“单循环赛”模型的建立及在几何中的应用

合肥学院计算机科学与技术系课程设计报告2009～2010学年第二学期课程数据结构与算法课程设计名称单循环赛中选手胜负序列求解问题学生姓名管明璐学号0804012038专业班级08计科(2)班指导教师王昆仑、张贯虹2010年6月一、问题分析和任务定义单循环赛，是所有参加比赛的队均能遭遇一次，两队之间非胜即负，最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次。

如果参赛球队不多，而且时间和场地都有保证，通常都采用这种竞赛方法。

本题可以从两个方面进行思考，一是按比赛过程中的积分排名产生胜负序列，二是根据比赛过程中各选手之间的胜负关系产生胜负序列。

针对第一种情况，比赛规定各选手之间只能遭遇一次，获胜的选手得一分，失败的一方不得分，比赛结束时按照各选手之间的积分排名决定他们的胜负序列，在设计过程中要用到排序的算法。

针对第二种情况，按照比赛过程中的胜负关系产生胜负序列，不过这种方法产生的胜负序列可能不是唯一的，但是实际情况是比赛结束时一定会产生一种胜负序列。

为此需要用合适的数据结构进行存储，来确定如何产生胜负序列，选取哪位选手作为第一名，假如该选手已经在序列中，在后面的筛选过程中，如何将该选手排除等一系列问题。

二、概要设计和数据结构选择（1）针对第一种情况，所采用的数据结构是类。

将选手的编号、积分以及胜负过程中的积分处理等封装在类中。

其中，以编号和积分作为私有成员，而设置编号、获胜处理、失败处理、获取积分、获取编号等作为公有成员。

此时将该问题转化为对选手积分进行排序的问题。

在实际操作时，我想分别输入选手的姓名，根据姓名来判断积分的高低，但是当姓名也作为私有成员时，由于权限问题，不能在主调函数中直接输入，所以使用了另外一个数据结构：结构体，将姓名放入结构体中，在排序时让姓名与积分一一对应。

（2）针对第二种情况，采用的数据结构是有向图，将每个选手作为有向图的一个顶点，选手间的胜负关系作为有向弧，从箭头出发的一方作为获胜者，所以该问题转化为了有向图的深度遍历问题，即求解一条包含所有顶点的简单路径。

§9.2 循环比赛的排名问题问题：n 支球队参加循环比赛，两两交锋，一场决胜，不容平局，“0、1”打分。

如何排名？1．竞赛图：每对顶点之间有且只有一条有向边相连的有向图；有向边指向负方。

2．路径与完全路径：称有向图),(E V G 的一个顶点序列k i i i i v v v v 210为图),(E V G 的一条步长为k 的路径，若满足：对k j k ≤≤∀1,，均有E v v j j i i ∈-1；若还满足k i i v v =0，则称之为图),(E V G 的一条步长为k 的回（或闭）路径。

而若顶点集V 的一个全排列1210-n i i i i v v v v 构成图),(E V G 的一条路径，也称之为图),(E V G 的一条完全路径。

● 图1中：6431v v v v 、16431v v v v v 、1654321v v v v v v v 、654321v v v v v v ● 子路径、闭的完全路径3．定理：任一)2(≥∀n n 阶竞赛图),(E V G 都存在完全路径。

证明（数学归纳法）：1：2=n 时，如图3-0，命题真；2：设k n =时命题真；3：当1+=k n 时，设{}121,,,+=k k v v v v V 为顶点集，记{}k v v v V ,,21~=，~G 为图),(E V G 关于{}k v v v V ,,21~=的生成子图；由归纳假设2，在~G 中存在完全路径，不失一般性，设k k v v v v 121...-为~G 中的一条完全路径，考虑顶点1+k v 与{}k v v v V ,,21~=的邻接关系，有如下三种情形：图3-1：k k k v v v v v 1211...-+为G 中的一条完全路径；图3-2：1121...+-k k k v v v v v 为G 中的一条完全路径图3-3：k k i k i v v v v v v v 11121......-+-为G 中的一条完全路径。

