全国竞赛(数与式专题训练二)

教育部数学竞赛试题及答案试题一：代数部分1. 计算下列表达式的值：\( (x^2 - 3x + 2) / (x - 1) \)，当\( x = 2 \)。

2. 解方程：\( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)。

3. 证明：对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，\( (a + b)^2 \leq2(a^2 + b^2) \)。

试题二：几何部分1. 已知三角形ABC中，角A为30度，角B为45度，求角C的度数。

2. 圆O的半径为5，点P在圆上，OP=3，求点P到圆心O的切线长度。

3. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

试题三：概率统计部分1. 抛掷一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率。

2. 从1到10的整数中随机选择一个数，求这个数是奇数的概率。

3. 一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。

随机选择5名学生，求至少有3名男生的概率。

试题四：数论部分1. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( n^5 - n \) 总是能被30整除。

2. 求所有小于100的正整数，它们既是完全平方数，又是完全立方数。

3. 证明：不存在两个连续的完全平方数，它们的和是一个完全立方数。

答案：试题一：1. 将 \( x = 2 \) 代入表达式，得到 \( (2^2 - 3*2 + 2) / (2 -1) = 0 \)。

2. 解方程 \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)，使用公式 \( x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)，得到 \( x = \frac{-5 \pm\sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4} \)，即 \( x = -2 \)或 \( x = \frac{1}{2} \)。

3. 证明：\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \)，而 \( 2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2 \)，显然 \( 2ab \leq 2a^2 + 2b^2 \)，所以 \( (a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) \)。

高中数学竞赛二试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是有理数？A. √2B. πC. -1/3D. 02. 如果一个函数f(x)在x=a处可导，那么下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=a处一定连续B. f(x)在x=a处不一定连续C. f(x)在x=a处一定不连续D. 以上都不对3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，那么该数列的第10项是：A. 17B. 19C. 21D. 234. 在一个平面直角坐标系中，点A(1,2)和点B(4,6)，直线AB的斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么这个直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知等差数列的首项为3，公差为2，该数列的第5项是________。

7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点是________。

8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其外接圆的半径是________。

9. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，求直线l与x轴的交点坐标________。

10. 将圆x^2 + y^2 = 25沿着x轴正方向平移3个单位后，新的圆的方程是________。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。

12. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。

13. 已知椭圆的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0)，且椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于10。

求椭圆的方程。

四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：对于任意实数x和y，不等式(x + y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)总是成立。

15. 证明：如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。

加试模拟训练题(14)1、非等腰AABC的内切圆圆心为/，其与BC,CA,AB分别相切于点A^B^C,, AA r, BB, 分别交圆于爲,场，AAQG中的角平分线分别交dG，£G于点九，场，证明(1)乌令是G的角平分线；(2)如果P,0是AA］出含和肚屁场的两个外接圆2、对任意实数兀,y,z，试证：-―(%2 + y2 +9z2) < xy + 2xz + 3yz < +(x2 +)；2 +9z2).3、设"是正整数，我们说集合｛1, 2, •••, 2"｝的一个排列（勺內‘…心）具有性质P，是指在｛1, 2, •••, 2"—1｝当中至少有一个几使得I X； - x j+l \= n.求证，对于任何"，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.4、求方p r -q s 1= 1的整数解，其中是质数，r,s是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.加试模拟训练题(14)1、非等腰AABC的内切圆圆心为/，其与BC,CA,AB分别相切于点4,冋,G ,妙,BB{ 分别交圆于％，场，AA0C1中ZC1A1B I,ZC I B1A1的角平分线分别交于点九,％，证明(1) %令是的角平分线；(2)如果P,0是AA.A4和的两个外接圆的交点，则点/在直线PQ上。

证明(1 )因为AAQA s , AA5,A s AA4Q ,所以有呈=AA^ =业，从而有尘=£A =,即4 4是的角平分线。

C/1 AC] AB X B}A X BjA,昭B{A3A(2)设AA]令&的外心为O,连01,1\,0^,0\,则0/丄4令。

由于ZA J A3A=ZAC4 + ZC^A3 + ZQ^Aj = ZA]C]4 +|(ZC1A2B I + ZCjA.fi! ) = 90° + ZA1C/2，所以ZA2OI=^=180°- ZA,A3A = 90° - Z^QA2 = 90° - ZA2IO , 于是有ZZ42O=90°,即他与O相切于厶。

