九年级数学下学期三角函数测试卷)

九年级数学下册综合算式专项练习题三角函数运算在九年级数学下册中，我们经常会遇到综合算式的题目，其中也包括了三角函数运算的题目。

三角函数是三角学中的重要概念，涉及到了角的概念和三角比的计算。

通过练习这些综合算式专项练习题，我们可以更好地理解和掌握三角函数的相关知识，提高数学解题的能力。

一、已知三角函数的值求角的大小1. 已知正弦函数sin(x) = 0.5，其中x为锐角，求x的大小。

解析：根据正弦函数的定义可知，sin(x) = 对边/斜边。

已知sin(x) = 0.5，代入得对边/斜边 = 0.5，假设斜边为2，那么对边就是1。

根据勾股定理可计算出邻边的长度，再利用三角函数的定义计算出角的大小。

2. 已知余弦函数cos(y) = 0.8，其中y为钝角，求y的大小。

解析：与上一题类似，根据余弦函数的定义可知，cos(y) = 邻边/斜边。

已知cos(y) = 0.8，代入得邻边/斜边 = 0.8，假设斜边为5，那么邻边就是4。

根据勾股定理可计算出对边的长度，再利用三角函数的定义计算出角的大小。

二、已知角的大小求三角函数的值1. 已知角A的大小为30°，求sin(A)的值。

解析：根据三角函数的定义可知，sin(A) = 对边/斜边。

已知角A的大小为30°，可通过构造一个30-60-90的特殊三角形，根据比例关系计算出对边与斜边的比值，进而计算出sin(A)的值。

2. 已知角B的大小为45°，求tan(B)的值。

解析：根据三角函数的定义可知，tan(B) = 对边/邻边。

已知角B的大小为45°，可通过构造一个45-45-90的特殊三角形，根据比例关系计算出对边与邻边的比值，进而计算出tan(B)的值。

三、综合运算题1. 若sin(x) = 0.6，cos(y) = 0.8，求sin(x+y)的值。

解析：根据三角函数的和差公式，sin(x+y) = sin(x)·cos(y) +cos(x)·sin(y)。

第28章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(玉林中考)sin 45°的值是( B ) A ．12 B ．22 C ．32D ．1 2．(东营中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝42°，BC ＝8，若用科学计算器求AC 的长，则下列按键顺序正确的是( D )A ．8 ÷ sin 4 2 ＝B ．8 ÷ cos 4 2 ＝C ．8 ÷ tan 4 2 ＝D ．8 × tan 4 2 ＝第2题图 第4题图 第5题图第6题图3．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，那么sin B 的值是( C )A ．35B ．34C ．45D ．434．(杭州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则( B )A ．c ＝b sinB B ．b ＝c sin BC ．a ＝b tan BD ．b ＝c tan B5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，已知∠ACD 的正弦值是23 ，则AC AB的值是( D )A ．25B ．35C ．52D ．236．(荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30°.C 为OA 的中点，BC ＝1，则点A 的坐标为( B )A ．(3 ，3 )B ．(3 ，1)C ．(2，1)D ．(2，3 )7．(2022·随州)如图，已知点B ，D ，C 在同一直线的水平地面上，在点C 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为α，在点D 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为β，若CD ＝a ，则建筑物AB 的高度为( D )A ．a tan α－tan βB ．a tan β－tan αC ．a tan αtan βtan α－tan βD ．a tan αtan βtan β－tan α第7题图 第8题图第9题图8．(温州中考)图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC .若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝α，则OC 2的值为( A )A ．1sin 2α ＋1B ．sin 2α＋1C ．1cos 2α＋1 D ．cos 2α＋1 9．(重庆中考)如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度(或坡比)为i ＝1∶2.4，坡顶D 到BC 的垂直距离DE ＝50米(点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内)，在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)(D )A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米10．(绍兴中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，cos B ＝14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE ＝∠B ，连接CE ，则CE AD的值为( D ) A ．32 B ． 3 C ．152D ．2 第10题图 第13题图 第14题图第15题图二、填空题(每小题3分，共15分)11．(甘肃中考)在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝33 ，则cos B ＝__12 __． 12．(无锡中考)一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为__102 __米．13．(2022·泰安)如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC ＝30°，已知窗户的高度AF ＝2 m ，窗台的高度CF ＝1 m ，窗外水平遮阳篷的宽AD ＝0.8 m ，则CP 的长度为__4.4__m(结果精确到0.1 m).14．(咸宁中考)如图，海上有一灯塔P ，位于小岛A 北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A 出发，由西向东航行24 n mile 到达B 处，这时测得灯塔P 在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P 的正南方，此时轮船与灯塔P 的距离是__20.8__n mile.(结果保留一位小数，3 ≈1.73)15．(深圳中考)如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DAC ＝90°，tan ∠ACB ＝12 ，BO OD ＝43 ，则S △ABD S △CBD＝__332 __． 三、解答题(共75分)16．(8分)计算：(1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°； (2)tan 260°－2sin45°＋cos60°.解：原式＝12 解：原式＝72－217．(9分)在△ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知c ＝83 ，∠A ＝60°，求∠B ，a ，b ；(2)已知a ＝36 ，∠A ＝30°，求∠B ，b ，c .解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝43 (2)∠B ＝60°，b ＝92 ，c ＝6618．(9分)(2022·湘潭)湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构(其中DH AH≈0.618)：伞柄AH 始终平分∠BAC ，AB ＝AC ＝20 cm ，当∠BAC ＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC ＝90°.请问最少需要准备多长的伞柄？(结果保留整数，参考数据：3 ≈1.732)解：作BE ⊥AH 于点E ，∵∠BAC ＝120°，AH 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝60°，∴AE ＝AB ·cos60°＝20×12 ＝10(cm)，BE ＝AB ·sin60°＝20×32 ＝103 ≈17.32(cm)，∵BD ＝CD ，∠BDC ＝90°，∴∠BDE ＝45°，∴DE ＝BE ＝17.32 cm ，∴AD ＝AE ＋DE ＝10＋17.32＝27.32(cm)，∵DH AH ＝0.618，即AH －27.32AH＝0.618，解得AH ≈72，∴最少需要准备72 cm 长的伞柄19．(9分)已知锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (1)如图①，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD (如图②所示)，若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ＝5314，求景观桥CD 的长度．解：(1)∵∠B ＝45°，∠C ＝75°，∴∠A ＝60°，∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，∴6sin 60°＝b sin 45°，∴b ＝26 (2)∵AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，∴105314＝14sin B，∴sin B ＝32 ，∴∠B ＝60°，∴tan B ＝CD BD ＝3 ，∴BD ＝33 CD ，∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴196＝CD 2＋(10－33 CD )2，∴CD ＝83 或＝－33 (舍去)，∴CD 的长度为83 米20．(9分)(2022·包头)如图，AB 是底部B 不可到达的一座建筑物，A 为建筑物的最高点，测角仪器的高DH ＝CG ＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB 的高度，先在H 处用测角仪器测得建筑物顶端A 处的仰角∠ADE 为α，再向前走5米到达G 处，又测得建筑物顶端A 处的仰角∠ACE 为45°，已知tan α＝79，AB ⊥BH ，H ，G ，B 三点在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．解：由题意得：DH ＝CG ＝BE ＝1.5米，CD ＝GH ＝5米，DE ＝BH ，∠AED ＝90°，设CE ＝x 米，∴BH ＝DE ＝DC ＋CE ＝(x ＋5)米，在Rt △ACE 中，∠ACE ＝45°，∴AE ＝CE ·tan45°＝x(米)，在Rt△ADE中，∠ADE＝α，∴tan α＝AEDE＝xx＋5＝79，∴x＝17.5，经检验：x＝17.5是原方程的根，∴AB＝AE＋BE＝17.5＋1.5＝19(米)，∴建筑物AB的高度为19米21．(10分)(2022·怀化)某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园，如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4 km.有关部门计划在B，C两村之间修一条笔直的公路来连接两村，问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．(参考数据：3≈1.73，2≈1.41)解：过A点作AD⊥BC于D点，由题意知：∠ABC＝90°－60°＝30°，∠ACD＝45°，∴BD＝3AD，CD＝AD, ∵BC＝2.4 km＝2400 m，∴3AD＋AD＝2400，解得AD＝1200(3－1)≈876>800，故该公路不穿过纪念园22．(10分)(2022·鄂州)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比＝1∶3，铅垂高度DG＝30米(点E，G，C，B在同一水平线上).求：(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；(2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号)解：(1)∵斜坡CF 的坡比＝1∶3，DG ＝30米，∴DG GC ＝13 ，∴GC ＝3DG ＝90(米)，在Rt △DGC 中，DC ＝DG 2＋GC 2 ＝302＋902 ＝3010 (米)，∴两位市民甲、乙之间的距离CD 为3010 米(2)过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，则DG ＝BH ＝30米，DH ＝BG ，设BC ＝x 米，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，∴AB ＝BC ·tan45°＝x (米)，∴AH ＝AB －BH ＝(x －30)米，在Rt △ADH 中，∠ADH ＝30°，∴tan30°＝AH DH ＝x －30x ＋90 ＝33，∴x ＝603 ＋90.经检验：x ＝603 ＋90是原方程的根，∴AB ＝(603 ＋90)米，∴此时飞机的高度AB 为(603 ＋90)米23．(11分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，以DB 为直径作⊙O 交BC 于点F ，连接BE ，EF .(1)证明：∠A ＝∠BEF ；(2)若AC ＝4，tan ∠BEF ＝4，求EF 的长．解：(1)连接DF ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DFB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB ＝90°，∴AC ∥DF ，∴∠A ＝∠FDB ，∵∠FDB ＝∠BEF ，∴∠A ＝∠BEF(2)过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ，∴∠EHF ＝90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠DCB ＝12∠ACB ＝45°，∴∠CDF ＝90°－∠DCB ＝45°，∴CF ＝DF ，设CF ＝DF ＝x ，∵∠A ＝∠BEF ，∴tan A ＝tan ∠BEF ＝4，∴BC ＝AC ·tan A ＝4×4＝16，∴BF ＝BC －CF ＝16－x ，∵∠ACF ＝∠DFB ＝90°，∴△ACB ∽△DFB ，∴AC DF ＝BC BF ，∴4x ＝1616－x，∴x ＝165 .经检验，x ＝165 是原方程的根，∴CF ＝165，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BED ＝90°，∴∠EBC ＝90°－∠DCB ＝45°，∴EC ＝EB ，∵EH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝12 BC ＝8，∴EH ＝12BC ＝8，∴FH ＝CH －CF ＝245，∴EF ＝FH 2＋EH 2 ＝（245）2＋82 ＝85 34 ，∴EF 的长为85 34。

