1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：①22221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)x y a b a b+=>>研究）：⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ．⑸椭圆的离心率：ce a=，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．My=-b y=b x=-ax=aB 2B 1A 2A 1c b aF 2F 1O y x4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：板块一.直线与椭圆(1)设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切．若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦长公式为2212121||11AB k x x y y k ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．两根差公式：如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则2221212124()44b c b ac x x x x x x a a a a -∆⎛⎫-=+-=--⋅==⎪⎝⎭（0∆>）． 6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】 直线2y kx =+2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=u u u r u u u r （其中O 为坐标原点），求k 的值．【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将2y kx =2213x y +=，得22(13)6230k x kx +++=．由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130(62)12(13)12(31)0k k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩，即213k >． 设()()A A B B A x y B x y ，，，，则262313A B A Bk x x x x k +==+． 典例分析由1OA OB ⋅=u u u r u u u r，得2A B A B x x y y +=．而2(2)(2)(1)2()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x +=++=+++222236253(1)221331k k k k k k -=+⋅=++． 于是2253131k k -=+．解得6k =．故k 的值为6． 【答案】6【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．⑴求k 的取值范围；⑵设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴ 由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+代入椭圆方程得22(2)12x kx ++=．整理得22122102k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ …………①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，解得22k <或22k >．即k 的取值范围为22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U -∞，∞． ⑵ 设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r，， 由方程①，1242kx x +=． …………② 又1212()22y y k x x +=++ …………③而(20)(01)(21)A B AB =，，，． 所以OP OQ +u u u r 与AB u u u r共线等价于12122()x x y y +=-+， 将②③代入上式，解得2k =． 由⑴知2k <或2k ，故没有符合题意的常数k ．【答案】⑴k 的取值范围为2222⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U -∞，∞；⑵没有符合题意的常数k ．【例3】 已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1F ，2F 分别为椭圆C的左、右焦点．⑴当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；⑵设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为G ，H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．O xyBA【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【解析】⑴因为直线2:02m l x my --=经过()2210F m -，，所以2212m m -=，得22m =又因为 1.m >所以 2.m =故直线l 的方程为210.x y --= ⑵设11()A x y ，，22()B x y ，由2222,21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得222104m y my +++=则由22281804m m m ⎛⎫=--=-+> ⎪⎝⎭△，知28m < 且有122my y +=-，212182m y y =-．由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，故O 为12F F 的中点，由2AG GO =u u u r u u u r ，2BH HO =u u u r u u u r ，可知1133x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，，2233y x H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221212()()||.99x x y y GH --=+设M 是GH 的中点，则121266x xy y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知，2||||MO GH <即222212121212()()46699x x y y x x y y ⎡⎤++--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12120.x x y y +<而221212121222m m x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221(1)82m m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 所以210.82m -<即2 4.m <又因为1m >且0>△．