百强名校人教高中数学精品课件_【数学】.5.1《平面几何中的向量方法》课件(新人教A版必修4)(整理版)

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高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件

22
2
2
思索：能否用向量坐标形式证实？
a b a b
r2 r2 0
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
9/10

小结：用向量方法处理平面几何问题“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量联络，用向量表示问题中包括几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）经过向量运算，研究几何元素之间关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
2
2
AB2 BC 2 CD2 DA2 2( a b )
AC2
BD2
2
ab
ab
2
a
2
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2
2
a
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2
4/10
你能总结一下利用向量法处理平面几何问题基本思绪吗？
用向量方法处理平面几何问题 “三步曲”：
（1）建立平面几何与向量联络，用向量表示问题中包括几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）经过向量运算，研究几何元素之间关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量
向量运算向量和数到形
5/10
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边中点，BE 、 BF分别与 AC交于R 、 T两点，你能发觉AR 、 RT 、TC之间关系吗？
猜测： AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
6/10
解：设 AB a, AD b , AR r , 则 AC a b

人教版高中数学必修四平面几何中的向量方法教学课件共20张PPT

示转（问化2题为）中向本涉量节及问课的题所几；用何到元的素数，学将方平法面，几数何学问思题想有哪些？
（系2，数思）想学如通思距想过离：向、方量程夹的运角思算等想，，问数研题形究；结几合的何思元想素，转之化间和的化归关的
（3数）学把方法运：算待结定系果数“法翻译”成几何元素。
作业：
1.课本P113 A组 1,2
人教版高中数学必修四平面几何中的向量方法教学课件共20张PPT
2020/9/19
1.向量加（减）（减）法的法则
D
C
A
B
2.
3.平面向量的基本定理
学生探索尝试解决
C F
A
E
B
平面几何中的向量方法
欧氏几何的论证严谨优雅，给人以极大的美感和享受，但有较大的思考难度，对人的智力形成极大的挑战。而1967年笛卡尔的《方法谈》及其附录《几何法》发表，引入了坐标，解析几何学建立，为数学提供了一种新工具；18世纪末，挪威测量学家维塞尔把坐标平面上的点用向量表示，并把向量的几何表示用于研究几何问题，为我们找到了一个更便捷的工具。
简述：形到向量向量的运算向量或数到形
2020/9/19
AR=RT=TC即R,T为AC的三等分点，我们只要证出
D
F
C
向量AR还可以怎么构E R
T
造呢？
A
B
解：
D
F
C
ER
T
A
B
D
F
C
ER
T
A
B
线，
故AT=RT=TC
练习
分析：
A
N
P
B
C
反思小结观点提炼

高一数学平面几何中的向量方法(图文课件分享)

首先请记住，我不希望您相信这个故事。您也难道没有目睹我最近的经历吗？当我在最后一次前往伦敦之际，在幸福而无知的盔甲下，我向皇家地质学会的一位会员高兴地讲述了我的要旨。
您肯定会以为，在我看来，这起罪恶之罪不亚于从塔中抢劫皇冠上的珠宝，或将毒药放入国王His下的咖啡。
我半信半疑的博学绅士，在我半途半熟之前就被凝结了！-这一切使他免于爆炸-而我梦Honor以求的荣誉团契，金牌和名人堂中的利基则化为乌有，冷淡的空气他北极的气氛。
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问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系
吗？
DB AB AD, AC AB AD,
猜想：
D
C
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
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高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法人教版省公开课一等奖新优质课获奖课件

·
cos θ=
||||
(-2,)·(,-2)
=
5· 5
=
-42 4
=- .
52 5
4
5
故所求钝角的余弦值为- .
22/31
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
用错向量的性质及运算法则致误
典例在△ABC 中,设 =a,=b, =c,若 a·b=b·c=c·a,请确定
故平行四边形 ABCD 为矩形.
(2)以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长分别是
| + |和| − |.
∵ =(3,5), =(-1,1),
∴ + =(2,6), − =(4,4),
∴| + |= 22 + 62 =2 10,| − |= 42 + 42 =4 2.
边形 ABCD 是(
)
A.梯形
B.菱形
C.矩形D.正方形
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线
段AB,AC为邻边平行四边形两条对角线长分别
是
、
.
4/31
解析:(1)由 = 知,四边形 ABCD 为平行四边形,
又 · =0,则 AB⊥BC,
=
3
− =b-
4
=
1 3
b- a,
4 4
所以 = ,且 D,E,F,B 四点不共线,
所以四边形 DEBF 是平行四边形.
9/31
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
10/31
探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 A

