【重点推荐】新高中数学 第三章3.3.2 第2课时 线性规划的实际应用学案 新人教A版必修5练习试卷

3.3.2 简单线性规划问题（第2课时）一、教学目标1．知识目标：1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力；3、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。

2．能力目标: 1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；2、理解线性规划问题的图解法；3、会利用图解法求线性目标函数的最优解；4、让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数学的快乐。

3．情感目标： 1、培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；2、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。

二、教学重点与难点:重点：1、画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优；2、解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。

难点：1、建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2、在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。

三、教学模式与教法、学法教学模式：采用探究教学法，通过“猜想，验证，证明”来探究二元一次不等式（组）表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。

使用多媒体辅助教学。

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．学法设计：引导学生通过主动参与、合作探讨学习知。

四、教学过程：数学教学是数学活动的教学。

因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：1、创设情境，提出问题；2、分析问题，解决问题，3、复习概念，回顾方法；4、实际应用，强化思想；5、自主思考，归纳总结；6、布置作业，巩固提高.五、教学过程设计比较分析，深化认识播放片甲播放片乙节目要求片集时间（min）3.5 1≤16广告时间（min）0.5 1≥3.5收视观众（万）60 20先请学生回答提出的问题，然后总结再根据所求设出未知参数，得到目标函数。

3．3.2 简单的线性规划问题(二)课时目标1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．一、选择题1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋a 2y ≥c 1，b 1x ＋b 2y ≥c 2，x ≥0，y ≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1，b 1x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ＝c 1，b 1x ＋b 2y ＝c 2，x ≥0，y ≥0答案 C解析 比较选项可知C 正确．2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()A.14B.35 C ．4 D.53答案 B解析 由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a ＝35.3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元 答案 B解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值． ∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案B解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y . 画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值．5．如图所示，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OABC ，点B (3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 D.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－43 答案 C解析 y ＝kx －z .若k >0，则目标函数的最优解是点A (4,0)或点C (0，4)，不符合题意． ∴k <0，∵点(3,2)是目标函数的最优解．∴k AB ≤k ≤k BC ，即－2≤k ≤－23.二、填空题6．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元． 7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．答案 90解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x ，y ∈N *，计算区域内与点⎝⎛⎭⎪⎫112，92最近的整点为(5,4)，当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．答案 20 24 解析设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元， 依题意约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15，目标函数为S ＝7x ＋12y .从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝0，3x ＋10y －300＝0，得A (20,24)，故当x ＝20，y ＝24时， S max ＝7×20＋12×24＝428(万元)． 三、解答题9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．10．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 解(1)则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤902x ≤600z ＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300⇒x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤901·y ≤600z ＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600⇒y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600解得点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)． 因此，生产书桌100张、书橱400个， 可使所得利润最大． 能力提升11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1 答案 A解析 当a ＝0时，z ＝x .仅在直线x ＝z 过点A (1,1)时， z 有最小值1，与题意不符．当a >0时，y ＝－1a x ＋za.斜率k ＝－1a<0，仅在直线z ＝x ＋ay 过点A (1,1)时，直线在y 轴的截距最小，此时z 也最小，与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾．当a <0时，y ＝－1a x ＋z a ，斜率k ＝－1a>0，为使目标函数z 取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－1a ＝k AC .即－1a ＝13，∴a＝－3.12．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别至少为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15x ＋2y ≥18x ＋3y ≥27x ≥0，y ≥0.作出可行域(如图)：(阴影部分) 目标函数为z ＝x ＋y .作出一组平行直线x ＋y ＝t ，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x ＋3y ＝27和直线2x ＋y ＝15的交点A⎝ ⎛⎭⎪⎫185，395，直线方程为x ＋y ＝575.由于185和395都不是整数，而最优解(x ，y )中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点⎝ ⎛⎭⎪⎫185，395不是最优解． 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，经过的整点是B (3,9)和C (4,8)，它们都是最优解．答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．。

湖南省蓝山二中高一数学人教A版必修5：3.3.2《简单的线性规划问题》（2）教案一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第三章不等式第三节简单的线性规划问题第二课时。

简单的线性规划问题是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面,简单的线性规划问题与直线方程密不可分；另一方面,学习简单的线性规划问题也为进一步学习解析几何等内容做好准备。

二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下一个地方产生错误：1. 线性约束条件的最优整数解的问题三、教学目标(1)知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题(2)过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解(3)情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力四、教学重点与难点重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相应给出正确的解答难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解五、教学过程(一).复习引入问题1: 什么是线性规划问题？在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题．问题2:线性规划问题由几部分组成?线性规划问题的模型由目标函数和可行域组成，其中可行域是可行解的集合，可行解是满足约束条件的解．使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．(二).例题讲解（1）效益最佳问题例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?探究:（1）如果设食用A食物xkg、食用B食物ykg，则目标函数是什么？（2）总成本z随A、B食物的含量变化而变化，是否任意变化，受什么因素制约？列出约束条件（3）能画出它的可行性区域吗？（4）能求出它的最优解吗？（5）你能总结出解线性规划应用题的一般步骤吗？ 例题总结解线性规划应用题的一般步骤： （1）设出所求的未知数； （2）列出约束条件； （3）建立目标函数； （4）作出可行域；（5）运用平移法求出最优解。