所以1 2.m << 所以m 的取值范围是(12)，．【答案】⑴210x y --=；⑵(12)，．【例4】 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>短轴的一个端点()0,3D ，离心率12e =．过D 作直线l 与椭圆交于另一点M ，与x 轴交于点A （不同于原点O ），点M 关于x 轴的对称点为N ，直线DN 交x 轴于点B ．⑴求椭圆的方程；⑵求OA OB ⋅u u u r u u u r的值．y xDMNB A O【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答【解析】⑴由已知，2,3a b ==．所以椭圆方程为 22143x y +=．⑵设直线l 方程为3y kx =+．令0y =，得3,0A k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 由方程组 2233412y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 可得 ()2234312x kx ++=，即()2234830k xkx ++=．所以 28334M kx k =-+，所以 2228383,33434k k M k k ⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭，2228383,33434k k N k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭．所以 222832333448334DN k k k k kk -+==+．直线DN 的方程为 334y x k =+．令0y =，得43,03k B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以 OA OB ⋅u u u r u u u r =43343k k-⋅-=． 【答案】⑴22143x y +=；⑵4．【例5】 已知椭圆中心在原点，一个焦点为1(022)F -，，且离心率e 满足：24e 33，，成等比数列．⑴求椭圆方程；⑵是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线12x =-平分，若存在，求出l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴依题意2e 23321a c b ===，， ∴所求方程为2219y x +=．⑵假设存在直线l ，依题意l 交椭圆所得弦MN 被12x =-平分，∴直线l 的斜率存在．设直线:l y kx m =+，代入椭圆方程，整理得222(9)290k x kmx m +++-=， ∵l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，∴222244(9)(9)0k m k m ∆=-+->，即2290m k --< …………①设1122()()M x y N x y ，，，，则1221292x x km k +-==-+，292k m k +=……② 把②代入①式中得2222(9)(9)04k k k +-+<， ∴3k 3k <-∴直线l 倾斜角πππ2π3223α⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，【答案】⑴2219y x +=；⑵πππ2π3223α⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，．【例6】 直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记AOB ∆的面积为S ，⑴求在001k b =<<，的条件下，S 的最大值；⑵当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．【考点】直线与椭圆【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴此时直线方程为y b =，代入椭圆方程解得：221x b =±-，222214121112S b b b b b b =⋅-=-+-=，当且仅当21b b =-，即2b （负值舍去）时，S 取到最大值1； ⑵联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(41)84(1)0k x kbx b +++-=， 于是22222(8)16(1)(41)1241kb b k AB kk --+=+=+，又1S =，故原点到直线y kx b =+的距离为2211b Sd AB k ===+，解得：212k =，362b ==． 故直线AB 的方程是：26y x 26y x 或26y =+或 26y =． 【答案】⑴2b =时，S 取到最大值1； ⑵直线AB 的方程是：26y x 26y x 或26y =+或 26y =．【例7】 已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，点(23,0)A -是其左顶点，点C 在椭圆上且0,||||AC CO AC CO ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r．⑴求椭圆的方程；⑵若平行于CO 的直线l 和椭圆交于,M N 两个不同点，求CMN △面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答【关键字】2010年，宣武二模【解析】⑴设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∵左顶点(23,0),,||||A AC CO AC CO -⊥=． ∴212a =，(3,3)C -又∵C 在椭圆上， ∴233112b+=，24b = ∴椭圆的标准方程为221124x y +=．⑵设1122(,),(,)M x y N x y∵CO 的斜率为1-，∴设直线l 的方程为y x m =-+，代入221124x y +=，得22463120x mx m -+-=．22122123644(312)0323124m m m x x m x x ⎧⎪∆=-⋅->⎪⎪+=⎨⎪⎪-⋅=⎪⎩ ∴2212123||2()42124m MN x x x x =+-=-又C 到直线l 的距离|33|||22m m d -+-==，∴CMN △的面积2213||(16)24S MN d m m =⋅⋅=⋅-223162342m m +-⋅=≤，当且仅当2216m m =-时取等号，此时22m =±满足题中条件， ∴直线l 的方程为220x y +±=．【答案】⑴221124x y +=；⑵220x y +±=．【例8】 如图，点A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的下端点．过A 作斜率为1的直线交椭圆于P ，点B 在y 轴上，且BP x ∥轴，9AB AP ⋅=u u u r u u u r．⑴若B 点坐标为(01)，，求椭圆方程； ⑵若B 点坐标为(0)t ，，求t 的取值范围．PAB yxO【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴ 直线AP ：y x b =-，由1y =，得(11)P b +，．