江西省萍乡市2013届高三一模考试理科数学试卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,i M z =,i 为虚数单位,{}{}3,4,4N M N == ,则复数z =（ ）A.2i -B.2iC.4i -D.4i 【测量目标】集合的基本运算和复数的四则运算 【考查方式】利用并集运算、复数的乘法运算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】{}{}1,2,i ,3,4,M z N == 由{}4,M N = 得4,i=4,M z ∈∴4i.z =- 2.函数)y x =-的定义域为（ ）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]【测量目标】函数的定义域.【考查方式】利用根式和对数函数有意义的条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由00110x x x ⎧⇒<⎨->⎩…….3.等比数列,33,66x x x ++, 的第四项等于 ( )A.24-B.0C.12D.24【测量目标】等比数列性质.【考查方式】利用等比中项和等比数列的特点求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由2(33)(66)1x x x x +=+⇒=-或3x =-，（步骤1） 当1x =-时，330x +=，故舍去，（步骤2）所以当3x =-，则等比数列的前3项为3,6,12---，故第四项为24-.（步骤3）4.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号【测量目标】简单的随机抽样.【考查方式】利用随机抽样方法中随机数表的应用求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】依题意，第一次得到的两个数为65,6520>,将它去掉；第二次得到的两个数为72，由于7220>,将它去掉；第三次得到的两个数字为08，由于0820<，说明号码08在总体内,将它取出;继续向右读，依次可以取出02,14,07,02;但由于02在前面已经选出，故需要继续选一个,再选一个数就是01，故选出来的第五个个体是01. 5.2532()x x-展开式中的常数项为 ( )A.80B.-80C.40D.40-【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用二项展开式的通项公式求解.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】展开式的通项为2510515532C ()()(2)C rrr r r r r T x x x --+=-=-， 令10502r r -=⇒=，故展开式的常数项为225(2)C 40-=.6.若22221231111,,e ,x S x dx S dx S dx x ===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为( )A.123S S S <<B.213S S S <<C.231S S S <<D.321S S S <<【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】利用定积分的求法比较三个的大小来求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】32222212311122271,ln ln 2,e e e e 11133x x x S x dx S dx x S dx x =========-⎰⎰⎰，显然213S S S <<7.阅读如下程序框图，如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )第7题图A.22S i =-B.21S i =-C.2S i =D.24S i =+ 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据程序框图表示的算法对i 的取值进行验证. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】当2i =时，22510;S =⨯+=<当3i =时，仍然循环，排除D;当4i =时，241910S =⨯+=< 当5i =时，不满足10,S <即此时10S …输出i .（步骤1）此时A 项求得2528,S =⨯-=B 项求得2519,S =⨯-=C 项求得2510,S =⨯=故只有C 项满足条件. （步骤2）8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ，正方体的六个面所在的平面与直线,CE EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n += （ ）第8题图A.8B.9C.10D.11 【测量目标】线面平行的判定.【考查方式】利用线面平行,线面相交的判断及空间想象力求解. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】直线CE 在正方体的下底面内，与正方体的上底面平行；与正方体的左右两个侧面,前后两个侧面都相交,故4m =;(步骤1)作CD 的中点G ，显然易证平面EFG 的底边EG 上的高线与正方体的前后两个侧面平行,故直线EF 一定与正方体的前后两个侧面相交;另外,直线EF 显然与正方体的上下两个底面相交;综上,直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4，故4n =,所以8m n +=.(步骤2)9.过点引直线l 与曲线y =,A B 两点,O 为坐标原点,当AOB △的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 ( )A.3 B.3- C.3± D.【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】利用角形的面积,点到直线的距离公式,三角函数的最值求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】因为AOB △的面积在π2AOB ∠=时,取得最大值.设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为(y k x =,即0kx y -=,(步骤1)由题意，曲线y =O 到直线l 的距离为π1sin4⨯=,23k =⇒=（舍去）,或k =.(步骤2) 10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间1l l ,l 与半圆相交于,F G 两点，与三角形ABC 两边相交于,E D 两点，设弧 FG 的长为(0π)x x <<,y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图象大致是（ ）第10题图A B C D 【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】利用函数的图象、扇形弧长、三角函数，以及数形结合的数学思想求解. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】连接OF ,OG ,过点O 作,OM FG ⊥过点A 作AH BC ⊥,交DE 于点N .因为弧 FG的长度为x ,所以,FOG x ∠=则cos,2x AN OM ==所以cos ,2AN AE x AH AB ==则,2xAE =.2x EB ∴=2x y EB BC CD ∴=++=π)2xx =+<< 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.函数2sin2y x x =+的最小正周期为T 为 . 【测量目标】三角函数的周期.【考查方式】利用三角恒等变换求解三角函数的最小周期. 【难易程度】容易 【参考答案】π【试题解析】2πsin 2sin sin 2cos 22sin(233y x x x x x =+==-，故最小正周期为2ππ2T ==. 12.设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π3,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________.【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】利用向量的投影，向量的数量积运算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】52【试题解析】121(3)2||cos ||||||||2θ+===e e e a b a b a a a b b2112π2611cos 2653.222+⨯⨯⨯+=== e e e 13.设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且(e )e x x f x =+,则(1)f '= .【测量目标】导数的运算.【考查方式】利用导数的运算,函数解析式的求解,以及转化与化归的数学思想求解. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】由1(e )e ()ln (0)()1(0)xxf x f x x x x f x x x'=+⇒=+>⇒=+>,故(1)2f '=. 14.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF △为等边三角形,则p = .【测量目标】直线与双曲线位置关系.【考查方式】利用抛物线与双曲线的简单性质，等边三角形的特征求解. 【难易程度】中等 【参考答案】6【试题解析】不妨设点A 在左方,AB 的中点为C ,则易求得点(0,),2pF (),2pA -)2pB -.（步骤1）因为ABF △为等边三角形，所以由正切函数易知tan 606FCp CB==⇒= . （步骤2）三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分 15.（1）.（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 . 【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】利用参数方程、直角坐标系方程和极从标的互化. 