数学初中竞赛 数与式 专题训练一．选择题1．已知100个整数a 1，a 2，a 3，…，a 100满足下列条件：a 1＝1，a 2＝﹣|a 1+1|，a 3＝﹣|a 2+1|，……a 100＝﹣|a 99+1|，则a 1+a 2+a 3+…+a 100＝（ ）A ．0B ．﹣50C ．100D ．﹣1002．a 为绝对值小于2019的所有整数的和，则2a 的值为（ ）A ．4036B ．4038C ．2D ．03．多项式a 3﹣b 3+c 3+3abc 有因式（ ）A ．a +b +cB ．a ﹣b +cC ．a 2+b 2+c 2﹣bc +ca ﹣abD ．bc ﹣ca +ab4．由（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝a 3﹣a 2b +ab 2+a 2b ﹣ab 2+b ＝a 3+b 3，即（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝a 3+b 3．我们把这个等式叫做立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）A ．（x +4y ）（x 2﹣4xy +16y 2）＝x 3+64y 3B ．（a +1）（a 2﹣a +1）＝a 3+1C ．（2x +y ）（4x 2﹣2xy +y 2）＝8x 3+y 3D ．（x +3）（x 2﹣6x +9）＝x 3+275．已知x ＝﹣，则x 3+12x 的算术平方根是（ ） A ．0B ．2C ．D ．2 6．如果，p ，q 是正整数，则p 的最小值是（ ） A ．15 B ．17 C ．72 D ．1447．式子|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣4|+|x ﹣8|的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，s ＝|2﹣2x |+|2﹣3x |+|2﹣5x |的值恒为一常数，则此常数值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．69．如果实数a 满足：﹣2014＜a ＜0，则|x ﹣a |+|x +2014|+|x ﹣a +2014|的最小值是（ ）A ．2014B ．a +2014C ．4028D ．a +402810．在，，0.2012，，这5个数中，有理数的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．现有一列数a 1，a 2，a 3，…，a 2008，a 2009，a 2010，其中a 2＝﹣1，a 31＝﹣7，a 2010＝9，且满足任意相邻三个数的和为相等的常数，则a 1+a 2+a 3+…+a 98+a 99+a 100的值为（ ）A ．0B ．40C ．32D ．2612．以下三个判断中，正确的判断的个数是（ ）（1）x 2+3x ﹣1＝0，则x 3﹣10x ＝﹣3（2）若b +c ﹣a ＝2+，c +a ﹣b ＝4﹣，a +b ﹣c ＝﹣2，则a 4+b 4+c 4﹣2（a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2）＝﹣11（3）若a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ，a 4＝a 3q ，则a 1+a 2+a 3+a 4＝（q ≠1） A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题13．如果（x +3）（x +a ）﹣2可以因式分解为（x +m ）（x +n ）（其中m ，n 均为整数），则a 的值是 ． 14．已知互不相等的实数a ，b ，c 满足，则t ＝ ． 15．将1、2、3……、20这20个自然数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作x ，另一个记作y ，代入代数式（|x ﹣y |+x +y ）中进行计算，求出其结果，10组数代入后可求得10个值，则这10个值的和的最小值是 ．16．若对于某一特定范围内的x 的任一允许值，P ＝|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣9x |+|1﹣10x |为定值，则这个定值是 ．17．甲、乙两同学进行数字猜谜游戏，甲说一个数a 的相反数是它本身，乙说一个数b 的倒数也是它本身，则a ﹣b ＝ ．18．已知a 2+4a +1＝0，且，则m ＝ ．19．对于任意实数a 、b 、c 、d ，定义有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“△”为：（a ，b ）△（c ，d ）＝（ac +bd ，ad +bc ）．如果对于任意实数u 、v ，都有（u ，v ）△（x ，y ）＝（u ，v ），那么（x ，y ）为 ．20．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得也是一个正整数，则k ＝ ．（结果用含p 的代数式表示）三．解答题21．a ，b ，c 是三角形三边长，且a 2﹣16b 2﹣c 2+6ab +10bc ＝0，求证：a +c ＝2b ．22．阅读材料：把代数式x 2﹣6x ﹣7因式分解，可以如下分解： x 2﹣6x ﹣7＝x 2﹣6x +9﹣9﹣7＝（x ﹣3）2﹣16＝（x ﹣3+4）（x ﹣3﹣4）＝（x +1）（x ﹣7）（1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x 2﹣8x +7因式分解；（2）拓展：把代数式x 2+2xy ﹣3y 2因式分解：当＝ 时，代数式x 2+2xy ﹣3y 2＝0．23．阅读下列材料：我们知道|x |的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即|x |＝|x ﹣0|，也就是说，|x |表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为|x 1﹣x 2|表示在数轴上数x 1与数x 2对应的点之间的距离；例1．解方程|x |＝2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x |＝2的解为x ＝±2．例2．解不等式|x ﹣1|＞2．在数轴上找出|x ﹣1|＝2的解（如图1），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x ＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．例3．解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和﹣2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和﹣2对应的点的距离为3（如图2），满足方程的x对应的点在1的右边或﹣2的左边．若x对应的点在1的右边，可得x＝2；若x对应的点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，因此方程|x﹣1|+|x+2|＝5的解是x＝2或x＝﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|＝4的解为；（2）解不等式：|x﹣3|≥5；（3）解不等式：|x﹣3|+|x+4|≥9．24．有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．（1）若小明依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是；若将1，2，3，4这4个整数任意的一个一个的输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是，最小值是；（2）若随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10，求k的最小值．25．（1）一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值，就称这个正整数为“好整数”，如4＝，2007＝，2008＝，4，2007，2008都是“好整数”，记“好整数”的集合为M，正整数的集合为N+，求证：M＝N+．（2）记a＝12+22+32+…+20122+20132，求证：a可以写成2012个不同的正整数的平方和．参考答案一．选择题1．解：∵a 1＝1，a 2＝﹣|a 1+1|，a 3＝﹣|a 2+1|，……a 100＝﹣|a 99+1|，∴a 2＝﹣2，a 3＝﹣1，a 4＝0，a 5＝﹣1，a 6＝0，a 7＝﹣1，……，a 100＝0，∴从a 3开始2个一循环，∴a 1+a 2+a 3+…+a 100＝（1﹣2）+（﹣1+0）×49＝﹣50．故选：B ．2．解：∵绝对值小于2019的所有整数有0，±1，2，±3，…，±2016，±2017，±2018， ∴a ＝2018+2017+2016+…+1+0+（﹣1）+（﹣2）+…+（﹣2017）+（﹣2018）＝[2018+（﹣2018）]+[2017+（﹣2017）]+…+[2+（﹣2）]+[1+（﹣1）]+0＝0∴2a ＝0故选：D ．3．解：原式＝（a ﹣b ）3+3ab （a ﹣b ）+c 3+3abc＝[（a ﹣b ）3+c 3]+3ab （a ﹣b +c ）＝（a ﹣b +c ）[（a ﹣b ）2﹣c （a ﹣b ）+c 2]+3ab （a ﹣b +c ）＝（a ﹣b +c ）（a 2+b 2+c 2+ab +bc ﹣ca ）．故选：B ．4．解：∵立方公式（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝a 3+b 3∵A ．（x +4y ）（x 2﹣4xy +16y 2）＝．（x +4y ）[x 2﹣4y •x +（4y ）2]＝x 3+64y 3＝x 3+（4y ）3；∴符合以上公式，故A 正确；∵B ．（a +1）（a 2﹣a +1）＝（a +1）（a 2﹣1×a +13）＝a 3+13；∴符合以上公式，故B 正确； ∵C ．（2x +y ）（4x 2﹣2xy +y 2）＝（2x +y ）[（2x ）2﹣2x •y +y 2）]＝（2x ）3+y 3；∴符合以上公式，故C 正确；∵D ．（x +3）（x 2﹣6x +9）＝（x +3）（x 2﹣2×3×x +9）＝x 3+27∴不符合以上公式，故D 正确；故选：D ．5．解：设＝a ，＝b ，则a 3＝+1，b 3＝﹣1．又∵4＝（+1）（﹣1）＝a3b3，∴x＝a2b﹣ab2，x2＝a4b2﹣2a3b3+a2b4，故原式＝x（x2+12）＝（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12）＝（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12）＝（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4）＝ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab）＝a3b3（a3﹣b3）＝（+1）（﹣1）（+1﹣+1）＝4×2＝8．则其算术平方根是：2．故选：D．6．解：由题意得， p＜q＜p，如果p＝15，则此时13.325＜q＜13.33，q没有正整数值；如果p＝17，则此时14.875＜q＜15.111，q可取15；如果p＝72，则此时63＜q＜64，q没有正整数值；如果p＝144，则此时126＜q＜128，q可取127；综上可得p的最小值为17．故选：B．7．解：当x≤2时，原式＝（2﹣x）+（4﹣x）+（4﹣x）+（8﹣x）＝18﹣4x，∵﹣4＜0，∴此时|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|≥10；当2＜x≤4时，原式＝（x﹣2）+（4﹣x）+（4﹣x）+（8﹣x）＝14﹣2x，∵﹣2＜0，∴此时6≤|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|＜10；当4＜x≤8时，原式＝（x﹣2）+（x﹣4）+（x﹣4）+（8﹣x）＝2x﹣2，∵2＞0，∴此时6＜|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|≤14；当x＞8时，原式＝（x﹣2）+（x﹣4）+（x﹣4）+（x﹣8）＝4x﹣18，∵4＞0，∴此时|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|＞14．综上可知：|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣4|+|x﹣8|的最小值为6．故选：C．8．解：∵s为定值，∴s的表达式化简后x的系数为0，由于2+3＝5，∴x的取值范围是：2﹣3x≥0且2﹣5x≤0，即≤x≤，∴P＝2﹣3x+2﹣3x﹣（2﹣5x）＝4﹣2＝2．故选：B．9．解：∵﹣2014＜a＜0，∴a﹣2014＜﹣2014＜a，当x＜a﹣2014时，|x﹣a|+|x+2014|+|x﹣a+2014|，＝﹣（x﹣a）﹣（x+2014）﹣（﹣a+2014），＝2a﹣4028﹣3x＞2014﹣a＞2014；当a﹣2014≤x＜﹣2014时，|x﹣a|+|x+2014|+|x﹣a+2014|，＝﹣（x﹣a）﹣（x+2014）+（x﹣a+2014），＝﹣x∈（2014，2014﹣a]；当﹣2014≤x＜a时，|x﹣a|+|x+2014|+|x﹣a+2014|，＝﹣（x﹣a）+（x+2014）+（x﹣a+2014），＝x+4028∈[2014，4028+a]；当a≤x时，|x﹣a|+|x+2014|+|x﹣a+2014|，＝（x﹣a）+（x+2014）+（x﹣a+2014），＝3x﹣2a+4028≥4028+a＞2014．综上|x﹣a|+|x+2014|+|x﹣a+2014|的最小值为2014．故选：A．10．解：是分数，是有理数；是无限不循环小数，是无理数；0.2012是分数，是有理数；＝（﹣）＝（﹣）＝（﹣1﹣）＝﹣，是有理数；对于，假设n+4＝m2（m为正整数）是完全平方数，则n+2＝m2﹣2，不是完全平方数，故是无理数．故选：B．11．解：∵a1+a2+a3＝a2+a3+a4，∴a1＝a4，同理可得a 1＝a4＝a7＝…＝a100＝a31＝﹣7，a 2＝a5＝a8＝…＝a98＝﹣1，a 3＝a6＝a9＝…＝a99＝a2010＝9，由各数出现的规律可知，从a1开始到a100的数列中，﹣7出现了34次，﹣1出现了33次，9出现了33次，则a1+a2+a3+…+a98+a99+a100＝（﹣7）×34+（﹣1）×33+9×33 ＝26．故选：D．12．解：（1）x3﹣10x＝x（x2﹣10）＝x（1﹣3x﹣10）＝﹣3（x2+3x）＝﹣3，故（1）正确；（2）a4+b4+c4﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）＝（a2﹣b2﹣c2）2﹣4b2c2＝（a2﹣b2﹣c2+2bc）（a2﹣b2﹣c2﹣2bc）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a+b+c）（a﹣b﹣c）又知b+c﹣a＝2+，c+a﹣b＝4﹣，a+b﹣c＝﹣2，可得a+b+c＝4+，故a4+b4+c4﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）＝﹣11，故（2）正确；（3）当q＝1时，a1+a2+a3+a4＝4a1，当q≠1时，a1+a2+a3+a4＝，故（3）正确，正确的有3个，故选D．二．填空题（共8小题）13．解：∵（x+3）（x+a）﹣2可以因式分解为（x+m）（x+n），∴（x+3）（x+a）﹣2＝（x+m）（x+n），展开得：a+3＝m+n 3a﹣2＝mn，进一步得到：mn＝3m+3n﹣11，整理得（m﹣3）（3﹣n）＝2，∵其中m，n均为整数，∴m﹣3＝±1或±2，∴m＝4，n＝1 a＝2 或m＝5 n＝2 a＝4或m＝2 n＝5 a＝4或m＝1 n＝4 a＝2，∴a的值是2或4，故答案为2或4．14．解：设a+＝t，则b＝，代入b+＝t，得： +＝t，整理得：ct2﹣（ac+1）t+（a﹣c）＝0 ①又由c+＝t，可得ac+1＝at②，把②代入①式得ct2﹣at2+（a﹣c）＝0，即（c﹣a）（t2﹣1）＝0，又∵c≠a，∴t2﹣1＝0，∴t＝±1．验证可知：b＝，c＝时，t＝1；b＝﹣，c＝﹣时，t＝﹣1．∴t＝±1．故答案为：±1．15．解：①若x≥y，则代数式中绝对值符号可直接去掉，∴代数式等于x，②若y＞x则绝对值内符号相反，∴代数式等于y，由此一来，只要20个自然数里面最小的十个数字从1到10任意俩个数字不同组，这样最终求得十个数之和最大值就是十个数字从1到10的和，1+2+3+…+10＝55．故答案为：55．16．解：∵P为定值，∴P的表达式化简后x的系数为0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x的取值范围是：1﹣7x≥0且1﹣8x≤0，即≤x≤；所以P＝（1﹣2x）+（1﹣3x）+…+（1﹣7x）﹣（1﹣8x）﹣（1﹣9x）﹣（1﹣10x）＝6﹣3＝3．故答案为：3．17．解：∵一个数a的相反数是它本身，∴a＝0，∵一个数b的倒数也是它本身，∴b＝±1，∴a﹣b＝0﹣1＝﹣1，或a﹣b＝0﹣（﹣1）＝0+1＝1，∴a﹣b＝±1．故答案为：±1．18．解：∵a2+4a+1＝0，∴a2＝﹣4a﹣1，＝＝＝＝＝5，∴（16+m）（﹣4a﹣1）+8a+2＝5（m﹣12）（﹣4a﹣1），原式可化为（16+m）（﹣4a﹣1）﹣5（m﹣12）（﹣4a﹣1）＝﹣8a﹣2，即[（16+m）﹣5（m﹣12）]（﹣4a﹣1）＝﹣8a﹣2，∵a≠0，∴（16+m）﹣5（m﹣12）＝2，解得m＝．故答案为．19．解：∵（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc），∴（u，v）△（x，y）＝（ux+vy，uy+vx），∵（u，v）△（x，y）＝（u，v），∴，∵对于任意实数u、v，该方程组都成立，∴x＝1，y＝0，故答案为x＝1，y＝0．20．解：设＝n，k2﹣pk﹣n2＝0，k＝，从而p2+4n2是平方数，设为m2，p2+4n2＝m2，则（m﹣2n）（m+2n）＝p2∵p是质数，p≥3，∴，解得：∴，∴k1＝，k2＝（负值舍去）故答案为：三．解答题（共5小题）21．解：∵a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc＝0，∴a2+6ab+9b2﹣（c2﹣10bc+25b2）＝0，∴（a+3b）2﹣（c﹣5b）2＝0，∴（a+3b+c﹣5b）（a+3b﹣c+5b）＝0，即（a+c﹣2b）（a+8b﹣c）＝0，∵a，b，c是三角形三边长，∴a+b﹣c＞0，∴a+8b﹣c＞0，∴a+c﹣2b＝0，∴a+c＝2b．22．解：（1）x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16﹣16+7＝（x﹣4）2﹣32＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）（2）x2+2xy﹣3y2＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2＝（x+y）2﹣4y2＝（x+y+2y）（x+y﹣2y）＝（x+3y）（x﹣y），当＝﹣3或1时，x2+2xy﹣3y2的值为0．23．解：（1）∵在数轴上到﹣3对应的点的距离等于4的点对应的数为1或﹣7，∴方程|x+3|＝4的解为x＝1或x＝﹣7．（2）在数轴上找出|x﹣3|＝5的解．∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为﹣2或8，∴方程|x﹣3|＝5的解为x＝﹣2或x＝8，∴不等式|x﹣3|≥5的解集为x≤﹣2或x≥8．（3）在数轴上找出|x﹣3|+|x+4|＝9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和﹣4对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上3和﹣4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或﹣4的左边．若x对应的点在3的右边，可得x＝4；若x对应的点在﹣4的左边，可得x＝﹣5，∴方程|x﹣3|+|x+4|＝9的解是x＝4或x＝﹣5，∴不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为x≥4或x≤﹣5．24．解：（1）根据题意可以得出：|1﹣2|＝|﹣1|＝1，|1﹣3|＝|﹣2|＝2，|2﹣4|＝|﹣2|＝2，对于1，2，3，4，按如下次序|||1﹣3|﹣4|﹣2|＝0，|||1﹣3|﹣2|﹣4|＝4，故全部输入完毕后显示的结果的最大值是4，最小值是0；故答案为：2，4，0；（2）∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10，∴设b为较大数字，当a＝1时，|b﹣|a﹣2||＝|b﹣1|＝10，解得：b＝11，故此时任意输入后得到的最小数为：|2﹣|11﹣1||＝8，设b为较大数字，当b＞a＞2时，|b﹣|a﹣2||＝|b﹣a+2|＝10，则b﹣a+2＝10，即b﹣a＝8，则a﹣b＝﹣8，故此时任意输入后得到的最小数为：|a﹣|b﹣2||＝|a﹣b+2|＝6，综上所述：k的最小值为6．25．（1）证明：因为每个“好整数”都是正整数，所以M⊆N+；另一方面，对每个n∈N+，都有n＝，所以n是“好整数”，即n∈M，所以N+⊆M，因此M＝N+；（2）证明：只需从12至20132中去掉两个，根据勾股定理，换上一个大于20132的数，∵20002＝42×5002，32+42＝52，∴32×5002+42×5002＝52×5002，即15002+20002＝25002，因此从a中去掉15002和20002，添加25002，即将a写成了2012个不同的正整数的平方和．。