∴(01)(11)9AB AP b b b ⋅=+⋅++=u u u r u u u r，，， 即2(1)92b b +=⇒=． 将(31)P ，代入椭圆方程，22911124a a +=⇒=． 因此椭圆方程为221124x y +=．⑵ 由y t y x b =⎧⎨=-⎩得()P t b t +，，又(0)(0)A b B t -，，，， ∴(0)()AB t b AP t b t b =+=++u u u r u u u r ，，，，由9AB AP ⋅=u u u r u u u r得3(00)t b t b +=>>，， ∴P 的坐标为(3)t ，，将(3)P t ，代入椭圆方程得：22291t a b +=，即22229b a b t=-．∵22a b >，∴222222991b b b t b t>⇒>--，又3t b =-，∴93100962t t ->⇒<<-． 【答案】⑴221124x y +=；⑵302t <<．【例9】 已知椭圆C 的焦点是()10,3F -，()20,3F ，点P 在椭圆上且满足124PF PF +=．⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ． ⅰ）求使PAB ∆的面积为12的点P 的个数；ⅱ）设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r，求22λμ+的值．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【解析】⑴ ∵12124PF PF F F +=>∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆 ∵24,3a c == ∴2221b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．⑵ i ）∵ 直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B∴()()1,0,0,2A B --，5AB = 若1122PAB S AB d ∆== ∴55d =∵原点O 到直线:220l x y ++=的距离是2255555=> ∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点 设直线:20l x y n '++=与椭圆相切，则222014x y n y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩有且只有一个交点． ∴228440x nx n ++-=有且只有一个解由0∆=解得22n =（设负）此时，l '与l 间距离为222155-< ∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点 ∴符合条件的点P 有2个．ii ）设(),M x y ，则,x y 满足方程：2214y x +=∵ (,)OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r∴()()()(),1,00,2,2x y λμλμ=-+-=--即：2x y λμ=-⎧⎨=-⎩，从而有2xy λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴222214yx λμ+=+=．【答案】⑴2214y x +=；⑵ i ）符合条件的点P 有2个；ii ）222214y x λμ+=+=．【例10】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为63．⑴若原点到直线0x y b +-=的距离为2，求椭圆的方程； ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于,A B 两点． i ）当||3AB =，求b 的值；ii ）对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r，求实数,λμ满足的关系式．【考点】直线与椭圆【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，宣武二模【解析】⑴∵22bd ==，∴2b =．∵63c e a ==，∴2223c a =．∵222a b c -=，∴22243a a -=，解得2212,4ab ==．椭圆的方程为221124x y+=．⑵i ）∵63c a =，∴2222223,23a b c a b ===，椭圆的方程可化为22233x y b += …………①易知右焦点(2,0)F b ，据题意有AB ：2y x b =- ………② 由①，②有：2246230x bx b -+= …………③ 设1122(,),(,)A x y B x y ，222222212122724824||()()(11)23344b b b AB x x y y b -=-+-=+=⋅==∴1b =ii ）显然OA u u u r 与OB u u u r可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM u u u u r，有且只有一对实数,λμ，使得等式OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r 成立． 设(,)M x y ，∵1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，∴1212,x x x y y y λμλμ=+=+又点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++= ……………④由③有：21212323,24b b x x x x +==则 222212121212121233(2)(2)432()63960x x y y x x x b x b x x b x x b b b b +=+--=-++=-+=……………⑤又,A B 在椭圆上，故有222222112233,33x y b x y b +=+= …………⑥将⑥，⑤代入④可得：221λμ+=．【答案】⑴221124x y +=；⑵i ）1b =；ii ）221λμ+=．【例11】 已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左右焦点分别为()()122,0,2,0F F -．在椭圆M 中有一内接三角形ABC ，其顶点C 的坐标()3,1，AB 所在直线的斜率为33． ⑴求椭圆M 的方程；⑵当ABC ∆的面积最大时，求直线AB 的方程．OyxF 2F 1CBA【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【解析】⑴由椭圆的定义知()()222231231a =--++-+．解得26a =，所以2222b a c =-=．所以椭圆M 的方程为22162x y +=．⑵由题意设直线AB 的方程为33xy m =+，由22162,33x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得22223360x mx m ++-=． 因为直线AB 与椭圆M 于不同的两点,A B ，且点C 不在直线AB 上， 所以()22122420,3133m m m⎧∆=-->⎪⎨⎪≠⋅+⎩解得22m -<<，且0m ≠．