中考数学专题突破训练--平面直角坐标系与函数

2021中考数学平面直角坐标系与函数专题练习〔含答案〕、选择题1•点A〔-3,2〕关于y轴的对称点的坐标为〔〕A. 〔3,-2〕B.〔3,2〕C.〔-3,-2〕D.〔2,-3〕2. 在函数y=一中，自变量x的取值范围是〔〕A. x 工-2B.x>2C.x<2D.x 工23.小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.以下图反映了这个过程中，小明离家的距离y〔km〕与时间x〔min〕之间的对应关系.根据图象以下说法正确的选项是〔A. 小明吃早餐用了25 minB. 小明读报用了30 minC. 食堂到图书馆的距离为0.8 kmD. 小明从图书馆回家的平均速度为0.8 km/min、填空题4. 函数y=-中，自变量x的取值范围是____________ .5. 飞机着陆后滑行的距离y〔单位:m〕关于滑行时间t〔单位:s〕的函数解析式是y=60t- -t:在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是__________ m.6. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是〔-1,2〕.作点A关于y轴的对称点，得到点A',再将点A'向下平移4个单位长度，得到点A ,那么点A〃的坐标是〔_, _〕.7. 小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家.如下图的是小明离家的路程y〔米〕与时间t〔分〕的函数图象，那么小明回家的速度是每分钟步行___ 米.三、解答题8. 甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发2 h,并且甲车途中休息了0.5 h,以下图是甲、乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象.(1)求出图中m a的值；⑵求出甲车行驶路程y(km)与时间x(h)的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；⑶当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50 km?9. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形.如图，整点A(2,3)，B(4,4)，请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形.(1)在图中画一个AP 1AB,使点P1的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；⑵在图中画一个AP 2AB,使点P2,B的横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍.B组提升题组一、选择题1. 定义：点A〔x,y〕为平面直角坐标系内的点，假设满足x=y,那么把点A叫做“平衡点〞.例如:M〔1,1〕,N〔-2,-2〕. 当-K x W3时,直线y=2x+m上有“平衡点〞,那么m的取值范围是〔〕A.0 < mc iB.- 3< mdC.- 3< m<3D.- K m<02. 一台自动测温仪记录的图象如下图,它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到以下信息,其中错误的选项是〔〕A.凌晨4时气温最低,为-3 °CB. 14时气温最高，为8 CC. 从0时至14时,气温随时间增长而上升D. 从14时至24时,气温随时间增长而下降3. 如图，一只蚂蚁从0点出发，沿着扇形OAB勺边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时,蚂蚁与O点的距离为s,那么s关于t的函数图象大致是〔〕4. 小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4X 50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y〔单位:m〕与跑步时间t〔单位:s〕对应的关系如图2 所示.以下表达正确的选项是〔〕起折小林* 50 m ■图1A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C. 小苏前15 s跑过的路程大于小林前15 s跑过的路程D. 小林在跑最后100 m的过程中,与小苏相遇2次5. 如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A T D^B以1 cm/s的速度匀速运动到点B.图22是点F运动时，△ FBC的面积y(cm )随时间x(s)变化的关系图象，那么a的值为()A. 一B.2C. -D.2 —二、填空题6. 如图，在平面直角坐标系中，将点P(-4,2)绕原点顺时针旋转90° ,那么其对应点Q的坐标为________ .参考答案A组根底题组一、选择题1. B2.D3.B二、填空题4. 答案x>2解析依题意得x-2>0,解得x>2.5. 答案24解析y=60t- ・t2=-・(t-20) 2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离到达最大，此时滑行距离是600 m.当t=16时,y=60 X 16--X 16=576,所以最后4 s滑行的距离为600-576=24 m.6. 答案1；-2解析点A(-1,2)关于y轴的对称点A的坐标是(1,2),A'向下平移4个单位长度，得到点A" (1,2 -4),即A" (1, -2).7. 答案80解析由题图可知，小明家距离学校800米，小明从学校步行回家所用时间是15-5=10分钟,所以小明回家的速度是每分钟步行800+ 10=80米.三、解答题8. 解析(1)由题意得1.5-m=0.5,解得m=1,因为甲车匀速行驶，所以一=—,解得a=40.⑵休息前，所求函数解析式为y=40x(0 < x w 1);休息时，所求函数解析式为y=40(1<x w 1.5);休息后，设函数解析式为y=kx+b(k丰0,x > 1.5),因为函数图象过(1.5,40),(3.5,120) 两点，所以将两点坐标代入y=kx+b得. ，解得，. , -,所以休息后，函数解析式为y=40x-20(x > 1.5).又由题图知两车行驶至260 km时停止，即A、B两地相距260 km,那么260=40x-20,解得x=7.( )，综上,y=(.),).⑶设乙车行驶n h 时,两车恰好相距50 km,由题图可知：甲车速度为40 km/h,乙车速度为80 km/h.① 当相遇前，两车恰好相距 50 km 时，有40(n+2-0.5)-80n=50, 解得 n=0.25;② 当相遇后，两车恰好相距 50 km 时，有80n-40(n+2-0.5)=50, 解得n=2.75. 所以乙车行驶0.25 h 或2.75 h 时,两车恰好相距50 km. 9.解析⑴如图1或图2.⑵如图3或图4.图30 1 1 3 4 3 r图4 B 组提升题组、选择题 1. B2. C 根据题图可知，从0时至4时，气温随时间增长而下降；从4时至14时，气温随时间增长 而上升；凌晨4时气温最低,为-3 °C ,14时气温最高,为8 °C .应选C.3. B 一只蚂蚁从0点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行，在开始时经过半径 0A 这一段，蚂 蚁到0点的距离s 随运动时间t 的增大而增大；到弧AB 这一段时，蚂蚁到0点的距离s 不变， 图象是与x 轴平行的线段；到另一条半径 0B 时，s 随t 的增大而减小，应选B.4. D 由题图2可知，小林和小苏同时出发，小林先到达终点，因此小林跑全程的平均速度大 于小苏跑全程的平均速度，选项A 、B 错误；当t=15时，两人在往回跑，所以函数值越小表示此 人跑的路程越多，选项C错误；由题图2可知，小林在跑最后100米的过程中，与小苏相遇2 次，选项D正确.应选D.5. C 女口图，作DEL BC 于点E，在菱形ABCD中，当F 在AD 上时，y=—BC・ DE，即卩a= • a • DE，「.DE=2.由题意知DB= 一，在Rt△ DEB中，BE= - =1, • • EC=a-1.在Rt△ DEC中,DE2+EC=DC,2 2 2--2 +(a-1) =a .解得a=-.应选C.二、填空题6. 答案(2,4)解析如图，分别由点P,Q向x轴引垂线,交x轴于点M,N.•••/ MPO£ POM=9° ,/ NOQ：+ POM=9° ,• / MPO W NOQ,在厶PMOm ONQ中,•••△ PM QA ONQ(AAS),••• PM=ON,OM=QN,••• P点的坐标为(-4,2),•ON=PM=2,QN=OM=4,•Q点的坐标为(2,4).。