第2课时简单线性规划的应用学习目标1.能从实际问题中抽象出线性规划问题,并加以解决.(数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算)2.会求解线性规划的最优整数解问题.(数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算).关键能力·合作学习类型一线性规划的实际应用问题(数学抽象、数学建模、数学运算)【典例】某家具厂有木料90 m3,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要木料0.1 m3,五合板2 m2,生产每个书橱需要木料0.2 m3,五合板1 m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.怎样安排生产可使所获利润最大.【思路导引】可先设出变量,写出目标函数和约束条件,转化为线性规划问题来求解.【解析】设生产书桌x张,生产书橱y个,利润为z元,则目标函数为z=80x+120y,根据题意知, 约束条件为即画出可行域为如图所示对应的整数点,作直线l:80x+120y=0,并平移直线l,由图可知,当直线l过点C时,z取得最大值,解得C(100,400),所以z max=80×100+120×400=56 000,即生产100张书桌,400个书橱,可获得最大利润.(变结论)例题中的条件不变,如果只安排生产书桌可获利润多少?如果只安排生产书橱呢? 【解析】(1)若只生产书桌,则y=0,此时目标函数z=80x,由例题解析图可知z max=80×300=24 000,即只生产书桌,可获利润24 000元.(2)若只生产书橱,则x=0,此时目标函数z=120y,由例题解析图可知z max=120×450=54 000,即只生产书橱,可获利润54 000元.线性规划的实际问题的数学模型(1)列表定条件:需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件.(2)定目标函数:写出所研究的目标函数.(3)数形结合求最值:解线性规划应用题时,先转化为简单的线性规划问题,再按作图、平移、求值的步骤完成即可.【补偿训练】某公司生产A,B两种产品,其中生产每吨A产品,需要甲染料1吨,乙染料4吨,丙染料2吨,生产每吨B产品,需要甲染料1吨,乙染料0吨,丙染料5吨,且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨,如果A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为200元/吨,设公司计划一天内安排生产A产品x吨,B产品y吨.(1)用x,y列出满足条件的数学关系式,并在如图所示的坐标系中画出相应的平面区域;(2)该公司每天需生产A,B产品各多少吨可获得最大利润,最大利润是多少?【解析】(1)由题意可得,可行域如图所示.(2)设利润z=300x+200y,由可得x=40,y=10,结合图形可得x=40,y=10时,z max=14 000.答:该公司每天需生产A,B产品分别为40吨,10吨可获得最大利润,最大利润为14 000元. 【拓展延伸】解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的变量比较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来理顺.(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解——利用线性规划求解.(4)作答——就应用题提出的问题作出回答.【拓展训练】某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个.现有两种规格的原料,甲种规格每张3 m2,可做文字标牌1个,绘画标牌2个;乙种规格每张2 m2,可做文字标牌2个,绘画标牌1个,求这两种规格的原料各用多少张,才能使得总用料面积最小.【解题指南】可先设出变量,写出目标函数和约束条件,转化为线性规划问题来求解.【解析】设需要甲种原料x张,乙种原料y张,则可做文字标牌(x+2y)个,绘画标牌(2x+y)个,由题意可得所用原料的总面积为z=3x+2y,可行域为如图阴影部分对应的整数点.在一组平行直线z=3x+2y中,经过可行域内的点且在y轴上截距最小的直线过直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点(2,1),所以最优解为x=2,y=1.所以使用甲种规格原料2张,乙种规格原料1张,可使总的用料面积最小.类型二线性规划中的最优整数解问题(逻辑推理、数学运算)【典例】某校今年计划招聘女教师x人,男教师y人,若x,y满足(1)在如图所示的坐标系中作出可行域;(2)求该学校今年计划招聘的教师人数最多多少人?最少多少人?四步内容条件:已知线性约束条件,理解题意结论:(1)作出可行域;(2)计划招聘的教师人数最多多少人?最少多少人?思路探求作出可行域,求出可行域内满足条件的整点.(1)作出不等式组对应的平面区域为如图阴影部分对应的整数点:书写表达(注:图中直线2x-y=5和x=6为虚线)(2)设z=x+y,则y=-x+z,平移直线y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大.但此时z最大值取不到,由图象可知当直线经过整点E(5,4)时,z=x+y取得最大值,经过点F(4,2)时,z=x+y取得最小值.代入目标函数z=x+y,得z max=5+4=9,z min=4+2=6.故该学校今年计划招聘的教师人数最多9人,最少6人.当边界的交点不是可行域内的点时,需要另外求区域内的整数解,一题后反思般在交点的附近.寻找整点最优解的三种方法(1)平移找解法:先打网格,描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点便是最优整点解,这种方法应充分利用整点最优解的信息,结合精确的作图才行,当可行域是有限区域且整点个数又较少时,可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解.(2)小范围搜寻法:将求出的非整点最优解附近的整点都求出来,代入目标函数,直接求出目标函数的最大(小)值.(3)调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再调整最优值,最后筛选出整点最优解.某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车,4辆载重量为10吨的B型卡车,有9名驾驶员.在建筑某段高速公路的工程中,此公司承包了每天运送360吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返次数为:A型车8次,B型车6次,每辆卡车每天往返的成本费为:A型车160元,B型车280元.每天派出A型车与B型车各多少辆时,公司花的成本费最低?【解析】设公司每天所花成本费为z元,每天派出A型车x辆,B型车y辆,则z=160x+280y,x,y满足的约束条件为作出不等式组的可行域为如图阴影部分对应的整数点.作直线l:160x+280y=0,即l:4x+7y=0.将l向右上方移至l1位置时,直线l1经过可行域上的M点,由图可知此时z取得最小值.由方程组解得但y=0.4不是整数,故取x=7,y=1,此时z取得最小值.所以,当每天派出A型车7辆、B型车1辆时,公司所花费用最低.【拓展延伸】在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等),而直接根据约束条件得到的不一定是整数解,可以运用枚举法验证求最优整数解,或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个,应具体情况具体分析.调整优值法时,先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程知识调整最优值,最后筛选出最优解.【拓展训练】某人有楼房一幢,室内面积共180 m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间18 m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房间每间15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每间需1 000元,装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修,且游客能住满客房,则他应隔出大房间和小房间各多少间,才能获得最大收益?