高三数学一元二次不等式及其解法3

第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法第3课时 一元二次不等式解法（习题课）A 级 基础巩固一、选择题1．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 解析：(x －1)x ＋2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋2≥0或x ＝－2，⇒x ≥1或x ＝－2，故选C.答案：C2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4} 解析：因为ax 2－ax ＋1<0无解，当a ＝0的显然正确；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0⇒0≤a ≤4. 综上知，0≤a ≤4.选D.答案：D3．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩NB ．M ∪NC ．∁R(M ∩N )D ．∁R(M ∪N )解析：因为M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{x |x ≤－3}，所以M ∪N ＝{x |x <1}，故∁R(M ∪N )＝{x |x ≥1}，选D.答案：D4．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞lg 2}B ．{x |－1＜x ＜lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析：由题意知，一元二次不等式f (x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12.而f (10x )＞0，所以－1＜10x ＜12，解得x ＜lg 12，即x ＜－lg 2. 答案：D5．对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0，a ∈[－1，1]恒成立⇒(x －2)a ＋x 2－4x ＋4>0，a∈[－1，1]恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）×（－1）＋x 2－4x ＋4>0，（x －2）×1＋x 2－4x ＋4>0， 解得3<x 或x <1.选B.答案：B二、填空题6．若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1 7．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________． 解析：由于不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，故－12应是ax －1＝0的根，所以a ＝－2.答案：－2 8．关于x 的方程x 2m＋x ＋m －1＝0有一个正实数根和一个负实数根，则实数m 的取值范围是________．解析：若方程x 2m ＋x ＋m －1＝0有一个正实根和一个负实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m －1＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m －1＞0. 所以0＜m ＜1或∅.答案：(0，1)三、解答题9．已知一元二次不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4＞0的解集为R.求m 的取值范围． 解：因为y ＝(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4为二次函数，所以m ≠2.因为二次函数的值恒大于零，即(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4＞0的解集为R.所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，4（m －2）2－16（m －2）＜0， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，2＜m ＜6.所以m 的取值范围为{m |2＜m ＜6}．10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋3，解关于a 的不等式f (1)≥0.解：f (1)＝－3＋a (6－a )＋3＝a (6－a )，因为f (1)≥0，所以a (6－a )≥0，a (a －6)≤0， 方程a (a －6)＝0有两个不等实根a 1＝0，a 2＝6，由y ＝a (a －6)的图象，得不等式f (1)≥0的解集为{a |0≤a ≤6}．B 级 能力提升1．若实数α，β为方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为( )A ．8B ．14C ．－14D ．－494解析：因为Δ＝(－2m )2－4(m ＋6)≥0，所以m 2－m －6≥0，所以m ≥3或m ≤－2.(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝(2m )2－2(m ＋6)－2(2m )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342－494，因为m ≥3或m ≤－2，所以当m ＝3时，(α－1)2＋(β－1)2取最小值8.答案：A2．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)(x ＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为x －8x.第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为 4（x －8）x 升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －8－4（x －8）x 升． 依题意，得x －8－4（x －8）x≤28%·x . 由于x ＞0，因而原不等式化简为9x 2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0.解得103≤x ≤403. 又x ＞8，所以8＜x ≤403.答案：⎝⎛⎦⎥⎤8，403 3．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图，由图分析可得，m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0.解得－56<m <－12.。

高三数学一元二次不等式及其解法教案范例教案范例：高三数学一元二次不等式及其解法教学目标：1. 理解一元二次不等式的定义和解法；2. 掌握一元二次不等式的图解法和代数解法；3. 能够运用解一元二次不等式的方法解决实际问题。

教学步骤：Step 1：引入知识（5分钟）通过提问学生对一元二次方程的回顾，引入一元二次不等式的概念。

简单介绍一元二次不等式与一元二次方程的异同点。

Step 2：图解法（15分钟）1. 讲解一元二次不等式的图解法：先将不等式转化为对应的一元二次方程，然后求出方程的解集并在坐标系中表示出来，最后根据问题中的不等号关系确定解集。