初三下学期三角函数练习题下面是一份关于初三下学期三角函数练习题的内容：在初三下学期的数学课程中，三角函数是一个重要的知识点。

为了帮助同学们更好地掌握三角函数的概念和运用，以下是一些练习题供大家练习。

1. 计算下列角的弧度值，并判断它们的象限：a) 60°b) -45°c) 180°2. 根据以下角的弧度值和象限，求其对应的角度：a) π/6，第一象限b) -π/4，第四象限c) 3π/2，第三象限3. 求下列角的正弦、余弦和正切值：a) 30°b) 45°c) 60°4. 如果sin(x) = 1/2，求角x的值，并判断它位于哪个象限？5. 求下列方程在指定范围内的解：a) sin(x) = 0，0° ≤ x ≤ 360°b) cos(x) = -1/2，0° ≤ x ≤ 360°6. 求下列方程的解：a) 2sin(x) - 1 = 0，0° ≤ x ≤ 360°b) cos(2x) = sin(x)，0° ≤ x ≤ 360°7. 根据已知三角函数值的关系，求下列三角函数的值：a) sin(π - x)b) cos(π/2 - x)c) tan(π + x)以上是一些关于三角函数的练习题，通过解答这些题目可以帮助同学们巩固对三角函数的理解和运用。

希望大家能够认真完成这些练习，并在解答过程中发现和解决问题。

三角函数是数学中的一个重要概念，在实际生活中也有广泛的应用。

它不仅为几何和物理等学科提供了基础，还在工程、建筑、天文学等领域中扮演着重要角色。

因此，掌握好三角函数的知识对于同学们未来的学习和发展都至关重要。

希望以上的练习题能够帮助同学们加深对三角函数的理解和熟练应用。

如果在解答过程中遇到困难，可以向老师或同学寻求帮助。

多做练习，不断巩固和提升自己的数学水平。

人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试一、选择题1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )A. 都扩大1倍B.都缩小为原来的一半C.都没有变化D. 不能确定2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤21，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-︒︒ 的结果为( )A.1+tan40°B. 1－tan40°C. tan40°－1D. tan 240°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3486．如图,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 18．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m 9． 已知α是锐角，且sin α+cos α=332,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 61D. 110．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin RB ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R二、填空题11. 计算：1sin 60cos302-= . 12.ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =13. 已知山坡的坡度i =1，则坡角为________．14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度． 第6题 第7题16. 菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为_________.17.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．18. 如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31s i n =∠A C B 则cos ∠ADC ＝______．19.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米（用根号表示）． 20.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”) 三、解答题 21.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒ (2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒ (3)已知α是锐角，且sin (α+15°)=32，求8 －4cos α—( 2 －1)0+tan α的值． 22. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.23由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲，AC =AB 的长”。

人教版九年级下册数学锐角三角函数单元测试卷附详细解析一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）tan30°的值等于（）A．√3B．√33C．√22D．12．（3分）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，⊙APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（）A．3B．4C．2√3D．2√23．（3分）已知Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，⊙A＝50°，AB＝2，则AC＝（）A．2sin50°B．2sin40°C．2tan50°D．2tan40°4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，tanA=34.以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1B．75C．32D．25．（3分）如图，在扇形AOB中，⊙AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC⌢交AB⌢于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．23π−√3B．√3−13πC．13πD．√3+13π6．（3分）如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40√2海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（）A．80海里B．120海里C．(40+40√2)海里D．(40+40√3)海里7．（3分）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin⊙ABC的值（）A．√22B．1C．√33D．√28．（3分）在⊙ABC中，(2cosA－√2)2＋| √3－tanB|＝0，则⊙ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形9．（3分）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin⊙OBD=（）A．12B．34C．45D．3510．（10分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P 沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，⊙BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）A．AB：AD=3：4B．当⊙BPQ是等边三角形时，t=5秒C．当⊙ABE⊙⊙QBP时，t=7秒D．当⊙BPQ的面积为4cm2时，t的值是√10或475秒二、填空题(共5题；共15分)11．（3分）cos245∘−tan30∘⋅sin60∘=．12．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为．13．（3分）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是cm.14．（3分）如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB=90°，CD是高，如果⊙A=α，AC=4，那么BD=．（用锐角α的三角比表示）15．（3分）如图，Rt⊙AOB中，⊙OAB＝90°，⊙OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝−4x图象上，若Rt⊙AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为.三、解答题(共8题；共78分)16．（8分）先化简，再求代数式(aa2−1−1a+1)⋅(a−1)的值，其中a=tan60°−2sin30°．17．（9分）居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）18．（9分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 √2海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）19．（9分）如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB=40m．求乙楼CD的高度，（结果精确到1m）20．（10分）如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01，√3≈1.732，√2≈1.414）21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊙AB于E，设⊙ABC＝α(60°≤α＜90°)．(1)当α＝60°时，求CE的长；(2)当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得⊙EFD＝k⊙AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan⊙DCF的值．22．（11分）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）（5分）求楼间距AB；（2）（6分）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C.（1）（4分）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）（4分）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求⊙ACD的正切值；（3）（4分）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当⊙OCD＝⊙CAP时，求点P的坐标.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：tan30°=√33． 故答案为：B【分析】利用特殊角的三角函数值直接求解即可。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

