导数的应用问题常见类型及解法

高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。

方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。

题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。

方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。

例题：已知函数f(x)=x-3x。

1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。

提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。

将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。

答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。

1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。

（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。

题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。

方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。

（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。

（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。

导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。

二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。

2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a+431.导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)[ )()(x g x f ]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。

导数常考题型归纳总结导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的工具。

在高中数学中，导数是一个常考的内容。

为了帮助同学们更好地掌握导数的相关知识，本文将对导数常考题型进行归纳总结，以便同学们能够更好地应对考试。

一、常数函数求导常数函数的导数始终为零。

这个结论是很容易推导出来的，因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为零，所以导数为零。

二、幂函数求导对于幂函数（如x的n次方），我们可以利用求导的定义直接推导求导公式。

设y=x^n，其中n为常数，则有：dy/dx = n*x^(n-1)。

例如，对于y=x^2，求导后得到dy/dx=2x。

对于y=x^3，求导后得到dy/dx=3x^2。

这个公式是求解幂函数导数的基础公式，需要同学们熟练掌握。

三、指数函数求导对于指数函数（如e^x），其导数仍然是指数函数本身。

即dy/dx = e^x。

这个结论在微积分中是非常重要的，往往与幂函数求导相结合，可以解决很多复杂问题。

四、对数函数求导对于对数函数（如ln(x)），其导数可以通过指数函数的导数求出。

根据求导的链式法则，我们可以得到对数函数的导数公式：dy/dx = 1/x。

这个公式对于解决对数函数的导数问题非常有用。

五、三角函数求导对于三角函数（如sin(x)和cos(x)），它们的导数也具有一定的规律性。

我们可以根据求导的定义和三角函数的性质，得到以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)；cos(x)的导数为-sin(x)；tan(x)的导数为sec^2(x)；cot(x)的导数为-csc^2(x)。

这些公式可以根据求导的定义进行推导，同学们需要牢记。

六、复合函数求导复合函数指的是由多个函数复合而成的函数。

对于复合函数的导数求解，我们可以利用链式法则。

链式法则的公式为：如果y=f(u)，u=g(x)，则有dy/dx = dy/du * du/dx。

通过链式法则，我们可以将复合函数的导数求解转化为简单函数的导数求解。

高中数学导数题解题技巧导数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

在解题过程中，熟练掌握导数的相关技巧是非常重要的。

本文将从常见的导数题型入手，介绍一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对导数题。

1. 导数的定义首先，我们需要了解导数的定义。

导数表示函数在某一点处的变化率，可以用极限的概念表示。

对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以表示为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h这个定义可以帮助我们计算函数在某一点处的导数。

2. 导数的基本性质在解题过程中，我们需要掌握导数的一些基本性质。

首先是导数的线性性质，即对于函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有：[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)[a*f(x)]' = a*f'(x)[f(x)*g(x)]' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)这些性质可以帮助我们简化导数的计算过程。

3. 常见的导数题型接下来，我们将介绍一些常见的导数题型，并给出相应的解题技巧。

3.1 多项式函数的导数对于多项式函数f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_1*x + a_0，其中a_i为常数，n为正整数，导数可以通过对每一项求导得到。

例如，对于函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1，求导后得到：f'(x) = 6x + 2在求导过程中，注意常数项的导数为0。

3.2 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，导数可以通过对指数部分求导得到。

例如，对于函数f(x) = 2^x，求导后得到：f'(x) = ln(2) * 2^x其中ln表示自然对数。

3.3 对数函数的导数对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，导数可以通过对函数取导数得到。

导数的综合应用类型一：导数的几何意义及应用例1.已知曲线3431)(3+=x x f 。

（1）求曲线在点P （2，4）处的切线方程； （2）求曲线过点P （2，4）处的切线方程；（3）求一满足斜率为1的切线方程。

变式1.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.2．设函数f(x)＝ax －b x，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．2. (2010湖北)设函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.y ＝f(x)在P(0，f(0))处切线方程为y ＝1.(1)确定b 、c 的值；(2)设y ＝f(x)在点(x 1，f(x 1))及(x 2，f(x 2))处的切线都过点(0,2)．证明：当x 1≠x 2时， 12()()f x f x ''≠；(3)若过点(0,2)可作曲线y ＝f(x)的三条不同切线，求a 的取值范围．类型二： 利用导数求解函数的单调性问题例2. 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．变式1.已知函数x a x x f ln 21)(2-=)(R a ∈ （1）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为b x y +=，求b a ,的值；（2）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围。