中考复习数学专题训练：《平面直角坐标系》解答题专项培优（三）1．已知平面直角坐标系中有一点P（2m+1，m﹣3）．（1）若点P在第四象限，求m的取值范围；（2）若点P到y轴的距离为3，求点P的坐标．2．已知：点P（2﹣a，3），且点P到x轴、y轴的距离相等．求：点P的坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为；（2）若点P的“5级关联点”的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上．求点P′的坐标．4．已知点P（8﹣2m，m﹣1）．（1）若点P在x轴上，求m的值．（2）若点P到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标．5．在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，2m+3）（1）若点M在y轴上，求m的值．（2）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值．6．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右……的方向依次不断移动，每次移动一个单位长度，其行走路线如图．（1）填写下列各点的坐标：A1（，），A3（，），A12（，）；（2）写出点A n的坐标（n是4的倍数）；（3）写出A 2016和点A 2017的坐标，并指出蚂蚁从点A 2016到点A 2017的移动方向．7．综合与实践问题背景：（1）已知A （1，2），B （3，2），C （1，﹣1），D （﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB 和CD 中点P 1、P 2，然后写出它们的坐标，则P 1 ，P 2 ．探究发现：（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则线段的中点坐标为 ．拓展应用：（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E （﹣1，2），F （3，1），G （1，4），第四个点H （x ，y ）与点E 、点F 、点G 中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H 的坐标．8．如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2）（1）A 3的坐标为 ，A n 的坐标（用n 的代数式表示）为 ．（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？9．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A 4 ，A 8 ；（2）写出点A 4n 的坐标（n 为正整数） ；（3）蚂蚁从点A 2014到点A 2017的移动方向 ．10．如图，在直角坐标系的坐标轴上按如下规律取点：A 1在x 轴正半轴上，A 2在y 轴正半轴上，A 3在x 轴负半轴上，A 4在y 轴负半轴上，A 5在x 轴正半轴上，…，且OA 1+1＝OA 2，OA 2+1＝OA 3，OA 3+1＝OA 4…，设A 1，A 2，A 3，A 4…，有坐标分别为（a 1，0），（0，a 2），（a 3，0），（0，a 4）…，s n ＝a 1+a 2+a 3+…+a n ．（1）当a 1＝1时，求a 5的值；（2）若s 7＝1，求a 1的值；（3）当a 1＝1时，直接写出用含k （k 为正整数）的式子表示x 轴负半轴上所取点坐标．11．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A （1，2），解答以下问题：（1）请在图中建立适当的直角坐标系，并写出图书馆（B ）位置的坐标；（2）若体育馆位置坐标为C （﹣3，3），请在坐标系中标出体育馆的位置，并顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC ，求△ABC 的面积．12．国庆假期期间，笑笑所在的学习小组组织了到方特梦幻王国的游园活动，笑笑和乐乐对着景区示意图（如图所示）讨论景点位置：（图中小正方形边长代表100m）笑笑说：“西游传说坐标（300，300）．”乐乐说：“华夏五千年坐标（﹣100，﹣400）．”若他们二人所说的位置都正确（1）在图中建立适当的平面直角坐标系xOy；（2）用坐标描述其他地点的位置．13．如图所示的是某市市政府周边的一些建筑，以市政府为坐标原点，建立平面直角坐标系（每个小方格的边长为1）．（1）请写出商会大厦和医院的坐标；（2）王老师在市政府办完事情后，沿（2，0）→（2，﹣1）→（2，﹣3）→（0，﹣3）→（0，﹣1）→（﹣2，﹣1）的路线逛了一下，然后到汽车站坐车回家，写出他路上经过的地方．14．如图（小方格的边长为1），这是某市部分简图．（1）请你根据下列条件建立平面直角坐标系（在图中直接画出）：①火车站为原点；②宾馆的坐标为（2，2）．（2）市场、超市的坐标分别为、；（3）请将体育场、宾馆和火车站看作三点，用线段连起来，得△ABC，然后将此三角形向下平移4个单位长度，再画出平移后的△A′B′C′（在图中直接画出）；（4）根据坐标情况，求△ABC的面积．15．如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置：（图中小正方形的边长代表100m 长）（1）请你以火车站为原点建立平面直角坐标系．（2）写出市场、超市、医院的坐标．16．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是；②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．17．在平面直角坐标系xOy中，对任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝d，则称P1与P2互为“d﹣距点”．例如：点P1（3，6），p2（1，7），由d＝|3﹣1|+|6﹣7|＝3，可得P1与P2互为“3﹣距点”．（1）在点D（﹣2，﹣2），E（5，﹣1），F（0，4）中，原点O的“4﹣距点”是（填字母）；（2）已知点A（2，1），点B（0，b），过点B平行于x轴的直线l．①当b＝3时，直线l上的点A的“2﹣距点”的坐标为；②若直线l上存在点A的“2﹣距点”，在坐标系中画出这些A的“2﹣距点”组成的图形，并写出b的取值范围．18．已知M（3|a|﹣9，4﹣2a）在y轴负半轴上，直线MN∥x轴，且线段MN长度为4．（1）求点M的坐标；（2）求（2﹣a）2020+1的值；（3）求N点坐标．19．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D均在坐标轴上，AB∥CD．（1）求证：∠ABO+∠CDO＝90°；（2）如图2，BM平分∠ABO交x轴于点M，DN平分∠CDO交y轴于点N，求∠BMO+∠OND 的值．20．在平面直角坐标系中，已知点M （m ﹣1，2m +3）．（1）若点M 在y 轴上，求m 的值．（2）若点N （﹣3，2），且直线MN ∥y 轴，求线段MN 的长．21．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则该两点间距离公式为P 1P 2＝，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x 轴、平行于y 轴时，两点间的距离公式可化简成|x 1﹣x 2|和|y 1﹣y 2|（1）若已知两点A （3，3），B （﹣2，﹣1），试求A ，B 两点间的距离；（2）已知点M ，N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为7，点N 的纵坐标为﹣2，试求M ，N 两点间的距离；（3）已知一个三角形各顶点的坐标为A （﹣1，），B （，），C （，），你能判定这三点是否共线？若共线请说明理由，若不共线请求出图形的面积．22．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），其两点间的距离P 1P 2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x 2﹣x 1|或|y 2﹣y |．（1）已知A （1，3），B （﹣3，﹣5），试求A ，B 两点间的距离；（2）已知线段MN ∥y 轴，MN ＝4，若点M 的坐标为（2，﹣1），试求点N 的坐标；（3）已知一个三角形各顶点坐标为D （0，6），E （﹣3，2），F （3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．23．在平面直角坐标系中，有A （﹣2，a +1），B （a ﹣1，4），C （b ﹣2，b ）三点．（1）当AB ∥x 轴时，求A 、B 两点间的距离；（2）当CD ⊥x 轴于点D ，且CD ＝1时，求点C 的坐标．24．在平面直角坐标系中，有A （﹣2，a +2），B （a ﹣3，4）C （b ﹣4，b ）三点．（1）当AB ∥x 轴时，求A 、B 两点间的距离；（2）当CD ⊥x 轴于点D ，且CD ＝3时，求点C 的坐标．25．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB 或DE 的长度，显然是转化为求Rt △ABC 或Rt △DEF 的斜边长．下面：以求DE 为例来说明如何解决：从坐标系中发现：D （﹣7，5），E （4，﹣3）．所以DF ＝|5﹣（﹣3）|＝8，EF ＝|4﹣（﹣7）|＝11，所以由勾股定理可得：DE ＝＝． 下面请你参与：（1）在图①中：AC ＝ ，BC ＝ ，AB ＝ ．（2）在图②中：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），试用x 1，x 2，y 1，y 2表示AC ＝ ，BC ＝ ，AB ＝ ．（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：A （2，1），B （4，3），C 为坐标轴上的点，且使得△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形．请求出C 点的坐标．参考答案1．解：（1）由题知，解得：﹣＜m ＜3；（2）由题知|2m +1|＝3，解得m ＝1或m ＝﹣2．当m ＝1时，得P （3，﹣2）；当m ＝﹣2时，得P （﹣3，﹣5）．综上，点P 的坐标为（3，﹣2）或（﹣3，﹣5）．2．解：∵点P（2﹣a，3）到x轴、y轴的距离相等．∴|2﹣a|＝3，∴2﹣a＝±3，∴a＝5或a＝﹣1，∴点P的坐标（﹣3，3）或（3，3）．3．解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为（2，14）．故答案为：（2，14）；（2）设点P的坐标为（a，b），由题意可知，解得：，∴点P的坐标为（2，﹣1）；（3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），①P′位于x轴上，∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0，解得：m＝，∴﹣3（m﹣1）+2m＝4，∴P′（4，0）．②P′位于y轴上，∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，解得：m＝3∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，∴P′（0，﹣16）．综上所述，点P′的坐标为（4，0）或（0，﹣16）．4．解：（1）∵点P（8﹣2m，m﹣1）在x轴上，∴m﹣1＝0，解得：m＝1；（2）∵点P 到两坐标轴的距离相等，∴|8﹣2m |＝|m ﹣1|，∴8﹣2m ＝m ﹣1或8﹣2m ＝1﹣m ，解得：m ＝3或m ＝7，∴P （2，2）或（﹣6，6）．5．解：（1）由题意得：m ﹣1＝0，解得：m ＝1；（2）由题意得：m ﹣1＝2m +3，解得：m ＝﹣4．6．解：（1）∵蚂蚁每次移动1个单位，∴OA 1＝1，OA 3＝1，OA 12＝6，∴A 1（0，1），A 3（1，0），A 12（6，0）；故答案为：0，1；1，0，6，0；（2）根据（1）OA n ＝n ÷2＝，∴点A 4n 的坐标（，0）；（3）∵2016÷4＝504，∴从点A 2016到点A 2018的移动方向：点A 2016在x 轴上，向上移动一个到A 2017，∴A 2016（1008，0），A 2017（1008，1）．7．解：（1）如图：A （1，2），B （3，2），C （1，﹣1），D （﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出它们如下：线段AB 和CD 中点P 1、P 2的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为．故答案为：．（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），∴EF、FG、EG的中点分别为：（1，）、（2，）、（0，3）∴①HG过EF中点（1，）时，＝1，＝解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；②EH过FG中点（2，）时，＝2，＝解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；③FH过EG的中点（0，3）时，＝0，＝3解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．8．解：（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），∴A1，A2，A3，…，A n各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴A1，A2，A3，…，A n各点的横坐标依次大3，∴A3（5+3，2），A n（，2），即A3（8，2），A n（3n﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．9．解：（1）由图可知，A4，A8，A12都在x轴上，∵小蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4＝2，OA8＝4，∴A 4（2，0），A 8（4，0），故答案为：（2，0）；（4，0）；（2）根据（1）OA 4n ＝4n ÷2＝2n ，∴点A 4n 的坐标（2n ，0）；故答案为：（2n ，0）；（3）∵2014÷4＝503…2，∴2014除以4余数为2，∴从点A 2014到点A 2017的移动方向与从点A 2到A 5的方向一致为：向下，向右，再向上． 故答案为：向下，向右，再向上．10．解：（1）当a 1＝1时，a 2＝1+1＝2，a 3＝﹣（2+1）＝﹣3，a 4＝﹣（3+1）＝﹣4，a 5＝4+1＝5；（2）∵a 2＝a 1+1，a 3＝﹣（a 1+2），a 4＝﹣（a 1+3），a 5＝a 1+4，a 6＝a 1+5，a 7＝﹣（a 1+6）， ∴s 7＝a 1+a 2+…+a 7＝a 1﹣1，当s 7＝1时，则a 1﹣1＝1，∴a 1＝2；（3）∵当a 1＝1时，则a 3＝﹣3，a 7＝﹣7，a 11＝﹣11，…∴a 4k ﹣1＝﹣（4k ﹣1）＝﹣4k +1∴A 4k ﹣1（﹣4k +1，0）．11．解：（1）建立直角坐标系如图所示：图书馆（B）位置的坐标为（﹣3，﹣2）；（2）标出体育馆位置C如图所示，观察可得，△ABC中BC边长为5，BC边上的高为4，所以△ABC的面积为＝＝10．12．解：（1）如图所示：（2）太空飞梭（0，0），秦岭历险（0，400），魔幻城堡（400，﹣200），南门（0，﹣500），丛林飞龙（﹣200，﹣100）．13．解：（1）由图可得：商会大厦的坐标为（﹣1，2），医院的坐标为（3，1）．（2）路上经过的地方为：大剧院，体育公园，购物广场．14．解：（1）如图，（2）市场的坐标为（4，3），超市的坐标为（2，﹣3）；（3）如图；（4）△ABC面积＝3×6﹣×2×2﹣×4×3﹣×1×6＝18﹣2﹣6﹣3＝7．故答案为（4，3），（2，﹣3）．15．解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；（2）市场（400，300），医院（﹣200，﹣200），超市（200，﹣300）．16．解：（1）①∵点A （﹣3，1）到x 、y 轴的距离中最大值为3，∴与A 点是“等距点”的点是E 、F ．②当点B 坐标中到x 、y 轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A 符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E 、F ；②（﹣3，3）；（2）T 1（﹣1，﹣k ﹣3），T 2（4，4k ﹣3）两点为“等距点”，①若|4k ﹣3|≤4时，则4＝﹣k ﹣3或﹣4＝﹣k ﹣3解得k ＝﹣7（舍去）或k ＝1．②若|4k ﹣3|＞4时，则|4k ﹣3|＝|﹣k ﹣3|解得k ＝2或k ＝0（舍去）．根据“等距点”的定义知，k ＝1或k ＝2符合题意．即k 的值是1或2．17．解：（1）∵|﹣2﹣0|+|﹣2﹣0|＝4，|5﹣0|+|﹣1﹣0|＝6，|0﹣0|+|4﹣0|＝4， ∴原点O 的“4﹣距点”是点D 、点F ．故答案为：D 、F ；（2）①∵点B （0，b ），l 为过点B 平行于x 轴的直线，∴当b ＝3时，l 为直线y ＝3，设直线l 上的点A （2，1）的“2﹣距点”的坐标为（x ，3），则有：|2﹣x |+|1﹣3|＝2，解得：x ＝2，∴直线l 上的点A （2，1）的“2﹣距点”的坐标为（2，3）；故答案为：（2，3）；②由①知当直线l经过点（2，3）时，b＝3；∵A（2，1），l为过点B平行于x轴的直线，∴当直线l经过点（2，﹣1）时，b＝﹣1，∴若直线l上存在点A的“2﹣距点”，则b的取值范围是﹣1≤b≤3．如图所示：18．解：（1）∵M在y轴负半轴上，∴3|a|﹣9＝0，且4﹣2a＜0，∴a＝±3，且a＞2，∴a＝3．∴4﹣2a＝﹣2，M（0，﹣2）；（2）∵a＝3，∴（2﹣a）2020+1＝（2﹣3）2020+1＝1+1＝2；（3）∵直线MN∥x轴，M（0，﹣2），∴设N（x，﹣2），又∵线段MN长度为4，∴MN＝|x﹣0|＝|x|＝4，∴x＝±4，∴N（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．19．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠DCO，∵∠DCO+∠CDO＝90°；∴∠ABO+∠CDO＝90°；（2）∵BM平分∠ABO，DN平分∠CDO，∴∠MBO＝∠ABO，∠NDO＝∠CDO，∴∠MBO+∠NDO＝（∠ABO+∠CDO）＝45°，∴∠BMO+∠OND＝135°．20．解：（1）由题意得：m﹣1＝0，解得：m＝1；（2）∵点N（﹣3，2），且直线MN∥y轴，∴m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2．∴M（﹣3，﹣1），∴MN＝2﹣（﹣1）＝3．21．解：（1）∵点A（3，3），B（﹣2，﹣1），∴AB＝＝，即A，B两点间的距离是；（2）∵点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为﹣2，∴MN＝|﹣2﹣7|＝9，即M，N两点间的距离是9；（3）这三点不共线，该三角形为直角三角形．理由：∵一个三角形各顶点的坐标为A（﹣1，），B（，），C（，），∴AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，∵AB2+AC2＝（）2+（）2＝（）2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，＝AB•AC＝××＝．∴S△ABC22．解：（1）A，B两点间的距离＝＝4；（2）∵线段MN∥y轴，∴M、N的横坐标相同，设N（2，t），∴|t+1|＝4，解得t＝3或﹣5，∴N点坐标为（2，3）或（2，﹣5）；（3）△DEF为等腰三角形．理由如下：∵D（0，6），E（﹣3，2），F（3，2），∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝＝6，∴DE＝DF，∴△DEF为等腰三角形．23．解：（1）∵AB∥x轴，∴A、B两点的纵坐标相同．∴a+1＝4，解得a＝3．∴A、B两点间的距离是|（a﹣1）+2|＝|3﹣1+2|＝4．（2）∵CD⊥x轴，∴C、D两点的横坐标相同．∴D（b﹣2，0）．∵CD＝1，∴|b|＝1，解得b＝±1．当b＝1时，点C的坐标是（﹣1，1）．当b＝﹣1时，点C的坐标是（﹣3，﹣1）．24．解：（1）∵AB∥x轴，∴A点和B的纵坐标相等，即a+2＝4，解得a＝2，∴A（﹣2，4），B（﹣1，4），∴A、B两点间的距离为﹣1﹣（﹣2）＝1；（2）∵当CD⊥x轴于点D，CD＝3，∴|b|＝3，解得b＝3或b＝﹣3，∴当b＝3时，b﹣4＝﹣1；当b＝﹣3时，b﹣4＝﹣7，∴C点坐标为（﹣1，3）或（﹣7，﹣3）．25．解：（1）AC＝4，BC＝3，AB＝＝5；（2）结合图形可得：AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2，AB＝．（3）若点C在x轴上，设点C的坐标为（x，0），则AC＝BC，即＝，解得：x＝5，即点C的坐标为（5，0）；若点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y），则AC＝BC，即＝，解得：y＝5，即点C的坐标为（0，5）．综上可得点C的坐标为（5，0）或（0，5）．故答案为：4，3，5；y1﹣y2，x1﹣x2，A．。