【解析】设隔出大房间x间,小房间y间,获得收益为z元,则即则目标函数为z=200x+150y=50(4x+3y),作出不等式组表示的平面区域,即可行域,如图中阴影部分内的整点.作直线l:4x+3y=0,当直线l经过平移过点A时,4x+3y取得最大值,由于A点的坐标不是整数,而x,y∈N,所以点A不是最优解.调整最优解: 由x,y∈N,知4x+3y≤37.令4x+3y=37,即y=,代入约束条件①②,解得≤x≤3.由于x∈N,得x=3,但此时y=∉N.再次调整最优解:令4x+3y=36.即y=,代入约束条件①②,解得0≤x≤4(x∈N).当x=0时,y=12;当x=1时,y=10;当x=2时,y=9;当x=3时,y=8;当x=4时,y=6.所以最优解为(0,12)和(3,8),这时z max=1 800.答:应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间,可以获得最大收益. 【补偿训练】两类药片有效成分如表:成分药品阿司匹林/mg小苏打/mg可卡因/mg每片价格/元A(1片) 2 5 1 0.1B(1片) 1 7 6 0.2若要求至少提供12 mg阿司匹林,70 mg小苏打,28 mg可卡因,两类药的最小总数是多少?怎样搭配价格最低?【解析】设需用A和B两种药品分别为x片和y片,药品总数为z片,价格为L元.由题意,得约束条件线性目标函数为:药品总数z=x+y.价格L=0.1x+0.2y.由不等式组作可行域如图,取阴影部分的整点,作直线l0:x+y=0,平移直线l0到l位置,l经过点A时z有最小值.由解得点A坐标为.而点A不是整数点,故不能作为最优解.此时,过点A的直线为l A:x+y=,可行域内与直线l A距离最近的整点有(1,10),(2,9),(3,8),使z min=11,即药品总数为11片,而相应价格为L1=0.1×1+0.2×10=2.1,L2=0.1×2+0.2×9=2.0, L3=0.1×3+0.2×8=1.9,其中的L3最小,所以L min=1.9(元),所以药品最小总数为11片,其中3片A种药、8片B种药搭配的价格最低. 类型三线性规划的综合应用(数学抽象、逻辑推理、数学建模)角度1 与向量相关的问题【典例】已知向量a=(1,3),b=(x,y),且变量x,y满足则z=a·b的最大值为.【思路导引】利用向量运算确定目标函数后求最值.【解析】由变量x,y满足作出可行域如图,联立解得A,因为向量a=(1,3),b=(x,y),所以z=a·b=x+3y,化为y=-x+,由图可知,当直线y=-x+过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为6.答案:6本例中若a=(2,1),试求z=a·b的最小值.【解析】z=a·b=2x+y,即y=-2x+z,则当直线l:y=-2x+z平移到点(0,0)时,z取得最小值z min=2×0+0=0.角度2 与方程的根有关的问题【典例】一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则a+2b-3的值域为.【思路导引】根据一元二次方程根的分布,利用对应的函数在区间端点处取值正负确定限制条件,再利用线性规划求值域.【解析】根据题意,令f(x)=x2+ax+b,由方程x2+ax+b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则有画出对应的可行域,如图所示,△ABC的区域(不含边界).其中,A(-1,0)、B(-2,0)、C(-3,2),令z=a+2b-3,当a=-2,b=0时,z=(-2)-3=-5,取得最小值,当a=-3,b=2时,z=(-3)+2×2-3=-2,取得最大值;故a+2b-3的值域为(-5,-2).答案:(-5,-2)已知一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在[-2,-1]内,另一个根在[1,2]内,求a+b的取值范围. 【解析】设f(x)=x2+ax+b,因为一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在[-2,-1]内,另一个根在[1,2]内,所以即作出不等式组对应的平面区域如图:则以a,b为坐标轴的点(a,b)的存在区域为四边形ABCD及其内部,设z=a+b,即b=-a+z,平移直线b=-a+z,由图象知当直线b=-a+z经过点B(0,-4)时,直线b=-a+z的截距最小,此时z最小,z=0-4=-4,当直线b=-a+z与直线CD:a+b+1=0重合时,直线b=-a+z的截距最大,此时z=-1,即-4≤z≤-1,即a+b的取值范围是[-4,-1].1.与向量有关的问题向量一般作为工具,利用向量的运算可得目标函数或限制条件,再利用线性规划知识解题. 2.与方程的根有关的问题若已知一元二次方程根的分布,可利用对应的二次函数求约束条件,方程的根即函数的零点,根据零点的位置,转化为区间端点处函数的正负,即为约束条件.1.设x,y满足约束条件向量a=(2x,1),b=(1,m-y),则满足a⊥b的实数m的最小值为( )A. B.- C. D.-【解析】选B.由向量a=(2x,1),b=(1,m-y),a⊥b,得m=y-2x,根据约束条件画出可行域,因为m=y-2x,所以y=2x+m,将m的最小值转化为直线y=2x+m在y轴上的截距,当直线y=2x+m经过点A时,m最小,由解得A,所以满足a⊥b的实数m的最小值为:-2×+=-.2.已知α,β是方程x2+ax+2b=0的两根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a,b∈R,求的最大值和最小值.【解析】因为所以因为0≤α≤1,1≤β≤2,所以1≤α+β≤3,0≤αβ≤2,所以建立平面直角坐标系aOb,则上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.令k=,可以看成动点P(a,b)与定点A(1,3)的连线的斜率.因为k AB=,k AC=,所以≤≤.故的最大值是,最小值是.课堂检测·素养达标学1.(教材二次开发:例题改编)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( )A.31 200元B.36 000元C.36 800元D.38 400元【解析】选C.设租用A型车x辆,B型车y辆,目标函数为z=1 600x+2 400y,则约束条件为作出可行域,如图中阴影部分所示,可知目标函数过点(5,12)时,有最小值z min=36 800(元).2.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表:a b/万吨c/百万元A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为百万元.【解析】设购买A,B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨,购买铁矿石的费用为z百万元,则z=3x+6y.由题意,约束条件为作出可行域,如图所示,由图可知,目标函数z=3x+6y在点A(1,2)处取得最小值z min=3×1+6×2=15.答案:153.已知点A(3,-1),点P(x,y)满足线性约束条件O为坐标原点,则在方向上的投影的取值范围为.【解析】因为A(3,-1),P(x,y),所以在方向上的投影为||cos<,>==(3x-y).由约束条件作出可行域如图,令z=3x-y,平移直线y=3x过C(0,5)时,z有最小值为-5,平移直线y=3x过B(2,1)时,z有最大值为5,所以在方向上的投影的取值范围为.答案:4.某加工厂准备生产甲、乙两种产品,已知生产一件甲产品需用原料A和原料B的量分别为4 kg 和3 kg,生产一件乙产品需用原料A和原料B的量分别为5 kg和10 kg.若生产一件甲产品可获利700元,生产一件乙产品可获利1 200元.该厂月初一次性购进原料A,B的量分别为200 kg 和300 kg.问该厂生产甲、乙两种产品各多少件才能使该厂月利润最大,最大利润为多少?【解析】设甲、乙两种产品分别生产x,y件,工厂获得的利润为z元,由已知条件可得二元一次不等式组:目标函数为z=700x+1 200y,作出可行域如图,由可得A(20,24),利用线性规划可得x=20,y=24时,该厂的月利润最大为z=700×20+1 200×24=42 800(元),该厂生产甲、乙两种产品分别为20件,24件才能使该厂月利润最大,最大利润为42 800元.【新情境·新思维】若实数x,y满足约束条件则z=l n y-ln x的最大值是.【解析】由实数x,y满足约束条件作出可行域如图,联立,解得A(1,3),由z=ln y-ln x=ln,而的最大值为k OA=3, 所以z=ln y-ln x的最大值是ln 3.答案:ln 3。