2．已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；（2）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．类型三：求函数的极值问题例3.已知函数f(x)＝kx ＋1x 2＋c(c ＞0，且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x ＝－c ．(1)求函数f(x)的另一个极值点；(2)求函数f(x)的极大值M 和极小值m ，并求M －m≥1时k 的取值范围．变式1. 函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)有两个极值点x 1，x 2，则x 1·x 2＝ （ ）A ．9B ．－9C ．1D ．－12.已知函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1，且x 1，x 2是f(x)的两个极值点， 0＜x 1＜1＜x 2＜3，则a 的取值范围_________.3．设函数f(x)＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a≥1.(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的极值.类型四：求解函数的最值问题例4.已知a 是实数，函数f(x)＝x 2(x －a)。

导数应用的题型与解题方法一、专题概述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

二、知识整合1．导数概念的理解．2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

3．要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数。

也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。

整个过程可简记为分解——求导——回代。

熟练以后，可以省略中间过程。

若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。

三、例题分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(l i m 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。

关于导数应用题型解题方法
高考数学题型归纳：导数应用题型解题方法导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：
1.导数的常规问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。

2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考(微博)中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

知识整合
1.导数概念的理解。

2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。

复合函数的'求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

3.要能正确求导，必须做到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则,高中物理，复合函数的求导法则。

