=． ………………14分 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称． （1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程． 【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为1313=，于是228a b =，即228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率e …………4分（2）由e =可设()40a k k =>，c，则b =， 于是11A B的方程为：40x k -+=， 故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， …………………………6分 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分 （3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B：20x -+=的对称点为()m n , ，则1,112022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩． …………………………12分解得13m n =, ．所以，圆C 的方程为()(22113x y -+=．…………………14分18．（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ， S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分 由题意，△RST 在月牙形公园里， RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分（第17题甲）（第17题乙）TQPNMSR甲乙RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BP A =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………… 11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， …………………14分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为（km 2）． …………………16分 19． （本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，OM =(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“MN ≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f (x )=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e －1)=0.541） 【解】（1）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ， 所以B，N，A三点共线， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB ，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)， 则有()221124MN x x x =-=--+，故104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，； 所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分（2）对于1e e m m +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分则直线AB 的方程11(e )eem m my m x +-=--， ……………………10分 令11()ln (e )eem m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，， 于是111()e em m h x x +'=--， ……………………13分列表如下：MN =(h x 又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立． ……………………16分 20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p ra a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ． 【解】（1）当1n =时，11a =； 当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=-，所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． ……………………3分（2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y+=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--， 所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ，它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++， 整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． ……………………16分 【注】1．第（2）小题当a k 不是质数时，p ，r 的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设123n n n <<，且123n n n a a a ，，符合题意，则公比q >1，因123n n n a a a <<，又123n n n a a a +>，则21q q +>，所以1q <<因为三项均为整数，所以q为1⎛ ⎝内的既约分数且1n a 含平方数因子，经验证，仅含21或23时不合，所以12*(23)()n a k p k p =+∈N ，；3．第（3）小题的构造形式不唯一．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线P A ，切点为A ，M 为P A 的中点， 过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．【解】因为MA 为圆O 的切线，所以2MA MB MC =⋅． 又M 为P A 的中点，所以2MP MB MC =⋅． 因为B M ∠=∠，所以B M∆∆∽． ………………5分 于是MPB MCP ∠=∠． 在△MCP中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=︒，得∠MPB =20°． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α， 即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……………………5分 同理可得321328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得232， ，， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21—A 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 4ρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】()πcos 4ρθ-=cos sin 4ρθρθ+=，则直线l的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离d =，即d =，其中cos sinϕϕ==…………………8分当()sin 1αϕ+=-时，m a x d = ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值． 【解】因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，()()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当323232a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .ABDO（第22题）EB 1A 1CC 1D 1（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，， 于是()111442DE =，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||||DECD DE CD ⋅⋅＝. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为. ……………………5分 （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . (7)分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……………………10分23．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到n *()n ∈N 分的概率．【解】（1）所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )= ()5551C2i - (i =5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：E ξ=()5105551C2i i i -=⋅∑= 152(分) . ……………………5分 （2）令p n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n =12p n －1， ……………………7分 即p n －23=－12()123n p --. 于是{}23n p -是以p 1－23=12－23=－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以p n －23=－16()112n --，即p n ＝()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. 答：恰好得到n 分的概率是()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. …………………10分。

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（41）班级 学号 姓名1．数列{}n a 的前n 项的和2(1)n S n λ=++，则数列{}n a 为等差数列的充要条件是 λ= ．2．现有200根相同的圆钢管，把它们堆放成一个正三角形垛，如果要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余的钢管有 根．3．函数tan()26x y π=-的图象的一个对称中心是 ． 4．若非空集合{|2135},{|(3)(22)A x a x a B x x x =+-=--≤≤≤，则使A A B ⊆成立的a 的集合是 ．5．复数12312,2,12z i z i z i =+=-+=--，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，则这个正方形的第四个顶点对应的复数是 ．6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 ． 7．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （2，－1），B （－1，3），若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中,[0,1]αβ∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 ．8．若[,)62ππα∈，则直线2cos 310x y α++=的倾斜角的取值范围是 ． 9．若x 、y 满足2202,02,(1)(1)1,x y x y x y ⎧⎪-+-⎨⎪-⎩则≤≤≤≤≥的取值范围是 ．10．定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，若(1)(2)f a f a ->-，则a 的取值范围是 ．11．已知直线20()x y m m ++=∈R 与抛物线2:C y x =相交与不同的两点A ，B ．（1）求实数m 的取值范围；（2）在抛物线C 上是否存在一点P ，对（1）中任意m 的值，都有直线PA 与PB 的倾斜角互补？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．12．已知函数21()ln (,[,2])2a x f x x a x x -=+∈∈R ． （1）当1[2,)4a ∈-时，求()f x 的最大值；（2）设2()[()ln ],g x f x x x k =-是()g x 图象上不同两点的连线的斜率，是否存在实数a ，使得1k <恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．。

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练(11)班级 学号 姓名1．已知点),(y x 在抛物线xy 42=上，则32122++y x 的最小值是 ．2．已知等差数列}{na 的公差0≠d ，若931,,a a a 成等比数列,则1042931a a a a a a++++的值是 ．3．已知,a b 为任意非零向量，有下列命题：①||||=a b ；②22=ab ；③2=⋅a a b ,其中可以作为=a b的必要不充分条件的命题是（填写序号)． 4．奇函数32()1f x axbx cx x =++=在处有极值，则3a b c ++的值为．5．若关于x 的不等式组2220,2(25)50x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解集的集合为｛－2}，则实数k 的取值范围为 ．6．设一双曲线的两条渐近线方程为02,02=+=-y x y x ，则双曲线的离心率是 ．7．如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC=BC ，M ，N分别是A 1B 1，AB 的中点,P 点在线段B 1C 上，则NP 与 平面AMC 1的位置关系是 ． 8．已知M 是以F 1，F 2为焦点的椭圆13722=+y x 上的一点，O是坐标原点，若2MO=F 1F 2，则△F 1MF 2的面积是 ．9．以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心、2为半径的圆,与过点A （－1，3）的直线l 相切，则直线l 的方程是__ __．10．下列对于函数xx y cos sin +=的命题中,正确命题的序号为 ．①存在)2,0(πα∈，使34)(=αf ；②存在)2,0(πα∈，使)3()(αα+=+x f x f ；③存在θ∈R ，使函数)(θ+x f 的图象关于y 轴对称; ④函数)(x f 的图象关于点)0,43(π对称．11．设函数2()(1)2ln f x x k x =+-．（1）当k =2时，求函数f （x )的增区间；（2）当k ＜0时，求函数g (x )=()f x '在区间(0，2]上的最小值．12．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(－3，2)，离心率为33，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴,⊙M 的方程为4)6()8(22=-+-y x ,过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ． (1）求椭圆的方程；(2）若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q,当弦PQ 最大时,求直线PA 的直线方程；(3）求OB OA ⋅的最大值与最小值．。

用心 爱心- 1 - 江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（3）班级 学号 姓名1．设向量(1,2),(1,1),(3,2)=-=-=-a b c ，且p q =+c a b ，则实数q p += ．2．已知ni im -=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则m +ni = ． 3．设集合{(,)|,},{(,)|1,,01}x P x y y k x Q x y y a x a a ==∈==+∈>≠R R 且，若Q P 只有一个子集，则实数k 的取值范围是 ．4．若抛物线的焦点在直线042=--y x 上，则此抛物线的标准方程是 ．5．“2=+b a ”是“直线0=+y x 与圆2)()(22=-+-b y a x 相切”的 条件．6．已知数列}{n a 的通项公式21log (*)2n n a n n +=∈+N ，设其前n 项和为n S ，则使 3n S -≤成立的最小的自然n 为 ．7．已知某圆的圆心为（2，1），若此圆与圆0322=-+x y x 的公共弦所在直线过点（5，－2），则此圆的方程为 ．8．双曲线12222=-by a x 的右准线与两条渐近线交于A ，B 两点，右焦点为F ，且FA ⊥FB ，则双曲线的离心率为 ．9．若)0(331)(3f x x x f '+=，则=')1(f ． 10．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在k 组中抽取的号码个位数字与m +k 的个位数字相同．若m =8，则在第7组中抽取的号码是 ．11．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．A 1用心 爱心 专心 - 2 -12．已知△ABC中，向量(1(cos ,sin )A A =-=m n ，且1⋅=m n ．（1）求角A ；（2）若角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且3=a ，求△ABC 的面积的最大值．。