【难易程度】容易【参考答案】2cos sin 0ρθθ-=【试题解析】由曲线C 的参数方程为2,x t y t ==（t 为参数）， 得曲线C 的直角坐标系方程为2x y =，（步骤1） 又由极坐标的定义得，2(cos )sin ρθρθ=，即化简曲线C 的极坐标方程为2cos sin 0ρθθ-=.（步骤2）（2）.（不等式选做题）在实数范围内,不等式211x --…的解集为 . 【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】利用绝对值不等式的解法，结合绝对值的性质求解. 【难易程度】容易 【参考答案】[]0,4【试题解析】||2|1|11|2|110|2|222204x x x x x --⇒---⇒-⇒--⇒剟剟剟剟?.四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos (cos )cos 0C A A B +=. （1）求角B 的大小；（2）若1a c +=,求b 的取值范围 【测量目标】两角和与差的正余弦,余弦定理.【考查方式】给出相关信息,利用两角和的余弦函数,余弦定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B = （步骤1）因为sin 0A ≠，所以sin 0B B =，又cos 0B ≠，所以tan B =又0πB <<，所以π3B ∠=.（步骤2） （2）由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-.（步骤3）因为11,cos 2a c B +==，有22113()24b a =-+.又01a <<，于是有2114b <…，即有112b <….（步骤4）17.（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=（1）求数列{n a }的通项公式n a ； （2）令221(2)n n b n a+=+,数列{n b }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n ∈N ,都有564n T <【测量目标】数列的通项公式与前n 项和n S 的关系，裂项求和法.【考查方式】利用数列通项公式的求法和数列的求和，裂项求和法求出其前n 项和，通过放缩法证明. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.由于{}n a 是正项数列，所以20,n n S S n n >=+.（步骤1）于是112,2a S n ==…时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. 综上,数列{}n a 的通项2n a n =.（步骤1） （2）证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+. 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦.（步骤3） 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (22221111)1151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦.（步骤4） 18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从12345678,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若0X =就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. （1）求小波参加学校合唱团的概率； （2）求X 的分布列和数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，离散型随机变量分布列和期望.【考查方式】利用组合数的公式、向量数量积运算、古典概型概率等求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有28C 28=种，当0X =时，两向量夹角为直角共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为82(0)287P X ===.（步骤1） （2）两向量数量积X 的所有可能取值为2,1,0,1,2X --=-时,有两种情形;1X =时,有8种情形；1X =-时,有1(2)+(1)01.14147714EX =-⨯-⨯+⨯+⨯=-（步骤2）19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面,ABCD E 为BD 的中点,G 为PD 的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ====△≌△,，连接CE 并延长交AD 于F . （1）求证:AD CFG ⊥平面；（2）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角,空间直角坐标系，空间向量及运算. 【考查方式】利用线面垂直的定理求解，通过建系求二面角的平面角的余弦值. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）在ABD △中，因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====,故ππ,23BAD ABE AEB ∠=∠=∠=，（步骤1） 因为DAB DCB △≌△,所以EAB ECB △≌△, 从而有FED FEA ∠=∠，（步骤2）故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG PA . 又PA ⊥平面ABCD ，所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .（步骤3）（2）以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则3(0,0,0),(1,0,0),(2A B C D,第19题(2)图3(0,0,)2P ,故1333(0),(),(,2222222BC CP CD ==--=- ，， （步骤4）设平面BCP 的法向量111(1,,)y z =n，则111102233022y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩ ，解得1123y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12(1,,)33=-n .（步骤5）设平面DCP 的法向量222(1,,)y z =n，则222302330222y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（步骤6）即2(1=n .从而平面BCP 与平面DCP的夹角的余弦值为12124cos θ=== n n n n （步骤7）20. (本小题满分13分)如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在求λ的值；若不存在,说明理由.第20题图【测量目标】椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】利用椭圆方程的方法及直线的斜率求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b += ① 依题设知2a c =,则223b c =. ②（步骤1） ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.（步骤2） （2）方法一:由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=，（步骤3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④（步骤4）在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y y k x x ==--.所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 121212232.2()1x x k x x x x +-=--++ ⑤（步骤5）④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-=---+++ ， 又312k k =-，所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意. （步骤6）方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--，令4x =,求得003(4,)1y M x -，从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,（步骤3）联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---，（步骤4） 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-，所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---，（步骤5） 故存在常数2λ=符合题意. （步骤6）21. (本小题满分14分)已知函数1()=(12)2f x a x --,a 为常数且>0a . （1）证明:函数()f x 的图象关于直线1=2x 对称；（2）若0x 满足00(())=f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点,如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围；（3）对于（2）中的12,x x 和a , 设3x 为函数()()ff x 的最大值点,()()()1,,A x f f x()()()()223,,,0.B x f f x C x 记ABC △的面积为()S a ,讨论()S a 的单调性.