加试模拟训练题(88)1.以0为圆心的圆通过/4BC的两个顶点A、C,且与4B、BC 两边分别相交于K、N两点,AABC和/KBN的两外接圆交于B、M 两点.证明：ZOMB为直角.2. 设a和b为实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1 =0至少有一个实根，对所有这种数对(a, b),求出的最小可能值.3 一条平行于x轴的直线,如果它与函数y=x"+px'+qx" + rx+s的图像相交于互异的四点A、B、C、D,而线段AB、AC与AD可以构成某个三角形的三条边，那么就称此直线为“三角形的”.证明；平行于x轴而与上述函数的图像相交于四个不同点的直线中，要么全都是三角形的，要么没有一条是三角形的.4.已知实函数/(x, y)满足/(%,0) = 1, ①z) = f(z,xy) + z.求/(x, y)的表达式・蒿圭字2网加试模拟训练题(88)1.以O为圆心的圆通过/4BC的两个顶点4、C,且与4B、BC两边分别相交于K、N两点，AABC和ZJKB/V的两外接圆交于B、M两点.证明：ZOMB为直角.分析对于与圆有关的问题，常可利用圆幕定理，若能找到B/M上一点，使该点与点P对于圆O等幕即可.证明：由BM、KN、4C三线共点P,知PMPB=PN-PK=PO2~r2. (1) 由ZPMN=ZBKN=ZCAN,得P、M、N、C 共圆, 故BM-BP=BN-BC=BO2~r2.⑵⑴一⑵得，PM-PB~BM-BP= PO2- BO2,即(PM~BM)(PM+BM)= PO2-BO2,就是PM2-BM2= PO2- BO2,于是0/W丄PB.2.设a和b为实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实根，对所有这种数对(a, b),求出a'+b'的最小可能值.【题说】第十五届(1973年)国际数学奥林匹克题3.本题由瑞典提供.【解】设实数x使x4+ax3+bx2+ax+l=0从而方程y2+ay+(b-2)=0有一宴根，宪对值为I I >2. 0ftta a-4(b-2)>O.并且此式即C则平方整理得2 I a I工2+b从而由ftW»3b = -|f a=±扌时，a^ + b a WHk<M&|«8t«= * 2^程x4+ax3+bx2+ax+l 的实根).3 一条平行于x轴的直线,如果它与函数y=x*+px'+qx' + rx+s的图像相交于互异的四点A、B、C、D,而线段AB、AC与AD可以构成某个三角形的三条边，那么就称此直线为“三角形的”.证明；平行于x轴而与上述函数的图像相交于四个不同点的直线中，要么全都是三角形的，要么没有一条是三角形的.【题说】1980年四国国际数学竞赛题5.本题由芬兰提供.【证】设有一条直线是三角形的，不妨设它就是x轴，并且交点A在最左面(如果B在最左, A为左起第二个，则BA、BC、BD也成三角形，其它情况令x = —t就可以化成这两种)，A就是原点.这时B、C、D的横坐标是三次方程x3+px2+qx+r = 0的三个根，它们可以作为三角形的三条边的充分必要条件是P<0, q>0, rVO及p3>4pq-8r.任一条平行于x轴的直线y = y°与y = x" + px3 + qx'+rx + s的四个交点的横坐标记为x o<xi<x2<x3,则正数a=Xj —x0, b = x2—Xo, C=x3—Xo及0 满足方程y0= (x + Xo)4+p (x+Xo)3 + q (x + Xo)2+r (x + Xo) +s从而a、b、c是方程+P)«3-»- (“： +3p«i +q) K+(4#+3px： 42^ 4r) =0的根.由于(41, +p) 1 -4(4r( 4- p) (&： +3fw. +q)+8(4K： +3p«J +r)= p3 —4pq+8r>0所以a、b、c可以作为三角形的边长.即直线y=y。