3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝－1，x－y＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝4，x－y＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝1.∴2×3－3×1<z＝2x－3y<2×1－3×(－2)，即3<z<8，故z＝2x－3y的取值范围是(3,8)．8．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0，则yx的最大值为________．答案 2解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0对应的平面区域Ω，yx＝y－0x－0表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y≥12x＋y≤103x＋y≥12下，求z＝2x－y的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －1≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方，即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32， |OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －－x －－， 所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。

第2课时简单的线性规划的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；(2)会用画网格的方法求解整数线性规划问题；(3)能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；(4)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．2.过程与方法(1)引导学生学会如何使用网格法；(2)通过讲解实例，让学生感受线性规划中的建模问题，培养学生应用数学的能力．3．情感、态度与价值观(1)培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的能力；(2)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新．●重点、难点重点：将实际问题转化为线性规划问题，并通过最优解的判断予以解决．难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、数学问题几何化．(教师用书独具)●教学建议1．为了激发学生学习的主体意识，应面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，建议采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．2．学生在建立数学模型时，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组．可采用分组讨论、各组竞争、自主总结、部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!错误!(对应学生用书第59页)课标解读1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(重点)2.培养应用线性规划的知识，解决实际问题的能力．(难点)实际应用问题的最优解对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．用线性规划解决实际问题的一般步骤整数线性规划要求变量取整数的线性规划称为整数线性规划.(对应学生用书第59页)收益最大问题某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需消耗一级子棉2吨、二级子棉1吨，生产乙种棉纱需消耗一级子棉1吨，二级子棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能使利润总额最大？【思路探究】 由已知数据可列表如下：产品消耗量 资源甲种棉纱(1吨)乙种棉纱(1吨)资源限额(吨)一级子棉(吨) 2 1 300 二级子棉(吨) 1 2 250 利润(元)600900【自主解答】 设生产甲、乙两种棉纱分别为x 吨、y 吨， 那么利润总额z ＝600x ＋900y 元， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤300，x ＋2y ≤250，x ≥0，y ≥0.作出其可行域如图所示．把z ＝600x ＋900y 变形为平行直线系l ：y ＝－23x ＋z900.由图可知当直线l 经过可行域上的点M 时，截距z900最大，即z取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝300，x ＋2y ＝250，得交点M (3503，2003)．所以应生产甲种棉纱3503吨，乙种棉纱2003吨．1．利用线性规划求最大值，主要是收益最大、效率最高、利润最大等问题，要将求最值的变量设为z ，将z 表示成其它变量的函数，求其最大值．2．对于线性规划问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据间的关系，不妨用列表法．某公司计划在今年内同时出售某种多功能电子琴和一种智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金(102元)月资金供应量(102元)电子琴 洗衣机成本 30 20 300 劳动力(工资) 5 10 110 单位利润68【解】 设月供应电子琴x 架、洗衣机y 台，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为z ＝6x ＋8y ，不等式组表示的平面区域如图所示．作直线l ：6x ＋8y ＝0，即作直线l ：3x ＋4y ＝0.把直线l 向右上方平移，当直线l 经过可行域中的点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ＝300，5x ＋10y ＝110，得点M 的坐标为(4,9)，将M (4,9)代入z ＝6x ＋8y ，得z ＝6×4＋8×9＝96.所以当月供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，才能使总利润最大，最大总利润为9600元.耗费最小问题营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，且食物A 的价格为28元/kg ；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，且食物B 的价格为21元/kg.为了满足营养专家指出的日常饮食要求．同时使花费最低，需要同时食用多少食物A 和食物B?【思路探究】 将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B0.1050.140.07【自主解答】 设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，①目标函数为z ＝28x ＋21y . 二元一次不等式组①等价于⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②所表示的平面区域(如图所示)，即为可行域．考虑z ＝28x ＋21y ，将它变形为y ＝－43x ＋z 21，这是斜率为－43且随z 变化的一族平行直线，z 21是直线在y 轴上的截距，当z21取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即求在满足约束条件时目标函数z ＝28x ＋21y 的最小值．由图可知当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距z21最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋7y ＝6，7x ＋7y ＝5，得M (17，47)．所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用17kg 食物A 和47kg 食物B .1．利用线性规划求最小值，可以用来解决许多实际问题，诸如省钱，省工，省材料等问题．2．利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设出未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？【解】 设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图．把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省.简单的整数线性规划问题要将两种大小不同的钢板截成A ，B ，C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格第一种钢板 2 11 第二种钢板123今需要A ，B 需的三种规格的成品，且使所用钢板的张数最少？【思路探究】 设截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．【自主解答】 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，共使用钢板z 张，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15x ＋2y ≥18，x ＋3y ≥27，x ≥0，y ≥0，且x ，y 都是整数，求使目标函数z ＝x ＋y 取最小值时的x ，y . 作可行域如图所示，平移直线z ＝x ＋y ， 可知直线经过点(185，395)时z 取最小值，此时x ＋y ＝575，但185与395都不是整数，所以可行域内的点(185，395)不是最优解．因为非整点最优解为(185，395)，z ＝575，所以z ≥12.令x ＋y ＝12，则y ＝12－x ，代入约束条件整理得3≤x ≤92，所以x ＝3或x ＝4，这时最优整点为(3,9)和(4,8)．故有以下两种截法：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张； 第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张． 最少要截两种钢板共12张．1．当变量为车辆、产品个数、钢板块数等数量时，应为整数，利用线性规划求最值，最优解也应为整数．2．若按常规方法求出的不是整数解，可按以下方法调整：(1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l 0，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解．