（第4题图）20011江苏押题试卷江苏省南通中学高级教师、教研组长杨建楠老师命制第Ⅰ卷部分（满分：160分 时间：120分钟）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 设1z i =-（i 是虚数单位），则22z z+=______▲_______．答案：1i - 2．若0x ∆→时(22)(2)1f x f x+∆-→∆，则(2)f '= ．答案：因为(22)(2)122f x f x +∆-→∆，所以(2)f '=12．3．若集合0,1,2A π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{|cos ,}B y y x x A ==∈，则A B = _______．答案：{1,cos1,0}B =，所以A B = {0,1} 4．如图所示的是一个算法的流程图，当输入的x 的值为2009时，输出y 的值为 ▲ ． 解析：当x>0时，循环体中将一直x 减去2，退出循环时，1x =-，所以13y =． 5．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是7的概率 为 ▲ ． 解析：抛掷2次，点数有36种基本情况，其中点数之和是7的有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3)，共6种情形，所以概率为61366=． 6. 若不等式|2|6ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 的值为_____________．答案：|2|6a -+=且|22|6a +=，所以a =—4．7．用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的高为10cm ，体积为31000πcm 3，则制作该容器需要铁皮面积为 2cm （衔接1.414，π取3.14，结果保留整数）．答案：211000ππ1033r ⋅=，所以10r =，所以2π10π10100(1π=444S =⋅+⋅⋅．8．双曲线221x y n-=的两个焦点为12F F 、，P 在双曲线上，且满足12PF PF +=C△12PF F 的面积为 ．答案：12||PFPF -=12PF PF +=22121244,2PF PF n PF PF +=+⋅=， 22212121212cos 02PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，所以12π2F PF ∠=，所以12112S PF PF =⋅=． 9. 2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式．如图，在坡度为15 的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为 米．答案：设旗杆高度为x 米，则x =所以151)2x =10．已知数列{}n a 共有6项，若其中三项是1，两项是2，一项是3，则满足上述条件的数列共有 个．答案：列举法（树形图）即可得到结论6011．已知()(1)(2)(3)f x x x x =---，则'()0f x =在区间（1，3）内的解的个数为 ． 答案：()(1)(2)(3)f x x x x =---的3个零点为1，2，3，所以，在(1,2),(2,3)之间各有一个极值点，所以'()0f x =在区间（1，3）内的解的个数为2个． 12．若()f n 为()2*1n n N +∈的各数位上的数字之和，如：2141197+=，1＋9＋7＝17，则()1417f =，记()()1f n f n =，()()()21f n f f n =， ，()()()()*1k k f n f f n k N +=∈，则()20108f ＝ ．答案：123(8)11,(8)4,(8)8f f f ===，所以3(8)(8)n n f f +=，所以20103(8)(8)8f f ==． 13．如图，△ABC 中，4AB =，AC =8，60BAC ∠= ，延长CB 到D ，使BA BD =，当E 点在线段AB 上移动时，若AE AC AD λμ=+，当λ取最大值时，λμ-的值是 ．答案：当λ取最大值时，AE AB =，,A B A C C B A B A D D B =+=+，所以(1AB AC =+ ，旗杆E所以λμ==2λμ-=．14．设函数()f x (0)a <的定义域为D ，值域为A ，若所有点(,)s t (,)s D t A ∈∈构成一个正方形区域，则a 的值为 ．答案：定义域的长度为12x x -=可得a =4-．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题14分）已知向量()()()cos ,1,,cos a x x b f x x ωωω==，其中ω＞0，且，又函数()f x 的图像两相邻对称轴之间的距离为32π (1)求的值ω；(2) 求函数在区间上的最大值与最小值及相应的值．解：(1) //a b，()cos (cos )f x x x x ωωω∴=1cos 22x ω+=1πsin(2)26x ω=++． …………………………………………… 4分由题意，函数()f x 的最小正周期为3π，又ω＞0，2π3π=2ω∴13ω∴=． …………6分 (2) 由(1)知12()sin(236f x x π=++， 5,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦ ，2511,,3666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ∴当25,366x ππ+=即x =π时，()f x 取得最大值1, …………………………… 12分当29,366x ππ+=即2x =π时，()f x 取得最小值1.2- ……………………14分16．（本小题满分14分）如图，空间四边形BEDF 在平面α的射影是一个边长为 2a 、∠A =60°的菱形ABCD ，其中A 、C 分别为E 、F 在平面α的射影，且 AE =3a ，CF =a ． （1）求证：EF BD ⊥；（2）求证：平面 EBD ⊥平面FBD ． 证明：（1）因为FC ⊥面ABCD ，CB CD = 所以FB FD =，……………………2分 又因为O 为BD 的中点，所以FO BD ⊥， 同理EO BD ⊥，……………………4分又EO FO O = ，所以BD ⊥面EFO ，………………………………………5分 所以EF BD ⊥；…………………………………………………………………6分 （2）因为FC ⊥面ABCD ，EA ⊥面ABCD ，所以//FC EA ，所以,,,E A C F 四点共面， ………………………………………………………8分在菱形ABCD 中，边长为 2a 、∠A =60°，所以AO CO =，则tan tan COF AOE ∠=∠=， 所以，在平面EACF 内，30,60COF AOE ∠=∠= ，则EO FO ⊥， …………………………………………………………………10分 由（1）可知，EO BD ⊥ 又BD FO O = ，所以EO ⊥面BDF ，……………………………………………………………12分 因为EO ⊂面BDE ，所以平面 EBD ⊥平面FBD ．……………………………14分 17（本小题15分）已知圆O 的方程为），，过点直线03(,1122A l y x =+且与圆O 相切． （1）求直线1l 的方程；（2）设圆O 与x 轴交与P,Q 两点，M 是圆O 上异于P,Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点'P ，直线QM 交直线2l 于点'Q ．求证：以''Q P 为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标．解：（1）∵直线1l 过点(3,0)A ，且与圆C ：221x y +=相切，设直线1l 的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=， 则圆心(0,0)O 到直线1l 的距离为1d ==，解得42±=k ， ……………4分∴直线1l 的方程为3)y x =-，即3)y x =-． …………………………7分 （2）对于圆方程122=+y x ,令0y =，得1x =±,即(1,0),(1,0)P Q -．又直线2l 过点A 且与x 轴垂直，∴直线2l 方程为3x =，设(,)M s t ，则直线PM 方程为).1(1++=x s ty 解方程组3,(1)1x ty x s =⎧⎪⎨=+⎪+⎩,得).14,3('+s t P 同理可得,).12,3('-s t Q …………………9分 ∴以P Q ''为直径的圆C '的方程为0)12)(14()3)(3(=--+-+--s ty s t y x x ，又122=+t s ，∴整理得2262(61)0s x y x y t-+-++=， 13分若圆C '经过定点，只需令0y =，从而有2610x x -+=，解得3x =±，∴圆C '总经过定点坐标为(3±．……………………………………………15分18．（本小题满分15分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3－x 与t +1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润=收入－生产成本－促销费用)(1)求出x 与t 所满足的关系式；(2)请把该工厂2010年的年利润y 万元表示成促销费t 万元的函数； (3)试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？ 解：(1) 设比例系数为k )0(≠k ．由题知，有13+=-t kx ．……………………………2分 又．时，10==x t21013=+=-∴k k，．……………………………………………………………4分 )0(123≥+-=∴t t x t x 的关系是与．…………………………………………5分 (2) 依据题意，可知工厂生产x 万件纪念品的生产成本为)323(x +万元，促销费用为t 万元，则每件纪念品的定价为：(xtx x 2%150323+⋅+)元/件．……………………8分 于是，t x xtx x x y -+-+⋅+⋅=)323()2%150323(，进一步化简，得 )0(2132299≥-+-=t t t y ．……………………………………………………………11分因此，工厂2010年的年利润)0(2132299≥-+-=t t t y 万元．(3) 由(2)知，)0(2132299≥-+-=t t t y )713221(4221132250)21132(50时，等号成立，即当=+=+=+⋅+-≤+++-=t t t t t t t …13分所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．…………………………………………………………………………………………15分 19.（本题满分16分）已知等差数列{}n a 中，公差0d >，其前n 项和为n S ，且满足2345a a ⋅=，1414a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设由n n S b n c =+（0c ≠）构成的新数列为{}n b ，求证：当且仅当12c =-时，数列{}n b 是等差数列；（3）对于（2）中的等差数列{}n b ，设8(7)n n n c a b =+⋅（*n ∈N ），数列{}n c 的前n 项和为n T ，现有数列{}()f n ，()22nn n b f n T a =--（*n ∈N ）， 求证：存在整数M ，使()f n M ≤对一切*n ∈N 都成立，并求出M 的最小值． 解：（1）∵等差数列{}n a 中，公差0d >， ∴23232323144545544391414n a a a a a d a n a a a a a ⋅=⋅==⎧⎧⎧⇒⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎨=+=+=⎩⎩⎩………………………………4分 （2）()()143212n n n S n n +-==-，nn S b n c =+()21n n n c -=+，………………………………6分由2132b b b =+得12115213c c c =++++，化简得220,0c c c +=≠，∴12c =-………………8分 反之，令12c =-，即得2n b n =，显然数列{}n b 为等差数列，∴ 当且仅当12c =-时，数列{}n b 为等差数列. ………………………………………10分（3） ()()8111711n n n c a b n n n n ===-+⋅++∴11111122311n nT n n n =-+-++-=++ ()245151112451451451n n n b n n f n T a n n n n n n =-=-=+-+=+--+-+-+…………………12分9(1),2f =-而2n ≥时()()()()5151201(1)()0412451414521f n f n n n n n n n n n -+-=+--=-<-+-+--++ ∴(){}f n 在2n ≥时为单调递减数列，此时max ()(2)2f n f ==…………………………14分 ∴存在不小于2的整数，使()2f n ≤对一切*n ∈N 都成立， min 2M =．………………16分 20.（本题满分16分） 已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．（1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（2） 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3） 证明对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln xx e ex>-成立． 解：⑴ '()ln 1f x x =+，当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增． …………………………2分① 102t t e<<+<，t 无解； …………………………3分 ② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-；…………………………4分 ③12t t e ≤<+，即1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； …………………………5分所以min110()1ln t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， ，． …………………………6分 ⑵ 22ln 3x x x ax ≥-+-，则32l n a x x x≤++，设3()2l n(0)h x x x x x=++>，则2(3)(1)'()x x h x x+-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递增，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递减，所以min ()(1)4h x h ==，因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=； …………………………10分⑶ 问题等价于证明2ln ((0,))xx x x x e e>-∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e =时取到，设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x xm x e-=，易得max 1()(1)m x m e ==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．…………………………16分第Ⅱ卷部分（满分：40分 时间：30分钟）一、选做题（从中任选两题作答，每小题10分）21．A （4-1几何证明） 如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD ，BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且2DE EF EC =⋅． （1）求证：∠P=∠EDF ； （2）求证：CE·EB=EF·EP ．证明：（1）∵2DE EF EC =⋅， ∴DE CE EF ED =::． ∴DEF ∽CED ．∴∠DEF=∠C ，又∵CD ∥AP ，∴∠C=∠P ．∴∠P=∠EDF ．………………………4分 （2）∵∠P=∠EDF ，∠DEF=∠PEA ，∴DEF ∽PEA ∆， ∴DE ︰PE=EF ︰EA ． ∴EF·EP=DE·EA ．又因为弦AD ，BC 相交于点E ， ∴DE·EA=CE·EB ． ∴CE·EB=EF·EP ．………………………10分 B （4-2矩阵变换）二阶矩阵M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成（-1，-1）与（0，-2）． （1）求二阶矩阵M ；（2）设直线L 在变换M 作用下得到了直线m ：x -y =4，求直线L 的方程．解：（1）设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1,1,a b c d -=-⎧⎨-=-⎩且20,2 2.a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩解之得1,2,3,4,a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩∴M =1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦．………………………5分 （2）∵1223434x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且直线m ：4x y ''-=， ∴(2)(34)4x y x y +-+=，即20x y ++=为所求直线L 的方程．…………………10分 C （4-4极坐标与参数方程）已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=，圆M 的参数方程2cos ,22sin ,x y θθ=⎧⎨=-+⎩（其中θ为参数）．（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆M 上的点到直线的距离的最小值．解：（1）极点为直角坐标原点O，sin()s )4πρθρθθ+=+=∴sin cos 1ρθρθ+=，可化为直角坐标方程：x+y-1=0. ………………………5分（2）将圆的参数方程化为普通方程：22(2)4x y ++=，圆心为C （0，-2）， ∴点C到直线的距离为d ==， ∴．……………………………………10分 21 D （4-5不等式选讲） （本小题为选做题．．．，满分10分） 已知(0,)2x π∈，求函数2sin y x =+的最小值以及取最小值时所对应的x 值解：由(0,)2x π∈知：2sin y x =+21111sin x =+54≥=1=2sin x 即1sin 2x =时取等号， ∴当6x π=时min 54y =。