人教版九年级数学下第二十八章 锐角三角函数 单元复习卷一、单选题1．如图所示的是某超市入口的双买闸门，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是()A ．74cmB ．64cmC ．54cmD ．44cm2．如图，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA 的值是( )A B C D 3．如图所示，15AOP BOP ∠=∠=︒，//PC OA ，PD OA ⊥．若4PC =，则PD 的值为( )A ．1.5B ．4C ．2D ．14．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形ABCD 的边长为1，菱形的边AB 水平放置，如果该菱形的高是宽的23，那么菱形的宽是（ ）A ．1813B ．139C ．32D ．25．在 Rt ABC 中，90C ∠=，5AB =，3BC =，则 sin A 的值是（ ）A ．35B ．53C ．45D ．346．如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin BAC ∠=（ ）．A ．15B ．13C D 7．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果1sin 3A =，那么sinB 的值是( )A B ．C D ．38．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线y ＝kx 交于点C （4，n ），则tan ∠OCB 的值为（ ）A ．13B C D ．389．角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（）A ．0sin α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα<10．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是( )A．B．C．D．二、填空题11．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP 与x轴正半轴所夹角的余弦值为_____．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，则sin B＝_____．13．如图，一艘船由A港沿北偏东65︒方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C港，C港在A港北偏东20︒方向，则A，C两港之间的距离为______km．14．观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m.15．如图，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BE=2，∠B =22.5°，则AC 的长为_______．16．在Rt ABC 中，190,cos 2C A ︒∠==，那么A ∠的度数是___________.17．取一张边长为4的正方形纸折五角星．操作步骤如下：①按如图1、图2的方法对折两次，将图2展开后得到图3；②如图4所示折出正方形ABCD 对角线的交点O ，将纸片折叠，使得点H 与点O 重合，折痕为EF ，再将四边形EFOG 折叠，使得EF 与FO 重合；③最后再将∠CFO 沿着FO 折叠，得到图5，沿图中虚线PM 剪一刀．展开得图6．（1）若图6中∠ABC=36°，则图5中∠MPN=________°；（2）小王认为此时∠OFC=36°．小黄同学提出了质疑！若已知．请求出sin ∠OFC=________，这样就可以知道谁的判断是正确的．18．如图一，矩形纸片ABCD 中，已知:5:3AB BC =，先按图二操作，将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按图（三）操作：沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则的余弦值________．HAF19．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC 内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则sin∠FBA＝__．三、解答题20．如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1米）参考数据≈1.41，≈1.73．21．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y = 2，直接写出直线y = 2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①C的坐标为（1，2），直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（1-，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y ⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．22．为了测量某单位院内旗杆AB的高度，在地面距离旗杆底部B的15米C处放置高度为1.8米的测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角（∠ADE）为54°．求旗杆AB的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38）23．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；（2）求证：BD CD BE BC=（3）若BC=32AB，求tan∠CDF的值．24．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A 处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里，（计算结果保留根号）（1）求出此时点A到军港C的距离；（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达A＇时，测得军港B在A＇的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．25．如图，甲船在A处发现乙船在北偏东的60 的B处，如果此时乙船正以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船的速度是海里/小时，这时甲船向________方向行驶才能最快追上乙．26．苏北五市联合通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”．根据各市的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，后两行中有一个数据是错误的．请回答下列问题：a________，b=________；（1）统计表=（2）统计表后三行中哪一个数据是错误的？该数据的正确值是多少？（3）组委会决定从来自宿迁市的4位“最有孝心的美少年”中，任选两位作为苏北五市形象代言人，A 、B 是宿迁市“最有孝心的美少年”中的两位，问A 、B 同时入选的概率是多少？并请画出树状图或列出表格．区域频数频率宿迁4a 连云港70.175淮安b0.2徐州100.25盐城120.27527．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD 长为1．6m ，CD 与地面DE 的夹角∠CDE 为12°，支架AC 长为0．8m ，∠ACD 为80°，求跑步机手柄的一端A 的高度h （精确到0.1m ）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）28．当一个角固定不变，而某种图形在该角的内部变化，则我们称这个角为墙角．（1）如图1，墙角O ∠=30°，如果AB=3，长度不变，在角内滑动，当OA=6时，则求出此时OB 的长度．（2）如图2，墙角O ∠=30°，如果在AB 的右边作等边ABC ∆，AB=3，长度不变，滑动过程中，请求出点O 与点C 的最大距离．（3）如图3，墙角sin O =35时，如果点E 是O ∠一条边上的一个点，DEF ∠=90°，其两条边与O ∠另一条边交于点F 与点D ，求OFOD的最大值．答案第1页，共26页参考答案：1．B 【解析】【分析】首先过A 作AM 垂直PC 于点M ，过点B 作BN 垂直DQ 于点N ，再利用三角函数计算AM 和BN ，从而计算出MN.【详解】解:根据题意过A 作AM 垂直PC 于点M ，过点B 作BN 垂直DQ 于点N54AC BD cm ＝＝30ACP BDQ ︒∠=∠=MC ND =∴ AMC BDN∆≅∆1sin 3054272AM BN AC ︒∴===⨯= 所以2271064MN =⨯+= 故选B.【点睛】本题主要考查直角三角形的应用，关键在于计算AM 的长度，这是考试的热点问题，应当熟练掌握.2．D 【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC 的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】如图：，由勾股定理，得由锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，得cosA=AD AC 故选D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的余弦．3．C【解析】【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得15OPC AOP ∠=∠=︒，再根据三角形的外角性质可得30OP C BO E C P P ∠+∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质可得122PE PC ==，最后根据角平分线的性质即可得．【详解】如图，过点P 作PE OB ⊥于点E ，,15//AOP BO PC O P A ∠︒∠== ，15OPC AOP ∠∴∠==︒，30OPC BO PCE P ∴∠=∠+∠=︒，在Rt CEP △中，114222PE PC ==⨯=，又15AOP BOP ∠︒∠== ，PE OB ⊥，PD OA ⊥，2PD PE ∴==，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，利用直角三角形和角平分线的性质是解题关键．4．A【解析】【分析】先根据要求画图，设AF=x，则CF=23x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AF=x，则CF=23 x，在Rt△CBF中，CB=1，BF=x-1，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，12＝（x−1）2+（23x）2，解得：x=1813或0（舍），则该菱形的宽是18 13，故选A．【点睛】本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形的宽和高是关键．5．A【解析】【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：sinA=BC AB =35．