设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则21212363,2m x x m x x -+=-=，112233,33y x m y x m =+=+．所以()()()22222121121244243AB x x y y x x x x m ⎡⎤=-+-=+-=-⎣⎦． 点()3,1C到直线33y x m =+的距离32m d =．于是ABC ∆的面积()2224133432222m m S AB d m m +-=⋅=⋅⋅-⋅=≤． 当且仅当24m m =-，即2m =±时“=”成立．所以2m =±时ABC ∆的面积最大，此时直线()1y k x =-的方程为()0k ≠． 即为360x y -±=．【答案】⑴22162x y +=；⑵360x y -±=．【例12】 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F =，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上． ⑴求椭圆C 的方程；⑵过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2AF B ∆的面积为1227，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【解析】⑴设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆220x y +±=两焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ．∴222233532(11)()(11)()42222a =+++-+=+=．∴2a =，又1c =，2413b =-=，故椭圆的方程为22143x y +=．⑵当直线l x ⊥轴，计算得到：31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+， 由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2222(34)84120k x k x k +++-=．显然0∆>成立，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-⋅=+．又422221212222644(412)||1()41(34)34k k AB k x x x x k k k -=+⋅+-⋅=+⋅-++即2222212112(1)||13434k k AB k k k ++=+⋅=++， 又圆2F 的半径22|10|2||11k k k r k k⨯-+==++． 所以2222221112(1)2||12||1122||22343471AF Bk k k k S AB r k k k∆++==⨯⋅==+++， 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±． 所以，22||21k r k==+．故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=． ⑵另解：设直线l 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122643t y y t +=+，122943y y t ⋅=-+． 所以2121212||()4y y y y y y -=+-⋅22223636(43)43t t t =+++2212143t t +=+． 又圆2F 的半径为2|101|1t r t-⨯+=+221t=+．所以212121||||2AF B S F F y y ∆=⋅⋅-12||y y =-2212143t t +=+1227=，解得21t =， 所以221r t=+2=． 故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=．【答案】⑴22143x y +=；⑵22(1)2x y -+=．【例13】 已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在该椭圆上．⑴求椭圆C 的方程；⑵过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AOB ∆的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程． 【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，海淀二模【解析】⑴设椭圆C 的方程为22221x y a b +=(0)a b >>，由题意可得12c e a ==，又222a b c =+，所以2234b a =因为椭圆C 经过31,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程有22914134a a +=，解得2a =所以1c =，2413b =-=故椭圆C 的方程为22143x y +=．⑵解法一：当直线l x ⊥轴时，计算得到：31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1113||||13222AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，0k ≠由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222(34)84120k x k x k +++-=显然0∆>成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-⋅=+ 又2222212121212||()()()()AB x x y y x x k x x =-+-=-+-22221212121()1()4k x x k x x x x =+⋅-=+⋅+-⋅422222644(412)1(34)34k k kk k -=+-++即2222212112(1)||13434k k AB k k k ++=+⋅=++ 又圆O 的半径22|00|||11k k k r k k⨯-+==++ 所以1||2AOB S AB r ∆=⋅⋅222112(1)||2341k k k k+=⋅⋅++226||162347k k k +==+ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得211k =，221817k =-（舍）所以2||221k r k ==+，故圆O 的方程为2212x y +=． ⑵解法二：设直线l 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得22(43)690t y ty +--=因为0∆>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12122269,4343t y y y y t t +=⋅=-++ 所以2121212||()4y y y y y y -=+-⋅22223636(43)43t t t =+++2212143t t +=+ 所以2112216162||||2437AOB t S FO y y t ∆+=⋅⋅-==+ 化简得到4218170t t --=，即22(1817)(1)0t t +-=，解得211,t =221718t =-（舍）又圆O 的半径为22|001|111t r t t-⨯+==++ 所以21221r t ==+，故圆O 的方程为：2212x y += 【答案】⑴22143x y +=；⑵2212x y +=．