【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】利用函数的对称性,解方程,导数的应用及函数单调性求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）证明:因为11()(12),()(12),22f x a x f x a x +=--=- 有11()()22f x f x +=-,（步骤1）所以函数()f x 的图象关于直线12x =对称. （步骤2） （2）当102a <<时,有224,(())4(1),a x f f x a x ⎧⎪=⎨-⎪⎩1,21.2x x >…所以(())f f x x =只有一个解0x =，又(0)0f =，故0不是二阶周期点. （步骤3）当12a =时，有1,2(()).11,2x x f f x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩… 所以(())f f x x =有解集1|2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭…,又当12x …时,()f x x =,故1|2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭…中的所有点都不是二阶周期点.（步骤4）当12a >时，有2222214,41124,42(()).1412(12)4,244144,4a x x a a a x x a f f x a a a a x x a a a a x x a ⎧⎪⎪⎪-<⎪=⎨-⎪-+<⎪⎪-⎪->⎩……… 所以(())f f x x =有四个解2222240,,,141214a a a a a a +++，（步骤5）又22(0)0,()1212a af f a a==++， 22222244(),()14141414a a a a f f a a a a ≠≠++++,故只有22224,1414a a a a ++是()f x 的二阶周期点.（步骤6） 综上所述，所求a 的取值范围为12a >.（步骤7）（3）由（2）得2122224,1414a a x x a a ==++，因为3x 为函数(())f f x 的最大值点，所以314x a =或3414a x a-=.（步骤8）当314x a =时，221()4(14)a S a a -=+.求导得：22112(22()(14)a a S a a ---'=-+，所以当1(2a ∈时，()S a单调递增，当)a ∈+∞时()S a 单调递减；（步骤9）当3414a x a -=时，22861()4(14)a a S a a -+=+，求导得：2221243()2(14)a a S a a +-'=+，因12a>，从而有2221243()02(14)a aS aa+-'=>+，（步骤10）所以当1(,)2a∈+∞时()S a单调递增. （步骤11）。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第一卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i 2．函数y=x ln(1-x)的定义域为A ．（0,1） B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]3．等比数列x ，3x+3，6x+6，…..的第四项等于A ．-24 B.0 C.12 D.244．总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 5．(x 2-32x )5展开式中的常数项为 A.80 B.-80 C.40 D.-406．若22221231111,,,xS x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为 A.123S S S << B.213S S S << C.231S S S << D.321S S S <<7．阅读如下程序框图，如果输出5i =，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.2*2S i =-B.2*1S i =-C.2*S i =D.2*4S i =+8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n +=A.8B.9C.10D.119.过点(2,0)引直线l 与曲线21y x =+A,B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 A.y EB BC CD=++33-33-10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧 FG的长为(0)x x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013江西，理1)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )．A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i 答案：C解析：由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i.故选C.2．(2013江西，理2)函数y －x )的定义域为( )．A ．(0,1)B ． [0,1)C ．(0,1]D ．[0,1] 答案：B解析：要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.3．(2013江西，理3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )．A ．－24B ．0C ．12D ．24 答案：A解析：由题意得：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24.4．(2013江西，理4)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．08 答案：D解析：选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D.5．(2013江西，理5)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：展开式的通项为T r ＋1＝5C rx 2(5－r )(－2)r x －3r ＝5C r(－2)r x 10－5r .令10－5r ＝0，得r ＝2，所以T 2＋1＝25C (－2)2＝40.故选C. 6．(2013江西，理6)若2211d S x x =⎰，2211d S x x=⎰，231e d x S x =⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )．A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1解析：2211d S x x =⎰＝23117|33x =，2211d S x x=⎰＝21ln |ln 2x =， 231e d x S x =⎰＝2217e |e e=(e 1)>e>3x =--，所以S 2＜S 1＜S 3，故选B.7．(2013江西，理7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．A ．S ＝2*i －2B ．S ＝2*i －1C ．S =2*iD ．S ＝2*i ＋4 答案：C解析：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5；当i ＝3时，S ＝2×3＋4＝10不满足S ＜10，排除选项D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9；当i ＝5时，选项A ，B 中的S 满足S ＜10，继续循环，选项C 中的S ＝10不满足S ＜10，退出循环，输出i ＝5，故选C.8．(2013江西，理8)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝( )．A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：A解析：由CE 与AB 共面，且与正方体的上底面平行，则与CE 相交的平面个数m ＝4.作FO ⊥底面CED ，一定有面EOF 平行于正方体的左、右侧面，即FE 平行于正方体的左、右侧面，所以n ＝4，m ＋n ＝8.故选A.9．(2013江西，理9)过点，0)引直线l 与曲线y A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A B ． C ．± D ．解析：曲线y若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝(k x ，则点O 到l 的距离d =又S △AOB ＝12|AB |·d ＝22111222d d d -+⨯=≤=，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以222112k k =+，∴213k =，∴k =.故选B.10．(2013江西，理10)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0＜x ＜π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )．答案：D第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．(2013江西，理11)函数y ＝sin 2x ＋2x 的最小正周期T 为________．答案：π解析：∵y ＝sin 2x －cos 2x )π=2sin 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴2ππ2T ==.12．(2013江西，理12)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．答案：52解析：∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝212e ＋6e 1·e 2＝2＋6×12×πcos3＝5，∴a 在b 上的射影为5||2⋅=a b b . 13．