加试模拟训练题（36）1、设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,证明:点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆．2、对一切非负整数x、y,函数f(x,y)满足(1)f(0,y)＝y＋1；(2)f(x＋1,0)＝f(x,1)； (3)(x＋1,y＋1)＝f(x,f(x＋1,y))试确定f(4,1981)．3、在第一行中写有19个不超过88的自然数,第二行写有88个不超过19的自然数,我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段．证明:可以从上述两行数中各选出一段来,使得这两段数的和相等．4、证明:不定方程x2+y2+z2+3(x+y+z)+5=0没有有理数解。

加试模拟训练题（36）1、设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,证明:点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆．【题说】第22届(1993年)美国数学奥林匹克题2．【证】以E为相似中心作相似变换,相似比为1／2,此变换把E关于AB、BC、CD、DA的对称点变为E在AB、BC、CD、DA上的射影P、Q、R、S(如图),只须证明PQRS是圆内接四边形．由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR及ERDS都是圆内接四边形(每个四边形都有一组对角为直角),由E、P、B、Q共圆,∠EPQ＝∠EBQ,由EQCR共圆,有∠ERQ＝∠ECQ,于是∠EPQ＋∠ERQ＝∠EBQ＋∠ECQ＝90º同理可得∠EPS＋∠ERS＝90º从而,有∠SPQ＋∠QRS＝180º,故PQRS是圆内接四边形．2、对一切非负整数x、y,函数f(x,y)满足(1)f(0,y)＝y＋1； (1)(2)f(x＋1,0)＝f(x,1)； (2)(3)(x＋1,y＋1)＝f(x,f(x＋1,y))． (3)试确定f(4,1981)．【题说】第二十二届(1981年)国际数学奥林匹克题6．【解】令x＝0,由(2)与(1)得f(1,0)＝f(0,1)＝2．在(3)中令x＝0,y＝n－1,并利用(1)及前式,有f(1,n)＝f(0,f(1,n－1))＝f(1,n－1)＋1＝n＋f(1,0)＝n＋2 (4)由(3)、(4)得 f(2,n)＝f(1,f(2,n－1))＝f(2,n－1)＋2＝2n＋f(2,0)又 f(2,0)＝f(1,1)＝1＋2＝3所以 f(2,n)＝2n＋3 (5)由(3)、(5)得f(3,n)＋3＝f(2,f(3,n－1))＋3＝2f(3,n－1)＋6＝2[f(3,n－1)＋3]＝…＝2n＋3所以 f(3,n)＝2n＋3－3 (6)由(3)、(6)得f(4,n)＋3＝f(3,f(4,n－1))＋3＝2f(4,n －1)＋3＝…＝ (共有n 个2)由于 f(4,0)＋3＝f(3,1)＋3＝24所以 f(4,n)＝3＋ (n ＋3个2)故 f(4,1981)＝－3＋ (1984个2)3、 在第一行中写有19个不超过88的自然数,第二行写有88个不超过19的自然数,我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段．证明:可以从上述两行数中各选出一段来,使得这两段数的和相等．【题说】 第二十二届(1988年)全苏数学奥林匹克八年级题4．【证】 设a 1,a 2,…,a 19为第一行数；b 1,b 2,…,b 88是第二行数．记A(i)＝a 1＋…＋a i ,B(i)＝b 1＋…＋b i假定 A(19)≥B(88)(对于A(19)＜B(88)的情形可类似处理)对于每个i,记n i ＝min{n ；A(n)≥B(i),1≤n ≤19} 根据假设,这样的n i 是存在的．我们来考察88个差数A(n i )－B(i)．显然它们的值为整数,且都在0至87之间,这是因为如果这88个差数互不相同,则它们之中必有一个为0,于是我们的命题获证．否则,这88个差数中至少有某两个相等,不妨设i 1＝l,i 2＝k,l ＜k使得A(n l )－B(l)＝A(n k )－B(k),于是就有A(n l )－A(n k )＝B(l)－B(k)显然,题意中的19、88可以换成任意自然数．4、证明:不定方程x 2+y 2+z 2+3(x +y +z )+5=0没有有理数解。

