“精彩片段”的自觉反思

Ｚ 为相交直线， 与 Ｚ Ｚ 。 为
平行直线 ， ｚ ｚ 也为平 与 行直线， 问这 ６ 条直 线组
图２
是： 抓住截线找基本图形．
（ 下转第 １ 页） Ｏ
皿
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思路 与方 法
中学生数学 ＤＥ Ｎ 的面积． Ｆ
２０ ０４年 ８月下
环节？中学数 学教 学参考，９８１ １９，～２
４ 罗增儒． 解题 分析——再找 自己的解题 愚蠢． 中学数 学教 学参考，９８ ４ １ ９ ，
或（； ＋…＋ ； 一（ ＋ 。 ＋ ； ） ＋…＋ ） 对． 借助 高 中 的 知 识 可 以 简 捷 地 表 示 为
Ｆ
本刊 ２０ 年 ２ 下） 精彩片段” 目 ０４ 月（ 的“ 栏 介绍 了一道细数三线八角的题目（ １ ） 文［ ］ ：
例ｌ 如 图 １所 示 ， 平
行直线 Ｅ ＭＮ 被 相交直 Ｆ、 线Ａ Ｃ Ｂ、 Ｄ所截 ， 问图中 请
形 中， 有多少对同旁内角？
２ ．自觉反思的真实过程
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２０ ０４年 ８ 月下
中学生数学
专家点评
Ｅ Ｅ
陕西师范大学数学系（１０２ 罗增儒 ７０６）
．．
揎 片 压 ＿最 宴 ．
成多少对同旁内角？ 彝 ＿ 设直线 ｚ ｚ、 ｚ（≥３ 或是相 季ｊ 碡 …、 志 ） 、 交或是平行 ， 但无三线共点的情况， 其中 ｚ上 有７ 个交点（ ≥０ ， ＂ ／ ７ ）则这 是 ／ ＂ 条直线组成的图
总结常见的基本图形 ， 加强基本图形 的变换 、 叠加等训练， 一定会对智力的培养及发散思维 能力的提高 ， 起到独特的功效． （ 唐大昌） 责审
建设一个 内接于△ＡＢ Ｃ的矩形水池 ＤＥ Ｎ， Ｆ
其中Ｄ Ｅ在Ａ Ｂ边上， 如图 ４ 所示． １ 若 Ｆ点 （） 正好在 Ｃ Ｂ的平分线上， Ａ 求此时矩形水池
＾
（ 唐大昌） 责审
２ ∑Ｃ 对．
皿
们的眼前出现 了一幅 “ 截线不动” “ ，两直线逐 渐收缩” 的图景（ ３ ： 图 ）
｛ ‘
图３
图形 ， 这里既需要基本的组合思想（ ：４ ， ａ ）又
需要准确的“ 同旁内角” 概念 ， 否则， 容易出现
重复或遗 漏．
于是， 每一个“ 三线八角” 基本图形就对应
着截线上的两个点 ， 或说对应着截线上的一条
（ 上接第 １ ３页） 例 ４解 直线 ￡上有 个交点 （ 无三线
共点表 明每一 个 点都 不 是 重 点 ）对 应 以其 为 ，
如果出现“ 多线共点” 的情况， 处理方法相 同， 请参阅文［］不赘述． ４．
参考文献
１ 细数三线八角． 中学生数学，０ ４２ 下） ２０ ，（ ２ 杨 之 等． 几何 基本 图形及 其应 用． 数学教
２ 若平行直线 Ｅ ＭＮ 与相交直线 Ｆ、 Ａ Ｃ Ｂ、 Ｄ相交成如 图 １所示的图形， 则共得同
１９ 年 ， ９ ８ 笔者在文［ ］ ［ ］ ３ 、 ４ 中自觉找 自己
的解题愚蠢． 经过观察感到， 计数” 在“ 的问题 上， 三条线的地位是不平等的， 要害是截线 （ 确 定了同旁内角的顶点、 同时也确定了角）在我 ，
．
略证 由角平分线分线段成 比例定理可
ＣＥ ：ＥＤ — ＣＡ ：ＡＤ ， ＣＦ ：ＦＢ— ＣＡ ：ＡＢ．
由射影定理得 ＡＣ 一ＡＤ ・ ＡＢ即Ｃ ： Ａ ＡＢ— ＡＤ： ｌ． Ｃ 可得 Ｃ Ｃ Ａ Ｅ・ Ｆ＝Ｆ ・ Ｂ 由基本图 Ｄ Ｆ．
形得 Ｃ Ｅ—Ｃ ＝Ｆ 即 Ｆ Ｄ ・ Ｂ Ｆ Ｇ Ｇ ：Ｅ Ｆ ．
）＋１． 一 时， 。 ２当 Ｓ最大面积为 １ ， Ｆ ２即 在 Ｃ 中点时面积最大． Ｂ
Ａ 的半 圆 内划 出一块 三 Ｂ
角形区域 ， 三角形的一 使