赛 程 安 排陈启表 刘荣涛 张善邦 指导教师：陈晓江 黄春棋 九江职业技术学院（332007）摘 要本模型是赛程安排及编制过程的具体问题。

1．对问题1）采用单循环法来安排赛程，根据这种方法容易找出n =5时每两队之间比赛至少间隔一场的赛程安排。

2．模型在n =8，9时，赛程编制过程中分别采用表格和程序的方法，并得到所有队每两场比赛中间相隔的场次数上限的一个结论，即当队数为双数时，其上限M(n)=2n-2，当队数为单数时，其上限M(n)= 21 n -2。

3．对问题3），当n =8时也采用单循环法找到一种每两队中间比赛至少间隔两场休息的赛程；当n =9时将单循环法改用C 语言编程实现32种赛程安排，这时候每两队中间比赛至少间隔三场休息。

4．除了每两场比赛间隔次数这一指标来衡量一个赛程的优劣外，我们还考虑每个队赛场次数安排的离散程度作为衡量赛程公平性的另一个指标。

一、问题的简述本题为球赛单循环赛程安排的实际问题，实践性强。

当有n 支球队比赛时，在考虑公平性的情况下，编制赛程表，并求“上限”值以及评价赛程的优劣。

其中对问题2）中的“上限”应理解为各队每两场比赛中间相隔的场次数尽量均等（即赛程安排公平）时的至少相隔场次的最大数。

二、模型假设1．设n 支球队进行单循环比赛，球队的编码依此为A 、B 、C ……。

2．每一场比赛都在同一场地上进行，且场地不空场。

3．各队每两场比赛中间相隔的场次数尽量均等。

4．n 个队的所有比赛中，各队每两场比赛中间所有能相隔的场次数的最大值称为上限，记为M (n )。

5．不考虑其他因素，比赛始终能正常进行。

三、模型的建立及求解有n 支球队1、2、3、……n ，在赛程安排时要考虑赛程的公平性，而公平性主要看各队每两场比赛中间得到的休整时间的均等程度。

在赛程安排时各队每两场比赛中间相隔的场次数达到上限时才能保证对各球队的公平。

1．问题1）求解：对于5支球队，我们把这5支球队看成是五边形的顶点，把它转化成平面网络图来分析。

§9.2 循环比赛的排名问题问题：n 支球队参加循环比赛，两两交锋，一场决胜，不容平局，“0、1”打分。

如何排名？1．竞赛图：每对顶点之间有且只有一条有向边相连的有向图；有向边指向负方。

2．路径与完全路径：称有向图),(E V G 的一个顶点序列ki i i i v v v v 210为图),(E V G 的一条步长为k 的路径，若满足：对k j k ≤≤∀1,，均有E v v j j i i ∈-1；若还满足ki i v v =0，则称之为图),(E V G 的一条步长为k 的回（或闭）路径。

而若顶点集V 的一个全排列1210-n i i i i v v v v 构成图),(E V G 的一条路径，也称之为图),(E V G 的一条完全路径。

● 图1中：6431v v v v 、16431v v v v v 、1654321v v v v v v v 、654321v v v v v v ●子路径、闭的完全路径3．定理：任一)2(≥∀n n 阶竞赛图),(E V G 都存在完全路径。

证明（数学归纳法）：1：2=n 时，如图3-0，命题真；2：设k n =时命题真；3：当1+=k n 时，设{}121,,,+=k k v v v v V 为顶点集，记{}k v v v V ,,21~=，~G 为图),(E V G 关于{}k v v v V ,,21~=的生成子图；由归纳假设2，在~G 中存在完全路径，不失一般性，设k k v v v v 121...-为~G 中的一条完全路径，考虑顶点1+k v 与{}k v v v V ,,21~=的邻接关系，有如下三种情形：图3-1：k k k v v v v v 1211...-+为G 中的一条完全路径；图3-2：1121...+-k k k v v v v v 为G 中的一条完全路径图3-3：k k i k i v v v v v v v 11121......-+-为G 中的一条完全路径。