加试模拟训练题（64）1．锐角△ABC 中,O ,G ,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外,重心到三边距离和为d 重,垂心到三边距离和为d 垂.求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重.2. a 1,a 2,…,a n 是正整数1,2,…,n 的任一排列．设f （n ）是下述排列的个数,它们满足条件:（1）a 1=1（2）|a i -a i+1|≤2,i=1,2,…,n-1试问f （1996）能否被3整除．B C O I A O G H O G H G O G H 1231122333. P 在坐标平面的格点上移动,当P 的坐标为(a,b)时,若a ＋b 除以4所得的余数分别为0,1,2,3时,点P 分别向右、上、左、下移动一个单位．从某个格点P 0出发,按上述规则移动10次,P 走到(0,10)点．求P 0的一切可能位置．4.设a,b 为正整数,对任意的自然数n 有n n a n b n ++,则a=b 。

加试模拟训练题（64）1．锐角△ABC 中,O ,G ,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外,重心到三边距离和为d 重,垂心到三边距离和为d 垂.求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重.分析:这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1,三个内角记为A ,B , C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ,∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C , 同样可得BH 2·CH 3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②∴BCHBH sin =2, ∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C .同样可得HH 2,HH 3.∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③欲证结论,观察①、②、③,须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.2. a 1,a 2,…,a n 是正整数1,2,…,n 的任一排列．设f （n ）是下述排列的个数,它们满足条件:（1）a 1=1（2）|a i -a i+1|≤2,i=1,2,…,n-1试问f （1996）能否被3整除．【题说】第二十八届（1996年）加拿大数学奥林匹克题3．【解】我们把满足条件（1）、（2）的排列a 1,a 2,…,a n 称作n 项正则排列．对于n 个数的正则排列,由于a 1=1,故a 2=2或3．（1）若a 2=2,则a 2,a 3,…,a n （的各项减去1后）是n-1项的正则排列,其个数为f （n-1）．（2）若a 2=3,a 3=2,则必有a 4=4,故a 4,a 5,…,a n （的各项减去3后）是n-3项的正则排列,其个数为f （n-3）．（3）若a 2=3,a 4≥4．设a k+1是该排列中第一个出现的偶数,则前k 个数应是1,3,5,…,（2k-1）,a k+1是2k 或（2k-2）．因此,a k 与a k+1是相邻整数．由条件（2）,这排列在a k+1后面的各数,要么都小于它,要么都大于它．因为2在a k+1之后,故a k+2,…,a n 均比a k+1小．这只有一种可能,即先依递增次序排出所有≤n 的正奇数,再接着依递减次序排出≤n 的正偶数．综上所述,有递推关系f （n ）=f （n-1）+f （n-3）+1,n ≥4容易算出:f （1）=1,f （2）=1,f （3）=2,f （4）=4,等等模3的余数依次是B C O IA O G H O G H G O G H 1231122331,1,2,1,0,0,2,0,1,1,2,1,…以8为周期．因为1996≡4（mod 8）所以f （1996）≡f （4）≡1（mod 8）故f （1996）不能被3整除．3. P 在坐标平面的格点上移动,当P 的坐标为(a,b)时,若a ＋b 除以4所得的余数分别为0,1,2,3时,点P 分别向右、上、左、下移动一个单位．从某个格点P 0出发,按上述规则移动10次,P 走到(0,10)点．求P 0的一切可能位置．【题说】1994年日本数学奥林匹克预选赛题4．【解】对于P ＝(a,b)．记a ＋b 除以4的余数为m(P),点移动的情况如下表所示设从P 0出发,经n 次移动后移动到P n 处．由上表知,当i ≥1时,m(P i )＝1或2,且P i ＋2＝P i ＋(－1,1)．所以P 10＝P 8＋(－1,1)＝…＝P 2＋4(－1,1)即P 2＝P 10－4(－1,1)＝(4,6)P 1＝(4,5)由上表即知P 0＝(3,5)或(5,5)．4.设a,b 为正整数,对任意的自然数n 有n n a n b n ++,则a=b 。

加试模拟训练题(26)1、设锐角△/应'的//平分线交〃7于Z,交外接圆于也自点Z分别向/方和作垂线ZK和成垂足分别为芯和必求证: 的面积等于四边形血湖的面积.2.设x,y,ze (0, + co),且xyz = l,证明—，—+—，—+—Z—>2 (l + y)(l + z) (l + x)(l + z) (l + x)(l+y) 4%33、若四位数n = abed的各位数码a,b,c,d中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长, 则称"为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数.4、如果一个正整数〃在二进制下表示的各数字之和可以被3整除，那么我们称“为“好的”, 则前2005个“好的”正整数之和是多少？加试模拟训练题(26)1、设锐角网的平分线交网于Z,交外接圆于川自点Z分别向03和/C作垂线ZK和LM,垂足分别为"和必求证：的面积等于四边形』砌的面积.【题说】第二十八届(1987年)国际数学奥林匹克题2.本题由原苏联提供.【证】作△宛T的高物，则刀、K、H、L、彤五点共圆.连结依HM、HN、列和泌，便有/KHB= ZBAL= ZNAC= ZHBNZMHC= AMAN= ZNAB= ZNCH 故知KH//BN, HM//NC.从而有Sr\knn=5A tv/,Sr\nuc= Sr\nu_\山此即得5A,<«'=S/XAKNU易知△ABLs AANC,所以以上二式相加可—。

AB* AC=AN* ALAL Ji tz1 1S SBC =&ABX ACsinA=-^ALX.ANsmA=2 xf (血 X cos~) X AVX sj&1 A=2 X ANsi 吃=2 S/\,IA.\= S-IA.MI 2,设 x,y,ze (0, + oo),且 xyz = l ,证明r 3 v 3 733 ------ : --------- + -------- = -------- + --------- - ------- >-. (1998 年第 39 届 IM0 预选试题) (1+ y)(l + z) (1 + x)(l + z) (1 + x)(l + y) 4分析可利用均值不等式构造三个同向不等式相加来进行证明，也可以将所证不等式进行 等价转化。