边为 Ａ 顶点 Ｃ在半 圆 Ｂ，
上 ， ＝８ Ｂ ＡＣ ， Ｃ一６ 现 要 ．
图４
总之， 基本图形广泛存在． 如能注意归纳、
否最大？如果不是 ， 出最大面积． 求 并指 出此
时Ｆ点的位置． 略解 （） Ｃ作Ｃ １过 Ｐ上ＡＢ交ＮＦ于Ｎ．
Ｊ ５ 如图２在 Ｒ△Ａ Ｂ中， Ｃ 变题 ｛ ， ｔ Ｃ Ａ Ｂ
一９。Ｃ ０，Ｄ上ＡＢ， ＡＦ平分 Ｃ Ｂ交 Ｃ Ａ Ｂ于 Ｆ， 交 Ｃ 于Ｅ， Ｆ作 Ｆ Ｄ 过 Ｇ上Ａ 求证 ： Ｇ 一Ｅ Ｂ， Ｆ Ｄ
线段 ， 从而基本图形的个数可转化为截线上线
这道题 目出来后 ， 受到了中学数学界的重 视， 曾被看成是体现“ 基本 图形” 的范题 （ 见文
段的条数． 据此可以给出问题的一般性解法．
例１ 解 直线 Ａ 、 Ｄ上各有 ３ ＢＣ 个交点 ，
对应着以其为截线 的 ３个 “ 三线八 角” 基本图 形， 共得 ６ —１ （ 同旁内角． ＋６ ２对）
［］ ） ２等 ．不幸， 这道题 目的解法对“ 三线八角”
的认识是浅层 的， 局限 其 性 当直线不断增加时就立
即暴露 出来． 比如 ： 书ｌ 如 图 ２ Ｚ ｉ ｌ ３ ， 与
直线 Ｅ 、 上各有 ２ Ｆ ＭＮ 个交点， 对应着以
其为截线的 １ 三线八角” 个“ 基本图形 ， 共得 ２ ＋２ （ ） —４对 同旁内角． 总计 ６ ＋２ ＝１ （ ） ＋６ ＋２ ６对 同旁内角． 这里也分类求和 ， 但与“ 巧妙解法” 不同的
旁内角多少对？
（ ４ （ ８ （ １ （ １ Ａ） Ｂ） Ｃ） ２ Ｄ） ６
栏 目中所提供的“ 巧妙解法”与笔者当年 ， 所提供的解法只有书写上的区别， 就是：
（） １ 从复合 的图形 中分离 出基本 图形来 （ ８个“ 三线八角” 基本 图形 ）这需要识别基本 ， 图形的能力． （） 类计数． ２分 分别取 出 ＭＮ、 Ｆ Ｃ Ｅ 、 Ｄ、 ＡＢ， 使剩下的三条线段构成“ 三线八角” 基本
Ⅳ 日
有多少对同旁内角？ 这道 题 目与笔者 提供
的 １９ 年全 国初中联赛题 ９４ 只有题型上的区别：
图１
面对这样的题目， 笔者反思当初对图形的 直观依赖太重 了， 以至于例 ３ 显得难办 ， ４ 例 简直就无法办． 这促使笔者思考“ 三线八角” 基
本图形的深层结构．
师 ，９ ７６ １ ９ 。
截线的
厶
个“ 三线八角’ ’ 基本图形 ， 每一
个基本图形有 ２对同旁 内角 ， 共得 ｎ（ ） ｎ一１ 对同旁内角． 令 ｉ ，， ｋ并相加， 一１２ …， 得同旁内角共
ｌ
３ 罗增儒． 解题分析—— 解题教 学还 缺 少什 么
（１ ） （２ ） —１ ＋ ２ ～１ ＋…＋ （＾ ） ， ＾ 一１ 对
・
因为 Ｃ Ａ Ｂ一９。由寺Ｃ Ａ ０， Ｐ・ Ｂ一寺Ａ Ｃ・
Ｃ 得Ｃ Ｂ， Ｐ一４ ８ 由 ＡＦ为 Ｃ Ｂ平分线 ， ．。 Ａ 所
ＦＢ．
以 Ｃ ＝Ｆ ． Ｃ Ｆ Ｅ 设 Ｆ—Ｅ — ． ＮＦ ／ Ｂ得 Ｆ 由 ／Ａ
Ｃ ： Ｂ—Ｃ ： Ｐ， Ｆ Ｃ Ｍ Ｃ 即得 ： 一（ ． ～ ６ ４ ８ ）： ４ ８ 所 以 一 ８ 因此 求 得 ＮＦ一 百 ．． ４ 则 ０
，
３０ ２
矩形 Ｄ ＦＮ 一 — Ｅ ・
四、 适当变换条件 、 结论。 系实际。 联 改为 探究性题型 。 提高学生的探究能力
圃
在 径 直 为
Ａ Ｄ Ｐ Ｂ Ｅ
（设Ｄ Ｉ ＝ ２ Ｎ ＮＮ 蔷 一 ） ＮＦ １ ｓ Ｎ・Ｆ一 （ ０ ， Ｄ Ｎ＝ 篱 一 一 一
Ｃ ＝Ｆ 从而 Ｃ ＝Ｆ 由角角边公理 ， Ｆ Ｍ． Ｅ Ｍ． 易得 △Ｃ Ｃ △Ｆ ． Ｅ［ ＝ ￣ － ＭＢ 可得 Ｃ Ｇ＝Ｆ ＝５则 Ｆ Ｂ ， Ｇ＝３ ．
（）问 ：１ ２ （）中的矩形水池 ＤＥ Ｎ面积是 Ｆ
三、 注重知识之间的联 系和贯穿。 变等式
为Ｅ式。 匕 提高综合分析能力