(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

导数大题10种主要题型（一）预习案题型一：构造函数1.1 “比较法”构造函数例1．已知函数f（x）＝e x﹣ax（e为自然对数的底数，a为常数）的图象在点（0，1）处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）求证：当x＞0时，x2＜e x．1.2 “拆分法”构造函数例2．设函数f（x）＝ae x lnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．1.3 “换元法”构造函数例3．已知函数f（x）＝ax2+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：当n＞m＞0时，lnn﹣lnm＞﹣；（Ⅲ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求实数k的最大值．1.4 “二次（甚至多次）”构造函数例4．已知函数f（x）＝e x+m﹣x3，g（x）＝ln（x+1）+2．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．题型二：隐零点问题例1．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）．（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．例2．（Ⅰ）讨论函数f（x）＝e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）＝（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．导数大题10种主要题型（一）预习案答案例1． 解：（1）f ′（x ）＝e x ﹣a ，∵f ′（0）＝﹣1＝1﹣a ，∴a ＝2．∴f （x ）＝e x ﹣2x ，f ′（x ）＝e x ﹣2．令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln 2．当x ＜ln 2时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；当x ＞ln 2时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．∴当x ＝ln 2时，函数f （x ）取得极小值，为f （ln 2）＝2﹣2ln 2，无极大值．（2）证明：方法一（作差法）令g （x ）＝e x ﹣x 2，则g ′（x ）＝e x ﹣2x ，由（1）可得：g ′（x ）＝f （x ）≥f （ln 2）＞0，∴g （x ）在R 上单调递增，因此：x ＞0时，g （x ）＞g （0）＝1＞0，∴x 2＜e x ．方法二（作商法）：即可只需证1)(,2)(<=x h e x x h x例2． 解：（Ⅰ） 函数f （x ）的定义域为（0，+∞），， 由题意可得f （1）＝2，f '（1）＝e ，故a ＝1，b ＝2.（Ⅱ）证明：方法一（凹凸反转法）由（Ⅰ）知，，从而f （x ）＞1等价于，设函数g （x ）＝xlnx ，则g '（x ）＝1+lnx ，所以当时，g '（x ）＜0， 当时，g '（x ）＞0，故g （x ）在单调递减，在单调递增，从而g （x ）在（0，+∞）的最小值为．设函数，则h '（x ）＝e ﹣x （1﹣x ），所以当x ∈（0，1）时，h '（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，h '（x ）＜0，故h （x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从而h （x ）在（0，+∞）的最大值为．综上：当x ＞0时，g （x ）＞h （x ），即f （x ）＞1．方法二（放缩法）例3． 解：（Ⅰ）∵f （x ）＝ax 2+xlnx ，∴f ′（x ）＝2ax +lnx +1，∵切线与直线x +3y ＝0垂直，∴切线的斜率为3，∴f ′（1）＝3，即2a +1＝3，故a ＝1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）＝x 2+xlnx ，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞）， ∵f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，∴当x ＞1时，有f ′（x ）＞f ′（1）＝3＞0，∴函数f （x ）在区间（1，+∞）上单调递增，∵n ＞m ＞0，∴，∴f （）＞f （1）＝1即，∴lnn ﹣lnm ＞； （Ⅲ）由（Ⅰ）知f （x ）＝x 2+xlnx ，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞）， 令g （x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞），则，x ∈（0，+∞），由g ′（x ）＞0对x ∈（0，+∞），恒成立，故g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又∵011121)1(222<-=+-=e e e g ，而＞0， ∴存在x 0∈，使g （x 0）＝0 ∵g （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴当x ∈（0，x 0）时，g （x ）＝f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，x 0）上单调递减；当x ∈（x 0，+∞）时，g （x ）＝f ′（x ）＞0，f （x ）在（x 0，+∞）上单调递增；∴f （x ）在x ＝x 0处取得最小值f （x 0）∵f （x ）＞k 恒成立，所以k ＜f （x 0）由g （x 0）＝0得，2x 0+lnx 0+1＝0，所以lnx 0＝﹣1﹣2x 0，∴f （x 0）＝＝＝﹣＝﹣，又，∴f （x 0）∈， ∵k ∈Z ，∴k 的最大值为﹣1．例4． 解：（1）函数f （x ）＝e x +m ﹣x 3的导数为f ′（x ）＝e x +m ﹣3x 2，在点（0，f （0））处的切线斜率为k ＝e m ＝1，解得m ＝0；（2）证明：f （x ）＞g （x ）﹣x 3即为e x +m ＞ln （x +1）+2．由y ＝e x ﹣x ﹣1的导数为y ′＝e x ﹣1，当x ＞0时，y ′＞0，函数递增；当x ＜0时，y ′＜0，函数递减．即有x ＝0处取得极小值，也为最小值0．即有e x ≥x +1，则e x +m ≥x +m +1，由h（x）＝x+m+1﹣ln（x+1）﹣2＝x+m﹣ln（x+1）﹣1，h′（x）＝1﹣，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．即有x＝0处取得最小值，且为m﹣1，当m≥1时，即有h（x）≥m﹣1≥0，即x+m+1≥ln（x+1）+2，则有f（x）＞g（x）﹣x3成立．例5．（Ⅰ）解：∵，x＝0是f（x）的极值点，∴，解得m＝1．所以函数f（x）＝e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+1）+e x＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）＝0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m＝2时f（x）＞0．当m＝2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）＝0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而当x＝x0时，f（x）取得最小值．由f′（x0）＝0，得，ln（x0+2）＝﹣x0．故f（x）≥＝＞0．综上，当m≤2时，f（x）＞0．例6．解：（1）证明：f（x）＝f'（x）＝e x（）＝∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增∴x＞0时，＞f（0）＝﹣1即（x﹣2）e x+x+2＞0（2）g'（x）＝＝＝＝，a∈[0，1），由（1）知，f（x）+a单调递增，对任意的a∈[0，1），f（0）+a＝a﹣1＜0，f（2）+a＝a≥0，因此存在唯一的t∈（0，2]，使得f（t）+a＝0，当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；h（t）＝＝＝记k（t）＝，在t∈（0，2]时，k'（t）＝＞0，故k（t）单调递增，所以h（a）＝k（t）∈（，]．导数大题10种主要题型（二）预习案题型三：恒成立、存在性问题3.1 单变量恒成立、存在性问题例1．已知函数f （x ）＝xlnx ，g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣3．（1）求函数f （x ）在[t ，t +2]（t ＞0）上的最小值；（2）若存在x 0∈[，e ]（e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…），使不等式2f （x 0）≥g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．3.2 双变量恒成立、存在性问题极值点偏移问题：由于函数左右增减速率不同导致函数图像失去对称性。