故选A ．【点睛】本题考查了锐角正弦函数的定义.6．D【解析】【分析】根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，从而可以得到sin BAC ∠的值．【详解】解：作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，由图可得，AC =BC ＝2，AB =∵242AB CD BC =⨯⨯，422=⨯，解得，CD∴sin ∠BAC ＝CD AC ==，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．A【解析】【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【详解】∵Rt△ABC中, ∠C=90°，sin A=13，∴cos A，∴∠A+∠B=90°，∴sin B=cos A故选A.【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出cosA的值是解题的关键.8．A【解析】【分析】先将点A点B坐标表示出来，把点C代入直线AB可得出C点坐标为（4，-4），过B做垂线垂直于直线OC交于点E，求出BE和EC的长即可求出答案【详解】过B 作BE ⊥直线OC 交于点E由题意可得，点A 坐标为（2,0）点B 坐标为（0,4）把C 点横坐标代入直线y=-2x+4，可得y=-4故点C 坐标为（4，-4）∴直线OC ：y=-x∴∠EOB=45°，即△OEB 是等腰直角三角形∵在△OEB 中，OB=4，∴同理可得∴∴tan ∠OCB=BE EC 13故正确答案为A【点睛】此题主要考查两点距离和三角函数，三角函数一定要构造出直角三角形，找出对应边的长度是解题关键9．C【解析】【分析】由角α，β满足045αβ<<<︒︒，确定锐角三角函数的增减性，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案．【详解】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，A.∵sin 45︒∴0<sin α,选项A 正确，不合题意；B ．∵tan 45=1︒,∴0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意；C ．sin 45︒cos 45︒，cos βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，D ．sin 45︒cos 45︒cos αβ><，sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意．故选择：C ．【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键．10．A【解析】【详解】试题分析：仔细分析各选项中格点三角形的特征即可作出判断.仔细分析图形特征可得A 不是直角三角形，B 、C 、D 均为直角三角形，故选A.考点：格点三角形的特征点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握格点中互相垂直的线段的特征，即可完成.11．513【解析】【分析】根据三角函数的定义解答．【详解】如图作PA ⊥x 轴，垂足为A ．OP 13=，cos ∠POA =513．故答案为513．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，利用坐标系求出三角形的边长是关键步骤．12．1517【解析】【分析】首先利用勾股定理求出AC 的长，再利用锐角三角函数关系得出sinB 的值．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝17，BC ＝8，∴AC 15==，∴sin B ＝1517AC AB =．故答案为：1517．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．13．+【解析】【分析】根据题意得，6520CAB ∠=︒-︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，652045CAB ∠=︒-︒=︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，90AEB CEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒ ，30AB =，AE BE ∴===在Rt CBE ∆中，60ACB ∠=︒ ，CE ∴=∴=+=AC AE CE∴，C两港之间的距离为km，A故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．14．135【解析】【详解】试题分析：根据题意可得：∠BDA=30°,∠DAC =60°,在Rt△ABD中，因为AB=45m，所以AD=，所以在Rt△ACD中，CD= ．考点：解直角三角形的应用．15【解析】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE=2，故∠EAB=∠B=22.5°，由三角形外角的性质得出∠AEC的度数，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC边于点E，BE=2，∠B=22.5°∴AE=BE=2，∴∠EAB=∠B=22.5°．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠EAB=45°．∵∠C=90°，∴【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，解直角三角形，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．16．60【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】∵∠C=90°，cos A12=，∴∠A=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．17．18 3 5【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得到∠ABC=2∠MPN，即可求解；（2）过点O作OM⊥BC于点M，设OF=FH=x，BM=k，则MH=3k，利用勾股定理求得x=53k，求得∠OFC的正弦函数即可比较得出结论．【详解】解：（1）由图5和图6可知∠ABC=2∠MPN=36°，∴∠MPN=36°÷2=18°；（2）过点O作OM⊥BC于点M，由题意可知MC=MO=MB=12BC=12HB ．设OF=FH=x ，BM=k ，则MH=3k ，在Rt △OFM 中，OM=k ，OF=HF=x ，MF=3k-x ，∴222OM MF OF +=，即()2223k x k x +-=，整理得：6kx=10k 2，∴x=53k ，∴3553OM k sin OFC OF k ∠===，∵，35≠，∴∠OFC≠36°．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理的应用，正弦函数等，作出常用辅助线构建直角三角形是解题的关键．18【解析】【分析】设AB =5，BC =3，根据折叠的性质，结合勾股定理求出AH ，过H 作HM ⊥AF ，垂足为M ，解直角三角形AHF ，求出AM ，最后根据余弦的定义计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB ：BC =5：3，设AB =5，BC =3，由折叠可知：AD =AE =BC =DF =3，FH =FC =2，则EH =EF -HF =3-2=1，∴AH又AF =H 作HM ⊥AF ，垂足为M ，设AM =x ，则MF =x ，则2222AH AM HF MF -=-，即()22222x x -=-，解得：x =AM =∴cos ∠HAF =AM AH ，．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用折叠的性质，掌握解直角三角形的一般方法．19【解析】【分析】过点F 作FG ⊥AB 于G ，连接AF ，根据正方形的性质可得CD ＝CE ＝DF ＝EF ＝2，∠C ＝∠ADF ＝90°，从而得到AD ＝4，BE ＝6，再由勾股定理可得AB ＝10，AF ＝BF ＝，然后设BG ＝x ，再由勾股定理FG ＝2，即可求解．【详解】解：过点F 作FG ⊥AB 于G ，连接AF ，∵四边形CDFE 是边长为2的正方形，∴CD ＝CE ＝DF ＝EF ＝2，∠C ＝∠ADF ＝90°，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AD ＝4，BE ＝6，∴AB 10，AF ＝BF ，设BG ＝x ，∵FG 2＝AF 2﹣AG 2＝BF 2﹣BG 2，∴（2﹣（10﹣x ）2＝（）2﹣x 2，解得：x ＝6，∴FG 2，∴sin ∠FBA ＝FG BF【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键．20．6.2．【解析】【分析】过点A 作AM ⊥CD 于点M ，可得四边形ABDM 为矩形，根据A 处测得电线杆上C 处得仰角为23°，在△ACM 中求出CM 的长度，然后在Rt △CDE 中求出CE 的长度．【详解】过点A 作AM ⊥CD 于点M ，则四边形ABDM 为矩形，AM=BD=6米，在Rt △ACM 中，∵∠CAM=30°，AM=6米，∴CM=AM•tan ∠，∴CD=（米），在Rt △CDE 中，ED=6﹣2.3=3.7（米），∴≈6.2（米）．21．（1）① 90&#ξΦ0B0;，60&#ξΦ0B0;；②本题答案不唯一，如：B (0，2)；（3）113C x -<<.【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可知，点P 关于⊙O 的“视角”是指从点P 引出两条射线，当两条射线和⊙O 相切时，两条射线所形成的的夹角就是点P 关于⊙O 的“视角”；直线l 关于⊙O 的“视角”是指当直线l 与⊙O 相离时，直线l 上的点Q 距离圆心O 最近时，点Q 关于⊙O 的“视角”就是直线l 关于⊙O 的“视角”；由此可根据已知条件解答第一问；（2）①由题意可知，若直线l 关于⊙C 的“视角”为60°，则说明在直线l 上存在一点P 距离点C 最近，且点P 关于⊙C 的“视角”为60°，则此时点P 是l 与以点C 为圆心，2为半径的圆相切的切点，如图1，过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，PE ⊥x 轴于点E ，由已知分析可得DP=DH=∠PDE=60°，在△PDE 中可求得DE 和PE 的长，得到点P 的坐标，把P 、D 的坐标代入直线l 的解析式可求得k 的值；②如图2，由已知易得直线l 与x 轴相交于点A （-1，0），与y 轴相交于点B （0，若此时直线l 关于⊙C 的视角∠EPF=120°，由已知条件求得OC 的长，可得点C 的坐标；如图3，当沿着x 轴向左移动时，直线l 关于⊙C 的视角会变大，当直线l 和⊙C 相切于点P 时，由已知条件可求得OC 的长，可得此时点C 的坐标；综合起来可得C x 的取值范围.试题解析：（1）①如下图，当点A的坐标为（1，1）时，易得点A关于⊙O的视角为90°；∵直线y=2上距离圆心O最近的点是直线y=2与y轴的交点P，过点P作⊙O的两条切线PC、PD，切点为C、D，则直线y=2关于⊙O的视角是∠CPD，连接OD，由已知条件可求得∠OPD=30°，∴∠CPD=60°，即直线y=2关于⊙O的视角为60°.