考点专项复习提升测试卷——平面直角坐标系与一次函数（时间：60分钟分数：100分）姓名：班级：学号：分数：一、选择题（本题共8小题，共40分）1.（2022·内蒙古包头）在一次函数()50y ax b a =-+≠中，y 的值随x 值的增大而增大，且0ab >，则点(,)A a b 在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2.（2022·天津）如图，△OAB 的顶点O (0，0)，顶点A ，B 分别在第一、四象限，且AB ⊥x 轴，若AB =6，OA =OB =5，则点A 的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)3.如图，()8,0A ，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（）A．()0,5B．()5,0C．()6,0D．()0,64.（2022·黑龙江大庆）平面直角坐标系中，点M 在y 轴的非负半轴上运动，点N 在x 轴上运动，满足8OM ON +=．点Q 为线段MN 的中点，则点Q 运动路径的长为（）A．4πB．C．8πD．5.一次函数y=-2x-1的图象大致是（）A．B．C．D．6.如图，已知直线1:24l y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，那么过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 的解析式为（）A．12y x =B．y x =C．32y x =D．2y x=7.（2021·广东广州）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的点A 在函数()10y x x =>的图象上，点C 在函数()40y x x=-<的图象上，若点B 的横坐标为72-，则点A 的坐标为（）A．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B．222⎝C．12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D．22,2⎭8.如图，直线(0)y kx b k =+<经过点(1,1)P ，当kx b x +≥时，则x 的取值范围为（）A．1x ≤B．1≥x C．1x <D．1x >二、填空题（本题共5小题，每空3分，共15分）9．（2021·四川成都）在正比例函数y kx =中，y 的值随着x 值的增大而增大，则点()3,P k 在第______象限．10．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，一次函数2y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30°交x 轴于点C ，则线段AC 长为．11．（2020•南京）将一次函数y ＝﹣2x +4的图象绕原点O 逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是．12．在平面直角坐标系中，点P （x 0，y 0）到直线Ax +By +C =0的距离公式为：d，则点P （3，-3）到直线2533y x =-+的距离为__________．13.过点(－1，7)的一条直线与x 轴，y 轴分别相交于点A，B，且与直线3y x 12=-+平行．则在线段AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是．三、解答题（本题共3小题，共45分）14.（2020•青岛）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m 3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y （m 3）与注水时间t （h ）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y （m 3）与注水时间t （h ）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？15.（2021·湖北宜昌）甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg ，如果一次购买4kg 以上的苹果，超过4kg 的部分按标价6折售卖．x （单位：kg ）表示购买苹果的重量，y （单位：元）表示付款金额．（1）文文购买3kg苹果需付款___________元，购买5kg苹果需付款____________元；（2）求付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式；（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖．文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？16.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．（1）求每千克花生、茶叶的售价；（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克．甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？参考答案：1.B2.D3.D4.B5.D6.D7.A8.A9.一+11.y =1x +212.8131313.（1，4），（3，1）14.（1）设y 与t 的函数解析式为y ＝kt +b ，=1002+=380，解得，=140=100，即y 与t 的函数关系式是y ＝140t +100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m 3/h ）；（2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的34，∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m 3/h ，∴甲进水口的进水速度为：140÷（341）×34=60（m 3/h ），480÷60＝8（h ），即单独打开甲进水口注满游泳池需8h ．15.（1）由题意：31030⨯=（元）；()41054100.646⨯+-⨯⨯=（元）；故答案为：30元，46元；（2）当04x ≤≤时，10y x =，当4x ≥时，设y kx b =+，将()4,40，()5,46代入解析式解得6k =，16b =，∴616y x =+，（3）当10x =时，6101676y =⨯+=甲，101080%80y =⨯⨯=乙，∵7680<，∴甲超市比乙超市划算．16.解：（1）设每千克花生的售价为（x -40）元，每千克的茶叶售价为x 元，由题意得：()504010x x -=，解得：50x =，∴花生每千克的售价为50-40=10元；答：每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元（2）设茶叶销售了m 千克，则花生销售了（60-m ）千克，所获得利润为w 元，由题意得：()660361260602m m m m ⎧-+≤⎨-≤⎩，解得：2030m ≤≤，∴()()()10660503610240w m m m =--+-=+，∵10＞0，∴w 随m 的增大而增大，∴当m =30时，w 有最大值，最大值为1030240540w =⨯+=；答：当花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元．。