加试模拟训练题（77）1 设戸为厶ABC内一点，ZAPB-ZACB=ZAPC~ ZABC.又设D, E分别是△ APB 及ZX/iPC的内心。

证明：AP, BD, CE交于一点。

2.考察数列｛c n｝：C1-C1+C2+---+08C2=*?+^+-+lJC.=*l+»5+- +*8其中5, 02,…，08是不全为0的实数.假定该数列中有无限多项5=0.求出所有使Cn=0的自然数n.3.在平面上给定六个点，其中任何三点都不在一直线上.证明：在这六个给定的点中，可以挑出这样三个点，使得在这三个点构成的三角形中，有一个角不小于120° .4.设”wN+，求证：512|(32"-32n2+24«-l).加试模拟训练题（77）1 设戸为厶ABC内一点，ZAPB-ZACB=ZAPC~ ZABCo又设D, E分别是△ APB及/XAPC的内心。

证明：AP, BD, CE交于一点。

证如图，过P向三边作垂线，垂足分别为R, S,几连RS, ST, RT,设BD 交AP 于M, CE 交AP 于N。

易知P,R, A, S；P, T, B, R；P，S, C, 7■分别四点共圆，则ZAPB~ZACB=ZPAC+ZPBC= ZPRS+ZPRT=ZSRTo同理，ZAPC- ZABC=ZRST,由条件知ZSRT=ZRST,所以RT=ST。

又RT=PBsinB, ST=PCsinC,所以PBs^PCsinC,那么詈PC— oACAC AB AM由角平分线定理知竺NP PC PB MP故M, N重合，即AP,BD, CE交于一点。

2.考察数列｛c n｝：C1-c.= .?+«3+- +专其中a” a2）-,a8是不全为0的实数.假定该数列中有无限多项5=0.求出所有使6=0的自然数n.【题说】第九届（1967年）国际数学奥林匹克题5.本题由原苏联提供. 【解】不妨设ai的绝对值为最大，贝！］必有某个a“满足ai=-ai （iHl）.否则，当n充分大时，卜4负“（计）（刊II>0不失一般性可设a2=-Q1由于使％=0的血是奇数.侨臥a"硏=0.把屮屿去拝后所得的和6仍然有无穷多个为0.根据上面的推理，有（适当调整编号）：口3二-。

1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ）.A 12.B 2 .C 1 .D 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ）.A 0 .B 14 .C 34- .D 2-4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为 （ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 185.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 2 .B 3.C 2 .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y =（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM = .2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值. 二、（本题满分25分） (A ).如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++=求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(3) B)如图，在等腰ABC ∆中,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ）.A 12.B 2 .C 1 .D 【答案】A .【解析】22,2t ==<<-324,∴<< 即34,t <<3 1.a t ∴=-=又221,t -=---<-423,∴-<-<-(4)2b t ∴=---=111,22b a ∴-===故选A . 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩，解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩ 依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C . 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B .【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由22(121)2016k +≤得，9k ≤ 0,1,2,,8,9k ∴=，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为 333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦故选B .3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab =（ ） .A 0 .B 14 .C 34- .D 2- 【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2ba ab a<-<++= 故0,b < 且1b a =--， (1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =，故选B . 4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB ⊥于,C 14,2AC CB AB ∴===在Rt OAC ∆中，222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =，即3OC = （第4题答案图）OC 为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE 是O 的直径，90,B ∴∠=114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 2 .B 3.C 2 .D 12（第5题答案图）【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ∆～,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =,AMAHCM ∴=设,AM x = 则,CM x AH =∴=在Rt ABM ∆中，BM == 则AB AMAH BM⋅===显然0x ≠，化简整理得22100x -+=解得2x =（x =，故CM =在Rt CDM ∆中，12DM ==,故选D . 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1【答案】C .【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 34M =，故选C . 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C在反比例函数y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ∆中，cos BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD ∆中，sin CD BC B =⋅=（第1题答案图） 9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设,C m A n ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 依题意知0,n m >>故,CD n m AD =-=，于是32n m ⎧-=⎪⎪-=解得2m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭. 1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM = .【答案】2.【解析】（第1题答案图 1 ） （ 第1题答案图2） 依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠. (1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中，即1cos ,2DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中，tan tan 603,CD AD DAC =⋅∠== 1.DM =在Rt ADM ∆中，2AM ==.(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =.2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .【答案】126.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,BC ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=,,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=2,2180,βααβ∴=+=解得36,72αβ==，72DBC BCD ∴∠=∠=,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠== 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①得10003,t tx +=1000,3tx t+∴=x 是三位数，10001003tx t+∴=≥，解得 1000,299t ≤t 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007.【解析】由340q p --=得，34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值.又111p q +<，34111,q q ∴-+<3284q ∴<，因q 为质数，故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去.当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 【答案】10.【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则5M =；(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M ≤另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =. (下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数， 不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图) 【证明】：连接BC 、.BN AB 为O 的直径，CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠,ACB ADC ∴∆∆∽,AC ABAD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅ 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知: 点M 在CD 上，DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠,ANB ADM ∴∆∆∽,AN ABAD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅ ,AE AC =2AE AM AN ∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F 与直线AM 交于另一点P ,则F 与AB 切于点E ,即AE 是F 的切线，直线AMP 是F 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F 上，FN FE DE ∴==.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++=求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦ 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++-125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注：恒等式32()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= . (4) 求111xy yz zx++的值. (5) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦ ()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式= 1.x y z xyz++=（2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++ 222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】(B ).如图，在等腰ABC ∆中,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.（第3（B ）题答案图）【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =ABD ACB ∴∠=∠点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠ ,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等) BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AF AD AB ∴=22 5.AD AF AB ∴⋅===（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）。

加试模拟训练题（84） 2.数列｛an｝由下列条件决定：a1=1；n≥1时，an+1=an+1/an．求a100的整数部分[a100]． 3.在一个平面上有100个点，其中任意三点均不共线，我们考虑以这些点为顶点的所有可能的三角形，证明：其中至多有70%的三角形是锐角三角形． 4. 用表示不大于的最大整数，求 . 加试模拟训练题（84） 2. ?数列｛an｝由下列条件决定：a1=1；n≥1时，an+1=an+1/an．求a100的整数部分[a100]． 【题说】1990年日本数学奥林匹克第一轮选拔赛题12． 【解】由题有 因为an+1-an=1/an＞0，所以an递增．当≥2时，an≥a2=2，于是=200+98/4＜225 所以 14＜a100＜15 故[a100]=14．? 3.在一个平面上有100个点，其中任意三点均不共线，我们考虑以这些点为顶点的所有可能的三角形，证明：其中至多有70%的三角形是锐角三角形． 【题说】 第十二届(1970年)国际数学奥林匹克题6．本题由原苏联提供． 【证】 任意五个点，其中没有三点共线，则一定可以找到以它们为顶点的三个非锐角三角形．这个结论可分三种情形讨论． (1)若五个点组成一个凸五边形，则这个五边形中至少有两个内角为钝角，它们可能相邻(例如∠A、∠B)，也可能不相邻(例如∠A、∠C)，如图a、图b．再注意四边形ACDE中至少有一个内角非锐角，这样就找到了三个不同的非锐角，相应地得到三个非锐角三角形． (2)若五个点中有四个点组成一个凸四边形ABCD(图C)，另一点E在ABCD内部，则EA、EB、EC、ED相互间的夹角至少有两个钝角．再加上ABCD中的非锐内角，至少也可找到三个非锐角三角形． (3)若五个点中有三点组成一个三角形ABC(图d)，另外两点D和E均在△ABC内，由于∠ADB、∠BDC、∠CDA中至少有两个钝角，我们可以找到四个钝角三角形． 综合(1)、(2)、(3)可得结论． 数的比为 例2 用表示不大于的最大整数，求 . 讲解 题目的内层有2004个高斯记号，外层1个高斯记号.关键是弄清的含义，进而弄清加法谁与谁加、除法谁与谁除： （1）分子是哪些数相加，求出和来； 由，知分子是0～5的整数相加，弄清加数各有几个 1～3650365个366～7311366个732～10972366个1098～14633366个1464～18294366个1830～20045175个 （2）除法谁除以366，求出商的整数部分. 原式。