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（50）班级 学号 姓名1．已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ．2．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ．3．下列四个命题中, 真命题的序号是 ．①2n n n ∀∈R ，≥； ②2n n n ∀∈<R ，； ③2n n n ∃∈<R ，； ④2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，； ⑤n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，． 4．根据以下伪代码表示的算法，可求得(3)(2)f f -+的值为 ．Read xIf x ≤ 0 Then ()f x ← 4x Else()f x ←2x End If Print ()f x5．若在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ． 6．若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有ππ()()33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = ．7．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ． 若2=，则直线AB 的斜率为 ．8．有一根长为6cm ，底面半径为0.5cm 的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 cm ． 9．若不等式组0,22,0,x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是 ．10．已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b =m （m ∈N*），则这样的三角形共有 个（用m 表示）．11．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个小球，记下球上的数字后放回，乙再摸出一个小球，记下球上的数字，如果两个数字之和为偶数则为甲胜，否则为乙胜． （1）求两数字之和为6的概率； （2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．12．直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB=2AD=2CD．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．（50）答案1．2 ；2．13；3．③⑤；4．－8；5．3；6．－1；7．89．4(0,1][,)3+∞；10．(1)2m m+．11．解（1）设“两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个．又甲、乙二人取出的数字共有5×5=25(个)等可能的结果，所以51 ()255 P A==．答：编号的和为6的概率为1 5．（2）这种游戏规则不公平．设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C，则甲胜即曲数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)．所以甲胜的概率13()25P B=，从而乙胜的概率1312()()12525P C P B==-=．由于P(B)≠P(C)，所以这种游戏规则不公平．12．解（1）直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∵BB l⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB l⊥AC．又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD，∴CAB=45°，∴BC⊥AC．又BB1 BC=B，BB l，BC⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C．（2）存在点P，P为A1B1的中点．证明如下：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1=12 AB．又∵DC∥AB，DC=12AB，∴DC∥PB l，且DC=PB l，∴四边形CDPB l为平行四边形，从而CB1∥DP．又CB l⊂平面ACB l，DP⊄平面ACB l，∴DP∥平面ACB1．同理，DP∥平面BCB l．A BD1C1B1A1。

2011年江苏省南通市某校高考数学最后冲刺试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知z(1−i)=1，则复数z 在复平面上对应的点位于第________象限．2. 已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =c =√6+√2，且A =75∘，则b =________．3. 命题：“∀x ∈(0,π2),sinx <x”的否定是________．4. 抛物线y 2=4mx(m >0)的焦点到双曲线x 216−y 29=l 的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的准线方程为________．5. 已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填________．6. 设a ，b 为互不相等的正整数，方程ax 2+8x +b =0的两个实根为x 1，x 2(x 1≠x 2)，且|x 1|<|x 2|<1，则a +b 的最小值为________．7. 已知正数x 、y 满足{2x −y ≤0x −3y +5≥0，则z =4−x ⋅(12)y 的最小值为________．8. 在棱长为1的正四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，则AE →⋅CD →=________．9. 若关于x 的不等式组{x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0的整数解集为{−2}，则实数k 的取值范围是________．10. 已知a >0，设函数f(x)=2009x+1+20072009x +1+sinx(x ∈[−a,a])的最大值为M ，最小值为N ，那么M +N =________．11. 已知P 为抛物线y 2=4x 的焦点，过P 的直线l 与抛物线交与A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →||QB →|=|AQ →||PB →|，则点Q 总在定直线x =−1上．试猜测如果P 为椭圆x 225+y 29=1的左焦点，过P 的直线l 与椭圆交与A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →||QB →|=|AQ →||PB →|，则点Q 总在定直线________上．12. 曲边梯形由曲线y =e x ，y =0，x =1，x =5所围成，过曲线y =e x ，x ∈[1, 5]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P 的坐标是________．13.如图在三角形ABC 中，E 为斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，AB =1，则(CA →⋅CD →)(CA →⋅CE →)的最大值是________．14. 如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段BC 上的一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ，设CP =x ，△PCD 的面积为f(x)，则f(x)的最大值为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为x 且1+tanAtanB =2c b．（1）求角f(x)=ax 2−4bx +1；（2）若a =(0, −1)，b(cosB, 2cos 2C2)，试求|y =f(x)|的最小值．16. 如图，已知三棱锥A −BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证：DM // 平面APC ； （2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（3）若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D −BCM 的体积． 17. 已知关于x 的一元二次函数f(x)=ax 2−4bx +1．（1）设集合P ={1, 2, 3}和Q ={−1, 1, 2, 3, 4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y =f(x)在区间[|m +n|2上是增函数的概率； （2）设点(12, |m +n|min =√22)是区域{x +y −8≤0x >0y >0内的随机点，求MD 上是增函数的概率． 18. 已知矩形ABCD 中，AB =2√2，BC =1．以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（2）过点P(0, 2)的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．19. 定义：对于任意n∈N∗，满足条件a n+a n+22≤a n+1且a n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列a n称为T数列．（1）若a n＝−n2+9n(n∈N∗)，证明：数列a n是T数列；（2）设数列b n的通项为b n=50n−(32)n，且数列b n是T数列，求常数M的取值范围；（3）设数列c n=|pn−1|(n∈N∗, p>1)，问数列b n是否是T数列？请说明理由．20. 对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a＝bq+r，0≤r<b．特别地，当r ＝0时，称b能整除a，记作b|a，已知A＝{1, 2, 3, ..., 23}．(Ⅰ)存在q∈A，使得2011＝91q+r(0≤r<91)，试求q，r的值；(Ⅱ)求证：不存在这样的函数f:A→{1, 2, 3}，使得对任意的整数x1，x2∈A，若|x1−x2|∈{1, 2, 3}，则f(x1)≠f(x2)；(Ⅲ)若B⊆A，card(B)＝12（card(B)指集合B中的元素的个数），且存在a，b∈B，b< a，b|a，则称B为“和谐集”．求最大的m∈A，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．2011年江苏省南通市某校高考数学最后冲刺试卷答案1. 一2. 23. ∃x∈(0,π2),sinx≥x4. x=−55. 36. 97. 1168. −149. −3≤k<210. 401611. x=−25412. (2, e2)13. 22714. 2√215. 解：（1）已知的等式1+tanAtanB =2cb化简得：1+sinAcosB sinBcosA =2sinCsinB即sinBcosA+sincosBsinBcosA=2sinC sinB，∴ sin(A+B)sinBcosA =2sinC sinB，又sinC =sin[π−(A +B)]=sin(A +B)，∴ cosA =12，∵ 0<A <π，∴ A =π3；（2）a →+b →=(cosB, 2cos 2C 2−1)=(cosB, cosC)，∴ |a →+b →|2=cos 2B +cos 2C =cos 2B +cos 2(2π3−B)=1−12sin(2B −π6)， ∵ A =π3，∴ B +C =2π3，∴ B ∈(0, 2π3)，从而−π6<2B −π6<7π6，∴ 当sin(2B −π6)=1，即B =π3时，|a →+b →|2取得最小值12， 所以|a →+b →|min =√22． 16. （II ）∵ △PMB 为正三角形，D 为PB 的中点∴ MD ⊥PB ，∴ AP ⊥PB 又∵ AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ∴ AP ⊥面PBC∵ BC ⊂面PBC∴ AP ⊥BC 又∵ BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A∴ BC ⊥面APC ， ∵ BC ⊂面ABC∴ 平面ABC ⊥平面APC（III ）由题意可知，三棱锥A −BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．MD ⊥面PBC ，BC ＝4，AB ＝20，MB ＝10，DM ＝5√3，PB ＝10，PC =√100−16=2√21，∴ MD 是三棱锥D −BCM 的高，S △BCD =12×4×2√21×12=2√21，∴ V M−DBC =13Sℎ=13×5√3×2√21=10√7．17. 解：（1）∵ 函数f(x)=ax 2−4bx +1的图象的对称轴为x =2b a，要使f(x)=ax 2−4bx +1在区间[1, +∞)上为增函数， 当且仅当a >0且2ba ≤1，即2b ≤a若a =1则b =−1，若a =2则b =−1或1； 若a =3则b =−1或1； ∴ 事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴ 所求事件的概率为515=13． （2）由（1）知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f(x)=ax 2−4bx +1在区是间[1, +∞)上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|{a +b −8≤0a >0b >0} 构成所求事件的区域为三角形部分．由{a +b −8=0b =a 2得交点坐标为(163,83)， ∴ 所求事件的概率为P =12×8×8312×8×8=13．18. 解：（1）由题意可得点A ，B ，C 的坐标分别为(−√2，0)，(√2,0)，(√2,1)． 设椭圆的标准方程是x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)．则2a =AC +BC ，即2a =√(2√2)2+12+1=4>2√2，所以a =2． 所以b 2=a 2−c 2=4−2=2． 所以椭圆的标准方程是x 24+y 22=1．（2）由题意知，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y =kx +2． 由{y =kx +2x 2+2y 2=4.得(1+2k 2)x 2+8kx +4=0． 因为M ，N 在椭圆上，所以△=64k 2−16(1+2k 2)>0．设M ，N 两点坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)． 则x 1+x 2=−8k1+2k 2x 1x 2=41+2k 2，若以MN 为直径的圆恰好过原点，则OM →⊥ON →， 所以x 1x 2+y 1y 2=0，所以，x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=0， 即(1+k 2)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=0， 所以，4(1+k 2)1+2k 2−16k 21+2k 2+4=0，即8−4k 21+2k 2=0， 得k 2=2，k =±√2经验证，此时△=48>0．所以直线l 的方程为y =√2x +2，或y =−√2x +2． 即所求直线存在，其方程为y =±√2x +2．19. 由a n ＝−n 2+9n ，得a n +a n+2−2a n+1＝−n 2+9n −(n +2)2+9(n +2)+2(n +1)2−18(n +1)＝−2 所以数列a n 满足a n +a n+22≤a n+1．又a n =−(n −92)2+814，当n ＝4或5时，a n 取得最大值20，即a n ≤20．综上，数列a n 是T 数列．因为b n+1−b n =50(n +1)−(32)n+1−50n +(32)n =50−12(32)n ，所以当50−12(32)n ≥0即n ≤11时，b n+1−b n >0，此时数列b n 单调递增 当n ≥12时，b n+1−b n <0，此时数列b n 单调递减；故数列b n 的最大项是b 12， 所以，M 的取值范围是M ≥600−(32)12①当1<p ≤2时，当n ＝1时c 1=p −1,c 2=1−p 2,c 3=1−p3， 由c 1+c 3−2c 2=5p 3−2≤0得p ≤65，即当1<p ≤65时符合c n +c n+22≤c n+1条件．若n ≥2，则p n≤1，此时c n =1−p n于是c n +c n+2−2c n+1=(1−pn )+(1−p n+2)−2(1−pn+1)=−2p n(n+1)(n+2)<0又对于n ∈N ∗有c n =|pn −1|<1， 所以当1<p ≤65时数列c n 是T 数列； ②当2<p ≤3时，取n ＝1则：c 1=p −1,c 2=p2−1,c 3=1−p3，由c 1+c 3−2c 2=2−p3>0，所以2<p ≤3时数列c n 不是T 数列．③当p >3时，取n ＝1则c 1=p −1,c 2=p2−1,c 3=p3−1， 由c 1+c 3−2c 2=5p 6>0，所以p >3时数列c n 不是T 数列．综上：当1<p ≤65时数列c n 是T 数列；当p >65时数列c n 不是T 数列．20. （1）因为2011＝91×22+9，所以q ＝22，r ＝9．（2）证明：假设存在这样的函数f:A →{1, 2, 3}，使得对任意的整数x ，y ，若|x −y|∈{1, 2, 3}，则f(x)≠f(y)．设f(1)＝a ，a ∈{1, 2, 3}，f(2)＝b ，b ∈{1, 2, 3}，由已知a ≠b ，由于|3−1|＝2，|3−2|＝1，所以f(3)≠f(1)，f(3)≠f(2)．不妨令f(3)＝c，c∈{1, 2, 3}，这里c≠a，且c≠b，同理，f(4)≠b，且f(4)≠c，因为{1, 2, 3}只有三个元素，所以f(4)＝a．即f(1)＝f(4)，但是|4−1|＝3，与已知矛盾．因此假设不成立，即不存在这样的函数f:A→{1, 2, 3}，使得对任意的整数x，y，若|x−y|∈{1, 2, 3}，则f(x)≠f(y)．(Ⅲ)当m＝8时，记M＝{7+i|i＝1, 2, ..., 16}，N＝{2(7+i)|i＝1, 2, 3, 4}记P＝∁M N，则card(P)＝12，显然对任意1≤i<j≤16，不存在n≥3，使得7+j＝n(7+i)成立．故P是非“和谐集”，此时P＝{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23}．同样的，当m＝9，10，11，12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”．因此m≤7．下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”．设B＝{a1, a2, ..., a11, 7}，若1，14，21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”．现考虑1，14，21都不属于集合B，构造集合B1＝{2, 4, 8, 16}，B2＝{3, 6, 12}，B3＝{5, 10, 20}，B4＝{9, 18}，B5＝{11, 22}，B′＝{13, 15, 17, 19, 23}．以上B1，B2，B3，B4，B5每个集合中的元素都是倍数关系．考虑B′⊆B的情况，也即B′中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从B1，B2，B3，B4，B5这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系．综上所述，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7．。