(2013江西，理13)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案：2解析：令e x ＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝11t+，∴f ′(1)＝2. 14．(2013江西，理14)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线22=133x y -相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案：6解析：抛物线的准线方程为2py =-，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝234p +，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得||2p AB =，即2234344p p ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭，所以p ＝6.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分． 15．(2013江西，理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2,x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．答案：ρcos 2θ－sin θ＝0解析：由参数方程2,x t y t =⎧⎨=⎩得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式211x --≤的解集为________． 答案：[0,4]解析：原不等式等价于－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，理16)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C＋(cos A sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B sin A cos B ＝0，即有sin A sin B A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin BB ＝0， 又cos B ≠0，所以tan B， 又0＜B ＜π，所以π3B =. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1.17．(2013江西，理17)(本小题满分12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564. (1)解：由2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ，221(2)n n n b n a +=+，则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥(-)(+)(+)⎣⎦ 22221111115111621216264n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥(+)(+)⎝⎭⎣⎦. 18．(2013江西，理18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有28C ＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形， 所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝82287=. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：EX ＝15(2)+(1)+0+114147714-⨯-⨯⨯⨯=-.19．(2013江西，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．解：(1)在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3， 因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3， 所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ，所以CF⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C 3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D (00)，P 30,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33,222CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则11110,2330,222y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得112,3y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即n 1＝21,,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则22230,2330,222y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得222.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩即n 2＝(12)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cosθ＝21124||||||4⋅==n n n n .20．(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆C ：2222=1x y a b +(a >b >0)经过点P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率e＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得，2219=14a b +，① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为22=143x y +. (2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22843k k +，x 1x 2＝224343k k (-)+，④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==--. 注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有121211y y k x x ==--. 所以k 1＋k 2＝121212121233311221111211y y y y x x x x x x --⎛⎫+=+-+ ⎪------⎝⎭ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝222222823432438214343k k k k k k k -+-⋅(-)-+++＝2k －1， 又k 3＝12k -，所以k 1＋k 2＝2k 3.(2)方法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：00(1)1y y x x =--， 令x ＝4，求得M 0034,1y x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 从而直线PM 的斜率为00302121y x k x -+=(-).联立00221,11,43y y x x x y ⎧=(-)⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，则直线P A 的斜率为：00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为：020232(1)y k x -=-，所以k 1＋k 2＝00000000225232121211y x y y x x x x -+--++=(-)(-)-＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．21．(2013江西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝1122a x ⎛⎫--⎪⎝⎭，a 为常数且a >0. (1)证明：函数f (x )的图像关于直线12x =对称； (2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶周期点．如果f (x )有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数f (f (x ))的最大值点，A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (x 3,0)．记△ABC 的面积为S (a )，讨论S (a )的单调性．(1)证明：因为12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)，12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)， 有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数f (x )的图像关于直线12x =对称．(2)解：当0＜a ＜12时，有f (f (x ))＝2214,,2141,.2a x x a x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪(-)>⎪⎩所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点．