②由①中第2小问可知，满足条件的点B在以O为圆心，2为半径的圆上，这样的点很多，比如说点B（0，2）.（2）①∵直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（1-，0），-+=.∴()1k b0∴b k=-.∴直线l: y kx k=+-.设点P在直线l上，若点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．∵直线l关于⊙C的“视角”为60°，∴此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点.∴CP⊥直线l.即直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图1所示．作过点C作CH⊥x轴于点H，PE⊥x轴于点E，∴点H的坐标为（1，0），又∵点D 的坐标为(1 0)，-，∴DH =．∴tan ∠CDH=CH DH =∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，∴DE=PD ⋅PE= PD ⋅sin60°=3，∴1，∴点P 的坐标（13）．把点P 的坐标代入l : y kx k =+-，解得： k ．②如图2，由已知易得直线l 与x 轴相交于点A （-1，0），与y 轴相交于点B （0，若此时直线l 关于⊙C 的视角∠EPF=120°，则∠EPC=60°，∠PEC=90°，CE=1，∴∠PCE=30°，∴PC=1=cos30 =AC=4cos303PC = ，∴OC=AC-OA=13，∴此时C x =13；如图3，当沿着x 轴向左移动时，直线l 关于⊙C 的视角会变大，当直线l 和⊙C 相切于点P 时，连接CP ，∵在△ABO 中，AO=1，，∴tan ∠BAO=BO AO=∴∠BAO=60°，∴AC=sin 60PC∴1，∴此时C x 1，综上所述，C x 的取值范围为：113c x -<<.点睛：解这道题的基础是弄懂两个定义的本质，（1）圆外一点关于圆的视角就是：“过圆外一点向圆引两条切线，这两条切线的夹角就是这个点关于这个圆的视角”；（2）当直线和圆相离时，这条直线关于这个圆的视角就是“过圆心向这条直线作垂线，垂足关于这个圆的视角就是这条直线关于这个圆的视角”.22．23米【解析】【分析】根据锐角三角函数求得线段AE ，从而求得旗杆AB 的高度．【详解】解：在Rt △ADE 中，∵ tan ∠ADE ＝AE DE，∠ADE ＝54°，∴ tan 15 1.3820.7AE DE ADE ≈=⨯⋅∠=又∵ 1.8BE CD ＝＝，∴ 20.7 1.822.523AB AE BE =+=+=≈答：旗杆AB 的高度约为23 m ．【点睛】此题主要考查了利用三角函数解直角三角形，熟练掌握并应用三角函数的定义是解题的关键．23．（1）∠CBD 与∠CEB 相等，证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan ∠． 【解析】【详解】试题分析：（1）由AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，可得∠ADB=∠ABC=90°，由此可得∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，从而可得∠A=∠CBD ，结合∠A=∠CEB 即可得到∠CBD=∠CEB ；（2）由∠C=∠C ，∠CEB=∠CBD ，可得∠EBC=∠BDC ，从而可得△EBC ∽△BDC ，再由相似三角形的性质即可得到结论；（3）设AB=2x ，结合BC=32AB ，AB 是直径，可得BC=3x ，OB=OD=x ，再结合∠ABC=90°，可得x ，CD=-1）x ；由AO=DO ，可得∠CDF=∠A=∠DBF ，从而可得△DCF ∽△BCD ，由此可得：CD DF BC BD =，这样即可得到tan ∠CDF=tan ∠DBF=DF BD .试题解析：（1）∠CBD 与∠CEB 相等，理由如下：∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠CBD=∠BAD ，∵∠BAD=∠CEB ，∴∠CEB=∠CBD ，（2）∵∠C=∠C ，∠CEB=∠CBD ，∴∠EBC=∠BDC ，∴△EBC ∽△BDC ，∴BD CD BE BC=；（3）设AB=2x ，∵BC=32AB ，AB 是直径，∴BC=3x ，OB=OD=x ，∵∠ABC=90°，∴x ，∴CD=）x ，∵AO=DO ，∴∠CDF=∠A=∠DBF ，∴△DCF ∽△BCD ，∴CD DF BC BD =∵tan ∠DBF=DF BD∴tan ∠点睛：解答本题第3问的要点是：（1）通过证∠CDF=∠A=∠DBF ，把求tan ∠CDF 转化为求tan ∠DBF=DF BD；（2）通过证△DCF ∽△BCD ，得到DF CD BD BC =.24．（1）（2）60-海里．【解析】【分析】（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D ，在Rt ACD ∆中利用利用三角函数即可求解；（2）过点A ＇作A ＇N ⊥BC 于点N ，可证A ＇B 平分∠CBA ，根据角平分线的性质、三角函数即可求解．【详解】解：（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D由题意可得：∠CBD 30=︒，BC=120则DC=60故60cos30DC AC AC ︒===解得：AC=答：此时点A 到军港C 的距离为（2）过点A ＇作A ＇N ⊥BC 于点N可得∠1=30︒，∠BA ＇A=45︒则∠2=15︒，即A ＇B 平分∠CBA设AA ＇=x ，则A ＇故CA ＇=2A ＇N=2x =x +=∴x 60=-答：此时“昆明舰”的航行距离为60-海里．【点睛】此题主要考查方向角的应用，灵活运用三角函数是解题关键．25．北偏东30【解析】【分析】构建两个直角三角形后，令BD=x ，则AB=2x ，；BC=a ，则．在RT △ACD 中运用勾股定理可求出a 和x 之间的关系，从而得到AB=BC ，依据三角形外角和定理，从而求出∠CAB，又因为∠BAD已知，则可找到所行驶方向．【详解】设甲船在C处追上乙船，根据题意知CD⊥AD，∴∠ADB=90 ，∠BAD=30∴AB=2BD，由勾股定理得：AD，∵乙船正以每小时10海里的速度向正北方向行驶,而甲船的速度是/小时，∴设BC=a,则AC a，又在Rt△ABD中,令BD=x,则AB=2x,AD，又∵在Rt△ADC中,2AC=22AD DCa (舍负)，∴x=2又在Rt△ABD中，AB=2x，∴AB=a，∴AB=BC，∴∠C=∠CAB，∴∠ABD=∠C+∠CAB，∴∠ABD=2∠C.∵∠ABD=60∴∠C=30∴∠CAD =60∴这时甲船应朝北偏东30 方向行驶，才能最快追上乙船．【点睛】解直角三角形的应用-方向角问题．26．（1）0.1，8；（2）盐城市对应频数12这个数据是错误的，该数据的正确值是11；（3）16【解析】【分析】（1）利用连云港的频数及频率求出总数，再根据a 的频数、b 的频率利用公式即可求出答案；（2）计算各组的频率和是否得1，根据频率计算各组频数是否正确，由此即可判断出错误的数据；（3）设来自宿迁的4位“最有孝心的美少年”为A 、B 、C 、D ，列表表示所有可能的情况，再根据概率公式计算即可.【详解】（1）∵连云港市频数为7，频率为0．175，∴数据总数为70.17540÷=，∴4400.1a =÷=，400.28b =⨯=．故答案为0.1，8；（2）∵0.10.1750.20.250.2751++++=，∴各组频率正确，∵400.2751112⨯=≠，∴盐城市对应频数12这个数据是错误的，该数据的正确值是11；（3）设来自宿迁的4位“最有孝心的美少年”为A 、B 、C 、D ，列表如下：AB C D ABA CA DA B ABCB DB C AC BC DCD AD BD CD∵共有12种等可能的结果，A、B同时入选的有2种情况，∴A、B同时入选的概率是：16．【点睛】此题考查统计计算能力，正确理解频数分布表，依据表格得到相应的信息，能正确计算总数，部分的数量，部分的频率，利用列表法求事件的概率.27．1．1m．【解析】【详解】试题分析：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据CF=AC•sin∠CAF 求出CF的长，在Rt△CDG中，根据CG=CD•sin∠CDE求出CG的长，然后根据FG=FC+CG计算即可．试题解析：解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0．744m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0．336m，∴FG=FC+CG≈1．1m．故跑步机手柄的一端A的高度约为1．1m．考点：解直角三角形的应用．28．（1）（2）3；（3）1 4【解析】【分析】（1）过A 点作OB 的垂线AE ，证明E 点与B 点重合即可求得OB 的长；（2）在点A 运动过程中，AB 长不变，∠AOB=30°不变，考虑到同弧所对的圆周角不变，所以构造半径为3且过AB 两点的圆O ＇，易知O O ＇=3，C O ＇=O 、O ＇、C 三点共线时，得最值；（3）过点F 做FG ⊥OE 与点G ，过点D 做DH ⊥OE 与点H ，根据sin O =35，不妨设FG=3a ，DH=3b ，则OG=4a ，OH=4b ，GH=4b-4a (b a ≥)，证明FGE ∆∽EHD ∆，根据相似三角形的对应边成比例求解即可．【详解】（1）如图1，过A 点作AE ⊥OB ，∵∠O=30°，OA=6∴AE=132OA = 又AB=3，AE ⊥OB∴B 点与E 点重合∴OB =（2）如图2，在C 点的另一侧作等边三角形ABO ＇，连接O O ＇，连接O ＇C 交AB 于点，则∠A O ＇B=60°，以O ＇为圆心，以3为半径作圆，则A 、B 点在圆上，又因为∠AOB=30°=12∠A O ＇B ，故O 点在圆上，当O 、O ＇、C 三点共线时，点O 与点C 的距离最大．∵△ABC 、△AB O ＇为等边三角形∴四边形AO ＇BC 为菱形∴O ＇C 与AB 互相垂直平分，AD=1322AB =，∠CAD=60°∴CD=tan AD CAD ⋅∠∴O ＇C=2CD=∴当O 、O ＇、C 三点共线时，点O 与点C 的最大距离为当OO ＇+O ＇C 3=+ （3）如图：过点F 做FG ⊥OE 与点G ，过点D 做DH ⊥OE 与点H ，∴∠DHE=∠FGE=90°∵sin O =35，设FG=3a ，DH=3b ，则OG=4a ，OH=4b ，GH=4b-4a (b a ≥)∵DEF ∠=90°∴∠DEH+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°∴∠DEH=∠EFG=∴FGE ∆∽EHD ∆ ∴FG GE EH DH= ∴••FG DH GE EH=即9(44)ab GE b a GE =--∴24()90GE b a GE ab --+=∵0∆≥∴216)360b a ab --≥（化简后得到：4(4)0b a b a --≥（）∵b a ≥，∴40b a -≥，∴40b a -≥∴4b a≥∵FG//DH ，∴OF OD =OG OH =44a b ≤4a a =14【点睛】本题考查的是新定义问题，综合利用三角函数、相似三角形的性质与判断、圆的性质等解答，难度较大，正确的添加辅助线，根据圆或相似三角形是解答的关键．。