(2)调整优值法：先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．预计用2 000元购买单价为50元的桌子和单价为20元的椅子，希望使桌子、椅子的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，则买桌子、椅子各多少才行？【解】 设买桌子x 张、买椅子y 把．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝x ＋y ，满足以上不等式组的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2000，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，∴点B 的坐标为(25，752)．作直线l ：x ＋y ＝0，将直线向右上方平移， 当直线l 经过可行域中的点B 时，z 取得最大值． ∵x ，y ∈N ，∴y ＝37.∴应买桌子25张、椅子37把.(对应学生用书第61页)可行域内整点寻找错误有一批钢管，长度都是4000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于13，要使钢管截得的毛坯最多，怎样截最合理？【错解】 设每根钢管截500 mm 的毛坯x 根，600 mm 的毛坯y 根， 则x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，x y ＞13，x＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤40，y ＜3x ，x ＞0，y ＞0，其中x ，y 均为正整数． 作出可行域，如图所示．目标函数为z ＝x ＋y .作一族平行线y ＝－x ＋z ，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线为过A 点的直线，求出A 点的坐标．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，5x ＋6y ＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11723，y ＝5523.所以A (11723，5523)由于x ，y 均为正整数，故调整为x ＝2，y ＝5. 所以x ＋y ＝7.经检验，满足条件，所以每根钢管截500 mm 的毛坯两根，600 mm 的毛坯五根最合理． 【错因分析】 本题错误的原因是：①没能准确作出一族平行直线y ＝－x ＋z ；②可行域内的整点寻找不准确．【防范措施】 准确作图，充分考虑实际问题的特殊性．当图上的整点不好分辨时，应将几个有可能符合题意的整点的坐标都求出来然后逐一检验，而不能采取“四舍五入”的办法．【正解】 设每根钢管截500 mm 的毛坯x 根，600 mm 的毛坯y 根．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，x y ＞13，x ＞0，y ＞0，且x ，y 均为正整数．作出可行域，如图3－3－62所示．目标函数为z ＝x ＋y ，作一族平行直线y ＝－x ＋z ，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线必为过点B (8,0)的直线，这时x ＋y ＝8.因为x ，y 均为正整数，所以(8,0)不是最优解．在可行域内找整点，使x ＋y ＝7.经验证，可知点(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)均为最优解．答：每根钢管截500 mm 的毛坯两根，600 mm 的毛坯五根，或截500 mm 的毛坯三根，600 mm 的毛坯四根，或截500 mm 的毛坯四根，600 mm 的毛坯三根，或截500 mm 的毛坯五根，600 mm 的毛坯两根，或截500 mm 的毛坯六根，600 mm 的毛坯一根最合理．1．基础知识：(1)实际应用问题的最优解； (2)整数线性规划；(2)用线性规划解决实际问题的一般步骤． 2．基本技能： (1)收益最大问题； (2)耗费最小问题；(3)简单的整数线性规划问题． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)转化与化归思想； (3)函数思想.(对应学生用书第62页)1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为________．【解析】 设6吨的有x 辆，4吨的有y 辆，运送货物吨数为z ，则z ＝6x ＋4y . 【答案】 z ＝6x ＋4y2．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1 kg ，b 1 kg ，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2 kg ，b 2 kg ，甲、乙产品每千克可获得的利润分别为d 1元，d 2元，月初一次性购进原料A ，B 各c 1 kg ，c 2 kg ，本月要生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x kg ，y kg ，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为________．【解析】 对原料A 的限制：a 1x ＋a 2y ≤c 1，对原料B 的限制：b 1x ＋b 2y ≤c 2，另外甲、乙两种产品产量x ≥0，y ≥0.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c1b 1x ＋b 2y ≤c2x ≥0y ≥03．某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，已知生产每万件甲种配件要用A 原料3吨，B 原料2吨，生产每万件乙种配件要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每件甲种配件可获得利润5元，每件乙种配件可获得利润3元．已知该企业在一年内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业在一年内可获得的最大利润是________．【解析】 设生产甲种配件x 万件，生产乙种配件y 万件，利润为z 万元．则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，目标函数为z ＝5x ＋3y .作出可行域如图所示，则可知A(133，0)，B (0,6)，C (3,4)．由图形可知，目标函数在点C (3,4)处取得最大值，最大值为5×3＋3×4＝27.【答案】 27万4．甲、乙两个居民小区的居委会组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加．已知甲区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，乙区的每位同学在返车费是5元，每人可为3位老人服务，如果要求乙区参与活动的同学比甲区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元，怎样安排甲、乙两区参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？【解】 设甲、乙两区参与活动的人数分别为x ，y ，受到服务的老人的人数为z ，则z ＝5x ＋3y ，应满足的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥1，3x ＋5y ≤37，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N .根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域中的整点，如图所示阴影部分中的点所示．画直线l 0：5x ＋3y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内的点M ，该点到直线l 0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取得最大值，解方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，3x ＋5y ＝37，得点M (4,5)．因此当x ＝4，y ＝5时，z 取得最大值，并且z max ＝5×4＋3×5＝35.答：甲、乙两区参与活动的同学人数分别为4人和5人时，受到服务的老人最多，受到服务的老人最多是35人.(对应学生用书第98页)一、填空题1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1，求各自最多组成的工作小组数．要建立的数学模型中，约束条件为________．【解析】 设组成甲种组x 组，乙种组y 组，则对男工人数的限制为5x ＋4y ≤25，对女工人数的限制为3x ＋5y ≤20，组数限制x ≥y ≥1，故约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，1≤y ≤x ..【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，1≤y ≤x .2．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买两套，共有________种买法．【解析】 设票面8角的买x 套，票面2元的买y 套．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N *，y ≥2，y ∈N *，0.8×5x ＋2×4y ≤50，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，2x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *.画出如右图平面区域得y ＝2时，x ＝2,3,4,5,6,7,8； y ＝3时，x ＝2,3,4,5,6； y ＝4时，x ＝2,3,4； y ＝5时，x ＝2.共有7＋5＋3＋1＝16. 【答案】 163．实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费________．【解析】 设购买每袋35千克的x 袋，购买每袋24千克的y 袋，则⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x ≥0，y ≥0.求z ＝140x ＋120y 的最小值，作出可行域知，当x ＝1，y ＝3时费用最少．此时要花费：z ＝140×1＋120×3＝500元．【答案】 500元4．一批长400 cm 的条形钢材，需要将其截成518 mm 与698 mm 的两种毛坯，则钢材的最大利用率为________．【解析】 设518 mm 和698 mm 的毛坯个数分别为x ，y ，最大利用率为z ，则z ＝51.8x ＋69.8y400。