江苏省2011年高考数学最后冲刺（二）江苏省涟水中学 汪显林（三）一、填空题1. .已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB +=,2AB =，设向量2PC PA PB =+，则PC的最小值是2. 已知圆22(2)9x y -+=和直线y kx =交于A,B 两点,O 是坐标原点, 若2OA OB O +=,则||AB = .3. 已知||2||a b =，命题p ：关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=没有实数根，命题q ：,[0,4a b π<>∈，则命题p 是命题q 的4. 已知函数()sin cos f x m x n x =+，且()4f π是它的最大值，(其中m 、n 为常数且0mn ≠)给出下列命题：①()4f x π+是偶函数；②函数()f x 的图象关于点7(,0)4π对称；③3()4f π-是函数()f x 的最小值； ④记函数()f x 的图象在y 轴右侧与直线2my =的交点按横坐标从小到大依次记为1P ，2P ，3P ，4P ，…，则24||P P π=；⑤1mn=.其中真命题的是 (写出所有正确命题的编号) 5. 在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若31=，12CD CA CB λλ=+，则=-21λλ______▲_______．,3BC BD =,1,AD = 则AC AD =PM PN = 9.已知，{}n a 若()OH m OA OB OC =++，则实数11. 已知椭圆1,42x y +=A 、B 是其左右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，连接AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP,MQ 的交点，则点Q的坐标为 。