2021年中考数学第三轮冲刺解答题：平面直角坐标系一次函数 专题复习1、如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =--与直线22y x =-+相交于点P ，并分别与x 轴相交于点A 、B ． （1）求交点P 的坐标； （2）求PAB ∆的面积；（3）请把图象中直线22y x =-+在直线112y x =--上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x 的取值范围．2、定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝，y ＝那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x ＝＝1，y ＝＝2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．①试确定y 与x 的关系式．②若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．．3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB//OC，线段OA，AB的长分别是方程x2－9x+20=0的两个根（OA<AB）, tan∠OCB=43．（1）求点B，C的坐标；（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ=5，将∆POQ翻折，使点O落在AB上的点O'处，双曲线kyx=的一个分支过点O'．求k的值；（3）在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以O'，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．5、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OB=．OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知8（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．（3）若点P在x轴正半轴上（异于点)D，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．6、如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2)-，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于1AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，2过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段PA 与PM 的数量关系为 PA PM = ，其理由为： ．（2）在x 轴上多次改变点M 的位置，按上述作图方法得到相应点P 的坐标，并完成下列表格：猜想：（3）请根据上述表格中P 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L ，猜想曲线L 的形状是 ． 验证：（4）设点P 的坐标是(,)x y ，根据图1中线段PA 与PM 的关系，求出y 关于x 的函数解析式． 应用：（5）如图3，点(B -，C ，点D 为曲线L 上任意一点，且30BDC ∠<︒，求点D 的纵坐标D y 的取值范围．7、将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(2,0)A ，点B 在第一象限，90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，点P 在边OB 上（点P 不与点O ，B 重合）． （Ⅰ）如图①，当1OP =时，求点P 的坐标；（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ OP =，点O 的对应点为O '，设OP t =．①如图②，若折叠后△O PQ '与OAB ∆重叠部分为四边形，O P '，O Q '分别与边AB 相交于点C ，D ，试用含有t 的式子表示O D '的长，并直接写出t 的取值范围；②若折叠后△O PQ '与OAB ∆重叠部分的面积为S ，当13t 时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．8、如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题： （1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数ky x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 、BC 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x +12＝0的两个根（BC ＞AB ），OA ＝2OB ，边CD 交y 轴于点E ，动点P 以每秒1个单位长度的速度，从点E 出发沿折线段ED ﹣DA 向点A 运动，运动的时间为t （0≤t ＜6）秒，设△BOP 与矩形AOED 重叠部分的面积为S ． （1）求点D 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使△BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10、已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为M ，9OM =． （1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PEOD的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若DHE DPH ∠=∠，GQ FG -，求点P 的坐标．11、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点R的纵坐标为﹣，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y 轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR＝，求直线PM的解析式．12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +3与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，点C 在射线BO 上，点D 在射线BA 上，且BD ＝OC ，以CO ，CD 为邻边作▱COED ．设点C 的坐标为（0，m ），▱COED 在x 轴下方部分的面积为S ．求： （1）线段AB 的长；（2）S 关于m 的函数解析式，并直接写出自变量m 的取值范围．参考答案2021年中考数学第三轮冲刺解答题：平面直角坐标系一次函数 专题复习1、如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =--与直线22y x =-+相交于点P ，并分别与x 轴相交于点A 、B ． （1）求交点P 的坐标； （2）求PAB ∆的面积；（3）请把图象中直线22y x =-+在直线112y x =--上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x 的取值范围．【解答】解：（1）由11222y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩解得22x y =⎧⎨=-⎩， (2,2)P ∴-；（2）直线112y x =--与直线22y x =-+中，令0y =，则1102x --=与220x -+=， 解得2x =-与1x =，(2,0)A ∴-，(1,0)B ， 3AB ∴=，11||32322PAB P S AB y ∆∴==⨯⨯=； （3）如图所示：自变量x 的取值范围是2x <．2、定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝，y ＝那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x ＝＝1，y ＝＝2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．【分析】（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，即可求解；（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），即可求解；②分ET＝DT、ET＝ED、DE＝DT三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），则t＝3x﹣3，则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；②点T（，），则ET2＝（t﹣）2，DE2＝（t﹣3）2+（2t+3）2，DT2＝（3﹣）2+（）2，当ET＝DT时，（3﹣）2+（）2＝（t﹣）2，解得：t＝﹣；当ET＝ED时，无解；当DE＝DT时，无解；故点E的坐标为（﹣，﹣）．3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB//OC，线段OA，AB的长分别是方程x2－9x+20=0的两个根（OA<AB）, tan∠OCB=43．（1）求点B，C的坐标；（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ=5，将∆POQ翻折，使点O落在AB上的点O'处，双曲线kyx=的一个分支过点O'．求k的值；（3）在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以O'，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解方程：x2-9x+20=0，得x1=4，x2=5，∵OA<AB，∴OA=4，AB=5，过点B作BD⊥OC于点D，∵tan∠OCB=43，BD=OA=4，OD=AB=5，∴CD=3，∴OC=8，∴点B的坐标为（5，4），点C的坐标为（8，0）；（2）∵AB//OC，OQ=AB=5，∠AOQ=90º，∴四边形AOQB为矩形，∴BQ=OA=4，由翻折，得OQ=O Q'=5，∴O B'==3，∴A O'=2，∴O'(2, 4)，∴248k=⨯=；（3）存在．①以O '，Q 为边时，点M 的坐标为50,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或150,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当点M 的坐标为50,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，点N 的坐标为13(3)2N -，；当点M 的坐标为10,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，点N 的坐标为21(4)3N --，；当点M 的坐标为150,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，点N 的坐标为31(3)4N -，； ②以O '，Q 为对角线时，点M 的坐标为()2,0M ，此时点N 的坐标为4(5)N ，4，综上所述，点N 的坐标为：13(3)2N -，，21(4)3N --，，31(3)4N -，，4(5)N ，4．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝6．若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当矩形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD ＝30°时，求点C 的坐标；（2）设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形OMCD 的面积为时，求OA 的长；（3）当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值．【解答】解：（1）如图1，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝AD＝3，∴点C的坐标为（2，3+2）；（2）∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四边形OMCD＝，∴S△ODM＝，∴S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝3（负值舍去），∴OA＝3；（3）OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，∴OM＝3，CM＝＝5，∴OC≤OM+CM＝8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴＝＝，即＝＝，解得MN＝，ON＝，∴AN＝AM﹣MN＝，在Rt△OAN中，OA＝＝，∴cos∠OAD＝＝．5、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OB ．OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知8（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．（3）若点P在x轴正半轴上（异于点)D，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，//AE DF ，//AD EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形， 四边形ABCD 是正方形，AC AB OC OB ∴===，90ACE ABD ∠=∠=︒， E ，D 分别是OC ，OB 的中点， CE BD ∴=，()CAE ABD SAS ∴∆≅∆，AE AD ∴=，∴四边形AEFD 是菱形．（2）解：如图1中，连接DE ．184162ADB ACE S S ∆∆==⨯⨯=， 14482EOD S ∆=⨯⨯=， 264216824AED ABD EOD ABOC S S S S ∆∆∆∴=--=-⨯-=正方形， 248AED AEFD S S ∆∴==菱形．（3）解：如图1中，连接AF ，设AF 交DE 于K ， 4OE OD ==，OK DE ⊥，KE KD ∴=，OK KE KD ∴===，8AO=，AK∴=，3AK DK∴=，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形：如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HN x⊥轴于N，交AC于M，设AM t=．菱形PAQG∽菱形ADFE，3PH AH∴=，//HN OQ，QH HP=，ON NP∴=，HN∴是PQO∆的中位线，8ON PN t∴==-，90MAH PHN AHM∠=∠=︒-∠，90PNH AMH∠=∠=︒，HMA PNH∴∆∆∽，∴13 AM MH AHNH PN PH===，33HN AM t∴==，83 MH MN NH t∴=-=-，3PN MH=，83(83)t t∴-=-，2t ∴=，22(8)12OP ON t ∴==-=，(12,0)P ∴．如图3中，过点H 作HI y ⊥轴于I ，过点P 作PN x ⊥轴交IH 于N ，延长BA 交IN 于M ．同法可证：AMH HNP ∆∆∽， ∴13AM MH AH HN PN HP ===，设MH t =， 33PN MH t ∴==，38AM BM AB t ∴=-=-， HI 是OPQ ∆的中位线，2OP IH ∴=，HIHN ∴，8924t t ∴+=-，4t ∴=，22(8)24OP HI t ∴==+=，(24,0)P ∴．②当AP 为菱形的边，点Q 在x 轴的下方时，有图4，图5两种情形： 如图4中，3QH PH =，过点H 作HM OC ⊥于M ，过D 点P 作PN MH ⊥于N ．M H 是QAC ∆的中位线，142MH AC ∴==， 同法可得：HPN QHM ∆∆∽， ∴13NP HN PH HM MQ QH ===， 1433PN HM ∴==， 43OM PN ∴==，设HN t =，则3MQ t =， MQ MC =，4383t ∴=-， 209t ∴=， 5649OP MN t ∴==+=， ∴点P 的坐标为56(9，0)．