【例14】 椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为5．⑴求椭圆C 的方程；⑵设过点D (0,4)的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若OEF △为直角三角形，求直线l 的斜率．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【解析】⑴由已知223,52c a b a =+=， 又222a b c =+，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；⑵根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+， 联立22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=，222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >．设E 、F 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， ⅰ）当EOF ∠为直角时，则1212223260,1414k x x x x k k +=-=++， 因为EOF ∠为直角，所以0OE OF ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=， 所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，所以222215(1)32401414k k k k⨯+-+=++，解得19k =±． ⅱ）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角，此时，1OE k k ⋅=，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-……①又221114x y +=…………② 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去）， 将123y =代入①，得125,3x =±所以1145y k x -==±， 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k 的值为19±和5±．【答案】⑴2214x y +=；⑵k 的值为19±和5±．【例15】 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ．⑴求椭圆C 的方程；⑵是否存直线l ，满足2PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【解析】⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y += 5分⑵若存在直线l 满足条件，设直线l 的方程为(2)1y k x =-+由221,43(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--= 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ．设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y所以222[8(21)]4(34)(16168)0.k k k k k ∆=---⋅+⋅--> 整理，得32(63)0k +>解得12k >-．又21212228(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++ 且2PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r ．即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=．所以2212(2)(2)(1)||x x k PM --+=54=即212125[2()4](1).4x x x x k -+++=所以222222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++解得12k =±．所以12k =．于是，存在直线l 满足条件，其方程为12y x =．【答案】⑴22143x y +=；⑵12y x =．【例16】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率2e =，右准线方程为2x =．⑴求椭圆的标准方程；（准线方程2a x c=）⑵过点1F 的直线l 与该椭圆交于M ，N 两点，且22226F M F N +=u u u u u r u u u u r ，求直线l 的方程．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，四川高考【解析】⑴由条件有2222c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =1c =．∴221b a c =-=．所以，所求椭圆的方程为2212x y +=．⑵由⑴知1(10)F -，、2(10)F ，．若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =-． 将1x =-代入椭圆方程得2y =． 不妨设21M ⎛- ⎝⎭，、21N ⎛-- ⎝⎭，， ∴2222212(40)F M F N ⎛⎛+=-+-=- ⎝⎭⎝⎭u u u u u r u u u u r ，，，． ∴224F M F N +=u u u u u r u u u u r，与题设矛盾．∴直线l 的斜率存在．设直线l 的斜率为k ，则直线的方程为(1)y k x =+． 设11()M x y ，、22()N x y ，，联立2212(1)x y y k k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得2222(12)4220k x k x k +++-=．由根与系数的关系知2122412k x x k -+=+，从而121222(2)12ky y k x x k +=++=+， 又∵()2111F M x y =-u u u u u r ，，222(1)F N x y =-u u u u r，， ∴221212(2)F M F N x x y y +=+-+u u u u u r u u u u r，． ∴222221212(2)()F M F N x x y y +=+-++u u u u u r u u u u r 2228221212k k k k ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 42424(1691)441k k k k ++=++．∴42424(1691)226441k k k k ++=++⎝⎭． 化简得424023170k k --=， 解得21k =或21740k =-（舍）．