当12a =时，有f (f (x ))＝1,,211,.2x x x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩所以f (f (x ))＝x 有解集12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，又当12x ≤时，f (x )＝x ，故12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期当12a >时，有f (f (x ))＝2222214,41124,,421412(12)4,,244144.4a x x a a a x x a a a a a x x a a a a x x a ⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎨-⎪-+<≤⎪⎪-⎪>⎩，－，所以f (f (x ))＝x 有四个解0，222224,,141214a a a a a a +++，又f (0)＝0，22()1212a a f a a =++，22221414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，2222441414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，故只有22224,1414a a a a ++是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为12a >. (3)由(2)得12214ax a=+，222414a x a =+， 因为x 3为函数f (f (x ))的最大值点，所以314x a =，或3414a x a-=. 当314x a=时，221()4(14)a S a a -=+，求导得：S ′(a )＝22214a a a ⎛ ⎝⎭⎝⎭-(+)，所以当a∈11,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，S (a )单调递增，当a∈12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时S (a )单调递减； 当3414a x a-=时，S (a )＝22861414a a a -+(+)，求导得： S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)，因12a >，从而有S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)>0，所以当a ∈1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时S (a )单调递增．。

【步步高】（江西版）2013届高三数学 名校强化模拟测试卷03 理（教师版）第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 【山西省2012年高考考前适应性训练考试】已知集合}1|||{<=x x A ，}0|{2>=x x B ，则=B A （ ） A ．}01|{<<-x x B ．}10|{<<x x C ．,11|{<<-x x 且}0≠x D ．}11|{<<-x x2. 【江西省2013届十所重点中学第一次联考】已知2()35f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[61,]a a -，则a b +=（ ） A ．17 B ．1- C ．1 D ．73. 【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】 设5log 4a =,25(log 3)b =,4log 5c =，则A. a<c<bB. b<c<aC. a<b<cD. b a c <<4. 【改编题】若α∈(0,)2π，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B. 33C. 2 D . 3 5. 【山西省2012年高考考前适应性训练考试】下列四个命题中的假命题．．．为（ ） A ．R ∈∀x ，1e +≥x x B ．R ∈∀x ，1e +-≥-x x C ．00>∃x ，1ln 00->x x D ．00>∃x ，11ln00+->x x 6. 【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】在正项等比数列{}n a 中，已知1234a a a =，45612a a a =，11324n n n a a a -+=，则n =A. 11B. 12C. 14D. 167. 【湖北省武汉外国语学校、钟祥一中2012届高三4月联考】已知从点(2,1)-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：222210x y x y +--+=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）A ．0123=--y xB ．0123=+-y xC ．0132=+-y xD ．0132=--y x8. 【山东省济南市2013届第一次模拟考试】已知实数,x y 满足2122x y x y ++≤++，且11y -≤≤，则2z x y =+的最大值A. 6B. 5C. 4D. -39.【原创改编题】甲、乙两人在奥运会射箭预选赛的一次射击中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差10. 【山西省2012年高考考前适应性训练考试】已知定义在R 上的函数)(x f 满足：⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+，252)(++=x x x g ，则方程)()(x g x f =在区间[-8，3]上的所有实根之和为（ ）． A.11 B. -11 C. 12 D. -12第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3] （C ）(2,3) （D ）(1,4)-2．焦点分别为21,F F 的椭圆191622=+y x (a>b)上有任意一点P ，则21*PF PF 的范围为（ ）A ）]16,9[ （B ）]16,7[ （C ）]25,7[ （D ）]25,9[ 3．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）17⎡⎢⎣,⎪⎭⎫31 （B ）（0，13） （C ）（0，1） （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,71 4．已知偶函数)(x f 的定义域为R ，则下列函数中为奇函数的是（ ）（A ）)](sin[x f （B ）)(sin x f x ⋅ （C ）)(sin )(x f x f ⋅ （D ）2)](sin [x f 5．若ABC ∆为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（ ） （A ）0sin cos log cos >BA C （B ）0cos cos log cos >B AC （C ）0sin sin log sin >B A C （D ）0cos sin log sin >B AC6. 抛物线x 6y2=的焦点为F,直线kx-3k-y=0与抛物线交于A,B 两点，若AF=6，则BF 等于（ ）（A ）22 （B ）23 (C ) 4 。

5 (D) 37．与曲线126122=+++m y m x 共焦点，而与曲线1643622=-ny nx （m>0,n>0）共渐近线的双曲线方程为（A ）191622=-x y （B ）191622=-y x （C ）116922=-x y （D ）116922=-y x 8．函数|1|2)(||log 2xx x f x --=的图像大致是9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于 （A ）103（B ）31（C ）91 （D ）81 10．某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门.则不同的分配方案有 （ ）（A ） 36种 （B ）38种 （C ）108种 （D ） 114种二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 11.求 |182|86x 2xx x y +++-=的最小值为_____________.12.设S n ，Tn 分别为等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，若7352n -+=n n T S n ，则8712388b b b a a a +++=_________. 13．已知⎰+=π)cos (sin dx x x a ，则二项式6)1(xx a -展开式中2x 的系数是 .14．F(x+y)=F(x).F(y)+2, F(2)=3, 则F （2013）=_____________. 15．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即 {}x m =. 在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题： ①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]； ②函数)(x f y =的图像关于直线2kx =(k ∈Z)对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④ 函数()y f x =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数. 则其中真命题是 ． 三．解答题：本大题共6小题，共74分.16．（本小题满分12分）（Ⅰ）函数πφωφω<>>+=||,0,0),sin()(A x A x f 的图象的一部分如图 求函数)(x g 的解析式，使得函数)(x f 与)(x g 的图象关于)1,4(π对称.;（Ⅱ）求cos1.cos2.cos4.cos8.cos16.cos32.cos64 -- 8sin 218cos 23+;17. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，,//BC AD BC AB ⊥,3===PB AD AB ，点E 在棱PA 上，且EA PE 2= ，（Ⅰ）求证：PC //平面EBD ；（Ⅱ）求二面角D BE A --（锐角）的大小.18. （本小题满分12分）项和。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。