3.3.2从容说课本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.课时安排3课时三维目标一1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新. 教学过程 第1 导入新课师 前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C ＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.推进新课师 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如，某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x 、y生 由已知条件可得二元一次不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x师生师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义. 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z 生 则z=2x+3y.师 这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是师 把z=2x+3y 变形为z x y 3132+-=,这是斜率为32-，在y 轴上的截距为31z 的直线.当z变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生 当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线z x y 3132+-=，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线z x y 3132+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3z最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线z x y 3132+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3z最大.由图可以看出，当直线z x y 3132+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3z 最大，最大值为314.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l 0:2x+y=0.然后，作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.(1)从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l 0：2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l:2x+y=t,t ∈R. 可知，当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x,y)满足2x+y ＞0,即t ＞0. 而且，直线l 往右平移时，t 随之增大（引导学生一起观察此规律）.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点B （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以t m a x =2×5+2=12,t min =2×1+3=3.(2)(3)师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 课堂小结1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设t=0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. 布置作业1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月分析： 甲原料（吨） 乙原料（吨） 费用限额成本 1 000 1 500 6 000 运费500 400 2 000 产品90100解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、y 吨，生产z⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥,2000400500,600015001000,0,0y x y x y x z=90x+100y.由⎩⎨⎧=+=+.2045,1232y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.720,712y x 令90x+100y=t ，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t ，当90x+100y=t过点M （712,720）时，直线90x+100y=t 中的截距最大. 由此得出t 的值也最大，z m a x =90×712+100×720=440.答：工厂每月生产440千克产品.2.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B型桌子各多少张，才能获得利润最解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,93,82y x y x y x 目标函数为z=2x+3y.把直线l ：2x+3y=0向右上方平移至l ′的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=2x+3y 取得最大值.解方程⎩⎨⎧=+=+,93,82y x y x 得M 的坐标为（2，3）.答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润.3.课本106页习题3.3A 组 2. 第2导入新课师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）; （2）设t=0，画出直线l 0;(3)观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解; (4)最后求得目标函数的最大值及最小值. 推进新课师 【例1】 已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,2502,3002y x y x y x 试求z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标及相应的z 的最大值.师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y 取最大值时的整点. 解：如图所示平面区域A O BC ，点A （0，125），点B （150，0），点C 的坐标由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,3200,3350y x 得C （3350,3200令t=300x+900y即,90031tx y +-=, 欲求z=300x+900y 的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，从而可求t 的最大值，因直线90031t x y +-=与直线x y 31-=平行，故作x y 31-=的平行线，当过点A （0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，z m a x =300×0+900×125=112500.师 【例2】 求z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件3x+y ≤300，x+2y ≤250， x ≥0,y ≥0的整数值.师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解. 解：可行域如图所示.四边形A O BC ，易求点A （0，126），B （100，0）,⇒⎩⎨⎧=+=+25223003y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.5191,5369y x 得点C 的坐标为（5369,5191).因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y ，可知当x=70,y=90时，z 取最大值为z m a x =600×70+300×900=69 000.师 【例3】 已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,12,22y x y x y x 求z=3x+y 的最小值.师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l 0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.解：不等式x+2y ≥2表示直线x+2y=2 不等式2x+y ≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合. 可行域如右图所示.作直线l 0:3x+y=0，作一组与直线l 0平行的直线l:3x+y=t(t ∈R). ∵x 、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.当直线l:3x+y=t 通过P （0，1）时，t 取到最小值1，即z min =1.师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什 （1 （2 （3）在可行域内求目标函数的最优解.师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x师 （1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解： 当x=0,y=0时，z=2x+y=0点（0，0）在直线l 0:2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线l:2x+y=t,t ∈R.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大. 所以z m a x =2×2-1=3.（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（89,817）的直线所对应的t 最大. 所以z min =3×(-2)+５×(-1)=-11,z m a x =3×89+5×817=14.某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t师 消耗量 产品 资源甲产品（1 t ） 乙产品(1 t) 资源限额（t ） A 种矿石（t ） 10 4 300 B 种矿石(t)5 4 200 煤(t) 利润（元） 4 9 3606001 000解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x目标函数为z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域. 作直线l:600x+1 000y=0, 即直线:3x+5y=0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值. 解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x得M 的坐标为x=29360≈12.4,y=291000≈34.4. 答：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.课堂小结（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.（2）设t=0，画出直线l 0.（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解. （4）最后求得目标函数的最大值及最小值.（1 （2 （3）在可行域内求目标函数的最优解.布置作业课本第105页习题3.3A 组3、4. 第3 导入新课师 前面我们已经学习了用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题.师 【例5】 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 28元；而1kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 师 分析：将已知数据列成下表： 食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B0.1050.140.07 若设每天食用x kg 食物A ，y kg B ，总成本为z生 由题设条件列出约束条件①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,y 0,x 0.06,0.07y 0.14x 0.06,0.14y 0.07x 0.075,0.105y 105x .0 其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,6714,6147,577y x y x y x y x师 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.生 考虑z=28x+21y,将它变形为2834z x y +-=,这是斜率为34－、随z 变化的一族平行直线.28z 是直线在y 轴上的截距，当28z 取得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y 取得最小值.由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M 时，截距z[]28最小，即z 最小. 解方程组⎩⎨⎧=+=+6714,577y x y x 得点M(71,74)，因此，当71=x ,74=y 时，z=28x+21y 取最小值，最小值为16.由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.师 【例6】 在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？ 学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元 初中 45 2 26/班 2/人 高中40354/班2/人师 由前面内容知若设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总额为z 万元, 此时，目标函数z=0.16×45x+0.27×40y,把z=7.2x+10.8y 变形为54532z x y +-=，得到斜率为-32－，在y 轴上截距为545z，随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y 经过可行域上的点M 时，截距545z最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧=+=+402,30y x y x 得点M （20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y 取最大值，最大值为252.由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元. 师 【例7】 在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各生 若设生产x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的利润z 万元.z=x+0.5y,把z=x+0.5y 变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y 轴上截距为2z,随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧=+=+104,661518y x y x 得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y 取最大值，最大值为3.由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元.师（1（2（3）在可行域内求目标函数的最优解. 当然也要注意问题的实际意义.（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即（2）设t=0，画出直线l 0 （3）观察、分析，平移直线l（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.（1（2（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义.布置作业课本第105页习题3.3 B组1、2、3板书设计第1简单线性规划问题图1课堂小结线性规划问题的相关概念图2第2简单线性规划问题例1课堂小结例3例2第3简单线性规划问题例5课堂小结例7例6。