数学单循环双循环问题
数学单循环和双循环问题是数学中常见的问题类型。

单循环问题是指在一个循环中进行一次迭代，而双循环问题是指在两个嵌套的循环中进行迭代。

在单循环问题中，常见的例子是计算一个数列的和。

我们可以使用一个循环来依次将数列中的数相加，并最终得到总和。

单循环问题通常涉及到一些简单的迭代计算。

这类问题可以通过循环的技巧和数学公式来解决。

双循环问题则更加复杂一些。

一个常见的例子是计算一个矩阵的和。

在这种情况下，我们需要使用一个外层循环来迭代每一行，同时在内层循环中迭代每一列，并将相应的元素相加。

双循环问题通常需要考虑到数组的索引和迭代的顺序。

需要特别注意的是，双循环问题往往会涉及到更多的计算和时间复杂度。

因此，在解决这类问题时，我们需要仔细考虑算法的效率和优化策略，以避免不必要的计算和提高代码的执行效率。

总之，数学单循环和双循环问题是数学中常见的问题类型。

我们可以通过循环和数学公式，灵活运用不同的算法和优化策略，解决这些问题并得到正确的结果。

单循环问题公式
单循环问题公式是一种广泛应用的数学方法，它有许多不同的应用。

其中最经典的用法是用来解决单循环问题，即从一个可行解中找出最优解，使后续步骤执行得最完美对应。

单循环问题公式分为两个部分：约束条件和目标函数。

约束条件是解决单循环问题时所必须满足的条件，必须满足的条件包括：约束变量的取值范围是有限的；约束函数的表达式形式；相关变量的约束关系等等。

而目标函数，就是在给定约束条件的情况下，寻求使得目标函数的值最优的解。

在求解单循环问题时，首先要从原始数据出发，根据数据规律确定求解问题的类型，最后再结合实际应用情况，根据单循环问题公式，建立模型，求解最优解。

在现实应用中，单循环问题公式已经广泛应用于网络规划、行车调度、复杂运筹规划、空间分配、时间管理、资源配置等环境下。

比如，在网络规划中，单循环问题公式可以帮助求解网络的最优流方向，以及网络的最优结构，以使其尽可能高效地实现它的目标。

在行车调度中，单循环问题公式可以通过最小化其所耗费的总时间与距离来求解出最优的行车调度方案。

此外，单循环问题公式还可以应用于人工智能领域，如自动驾驶、机器学习等问题中。

在自动驾驶中，单循环问题公式可以用来解决车辆路径规划问题，可以通过模型优化，将路径规划时间最小化，以达到最优的驾驶策略。

机器学习中也有单循环方法，可以通过提高模型
准确性，提升机器学习的性能。

总之，单循环问题公式是一种高效有效的数学模型，它具有优良的求解效果，被广泛应用于工程、科学和社会等各个领域，可以为各类问题提供有效的解决方案。

赛 程 安 排陈启表 刘荣涛 张善邦 指导教师：陈晓江 黄春棋 九江职业技术学院（332007）摘 要本模型是赛程安排及编制过程的具体问题。

1．对问题1）采用单循环法来安排赛程，根据这种方法容易找出n =5时每两队之间比赛至少间隔一场的赛程安排。

2．模型在n =8，9时，赛程编制过程中分别采用表格和程序的方法，并得到所有队每两场比赛中间相隔的场次数上限的一个结论，即当队数为双数时，其上限M(n)=2n-2，当队数为单数时，其上限M(n)= 21 n -2。

3．对问题3），当n =8时也采用单循环法找到一种每两队中间比赛至少间隔两场休息的赛程；当n =9时将单循环法改用C 语言编程实现32种赛程安排，这时候每两队中间比赛至少间隔三场休息。