4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M={1，2，zi},i为虚数单位，N=｛3，4｝，M∩N=｛4｝，则复数z=（）A. -2iB. 2iC. -4iD.4i2.函数y=ln（1-x）的定义域为（）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]3.等比数列x，3x+3，6x+6，…的的第四项等于（）A.-24B.0C.12D.244.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）6938 7481 D.015.（x 2-）5展开式中的常数项为（）A ．80B.-80C.40D.-40若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为 6.＜s 2＜s 3 B. s 2＜s 1＜s 3A. s 1C. s 2＜s 3＜s 1 D. s 3＜s 2＜s 17.阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.S=2﹡i-2B.S=2﹡i-1C.S=2﹡ID.S=2﹡i+48.如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m+n=A.8B.9C.10D.119.过点（，0）引直线ι的曲线 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线ι的斜率等于A. B.- C. D-10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线ι1，ι2之间，ι//ι1，ι与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于E,D 两点。

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=a+（a∈R），若z为纯虚数，则|a-2i|=（）A. 5B.C. 2D.2.下列说法错误的是（）A. 在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定B. 若变量x，y满足关系y=-0.1x+1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D. 以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=ln y，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c=e4，k=0.33.函数（其中e为自然对数的底数）的图象大致为( )A. B.C. D.4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入a＝4，b＝1，则输出的n等于（）A. 3B. 4C. 5D. 65.已知动圆C经过点A（2，0），且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线6.已知数列{a n}满足：a1=，a n+1=a n，（n∈N*），则a2019=（）A. 1-B. 1-C.D.7.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A. 24B. 48C. 96D. 1208.函数f(x)=cos(2x-)sin2x的图象的一个对称中心的坐标是( )A. B. C. D.9.已知D=}，给出下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，-2≤x+y≤2；p2：∀（x，y）∈D，＞0；p3：∃（x，y）∈D，x+y＜-2；p4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2；其中真命题是（）A. p1和p2B. p1和p4C. p2和p3D. p2和p410.如图所示，在棱长为6的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为A.B.C.D.11.如图，已知||=||=1，||=，tan∠AOB=-，∠BOC=45°，=m+n，则等于（）A. B. C. D.12.箱子里有16张扑克牌：红桃A、Q、4，黑桃J、8、7、4、3、2，草花K、Q、6、5、4，方块A、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲，现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了．则这张牌是（）A. 草花5B. 红桃QC. 红桃4D. 方块5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为______．14.设双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线l为双曲线C的一条渐近线，点F关于直线l的对称点为P，若点P在双曲线C的左支上，则双曲线C的离心率为______．15.对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的数是______，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为______．16.设a为整数，若对任意的x∈（0，+∞），不等式≥e a恒成立，则a的最大值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B+b cos A=2c cos C．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的周长为3，求△ABC的内切圆面积S的最大值．18.如图，已知多面体MNABCD的一个面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，BM⊥平面ABCD，BM∥DN，BM=2DN，点E是线段MN上任意一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面BMND；（Ⅱ）若∠AEC的最大值是，求三棱锥M-NAC的体积．19.在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手（1号至6号）登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位侯选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名．（1）求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率；（2）设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列和数学期望．20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，D（0，2）为椭圆C短轴的一个端点，F为椭圆C的右焦点，线段DF的延长线与椭圆C相交于点E，且|DF|=3|EF|．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为-，求的取值范围．21.已知函数f（x）=ln x-kx，其中k∈R为常数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个相异零点x1，x2（x1＜x2），求证：ln x2＞2-ln x1．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设动直线l：y=kx（x≠0，k≠0）分别与曲线C1，C2相交于点A，B，求当k为何值时，|AB|取最大值，并求|AB|的最大值．23.已知函数f（x）=|x-5|．（1）解不等式：f（x）+f（x+2）≤3；（2）若a＜0，求证：f（ax）-f（5a）≥af（x）．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵z=a+=a+是纯虚数，∴a-1=0，即a=1．∴|a-2i|=|1-2i|=．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：A项中，在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x确定，还受随机误差e的影响，故A正确；B项中，由回归方程y=-0.1x+1可知变量y与x负相关，由变量y与z正相关，则x与z 也负相关，故B错误；C项，在在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合效果越好，其精度越高；故C项正确；D项，对模型y=ce kx两边去对数，则z=ln y=kx+ln c，与线性方程z=0.3x+4比较，可知c=e4，k=0.3，故D项正确；故选：B．根据回归分析中的相关概念进行分析、判断．本题考查了回归分析中的相关概念与命题的真假判断方法，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法进行排除是解决本题的关键，属于基础题．根据函数值的符号是否对应，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当x＞0时，e x＞1，则f（x）＜0；当x＜0时，e x＜1，则f（x）＜0，所以f（x）的图象恒在x轴下方，排除B，C，D，故选A．4.【答案】C【解析】【分析】根据条件进行模拟计算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法进行求解是解决本题的关键．【解答】解：当n=1时，a=6，b=2，不满足条件a≤b，n=2，当n=2时，a=9，b=4，不满足条件a≤b，n=3，当n=3时，a=，b=8，不满足条件a≤b，n=4，当n=4时，a=，b=16，不满足条件a≤b，n=5，当n=5时，a=，b=32，满足条件a≤b，输出n=5，故选：C．5.【答案】D【解析】解：设圆心C（x，y），弦为BCD过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|=2，∴|CA|2=|BC|2=|BE|2+|CE|2，∴（x-2）2+y2=22+x2，化为y2=4x，y2=4x为抛物线．