如图5中，3QH PH =，过点H 作HM x ⊥轴于M 交AC 于I ，过点Q 作QN HM ⊥于N ．IH 是ACQ ∆的中位线，2CQ HI ∴=，4NQ CI ==， 同法可得：PMH HNQ ∆∆∽， ∴13MH PM PH NQ HN HQ ===，则1433MH NQ ==， 设PM t =，则3HN t =，HN HI =，4383t ∴=+， 289t ∴=， 849OP OM PM QN PM t ∴=-=-=-=， 8(9P ∴，0)． ③如图6中，当AP 为菱形的对角线时，有图6一种情形：过点H作HM y⊥轴于于点M，交AB于I，过点P作PN HM⊥于N．//HI x轴，AH HP=，4AI IB∴==，4PN IB∴==，同法可得：PNH HMQ∆∆∽，∴13 PN HN PHHM MQ HQ===，312MH PN∴==，4HI M H M I=-=，HI是ABP∆的中位线，28BP IH∴==，16OP OB BP∴=+=，(16,0)P∴，综上所述，满足条件的点P的坐标为(12,0)或(24,0)或56(9，0)或8(9，0)或(16,0)．6、如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2)-，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于12AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段PA与PM的数量关系为PA PM=，其理由为：．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是．验证：（4）设点P的坐标是(,)x y，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点(B-，C，点D为曲线L上任意一点，且30BDC∠<︒，求点D的纵坐标y的取值范围．D【解答】解：（1）分别以点A和点M为圆心，大于1AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，GH∴是AM的垂直平分线，点P是GH上一点，∴=（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），PA PM故答案为：PA PM=，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）当点(2,0)P a-，(0)M-时，设点(2,)a<=，PA PM∴-=，a2∴=-，a∴点(2,2)P--，当点(4,0)M 时，设点(4,)P b ，(0)b <PA PM =，b ∴-，5b ∴=-，∴点(4,5)P -，故答案为：(2,2)--，(4,5)-； （3）依照题意，画出图象，猜想曲线L 的形状为抛物线， 故答案为：抛物线；（4）PA PM =，点P 的坐标是(,)x y ，(0)y <，y ∴-= 2114y x ∴=--；（5）点(B -，C ，2BC ∴=，2OB ，2OC ，BC OB OC ∴==， BOC ∴∆是等边三角形， 60BOC ∴∠=︒，如图3，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，交抛物线L 与点E ，连接BE ，CE ，30BEC ∴∠=︒，设点(,)E m n ， 点E 在抛物线上，2114n m ∴=--，2OE OB ==，∴2，12n ∴=-22n =+（舍去）， 如图3，可知当点D 在点E 下方时，30BDC ∠<︒，∴点D 的纵坐标D y 的取值范围为2D y <-7、将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(2,0)A ，点B 在第一象限，90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，点P 在边OB 上（点P 不与点O ，B 重合）． （Ⅰ）如图①，当1OP =时，求点P 的坐标；（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ OP =，点O 的对应点为O '，设OP t =．①如图②，若折叠后△O PQ '与OAB ∆重叠部分为四边形，O P '，O Q '分别与边AB 相交于点C ，D ，试用含有t 的式子表示O D '的长，并直接写出t 的取值范围；②若折叠后△O PQ '与OAB ∆重叠部分的面积为S ，当13t 时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点P 作PH OA ⊥于H ．90OAB ∠=︒，30B ∠=︒， 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒， 906030OPH ∴∠=︒-︒=︒， 1OP =，1122OH OP ∴==，cos30PH OP =︒=，1(2P ∴．（Ⅱ）①如图②中，由折叠可知，△O PQ OPQ '≅∆，OP O P ∴='，OQ O Q ='，OP OQ t ==， OP OQ O P O Q ∴=='='，∴四边形OPO Q '是菱形，//QO OB ∴'， 30ADQ B ∴∠=∠=︒，(2,0)A ，2OA ∴=，2QA t =-，在Rt AQD ∆中，242DQ QA t ==-，34O D O Q QD t '='-=-，∴423t <<．②①当点O '落在AB 上时，重叠部分是PQO ∆'，此时23t =，22()3S == 当223t <时，重叠部分是四边形PQDC，2224)S t =--=+-，当127x ==时，S有最大值，最大值=，当1t =时，S =，当3t =时，1122S =⨯=，437S ． 8、如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题： （1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数ky x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）线段 的长是方程 的一个根， 解得：9x =或2-（舍)，而点A 在x 轴正半轴，(9,0)A ∴，12OB OA =，9(0,)2B ∴，（2）6OE =，(6,0)E ∴-，设直线AB 的表达式为y kx b =+，将点A 和B 的坐标代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，AB ∴的表达式为：1922y x =-+，点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为3-，代入AB 中，6y =，则(3,6)C -，反比例函数ky x=经过点C ， 则3618k =-⨯=-；（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形111DM PN中，1M和点A重合，1(9,0)M∴，此时1(9,12)P；在四边形33DP BN中，点B和M重合，可知M在直线3y x=+上，联立：31922y xy x=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14xy=⎧⎨=⎩，(1,4)M∴，3(1,0)P∴，同理可得：2(9,12)P-，4(7,4)P-，5(15,0)P-．故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，点P的坐标为1(9,12)P，2(9,12)P-，3(1,0)P，4(7,4)P-，5(15,0)P-．9、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S．（1）求点D的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，∴x1＝3，x2＝4，∵BC＞AB，∴BC＝4，AB＝3，∵OA＝2OB，∴OA＝2，OB＝1，∵四边形ABCD是矩形，∴点D的坐标为（﹣2，4）；（2）设BP交y轴于点F，如图1，当0≤t≤2时，PE＝t，∵CD∥AB，∴△OBF∽△EPF，∴＝，即＝，∴OF＝，∴S＝OF•PE＝••t＝；如图2，当2＜t＜6时，AP＝6﹣t，∵OE∥AD，∴△OBF∽△ABP，∴＝，即＝，∴OF＝，∴S＝•OF•OA＝××2＝﹣t+2；综上所述，S＝；（3）由题意知，当点P在DE上时，显然不能构成等腰三角形；当点P在DA上运动时，设P（﹣2，m），∵B（1，0），E（0，4），∴BP2＝9+m2，BE2＝1+16＝17，PE2＝4+（m﹣4）2＝m2﹣8m+20，①当BP＝BE时，9+m2＝17，解得m＝±2，则P（﹣2，2）；②当BP＝PE时，9+m2＝m2﹣8m+20，解得m＝，则P（﹣2，）；③当BE ＝PE 时，17＝m 2﹣8m +20，解得m ＝4±，则P （﹣2，4﹣）； 综上，P （﹣2，2）或（﹣2，）或（﹣2，4﹣）．10、已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为M ，9OM =． （1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PEOD的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若DHE DPH ∠=∠，GQ FG -，求点P 的坐标．【解答】解：（1）CM y ⊥轴，9OM =，9y ∴=时，394x =，解得12x =， (12,9)C ∴，(12,0)A ∴，OA OB =，(0,12)B ∴-，设直线AB 的解析式为y kx b =+，则有12120b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得112k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为12y x =-．（2）如图2中，90CMO MOA OAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形OACM 是矩形，12AO CM ∴==，9NC OM ==，1293MN CM NC ∴=-=-=，(3,9)N ∴，∴直线ON 的解析式为3y x =，设点E 的横坐标为4a ，则(4,0)D a ，把4x a =，代入34y x =中，得到3y a =，(4,3)E a a ∴，3DE a ∴=， 把4x a =代入，3y x =中，得到12y a =，(4,12)P a a ∴，12PD a ∴=，1239PE PD DE a a a ∴=-=-=， ∴94PE OD =．（3）如图3中，设直线FG 交CA 的延长线于R ，交y 轴于S ，过点F 作FT OA ⊥于T ．//GF x 轴，90OSR MOA ∴∠=∠=︒，90CAO R ∠=∠=︒，90BOA BSG ∠=∠=︒，OAB AFR ∠=∠，90OFR R AOS BSG ∴∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形OSRA 是矩形，OS AR ∴=，12AR OA ==，OA OB =，45∴∠=∠=︒，OBA OAB∴∠=︒-︒=︒，904545FAR∴∠=∠，FAR AFR∴==，FR AR OS⊥，OF FQ∴∠=∠=∠=︒，OSR R OFQ90∴∠+∠=︒，OFS QFR90QFR FQR∠+∠=︒，90∴∠=∠，OFS FQROFS FQR AAS∴∆≅∆，()∴=，SF QR∠=∠=︒，SFB AFR45∴∠=∠=︒，45SBF SFB∴==，SF SB QR∠=∠，∠=∠，BSG RSGB QGR∴∆≅∆，()BSG QRG AAS∴==，SG GR6设FR m=，AF，12 =，则AR mQR SF m==-，-，GQ FG∴+-=+，GQ m m66222=+，GQ GR QR222∴+=+-，m m(6)6(12)解得4m=，∴=，4FS8AR=，OAB FAR ∠=∠，FT OA ⊥，FR AR ⊥，4FT FR AR ∴===，90OTF ∠=︒，∴四边形OSFT 是矩形，8OT SF ∴==，DHE DPH ∠=∠，tan tan DHE DPH ∴∠=∠， ∴DE DH DH PD=， 由（2）可知3DE a =，12PD a =， ∴312a DH DH a=， 6DH a ∴=，12tan 26PD a PHD DH a∴∠===， PH D FH T ∠=∠，tan 2TF FHT HT∴∠==， 2HT ∴=，OT OD DH HT =++，4628a a ∴++=，35a ∴=， 125OD ∴=，3361255PD =⨯=， 12(5P ∴，36)5．11、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线BC 与x 轴交于点C ，且点C 与点A 关于y 轴对称；（1）求直线BC 的解析式；（2）点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 上一点，BQ ＝AP ，连接PQ ，设点P 的横坐标为t ，△PBQ 的面积为S （S ≠0），求S 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E 在线段OA 上，点R 在线段BC 的延长线上，且点R 的纵坐标为﹣，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y 轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR＝，求直线PM的解析式．【解答】解：（1）∵y＝x+4，∴A（﹣3，0）B（0，4），∵点C与点A关于y轴对称，∴C（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，4），C（3，0）代入，，解得k＝，b＝4，∴直线BC的解析式；（2）如图1，过点A作AD⊥BC于点点D，过点P作PN⊥BC于N，PG⊥OB于点G．∵OA＝OC＝3，OB＝4，∴AC＝6，AB＝BC＝5，∴sin∠ACD＝，即，∴AD＝，∵点P为直线y＝x+4上，∴设P（t，t+4），∴PG＝﹣t，cos∠BPG＝cos∠BAO，即，∴，∵sin∠ABC＝，∴PN＝＝，∵AP＝BQ，∴BQ＝5+，∴S＝，即S＝；（3）如图，延长BE至T使ET＝EP，连接AT、PT、AM、PT交OA于点S．∵∠APE＝∠EBC，∠BAC＝∠BCA，∴180°﹣∠APE﹣∠BAC＝180°﹣∠EBC﹣∠ACB，∴∠PEA＝∠BEC＝∠AET，∴PT⊥AE，PS＝ST，∴AP＝AT，∠TAE＝∠PAE＝∠ACB，AT∥BC，∴∠TAE＝∠FQB，∵∠AFT＝∠BFQ，AT＝AP＝BQ，∴△ATF≌△QBF，∴AF＝QF，TF＝BF，∵∠PSA＝∠BOA＝90°，∴PT∥BM，∴∠TBM＝∠PTB，∵∠BFM＝∠PFT，∴△MBF≌△PTF，∴MF＝PF，BM＝PT，∴四边形AMPQ为平行四边形，∴AP∥MQ，MQ＝AP＝BQ，∴∠MQR＝∠ABC，过点R作RH⊥MQ于点H，∵sin∠ABC＝sin∠MQR＝，设QR＝25a，HR＝24a，则QH＝7a，∵tan∠QMR＝，∴MH＝23a，BQ＝MQ＝23a+7a＝30a，BR＝BQ+QR＝55a，过点R作RK⊥x轴于点K．∵点R的纵坐标为﹣，∴RK＝，∵sin∠BCO＝，∴CR＝，BR＝，∴，a＝，∴BQ＝30a＝3，∴5+＝3，t＝，∴P（），∴，∵BM＝PT＝2PS＝，BO＝4，∴OM＝，∴M（0，），设直线PM的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线PM的解析式为y＝．12、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CO，CD为邻边作▱COED．设点C的坐标为（0，m），▱COED在x轴下方部分的面积为S．求：（1）线段AB的长；（2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝4，∴直线y＝﹣x+3与x轴点交A（4，0），与y轴交点B（0，3）∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝，因此：线段AB的长为5．（2）当CD∥OA时，如图，∵BD＝OC，OC＝m，∴BD＝m，由△BCD∽△BOA得：，即：，解得：m＝；①当0＜m≤时，如图1所示：DE＝m≤，此时点E在△AOB的内部，S＝0 （0＜m≤）；②当＜m≤3时，如图2所示：过点D作DF⊥OB，垂足为F，此时在x轴下方的三角形与△CDF全等，∵△BDF∽△BAO，∴，∴DF＝，同理：BF＝m，∴CF＝2m﹣3，∴S△CDF＝＝（2m﹣3）×＝m2﹣4m，即：S＝m2﹣4m，（＜m≤3）③当m＞3时，如图3所示：过点D作DF⊥y轴，DG⊥x轴，垂足为、FG，同理得：DF＝，BF＝m，∴OF＝DG＝m﹣3，AG＝m﹣4，∴S＝S△OGE﹣S△ADG＝＝∴S＝，（m＞3）答：S＝。