∴1k =±．∴所求直线l 的方程为1y x =+或1y x =--．【答案】⑴2212x y +=．⑵直线l 的方程为1y x =+或1y x =--．【例17】 设椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率2e =， M 、N 是直线l ：2a x c=上的两个动点，且120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ． ⑴若12||||25F M F N ==u u u u r u u u u r，求a 、b 的值．⑵证明：当||MN u u u u r取最小值时，12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线．yxO F 2F 1NM【难度】4星 【题型】解答【关键字】2008年，四川高考 【解析】⑴由已知，1(0)F c -，，2(0)F c ，．由2e 2=，2212c a =，∴222a c =．又222a b c =+，∴22b c =，222a b =．∴l ：2222a c x c c c===，因此1(2)M c y ，，2(2)N c y ，． 法一：延长2NF 交1MF 于P ，记l 交x 轴于Q ．PQ MNF 1F 2O x y12u u u u r u u u u r 12u u u u r u u u u r12F M F N ⊥由平面几何知识易证12Rt MQF Rt F QN ∆∆≌，∴13QN FQ c ==，2QM F Q c ==，即1y c =，23y c =． ∵1225F M F N ==u u u u r u u u u r，∴22920c c +=，22c =，22b =，24a =．∴2a =，2b =． 法二： ∵120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，∴12(3)()0c y c y ⋅=，，，21230y y c =-<． 又1225F M F N ==u u u u r u u u u r，联立212221222392020y y c c y c y ⎧=-⎪+=⎨⎪+=⎩，消去1y 、2y 得：224(209)(20)9c c c --=，解得22c =．∴2a =，2b =． ⑵∵1212(3)()0F M F N c y c y ⋅=⋅=u u u u r u u u u r，，，∴21230y y c =-<． 22222121212121212222412MN y y y y y y y y y y y y c =-=+---=-=u u u u r ≥．当且仅当123y y c =-=或213y y c =-=时，取等号．此时MN u u u u r取最小值23c ．此时1212(33)(3)(40)2F M F N c c c c c F F +=+==u u u u r u u u u r u u u u rm ，，，． ∴12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r共线．另解： ∵120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，∴12(3)()0c y c y ⋅=，，，2123y y c =-．设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1k-．由1()32y k x c y kc x c =+⎧⇒=⎨=⎩；由21()2y x c c y kk x c⎧=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩； 121323MN y y c k c k =-=⋅+u u u u r ≥．当且仅当13k k =即213k =，3k =时取等号．即当MN u u u u r 最小时，3k =此时1212(33)(33)(3)(40)2c F M F N c kc c c c c c c F F k ⎛⎫+=+-±+== ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r m ，，=，，， ∴12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r共线．【答案】⑴2a =，2b =;⑵∵1212(3)()0F M F N c y c y ⋅=⋅=u u u u r u u u u r，，，∴21230y y c =-<． 22222121212121212222412MN y y y y y y y y y y y y c =-=+---=-=u u u u r ≥．当且仅当123y y c =-=或213y y c =-=时，取等号．此时MN u u u u r取最小值23c ．此时1212(33)(3)(40)2F M F N c c c c c F F +=+==u u u u r u u u u r u u u u rm ，，，． ∴12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r共线．另解： ∵120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，∴12(3)()0c y c y ⋅=，，，2123y y c =-．设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1k-．由1()32y k x c y kc x c =+⎧⇒=⎨=⎩；由21()2y x c c y kk x c⎧=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩； 121323MN y y c k c k =-=⋅+u u u u r ≥．当且仅当13k k =即213k =，3k =时取等号． 即当MN u u u u r 最小时，3k =此时1212(33)(33)(3)(40)2c F M F N c kc c c c c c c F F k ⎛⎫+=+-±+== ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r m ，，=，，，∴12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r共线．【例18】 已知椭圆22:14y C x +=，过点()03M ，的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），求当3AB <数λ的取值范围．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，西城一模【解析】⑴设()11A x y ，，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以132y =， 又因为点()11A x y ，在椭圆C 上， 所以221114y x +=，即219116x +=，解得17x = 则点A 的坐标为732⎫⎪⎪⎝⎭，或732⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，， 所以直线l 的方程为77210x y -+=或677210x y +-=．