高中数学必修四人教版2.5.1平面几何中的向量方法13ppt课件

猜想：AR=RT=TC E
D R
F T
C
A 图2.5-2
B
解：设AB a, AD b, AR r, 则AC a b.
由于 AR 与因为又因为
共线，故设 AC
r n(a b), n R，
1 EB AB AE a b, 2
1 ER mEB m(a b). 所以设 2 ，因为 AR AE ER
OD OE OD OE

1 1 1 4 2 2 . 5 5 5 2 2
提升总结
建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁.
1.在四边形ABCD中AB BC=0，且AB=DC ，则四边形 ABCD是（ B ） . A.平行四边形 C.菱形 B.矩形 D.正方形
量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.
探究一（长度问题） 1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？对角线长度的平方=两邻边的平方和. 平行四边形有类似的数量关系吗？
思考1
如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2， AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？
题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；向量运算关系化几何问题向量化
（3）把运算结果“翻译”成几何元素.
向量关系几何化
例2.如图2.5-2，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、 RT、TC之间的关系吗？
D
确定
C B

高中数学必修四人教版2.5.1平面几何中的向量方法2ppt课件

平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.
思考7：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
探究（二）：推断直线位置关系
思考1：三角形的三条高线具有什么位置关系？
交于一点
思考2：如图，设△ABC的两条高AD与BE相交于点P，要说明AB边上的高CF经过点P，你有哪些办法？
A
证明PC⊥AB.
E F
P
B
D
C
思考3：设向量 aPu，uAur = b，PuuBur =c，那Pu么uCurPC=⊥BA可转化为什么向量关系？
A
c·(a－b)＝0.
E
F
a
P
b
c
B
D
C
思考4：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观点可分别转化为什么结论？
a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.
思考5：如何利用这两个结论:
思考2：设向量理求∠A的大小？
A
aAu，uBur = b，Au可uCur以=利用哪个向量原
a
D
b
E
cos A = a ×b
| a || b |
B
C
思考3：以a，b为基底，向量，如何BuuE表ur 示Cu？uDur A
uuur BE =
1b -
a
2
uuur CD =
1a -
b
2
a
D
B
b
E
C
思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可得什么结论？
a·b = （2a2＋b2）
5
思考5：因为△ABC是等腰三角形，则|a|=|b|，结合上述结论:
a·b = (25a2＋b2 ),cosA等于多少？

人教数学必修四课件-251平面几何中的向量方法

1. 两个向量的数量积：
a b | a || b | cos .
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
a b x1 x2 y1 y2 .
3. 向量平行与垂直的判定:
a // b x1 y2 x2 y1 0.
复习引入
1. 两个向量的数量积：
a b | a || b | cos .
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
课后作业
1. 阅读教材P.109到P.111; 2. 《习案》作业二十五.
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
a aa
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
பைடு நூலகம்
讲授新课
例1. 已知AC为⊙O的一条直径， ∠ABC为圆周角. 求证：∠ABC＝90o.
讲解范例：

高中数学必修4精品课件2.5.1平面几何中向量方法

V航 V垂
的时间就最短.
V船
解:船航行时垂直于河岸方向
的分速度V垂决定所用的时间
V水
而|V垂||V船 |
船航行所用的最短时间t
V船 V航
V垂
t d 0.5 60 30(分) V垂 10
V水
练习:用两条成120º的等长的绳子悬
挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是多少？
在下游80m河流有一处瀑布,水速5m/s.为了安全
过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，
划速方向如何？
60m 80m Q
分析:小船沿PQ方向划行时安全,其速度较少
V船V船V船
瀑布
θ
解:船速度方向确定与
P V水
PQ垂直方向时速度最小
sin 3 ,
5
| V船|=|V水
| sin

5
3 5
cos A b c 4 c b 5
A
bc
D
E
B
C
归纳抽象
基本思路： 1.恰当地设定基底. 2.几何元素向量化. 3.向量运算关系化. 4.向量关系几何化.
作业与预习
教材126页 A组1,2题 B组3题
例1：同一平面内，互成120ْ 的三
个大小相等的共点力的合力为零。
P
bc
由得
BD
C
c (a b ) 0, 所以,AB CF
探究（三）：计算夹角的大小
例4:在等腰△ABC中，D、E中点，若CD⊥BE，∠A的大小是否为定值？
解: EB DC 0
又EB b 1 c, DC c 1 b
2
2

