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第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。
(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。
(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。
3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。
控制工程基础习题解答第三章3-1．已知二阶系统的闭环传递函数为()()2222nn n s s s R s C ωςωω++=，其中ζ=0.6，ωn =5rad/s ，试求在单位阶跃输入下的瞬态响应指标t r 、t p 、σp %、和t s 。
解：srad radn d /46.0151927.013.536.06.01tan1tan222121=-=-==︒=-=-=--ςωωςςβ 0.55(s)4927.0=-=-=πωβπd r t ()s t d p 79.04===πωπ %5.9%226.016.01===----πςςπσe e p()()s t s t ns ns 33.156.044156.033=⨯===⨯==ςωςω3-2．已知某系统的框图如图3-16所示，要求系统的性能指标为σp%=20%，t p =1s ，试确定系统的K 值和A 值，并计算t r 和t s 之值。
解：()()KAK K Ks AK s Ks n 2112+==+++=ςωφ45.02.0%21===--ςσςςπe p()s rad s t n n d p /52.3145.012==-==ωωπωπ17.039.12145.039.1221239.122=-⨯⨯=-===K K A K n ςωsrad radn d /14.345.0152.311.145.045.01tan1tan222121=-=-==-=-=--ςωωςςβ 0.65(s)14.31.1=-=-=πωβπd r t ()()%252.252.345.044%589.152.345.033±=⨯=±=⨯==， ＝， s s t nns ςωςω3-3．某系统的开环传递函数为()ss s G n n ςωω222+=，为使单位反馈的闭环系统对单位阶跃输入的瞬态响应具有σp %=5%的超调量和t s =2s 的调整时间，试确定系统的ζ和ωn 的值。
第一章绪论1-1试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点.解答：1开环系统(1)优点:结构简单，成本低，工作稳定。
用于系统输入信号及扰动作用能预先知道时，可得到满意的效果。
(2)缺点：不能自动调节被控量的偏差。
因此系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。
2 闭环系统⑴优点：不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量偏离给定值，都会产生控制作用去清除此偏差，所以控制精度较高。
它是一种按偏差调节的控制系统。
在实际中应用广泛。
⑵缺点：主要缺点是被控量可能出现波动，严重时系统无法工作。
1-2 什么叫反馈？为什么闭环控制系统常采用负反馈？试举例说明之。
解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。
闭环控制系统常采用负反馈。
由1-1中的描述的闭环系统的优点所证明。
例如，一个温度控制系统通过热电阻（或热电偶）检测出当前炉子的温度，再与温度值相比较，去控制加热系统，以达到设定值。
1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型（线性，非线性，定常，时变）？（1）22()()()234()56() d y t dy t du ty t u t dt dt dt++=+（2）()2() y t u t=+（3）()()2()4() dy t du tt y t u t dt dt+=+（4）()2()()sin dy ty t u t t dtω+=（5）22()()()2()3() d y t dy ty t y t u t dt dt++=（6）2()()2() dy ty t u t dt+=（7）()()2()35()du ty t u t u t dtdt=++⎰解答：（1）线性定常（2）非线性定常（3）线性时变（4）线性时变（5）非线性定常（6）非线性定常（7）线性定常1-4 如图1-4是水位自动控制系统的示意图，图中Q1，Q2分别为进水流量和出水流量。
控制的目的是保持水位为一定的高度。
自动控制原理一、简答题：（合计20分, 共4个小题，每题5分）1. 如果一个控制系统的阻尼比比较小，请从时域指标和频域指标两方面说明该系统会有什么样的表现？并解释原因。
2. 大多数情况下，为保证系统的稳定性，通常要求开环对数幅频特性曲线在穿越频率处的斜率为多少？为什么？3. 简要画出二阶系统特征根的位置与响应曲线之间的关系。
4. 用根轨迹分别说明，对于典型的二阶系统增加一个开环零点和增加一个开环极点对系统根轨迹走向的影响。
二、已知质量-弹簧-阻尼器系统如图(a)所示，其中质量为m 公斤，弹簧系数为k 牛顿/米，阻尼器系数为μ牛顿秒/米，当物体受F = 10牛顿的恒力作用时，其位移y (t )的的变化如图(b)所示。
求m 、k 和μ的值。
(合计20分)F)t图(a) 图(b)三、已知一控制系统的结构图如下，（合计20分, 共2个小题，每题10分）1） 确定该系统在输入信号()1()r t t =下的时域性能指标：超调量%σ，调节时间s t 和峰值时间p t ；2） 当()21(),()4sin3r t t n t t =⋅=时，求系统的稳态误差。
四、已知最小相位系统的开环对数幅频特性渐近线如图所示，c ω位于两个交接频率的几何中心。
1） 计算系统对阶跃信号、斜坡信号和加速度信号的稳态精度。
2） 计算超调量%σ和调节时间s t 。
（合计20分, 共2个小题，每题10分） [1%0.160.4(1)sin σγ=+-,2112 1.51 2.51sin sin s c t πωγγ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦]五、某火炮指挥系统结构如下图所示，()(0.21)(0.51)KG s s s s =++系统最大输出速度为2 r/min ，输出位置的容许误差小于2，求：1） 确定满足上述指标的最小K 值，计算该K 值下的相位裕量和幅值裕量； 2） 前向通路中串联超前校正网络0.41()0.081c s G s s +=+，试计算相位裕量。