导数题型总结1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法-----结合图像分析5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。

例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数得（1）在区间上为“凸函数”，则在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：分离变量法：∵当时, 恒成立,当时, 恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数”则等价于当时恒成立变更主元法再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）例2：设函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.解：（Ⅰ）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b.（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

上是增函数. （9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系例3：已知函数图象上一点处的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

导数的综合应用题型及解法题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；题型二：利用导数几何意义求切线方程2．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值3．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围4．已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式；(2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；5．设函数()()()f x x x a x b =--．（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点． 题型四：利用导数研究函数的图象6．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）（A ） （B ） （C ） （D ）7．函数的图像为14313+-=x x y ( A )8．方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x ( B )A 、0B 、1C 、2D 、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围9．设函数.10,3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f（1）求函数)(x f 的单调区间、极值.（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.10．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对x ?〔－1，2〕，不等式f （x ）?c2恒成立，求c 的取值范围。

应用导数求解实际问题的例子以下是一些应用导数求解实际问题的例子：1. 假设一张长方形的长为x，宽为y，且其周长为20个单位长度。

求该长方形的最大面积。

解析：题目要求我们求最大面积，这意味着需要优化函数A=xy，其中x和y都是长度单位。

由于周长为20个单位长度，可以写出等式2(x+y)=20，即x+y=10。

这个等式可以用来解出一个变量，例如，y=10-x。

现在我们可以将y代入面积函数中，从而得到A=x(10-x)=10x-x^2。

此时，我们需要求导并令导数等于零，以便找到函数的极值点。

求导后得到A' = 10 - 2x，令A'等于零，可以求得x=5，这是A的最大值点。

将x=5代入原函数，得到A=25，因此该长方形的最大面积为25平方单位长度。

2. 假设你正在绕椭圆形的操场跑步，其中长轴为6个单位长度，短轴为4个单位长度。

你的速度是每秒8个单位长度，且沿椭圆形跑道以正方向移动。

在点(2,0)处你的方向是多少度？解析：该问题需要我们求解椭圆形上的切线，因此需要将椭圆的参数方程与速度向量表示为函数，然后取导数。

对于该椭圆形，参数方程为x=3cos(t)，y=2sin(t)，其中t是参数。

速度向量可以表示为v=<dx/dt, dy/dt>，即v=<-3sin(t), 2cos(t)>。

现在，在点(2,0)处，即当t=0时，我们可以求出速度向量的大小为2sqrt(5)个单位长度。

椭圆形上的切线的斜率为dy/dx，可以通过求解dy/dt和dx/dt的比率来得到。

因此，dy/dx=dy/dt/dx/dt= (2cos(t)) / (-3sin(t))。

将t=0代入该公式，可以求得dy/dx=-2sqrt(5)/3。

最后，用反正切函数找到与这个斜率相对应的角度，这个角度就是切线的方向角。

因此，切线的方向角为arctan(-2sqrt(5)/3)≈-68.2度。

由于题目中要求以正方向为基础，因此角度为360-68.2≈291.8度。

导数压轴题题型归纳及处理技巧以下是 8 条关于导数压轴题题型归纳及处理技巧的内容：1. 哎呀，导数压轴题里有一种常见的题型就是求最值问题呀！就像在登山的时候，要找到那最高的山峰！比如函数y=x³-3x²+5，你能快速找到它的最值吗？2. 嘿，还有判断函数单调性的题型呢！这就像开汽车，要清楚什么时候加速什么时候减速。

像函数 f(x)=xlnx，你能判断它的单调性吗？3. 哇塞，导数里那种恒成立问题也很让人头疼啊！就好比要让一个球一直保持在一个固定的位置。

比如f(x)≥a 在某个区间恒成立，这可得好好琢磨琢磨怎么处理哦！像函数 f(x)=e^x+x，若f(x)≥kx 恒成立，你能搞定吗？4. 哦哟，导数压轴题里的不等式证明可不好惹呢！就像是要跨过一条很难跨的沟。