人教版高一数学课件-平面几何中的向量方法

2.5 平面向量應用舉例
2.5.1 平面幾何中的向量方法
問題提出
t
p
1 2
5730
1.用有向線段表示向量，使得向量可以進行線性運算和數量積運算，並具有鮮明的幾何背景，從而溝通了平面向量與平面幾何的內在聯繫，在某種條件下，平面向量與平面幾何可以相互轉化.
2.平行、垂直、夾角、距離、全等、相似等，是平面幾何中常見的問題，而這些問題都可以由向量的線性運算及數量積表示出來.因此，平面幾何中的某些問題可以用向量方法來解決，但解決問題的數學思想、方法和技能，需要我們在實踐中去探究、領會和總結.
D
C
|a|=2，|b|=1，|a-b|=2. b Aa B
思考4：利用 | AC |2 (AC)2 ，若求| AC | 需要解決什麼問題？
思考5：利用|a|=2，|b|=1，|a－b|=2，如何求a·b？ | AC | 等於多少？
a b 1 , | AC | 6 2
思考6：根據上述思路，你能推斷平行四邊形兩條對角線的長度與兩條鄰邊的長度之間具有什麼關係嗎？
2.用向量方法研究幾何問題，需要用向量的觀點看問題，將幾何問題化歸為向量問題來解決.它既是一種數學思想，也是一種數學能力.其中合理設置向量，並建立向量關係，是解決問題的關鍵.
作業： P113習題2.5A組：1，2.
B組：3.
思考6：你能用其他方法證明三角形的三
條高線交於一點嗎？
A
E F
P
B
D
C
探究（三）：計算夾角的大小
思考1：如圖，在等腰△ABC中，D、E分別是兩條腰AB、AC的中點，若CD⊥BE，你認為∠A的大小是否為定值？
A
D B

2.5.1平面几何中的向量方法-课件-22页PPT精选文档

F1 θ F2
G
例4：如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝ 500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度 |v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝2km/h．问行驶航程最短时，所用时间是多少 (精确到0.1min) ？
B
v1
v
A
v2
例4：如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝
500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度
|v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝2km/h．问行驶航程最短时，所用时间是多少 (精确到0.1min) ？
解：
B
| v |＝ | v1 |2－| v2 |2 ＝ 96 (km/h) v1
t＝
|
d v
|
＝
0.5 ×60 ≈3.1 (min) 96
v
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min． A
2.5 平面向量应用举
2.5.1 平面几何中的向量方法
一、长度关系
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
1.长方形对角线的长度 D
C
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，
(1) 写出此时粒子B相对粒子A的位移s ．
(2) 计算 s 在sA 方向上的投影．
解：(1) s＝sB－sA＝(-2，7)
(2) s 在sA 方向上的投影为
|
s·sA | sA |
|
＝
13 5
．
如图，海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测

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回顾作业：
1、设向量OA ( k ,12), OB (4,5), OC (10, k ),当k为何值时 , A、B、C 三点共线 ?
AB (4 k ,7), BC (6, k 5)
k 2或11
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。
例3
已知在等腰V ABC中，BB、CC 是两腰上的中线，且BB CC ， y 求顶点A的余弦值。
A
C
B
o C x
B
课堂小结：（自我总结）
(1)向量解决几何问题的"三步曲" (2)待定系数法 (3)三点共线性质 (4)综合应用
作业：
导学教程：Ｐ58 变式训练T1,2,3
谢谢同学们，再见！！！
A A
G
B
E
C
D
A
规律总结:重心的计算
F
G
已知 ABC 的三个顶点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ),则重心 G的B 坐标为 ________
E
C
D
x1 x2 x3 y1 y2 y3 ( , ) 3 3 2 1 OG OA AG OA AD OA ( AB AC ) 3 3 1 OA OB OC OA (OB OA OC OA) 3 3
2.5 平面向量应用举例
2.5.1平面几何中的向量方法
一、长度关系
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ D C
A B 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R 、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
D F T C
猜想：
E
R
AR=RT=TC
A B
变式训练：二、交点问题
已知 : AD、BE、CF 是ABC的三条中线. 求证：AD、BE、CF交于一点.