2024年数学九年级下册三角函数基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知sinA = 0.6，cosA = 0.8，那么tanA的值为（）A. 0.75B. 0.75C. 0.75D. 0.752. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，若sinB = 3/5，则cosA 的值为（）A. 4/5B. 3/4C. 4/3D. 3/43. 若0°＜θ＜90°，且cosθ = 4/5，则sin(90° θ)的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/34. 已知tanα = 1，则sinα和cosα的值分别为（）A. 1, 1B. 1, 0C. 1, 1D. 1, 05. 在直角坐标系中，点P(3, 4)位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 若sinθ = 0.5，则θ的终边可能位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 已知sinα = √3/2，且α为锐角，则cosα的值为（）A. 1/2B. √3/2C. 1/√2D. 1/28. 若0°＜θ＜180°，且cosθ = 1/2，则sinθ的值为（）A. √3/2B. √3/2C. 1/2D. 1/29. 在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为1/2，则这个锐角的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°A. sinAB. cosAC. tan(90° A)D. cotA二、判断题：1. 若一个角的正弦值等于它的余弦值，则这个角为45°。

（）2. 在直角三角形中，锐角的正弦值随着角度的增大而增大。

（）3. 若sinA = 0，则A为90°。

（）4. 对于任意锐角α，sinα和cosα的值都在0到1之间。

（）5. 在直角坐标系中，第二象限的点的横坐标为正，纵坐标为负。

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（）A．sin A＝34B．cos A＝45C．cos B＝34D．tan B＝352、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos B的值等于（）A．34B．43C．45D．353、如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A1B．2C．1D14、在科学小实验中，一个边长为30cm正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示．初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P重合，点P的高度PF＝40cm，离斜坡底端的水平距离EF＝80cm．正方形下滑后，点B的对应点B'与初始状态的顶点A的高度相同，则正方形下滑的距离（即AA'的长度）是（）cmA ．40B ．60C ．305D ．4055、如图①，5AB =，射线AM BN ∥，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，PQ AB ∥．设AP x =，QD y =．若y 关于x 的函数图象（如图②）经过点()9,2E ，则cos B 的值等于（ ）A ．25B ．12C ．35D ．7106、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折起，使顶点C 落在C ′处，若AB = 4，DE = 8，则sin∠C ′ED 为（ ）A ．2B ．12C D7、如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点O 相距30米的点A 处，测得楼顶B 点的仰角65OAB ︒∠=，则这幢大楼的高度为（ ）A ．30sin 65︒⋅米B ．30cos 65︒米 C ．30tan 65︒⋅米 D ．30tan 65︒米 8、如图，在ABC 中，135ABC ∠=︒，点P 为AC 上一点，且90PBA ∠=︒，12CP PA =，则tan APB ∠的值为（ ）A ．3B ．2C ．13D 9、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则sin A 的值是（ ）A B ．35C ．34D10、如图，过点O 、A (1，0)、B (0作⊙M ，D 为⊙M 上不同于点O 、A 的点，则∠ODA 的度数为（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，则tan EFC ∠的值为_____．2、助推轮椅可以轻松解决起身困难问题．如图1是简易结构图，该轮椅前⊙O 1和后轮⊙O 2的半径分别为0.6dm 和3dm ，竖直连接处CO 1＝1dm ，水平连接处BD 与拉伸装置DE 共线，BD ＝2dm ，座面GF 平行于地面且GF ＝DE ＝4.8dm ，HF 是轮椅靠背，∠ADE 始终保持角度不变．初始状态时，拉伸杆AD 的端点A 在点B 正上方且距地面2.2dm ，则tan∠ADB 的值为 _____．如图2，踩压拉伸杆AD ，装置随之运动，当AD 踩至与BD 重合时，点E ，F ，H 分别运动到点E '，F '，H '，此时座面GF '和靠背F 'H '连成一直线，点H 运动到最高点H '，且H '，F ，O 2三点正好共线，则H 'O 2的长为 _____dm ．3、如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树．在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得∠1＝∠2＝∠3，EQ＝16米，QK＝24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP＝15米，BP⊥m，则该圆的半径长为_______米．4、如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为________．5、如图所示，河堤的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，2AD m，点A到BC的距离为4m，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡CD的坡角为45°，则四边形ABCD的面积为__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝14，双曲线y＝mx（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，连结AC，BD交于点E，弦CF⊥BD于点G，连结AG，且满足∠1＝∠2．（1）求证：四边形AGCD为平行四边形．（2）设tan F＝x，tan∠3＝y，①求y关于x的函数表达式．②已知⊙O的直径为y＝34，点H是边CF上一动点，若AF恰好与△DHE的某一边平行时，求CH的长．③连结OG，若OG平分∠DGF，则x的值为．3、如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53︒，观测旗杆底部B 的仰角为45︒，则建筑物BC的高约为多少米？（结果保留小数点后一位）．（参考数据sin530.80︒≈，︒≈）cos530.60︒≈，tan53 1.334、如图，O的弦AB与直径CD交于点G，点C是优弧ACB的中点．（1）AG BG=（2）当AB也为O直径时，连接BC，点K是O内AB上方一点，过点K作KR BC⊥于点R，交OC于点M，连接KA，KC，2∠=∠求证：AKC KAB ABC∠-∠=∠KCB KAB（3）在（2）的条件下，过点B作BN AK∥交KR于点N，连接BK并延长交O于点E，2EK=，BR KN=，求O的半径．:10:135、如图，抛物线()()41y a x x =+-的图像与x 轴的交分别为点A 、点B ，与y 轴交于点C ，且tan 2CBA ∠=．（1）求抛物线解析式（2）点D 是对称轴左侧抛物线上一点，过点D 作DE AO ⊥于点E ，交AC 于点P ，32DP =，求点D 的坐标．（3）在（2）的条件下，连接AD 并延长交y 轴于点F ，点G 在AC 的延长线上，点C 关于x 轴的对称点为点H ，连接AH ，GF 、GH ，点K 在AH 上，GH AK AH =+，12KCH CAO ∠=∠，:3:4GF GH =，过点C 作CR GH ⊥，垂足为点R ，延长RC 交抛物线于点Q ，求点Q 坐标．---------参考答案----------- 一、单选题 1、B【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sin A，cos A，cos B和tan B即可．【详解】解：由勾股定理得：5AB，所以3sin5BCAAB==，4cos5ACAAB==，cos35BCBAB==，4tan3ACBBC==，即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误．故选：B．【点睛】本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该类问题的关键．2、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB，∴cos B＝BCAB＝35．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键．3、B【分析】作出图象，把实际问题转化成数学问题，求出弦心距，再用半径减弦心距即可．【详解】如图，正方形ABCD是圆内接正方形，4BD=，点O是圆心，也是正方形的对角线的交点，作OF BC⊥，垂足为F，∵直径4BD=，∴2OB=，又∵BOC是等腰直角三角形，由垂径定理知点F是BC的中点，∴BOF是等腰直角三角形，∴sin45OF OB=°∴2x EF OE OF==-=故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是根据题意作出图像，把实际问题转化成数学问题．4、B【分析】根据题意可得：A 与B '高度相同，连接AB '，可得AB EF '∥，利用平行线的性质可得：B AA PEF ''∠=∠，根据正切函数的性质计算即可得．【详解】解：根据题意可得：A 与B '高度相同，如图所示，连接AB '，∴AB EF '∥，∴B AA PEF ''∠=∠， ∴1tan tan 2PF B AA PEF EF ''∠=∠==， ∴301tan 2A B B AA AA AA ''''∠===''， ∴60AA '=，故选：B ．【点睛】题目主要考查平行线的性质及锐角三角函数解三角形，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键．5、D【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．【详解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，QD=y＝2，如图①所示，∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，∴AC⊥BN，∴BC＝CD＝12BD＝72，∴cos B＝BCAB＝725＝710，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．6、B【分析】由折叠可知，C′D=CD=4，再根据正弦的定义即可得出答案．【详解】解：∵纸片ABCD是矩形，∴CD=AB，∠C=90°，由翻折变换的性质得，C′D=CD=4，∠C′=∠C=90°，∴41 sin82C DC EDED''∠===．故选：B．【点睛】本题可以考查锐角三角函数的运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．7、C【分析】利用在Rt△ABO中，tan∠BAO＝OBAO即可解决．【详解】：解：如图，在Rt△ABO中，∵∠AOB ＝90°，∠A ＝65°，AO ＝30m ，∴tan 65°＝OB AO， ∴BO ＝30•tan 65°米．故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知正切函数为对边比邻边．8、A【分析】过点P 作PD∥AB 交BC 于点D ，因为135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，则tan∠PBD =tan45°=1，得出PB =PD ，再有12CP PA =，进而得出tan∠APB 的值． 【详解】 解：如图，过点P 作PD AB ∥交BC 于点D ，∴CPD CAB △∽△， ∴AC AB PC PD=,∵135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，∴∠PBD =45°，∴tan tan 451PBD ∠=︒=，∴PB PD =，又∵12CP PA =， ∴3AC PC=， ∴tan 3AB AB AC APB PB PD PC∠====． 故选A ．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．9、A【分析】先根据银河股定理求出AB ，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：如图，∵∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，∴AB ==∴sinBC A AB == 故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键．10、D【分析】连接AB ，先利用正切三角函数可得30OBA ∠=︒，再分点D 在x 轴上方的圆弧上和点D 在x 轴下方的圆弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形的性质求解即可得．