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。

5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝，　，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝，　，　，，　3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。

【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。

2021中考数学培优复习专题突破平面直角坐标系专项一．选择题1．在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段PQ＝5，若点P坐标是（﹣2，1），则点Q不在第（）象限．A．一B．二C．三D．四2．在平面直角坐标系中，若点P与点Q的横坐标相同，而纵坐标不同，则直线PQ与x轴的关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．以上都不对3．下列在具体情境中不能确定平面内位置的是（）A．东经37°，北纬21°B．电影院某放映厅7排3号C．芝罘区南大街D．烟台山灯塔北偏东60°方向，距离灯塔3千米4．若点A（a，b）在第四象限，则点B（0，a）在（）A．x轴的正半轴上B．x轴的负半轴上C．y轴的正半轴上D．y轴的负半轴上5．点Q（3m，2m﹣2）在x轴上，则m的值为（）A．0B．1C．﹣1D．﹣36．小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（）A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列7．若点A的坐标是（2，﹣1），AB＝4，且AB平行于y轴，则点B的坐标为（）A．（2，﹣5）B．（6，﹣1）或（﹣2，﹣1）C．（2，3）D．（2，3）或（2，﹣5）8．下列说法正确的是（）A．若ab＝0，则点P（a，b）表示原点B．点（2，a）在第三象限C．若点A、B的坐标分别是（2，﹣2）、（2，2），则直线AB∥x轴D．若ab＞0，则点P（a，b）在第一或第三象限9．平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（）A．6，（﹣3，4）B．2，（3，2）C．2，（3，0）D．3，（3，2）10．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，…．若点A1的坐标为（a，b），则点A2020的坐标为（）A．（a，b）B．（﹣b+1，a+1）C．（﹣a，﹣b+2）D．（b﹣1，﹣a+1）二．填空题11．若点P（2﹣a，2a+5）到两坐标轴的距离相等，则a的值为．12．如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB 长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为．13．如果将电影票上“8排5号”简记为（8，5），那么“7排6号”可表示为．14．已知点A（3，﹣2），直线AB∥y轴，且AB＝6则点B的坐标为．15．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，若点A的坐标为（a，b），则点A2021的坐标为．三．解答题16．对于二元一次方程3x+2y＝1，写出它的5个解．分别以每一个解中的x值为点的横坐标、y值为点的纵坐标，在直角坐标系中描出这些点，你发现这些点的位置的分布有什么规律？17．在平面直角坐标系xOy中，对任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝d，则称P1与P2互为“d﹣距点”．例如：点P1（3，6），p2（1，7），由d＝|3﹣1|+|6﹣7|＝3，可得P1与P2互为“3﹣距点”．（1）在点D（﹣2，﹣2），E（5，﹣1），F（0，4）中，原点O的“4﹣距点”是（填字母）；（2）已知点A（2，1），点B（0，b），过点B平行于x轴的直线l．①当b＝3时，直线l上的点A的“2﹣距点”的坐标为；②若直线l上存在点A的“2﹣距点”，在坐标系中画出这些A的“2﹣距点”组成的图形，并写出b的取值范围．18．已知M（3|a|﹣9，4﹣2a）在y轴负半轴上，直线MN∥x轴，且线段MN长度为4．（1）求点M的坐标；（2）求（2﹣a）2020+1的值；（3）求N点坐标．19．如图，将四边形ABCD各顶点的横坐标、纵坐标分别乘﹣1，得到的图形与原图形有什么变化？作出坐标变化后的图形，这一过程可以看作是一个什么变换？20．我们规定以下三种变换：（1）f（a，b）＝（﹣a，b）．如：f（1，3）＝（﹣1，3）；（2）g（a，b）＝（b，a）．如：g（1，3）＝（3，1）；（3）h（a，b）＝（﹣a，﹣b）．如：h（1，3）＝（﹣1，﹣3）．按照以上变换有：f（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）＝（3，2），（1）求f（h（5，﹣3））的值．（2）观察上面的变换你会发现若把（a，b）看成是平面内一个点的坐标，则每种变换对应一种对称方式，你能否仿照上述变换定义一种新的变换，且也满足上述规律．参考答案一．选择题1．解：如图所示，过点P（﹣2，1）作平行于坐标轴的直线，分别取线段PQ1＝PQ2＝PQ3＝PQ4＝5，点Q不在第四象限．故选：D．2．解：由点P与点Q的横坐标相同，而纵坐标不同知PQ⊥x轴，故选：B．3．解：A、东经37°，北纬21°物体的位置明确，故本选项错误；B、电影院某放映厅7排3号物体的位置明确，故本选项错误；C、芝罘区南大街无法确定物体的具体位置，故本选项正确；D、烟台山灯塔北偏东60°方向，距离灯塔3千米物体的位置明确，故本选项错误；故选：C．4．解：∵点A（a，b）在第四象限，∴a＞0，则点B（0，a）在y轴的正半轴上，故选：C．5．解：根据题意，可得：2m﹣2＝0；解得m＝1，故选：B．6．解：根据题意画出图形可得：A、小李现在位置为第1排第4列，此选项说法错误；B、小张现在位置为第3排第2列，此选项说法正确；C、小王现在位置为第2排第3列，此选项说法错误；D、小谢现在位置为第4排第4列，此选项说法错误；故选：B．7．解：已知点A（2，﹣1），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（2，3）或（2，﹣5），故选：D．8．解：A、若ab＝0，则点P（a，b）在坐标轴上，不一定是原点，故A不符合题意；B、点（2，a）可能在第一、四象限或x轴上的点（2，0），不在第三象限，故B不符合题意；C、若点A、B的坐标分别是（2，﹣2）、（2，2），则直线AB∥y轴，故C不符合题意；D、若ab＞0，则a，b同号，故点P（a，b）在第一或第三象限，符合题意．故选：D．9．解：依题意可得：∵AC∥x轴，∴y＝2，根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，即BC的最小值＝5﹣2＝3，此时点C的坐标为（3，2），故选：D．10．解：观察发现：A1（a，b），A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），A6（﹣b+1，a+1）…∴依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2020÷4＝505，∴点A2020的坐标与A4的坐标相同，为（b﹣1，﹣a+1），故选：D．二．填空题11．解：根据题意，得：2﹣a＝2a+5或2﹣a+2a+5＝0，解得：a＝﹣1或a＝﹣7，故答案为：﹣1或﹣7．12．解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，又∵点P在第一象限，点P的坐标为（a，2a﹣3），∴a＝2a﹣3，∴a＝3．故答案为：3．13．解：∵“8排5号”简记为（8，5），∴“7排6号”可表示为（7，6）．故答案为：（7，6）．14．解：∵AB∥y轴，∴A、B两点的横坐标相同，都为3，又AB＝6，∴B点纵坐标为：﹣2+6＝4，或﹣2﹣6＝﹣8，∴B点的坐标为：（3，4）或（3，﹣8）；故答案为：（3，4）或（3，﹣8）．15．解：∵A的坐标为（a，b），∴A1（﹣b+1，a+1），A2（﹣a，﹣b+2），A3（b﹣1，﹣a+1），A4（a，b），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴点A2021的坐标与A1的坐标相同，为（﹣b+1，a+1）；故答案为：（（﹣b+1，a+1）．三．解答题16．解：∵3x+2y＝1，∴y＝，∴x＝﹣2时，y＝3.5；x＝﹣1时，y＝2；x＝0时，y＝0.5；x＝1时，y＝﹣1；x＝2时，y＝﹣2.5．在直角坐标系中描点（﹣2，3.5），（﹣1，2），（0，0.5），（1，﹣1），（2，﹣2.5），如图所示：发现：这些点落在同一条直线上．17．解：（1）∵|﹣2﹣0|+|﹣2﹣0|＝4，|5﹣0|+|﹣1﹣0|＝6，|0﹣0|+|4﹣0|＝4，∴原点O的“4﹣距点”是点D、点F．故答案为：D、F；（2）①∵点B（0，b），l为过点B平行于x轴的直线，∴当b＝3时，l为直线y＝3，设直线l上的点A（2，1）的“2﹣距点”的坐标为（x，3），则有：|2﹣x|+|1﹣3|＝2，解得：x＝2，∴直线l上的点A（2，1）的“2﹣距点”的坐标为（2，3）；故答案为：（2，3）；②由①知当直线l经过点（2，3）时，b＝3；∵A（2，1），l为过点B平行于x轴的直线，∴当直线l经过点（2，﹣1）时，b＝﹣1，∴若直线l上存在点A的“2﹣距点”，则b的取值范围是﹣1≤b≤3．如图所示：18．解：（1）∵M在y轴负半轴上，∴3|a|﹣9＝0，且4﹣2a＜0，∴a＝±3，且a＞2，∴a＝3．∴4﹣2a＝﹣2，M（0，﹣2）；（2）∵a＝3，∴（2﹣a）2020+1＝（2﹣3）2020+1＝1+1＝2；（3）∵直线MN∥x轴，M（0，﹣2），∴设N（x，﹣2），又∵线段MN长度为4，∴MN＝|x﹣0|＝|x|＝4，∴x＝±4，∴N（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．19．解：根据图形可得点A（﹣6，3），B（﹣6，1），C（﹣2，1），D（﹣2，5）．则A'（6，﹣3），B'（6，﹣1），C'（2，﹣1），D'（2，﹣5）．连接A'、B'、C'、D'，可得图形如图所示．得到的图形与原图形相比，将原图形绕原点旋转了180°，这一过程可以看做是一个中心对称变换．20．解：（1）f（h（5，﹣3））＝f（﹣5，3）＝（5，3）．（2）f（a，b）＝（﹣a，b）表示点（a，b）关于y轴对称的点的坐标是（﹣a，b）．g（a，b）＝（b，a）表示点（a，b）关于点（，）对称的点的坐标是（b，a）．h（a，b）＝（b，a）表示点（a，b）关于原点对称的点的坐标是（﹣a，b）．。