数学全国竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：已知 \( a, b, c \) 是一个二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根，且 \( a, b, c \) 都是正整数。

若 \( a + b + c = 14 \)，求 \( a, b, c \) 的可能值。

解答：根据韦达定理，我们知道 \( a + b + c = -\frac{b}{a} \) 且\( ab + ac + bc = \frac{c}{a} \)。

由于 \( a, b, c \) 都是正整数，我们可以设 \( a = 1 \)，因为如果 \( a > 1 \)，那么 \( a + b + c \) 将大于 14。

此时，\( b + c = 13 \)。

考虑到 \( b \) 和\( c \) 都是正整数，我们可以列出所有可能的 \( b \) 和 \( c \) 的组合：- \( b = 1, c = 12 \)- \( b = 2, c = 11 \)- \( b = 3, c = 10 \)- \( b = 4, c = 9 \)- \( b = 5, c = 8 \)- \( b = 6, c = 7 \)这些组合都满足 \( a + b + c = 14 \) 的条件。

试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AB 是斜边，且 AB = 10，BC = 6。

求 AC 的长度。

解答：根据勾股定理，我们有 \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)。

将已知数值代入，得到 \( AC^2 + 6^2 = 10^2 \)。

解这个方程，我们得到 \( AC^2 = 100 - 36 = 64 \)，所以 \( AC = 8 \)。

试题三：组合问题题目：有 5 个不同的球和 3 个不同的盒子，每个盒子至少放一个球。

求所有可能的放球方式。

解答：首先，我们把 5 个球分成 3 组，每组至少一个球。

加试模拟训练题(37)1、圆。

内切于四边形破力，与不平行的两边及；，〃分别切于R F点、.设直线刀。

与线段欧相交于芯点，直线〃。

与线段欧相交于"点，直线必与直线伽相交于脂点.证明：0、K、彤和0四点共圆.2、求证：不存在这样一个函数f： No—No, No={O, 1, 2, 3,…，n,…},使得对于任何 neNo, f[f(n)]=n+1987.3、将8X8方格纸板的一角剪去一个2X2正方形，问余下的60个方格能否剪成15块形如的小纸片？4、方程[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345 是否有解。

5、设工,y是区间［2, 100］中的整数，证明存在正整数n使得尸’ +尸是合数.加试模拟训练题(37)1、圆内切于四边形与不平行的两边成'、/〃分别切于E、尸点.设直线』亿与线段必相交于不点，直线〃。

与线段阱相交于川点，直线敏与直线GV相交于〃点.证明：。

、K、物和川四点共圆.【题说】第二十届(1994年)全俄数学奥林匹克十年级题3.【证】设内切圆切朋于夕点，连结#及昭则/AOP=ZFEP 且都等于余的一半，所以。

、K、E、夕四点共圆.因为ZOPB= Z0EB=9Q。

,所以。

、P、E在以游为直径的圆周上. 从而K点也在这个圆周上.所以ZBKO=W .同理可证/CNO=”f .于是Z<W-FZ64O^180°所以。

、爪彤和川四点共圆.2、求证：不存在这样一个函数f： No—No, N o= (0, 1, 2, 3, •••, n,…},使得对于任何n£No, f[f(n)]=n+1987.【题说】第二十八届(1987年)国际数学奥林匹克题4.本题由越南提供.【证】假设存在这样的函数f,则有f(n+1987) =f[f[f (n) ]]=f (n) +1987用归纳法可得 f (n+1987m) =f (n) + 1987m(m£Z).令i, je {0, 1, 2,…,1986) =M.若 f ⑴三j(mod 1987).设 j = f(i)+1987k,则有f(j) =f[f(i)+1987k]三f[f(i)]三i(mod 1987)因M的元素个数为奇数，故总存在neN,使f(n)三n(mod 1987)设 f(n) =n+1987k(kez),则f[f(n)]=f (n+1987k) =f(n) + 1987k= n+1987 • 2k(keZ)由题设f [f (n)] =n+1987,所以2k=l.矛盾.3、将8X8方格纸板的一角剪去一个2X2正方形，问余下的60个方格能否剪成15块形如UJJu的小纸片？【题说】第四届（1989年）东北三省数学邀请赛二试题3.【解】如图a,在余下的60个方格中填上1与一1,从左到右每列正负相间.显然任一块剪下的纸片中，四个数的和为2或一2.若能剪成15块，设其中和为2的有x块，和为一 2的有y块，贝U*+, = 152z-2y = 0这方程组的唯一解x = y=15 / 2不是整数，这就表明不可能剪成15块所述形状的纸片.【别解】若将小方格如图b填上1和一1,则任一块剪下的纸片中数字之和为1或一1.于是15块数字总和不为0,但整个图b数字之和为0.矛盾.4、方程[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345 是否有解。

加试模拟训练题(78)1 与©Q外切于P点、,QR为两圆的公切线，其中0,7?分别为®久®ft±的切点，过0且垂直于的直线与过斤且垂直于7FQ的直线交于点I,m垂直于aa,足为N, IN与勿交于点M。

证明：PM, R0\,他三条直线交于一点。

2.设函数f： N+-N+,满足条件f (1) =1,且对任意neN+都有3E (IL) f(2n + l) =f (加)(l+3f (n)) f(2n) <6f (Q)L试求方程 f (k) +f (1) =293, k<1 (*)的所有解.3.整数］到n排成一行，从2开始每隔一个整数就删去一个整数，到了端点就返回，将剩下的数反向地每隔一整数就删去一个整数，到了端点再返回，如此反复进行下去.例如，n = 5 时，则依次删去2, 4, 3, 5,最后剩下1.又如，n = 7时，则依次删去2, 4, 6, 5, 1> 7, 最后剩下3.那么，当n=1997时，最后剩下的是什么数？4.证明："+，/(”,k) = 2""+4“*+10都不能分解成若干个连续正整数之积。

证 如图，设他!与他交于点0,连加，m试求方程 (*)加试模拟训练题(78)O Q 与O Q 外切于p 点、，QR 为两圆的公切线，其中0,斤分别为G )久®ft±的切点，过0且垂直于的直线与过斤且垂直于的直线交于点I,刖垂直于40,垂足为N, 0与伽交于点 < 证 明：PM,R0\,他三条直线交于一点。

因为ZQ 炉莎90°，所以Q, 0…N,M 四点共圆，有Z 盼Z0QO 。

而 Z/他=90° =,RQ0\,所以,IQM=ZO3,故△叱△啦，得齡需由①，②得MO//QO,. 又山于0P(kQ, Pg RO 】,所以竺=陛=空OR RO, PO 2即0P 〃他。

从而MO// QOJ/ROJ/ 0P,故必0, P 二点共线，所以％ RO 、,他二条直 线相交于同一点。

全国数学能力竞赛试题及答案试题一：代数基础题目：解下列方程组：\[ \begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases} \]答案：将第一个方程乘以2得到 \( 2x + 2y = 10 \)，然后将其与第二个方程相加，得到 \( 3x = 11 \)，解得 \( x = \frac{11}{3} \)。