4．除了每两场比赛间隔次数这一指标来衡量一个赛程的优劣外，我们还考虑每个队赛场次数安排的离散程度作为衡量赛程公平性的另一个指标。

一、问题的简述本题为球赛单循环赛程安排的实际问题，实践性强。

当有n 支球队比赛时，在考虑公平性的情况下，编制赛程表，并求“上限”值以及评价赛程的优劣。

其中对问题2）中的“上限”应理解为各队每两场比赛中间相隔的场次数尽量均等（即赛程安排公平）时的至少相隔场次的最大数。

二、模型假设1．设n 支球队进行单循环比赛，球队的编码依此为A 、B 、C ……。

2．每一场比赛都在同一场地上进行，且场地不空场。

3．各队每两场比赛中间相隔的场次数尽量均等。

4．n 个队的所有比赛中，各队每两场比赛中间所有能相隔的场次数的最大值称为上限，记为M (n )。

5．不考虑其他因素，比赛始终能正常进行。

三、模型的建立及求解有n 支球队1、2、3、……n ，在赛程安排时要考虑赛程的公平性，而公平性主要看各队每两场比赛中间得到的休整时间的均等程度。

在赛程安排时各队每两场比赛中间相隔的场次数达到上限时才能保证对各球队的公平。

1．问题1）求解：对于5支球队，我们把这5支球队看成是五边形的顶点，把它转化成平面网络图来分析。

单循环双循环数学问题
单循环和双循环是编程中常见的控制结构，用来处理循环执行的问题。

数学中也常常涉及到使用循环来解决问题，下面是一些常见的数学问题，可以使用单循环或双循环来解决。

1. 计算1到n的累加和：使用单循环结构可以遍历从1到n的数字，并将它们依次相加得到结果。

2. 判断一个数是否为质数：对于给定的数字n，使用双循环遍历2到n-1之间的所有数字，判断是否能被其中任何一个数整除，若能，则不是质数。

3. 找出一个数的所有因子：对于给定的数字n，使用双循环遍历1到n之间的所有数字，判断每一个数字是否是n的因子，并将其打印或存储起来。

4. 找出两个数的最大公约数：对于给定的两个数字a和b，使用单循环递减的方式，从较小的数开始，判断两个数能否被该数整除，若能，则找到最大公约数。

5. 找出连续数列中的最大值：对于给定的连续数列，使用单循环遍历每一个数字，比较当前数字与之前的最大值，更新最大值。

这些都是常见的数学问题，可以使用单循环或双循环来解决。

具体使用哪种循环取决于问题的要求和实际情况。

介绍几何模型几何模型是几何学的一个重要概念，用于描述和研究现实世界中的物体形状和结构。

它是对物体的几何特征进行抽象和建模的过程，使得我们能够通过数学方法来分析和解决与这些物体相关的问题。

几何模型可以分为二维模型和三维模型。

二维模型是在平面上进行建模，用于描述平面上的几何图形，如点、线、多边形等。

常见的二维几何模型有直线模型、射线模型、线段模型、圆模型等。

这些模型可以用来描述物体的位置、形状、大小等特征，从而帮助我们理解和分析几何问题。

三维模型则是在三维空间中进行建模，用于描述物体的立体形状和结构。

常见的三维几何模型有球体模型、立方体模型、圆柱模型、圆锥模型等。

这些模型可以用来描述物体的体积、表面积、几何中心、对称性等特征，从而帮助我们进行三维几何推理和计算。

几何模型在现实生活中有着广泛的应用。

在工程领域，几何模型可以用来设计和分析建筑、机械、电路等物体的形状和结构。

在计算机图形学中，几何模型可以用来描述和渲染三维图形，实现虚拟现实、电影特效、游戏等应用。

在地理学中，几何模型可以用来描述地球的形状和地理现象，帮助我们理解和研究地理问题。

几何模型的建立和使用需要一定的数学知识和技巧。

我们需要了解几何学的基本概念和定理，掌握几何模型的表示方法和计算方法。

同时，我们还需要具备空间想象力和几何直觉，能够将实际问题抽象为几何模型，并运用数学方法进行求解。

在几何模型的研究中，还涉及到一些与其他学科的交叉。

例如，在计算机图形学中，几何模型与计算机科学、物理学、光学等学科有着密切的联系。

在工程领域中，几何模型与材料科学、力学等学科相结合，可以用来设计和优化复杂的结构和系统。

几何模型是描述和研究物体形状和结构的重要工具和方法。

通过建立和使用几何模型，我们可以更好地理解和解决与几何相关的问题。

几何模型的应用领域广泛，涉及到工程、计算机图形学、地理学等多个学科。

几何模型的研究需要数学知识和技巧，并与其他学科进行交叉。

希望通过本文的介绍，读者对几何模型有更深入的了解和认识。

11个人组内单循环表格
当11个人进行单循环赛时，我们可以用一个表格来记录每个人
之间的比赛情况。

表格的行和列分别代表参赛选手，表格中的每个
单元格则记录了两个选手之间的比赛结果。

由于11个人两两比赛，
总共会有55场比赛（1110/2）。

下面我将描述一个可能的表格结构
来记录这些比赛结果。