【详解】解：如图，连接AB ，(1,0),A B ，1,OA OB ∴==90AOB ∠=︒，∴在Rt AOB 中，tanOA OBA OB ∠== 30OBA ∴∠=︒，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当点D 在x 轴上方的圆弧上时，由圆周角定理得：30OBAODA∠∠==︒；（2）如图，当点D在x轴下方的圆弧上时，由圆内接四边形的性质得：180150OD BAA O∠=︒-∠=︒；综上，ODA∠的度数为30或150︒，故选：D．【点睛】本题考查了正切、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．二、填空题1、34．【解析】【分析】根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解答即可．【详解】解：根据题意可得：在Rt ABF ∆中，有8AB =，10AF AD ==则在ABF ∆中，6BF =，90AFE D ∠=∠=︒，BAF EFC ∴∠=∠，B C ∠=∠，∴Rt ABF Rt EFC ，EFC BAF ∴∠=∠， 故63tan tan 84EFC BAF ∠=∠==． 故答案是：34．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．2、 310； 7； 【解析】【分析】根据题意求得A 到BD 的距离h ，进而根据正切的定义可得tan h h ADB BD AD∠==;如图2，过点H '作H K GF '⊥交GF 的延长线于点K ，解直角三角形GKH '即可解决问题 【详解】解：拉伸杆AD 的端点A 在点B 正上方且距地面2.2dm ，BD ＝2dm ，⊙O 1半径分别为0.6dm ，竖直连接处CO 1＝1dm ，设A 到BD 的距离为h ，则()2.20.610.6h =-+=dmtan h h ADB BD AD ∠==0.63210== 如图1，连接2O F ，过点2O 作2O M GF ⊥，24.8,3FG O F ==1 2.42FM FG ∴==2Rt MFO 中2 1.8O M == 2 1.83tan 2.44MFO ∴∠== ∠ADE 始终保持角度不变． ∴ADB E DE '∠=∠GF ＝DE ，//GF DE∴四边形GFED 是平行四边形 装置运动后，//GF DE ''E DEF GE ''∴∠=∠如图2，过点H '作H K GF '⊥交GF 的延长线于点K ，则23tan tan 4H FK MFO '∠=∠= 设3H K x '=，则4FK x =，5FH x '=， 3tan tan tan 10H GK E DE ADB ''∴∠=∠=∠= 334 4.810x x =+ 解得0.8x =3 2.4,4 3.2KH x FK x '∴==== 54FH x '∴==2347O H OF FH ''∴=+=+= 故答案为：310，7【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形的应用，两图中有一个角是相等的，找到这个角的并求得它的正切值为310是解题的关键． 3、253##183【解析】【分析】设圆心为O ，过点C 作CF n ⊥，连接OC 交AB 于点D ，//,//BE QA PA n ，根据题意可证明四边形PEFD 是矩形，进而求得PB ,证明ABC QKC ∽，根据tan 2tan 1tan PBE ∠=∠=∠求得DC ，设O 的半径为r ,在Rt OAD 中，222OD DA AO +=，勾股定理即可求解【详解】如图，设圆心为O ，过点C 作CF n ⊥，连接OC 交AB 于点D ，根据题意,m n PB M ⊥⊥//PB n ∴在小路上P ，Q ，K 三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，且∠1＝∠2，//,//BE QA PA n ∴16AB EQ ∴==∠2＝∠3，//BA QKA CBA ∴∠=∠CB CA ∴=OC AB ∴⊥182BD AD AB ∴=== ,,O C F ∴三点共线∴四边形PEFD 是矩形2=3,CF QK ∠∠⊥1122QF QK ∴== 161228EF EQ QF ∴=+=+=28820PB PD BD EF BD ∴=-=-=-=//AB QKABC QKC ∴∽AB DC QK CF ∴=162243== 23CF DC ∴= //PB n1=PBE ∴∠∠153tan 2tan 1tan 204PBE ∴∠=∠=∠== 3tan 24CF QF ∴∠== 12QF =9CF ∴=2963DC ∴=⨯= 设O 的半径为r ,在Rt OAD 中，222OD DA AO +=则()22268r r -+= 解得253r =故答案为：253【点睛】本题考查了两点确定一条直线，三角函数，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，等边对等角，理清各线段长，并添加辅助线是解题的关键．4、2π【解析】【分析】由正六边形ABCDEF 的边长为2，可得AB =BC =2，∠ABC =∠BAF =120°，进而求出∠BAC =30°，∠CAE =60°，过B 作BH ⊥AC 于H ，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH =CH ，BH =1，在Rt △ABH 中，由勾股定理求得AH AC 的面积【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°，∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中，AH =∴AC ，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴(260?2360CAE S ππ==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．5、40 m 2【解析】【分析】过A 作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 与F ，先证四边形AEFD 为矩形，得出AE =DF =4m ，AD =EF =2m ，根据斜坡AB的坡度为1：3，求出BE =3AE =3×4=12m，根据斜坡CD 的坡角为45°，求出CF =DF =4m ，再求BC =BE +EF +FC =18m ，然后利用梯形面积公式计算即可．【详解】解：过A 作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 与F ，∴∠AEF =∠DFE =90°，∵AD ∥BC ，∴∠ADF +∠DFE =180°，∴∠ADF =180°-∠DFE =180°-90°=90°，∴∠AEF =∠DFE =∠ADF =90°，∴四边形AEFD 为矩形，∴AE =DF =4m ，AD =EF =2m ，∵斜坡AB 的坡度为1：3，∴tan∠ABE =13AEBE ， ∴BE =3AE =3×4=12m，∵斜坡CD 的坡角为45°，∴tan∠C =1DF CF=， ∴CF =DF =4m ，∴BC =BE +EF +FC =12+2+4=18m ，∴四边形ABCD 的面积为()()211421840m 22AE AD BC +=⨯⨯+=． 故答案为40 m 2．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，坡度，坡角，斜坡，锐角正切函数，矩形判定与性质，梯形面积公式，掌握解直角三角形的应用，坡度，坡角，斜坡，锐角正切函数，矩形判定与性质，梯形面积公式，关键是利用辅助线把梯形问题转化为直角三角形和矩形来解．三、解答题1、（1）A（16，0），B（-9，0）；（2）-24；（3）存在，（16，12）或（25，12）或（32，643）或（288384,2525）【解析】【分析】（1）解一元二次方程x2﹣15x﹣16＝0，对称点A（16，0），根据直线BC的解析式为y＝kx＋12，求出与y轴交点C为（0，12），利用三角函数求出tan∠BCO= tan∠OAC=3=4OBOC，求出OB=3312944OC=⨯=即可；（2）过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，利用勾股定理求出AC20 =，BC=，根据三角函数求出tan∠CAD＝1204CD CDAC==，求出12054CD=⨯=，利用三角函数求出DE= CD sin∠BCO=3535⨯=，再利用勾股定理求出点D（-3，8）即可；（3）过点A作AP1与过点C与x轴平行的直线交于P1，先证四边形COAP1为矩形，求出点P1（16，12），再证△P1CA∽△CAB，作P2A⊥AC交CP1延长线于P2，可得∠CAP2=∠BCA=90°，∠P2CA=∠CAB，可证△CAP2∽△ACB，先求三角函数值cos∠CAO=164205COAC==，再利用三角函数值cos∠P2CA= cos∠CAO= 222045ACCP CP==，求出225CP=，得出点P2（25,12）作∠P3CA=∠OCA，在射线CP3截取CP3=CO=12，连结AP3，先证△CP3A≌△COA（SAS）再证△P3CA∽△CAB，设P3（x，y）利用勾股定理列方程()()22222216161212x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解方程得出点P 3（2883842525，），延长CP 3与延长线交P 4，过P 4作PH ⊥x 轴于H ，先证△CAP 4∽△ACB ，再证△P 4P 3A ≌△P 4HA （ASA ），利用cos∠P 3CA =34123205PC CACA CP ===，求得4510033CA CP ==即可．【详解】解：（1）x 2﹣15x ﹣16＝0，因式分解得()()1610x x -+=， 解得12161x x ==-，，点A 在x 轴的正半轴上，OA =16，∴点A （16，0），∵直线BC 的解析式为y ＝kx ＋12，与y 轴交点C 为（0，12），∴tan∠OAC =123=164，∠OCA +∠OAC =90°， ∵AC ⊥BC ，∴∠BCO +∠OCA =90°，∴∠BCO =∠OAC ，∴tan∠BCO = tan∠OAC =3=4OB OC ， ∴OB =3312944OC =⨯=，∴点B （-9，0）；（2）过点D 作DE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，在Rt △AOC 中，AC20==，在Rt △BOC 中，∵tan∠CAD ＝1204CD CD AC ==， ∴12054CD =⨯=，∵sin∠BCO =93155OB BC ==， ∴DE = CD sin∠BCO =3535⨯=，∴CE 4=，OE =OC -EC =12-4=8， ∴点D （-3，8），∵双曲线y ＝m x（m ≠0）的一个分支经过点D ， ∴3824m xy ==-⨯=-;（3）过点A 作AP 1与过点C 与x 轴平行的直线交于P 1， 则∠CP 1A =∠P 1CO =∠COA =90°，∴四边形COAP 1为矩形，∴点P 1（16，12），当点P 1（16,12）时，CP 1∥OA，∠P 1CA =∠CAB ，∠ACB =∠CP 1A ，∴△P 1CA ∽△CAB ，作P 2A ⊥AC 交CP 1延长线于P 2，∵∠CAP 2=∠BCA =90°，∠P 2CA=∠CAB， ∴△CAP 2∽△ACB ，∴cos∠CAO =164205CO AC ==， ∴cos∠P 2CA = cos∠CAO =222045AC CP CP ==，∴225CP =，∴点P 2的横坐标绝对值=225CP =，纵坐标的绝对值=OC=12， ∴点P 2（25,12），作∠P 3CA =∠OCA ，在射线CP 3截取CP 3=CO =12，连结AP 3， 在△CP 3A 和△COA 中，33CP CO PCA OCA CA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CP 3A ≌△COA （SAS ），∴AP 3=OA =16， ∴33124164,155205CP P A CB CA ====， ∴3334,905CP P A CP A BCA CB CA ==∠=∠=︒ ∴△P 3CA ∽△CAB ，设P 3（x ，y ）()()22222216161212x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 整理得22223224x y x y x y⎧+=⎨+=⎩， 解得：2882538425x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 3（2883842525，）， 延长CP 3与延长线交P 4，过P 4作PH ⊥x 轴于H ， ∵∠P 4CA =∠CAB ，∠P 4AC =∠BAC =90°， ∴△CAP 4∽△ACB ， ∵∠BAC +∠HAP4=∠CAP 3+∠P 3AP 4=90°，∠CAP 3=∠BAC ， ∴∠HAP4=∠P 3AP 4， ∠P 4P 3A =180°-∠CP 3A =180°-90°=90°=∠P 4HA ， 在△P 4P 3A 和△P 4HA 中， 34444434P AP HAP AP AP P P A P HA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △P 4P 3A ≌△P 4HA （ASA ）， ∴AP 3=AH =16，P 3P 4=P 4H ，∵cos∠P 3CA =34123205PC CACA CP ===， ∴4510033CA CP ==，∴43443100641233P H P P CP CP ==-=-=，OH =OA +AH =OA +AP 3=16+16=32， ∴点464323P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 综合直线CB 下方，使以C 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．点P 的坐标（16，12）或（25,12）或64323⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(2883842525，)．