⑵设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，()11A x y ，，()22B x y ，，()33P x y ，， 当AB 的方程为0x =时，43AB => 当AB 的方程为3y kx =+时：由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得()224650k x kx +++=，所以()()2262040k k ∆=-+>，即25k >， 则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，()()1212224334y y kx kx k +=+++=+， 因为()()2212123AB x x y y =-+-22226201344k k k k-⎛⎫+- ⎪++⎝⎭216813k -<<， 所以258k <<．因为OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r，即()()()112233x y x y x y λ+=，，，，所以当0λ=时，由0OA OB +=u u u r u u u r r ，得122604k x x k -+==+，1222404y y k+==+， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当0λ≠时，()123264x x k x k λλ+-==+，()1232244y y y k λλ+==+， 因为点()33P x y ，在椭圆上，所以()()222261241444k k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 化简得22364kλ=+， 因为258k <<，所以234λ<<， 则(()2332λ∈-U，．综上，实数λ的取值范围为())2332-U，．【答案】⑴直线l 的方程为677210x y -+=或677210x y +-=．⑵实数λ的取值范围为()2332-U，．【例19】 已知1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，右焦点2(0)F c ，到上顶点的距离为2，若26a c =．⑴求此椭圆的方程；⑵点A 是椭圆的右顶点，直线y x =与椭圆交于M 、N 两点（N 在第一象限内），又P 、Q 是此椭圆上两点，并且满足120||||NP NQ F F NP NQ ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u ur u u u r u u u r ，求证：向量PQ u u u r 与AM u u u u r 共线．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴ 由题知：22222264243a c a a b a b c ⎧⎧=⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎪=+⎩⎩， 所以椭圆方程为223144x y +=．⑵ ∵120||||NP NQ F F NP NQ ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，而||||NP NQNP NQ +u u u r u u u ru u u r u u u r 与PNQ ∠的平分线平行， ∴PNQ ∠的平分线垂直于x 轴．由223144y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(11)(11)M N --，，，．不妨设PN 的斜率为k ，则QN 的斜率k -；因此PN 和QN 的方程分别为： (1)1y k x =-+、(1)1y k x =--+，其中0k ≠．由22(1)13144y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(13)6(1)3610k x k k x k k +--+--=，∵(11)N ，在椭圆上，∴1x =是上面方程的一个根．从而2236113P k k x k --=+，同理2236113Q k k x k +-=+，于是直线PQ 的斜率为(1)1(1)113p Q P Q PQ P Q P Q y y k x k x k x x x x --++--===--． 又易知13AMk =，所以向量PQ u u u r 与AM u u u u r 共线． 【答案】⑴椭圆方程为223144x y +=．⑵ ∵120||||NP NQ F F NP NQ ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，而||||NP NQNP NQ +u u u r u u u ru u u r u u u r 与PNQ ∠的平分线平行， ∴PNQ ∠的平分线垂直于x 轴．由223144y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(11)(11)M N --，，，．不妨设PN 的斜率为k ，则QN 的斜率k -；因此PN 和QN 的方程分别为： (1)1y k x =-+、(1)1y k x =--+，其中0k ≠．由22(1)13144y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(13)6(1)3610k x k k x k k +--+--=，∵(11)N ，在椭圆上，∴1x =是上面方程的一个根．从而2236113P k k x k --=+，同理2236113Q k k x k +-=+，于是直线PQ 的斜率为(1)1(1)113p Q P Q PQ P Q P Q y y k x k x k x x x x --++--===--．又易知13AMk =，所以向量PQ u u u r 与AM u u u u r 共线．【例20】 一束光线从点1(10)F -，出发，经直线l ：230x y -+=上一点P 反射后，恰好穿过点2(10)F ，，⑴求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； ⑵求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；⑶设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，且不为A 、B ，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴设1F '的坐标为(,)m n ，则112n m =-+，且123022m n-⋅-+=． 可得到点1F '的坐标为92,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．⑵∵11||||PF PF '=，根据椭圆定义，得12122||||||a PF PF F F ''=+=2292102255⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a ，又1c =，∴211b =-=．∴所求的椭圆C 的方程为2212x y +=．⑶∵22a c=，椭圆的准线方程为2x =±．