首先，我们可以列出11个人的名字作为表格的行和列标签，这
样表格的左上角和上方第一行会显示这11个人的名字。

接下来，我
们可以填写表格中的内容。

由于是单循环赛制，每两个选手之间只
进行一场比赛。

比赛的结果可以用不同的符号或数字来表示，比如"W"表示赢，"L"表示输，"D"表示平局，或者直接用分数来表示比分。

在填写表格时，需要注意对角线上的单元格都是空的，因为一
个选手不会和自己比赛。

此外，由于单循环赛制下每对选手只有一
场比赛，所以表格中的内容应该是对称的，比如A选手和B选手的
比赛结果应该和B选手和A选手的比赛结果相同。

总的来说，11个人进行单循环赛的表格应该是一个11x11的方阵，其中对角线上的单元格为空，其余的单元格记录了每对选手之
间的比赛结果。

填写完整的比赛结果后，我们可以通过这个表格来清晰地了解每个选手的胜负情况，以及他们之间的比赛结果。

数学建模竞赛中的数学模型求解方法数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力的竞赛活动。

在竞赛中，参赛者需要利用数学知识和技巧，解决实际问题，并提出相应的数学模型。

然而，数学模型的求解方法却是一个非常关键的环节。

本文将介绍一些常见的数学模型求解方法，帮助参赛者在竞赛中取得好成绩。

一、线性规划线性规划是数学建模中常见的一种模型求解方法。

它的基本思想是将问题转化为一个线性函数的最优化问题。

在线性规划中，参赛者需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并利用线性规划模型求解最优解。

常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。

这些方法基于数学原理，通过迭代计算，逐步接近最优解。

二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。

整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如货物运输、资源分配等。

在整数规划中，参赛者需要将问题转化为一个整数规划模型，并利用整数规划求解方法求解最优解。

常见的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法等。

这些方法通过分解问题、添加约束条件等方式，逐步缩小搜索空间，找到最优解。

三、非线性规划非线性规划是一类目标函数或约束条件中包含非线性项的最优化问题。

在实际问题中，很多情况下目标函数和约束条件都是非线性的。

在非线性规划中，参赛者需要选择适当的数学模型，并利用非线性规划求解方法求解最优解。

常见的非线性规划求解方法有牛顿法、拟牛顿法等。

这些方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。

四、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。

在动态规划中，参赛者需要确定状态、决策和状态转移方程，并利用动态规划求解方法求解最优解。

常见的动态规划求解方法有最优子结构、重叠子问题等。

这些方法通过存储中间结果、利用递推关系等方式，逐步求解最优解。

五、模拟与优化模拟与优化是一种常见的数学模型求解方法。

在模拟与优化中，参赛者需要建立数学模型，并利用计算机模拟和优化算法求解最优解。

常见的模拟与优化方法有蒙特卡洛模拟、遗传算法等。

数学几何模型建立技巧分享数学几何模型是一种抽象的表示方式，通过几何图形来描述和解决实际问题。

在数学研究和工程应用中，几何模型的建立是非常重要的一步。

本文将分享一些数学几何模型建立的技巧，希望能对读者有所帮助。

一、确定问题在建立数学几何模型之前，首先要明确问题的具体内容和要求。

这包括问题的背景、已知条件和需要求解的未知量。

只有明确了问题，才能有针对性地建立几何模型。

二、选择合适的坐标系在建立几何模型时，选择合适的坐标系是非常重要的。

坐标系的选择应根据问题的特点和要求来确定。

常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和三维坐标系等。

正确选择坐标系可以简化问题的描述和计算过程，提高建模的效率。

三、利用几何图形分析问题几何图形是描述空间关系的重要工具，可以帮助我们更好地理解问题。

在建立几何模型时，可以通过绘制几何图形来分析问题。

例如，可以利用平行线、垂直线、相似三角形等几何性质来推导出问题的解决方法。

几何图形的分析可以帮助我们发现问题的隐藏规律，从而更好地建立数学模型。