故选：D．设圆心C（x，y），弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|=2，又|CA|2=|BC|2=|BE|2+|CE|2，利用两点间的距离公式即可得出．本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查数列的递推公式，涉及累加法的应用，属于基础题．根据题意，分析可得（a n+1-a n）=，进而可得a2019=（a2019-a2018）+（a2018-a2017）+……+（a2-a1）+a1=++……+，结合等比数列的前n项和公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，a n+1=a n，即（a n+1-a n）=，则a2019=（a2019-a2018）+（a2018-a2017）+……+（a2-a1）+a1=++……++1=；故选C．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了排列组合中的涂色问题，考查了分类计数原理，属于中档题.按照A、D同色与不同色分两种情况讨论，均先涂E，分步骤涂色即可得解.【解答】解：第一类：若A，D相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有一种涂法，共有4×3×2=24种，第二类，若A，D不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，B，C只有一种涂法，共有4×3×2×（2+1）=72种，根据分类计数原理可得，共有24+72=96种，故选：C．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．属于中档题.利用两角和差的余弦公式以及辅助角公式进行化简，结合对称性进行求解即可．【解答】解：f(x)=cos(2x-)sin2x=(cos2x+sin2x)sin2x=cos2x sin2x+sin22x=sin4x+=sin(4x-)，由4x-=kπ，k∈，得x=+，k∈，得函数的对称中心为(+，0)，k∈，当k=1时，对称中心为(，0)，故选A．9.【答案】B【解析】解：集合D中线性约束条件的可行域如图所示，对于命题p1、p3：令z=x+y，通过平移直线y=-x+z，可知-2≤z≤2，故命题p1正确；命题p3错误；对于命题p2：的几何意义表示可行域内的点（x，y）与定点（-3，0）连线的斜率，可知，故命题p3错误；对于命题p4：x2+y2的几何意义表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线段距离的平方，所以2≤x2+y2≤10，故命题p4正确．故选：B．先做出集合D中线性约束条件的可行域，然后对四个命题逐一判断．本题考查了简单的线性规划，特称命题与全称命题真假性的判断，同时考查数形结合思想，是中档题．10.【答案】B【解析】【分析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案．本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．【解答】解：如图，延长EF、A1B1相交于M，连接AM交BB1于H，延长FE、A1D1相交于N，连接AN交DD1于G，可得截面五边形AHFEG．∵ABCD-A1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，∴EF=3，AG=AH=，EG=FH=．∴截面的周长为．故选B．11.【答案】A【解析】解：∵tan∠AOB=-，，过点C作CD∥OB交OA的延长线于D，作CE∥OA交OB的延长线于E，在△OCD中，∠OCD=45°，，由正弦定理得：，得：，得：OD==m，由余弦定理得：OD2=OC2+CD2-2OC•CD cos45°，得：，解得n=，当n=时，cos∠CDO＜0，∠CDO为钝角，与∠EOD为钝角矛盾，故n=，∴=．故选：A．过点C分别作OA，OB的平行线角OB，OA的延长线于E，D，在三角形OCD内，利用正弦定理，余弦定理可解m，n，得解．此题考查了平行四边形法则，正弦定理，余弦定理等，难度适中．12.【答案】D【解析】解：学生乙确信他知道学生甲不知道，说明通过数字不能判断出来，因此排除有单一数字J，K等的花色黑桃和草花．学生甲知道这张牌不是黑桃也不是草花就猜出来了．说明这张牌除了在黑桃和草花之外有且只有一张，那就是红桃4，Q和方块5，学生乙知道学生甲知道后就知道了，说明这张牌只有一种选择，所以他看到的是方块，如果他看到的是红桃但还是不知道是Q还是4，所以答案是方块5．故选：D．根据老师告诉甲牌的点数，告诉乙的是花色，结合甲乙对话进行推理判断即可．本题主要考查合情推理的应用，结合甲乙了解的情况进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理分析能力．13.【答案】【解析】解：两人分别摸一个球，基本事件共有4×4=16种，其中，甲获胜共有5种可能，故甲获胜的概率为，其中乙摸到1号球，且甲获胜有2种可能，故甲获胜且乙摸到1号球的概率为，故在甲获胜的条件下，乙摸到1号球的概率为=．故答案为：．两人分别摸一个球，基本事件共有4×4=16种，其中，甲获胜共有5种可能，从而甲获胜的概率为，其中乙摸到1号球，且甲获胜有2种可能，从而甲获胜且乙摸到1号球的概率为，由此能求出在甲获胜的条件下，乙摸到1号球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的方程和性质，离心率的求法，同时考查点关于直线的对称点问题，考查方程思想和能力，属于中档题．l与线段PF的交点为A，因为点P与F关于直线l对称，以及抛物线的定义，以及离心率公式，可得所求值．【解答】解：如图,设左焦点为E直线l与线段PF的交点为A，因为点P与F关于直线l对称，则直线l⊥PF，且A为PF的中点，双曲线渐近线为，即bx-ay=0，F(c,0)，故|AF|=，则|OA|=a，|PE|=2|AO|=2a，根据双曲线的定义，有|PF|-|PE|=2a，则2b-2a=2a，即b=2a，所以e==，故答案为：．15.【答案】9 15【解析】解：根据所给的数据，不难发现：在n2中所分解的最大的数是2n-1；在n3中，所分解的最小数是n2-n+1．根据发现的规律可求52分裂中，最大数是5×2-1=9；若m3的“分裂”中最小数是211，则n2-n+1=211n=15或-14（负数舍去）．故答案为：9；15．根据所给的数据，不难发现：在n2中所分解的最大的数是2n-1；在n3中，所分解的最小数是n2-n+1．根据发现的规律可求．此题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解．规律为：在n2中所分解的最大的数是2n-1；在n3中，所分解的最小数是n2-n+116.【答案】1【解析】解：由题意，设f（x）=，其中x∈（0，+∞），则f′（x）=，令g（x）=e x（x-1）-3，其中x∈（0，+∞），则g′（x）=xe x＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，因为g（1）=-3＜0，g（2）=e2-3＞0，所以g（x）在（1，2）内只有一个零点；设g（t）=0，则e t=，当x∈（0，t）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）的最小值为f（x）min=f（t）====e t；又不等式≥e a恒成立，所以e a≤e t，所以a≤t；又t∈（1，2），且a为整数，所以a的最大值是1．故答案为：1．设f（x）=，x∈（0，+∞），求导数f′（x），再根据分子构造函数g（x），求导数g′（x），利用导数判断g（x）的单调性，从而得出f（x）的单调性与最小值，把不等式化为f（x）min≥e a恒成立，从而求出a的最大整数值．本题考查了利用导数求函数最值的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）因为a cos B+b cos A=2c cos C⇔sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos C，即sin（A+B）=2sin C cos C，而sin（A+B）=sin C＞0，则cos C=，又C∈（0，π），所以C=．（Ⅱ）令△ABC的内切圆半径为R，有ab sin=•3R，则R=ab，由余弦定理得a2+b2-ab=（3-a-b）2，化简得3+ab=2（a+b），而a+b≥2，故3+ab≥4，解得≥3或≤1．若≥3，则a，b至少有一个不小于3，这与△ABC的周长为3矛盾；若≤1，则当a=b=1=c时，R取最大值．综上，知△ABC的内切圆最大面积值为S max=π（）2=．【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简，结合和与差的公式即可求角C的大小；（Ⅱ）利用余弦定理建立关系，根据△ABC的周长为3，求解R的最大值，可得答案．本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，属于基础题．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵BM⊥平面ABCD，∴AC⊥BM，又四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BM∩BD=B，∴AC⊥平面BMND，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面BMND．（5分）解：（Ⅱ）由已知得AE=CE＞1，cos∠AEC==1-，∠AEC∈（0，π），∴当AE最短时∠AEC最大，即AE⊥MN，CE⊥MN时∠AEC最大，同理得∠ANC＜60°，∠AMC＜60°，此时，∠AEC是二面角A-MN-C的平面角，大小是120°，AE=．（7分）取MN得中点H，连接H与AC、BD的交点O，由题意知OH⊥平面ABCD，如图建系，设ND=a，则A（1，0，0），N（0，-，a），M（0，，2a），则=（-1，-，a），=（-1，，2a），设平面AMN的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，-，1），同理求得平面CMN的法向量=（-），所以|cos∠AEC|===，解之得：a=或a=（舍去），（10分）MN===，S△EAC=AE2sin 120°=××=，V M-NAC=V M-EAC+V N-EAC=S△EAC•MN=．