二、解答题12. 设关于x 的方程2x 2-tx-2=0的两根为),(,βαβα<函数f(x)=.142+-x tx (1). 求f()()βαf 和的值。

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练参考答案（1）1．}2,0{； 2．14； 3．0； 4．－25 ； 5．3 ； 6．7 ；78．4i ；93； 10．30（或31或32）． 11．解 （1）∵依题意知CD ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PAD ． 又∵CD ⊂平面PCD ， ∴平面PAD ⊥平面PCD ． （2）由（1）知PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．在棱PB 上取一点M ，在平面PAB 内作MN ⊥AB ，垂足为N ，则MN ⊥平面ABCD ，设MN=h ，则V M-ABC =111213323A B C hS h h ∆=⨯⨯⨯⨯=，又V P-ABCD =11(12)1113322A B C D S P A +=⨯⨯⨯=，要使V PDCMA :V MACB =2:1， 则1():2:1233h h -=，解得12h =，即M 为PB 的中点．12．解 （1）设椭圆C 的焦距为2c ，Q （x 0，0），P （x 1，y 1），由F （－c ，0），A （0，b ）得0(,),(,)FA c b AQ x b ==- ．∵FA AQ ⊥ ，∴200cx b -=，即20b x c=．又∵85A P P Q = ，∴211118(0,)(,0)5b x y b x y c --=--，∴21185,1313b bx y c ==．又∵点P 在椭圆上，∴2222285()()13131bbcab+=，整理得223b ac =，又∵222b ac =-，∴222()3a c ac -=，即22320e e +-=，解得12e =，故椭圆的离心率为12．（2）由（1）知223b ac =，12c a=，故23,22ba a c c==，于是Q （3,02a ）、F （,02a -），△AQF 的外接圆圆心为（,02a ），半径1||2r F Q a ==．∵△AQF 的外接圆与直线033=++y x 相切，1|03|a a ++=，解得a =2，∴1b c ==，故椭圆C 的方程为22143xy+=．（2）1．2-；2．(1,2]-； 3．716； 4．322； 5．1-； 6．[-；7．1b a+；8．2211612xy+=； 9．9； 10．4．11． 解 （1）由题设知01()1sin 22f x x x x =+=因为，是函数)(x f y =图象的一条对称轴，所以02()2x k ,k ππ=+∈Z ，)]32cos(1[21)]62cos(1[21)(00πππ++=++=k x x g当k 为偶数时，41)32cos 1(21)(0=+=πx g ；当k 为奇数时，43)3cos 1(21)(0=+=πx g ．（2）因为)]6cos(1[21)sin 211()(πωω++++=x x x h23)3sin(2123)sin 21cos 23(sin 21++=+-+=πωωωωx x x x ，当22[,] [,]3333333x x πππωππωππω∈-+∈-++时，， 因为2()[,]33h x ππ-在上是增函数，且 ,0>ω 所以 ],2,2[]33,332[πππωππωπ-⊆++-即2,332,332ωπππωπππ⎧-+-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤ 12ω解得≤，所以ω的最大值为21．12．解 （1）∵23(*)n n S a n n =-∈N ，∴11123a S a ==-，∴13a =．又由1123,23(1)n n n n S a n S a n ++=-⎧⎨=-+⎩得111223n n n n n a S S a a +++=-=--，∴132(3)n n a a ++=+，∴{3}n a +是首项为136a +=，公比为2的等比数列， ∴1362n n a -+=⨯，即3(21)nn a =-．（2）假设数列{}n a 中存在三项,,()r s t a a a r s t <<，它们可以构成等差数列．由（1）知r s t a a a <<，则2s r t a a a =+， ∴6(21)3(21)3(21)srt-=-+-，即1222s r t+=+，∴1212s r t r+--=+（*）． ∵,,r s t 均为正整数且r s t <<， ∴（*）左边为偶数而右边为奇数，（或由1t s +≥，∴122ts +≥，∴1222t r s +>+） ∴假设不成立，即数列{a n }不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列．（3）1．5； 2．2+i ； 3．(,1]-∞； 4．216y x =或28x y =-；5．充分不必要；6．14； 7．22(2)(1)4x y -+-=； 8； 9．1； 10．65． 11．证 （1）连结BD ．在长方体AC 1中，对角线BD ∥B 1D 1．又∵E 、F 为棱AD 、AB 的中点， ∴EF ∥BD ，∴EF ∥B 1D 1．又B 1D 1⊂平面C B 1D 1，EF ⊄平面C B 1D 1，∴EF ∥平面C B 1D 1． （2）∵在长方体AC 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1．又 在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面CAA 1C 1． 又∵平面C B 1D 1⊂平面平面C B 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 12．解 （1）∵((cos ,sin )A A =-=m n ，∴1cos cos )2sin()226A A A A A π⋅=-+=-=-m n ．又∵1⋅=m n ，∴1sin()62A π-=．又∵0A π<<，∴66A ππ-=，∴3A π=．（2）∵2222cos ,,3ab c bc A A a π=+-==∴2232cos3b c bc π=+-，∴223b c bc +=+．又∵222b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号）， ∴32bc bc +≥，∴3bc ≤，∴1sin 244ABC S bc A ∆==≤，∴△ABC的面积的最大值为4．（4）1．（0，0，－3）； 2．（0，73）； 3．（－1，0）； 4．4 ； 5．23；6．1n； 7．2-； 8．3； 9．1； 10．[8,．11．解 （1）∵,cos ),(cos ,cos )x x x x ==a b ，∴()221f x m =⋅+-ab 2cos 2cos 21x x x m =++-2cos 22x x m =++ 2sin(2)26x m π=++∴()f x 的最小正周期是π． （2）∵]2,0[π∈x ，∴]67,6[62πππ∈+x ．∴当6762ππ=+x 即2π=x 时，函数()f x 取得最小值是12-m ．∵512=-m ，∴3=m ．12．证 （1）∵底面ABCD 是菱形，O 为中心．∴AC ⊥BD ，又∵SA=SC ，∴AC ⊥SO ，而SO BD=O ，∴AC ⊥面SBD ．（2）取棱SC 中点M ，CD 中点N ，连接MN ，则动点P 的轨迹即是线段MN ．证明如下：连结EM 、EN ，∵E 是BC 中点，M 是SC 中点， ∴EM//SB ，同理EN//BD ．又∵AC ⊥平面SBD ∴AC ⊥SB ， ∴AC ⊥EM ，同理AC ⊥EN ， 又EM EN=E ， ∴AC ⊥平面EMN ，因此，当P 点在线段MN 上运动时，总有AC ⊥EP ． P 点不在线段MN 上时，不可能有AC ⊥EP ．（5）1．a ≤2 ； 2．2；3．①②； 4．－4； 5．3[,1)4； 6．(,1)-∞-； 72；8．49；9．115；10．1(,0)3-．11．解 （1）}{n a 为等差数列，4352a a a a +=+∴，252515,54,a a a a +=⎧∴⎨⋅=⎩解得256,9,a a =⎧⎨=⎩（因d<0，舍去）或259,6,a a =⎧⎨=⎩ 11,10,d a =-⎧⇒⎨=⎩ 11n a n ∴=-．（2）n a a n -==11,101 ， 21()121222n n n a a S n n +∴==-+．又021<-，对称轴为221， 故当n = 10或11时，S n 取得最大值，其最大值为55．12．解 如图，设βα=∠=∠BCO ACB ,，再设A （0，a ）、B （0，b ）、C （x ，0），则,)tan(xa=+βα xb =βtan ．])tan[(tan ββαα-+=21tan )tan(1tan )tan(x abx bxa+-=⋅++-+=ββαββαa b a b a b ab x x---==+≤（当且仅当ab x x=时取等号）．∵2x ab =，x >0，∴,时ab x =αtan 有最大值，最大值为abb a 2-，又∵x y tan =在)2,0(π内为增函数，∴αtan 有最大值时，角α最大．∴使∠ACB 取得最大值的点C的坐标为0)．（6）1．4；2．1；3．132()2n -⨯； 4．4 ； 5．58； 6．113；7．10k ≤（或11k <）； 8．(,8]-∞； 9．2； 10．①③④．11．12．解 （1）∵4sin 2)(x x x f +=，∴1cos ()24x f x '=+，∴13()[,]44f x '∈，满足条件0()1f x '<<． 又∵(0)0f =，∴方程0)(=-x x f 有实数根0，∴函数4sin 2)(x x x f +=是集合M 中的元素．（2）假设方程0)(=-x x f 存在两个实数根,()αβαβ<，则[,]D αβ⊆，故存在0[,]x αβ∈，使得等式0()()()()f f f x βαβα'-=-成立．又∵()f αα=，()f ββ=，∴0()1f x '=，这与0()1f x '<<矛盾， 故假设不成立，即方程0)(=-x x f 只有一个实数根．（7）1．(1,1)-； 2．0.8 ； 3．－1； 4．12a >； 5．60； 6．7．034a a <或≤≤； 8．2 ； 9．32； 10．11．解 （1）1, 2k b ==．（2）由)()(x g x f >得24x -<<，y =)(1)(x f x g +=252x x x --+．设2 (06)t x t =+<<，则153y t t=+--≥，当且仅当1t =，即1x =-时，等号成立．12．解 （1）∵E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，∴EF ∥A 1C 1．又∵A 1C 1∥AC ，∴EF ∥AC ． 又∵EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ． （2）∵AB=AA 1，∴AB 1⊥A 1B ．又∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1， ∴AB 1⊥A 1C 1，∴AB 1⊥AC ，又∵BB 1⊥AC ，∴AC ⊥平面ABB 1A 1，∴AC ⊥AB ．（3）∵AB=CC 1=a ，BC=b ，∴，112B A AB S a =，∴1111111111223BABC C B A AB B A AB V V S AC -==⨯⨯⨯=．（8）1．23-； 2．1； 3．40； 4．134π-； 5．（-2，15）； 6．若①②④，则③；7．相离； 8．32； 9．2010； 10．(,3][3,)-∞-+∞ ．11．12．解 ∵a =(cos32x ，sin32x )，b =(2sin 2cosx x -，)，∴⋅a b x x x x x 2cos 21sin 23sin21cos23cos=-=，||2|cos |x ===a +b ．又∵[0]2x π∈，，∴cos x ≥0，∴||a +b =2cos x ，∴()2||f x λ=⋅-a b a +b 即2221)(cos 2)(λλ---=x x f ． ∵[0]2x π∈，，∴0≤cos x ≤1．①若λ＜0，则当且仅当cos x =0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾； ②若0≤λ≤1，则当且仅当cos x =λ时，f (x )取得最小值221λ--，由已知得 23212-=--λ，解得21=λ；③若λ＞1，则当且仅当cos x =1时，f (x )取得最小值λ41-，由已知得2341-=-λ，解得85=λ，这与1>λ相矛盾．综上所述，21=λ．（9）1．π； 2．a >12； 3．56； 4．－6； 5．－4 ；6．440x y --=或20x y -+=；7．12；8．33[0,[,)22-++∞ ； 9．30； 10．[7，8]．11．解 ∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形DEAF 是平行四边形，∴||||D E D F A D += ，即||D E D F +的最小值就是线段AD 长的最小值，显然，当AD ⊥BC时AD 最小，即AD 长的最小值为BC 边上的高d BC ．在△ABC 中，∵AB=5，AC=4，∠BAC=60°，∴由余弦定理得，BC ==又∵11sin 22A B C B C S A B A C B A C B C d ∆=⋅∠=⋅，∴sin 7BC AB AC BACd BC⋅∠===，∴||D E D F +7．12．解 （1）∵数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，∴12213,(1)(2)[(1)2(1)]21,(2)n n n S n a S S n n n n n n -⎧==⎪=⎨-=+--+-=+⎪⎩≥21(*)n n =+∈N ．（2）由（1）得1121n b n a b --=+．∵数列{}n b 中，第n 项n b 是数列{}n a 的第1n b -项(2)n ≥， ∴121n n b b -=+，(2)n ≥，∴112(1)n n b b -+=+，(2)n ≥ 又∵11b =，∴112b +=，∴数列{1}n b +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴11222n nn b -+=⨯=，∴21nn b =-．（3）231231111111111111122222nnn b b b b +++⋅⋅⋅+=++++=-++++∵对任意的*n ∈N ，1112n-<，∴要使不等式2123111111111n m m b b b b +++⋅⋅⋅<-+++++恒成立，只需211m m -+≥，解得：0m ≤或1m ≥， ∴m 的取值范围为(,0][1,)-∞+∞ ．（10）1．2-； 22； 3．43-； 4．1,42-； 5．16a -≤≤； 6．5 ；7．8π； 8．51630x y -+=； 9．27 ； 10．③④．11．证 （1）设AC BD O = ，连OE ．由题意可得11,22===E M E F A C A O又∵//E M A O ，∴四边形EOAM 为平行四边形，∴//.E O A M⊂⊄ EO EBD AM EBD 平面,平面//AM EBD ∴平面．（2）连DM ，BM ，MO,,AF AC EC AC AFEC ABCD ⊥⊥⊥ 平面平面，,,,,AF ABCD EC ABCD AF AD EC DC ∴⊥⊥∴⊥⊥平面平面 又ABCD 为菱形，∴AD=DC ，∴DF=DE ． 又点M 是EF 的中点，∴D M EF ⊥．12,2B D A F D O B D A F M O =∴=== ，∴45D M O ∠=︒，同理45BM O ∠=︒， ∴D M BM ⊥． 又E F B M M = DM BEF ∴⊥平面．,DM EFD EFD BEF ⊂∴⊥ 平面平面平面．12．解 （1） A 、B 、C 成等差数列，2,B A C ∴=+又A B C π++=,3π=∴B ，由23-=⋅BC AB 得，2332cos-=⋅πa c ， 3ac ∴=． ①又由余弦定理得ac c a ac c a b-+=∴-+=222223,3cos2π，622=+∴c a ． ② 由①、②得，32=+c a ．（2）2sin sin A C -=22sin sin()3A A π--12sin cos sin )22A A A =-+=3sin )226A A A π-=-，20,,3662A A ππππ<<∴-<-<∴2sin sin A C -的取值范围为(2-．（11）1．3； 2．1316； 3．①②③； 4．0； 5．[3,2)-； 62；7．平行；8．3； 9．x =－1或5x +12y －31=0；10．①③④．11．解 （1）因为k =2，2()(1)4ln f x x x =+-，所以()f x '=422x x+-．由()f x '＞0得2(1)(2)x x x-+＞0，（此处用“≥”同样可以） 又x ＞0，故x ＞1，于是函数的增区间为(1,)+∞．（或[1,)+∞） （2）当k ＜0时，g (x )=()f x '=222k x x+-．g (x )=2()2k x x-++≥2，当且仅当x=”．①若(0,2]，即当k ∈[4,0)-时,函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为2；②若k ＜－4，则2()2(1)kg x x'=+在(0,2]上为负恒成立，故g (x )在区间(0,2]上为减函数，于是g (x )在区间(0,2]上的最小值为(2)=6－k ．综上所述，当k ∈[4,0)-时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为2+； 当k ＜－4时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为6－k ．12．解 （1）由题意得：222222294115103a b a a b c b c a⎧+=⎪⎪⎧=⎪⎪=+∴⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=⎪⎩ 所以椭圆的方程为1101522=+y x ．（2）由题可知当直线PA 过圆M 的圆心（8，6）时，弦PQ 最大,因为直线PA 的斜率一定存在，设直线PA 的方程为：y －6=k (x －8)，又因为P A 与圆O 相切，所以圆心（0，0）到直线PA 的距离为10，即101|68|2=+-kk ，解得13k =或139，直线PA 的方程为：3100139500x y x y -+=--=或．（3）设α=∠AOP , 则α2,=∠∠=∠AOB BOP AOP ，则1201)(21cos 2cos 222-=-=-=∠OPOPOA AOB α．8210||,12210||minmax =-==+=OP OP ，2200||||cos 10O A O B O A O B A O B O P∴⋅=⋅∠=-，m ax m in 55155(),()818O A O B O A O B ∴⋅=-⋅=- ．（12）1．3i --；2．（－1，3）； 3．2 ； 4．5 ； 5．3 ； 6．350 ；7．2a π； 8．0； 9．②④； 10．48．11．解 （1）由a 11=2，得a 13= a 11×m 2=2m 2，a 61= a 11+5m =2+5m ．又a 13=a 61+1，所以2m 2=2+5m +1，解得m =3或m =0.5-（舍去）．所以111111[(1)](31)3j j j ij i a a ma i m mi ---=⋅=+-=-．（2）S=111212122212()()()n n n nnn a a a a a a a a a ++++++++++ =1112111211(13)(13)(13)1(31)()1313132nnnnn n a a a a a a ---+++=-+++---=1(231)1(31)(31)(31)224nnn nn n +--⋅=+-．12． 解 ∵ f （x ）=－2x 2＋bx ＋c 在x =1时有最大值1，∴2()2(1)1f x x =--+，∴f （x ）≤1．又∵ x ∈[m ，n ]（0＜m ＜n ）时，f （x ）的取值范围是11[]n m ，， ∴ f （x ）在[m ，n ]上是减函数，∴m ≥1，∴ f （m ）=1m，f （n ）=1n，∴ m ，n 是方程2()2(1)1f x x =--+=1x的两个解，解方程结合1≤m ＜n 得m =1，n=12+．（13）1．i ；2．x +y －5=0； 3．(2,)+∞；4．（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）；5．赔14元； 6．0.2； 7．①②③； 8．23； 9．191622=-xy； 10．③④． 11．解 （1）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=-即,)(220121130222110a a a a a a +++=+++ 可得.)(22012112012111010a a a a a a q+++=+++⋅因为0>n a ，所以 ,121010=q解得21=q ，因而.,2,1,2111 ===-n qa a nn n（2）因为}{n a 是首项211=a ，公比21=q 的等比数列，故11(1)1221,.12212nn n nnn S nS n -==-=--则数列}{n nS 的前n 项和),22221()21(2nn n n T +++-+++=).2212221()21(212132++-+++-+++=n nn n n n T前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n nn nn T12211)211(214)1(++---+=n nnn n ，即 1(1)12222n n n n n nT -+=++-． 12．解 （1）∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC ． 又∵BF ⊥平面ACE ，∴AE ⊥BF ， ∴AE ⊥平面BCE ．又∵BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE ．（2）111422233D AE C E A D C E A B C D V V V ---===⨯⨯⨯=．（3）在三角形ABE 中，过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中，过G 点作GN ∥BC交EC 于N 点，连MN ，则由比例关系易得CN ＝CE 31．MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE, AE ⊂平面ADE ， ∴MG ∥平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE ， ∴平面MGN ∥平面ADE ．又∵MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE ， ∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．（14）1．{－1，0，1} ； 2．①②③； 3．－3 ； 4．45°； 5．3，－17 ；6．16.5； 7．－4；8．(b ； 9．0.6； 10．14x =．11．解 2221(1)2xxxy aa a =+-=+-．① 当1a >时，∵11x -<<，∴1xa a a≤≤，∴2m ax (1)2y a =+-．由21,(1)214a a >⎧⎨+-=⎩得3a =； ② 当01a <<时，∵11x -<<，∴1xa a a≤≤，∴2m ax 1(1)2y a=+-．由201,1(1)214a a<<⎧⎪⎨+-=⎪⎩得13a =．综上所得， 13a =或3．12．解 （1）∵1r =，∴(cos 3,sin ),(cos ,sin 3)AC BC αααα=-=-．又∵1AC BC ⋅=-，∴(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴5sin 29a =-．