阅读理解1．在平面直角坐标系中，对于点(),P x y 和(),'Q x y ，给出如下定义：如果()()0'0y x y y x ⎧≤⎪=⎨-<⎪⎩，那么称点Q 为点P 的“伴随点”．例如：点()5,6的“伴随点”为点()5,6；点()5,6-的“伴随点”为点()5,6--． （1）直接写出点()2,1A 的“伴随点”'A 的坐标．（2）点(),1B m m +在函数3y kx =+的图象上，若其“伴随点”'B 的纵坐标为2，求函数3y kx =+的解析式．（3）点C D 、在函数24y x =-+的图象上，且点C D 、关于y 轴对称，点D 的“伴随点”为'D ．若点C 在第一象限，且'CD DD =，求此时“伴随点”'D 的横坐标．（4）点E 在函数()212y x n x =-+-≤≤的图象上，若其“伴随点”'E 的纵坐标'y 的最大值为()13m x ≤≤，直接写出实数n 的取值范围．【解析】解：（1）点A ＇的坐标为（2，1）． （2）①当m ≥0时，m +1=2，m =1;∴B （1，2）,∵点B 在一次函数y=kx+3图象上， ∴k +3=2， 解得：k =-1;∴一次函数解析式为y=-x+3;②当m ＜0时，m +1=-2，m =-3;∴B （-3，-2）．∵点B 在一次函数y=kx+3图象上， ∴-3k +3=-2，解得：k =53， ∴一次函数解析式为y=53x+3; （3）设点C 的横坐标为n ，点C 在函数y=－x 2+4的图象上， ∴点C 的坐标为（n ，-n 2+4），∴点D 的坐标为（-n ，-n 2+4），D ＇（-n ，n 2-4）; ∵CD =DD ＇， ∴2n =2（-n 2+4），解得：n ; ∵点C 在第一象限，∴取112n -=，212n -=（舍）;∴D ． （4）－2≤n ≤0、1≤n ≤3． 解析如下：当左边的抛物线在上方时，如图①、图②．－2≤n≤0,当右边的抛物线在上方时，如图③、图④．1≤n≤3;2．阅读下列材料，然后解答问题:在进行二次根式的化筒与计算时我们有时会遇到如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简2==；)()22212111⨯⨯===-以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化．请参照以上方法化简:（1（2（3+++⋅⋅⋅+【解析】解：(1==(2211===-；(3+⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+12222=+++⋅⋅⋅+=3．设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数”．如函数4y x =-+，当1x =时，3y =；当3x =时，1y =，即当13x ≤≤时，有13y ≤≤，所以说函数4y x =-+是闭区间[]1,3上的“闭函数”（1）反比例函数2019y x=是闭区间[]1,2019上的“闭函数”吗?请判断并说明理由； （2）若二次函数26y x x k =-+是闭区间[]3,4上的“闭函数”，求k 的值；（3）若一次函数(0)y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“闭函数”，求此函数的表达式(可用含,m n 的代数式表示)．【解析】(1)反比例函数2019y x=是闭区间[1,2019]上的“闭函数” 理由如下反比例函数2019y x=在第一象限，y 随x 的增大而减小， 当1x =时，2019y = 当2019x =时，1y =, 即图象过点(1,2019)和(2019,1)当12019x ≤≤时，有12019y ≤≤，符合闭函数的定义，反比例函数2019y x=是闭区间[1，2019]上的“闭函数” (2)由于二次函数26y x x k =-+的图象开口向上,对称轴为3x =, 二次函数26y x x k =-+在闭区间[3,4]内，y 随x 的增大而增大 当3x =时，3y =,12k ∴=当4x =时，4y =, 即图象过点(3,3)和(4,4)当34x ≤≤时，有34y ≤≤，符合闭函数的定义，12k ∴=(3)因为一次函数(0)y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“闭函数”，根据一次函数的图象与性质，有①当0k >时，即图象过点(),m m 和(),n nm k b m nk b n +=⎧⎨+=⎩，解得10k b =⎧⎨=⎩.y x ∴=②当k 0<时，即图象过点(),m n 和(),n m ,mk b nnk b m +=⎧⎨+=⎩解得1 k b m n =-⎧⎨=+⎩∴直线解析式为y x m n =-++综上所述，当k ＞0时，直线的解析式为y ＝x ，当k ＜0，直线的解析式为y ＝−x ＋m ＋n ． 4．阅读理解，解答下列问题：在平面直角坐标系中，对于点(),A x y 若点B 的坐标为(),kx y x ky +-，则称点B 为点A 的“k 级牵挂点”，如点()2,5A的“2级牵挂点”为(225,225)B ⨯+-⨯，即()9,8B -．（1）已知点()5,1P -的“3-级牵挂点”为1P 求点1P 的坐标，并求出点1P 到x 轴的距离；（2）已知点Q 的“4级牵挂点”为()15,3Q ，求Q 点的坐标及所在象限； （3）如果点(),1M m m +的“2级牵挂点”1M 在x 轴上，求点1M 的坐标；（4）如果点()1,1C c -+的“2级牵挂点”1C 在第二象限， ①求c 的取值范围；②在①中，当c 取最大整数时，过点1C 作11C D x ⊥轴于点1D ，连接1OC ，将11OC D ∆平移得到1OQD ∆，其中O 、1C 、1D 的对应点分别为1O 、Q 、D ，连接1C Q ，直接写出四边形111C D O Q 的面积为______．【解析】解：（1）点()5,1P -的“3-级牵挂点”为1P ，5(3)116∴-⨯-+=，5(3)12---⨯=-即()116,2P -且1P 到x 轴的距离为2（2）点Q 的“4级牵挂点”为()15,3Q设Q 点的坐标为(),x y4543x y x y +=⎧∴⎨-=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩Q ∴点的坐标为()1,1，在第一象限．（3）点(),1M m m +的“2级牵挂点”1M2131m m m ∴++=+，2(1)2m m m -+=--即1(31,2)M m m +-- 点1M 在x 轴上20m ∴--= 2m =-则315m +=- 1M ∴的坐标为()5,0-（4）①点()1,1C c -+的“2级牵挂点”1C1211c c ∴-⨯++=-，12(1)23c c --+=--即1(1,23)C c c ---点1C 在第二象限10230c c -<⎧∴⎨-->⎩ 解得32c <-c ∴的取值范围为32c <-②由题意可以得到下图：所以四边形111C D O Q 的面积=1111111314122C D OC OO QSS+=⨯⨯+⨯=．故答案为112． 5．定义：若两条抛物线在x 轴上经过两个相同点，那么我们称这两条抛物线是“同交点抛物线”，在x 轴上经过的两个相同点称为“同交点”，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过(﹣2，0)、( ﹣4，0)，且一条与它是“同交点抛物线”的抛物线y=ax 2 +ex+f 经过点( ﹣3，3)． （1）求b 、c 及a 的值；（2）已知抛物线y =﹣x 2+2x +3与抛物线y n =3n x 2﹣23n x ﹣n （n 为正整数） ①抛物线y 和抛物线y n 是不是“同交点抛物线”？若是，请求出它们的“同交点”，并写出它们一条相同的图像性质；若不是，请说明理由．②当直线y =12x+ m 与抛物线y 、y n ，相交共有4个交点时，求m 的取值范围． ③若直线y =k （k <0）与抛物线y =﹣x 2+2x +3与抛物线y n =3n x 2﹣23nx ﹣n （n 为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A 、点B 、点C 、点D ，当AB =BC=CD 时，求出k 、n 之间的关系式【解析】(1) ∵抛物线2y x bx c =++经过(–2，0)、( –4，0)，则代入得：4201640b c b c -+=⎧⎨-+=⎩，解得：6b =，8c =，设“同交点抛物线”的解析式为()()24y a x x =++， 将(–3，3)代入得：()()33234a =-+-+， 解得：3a =-，故答案为：6b =，8c =，3a =-； (2)①令0y =，则2230x x -++=，解得：1213x x =-=，，∴抛物线223y x x =-++与x 轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)，令0n y =，则3n 2x -23n0x n -=， 解得：1213x x =-=，， ∴抛物线2233n n n y x x n =--与x 轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)， ∴抛物线y 和抛物线n y 是“同交点抛物线”， 它们图形共同性质：对称轴同为直线1x =； ②当直线12y x m =+与抛物线y 相交只有1个交点时， 由21223y x m y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，得：23302x x m -+-=， 由()223441302b ac m ⎛⎫=-=--⨯⨯-= ⎪⎝⎭⊿，解得：5716m =， 抛物线2233n n n y x x n =--的顶点坐标为(1，43n -)，其中n 为正整数， 因为随着n 的增大，n y 的顶点纵坐标减小，所以当直线12y x m =+与抛物线n y 中1n =时的抛物线相交只有1个交点时，由21212133y x m y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得：()227660x x m --+=， 由()()224742660b ac m =-=--⨯⨯--=⊿，解得：9748m =-， 如图所示：当直线12y x m =+经过“同交点”时与两抛物线只有三个交点， 把“同交点”(–1，0)代入12y x m =+得：12m =， 把“同交点” (3，0)代入12y x m =+得：32m =-， ∴当直线12y x m =+与抛物线y 、n y 有4个交点时，m 的取值范围为： 97574816m -<<，且12m ≠，32m ≠-； ③设直线y k =分别与抛物线223y x x =-++和抛物线2233n n y x x n =--相交于A 、D 、B 、C ，如图：由223y k y x x =⎧⎨=-++⎩，得：2230x x k -+-=，∵122b x x a +=-=，123c x x k a==-， ∴()()()22221212124243164AD x x x x x x k k =-=+-=--=-， 由2233y k n n y x x n =⎧⎪⎨=--⎪⎩，得：()22330nx nx n k --+=， ∵342b x x a +=-=，()3433n k c x x a n-+==， ， ∵AB BC CD ==，∴229AD BC =， ∴12164916k k n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， 整理得：32270n k nk ++=．6．回答下列问题：（1）已知一列数：2，6，18，54，162，…．，若将这列数的第一个数记为1a ，第二个数记为2a …，第n 个数记为n a ，则67________;____a a ==（2）观察下列运算过程：231222...2n S =+++++①①2⨯得2312222...2n S +=++++②②-①得()()nk n k n x x x x x x BC 1216334242432432422+=+⨯+=-+=-=∴121n S +=-参考上面方法，求（1）中数列的前n 个数的和S ．【解析】通过观察可发现其规律为：13n n a a -=，故653486a a =⨯=，7631458a a =⨯=；（2）根据题中已给的推导过程可得（1）中12121232323n S -=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯①①3⨯得：123323232323n S =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯②②-①得：2232n S =⨯-31n S =-7．如图，平面内的两条直线1l 、2l ，点A ，B 在直线1l 上，点C 、D 在直线2l 上，过A 、B 两点分别作直线2l 的垂线，垂足分別为1A ，1B ，我们把线段11A B 叫做线段AB 在直线2l 上的正投影，其长度可记作(,)AB AD T 或2(),AB l T ，特别地线段AC 在直线2l 上的正投影就是线段1AC ．请依据上述定义解决如下问题：(1)如图1，在锐角ABC ∆中，5AB =，(,)3AC AB T =，则,()BC AB T = ；(2)如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，(),4AC AB T =，(,)9BC AB T ==，求ABC ∆的面积；(3)如图3，在钝角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D 在AB 边上，90ACD ∠=︒，(),2AD AC T =，(),6BC AB T =，求(),BC CD T【答案】（1）2；（2）39；（3 【解析】解：（1）如图1中，作CH AB ⊥．(,)3AC AB T =，3AH ∴=，5AB =，532BH ∴=-=，(,)2BC AB T BH ∴==，故答案为2．（2）如图2中，作CH AB ⊥于H ．(,)4AC AB T =，(,)9BC AB T ==，4AH ∴=，9BH =，90ACB CHA CHB ∠=∠=∠=︒，90A ACH ∴∠+∠=︒，90ACH BCH ∠+∠=︒，A BCH ∴∠=∠，ACH CBH ∴∆∆∽， ∴CH AH BH CH =， ∴49CH CH=， 6CH ∴=，111363922ABC S AB CH ∆∴==⨯⨯=． （3）如图3中，作CH AD ⊥于H ，BK CD ⊥于K ．90ACD ∠=︒，(),2AD AC T =，2AC ∴=，60A ∠=︒，=30ADC BDK ACH ∴∠=∠∠=︒，CD ∴==24AD AC ==，112AH AC ==，3DH AD AH =-=， (,)6BC AB T =，CH AB ⊥，6BH ∴=，3DB BH DH ∴=-=，在Rt BDK ∆中，90K ∠=︒，3BD =，30BDK ∠=︒，cos30DK BD ∴=︒=，22CK CD DK ∴=+==(,)BC CD T CK ∴== 8．阅读下列一段文字，然后回答下列问题：材料 1：已知平面内两点1111,,()()M x y N x y 、，则这两点间的距离可用下列公式计算：MN =例如：已知()()3,1,1,2P Q -，则这两点的距离PQ ==材料2：在平面直角坐标系中，以任意两点()()1122,,,P x y Q x y 为端点的线段中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭例如：点()1,2P 、点()3,6Q ，则线段PQ 的中点M 的坐标为1326,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2,4M ()1如图，已知()()1,4,6,1A B ，求线段AB 的长度和中点C 的坐标；()2若M 为x 轴上一动点，求MA MB +的最小值；()3已知ABC ∆的顶点坐标分别为()()()0,4,1,2,4,2A B C -，你能判定ABC ∆的形状吗？请说明理由．【解析】()1解：AB ===75,22C ⎛⎫⎪⎝⎭()2解：设(),0M a()()1,4,B 6,1A作点()1,4A 关于x 轴对称点'A()'1,4A -连接'A B'MA MB MA MB +=+()min 'MA MB A B ∴+===()3解：AB =AC =5BC ==2252025AB AC +=+=225BC =222AB AC BC +=ABC ∆∴为直角三角形9．一个三位正整数M ，其各位数字均不为零且互不相等.若将M 的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M 的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”：若从M 的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M 的“团结数”，如：123的“团结数”为121321233132132+++++=(1)若M 的其百位数字为a ，十位数字为b 、个位数字为c ，试说明M 与其“友谊数”的差能被15整除；(2)若一个三位正整数N ，其百位数字为2，十位数字为a 、个位数字为b ，且各位数字互不相等(0,0)a b ≠≠，求N 的“团结数”【解析】（1）由题意得：M 为10010a b c ++，则M 的友谊数为10010b a c ++，因此有()1001010010a b c b a c ++-++，1001010010a b c b a c =++---，9090a b =-，()90901566a b a b -=-，9090a b ∴-能被15整除，即M 与其“友谊数”的差能被15整除；（2）()()()()()()1021021021021010a a b b a b b a ⨯++++⨯+++++++，20102201021010a a b b a b b a =+++++++++++，222244a b =++，则N 的“团结数”是222244a b ++．10．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：31122=+，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像x 1x 1+-，2x x 2-，……这样的分式是假分式；像4x 2-，221x x +，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：()x 12x 1x 1221x 1x 1x 1x 1x 1-++-==+=+-----；()()22x 2x 24x x 444x 2x 2x 2x 2x 2+-+-+===++----； （1）分式2x是 分式（填“真”或“假”） （2）将分式x 1x 2-+化为整式与真分式的和的形式 （3）如果分式22x 1x 1--的值为整数，求x 的整数值 【解析】解：（1）因为分子次数小于分母次数，我们称之为真分数，分式2x 分子零次，分母1次，所以分式2x是真分式； 故答案为：真；（2）x1x2-+=2323312222 x xx x x x+-+=-=-++++；（3）22x1x1--=()()()22111221121111x xxxx x x+-+-+==++---；∵分式的值为整数，且x为整数，∴x-1=±1，∴x=2或x=0∴x的整数值为2或0．11．阅读理解：己知：对于实数a≥0，b≥0，满足 a = b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值．根据以上结论，解决以下问题：(1)拓展：若a>0，当且仅当a=___时，a+1a有最小值，最小值为____；(2)应用：①如图1，已知点P为双曲线y=4x(x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值：②如图2，已知点Q是双曲线y=8x(x>0)上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标．【解析】（1）根据题意知a=1a 时最小，又∵a>0，∴a=1，则a+1a=2． （2）①设点P(x ，4x )，（x>0）；则四边形OAPB 周长为2（x+4x）， 当x=4x 时，x=2，此时2（x+4x）有最小值8，即周长最小为8，此时点P(2，2)．②设点P(x ，4x )，（x>0）；OP== OP 最小，即x+4x 最小，所以x=4x，即x=2，∴点P （2，2）； 由点P （2，2），即可知Q 点纵坐标是2，带入y=8x (x>0)得点Q （4，2）； 所以由O ，P ，Q 三点坐标，要使OPQC 四点能构成平行四边形，则点C 坐标为：（-2，0）、（2，0）或（6，4）．12．数学小组遇到这样一个问题：若a ，b 均不为零，求||||a b x a b=+的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a ，b 的正负作出讨论，又注意到a ，b 在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．解：①当两个字母a ，b 中有2个正，0个负时，②当两个字母a ，b 中有1个正，1个负时，③当两个字母a ，b 中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求||||a b x a b=+的值． （2）若a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，求代数式||||||a b b c c a c a b +++++的值． 【解析】（1）①当a b ，中有2个正，0个负时， 原式||||112a b x a b=+=+=；②当,a b 中有1个正，1个负时， 原式||||110a b x a b=+=-=； ③当,a b 中有0个正，2个负时， 原式||||112a b x a b=+=--=-； 综上所述，x 的值为2-或0或2．（2）∵0a b c ++=，∴a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，a b c ，，不可能都为正或都为负， ∴||||||||||||a b b c c a c a b c a b c a b +++---++=++． ①当a b c ，，中有两正一负时， 原式||||||1111c a b c a b---=++=+-=， ②当a b c ，，中有一正两负时， 原式||||||1111c a b c a b---=++=--+=-． 综上所述||||||a b b c c a c a b +++++的值为1或1-．。