（12分）【解析】（Ⅰ）推导出AC⊥BM，AC⊥BD，从而AC⊥平面BMND，由此能证明平面EAC⊥平面BMND．（Ⅱ）由AE=CE＞1，cos∠AEC=1-，∠AEC∈（0，π），得到当AE最短时∠AEC最大，即AE⊥MN，CE⊥MN时∠AEC最大，∠AEC是二面角A-MN-C的平面角，大小是120°，AE=．取MN得中点H，连接H与AC、BD的交点O，由题意知OH⊥平面ABCD，建系，利用向量法能求出三棱锥M-NAC的体积．V M-NAC=V M-EAC+V N-EAC．本题考查面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.【答案】解：设A={甲同学选中3号选手}，B={乙同学选中3号选手}，C=P{丙同学选中3号选手}．（1）P（A）==，p（B）===，所以同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率为P（）=P（A）P（）==．（2）P（C）===，X的可能的取值为0，1，2，3．P（X=0）=P（）=P（）P（）p（）=（1-）（1-）（1-）=，P（X=1）=P（）+P（）+P（）=++=，P（X=2）=P（）+P（）+P（）=×++=，P（X=3）=P（ABC）==．所以X的分布列为：所以X的数学期望EX=++2×+3×=．【解析】（1）因为甲乙丙的选择相互独立，根据计数原理计算成甲乙均未选3号选手的概率，用其对立事件概率相乘即可．（2）确定X的取值，为0，1，2，3根据计数原理计算每个变量的取值对应的概率，即可列出分布列，求出期望．本题考查了随机变量的分布列和数学期望，古典概率计算公式、独立事件的概率计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）设椭圆的方程为+=1，（a＞b＞0），右焦点F（c，0），∵D（0，2）为椭圆C短轴的一个端点，∴b=2，∵|DF|=3|EF|，∴E（，-），∴+=1，即a2=2c2，又c2=a2-4，∴a2=2（a2-4），解得a2=8，故椭圆方程为+=1．（2）∵k OA•k OB=-＜0，设k OA=k≠0，则k OB=-，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴•=-，即y1y2=-x1x2，∴•=x1x2+y1y2=-x1x2，由，消y可得x2+2k2x2=8，即x12=，同理x22==，∴x12x22==≤==4，当且仅当4k2=，即k=±时取等号，∴-2≤x1x2≤2，且x1x2≠0，∴-1≤t≤1，且t≠0，故的取值范围为[-1，0）∪（0，1]．【解析】（1）设椭圆的方程为+=1，根据题意可得b=2，以及E（，-），代入即可求出a2，可得椭圆方程，（2）根据题意可得k OA•k OB=-＜0，设k OA=k≠0，则k OB=-，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得•=x1x2+y1y2=-x1x2，根据直线和椭圆的位置关系，分别求出x1，x2，结合基本不等式即可求出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法、基本不等式的性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f′（x）=-k=（x＞0），①当k≤0时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，+∞）递增，②当k＞0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜，故f（x）在区间（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）证明：设f（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1＞x2＞0，∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴ln x1-kx1=0，ln x2-kx2=0，∴ln x1-ln x2=k（x1-x2），ln x1+ln x2=k（x1+x2），要证明ln x2＞2-ln x1，即证明ln x1+ln x2＞2，故k（x1+x2）＞2，即＞，即ln＞，设t=＞1，上式转化为ln t＞（t＞1），设g（t）=ln t-，∴g′（t）=＞0，∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，∴ln t＞，∴ln x1+ln x2＞2，即ln x2＞2-ln x1．【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为＞，即ln＞，设t=＞1，上式转化为ln t＞（t ＞1），设g（t）=ln t-，根据函数的单调性证明即可．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，以及转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴曲线C1的普通方程为（x-1）2+y2=1，即x2+y2-2x=0，将x2+y2=ρ2，x=ρcosθ代入，得曲线C1的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2s inθ，即，∴曲线C2的直角坐标方程为=0．（2）设直线l的倾斜角为α，则l的参数方程为，t为参数，且t≠0，把l的参数方程代入曲线C1的普通方程：x2+y2-2x=0，得t2-2t cosα=0，∴t A=2cosα，把l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程为=0．得，∴，∴|AB|=|t A-t B|=|2cos|=4|cos（）|，据题意，直线l的斜率存在且不为0，则α∈（0，）∪（），∴当，即k=tanα=-时，|AB|取最大值，且|AB|max=4．【解析】（1）由曲线C1的参数方程能求出曲线C1的普通方程，由此能求出曲线C1的极坐标方程；曲线C2的极坐标方程转化为，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）设直线l的倾斜角为α，则l的参数方程为，t为参数，且t≠0，把l的参数方程代入曲线C1的普通方程，得t2-2t cosα=0，从而t A=2cosα，把l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得，从而，进而|AB|=|t A-t B|=|2cos|=4|cos（）|，由此能求出k=tanα=-时，|AB|取最大值，且|AB|max=4．本题考查曲线的极坐标方程和直角坐标方程的求法，考查弦长的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：（1）不等式：f（x）+f（x+2）≤3⇔|x-5|+|x-3|≤3⇔或或，解得≤x，综上，原不等式的解集为[，]．（2）证明：由题意得f（ax）-af（x）=|ax-5|-a|x-5|=|ax-5|+|-ax+5a|≥|ax-5-ax+5a|=|5a-5|=f （5a），所以f（ax）-f（5a）≥af（x）成立．【解析】（1）分三段去绝对值解不等式组，在相并；（2）利用绝对值不等式的性质可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

2013年高考真题——理科数学江西卷已知集合M={1,2，zi}，i，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i【答案解析】C函数y=ln(1-x)的定义域为A．（0,1）B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]【答案解析】B等比数列x，3x+3，6x+6，…..的第四项等于A．-24 B.0 C.12 D.24【答案解析】A总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A.08B.07C.02D.01【答案解析】D(x2-)5展开式中的常数项为A.80B.-80C.40D.-40【答案解析】C.若则的大小关系为A. B.C. D.【答案解析】B7.阅读如下程序框图，如果输出，那么在空白矩形框中应填入的语句为A. B.C. D.【答案解析】C8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为，那么A.8B.9C.10D.11【答案解析】A9.过点引直线与曲线相交于A,B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于A. B. C. D.【答案解析】B10.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线，之间//,与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧的长为，，若从平行移动到，则函数的图像大致是【答案解析】D11.函数的最小正周期为为。

【答案解析】π12.设，为单位向量。

且，的夹角为，若，，则向量在方向上的射影为【答案解析】13设函数在内可导，且，则【答案解析】214.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则【答案解析】6三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分15（1）、（坐标系与参数方程选做题）设曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为15（2）、（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为【答案解析】（1）（2）【0,4】16.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（conA-sinA）cosB=0.求角B的大小；若a+c=1，求b的取值范围【答案解析】17. （本小题满分12分）正项数列{an}的前项和{an}满足：（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令，数列{bn}的前项和为。