2. 示例演练：出示若干个一元二次不等式，引导学生尝试用图解法求解。

Step 3：代数解法（15分钟）1. 讲解一元二次不等式的代数解法：通过移项和因式分解的方法将一元二次不等式化为二次因式的乘积形式，然后根据因式的性质确定不等式的解集。

2. 示例演练：出示若干个一元二次不等式，引导学生尝试用代数解法求解。

Step 4：综合训练（15分钟）1. 提供一些综合性的一元二次不等式问题，要求学生综合运用图解法和代数解法解答。

2. 引导学生分析问题的实际背景，并对解集进行合理性判断。

Step 5：拓展应用（10分钟）提供一些与实际问题相关的一元二次不等式，要求学生能够将问题转化为数学不等式，并用所学的方法解决。

Step 6：总结归纳（5分钟）总结一元二次不等式的解法，强调图解法和代数解法的适用条件及各自的特点。

Step 7：作业布置（5分钟）布置一定量的练习题，要求学生熟练掌握一元二次不等式的解法。

教学反思：通过图解法和代数解法的对比，可以帮助学生全面理解一元二次不等式的解法。

同时，引入一些实际问题，能够增强学生对一元二次不等式应用的理解和能力。

在教学过程中，要注意引导学生思考和分析问题，培养他们的解决问题的能力。

人教版高三数学必修五《一元二次不等式及其解法》教案及教学反思一、教学目标1.知识与技能学习完本课程后，学生应该：1.掌握一元二次不等式的基本概念及其解法。

2.掌握对数函数的基本性质及其在解不等式中的应用。

3.掌握函数的单调性的影响及其在解不等式式中的应用。

4.能够独立解决基础的不等式问题。

2.过程与方法通过本节课的学习，学生应该：1.学会理性思维和逻辑推理，提高数学学习能力。

2.培养数学模型的运用能力和实际问题分析解决能力。

3.注重思想品德和道德感召，最终能够更好地用知识服务于社会。

二、教学内容1.预备知识1.函数基础知识：函数的定义，函数的图像，函数的性质。

2.对数函数：对数函数的定义，对数函数的基本性质。

3.函数的单调性：函数单调递增和单调递减的定义，单调性法则。

2.教学过程（1）概念解释首先让学生理解一元二次不等式的基本概念和解法，理解整个解题思路，理解式子的特点及其求解方法，体育教员教师可以给他们举一些实际应用的例子，让学生感受和理解学习的意义。

（2）基础分析接下来让学生分析一元二次不等式的基础概念及基础性质，理解函数图像及对数函数的基础概念，从而进一步掌握解题方法和套路。

（3）配套题目解析最后通过配套的习题集，让学生独立解决一些基本的不等式问题，并进行自主探究和总结。

3.教学重点•四个一元二次不等式基本形式解法•对数函数性质及其在解不等式中的应用•函数的单调性的影响及其在解不等式式中的应用•独立解决一些基础的不等式问题4.教学难点•对数函数在解不等式中的应用•函数单调性的影响及其在解不等式式中的应用三、教学方法1.运用启发式教学法此实用主要通过设计一些“启发-style”习题，让学生在思考中得到启示。

2.利用实例演练通过实际例子让学生观察和掌握一元二次不等式的规律。

3.实现分组教学该方法可以让教师更好地掌握每个学生的知识掌握程度及学生的思考问题，从而针对性更强地进行教学。

四、教学效果评估1.测试方法通过把学生放到实际场景中让其进行不等式求解工作，并通过随堂测试来评估学生的掌握情况，从而从微观角度评价教学效果。

一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是代数学中常见的一种求解问题的方法，它可以描述一个变量的取值范围。

在实际问题中，一元二次不等式的解法及其应用广泛存在于各个领域。

本文将介绍一元二次不等式的解法，并探讨其在实际应用中的具体案例。

一、一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤进行求解。

步骤一：化简方程首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将不等式的右边移动到左边，使得不等式的右边等于零。