（2）方法一：∵3r =，A ，B ，C 在以原点为圆心，3为半径的圆上．又∵∠AOB=90°，∴∠ACB=45°．又∵∠ABC=60°，AB=∴由正弦定理得sin sin 2A B A B C A C A C B∠===∠方法二：∵∠ABC=60°，∴∠AOBC=120°． 又∵OA=OB=3r =，∴由余弦定理得AC ===．（15）1．23-；2．充要；3．1(,1)(,)2-∞-+∞ ； 4．122--； 5．5；6．14； 7．2；8．9-；9．{4，5，6}； 10．①④．11．解：（1）∵(cos sin )x x ==，，a b ，85⋅=a b ，85x x +=，即cos()x -=π445．又∵42x ππ<<，∴044x ππ<-<，∴3sin()45x π-=，∴3tan()44x π-=．（2）由（1）得sin cos()cos ()2222417252x x x =-=--=ππ．又∵111141313()144tan x tan xtan xtan x tan x π+====-----+，∴2(1)7428()125375sin x tan x tan x +=⨯-=--． 12．解 设AB=c ，AC=b ，BC=a ．（1）∵9AB AC ⋅=，S △ABC =6，∴cos 9,sin 12,bc A bc A =⎧⎨=⎩ 两式平方相加得bc =15，∴43sin ,cos 55A A ==．又∵sin cos sin B A C =， ∴sin cos sin C A B =，∴35c b =，由35c b =与bc =15得b =3，c =5，∴4a ==．（2）∵2S △ABC ∴121(2)55x y z x y ++=++，设2t x y =+，则3412,0,0,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥由线性规划得08t ≤≤，∴1245x y z ++≤≤． （本题也可建立平面直角坐标系解之）（16）1．（0，1]； 2．0ad bc +=； 3．无数； 4．4； 5．70x y +-=或250x y -=； 6．－3； 7．23； 8．②③； 9．[1,5)(5,)+∞ ；10．①②⑥．11．解 设f (m )=(x 2－1)m －2x +1，f (m )是m 的函数，其图象是直线．依题意，f (m )<0对m ∈[－2，2]恒成立．由于y =f (m )，当－2≤m ≤2时的图象是线段，该线段应全部位于x 轴下方，其充要条件是端点的纵坐标小于0，即(2)0,(2)0.f f -<⎧⎨<⎩由f (－2)<0得22(1)210x x ---+<，解得2x <或2x >；由f (2)<0得22(1)210x x --+<，解得1122x -+<<，所以(2)0,(2)0f f -<⎧⎨<⎩的解集为1122x -++<<，即适合题意的x的取值范围是11(22-++．12．解 （1）设P(x ，y )是)(x f 图象上的任意一点，P 关于点A 的对称点为Q(x 0，y 0)，则000,2,x x y y +=⎧⎨+=⎩即00,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩据题意知Q(x 0，y 0)在21)(++=xx x h 的图象上，所以00012y x x =++，即122y x x-=-++-，即1y x x =+，所以1()f x x x=+．（2）由（1）知1()()a a g x f x x x x+=+=+，所以21()1a g x x+'=-．又因为)(x g 在区间（0，2）上为减函数，所以2110a x+-<即21a x >- 当(0,2)x ∈时恒成立． 又因为(0,2)x ∈时，213x -<，所以3a ≥．（17）1．1，1 ；2．(0,1)； 3．19； 4．23； 5．3m 和1.5m ； 6．3π；7．（0，4）； 8．22136xy-=； 9．[2,)-+∞； 10．97300.11．解 （1）∵{}n a 是等差数列，∴212,i i i a a a +++=∴方程21220i i i a x a x a ++++=可化为222()0.i i i i a x a a x a +++++=即2(1)()0i i x a x a +++=，有一解1x =-为公共解．（2）由（1）知以上方程另一解为()21,2,,,i ia x i n a +=-=⋅⋅⋅所以2i iia a a +=-，所以321111111111n n n n n na a a a a a ++++-=---++++1132n n n n n n a a a a a a ++++=---112222n n a a d ddd+=-==----，故数列1{}1n a +是以111a +为首项，12-为公差的等差数列．12．解 （1）易得直线l 的方程为()2t y x a =+，代入椭圆方程并整理得：222(4)40.a t y aty +-=所以224,4M at y a t =+S=2S △AOM =2×22214.24M a t OA y a t ⋅=+（2）由（1）得，22244aS a a t t==+≤，当且仅当2t a=时等号成立．所以，当2[1,2]a∈时，即[1,2]a ∈时，m ax S a =；当2a >时，设224u a t t=+，则224u a t'=-．∵[1,2]t ∈，∴0,u '>∴u 在[1,2]t ∈上单调递增，∴S 在[1，2]上单调递减，∴1t =时，2max 24.4aS a =+综上得，2m ax2,(12),4,(2).4a a S a a a ⎧⎪=⎨>⎪+⎩≤≤ （18）1．9.2； 2．充要； 3．40； 4．－3； 5．0； 6．[2010,2011)，I ←I +2 ；7．154；8．13； 9．4； 10．3{4,,6}2--． 11．解 设事件A 为函数()f x 有零点．当0,0a b >>时，函数()f x 有零点的充要条件为a b ≥．（1）用正六面体骰子从1，2，3，4，5，6这六个数中掷出的一个数，再用正四面体骰子从1，2，3，4这四个数中掷出的一个数，共有基本事件24个． 设事件A 包含下列基本事件：当a =1时，b =1；当a =2时，b =1，2；当a =3时，b =1，2，3；当a =4时，b =1，2，3，4；当a =5时，b =1，2，3，4；当a =6时，b =1，2，3，4．所以事件A 发生的概率为1234443()244P A +++++==．（2）实验的全部结果所构成的区域为16,{(,)|}14a a b b ⎧⎨⎩≤≤≤≤，构成事件A 的区域为16,{(,)|14,}a a b b a b ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤≥，所以事件A 发生的概率为1(52)372()5310P A +⨯==⨯．12．解 （1）R x t t t x x t x x f ∈+-++--=,4342cos 2sin 4cos )(23223223sin 12sin 434(sin )433x t x t t t x t t t =--++-+=-+-+．∵|t |≤1，|sin x |≤1，∴当sin x t =时，)(x f 取得最小值g(t )，即3()433g t t t =-+．（2）∵2()1233(21)(21)g t t t t '=-=+-，|t |≤1，列表如下：∴由此可见，g(t )的单调增区间为（―1，―12）和（12，1），单调减区间为（―12，12），故g(t )的极大值为1()42g -=，极小值为1()22g =． （19）1．－2； 2．m n k；3．1(,1)2； 4．12+5．左，8π； 6．三；7．1[0,]2a； 8．911，22；9．2214xy -=； 10．22221111habc=++．11．证 （1）因为()lnln(0)x x f x aaa=-=-+>，所以1322111()()22a f x x x x a --'=⋅-+-20=-<，所以，()f x 在区间(,)a +∞上是减函数．（2）因为b a >，由（1）得()()f b f a <，即ln0ba-<，所以ln ln b ab a-<-12．证 （1）连接A 1D ．∵A 1D 1DA 是正方形，∴AD 1⊥DA 1． 又∵AD 1⊥A 1C ，∴AD l ⊥平面A 1CD ，∴AD 1⊥CD ． 又∵DD 1⊥CD ， ∴CD ⊥平面AD l ， ∴CD ⊥平面AD ． （2）设AC BD=O ．∵AD=DC ，AB=BC ，∴BO ⊥AC ．又∵BO ⊥C 1C ，AC C 1C=C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ． 在BD 上取点M ，使得OM=OD ，连接AM ，CM ． ∵AD=DC ，∠ADC=90°，又DO ⊥AC ，且AO=OC ，∴CM=AM=AD ，∴四边形AMCD 是一个正方形，∴AM ∥CD ． ∴A 1D ⊥AM ．又∵AD 1⊥A 1D ，∴A 1D ⊥平面AD 1M ，D 1M ⊥A 1D ．又∵A 1C 1⊥平面DD 1B 1B ，∴D 1M ⊥A 1C 1．又∵A 1D A 1C 1=A 1，∴D 1M ⊥平面A 1C 1D ，此时DM=，∴当DM=D 1M ⊥平面A 1C 1D ．（20）1． x ∀∈R ，x 2+ x +1≥0； 2．一； 3．0.01； 4．24； 5．①④；6．13R(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)； 7．； 8．32； 9．(1,1)--； 101．11．解 （1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f -+⨯++⨯==，直方图如下图所示．（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=， 所以，抽样学生成绩的及格率是75%． 利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝71， 估计这次考试的平均分约是71分．12． 解 （1）由//m n 得0cos cos )2(=-⋅-C a A c b ，由正弦定理得0cos sin cos sin cos sin 2=--C A A C A B ， ∴0)sin(cos sin 2=+-C A A B ，∴0sin cos sin 2=-B A B ．1,(0,),sin 0,cos ,23A B B A A ππ∈∴≠=∴=．（2）22sin coscos 2sinsin 233y B B B ππ=++11cos 2cos 2222B B B =-++11cos 2222B B =-+s i n (2)16B π=-+，由（1）得67626320ππππ<-<-∴<<B B ，∴1sin(2)(,1]62B π-∈-，∴1(,2]2y ∈．（21）1．1或3；2．2； 3．[1,1]-； 4．13-； 5．14； 6．4π； 7．2572；8．1；9．11； 10．②③④． 11．解 ∵32(),3xf x bx cx =++∴2()2.f x x bx c '=++由(1)0f '=得210.b c ++=∵1是()f x '的零点，且()f x '的图象关于x b =-对称，∴21b --也是()f x '的零点，即c 也是()f x '的零点．又∵112b -<<，∴30.c -<<又∵0x 是()2c y f x x =-的一个极值点，∴0()02c f x '=<，∴0(,1)x c ∈，∴043x c -<-<，∴0(4)(3)f x f -<-．12．解 （1）∵13(23)3n n tS t S t --+=，∴123(23)3n n tS t S t ---+=，两式相减得13(23)0n n ta t a --+=． 又∵0t >，∴1233n n a t a t -+=，∴{a n }是以1为首项，233t t +为公比的等比数列．（2）由（1）得()f t 232133t t t+==+，∴1112()3n n n b f b b --==+， ∴{bn }是以1为首项，23为公差的等差数列，∴2211(1)333n b n n =+-=+．（3））由（2）得2462,,,,n b b b b 是以53为首项，43为公差的等差数列，∴12233445212221n n n n b b b b b b b b b b b b -+-+-++-21343522121()()()n n n b b b b b b b b b -+=-+-++- 242225142()2[(1)]33323n b b b n n n =-⨯+++=-⨯⨯⨯+⨯-⨯ 22193n n =--．（22）1．42．84； 3． 45．1(,0)(0,2)2-； 6．6 ；7．1或－1； 8．8； 9． 10．100π．11．解 （1）连接AF ，∵E ， F 分别为CC 1，DD 1的中点，∴EF ∥AB ，且EF=AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形．又在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面AA l D 1D ， ∴EF ⊥A 1F ．由已知得，A 1A=2，∴A 1F 2+AF 2=AA 12，∴AF ⊥A l F ．又AF EF=F ，∴A 1F ⊥平面ABEF ，即A 1F ⊥面BEF ． （2）由A 1F ⊥平面BEF 得A 1B 在平面BEF 上的射影为BF ，∴∠A 1BF 为直线A 1B 与平面BEF 所成的角．由已知，A 1A 11sin 5A BF ∠=．12．解 （1）∵方程20n n x a x a --=有一根为1n S -，1(2)n n n a S S n -=-≥，∴211(1)()(1)()0n n n n n n S S S S S S --------=，化简得112n n S S -=-，∴11111121111111111112n n n n n n n S S S S S S S --------=-=--------11111n n S S ---==--，∴数列1{}1n S -为等差数列，其公差为－1 ；（2）由2(1)(1)0n n n n S a S a ----=，令n=1，得21111(1)(1)0a a a a ----=，解得112a =，∴1111211S a ==---．由（1）得12(1)(1)(1)1n n n S =-+-⋅-=-+-，∴1n nS n =+，∴2n ≥时，1111(1)n n n n n a S S n nn n --=-=-=++，又112a =也符合上式，∴1(*)(1)n a n n n =∈+N ．（23）1．12； 2．[1,2)； 3．12-； 4．（-13，13）；5．2212xy -=；6．②④； 78．； 9．48；10．12-．11．解 （1）∵(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，∴||||1==a b ．又∵|||k k +=-a b a b ，∴22||3||k k +=-a b a b ，∴2222222363k k k k ++=-+⋅⋅a a b b a a b b ，∴22(3)1(31)18k k k-+-⋅=⋅⋅a b kk kk 4182222+=+=．（2）∵k ＞0，∴由（1）⋅ab 21114442k k kk+==+=≥，当且仅当kk 414=，即1=k 时取等号．此时，⋅a b 1||||cos 2θ==⋅⋅a b ，∴21cos =θ，∴3πθ=，即⋅a b 的最小值为21，此时a 与b 的夹角θ为3π．12．解 （1）12n n a S += ，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴=．又111S a == ，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==⨯≥，21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⨯⎩， ，，≥． （2）12323n n T a a a na =++++ ，当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323n n T n -=+⨯+⨯++⨯ ， ①所以 12133436323n n T n -=+⨯+⨯++⨯， ②①－②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-⨯213(13)222313n n n ---=+⨯-⨯-11(12)3n n -=-+-⨯．111()3(2)22n n T n n -∴=+-≥．又111T a == 也满足上式，1*11()3()22n n T n n -∴=+-∈N ．（24）1．4； 2．四； 3 4．①②； 5．34(,)55-或34(,)55-； 6．2e ； 7．364； 8．7； 9．222231)(3)(5)[(1)2(1)](n n n n n n n n n n -++-++-++++-++-= ； 10．4．11． 证 （1）在图1中，过C 作CF ⊥EB ．∵DE ⊥EB ，∴四边形CDEF 是矩形．∵CD=l ，∴EF=1．∵四边形ABCD 是等腰梯形，AB=3， ∴AE=BF=1．∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．连结CE ，则CE=CB=∵EB=2，∴∠BCE=90°．则BC ⊥CE ． 在图2中，∵AE ⊥EB ，AE ⊥ED ，EB ED=E ， ∴AE ⊥平面BCDE ．∵BC ⊂平面BCDE ，∴AE ⊥BC ．∵AE CE=E ，∴BC ⊥平面AEC ． （2）用反证法．假设EM // 平面ACD ．∵EB // CD ，CD ⊂平面ACD ，EB ⊄平面ACD ， ∴EB // 平面ACD ．∵EB EM=E ，∴平面AEB // 平面ACD ． 而A ∈平面AEB ，A ∈平面ACD ， 与平面AEB // 平面ACD 矛盾．∴假设不成立，∴EM 与平面ACD 不平行．12．（25）1．充要； 2．（0，3）； 3．3； 4．－1； 5．0.7； 6．－2； 7．40 dm 2；8．(,)33-∞-+∞ ； 9．41；10．(,2][2,){0}-∞-+∞ ．11．证 切化弦后用和角公式得2sin sin cos 1sin A B CC=，再用正弦定理得2cos 1ab C c=，再用余弦定理得222212ab a b c c ab+-⋅=，即2223a b c +=． 12．解 （1）∵对任意的实数y x ,都有()()()2()1f x y f x f y y x y +=++++，1)1(=f ，∴(1)()(1)2(1)1()24f x f x f x f x x +=++++=++，(1)()24f x f x x +-=+， ∴当*x ∈N 时，()[()(1)][(1)(2)][(2)(1)](1)f x f x f x f x f x f f f =--+---++-+2[(22)286]133x x x x =++++++=+- ．（2）由（1）得，*x ∈N 时，不等式()f x ≥)10()7(+-+a x a 可化为233x x +-≥(1)(71a x x -+-，即247x x -+≥(1)a x -． ∵2x ≥，∴2471x x a x -+-≥．∵2474(1)22211x x x x x -+=-+-=--≥（当且仅当411x x -=-即32x =>取等号），∴要使原不等式恒成立，只需a 2≤，即实数a 的取值范围为(,2]-∞．（26）1．[0，2]； 2．2； 3．－2；4．①④； 5．相切； 6．)6,2[-；7．1b <-或2b >； 8．①②④；9．7；10．③．11．解 （1）设021<<x x ，则2133x x <，1321<+x x ∵1212112212121222()()333333()()91919191x x x x xx x x x x x x x x f f +++---=-=++++121212()()()()331309191xx x xx x +--=<++，∴12()()f x f x <，即)(x f y =在)0,(-∞上是增函数． （2）∵3110191233xx xx<=++≤，∴当0x ≤时，()311(,0]9122xxf x =-∈-+．又∵函数)(x f y =是R 上的奇函数，∴当0>x 时，19321)(+-=xxx f 1(0,)2∈．综上得 )(x f y =的值域为 11(,)22- ．12．解 （1）因为2a e ==，所以c =1，则b =1， 即椭圆C 的标准方程为2212xy +=．（2）因为P （1，1），所以12PF k =，所以2O Q k =-，所以直线OQ 的方程为y =－又椭圆的左准线方程为x =－2,所以点Q （－2，所以1P Q k =-，又1O P k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥， 故直线PQ 与圆O 相切．（3）当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 保持相切．证明如下：设00(,)P x y (0x ≠，则22002y x =-， 所以001PF y k x =+，001O Q x k y +=-，所以直线OQ 的方程为001x y x y +=-，所以点Q(－2,0022x y +) ，所以0022000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x x k x x y x y y +--+--====-+++，又因为00O P y k x =，所以1k k PQ OP -=⊥，即OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆O 相切．（27）1．2； 2．{|0}x x ≥； 3．8； 4．4； 5．120°； 6．92；7．13+； 8．23-；9．5∶1；10．)37,53(． 11．证明 （1）取PD 中点G ，易证FG 21CD AE ，∴四边形AEFG 为平行四边形，∴EF ∥AG ，∴EF ∥平面PAD ．（2）分别取DE 、BC 中点M 、N ．由PD=PE ，PB=PC ，则PM ⊥DE ，PN ⊥BC ． 在直角梯形BCDE 中，∵BC ⊥MN ，∴BC ⊥平面PMN ．∥ ＝ ∥ ＝∵BC ⊥PN ，∴BC ⊥PM ．又∵DE ⊥PM ，∴PM ⊥面ABCD ， ∴平面PDE ⊥平面ABCD ．12．解 （1）∵)2sin(sin 3βαβ+=，∴3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++．∴3sin()cos 3cos()sin αβααβα+-+=sin()cos cos()sin αβααβα+++ ∴αβααβαsin )cos(2cos )sin(+=+ 又∵βα,为锐角，2πβα≠+，∴αβαtan 2)tan(=+．（2）由（1）可得αβαβαtan 2tan tan 1tan tan =-+，∴22tan 2tan 112tan 42tan tan αβααα==++≤（当且仅当12tan tan αα=，即tan 2α=时取等号），∴βtan 的最大值为42．（28）1．（－∞，2）； 2．1或2； 3．a ≥－8； 4．60； 5．4π； 6．150° ；7．b =8．32-；910．（3，＋∞）．11．解 （1）22,cos ),(1,2cos ),x x x =+= m n2()222cos 2cos 23f x x x x x ∴=⋅=++=++m n3)62sin(2++=πx ，ππ==∴22T ，32222(),()26263k x k k k x k k πππππππππ+++∈∴++∈Z Z 令≤≤≤≤，2()[,]()63f x k k k ππππ∴++∈Z 的单调减区间为．（2）由4)(=A f 得，1()2sin(2)34,sin(2).662f A A A ππ=++=∴+=A ABC ∆ 为的内角又， 752,266666A A πππππ∴<+<∴+=，3π=∴A ．11,sin 322ABC S b bc A ∆==∴=2=∴c ，。