平面直角坐标系及函数一、选择题1．函数y＝错误!中，自变量x的取值范围是（）A．x≠－2 B．x≠2C．x<2 D．x〉2解析根据题意得：x－2≠0，解得:x≠2.答案B2．函数y＝错误!的自变量x的取值范围是( ）A．x>1 B．x<1C．x≤1 D．x≥1解析根据题意得：1－x≥0，解得：x≤1。

答案C3．函数y＝错误!＋错误!中自变量x的取值范围是( ) A．x≤3 B．x＝4C．x＜3且x≠4 D．x≤3且x≠4解析二次根式的被开方数是非负数，∴3－x≥0,即x≤3；分式的分母不等于0,∴x－4≠0,即x≠4.∴x≤3.故选A.答案A4．若a＞0,则点P(－a，2)应在（）A．第一象限内B．第二象限内C．第三象限内D．第四象限内解析∵a＞0，∴－a＜0。

∵点P的横坐标是负数，纵坐标是正数，∴点P在平面直角坐标系的第二象限．答案B5．如图，AB＝4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE,连结AF并延长交射线BM于点C。

设BE＝x,BC＝y，则y关于x的函数解析式是（)A．y＝－错误!B．y＝－错误!C．y＝－错误!D．y＝－错误!解析作FG⊥BC于G，∵∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠BDE＝90°,∴∠BDE＝∠FEG。

在△DBE与△EGF中，错误!∴△DBE≌△EGF(AAS),∴EG＝DB，FG＝BE＝x，∴EG＝DB＝2BE＝2x，∴GC＝y－3x。

∵FG⊥BC，AB⊥BC,∴FG∥AB，CG∶BC＝FG∶AB，即错误!＝错误!，∴y＝－错误!.答案A二、填空题6．已知函数y＝错误!，则自变量x的取值范围是________．解析由题意得，x－1〉0，解得x>1。

答案x>17．函数y＝错误!＋错误!中，自变量x的取值范围是________．解析由题意得，x＋1≥0且x≠0，解得x≥－1且x≠0。

平面直角坐标系一、选择题1.在平面直角坐标系中，点P（ -1， 2）所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.点 P（ x﹣ 1， x+1）不行能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在平面直角坐标系中，点P（ -2， x2+1）所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为 4，则点的坐标是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点 A （3， 4）逆时针旋转90°，获得点 B ，则点 B 的坐标为（）A.（ 4， -3）B.（ -4， 3）C.（ -3， 4）D. （ -3， -4）6. 抛物线（m是常数）的极点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 在平面直角坐标系中，点对于原点的对称点的坐标是（）A. B. C. D.8. 已知 a、b、 c 为常数，点P（a， c）在第二象限，则对于x 的方程 ax2 +bx+c=0 根的状况是（）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 没法判断9.假如直线AB 平行于 y 轴，则点 A ，B 的坐标之间的关系是（）A. 横坐标相等B. 纵坐标相等C. 横坐标的绝对值相等D. 纵坐标的绝对值相等10.如图， CB=1 ，且 OA=OB ， BC⊥ OC，则点 A 在数轴上表示的实数是（）A. B.﹣ C. D.﹣11. 小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方剂．如图，棋盘中心方剂的地点用（﹣1， 0）表示，右下角方剂的地点用（ 0，﹣ 1）表示．小莹将第 4 枚圆子放入棋盘后，全部棋子组成一个轴对称图形．他放的地点是（）A. （﹣ 2，1）B. （﹣ 1， 1）C. （ 1，﹣ 2）D. （﹣ 1，﹣ 2）12.如图，小手遮住的点的坐标可能为（）A. （ -4， -5）B. （ -4， 5）C. （4，5）D. （ 4， -5）二、填空题13.假如在 y 轴上，那么点P 的坐标是________．14.平面直角坐标系内，点P（ 3， -4）到y 轴的距离是________15.已知直角坐标系内有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1),若以O,A,B,C为极点的四边形是平行四边形,则x=________.16.如图，在中国象棋的残局上成立平面直角坐标系，假如“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（ -3，1），那么“卒”的坐标为________。