【思考与练习】一、单项选择题1．“亡羊补牢，犹未为晚”，可以理解成是一种（C）。
A．前馈控制 B．同步控制 C．反馈控制 D．直接控制2．控制工作得以展开的前提是（A）。
A．确定控制标准 B．分析偏差原因 C．采取矫正措施 D．明确问题性质3．“治病不如防病，防病不如讲卫生”说明（A）最重重。
A．前馈控制 B．同步控制 C．反馈控制 D．直接控制4．预算是一种（B）。
A．控制 B．计划 C．领导 D．组织5．控制工作的关键步骤是（C）。
A．拟定标准 B．衡量绩效 C．纠正偏差 D．管理突破6．确定控制对象和选择控制重点的工作是属于控制过程中（C）环节的工作。
A．衡量成效 B．纠正偏差 C．确立标准 D．找出偏差7．同步控制工作的重点是（B ）。
A．把注意力集中在历史结果 B．正在进行的计划实施过程C．在计划执行过程的输入环节上 D．控制行动的结果8．按控制组织结构的不同，可把控制方法分为（A）。
A．集中控制、分散控制、分级控制B．战略控制、任务控制、结果控制C．前馈控制、同步控制、反馈控制D．内在控制、外在控制、结果控制9．预算是一种典型的（A）。
A．前馈控制 B．同步控制 C．反馈控制 D．预防性控制10．种庄稼需要水，但这一地区近年老不下雨，怎么办？一种办法是灌溉，以补天不下雨的不足，另一办法是改种耐旱作物，使所种作物与环境相适应。
这两种措施分别（ C ）。
A．纠正偏差和调整计划 B．调整计划和纠正偏差C．反馈控制和前馈控制 D．前馈控制和反馈控制二、多项选择题1．控制的特点包括（ABCD）。
A．目的性 B．整体性 C．动态性 D．人为性 E．实用性2．管理控制的必要性是由（ADE）因素决定的。
A．环境的变化 B．经济的发展 C．社会的需要D．管理权力的分散 E．工作能力的差异3．控制的基本过程包括（BCE）。
A．制订计划 B．确定标准 C．衡量成效D．诊断原因 E．纠正偏差4．一般来说，预算内容要涉及以下几个方面：（ABCDE）。
第三章3-2．假设温度计可用1/（Ts+1）传递函数描述其特性。
现用该温度计测量某容器中的水温，发现经1min 后才能指示出实际水温的96%，问：（1）. 该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间是多少？ （2）. 如果给该容器加热，使容器内水温以0.1℃/s 的速度均匀上升，当定义误差e(t)=r(t)-c(t)时，温度计的稳态指示误差有多大？ 解：（1）. 设实际水温为T r ，温度计原来处于T 0=0度，当温度计放入水中时，相当于输入一阶跃值为T r -T 0=T r 的阶跃函数，温度计的时间响应函数为：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-Tt r eT T t c 10 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--Tt rr e T t c T T t c 10 根据题意可得：Te 60196.0--=即可得：T=18.64(s)，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-Tt re T t c 1 10%所需的时间为64.18111.0t e --=，()s t 96.11=。
90%所需的时间为64.18119.0t e--=，()s t 92.422=。
所以可得该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间（上升时间）是()s t t t r 96.4012=-=（2）. 由题可知系统为一阶系统，故系统稳定，为求当r(t)=0.1t 时的稳态误差，由一阶系统的时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差：()C T t e t 864.11.0lim =⨯=∞→（将1/（Ts+1）转化为开环传递函数为1/（Ts ）时的单位反馈系统，则可见此时系统的误差为e(t)=r(t)-c(t)。
根据系统为I 型，可得稳态速度误差系数为Kv=K=1/T ，得当输入信号为r(t)=0.1t 时的稳态误差为C T K e vssv 864.11.011.0=⨯=⨯=） 3-5．某控制系统如图3-24所示，已知K=125，试求： （1）. 系统阶次，类型。
例1 某单位反馈系统校正前开环传递函数为()()()101.0104.01001++=s s s s G校正后开环传递函数为()()()()()101.0104.01515.01002++++=s s s s s s G1．试求校正前后相位裕度，校正前后系统稳定否？2．说明校正后闭环时域指标（单位阶跃时之s t 和p M ）及闭环频域指标r ω和r M 大致为多少？3．校正装置传递函数是什么？试设计相应的有源校正网络。
解：该题有助于了解开环伯德图与反馈系统性能的关系，首先画出系统校正前后的开环幅频特性伯德图（如图7-30），从图中可直接得出剪切频率c ω，然后根据有关公式即可求出各项性能指标。
图7-301．由校正前的伯德图可见s rad c /451≈ω则 ()()[] 8.401.045arctan 04.045arctan 901801≈⨯-⨯--+≈γ 故校正前系统是稳定的，但稳定储备很差。
由校正后的伯德图可见s rad c /102≈ω则()()()()[] 3.5201.010arctan 04.010arctan 5.010arctan 510arctan 901801≈⨯-⨯-⨯+⨯--+≈γ 故校正后系统稳定，且稳定裕度有较大提高。
2. s rad /2010025100254343'3=+⨯=+=ωωωωω 则 ()()()()s t M M s rad h h M h c c s r p r r 73.02/105.38101/5.381%2.22%1222.1100%1100/3.6202222.111011*********'322'3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈=-=-=≈⨯==≈-+=-+====ωωωωωωωω 3． ()()()1515.012++==s s s G s G s G j相应的有源校正网络可取图7-31所示的电路。
图7-31例2 已知一直流电动机调速系统如图7-32所示，其电机机电时间常数s K K JRT E M m 5.0==，反电势系数,4,/1.0,/1.0Ω=⋅=⋅=R A m N K rad s V K M E ，功率放大器()105.0101+=s s G ，测速反馈系数()s G ms T rad s V K j n ,5.12,/1.02=⋅=为校正放大器传递函数。