江苏南通高考数学二轮冲刺小练（1）班级 学号 姓名1．已知集合{}2,1,0=M ，{|2,}N x x a a M ==∈，则集合=N M ．2．一个容量为本数据，分组后，组距与频数如下：[10,20),2;[20,30),3;[30,40),4;[40,50),5;[50,60),4;[60,70),2，则样本在（0，50）上的频数为 ．3．若奇函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在R 上无极值，则a c a c-+的取值范围是 4．已知点A 、B 、C 满足5||,4||,3||===，则+⋅+⋅CA BC BC AB⋅的值是 ．5．函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= ．6．根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果i 为 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为02=-y x ，则它的离心率为 ．8．定义运算c a bc ad db -=，若复数i i x +-=324，i i y 212--= 1x i x +-，则=y ． 9．若一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为 ．10．设集合{,1},{,1,2},,,{1,2,3,,9}P x Q y P Q x y ==⊆∈，且在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(,)x y 所表示的点中任取一个，其落在圆222x y r +=内的概率恰为27，则2r 的一个可能的正整数值是 ．11．已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=2，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD （如图2）．（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把 (第5题) (第6题)几何体分成的两部分V PDCMA:V MACB=2:1．12．设椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且85AP PQ=．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：33=++yx相切，求椭圆C的方程．。