将 \( x \) 的值代入第一个方程，解得 \( y = 5 - \frac{11}{3} = \frac{4}{3} \)。

试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长度。

答案：根据勾股定理，AB的长度可以通过以下公式计算：\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]试题三：概率统计题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有1个红球的概率。

答案：首先计算没有红球的概率，即两个球都是蓝球的概率，为\( \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} \)。

因此，至少有1个红球的概率为 \( 1 - \frac{6}{56} = \frac{50}{56} = \frac{25}{28} \)。

试题四：数列与级数题目：数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} = 2a_n \)，求 \( a_5 \) 的值。

答案：根据数列的递推关系，可以依次计算出：\[ a_2 = 2a_1 = 2 \]\[ a_3 = 2a_2 = 4 \]\[ a_4 = 2a_3 = 8 \]\[ a_5 = 2a_4 = 16 \]试题五：组合数学题目：从10个人中选出3个人组成一个委员会，求不同的委员会组合数。

全国青少年数学竞赛(二级)及解析
1. 简介
全国青少年数学竞赛(二级)是中国教育部主办的一项重要的数学竞赛活动。

每年都有许多优秀的中小学生参加这项竞赛，展示他们的数学才华并提升自己的数学能力。

2. 竞赛内容和考试形式
二级数学竞赛主要涵盖以下几个方面的内容：
- 算术运算
- 几何与图形
- 代数与方程
- 函数与图像
- 统计与概率
竞赛采用笔试形式，学生需要在规定的时间内完成试卷上的各种题型，包括选择题、填空题和解答题等。

3. 竞赛解析和评分标准
竞赛结束后，组委会将对试卷进行解析，并按照一定的评分标准进行评分。

解析过程包括对每个题目的详细解答和解题思路的讲解，有助于学生加深对数学知识和解题方法的理解。

评分标准主要包括答题准确性、解题步骤和思路的清晰度以及解题时间的控制等方面。

4. 参与竞赛的好处
参与全国青少年数学竞赛(二级)有许多好处，包括：
- 锻炼数学思维能力和解题技巧
- 提高对数学知识的掌握和理解
- 培养团队合作和竞争意识
- 获取更多的研究和发展机会
- 增强自信心和积极心态
5. 结语
全国青少年数学竞赛(二级)是一个对学生进行数学能力考核和提升的重要平台。

通过参与竞赛，并研究解析和评分标准，学生能够不断提高自己的数学水平和竞争能力。

希望更多的学生能够积极参与这项竞赛活动，展现他们的才华和潜力。

加试模拟训练题(49)1.如图，在四边形4BCD中，对角线4C平分ZBAD,在CD上取一点E, BE与4C相交于F, 延长DF交BC于G,求证：ZGAC = ZEACA2.设xi, X2,…，x”是满足下列条件的实数：|xi+x2+…+x”|=l证明：存在Xi, X2,…，Xn的一个排列yi, y2,…，yn,使得3.两个人玩下面的游戏.一个人报一个数字，另外一个人则按自己的意愿用这个数字替换以下差式中的一个星号，这样进行8次，****_****将星号换成8个数字.报数的人要使差尽量大，而第二个人要使差尽量小.证明：1.无论第一个人怎样说，第二个人总能使所得的差不大于4000.2.无论第二个人怎样替换，第一个人总能使差不小于4000.4.设n为一个固定的正整数•证明：对任何非负整数k,下述不定方程x汁斗+•••（0有无穷多个正整数解（X1, X2,…，X”； y）加试模拟训练题（49）1.如图，在四边形4BCD中，对角线4C平分ABAD,在CD上取一点E, BE与4C相交于F, 延长DF交BC于G,求证：ZGAC = ZEAC证明：如图，连结BD^AC于H,对ABCD用塞瓦定理，有:CG BH DE 1GB HD BC因为AH是ZBAD的平分线，由角平分线定理，可得BH _ ABHD ~ ADCG AB DE [故：---------- =1GB AD EC过点C^AB的平行线交AG的延长线于/,过点C作4D 的平行线交AE的延长线于丿^CG=CJ_DE = ADGB AB" EC CJCI AB AD [AB AD CJ ~从而:CI = CJ又-：CI//AB,CJ//AD:.ZACI = 7i-ABAC = 7i-ADAC = ZACJ・・・AACZaAACJ:.ZIAC = ZJAC:.ZGAC = ZEAC2.设Xl, X2,…，Xn是满足下列条件的实数：|xi+X2+・・・+Xn|=l艮叫|< 罟，i = L 2, n.证明：存在Xi, X2,…，Xn的一个排列yi, y2,…，y n,使得|yi+2y«号丄【题说】第三十八届（1997年）国际数学奥林匹克题3.本题由俄罗斯提供.【证】对于xi, X2,…，Xn的任意一个排列兀二yi, y2,…，yn,记S （兀）为和式yi+2y2+---+ny n的值.令r二(n+1) /2.令兀.=啣，KJ, •••, %,兀=<■・Kj. (兀・)I<战者（S （兀〉|<r, ■结论慮立.假设卩（兀・）|>r.注竜到s C w o)十s (元)+ Cx B+2x B.l+—i-ux^二(n+1) (X1+X2+…+Xn)从而卩（兀・> +s （元〉I=n + t=2r.因为甲IS （云〉的纶对值都大于r,它们必然取相反的符号，一个大于r,另一个小于-r.从5开始，通过若干次交换两个相邻元素的位置，我们可以得到任意一个排列.特别地，存在一个排列的序号"。

数学竞赛二试题及答案试题一：计算下列表达式的值：\[ \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2} \]试题一答案：首先，我们可以对分子进行因式分解：\[ 2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1) \]然后，将分子的因式分解结果代入原表达式：\[ \frac{(2x - 1)(x - 1)}{x - 2} \]由于 \( x \neq 2 \)，我们可以将 \( x - 2 \) 约去，得到：\[ 2x - 1 \]所以，表达式的值为 \( 2x - 1 \)。

试题二：解不等式：\( |x - 3| < 4 \)。

试题二答案：首先，我们可以将不等式分为两个部分来考虑：1. 当 \( x - 3 \geq 0 \) 时，不等式变为 \( x - 3 < 4 \)，解得\( x < 7 \)。

2. 当 \( x - 3 < 0 \) 时，不等式变为 \( -(x - 3) < 4 \)，即\( x > -1 \)。

综合两个部分，我们得到不等式的解集为 \( -1 < x < 7 \)。

试题三：证明：\( \sqrt{2} \) 是无理数。

试题三答案：我们采用反证法来证明 \( \sqrt{2} \) 是无理数。

假设 \( \sqrt{2} \) 是有理数，那么存在两个互质的整数 \( m \) 和 \( n \) 使得：\[ \sqrt{2} = \frac{m}{n} \]将等式两边平方，得到：\[ 2 = \frac{m^2}{n^2} \]这意味着 \( m^2 = 2n^2 \)，所以 \( m^2 \) 是偶数。

因此，\( m \) 也是偶数，设 \( m = 2k \)，其中 \( k \) 是整数。

代入上述等式，得到：\[ (2k)^2 = 2n^2 \]\[ 4k^2 = 2n^2 \]\[ 2k^2 = n^2 \]这表明 \( n^2 \) 也是偶数，因此 \( n \) 也是偶数。