课题： 3.3.2简单的线性规划（3）一．：自主学习，明确目标1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。

教学方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力二．研讨互动，问题生成1、二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：三．合作探究，问题解决1．线性规划在实际中的应用：例5 在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？2．若实数x ，y 满足 1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 求4x +2y 的取值范围．错解：由①、②同向相加可求得：0≤2x ≤4 即 0≤4x ≤8 ③由②得 —1≤y —x ≤1将上式与①同向相加得0≤2y ≤4 ④③十④得 0≤4x 十2y ≤12以上解法正确吗?为什么?(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4x ≤8及0≤2y ≤4是对的，但用x 的最大(小)值及y 的最大(小)值来确定4x 十2y 的最大(小)值却是不合理的．X 取得最大（小）值时，y 并不能同时取得最大（小）值。

由于忽略了x 和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．(3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解?正解：练习11、求y x z -=的最大值、最小值，使x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x2、设y x z +=2，式中变量x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x自我评价 同伴评价 小组长评价。

第2课时 线性规划的实际应用学习目标：理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]应用线性规划解决实际问题的类型思考：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元．那么x 和y 应满足哪些不等关系？[提示]分析题意，我们可得到以下式子⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤25 000 000，12x ＋10y ≥3 000 000，x ≥0，y ≥0.[基础自测]1．思考辨析(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．( ) (2)当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．( ) [答案] (1)√ (2)√2．已知目标函数z ＝2x ＋y ，且变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≥－3，3x ＋5y <25，x ≥1，则( )A ．z max ＝12，z min ＝3B ．z max ＝12，无最小值C ．z min ＝3，无最大值D ．z 既无最大值又无最小值D [画出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 即y ＝－2x ＋z 在平移过程中的纵截距z 既无最大值也无最小值．]3．完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元．现有工人工资预算每天2 000元，设请木工x 人，请瓦工y 人，则请工人的约束条件是________．⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N *50x ＋40y ≤2 0004．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元.【导学号：91432334】36 800 [设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，画出可行域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 在点(5,12)处取得最小值z min ＝36 800元．][合 作 探 究·攻 重 难]线性规划的实际应用问题[探究问题]1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．设投资甲、乙两个项目的资金分别为x 、y万元，那么x 、y 应满足什么条件？提示：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.2．若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z 万元，那么z 与x ，y 有何关系？提示：根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z 与x ，y 的关系为z ＝0.4x ＋0.6y .3．x ，y 应在什么条件下取值，x ，y 取值对利润z 有无影响？提示：x ，y 必须在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5下取值．x ，y 取不同的值，直接影响z 的取值．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元. 怎样安排生产可使所获利润最大.【导学号：91432335】思路探究：可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解． [解] 设生产书桌x 张，生产书橱y 个，利润为z 元，则目标函数为z ＝80x ＋120y ，根据题意知，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，画出可行域如图所示，作直线l ：80x ＋120y ＝0，并平移直线l ，由图可知，当直线l 过点C 时，z 取得最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，得C (100,400)，所以z max ＝80×100＋120×400＝56 000，即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利润．母题探究：(变结论)例题中的条件不变，如果只安排生产书桌可获利润多少？如果只安排生产书橱呢？[解](1)若只生产书桌，则y＝0，此时目标函数z＝80x，由图可知z max＝80×300＝24 000，即只生产书桌，可获利润24 000元．(2)若只生产书橱，则x＝0，此时目标函数z＝120y，由图可知z max＝120×450＝54 000，即只生产书橱，可获利润54 000元．[规律方法]解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题.(40)作答——就应用题提出的问题作出回答.线性规划中的最优整数解问题某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车，4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每天运送360吨沥青的任务．已知每辆卡车每天往返次数为：A型车8次，B型车6次，每辆卡车往返一次的成本费为：A型车160元，B型车280元．每天派出A型车与B型车各多少辆时，公司花的成本费最低？思路探究：①本题的线性约束条件及目标函数分别是什么？②根据实际问题的需要，该题是否为整点问题？[解]设公司每天所花成本费为z元，每天派出A型车x辆，B型车y辆，则z＝160x＋280y,x，y满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x≤7，y≤4，x＋y≤9，48x＋60y≥360，x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，作出不等式组的可行域，如图．作直线l ：160x ＋280y ＝0，即l ：4x ＋7y ＝0.将l 向右上方移至l 1位置时，直线l 1经过可行域上的M 点，且此时直线与原点的距离最近，z 取得最小值．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧48x ＋60y ＝360x ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝0.4.但y ＝0.4不是整数，故取x ＝7，y ＝1，此时z 取得最小值． 所以，当每天派出A 型车7辆、B 型车1辆时，公司所花费用最低． [规律方法] 寻找整点最优解的三种方法(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l ，最先经过或最后经 过的整点便是最优整点解， 这种方法应充分利用整点最优解的信息， 结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐 个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来， 代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值.(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后 筛选出整点最优解. 某厂有一批长为18 m 的条形钢板，可以割成1.8 m 和1.5 m 长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润.【导学号：91432336】[解] 设割成的1.8 m 和1.5 m 长的零件分别为x 个、y 个，利润为z 元，则z ＝20x ＋15y －(x ＋0.6y )即z ＝19x ＋14.4y 且⎩⎪⎨⎪⎧1.8x ＋1.5y ≤18，x ＋0.6y ≤8，x ，y ∈N ，作出不等式组表示的平面区域如图，又由⎩⎪⎨⎪⎧1.8x ＋1.5y ＝18，x ＋0.6y ＝8，解出x ＝207，y ＝607，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫207，607，因为x ，y 为自然数，在可行域内找出与M 最近的点为(3,8)，此时z ＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．又可行域的另一顶点是(0,12)，z ＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)： 过顶点(8,0)的直线使z ＝19×8＋14.4×0＝152(元)．M ⎝⎛⎭⎪⎫207，607附近的点(1,10)，(2,9)， 直线z ＝19x ＋14.4y 过点(1,10)时，z ＝163；过点(2,9)时z ＝167.6. 所以当x ＝0，y ＝12时，z ＝172.8元为最大值． 答：只截1.5 m 长的零件12个，可获得最大利润．[当 堂 达 标·固 双 基]1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1，a 2千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为b 1，b 2千克，甲，乙产品每千克可获利润分别为d 1，d 2元，月初一次性购进原料A ，B 分别为c 1，c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大？在这个问题中，设全月生产甲，乙两种产品分别为x ，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为________．⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0[由题设和本题的限制条件可得，另外容易遗漏的限制条件是x ≥0，y ≥0.]2．一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为________元.【导学号：91432337】1 50 [设该农民种x 亩水稻，y 亩花生时能获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，z ＝960x ＋420y ，作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数变形为y ＝－167x ＋z420，作出直线y ＝－167x ，在可行域内平移直线y ＝－167x ，可知当直线过点B 时，z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，故当x ＝1.5，y ＝0.5时，z max ＝1 650元，故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1 650元．]3．某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A ，B ，C ，D 四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：设备产品ABCD甲 2 1 4 0 乙224小时称为1台时)，该厂每生产一件甲产品可得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元 ，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为________．4,2 [设在计划期内生产甲产品x 件，乙产品y 件，则由题意得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x ＋2y ≤8，x ≤4，y ≤3，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图阴影部分所示，目标函数为z ＝2x ＋3y ，由图可知当直线z ＝2x ＋3y 经过点A时，z 有最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大．]4．某工厂制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)【导学号：91432338】[解] 设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N *，3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，钢铁总面积z ＝2x ＋3y .作出可行域，如图所示．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，z 最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5.所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．。