设点Q 的坐标为(,23)(22)t t t +-<<，1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离，则2221(1)(23)51010d t t t t -++++2|2|d t =-． 2212251010225(2)d t t t t d t ++++==⋅-2t μ=-，则(40)μ∈-，，2t μ=+， 于是21222(2)2(2)2106551d d μμμμμ++++=⋅=++21315210100μ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 114μ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，，当1310μ=-，即103μ=-，43t =-时，有12min22d d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时点Q 的坐标为41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【答案】⑴点1F '的坐标为92,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．⑵2212x y +=． ⑶点Q 的坐标为41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【例21】 已知直线220x y -+=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线10:3l x =分别交于M N ，两点． ⑴求椭圆C 的方程；⑵求线段MN 的长度的最小值．⑶当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ∆的面积为15？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由． lNMD BSyxOA 【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，福建高考【解析】⑴由已知得，椭圆C 的左顶点为()20A -，，上顶点为()01D ，，∴2a =，1b =．故椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+， 从而101633k M ⎛⎫⎪⎝⎭，．由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214161640k x k x k +++-=． 设()11S x y ，，则()212164214k x k --⋅=+得2122814k x k -=+，从而12414ky k =+， 即2222841414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，， 又()20B ，．故直线BS 的方程为()124y x k=--．由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴10133N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故161||33k MN k =+． 又0k >，∴1611618233333k k MN k k =+⋅=≥， 当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立． ∴14k =时，线段MN 的长度取最小值83．⑶由⑵可知，当MN 取最小值时，14k =，此时BS 的方程为20x y +-=，6455s ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴42BS =要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于15，只须T 到直线BS 的距离等于2， 所以T 在平行于BS 且与BS 2的直线l 上． 设直线:0l x y t '++=， 22=解得32t =-或52t =-． ①当32t =-时，由2214302x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，得251250x x -+=．由于440∆=>，故直线l '与椭圆C 有两个不同的交点；②当52t =-时，由2214502x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，得2520210x x -+=．由于200∆=-<，故直线l '与椭圆C 没有交点．综上所述，当线段MN 的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T ，使得TSB∆的面积等于15．法二： ⑴同法一⑵设()00S x y ，，则220014x y +=，∴220014x y =-．故2000200012244SA SOy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--． 设103MM y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，103N N y ⎛⎫⎪⎝⎭，，则0M y >，0N y <．则9110106442233N N N M SA SO y y y y k k ⋅=⋅==-+-，()169M S y y ⋅-=． 故()()823M N M N MN y y y y =+-⋅-≥，当且仅当()43M N y y =-=时等号成立．即MN 的长度的最小值为83．⑶由⑵可知，当MN 取最小值时，10433N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∵()20B ，，∴1BS BN k k ==-．此时BS 的方程为20x y +-=，6455S ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴42BS =设与直线BS 平行的直线方程为0x y t ++=． 由22014x y t x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2258440x tx t ++-=， 当直线与椭圆C 有唯一公共点时，有()226420440t t ∆=--=，解得5t =±． 当5t =两平行直线:20BS x y +-=与1:50l x y +=间的距离1522d +=；当5t =-时，两平行直线:20BS x y +-=与2:50l x y +=间的距离2522d -=∵15TSO S ∆=，且42BS =TSB ∆在BS 边上的高2d =．∵21d d d <<，∴椭圆C 上存在两个不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．即线段MN 的长度最小时，椭圆C 上仅存在两上不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15． 【答案】⑴椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵14k =时，线段MN 的长度取最小值83．⑶线段MN 的长度最小时，椭圆C 上仅存在两上不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．。