四、运用数学知识在建立数学几何模型时，需要灵活运用数学知识。

数学知识包括代数、几何、三角学等多个方面。

例如，在解决面积、体积等问题时，可以运用代数的相关知识来建立方程或不等式。

在解决角度、距离等问题时，可以运用三角学的相关知识来计算。

数学知识的灵活运用可以帮助我们更好地建立几何模型。

五、利用计算工具在建立数学几何模型时，可以利用计算工具来辅助建模。

计算工具可以是计算器、电脑软件等。

例如，在建立三维几何模型时，可以使用计算机辅助设计软件来绘制几何图形和进行计算。

计算工具的使用可以提高建模的精度和效率。

六、验证和优化模型在建立数学几何模型之后，需要对模型进行验证和优化。

验证模型的正确性是非常重要的，可以通过数值计算、实验数据等方式来验证。

如果模型存在问题，可以进行优化，例如调整参数、改进算法等。

验证和优化模型可以提高模型的可靠性和适用性。

七、实际应用数学几何模型的建立不仅仅是理论研究，更是实际应用的基础。

循环赛计算公式
一、单循环赛制计算公式。

1. 比赛总场数的计算。

- 在单循环赛制中，如果有n个队参赛，那么比赛总场数的计算公式为(n(n - 1))/(2)。

- 例如，有5个队参赛，根据公式可得比赛总场数为(5×(5 -
1))/(2)=(5×4)/(2)=10场。

- 推导过程：每个队都要和除自己之外的(n - 1)个队比赛，但两队之间只有一场比赛，所以总场数要除以2。

2. 比赛轮数的计算。

- 当n为偶数时，比赛轮数= n-1。

例如n = 6时，比赛轮数为6 - 1=5轮。

- 当n为奇数时，比赛轮数= n。

例如n = 5时，比赛轮数为5轮。

二、双循环赛制计算公式。

1. 比赛总场数的计算。

- 如果有n个队参赛，双循环赛制比赛总场数的计算公式为n(n - 1)。

- 例如，有4个队参赛，根据公式可得比赛总场数为4×(4 - 1)=4×3 = 12场。

- 推导过程：双循环赛制是每个队都要和其他队进行主客场两场比赛，所以总场数是单循环赛制总场数的2倍，即n(n - 1)。

2. 比赛轮数的计算。

- 在双循环赛制中，无论是奇数队还是偶数队参赛，比赛轮数都为2(n - 1)（当n为偶数时）或2n（当n为奇数时）。

- 例如，当n = 5（奇数）时，比赛轮数为2×5 = 10轮；当n = 6（偶数）时，比赛轮数为2×(6 - 1)=10轮。

数学模型的建立和选择【关键字】信息原型数学模型建模【摘要】本文主要探讨的是信息学竞赛中解题的关键：数学模型的建立和选择。

首先分析了从信息原型到数学模型的重要性，提出了解题的简单过程：现实——理论——现实。

然后将数学模型的建立方法分为机理分析法和统计分析法两类，并着重分析了在竞赛中常用的机理分析法建模。

接着，文章又对数学模型的选择做了一些必要的概述，得出一些模型选择的原则。

最后，根据整篇文章探讨的结果得出了数学模型建立和选择的一般方法。

【正文】一、从信息原型到数学模型在大千世界中，我们所面对的事物形形色色，扑朔迷离。

它们都是由许多信息构成的。

这些现实世界中对客观问题表面的自然语言描述，称为信息原型。

当然，在信息学竞赛中我们所面临的问题也是信息原型。

信息原型本身是由扑朔迷离的信息构成，掩盖了其重要的属性[1]。

我们因而无法直接从信息原型入手找到问题的答案。

为此，我们就需要一种方法来“改造”信息原型，使之既具有原来的重要属性，也具有可研究性。

于是，我们试图将信息原型的属性一起转移到一个模型中。

模型即是对客观问题属性的模拟。

显然，这个对应出的模型可以说是信息原型的代表。

我们就可以对这个模型进行研究。

用什么方法将信息原型对应到模型上去呢？我们期望运用数学方法。

这样对应出的模型即具有原问题的属性又具有数学的可研究性。

我们称之为数学模型。

数学模型：运用数学语言对信息原型通过抽象加以翻译归纳的产物叫做数学模型。

信息原型是现实的问题，对应到的数学模型又是理论上的模型，对该模型进行研究使我们得出了现实问题的解。

这就是信息学竞赛中解题的简单过程：现实——理论——现实。

如图一所示：为了能快速地从信息原型得到信息原型的解，在整个分析解题的过程中，从信息原型到数学模型的这一转变过程至关重要。

根据图一，我们称该过程为建模：利用数学思想将信息原型转化成数学模型的过程。

下面，我们就将讨论：如何从信息原型到数学模型。

二、 数学模型的建立从实践中积累的经验，我们知道，建模没有固定的套路可言，方法比较多样化。