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，直线与y 轴的交点，反比例函数解析式，锐角三角形函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，矩形判定与性质，三角形相似，图形与坐标，解方程组，本题难度大，综合性强，涉及知识多，利用动点作出准确图形是解题关键．2、（1）见解析；（2）①y =1x 2．②245或185．③1或2 【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB =∠DGC =90°，证明AD∥CG ；根据∠1=∠2=∠ACD ，证明AG∥CD ；根据平行四边形的定义判定即可；（2）①如图1，过点A 作AP ⊥CF 于点P ，根据AD ∥CF ，得AF =DC ，四边形APGD 是矩形，△APF≌△DGC，从而得到CG=GP=PF=AD，设CG=GP=PF=AD=a，DE=EG=b，则GF=2a，GD=2b，BG=CG GF GD=2a b ，在Rt△BGC中，tan∠3＝y=CGGB，在Rt△APF中，tan F＝x=APPF，消去a，b即可；②运用勾股定理，确定a，b的值，显然DE与AF是不平行的，故分DH∥AF和EH∥AF两种情形计算即可．③过点O作OM⊥CF于点M，过点O作ON⊥BD于点N，根据OG平分∠DGF，OM=ON，于是BD=CF，从而确定a，b之间的数量关系，代入计算即可．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，弦CF⊥BD于点G，∴∠ADB=∠DGC=90°，∴AD∥CG；∵∠1=∠2=∠ACD，∴AG∥CD；∴四边形AGCD为平行四边形；（2）①如图1，过点A作AP⊥CF于点P，则四边形ADGP是矩形∵四边形AGCD为平行四边形∴AD∥CF，AD=CG，DE=EG，∠DAC=∠ACF∴AF=DC，AP=DG，∴△APF≌△DGC，∴CG=GP=PF=AD，设CG=GP=PF=AD=a，DE=EG=b，则GF=2a，CF=3a，GD=2b，∵BG GD CG GF⋅=⋅，∴BG=CG GFGD=2ab，在Rt△BGC中，tan∠3＝y=CGGB=2baa⨯=ba，在Rt△APF中，tan F＝x=APPF=2ba，消去a，b即可；∴x=2y，∴y关于x的函数表达式为y=1x2；②∵tan∠3＝y=CGGB=2baa⨯=ba，y＝34，∴ba＝34，∴b＝34 a，∴GD=2b=32 a，∴BG=2ab=43a，∴BD =DG +BG =43a +32a =176a ，∵AB 222AD BD AB +=，∴22217()6a a +=， 解得a =125； 显然DE 与AF 是不平行的，如图2，当DH ∥AF 时，∵AD ∥FH ，∴四边形ADHF 是平行四边形，∴AD =FH =a ，∴CH =2a =245；如图3，当EH ∥AF 时，∵四边形AGCD是平行四边形，∴AE=EC，∴H是CF的中点，∵CF=3a=365，∴CH=185；故CH的长为245或185；③如图4，过点O作OM⊥CF于点M，过点O作ON⊥BD于点N，∵OG平分∠DGF，∴OM=ON，∴BD=CF，∴3a=2b+2ab，整理，得2232a ab b-+=0，解得a=b或a=2b，∵tan F＝x=APPF=2ba，当a=b时，x=2ba=2，当a=2b时，x=2ba=1，故答案为：1或2．【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆心角，弦，弦心距之间的关系，圆周角的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形函数，因式分解，熟练掌握圆的基本性质，灵活掌握三角函数的计算，分类思想是解题的关键．3、建筑物BC的高约为24.2米【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得BC CD =，设m BC CD x ==，从而可得(8)m AC x =+，再在Rt ACD △中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：AC CD ⊥，8m AB =，53ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒，Rt BCD ∴是等腰直角三角形，BC CD ∴=，设m BC CD x ==，则(8)m AC x =+，在Rt ACD △中，tan AC ADC CD∠=，即8tan 53 1.33x x +=︒≈， 解得24.2(m)x ≈，经检验，24.2(m)x ≈是所列分式方程的解，且符合题意，∴建筑物BC 的高约为24.2米，答：建筑物BC 的高约为24.2米．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．4、（1）见详解；（2）见详解；（3）OA =【解析】【分析】（1）连结OA 、OB ，根据点C 是优弧ACB 的中点．得出AC BC =，得出圆心角相等，得出∠AOD =180°-∠AOC =180°-∠BOC =∠BOD ，根据等腰三角形性质即可得出AG =BG ；（2）作∠KCB 的平分线交AB 于H ，连结AC ，CK 与AB 交于L ，根据AB ，CH 为直径，AB ⊥CD ，可得AC BC =，∠ACB =90°，得出∠ABC =∠BAC =45°，根据CH 平分∠KCB ，得出∠KCH =∠HCB =11222KCB KAB KAB ∠=⨯∠=∠，可得∠AKL =180°-∠KAL -∠KLA =180°-∠ACH -∠HLC =∠LHC ，利用∠LHC为△HCB 的外角得∠LHC =∠ABC +∠HCB =∠KAB +∠BAC =∠AKC 即可；（3）连结AE ，RK 与AB 交于P ，延长BN 交AC 与Q ，根据CH 平分∠KCB ，得出∠KCS =∠BCS =∠KAB ，根据BN∥AK ，可得∠EKA =∠EBN ，∠KAB =∠ABN ，可证∠BKR =∠SCB ，再证∠KBA =∠NBC ，求出∠EKA =45°，根据等腰三角形性质与勾股定理AE =KE =2，AK=，再证四边形AQNK为平行四边形，可得AK =QN =AQ =KN ,设BR =10m ，KN =13m ，BN =x ，先证△PNB ∽△BNK ，PN BN BN KN =，即213BN BN x PN KN m⋅==，再根据勾股定理Rt △BNR 中，根据勾股定理222+BN NR BR =，求出x =，然后证明△AQB ∽△BNK ，AQ BQ BN KN =即BQ BN AQ KN ⋅=⋅，解得m =△BNR ∽△BQC ，可得1026m BR BQ BC BN ⋅==即可． 【详解】（1）证明：连结OA ，OB∵点C 是优弧ACB 的中点．∴AC BC =，∴∠AOC =∠BOC ，∴∠AOD =180°-∠AOC =180°-∠BOC =∠BOD ，∵OA=OB，∴OG 平分AB ，∴AG =BG ；（2）作∠KCB的平分线交AB于H，连结AC，CK与AB交于L，∵AB，CH为直径，AB⊥CD，∵AC BC=，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∵CH平分∠KCB，∴∠KCH=∠HCB，∵2KCB KAB∠=∠∴∠KCH=∠HCB=11222KCB KAB KAB∠=⨯∠=∠，∵∠KLA=∠HLC，∴∠AKL=180°-∠KAL-∠KLA=180°-∠ACH-∠HLC=∠LHC，∵∠LHC为△HCB的外角，∴∠LHC=∠ABC+∠HCB=∠KAB+∠BAC=∠AKC，∴∠AKC-∠KAB=∠BAC即AKC KAB ABC∠-∠=∠（3）连结AE，RK与AB交于P，延长BN交AC与Q，∵CH平分∠KCB，∴∠KCS=∠BCS=∠KAB，∵BN∥AK，∴∠EKA=∠EBN，∠KAB=∠ABN，∵∠AKL=∠LHC=∠HBC+∠HCB=∠KAB+∠BAC=∠KAC，∴AC=KC=BC，∵CH平分∠KCB，∴CS⊥BK，BS=KS，∴∠SCB+∠SBC=90°，∵KR⊥BC，∴∠RKB+∠RBK=90°，∵∠CBS=∠KBR，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∴∠BPR=45°=∠RKB+∠ABP=∠ABN+∠NBC，∵∠RKB=∠ABN，∴∠KBA=∠NBC，∴∠EBN=45°，∴∠EKA=45°，∵∠AEK=90°，∴∠EAK=90°-∠EKA=45°∴AE=KE=2，AK=∵KR⊥BC，∠ACB=90°，∴AC∥KR，AK∥BQ，∴四边形AQNK为平行四边形，∴AK=QN=AQ=KN,设BR=10m，KN=13m，BN=x，∴AQ=KN=13m，∵∠PBN=∠BKN，∠PNB=∠BNK，∴△PNB∽△BNK，∴PN BNBN KN=，即213BN BN xPNKN m⋅==，∵PR⊥BC，∠PBR=45°∴NR =PR -PN =10m-213x m, 在Rt △BNR 中，根据勾股定理222+BN NR BR = 即()2222101013x x m m m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ∴2422222010010013169x x x m m m =-++ 整理得4224429338000x m x m -+=，解得22325x m =舍去，22104x m =∴x =∵PN∥AQ，∴∠BNP =∠BQA ，∠BPN =∠BAQ ，∴△PNB ∽△AQB ，∴△AQB ∽△BNK ，AQ BQ BN KN=即BQ BN AQ KN ⋅=⋅∴(2169x x m +=∴22169x m += ∴2x = ∴222104m =解得m =∴NR∥QC ，∴∠BNR =∠BQC ，∠BRN =∠BCQ ，∴△BNR ∽△BQC ，∴BN BR BQ BC =即1026m BR BQ BC BN ⋅===， ∴AB =BC=，∴OA =1122AB =⨯=【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线定义，三角形外角性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形相似判定与性质，直径所对圆周角性质，勾股定理，一元高次方程，锐角三角函数，本题难度大，综合性强，图形复杂，利用辅助线构造准确图形，是中考压轴题，掌握多方面知识是解题关键．5、（1）213222y x x =--+；（2）(3,2)D -；（3）325(,)28Q -【解析】【分析】（1）根据tan 2CBA ∠=求出点C 的坐标，把点C 的坐标代入()()41y a x x =+-即可求出a ，即可得出抛物线解析式；（2）先求直线AC 解析式，设23,2)12(2D m m m -+-，则可表示点P 坐标，y 值相减即可得出答案； （3）作CAO ∠的角平分线为AM ，作MN AC ⊥交于点N ，过点K 作KT y ⊥轴交于点T ，由（2）得点D 坐标，求出直线AD 解析式，令0x =，求出F 点坐标，由对称得出点H 坐标，求出直线AH 的解析式，求出AK 、AH 的值，可得GF 、FG ，FH 满足勾股定理，即FG HG ⊥，求出点G 坐标，得出直线FG 解析式，即可得出直线CR 解析式，与抛物线解析式联立，即可求出点Q 的坐标．【详解】（1）由题得：(4,0)A -，(1,0)B ，∴1OB =，∵tan 2CBA ∠=， ∴2OC OB=，即2OC =， ∴(0,2)C ，把(0,2)C 代入()()41y a x x =+-得：12a =-， ∴抛物线解析式为：()()2141213222y x x x x =--=-++-； （2）设直线AC 的解析式为y kx b =+，把(4,0)A -，(0,2)C 代入得：402k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =+， 设23,2)12(2D m m m -+-，则1(,2)2P m m +， ∴2213113(2)(2)222222m m m m m --+-+=--=， 解得：3m =-或1m =-， ∵213222y x x =--+的对称轴为直线332122()2x -=-=-⨯-，点D 是对称轴左侧抛物线上一点， ∴3m =-， ∴2132222m m --+=， ∴(3,2)D -；（3）如图，作CAO ∠的角平分线为AM ，作MN AC ⊥交于点N ，过点K 作KT y ⊥轴交于点T ，由(4,0)A -，(3,2)D -得直线AD 解析式为28y x =+，∴AC =()0,8F ，∵H 是点C 的对称点，∴(0,2)H -，由(4,0)A -，(0,2)H -得直线AH 解析式为122y x =--，∴AH AC ==设(0,)M t ，1(,2)2T n n --，则OM MN t ==，2CM t =-，4CN AC AN AC OA =-=-=，2224)(2)t t +=-，解得：8t =， ∵12KCH CAO ∠=∠，∴KCT MAO ∠=∠，∵90CTK AOM ∠=∠=︒，∴CTK AOM ，CT KT AO MO =，即12(2)24n ++=解得：n =，122n --=K ， 由题知：HTK HOA ，∴HK KT HA AO =54=，解得：8HK =，∴8)8AK ==-∴88GH AK AH =+=-=，∵:3:4GF GH =，∴6GF =，∵8210FH =+=，∴FGH 是直角三角形， 设1(,2)2G x x +，11681022FGH S x =⨯⨯=⨯， 解得：245x =， 122225x +=， ∴2422(,)55G ， 由()0,8F ，2422(,)55G 得直线FG 的解析式为384y x =-+， ∵CR GH ⊥，∴CR FG ∥，∴直线CR 解析式为34y x c =-+，把(0,2)C 代入得：324y x =-+，232413222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩， 解得：02x y =⎧⎨=⎩或32258x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴325(,)28Q -． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，还涉及了解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，属于中考压轴题，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键．。