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（33） 班级 学号 姓名1．已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为i 43+和i -2，则向量AC 对应的复数为 ．2．已知等比数列}{n a 的各项都为正数，它的前三项依次为1，1+a ，52+a ，则数列}{n a 的通项公式是=n a ．3．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人．4．若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos += ． 5．函数sin()(,0,02)y x x ωϕωϕπ=+∈><R ≤的部分图象如图所示，则=ω ，=ϕ ．6．已知数列}{n a 满足1112,(*)1n n na a a n a ++==∈-N ，则3a 的值为 ， 1232011a a a a 的值为 ．7．已知奇函数)(x f 满足)()3(x f x f =+．如果]1,0[∈x 时，13)(-=x x f ，那么)36(log 31f= ．8．已知22,,,,4,6a b x y a b ax by ∈+=+=R ，则22y x +的最小值为 ． 9．已知关于x 的方程210(,ax bx a b +-=∈R ，且0)a >有两个实数根，其中一个根在区间（1，2）内，则b a -的取值范围为 ．10．偶函数)(x f y =在区间[－1，0]上单调递增，且满足)1()1(--=+x f x f ，下列判断：①0)5(=f ； ②)(x f 没有最小值； ③)(x f 的图像关于直线1=x 对称；④)(x f 在0=x 处取得最大值．其中正确的判断序号是 ．11．已知(53cos ,cos ),(sin ,2cos )x x x x ==a b ，函数2()||f x =⋅+a b b（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）当62x ππ≤≤时，求函数)(x f 的值域．12．已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠AC 、AD 上的动点，且)10(＜＜AD AF AC AE λλ==． （1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？。

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（15） 班级 学号 姓名1．若35)2cos(=-απ且)0,2(πα-∈，则)sin(απ-= ． 2．1=a 是直线1+=ax y 和直线1)2(--=x a y 垂直的 条件．3．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若0(0,1)x ∃∈，0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是 ．4．若复数121,3,,z ai z b i a b =-+=-∈R ，且21z z +与21z z ⋅均为实数，则=21z z ． 5．右边的流程图最后输出的n 的值是 ．6．若实数m ,}3,2,1,1{-∈n ，且n m ≠，则曲线122=+ny m x 表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是 ．7．已知xOy 平面内一区域A ，命题甲：点(,){(,)|||||1}a b x y x y ∈+≤；命题乙：点A b a ∈),(．如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是 ． 8．设P 是椭圆1162522=+y x 上任意一点，A 和F 分别是椭圆的左顶点和右焦点，则 AF PA PF PA ⋅+⋅41的最小值为 ． 9．在圆x y x 522=+内，过点)23,25(有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差]31,61(∈d ，则n 的取值集合为 ． 10．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别是△A 2B 2C 2的三个 内角的正弦值，下列命题中，正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）①△A 1B 1C 1是锐角三角形； ②△A 1B 1C 1是钝角三角形；③△A 2B 2C 2是锐角三角形； ④△A 2B 2C 2是钝角三角形．11．已知向量(cos sin )(22)x x ==，，，a b ，85⋅=a b ，且ππ42<<x ． （1）试求出cos()x -π4和tan()x -π4的值；（2）求sin (tan )tan 211x x x +-的值．12．在△ABC 中，已知C A B AC AB sin cos sin ,9==⋅，面积S △ABC =6．（1）求△ABC 的三边的长；（2）设P 是△ABC （含边界）内一点，P 到三边AC 、BC 、AB 的距离分别为y x ,和z ，求zy x ++的取值范围．。

江苏省2011年高考数学最后冲刺（一)江苏省涟水中学汪显林（一)知识及题型1。

集合：定义域与值域,交并补（可能的题号：5～10。

难易度：B）. 2。

复数：关注几何性质(可能题号:2～3,难易度：A）。

3。

简易逻辑：充要条件、或且非的真假（可能题号：5～10, 难易度：B）。

4。

三角函数图象及性质：重点变换（可能题号:1～5，难易度：A，）5。

解三角形与和差角：注意二倍角及变角关注求值题（可能题号：16，17, 难易度:B或C）.6.向量的数量积：注重基底表示与共线问题（可能会涉及不等式等知识)（可能题号：8～12, 难易度：B、C）。

7。

向量与三角：可能涉及解三角形（可能题号:8～12，难易度：B、C）。

8.向量与不等式:（可能题号：10～14, 难易度:B、C）。

9。

推理与证明：（可能题号：8～12，难易度:B）。

10。

算法：注重选择结构与推理相结合(可能题号：3～5, 难易度：A).11。

概率与统计：重视总体特征数的估计（频率分布及其求平均数方差），古典概型（可能题号：2～5,15，难易度:A、B)。

12.直线与圆：可能题号:5~12，17,18，难易度:B、C。

13。

立体几何:注重棱柱、长方体（正方体)，求点面距离及体面积，一证一计算，（注意三垂线定理的运用)可能题号：16，难易度：A、B.14.圆锥曲线:其中抛物线与双曲线可能题号：3～8, 难易度:A。

直线与椭圆或圆，关注：轨迹、直线与椭圆，解方程组，以及探究题,可能题号：17、18, 难易度：B、C。

15。

数列：等差等比性质（重点等比），和与通项及递推关系，研究单调性及相关的不等式（关注分式线性、等比放缩）,注重应用题。

考察两题可能题号：10~14，18～20，难易度：B，C.16。

导数：切线有关问题,在单调性、极值、最值、不等式方面应用，考察两题，可能题号：8~14，19，20, 难易度:B、C。

17.函数:重点定义域、值域，单调性、最值，分段函数、绝对值函数、对数函数、指数函数，关注与定比分点及凹凸函数有关的问题含参问题以及方程的研究；考察三题,可能题号：5～14,19，20, 难易度：B、C。

南通市2011届高考数学填空题专项训练（1)1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x=-<<=≤,则A B =_______。

2．设集合()22{,|1}416x y A x y =+=,{(,)|3}x B x y y ==，则A B⋂的子集的个数是_______。

3. 若规定E={}1,210...a a a 的子集{}12...,nk k k aa a 为E 的第k 个子集，其中k=1211222n k k k --+++ ,则（1){}1,3,a a 是E 的第____个子集；（2）E 的第211个子集是_______4. 若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A∩B 是_______ 5。

{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合，则Q P =_______.6.设不等式20xx -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N 则M N⋂为__________.7.已知集合{}|1A x x =≤,{}|B x x a =≥,且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是___________________ 。

8.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元"，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个。

9。

某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _。

10。

命题“若b a >，则122->b a”的否命题为__________.11. 若)(x f y =为定义在D 上的函数,则“存在x 0∈D , 使得2020)]([)]([x f x f ≠-”是“函数)(x f y =为非奇非偶函数”的__________________条件。

江苏南通高考数学二轮冲刺小练（1）班级 学号 姓名1．设集合{}{}2223050A x x x B x x x =--=-≤，≥，则()A B =R I ð______． 2．在平面直角坐标系中，已知向量AB uur= (2，1)，向量AC uuu r = (3，5)，则向量BC uu u r的坐标为 ．3．在ABC ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =, 则cos C = ．4．已知实数x ∈[1，9]，执行如右图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为 ． 5．在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公 比q 为 ．6．函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为 ．7．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC，DC 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四面体的体积为 ．8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ． 9． 已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，02πϕ<<． ()y f x =的部分图象，如图所示，P 、Q 分别为该图象相邻的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A ，点R 的坐标为(1,0)，23PRQ π∠=，则tan APQ ∠= ． 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5．设c n ＝⎩⎨⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n ＞b n ，若在数列{c n }中，c 8＞c n (n ∈N*，n ≠8)，则实数p 的取值范围是 ．11．某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好，设AB =x 米．ABCD（第11题）B 'P（1）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？12．数列{}n a 的前n 项和为n S ，存在常数A ，B ，C ，使得2n n a S An Bn C +=++对任意正整数n 都成立．（1）若数列{}n a 为等差数列，求证：3A －B ＋C ＝０；（2）若C =0，{}n a 是首项为1的等差数列，设1i P ==，求不超过P 的最大整数的值．。

OE F M D C B A 江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（10）班级 学号 姓名1．若复数(a +i )(1－2i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a = ．2．若椭圆的一个顶点与两个焦点构成直角三角形，则该椭圆的离心率是 ．3．已知a 为第二象限角，且4sin 5α=，则tan α= ． 4．某算法的伪代码如图所示，如果输出的y 值是4，那么输入的x 的所有可能值是 ．5．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数a 的取值范围是 ．6．已知函数()y f x =是奇函数，若当x<0时，2()()f x x ax a =+∈R ，且(2)f =6，则a = ．7．用计算机随机产生的有序二元数组(x ，y )满足11,22,x y -<<⎧⎨-<<⎩对每个二元数组(x ，y )，用计算机计算22x y +的值，记“(x ，y )满足221x y +<”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ．8．已知函数()f x ，()g x 满足(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ====，则函数()2()f x yg x +=的图象在x =5处的切线方程为 ．9．若实数a ，b 满足ab －4a －b +1=0 (a >1)，则(a +1)(b +2)的最小值为 ．10．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A+sin 2B +cos 2C<1，则△ABC 为钝角三角形；④若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC 为锐角三角形．则其中正确命题的序号是 ．(把所有正确的都填上)11．如图，菱形ABCD 所在平面与矩形ACFF 所在平面互相垂直，已知BD=2AF ，且点M 是线段EF 的中点．（1）求证：AM ∥平面BDE ；（2）求证：平面DEF ⊥平面BEF ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．（1）若32AB BC ⋅=-，且b =a +c 的值； （2）求2sin sin A C -的取值范围．。