步骤二：求解方程在化简为标准形式后，我们将不等式转化为等式，即求解ax^2+bx+c=0的方程。

通过因式分解、配方法、求根公式等方法，我们可以得到方程的根。

步骤三：确定范围在得到方程的根后，我们需要使用数轴或数表来确定解的范围。

根据方程的根的位置和曲线的走势，我们可以判断出不等式的解在数轴上的位置。

步骤四：确定不等号最后，根据方程和不等式的关系，确定不等号的方向。

如果方程的根对应的点满足不等式，那么不等号应为“≥”或“≤”；如果方程的根对应的点不满足不等式，那么不等号应为“>”或“<”。

通过以上步骤，我们可以得到一元二次不等式的解的具体范围和形式。

二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。

下面我们将介绍一些具体的应用案例。

1. 经济学应用在经济学中，一元二次不等式可以用于描述成本、收益、销售额等变量之间的关系。

例如，某公司的利润可以用一元二次不等式P(x) = -2x^2 + 30x - 50来表示，其中x表示销售量。

通过求解不等式P(x) > 0，可以确定该公司的利润为正的销售范围，从而帮助决策者制定合适的销售策略。

2. 物理学应用在物理学中，一元二次不等式可以用于描述运动过程中的问题。

例如，一个物体的运动方程可以表示为一元二次不等式h(t) = -16t^2 + vt+ h0，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间，v为初速度，h0为初始高度。

高三一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。

【重点难点】1。

教学重点：会解一元二次不等式并了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2。

教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二:意x∈[m，m＋1],都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．解析［由题可得f（x）<0对于x∈［m，m＋1］恒成立，即错误!解得－错误!〈m〈0.答案错误!知识梳理：知识点1 三个“二次”的关系ΔacΔ〉0Δ＝0Δ数＋a〉象次有两相异实根有两相等实根没有ax2＋bx＋c＝0（a>0)的根x1，x2(x1<x2)x1＝x2＝－错误!ax2＋bx＋c〉0 （a>0)的解集｛x|x〈x1或x〉x2｝{x｜x≠x1}Rax2＋bx＋c<0 （a〉0）的解集{x|x1〈x<x2｝∅∅知识点2 用程序框图表示ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程1．必会结论；（1)（x－a）(x－b）〉0或(x－a)(x－b)〈0型不等式解法教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。

由常见问题的解决和总结，使学。

易知：二次方程的有两个实数根：X ! =0,x 2 =5二次函数有两个零点：为=0, x 2 = 5于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

(2)观察图象，获得解集画出二次函数y =x 2 -5X 的图象，如图，观察函数图象，可知：当x<0 ,或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即X 2 - 5x ■ 0 ； 当0<x<5时，函数图象位于 x 轴下方，此时，y<0,即x 2 _5x ：：： 0 ；所以，不等式x 2 -5x ：：： 0的解集是〈X |0 ：：： x ：：： 51，从而解决了本节开始时提出的问题。

3、典例实践： 例仁求不等式的解集：(培养学生数形结合的思想)2(1) 4x — 4x+1>02 1解：因为厶=0 ,方程4x - 4x ■ 1 = 0的解是x 1 = x 2 ：2(2) x -2x+3<0解：因为= 4 -12 = -8 ：：： 0 ,方程x 2 - 2x • 3 = 0无实数解,2所以不等式X- 2x^ 0的解集是...变式：若求不等式—2x 2 + 3x + 2<0的解集？(培养学生转化化归的思想)4、探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式2 2ax bx c 0,( a0)或ax bx c :: 0,( a 0)一般地，怎样确定一元二次不等式ax 2- bx c >0与ax 2- bx c <0的解集呢？从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集的基本步骤：(I )若a<0,可先转化为 a>0(2)抛物线y =ax 2■ bx ■ c (a> 0 )与x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元 次方程 ax 2bx c =0的判别式-b 2-4ac 三种取值情况(△ > 0, △ =0, △ <0)来确定.因此, 要分三种情况讨论。