2013-12课堂内外【问题1】初一（9）班共有学生50人，在班会课上每位同学之间两两握手致意，请问他们一共握手多少次？分析：对于这个问题，我们可以这样分析：假设第1个学生分别和其他49个学生握手，可以握手49次；第2个学生也分别和其他49个学生握手，可握手49次……依此类推，第50个学生分别和其他49个学生握手，可握手49次，他们共握手50×49次，但此时第1个学生与第2个学生握手，后面第2个学生又和第1个学生握手，如此每两人之间互相握手计算了两次有重复.因此需要除以2，50个学生每两人之间握手一次共握了50×492=1225（次）.归纳：如果该班有n个学生，每位学生之间两两握手一次，全班共有n（n-1）2次握手.【问题2】初三（9）班共有学生50人，在班会课上每位同学之间两两赠送对方本人的一张照片一次，请问他们一共赠送照片多少次？分析：对于这个问题，我们可以这样分析：假设第1个学生分别赠送其他49个学生本人的照片，可以赠送49张；假设第2个学生分别赠送其他49个学生本人的照片，可以赠送49张……依此类推，第50个学生分别赠送其他49个学生本人的照片，可以赠送49张，共赠送照片50×49张，而此时第1个学生赠送给第2个学生的照片，后面第2个学生赠送给第1个学生的照片，他们之间赠送的照片是不同的没有重复，如此每两人之间握赠送照片按一次计算.因此，50个学生每人之间赠送一张照片共赠送了50×49次.归纳：如果该班有n个学生，每位学生之间两两赠送照片一次，全班共赠送照片n（n-1）次.【问题3】甲乙两支足球队比赛结束后，双方队员互相握手表示友好，双方各有队员11人，则他们一共握手多少次？分析：甲足球队每位队员与乙足球队每位队员握手11次，而甲队有11位球员，所以共握手11×11=121（次）.归纳：如果甲队有m人，乙队有n人，双方队员互相握手一次，共有mn次握手.“握手问题”在初中数学上的应用比较广泛，现举例如下：【代数题型】例1.（单循环比赛问题）某市篮球比赛共有20个代表队参赛，采用单循环赛，即每队之间只比赛一场，问这20个代表队一共比赛多少场？分析：采用单循环赛，每队之间只比赛一场，就好像两个学生之间握手一次，其中n=20，按照“握手解法”，共比赛20×192= 190（场）.例2.（双循环比赛问题）某区篮球比赛共有10个代表队参赛，采用双循环赛，即所有参赛队伍在竞赛中均能相遇两次，问这10个代表队一共比赛多少场？分析：采用双循环赛，每队之间比赛两场，就好像两个学生之间赠送照片，两队之间比赛两场是不同的，通常分为主客场2场比赛.其中n=20，按照“送照片解法”，共比赛10×9=90（场）.例3.（设计单程车票）某城际轻轨列车在甲、乙两城市间来回行驶，除甲、乙两城市外，轻轨火车中途还需停靠8个站点，请问从甲城市发车去往乙城市单程列车，共需要设计多少种车票？分析：中途有8个站，假设分别是A、B、C…H，这样从甲城市到乙城市一共有10个站点，因为从甲发车去往乙，需要设计准备甲到乙的单程车票.如需要设计甲到A站点的车票，但不需要设计A站点到甲的车票，需要设计甲到B站点的车票，但不需要准备B站点到甲的车票.所以按照“握手解法”，共需要准备10×92=45（种）车票.例4.（设计往返车票）某城际轻轨火车在甲、乙两城市间来回行驶，除甲、乙两城市外，轻轨火车中途还需停靠8个站点，请问该轻轨火车在甲乙城市之间运行，共需要设计多少种车票？分析：中途有8个站，假设分别是A、B、C…H，这样从甲城市到乙城市一共有10个站点，列车在甲乙之间运行，需要准备甲到乙，乙到甲的往来车票.照按照“送照片解法”，共需要准备10×9=90（种）车等.例5.（改编自美国数学科普大师马丁·伽德纳的握手问题）一位先生说：“前些日子，我同我太太一起参加了一个宴会，酒席上还有另外4对夫妻.见面时，大家互相问候并亲切握手.当然，没有人会去同自己的太太握手，自己也不会同自己握手，与同一个人握手之后，也不可能再同他或她进行第二次握手，请问我们5对夫妻一共握手多少次？”分析：宴会上共有10人，任何人都不同自己握手，也不同自己的配偶握手，所以每个人同除自己、自己配偶意外的其他8人握手，按照“握手解法”一次共握手10×82=40（次）.【几何题型】例6.平面上有10个点，任意三点不在一条直线上，那么过两点画一条直线，共可画多少条直线？分析：平面上的10个点可以看成是10个学生，过两点画一条直线，可以看成是两个学生之间握手一次，其中n=10，按照“握手解法”，共可画直线10×92=45（条）.例7.一条直线上共有6个点，那么这条直线上共有几条线段？分析：一条直线上共有6个点可以看成是6个学生，每两点之间构成一条线段，可以看成是两个学生之间握手一次，其中n=6，按照“握手解法”，共可构成线段6×52=15（条）.初中数学握手问题探究文/万昱（下转第72页）. All Rights Reserved.2013-12课堂内外例8.n边形共有多少条对角线？分析：n边形共有n个顶点，从一个顶点出发与自身、自身左右相邻的两个顶点不能连接对角线，可以和除上述3个点以外的顶点连接对角线。

