直线与平面垂直的判定和性质

直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这

答案：B
5．如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是 AC的中点，则下列命题中正确的有________(填序号)．
①平面ABC⊥平面ABD； ②平面ABD⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE； ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理 有DE⊥AC，DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面 ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平 面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．
解析：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以 BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.故选C.
答案：C
2．(必修2P69练习题)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别 是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这 个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的 点记为G，则在四面体SEFG中必有( )
垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的
角叫做二面角的平面角．
2．平面与平面垂直的判定定理
4．(2017· 浙江卷)如图，已知正四面体DABC(所有棱长均相 等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB， BQ CR ＝ ＝2.分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角 QC RA 为α，β，γ，则( A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α )
A．SG⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF
B．SD⊥平面EFG D．GD⊥平面SEF
解析：解法1：在正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥ G3F，在四面体SEFG中，SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，所 以SG⊥平面EFG. 解法2：GF即G3F不垂直于SF，所以可以排除 C；在△GSD 中，GS＝a(正方形边长)，GD＝ 2 4 a，SD＝ 3 2 4 a，所以

2.如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线 段 AB 上一点，且 3AD＝DB，点 C 为圆 O 上一 点，且 BC＝ 3AC，PD⊥平面 ABC，PD＝DB. 求证：PA⊥CD. 证明：因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC⊥BC. 在 Rt△ABC 中，由 BC＝ 3AC，得∠ABC＝30°. 设 AD＝1，由 3AD＝DB 得，DB＝3，BC＝2 3. 由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3， 所以 CD2＋DB2＝BC2，即 CD⊥AB. 因为 PD⊥平面 ABC，CD⊂平面 ABC，所以 PD⊥CD. 因为 PD∩AB＝D，所以 CD⊥平面 PAB， 又 PA⊂平面 PAB，所以 PA⊥CD.
找 共 性
[过关训练] 1．如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面
ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
证明：(1)∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.又 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，∴AE⊥平面 PCD. 又 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD， 又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又 AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
考点一 线面垂直的判定与性质 [全析考法过关]

（2）延长B1A1与BM交于N，连结C1N. ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1. ∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1. ∴C1N⊥C1B1. ∵截面NB1C1⊥侧面BB1C1C， 面NB1C1∩面BB1C1C=C1B1， ∴C1N⊥侧面BB1C1C.∵C1N 面C1NB， ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C. 即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条直 线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与 平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一 条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③ 不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它 们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④ 正确. 答案 D
4.（2008·湖南文，5）已知直线m、n和平面α、
题型三 线面角的求法 【例3】（12分）如图所示，在四棱锥P—
ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC， ∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. （1）求证：PB⊥DM； （2）求BD与平面ADMN所成的角. 思维启迪 （1）易证PB⊥平面ADMN. （2）构造直线和平面所成的角，解三角形. （1）证明 ∵N是PB的中点，PA=AB， ∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
(2)连接PM、CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD, ∴AP=AD. ∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∴PA=BC. 又∵M为AB的中点，∴AM=BM. 而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM. 又N为PC的中点，∴MN⊥PC. 由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C, ∴MN⊥平面PCD. 探究提高 垂直问题的证明，其一般规律是“由已 知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已 知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结 论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综 合的思路结合起来.