3.3.2 简单的线性规划问题教学目标：1．解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念；2．在线性约束条件下求线性目标函数的最优解；3．了解线性规划问题的图解法.教学重点：线性规划问题.教学难点：线性规划在实际中的应用.教学过程：导入新课 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念. 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;（2）设t =0，画出直线l 0;（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解;（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.推进新课 例1：已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,2502,3002y x y x y x 试求z =300x +900y 的最大值时的整点的坐标及相应的z 的最大值.分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z =300x +900y 取最大值时的整点. 解：如图所示平面区域AOBC ，点A （0，125），点B （150，0），点C 的坐标由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,3200,3350y x 得C （3350,3200）， 令t =300x +900y ，即,90031t xy +-=, 欲求z =300x +900y 的最大值，即转化为求截距900t 的最大值，从而可求t 的最大值，因直线90031t x y +-=与直线x y 31-=平行，故作x y 31-=的平行线，当过点A （0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，z max =300×0+900×125=112 500. 例2：求z =600x +300y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件3x +y ≤300，x +2y ≤250， x ≥0,y ≥0的整数值.分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.解：可行域如图所示.四边形AOBC ，易求点A （0，126），B （100，0）,由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25223003y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.5191,5369y x 得点C 的坐标为（5369,5191).因题设条件要求整点（x ,y )使z =600x +300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z =600x +300y ，可知当x =70,y =90时，z 取最大值为z max =600×70+300×900=69 000.例3：已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,12,22y x y x y x 求z =3x +y 的最小值.分析：可先找出可行域，平行移动直线l 0:3x +y =0找出可行解，进而求出目标函数的最小值. 解：不等式x +2y ≥2表示直线x +2y =2上及其右上方的点的集合；不等式2x +y ≥1表示直线2x +y =1上及其右上方的点的集合.可行域如图所示.作直线l 0:3x +y =0，作一组与直线l 0平行的直线l :3x +y =t (t ∈R ).∵x 、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标. 由图可知：当直线l :3x +y =t 通过P （0，1）时，t 取到最小值1，即z min =1.评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.1.求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解：不等式组表示的平面区域如图所示：当x =0,y =0时，z =2x +y =0，点（0，0）在直线l 0:2x +y =0上.作一组与直线l 0平行的直线l :2x +y =t ,t ∈R.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z max =2×2-1=3.2.求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如图所示.从图示可知直线3x +5y =t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（89,817）的直线所对应的t 最大. 所以z min =3×(-2)+5×(-1)=-11,z max =3×89+5×817=14. 3.某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？【解析】将已知数据列成下表：解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x目标函数为z =600x +1 000y .作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l :600x +1 000y =0,即直线:3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z =600x +1 000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x 得M 的坐标为x =29360≈12.4,y =291000≈34.4. 答：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.（2）设t=0，画出直线l0.（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义布置作业课本习题3、4.。

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3.3。

2 简单的线性规划问题一、学习目标1． 了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； 2． 会用图解法求线性目标函数的最大值和最小值．二、复习引入1．不等式0x y ->表示的平面区域是( ）1-1-11xyOx-y=01-1-11xyOx-y=01-1-11xyOx-y=01-1-11xyOx-y=0A ．B ．C ．D ．2．不等式组02203x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域是（ )123-1-2-1-2123xyOx=3x+2y-2=0x-y=0123-1-2-1-2123xyOx=3x+2y-2=0x-y=0123-1-2-1-2123xyOx=3x+2y-2=0x-y=0123-1-2-1-2123xyO x=3x+2y-2=0x-y=0A ．B ．C ．D ． 3．直线2310x y -+=化成斜截式方程是( ） A ．2133y x =+ B ．2133y x =- C ．2133y x =-- D ．2133y x =-+ 4．已知直线1l 、2l 和3l 的方程为21y x =-、2y x =和23y x =+，则直线1l 、2l 和3l 的位置关系是( ）A ．相交B ．两两垂直C ．平行D ．重合 5．直线34120x y +-=在y 轴上的截距是 ． 三、新课讲授例题:已知x 、y 满足条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,且2z x y =+，求z 的最大值．练习：求35z x y =+的最小值,使x 、y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩．四、总结提升1．简单的线性规划问题的相关概念． 2．简单线性规划问题求解的基本步骤．五、目标检测1．目标函数y x z -=2，将其看成直线方程时z 的意义是（ ）A ．该直线在x 轴上的截距B ．该直线在y 轴上的截距C ．该直线的截距D ．该直线在y 轴上的截距的相反数 2．在ABC ∆中,)0,1(),2,1(),4,2(C B A -，点(,)P x y 在ABC ∆内部及其边界上运动，则目标函数x y z -=的最优解是 ．3．如图所示，已知ABC ∆中的三顶点(2,4)A 、(1,2)B -、(1,0)C ，点(,)P x y 在ABC ∆内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：处① z x y =+在 处有最大值为 ,在______有最小值_______；处② z x y =-在 处有最大值为 ，在______有最小值_______;4．设变量x 、y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,求目标函数23z x y =+的最小值．思考：已知x 、y 满足约束条件2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的3倍，求a 的值．xyO A(2,4)B(-1,2)C(1,0)。

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简单的线性规划问题一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3。

3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解可以用数形结合方法求出。

简单的线性规划关心的是两类问题:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成。

教科书利用生产安排的具体实例,介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法,突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.本节教学重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解。

二、目标和目标解析(一）教学目标1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。

一、学习目标：1．掌握线性规划问题中整点问题的求解方法．2. 通过对线性规划方法的实际应用，进一步加深对线性规划有关知识的理解；二、预习指导1．由直线20x y ，210x y 和210x y 围成的三角形区域（含边界）用不等式可表示为__________． 2．线性规划的可行域是由直线0,0,2100xy y x 和2100x y 围成的四边形．点(10,10)是使目标函数z ax y 取最大值的点，求a 的取值范围三、例题选讲例1 投资生产A 产品时，每生产100t 需要资金200万元，需要场地200m 2可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100m 需要资金300万元，需要场地100m 2可获利润200万元，现某单位可使用资金1400万元，场地900 m 2问:应作怎样的投资，可使获利最大？例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t ，该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员。

每辆卡车每天往返次数为A 型车4次，B 型车3次。

每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元。

试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低。

四、课堂练习1. z =600x +300y 的最大值，使式中的x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,025023003y x y x y x 的整数值.2.某厂生产A 与B 两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤A 产需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B 产品需要电力3鱭、煤2吨.但该厂的电力供应不得超过100鱭，煤最多只有120吨.问如何安排生产计划以取得最大产值?五．小结作业:教材P77 3, 4。