循环比赛排名模型若干支球队参加单循环比赛，各队两两交锋。

假设每场比赛只计胜负，不计比分，在比赛结束后排名次。

设n 支球队或队员比赛，第i 支球队与第j 支球队由比赛表现的能力表示为： ,1,(1,2,,1;1)ij ij ji ij a p a p i n j i ==-=-=+,其中ij p 表示第i 支球队胜第j 支球队的概率。

且设0ii a =。

则第i 支球队胜其余1n -支球队的能力表示为： 1(1,2,,)ni ijj s ai n ===∑则各球队的排名根据{}i s 的大小进行。

i s 越大越靠前，越小越靠后。

但实际中ij p 并不知道，只有根据比赛进行估计。

(1) 当进行m 次比赛，第i 支球队胜l 次，则估计ij l p m =，ji m l p m-=。

(2) 当只进行一次比赛时，若第i 支球队胜，则记1ij a =，0ji a =；若第j 支球队胜，则记0ij a =，1ji a =。

下面对只进行一次比赛的情况进行讨论1.双向连通竞赛图：对于任何一对顶点，存在两条有向路径，使两顶点可以互相连通，这种有向图称为双向连通竞赛图。

图6.3 双向连通竞赛图示例如图6.3是4个队比赛结果的双向连通竞赛图。

其对应的邻接矩阵为：0110001100011000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设(1,1,1,1)e τ=，则1.(2,2,1,1)s A e ==。

该式表明各人胜的场次数。

21(3,2,1,1)s As ==。

该式是各人的2级得分，其意义是他战胜的各个球队的得分之和。

可以作为排名的依据，但无法排出3和4的名次，可继续进行下去，得到结果如下：32(3,3,2,3)s As ==，43(5,5,3,3)s As ==，54(8,6,3,5)s As ==65(9,8,5,8)s As == 76(13,13,8,9)s As == 87(21,17,9,13)s As ==k s 各分量代表各人的第k 级得分，其意义是他战胜的各个球队的前一级得分之和，因此更可以作为排名的依据。