比如要证明某个不等式成立，怎么把导数的知识用上呀？比如 x>0 时，证明 e^x>1+x，你知道怎么下手吗？5. 嘿呀，有一种题型是利用导数求曲线的切线方程呢！这就像在给一条曲线画上漂亮的切线。

比如给定曲线y=x²，在某点处的切线怎么求呢，你会吗？6. 哇哦，那些与极值点有关的题型也挺有趣的嘛！就如同在一群小朋友里找到那个最特别的。

比如给定一个函数，怎么去找它的极值点呢？像函数g(x)=x³-3x，它的极值点在哪儿呀？7. 哈哈，还有根据导数信息画函数图象的题型呢！这可像是根据描述去画一幅神秘的画。

比如知道了导数的一些情况，那函数图象大概长啥样呢？你能想象出来吗？8. 哎呀呀，最后还有一类是把导数和其他知识综合起来的题型呢！这就像把不同的拼图块拼成一幅完整的画。

比如和数列结合起来，那可真是够有挑战性呢！像这样的综合题，你能勇敢挑战吗？我觉得导数压轴题虽然难，但只要掌握了这些题型和处理技巧，多练习多总结，就一定能攻克它！。

导数常见题型与解题方法总结导数题型总结：1.分离变量：在使用分离变量时，需要特别注意是否需要分类讨论（大于0，等于0，小于0）。

2.变更主元：已知谁的范围就把谁作为主元。

3.根分布。

4.判别式法：结合图像分析。

5.二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系；（2）端点处和顶点是最值所在。

基础题型：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：1.令f'(x)=0，得到两个根。

2.画两图或列表。

3.由图表可知。

另外，变更主元（即关于某字母的一次函数）时，已知谁的范围就把谁作为主元。

例1：设函数y=f(x)在区间D上的导数为f'(x)，f'(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)<___成立，则称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数”。

已知实数m是常数，f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62.1.若y=f(x)在区间[0,3]上为“凸函数”，求m的取值范围。

解法一：从二次函数的区间最值入手，等价于g(x)<0在[0,3]上恒成立，即g(0)<0且g(3)<0.因此，得到不等式组-3<m<2.解法二：分离变量法。

当x=0或x=3时，g(x)=-3<0.因此，对于0≤x≤3，g(x)<___成立。

根据分离变量法，得到不等式组-3<m<2.2.若对满足m≤2的任何一个实数m，函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值。

由f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62得到f'(x)=(-4x^3+3mx^2+6x)/62，f''(x)=(-12x^2+6mx+6)/62.因为f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”，所以f''(x)>0在(a,b)___成立。

因此，得到不等式组a≤x≤b和-12a^2+6ma+6>0，即a≤x≤b且m≤2或a≤x≤b且m≥1/2.由于m≤2，所以a≤x≤b且m≤2.根据变更主元法，将F(m)=mx-x^2+3视为关于m的一次函数最值问题，得到不等式组F(-2)>0和F(2)>0，即-2x-x^2+3>0且2x-x^2+3>0.解得-1<x<1.因此，b-a=2.Ⅲ）由题意可得，对任意x∈[1,4]，有f(x)≤g(x)代入g(x)得：x3+(t-6)x2-(t+1)x+3≥x3+(t-6)x2/2化___：x2(t-7/2)-x(t+1/2)+3≥0由于对于任意x∈[1,4]，不等式都成立，所以判别式≤0：t+1/2)2-4×3×(t-7/2)≤0化___：t2-10t+19≤0解得：1≤___≤9综上所述，a=-3，b=1/2，f(x)的值域为[-4,16]，t的取值范围为1≤t≤9.单调增区间为：$(-\infty,-1),(a-1,+\infty)$和$(-1,a-1)$。

高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。

方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。

题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。

方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。

将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。

（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33-=（1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。

答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。

2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。

方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。

（)(,22x f x ）；进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例 求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。

（答案02=--e y x e ）练习 1.求曲线2x y =与曲线2)1(--=x y 的公切线方程。

导数的应用概述导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的应用广泛，涉及到许多领域，如物理学、经济学、工程学等。

本文将对导数的应用进行概述，介绍几个常见的应用场景。

1. 最值问题导数可以用来求函数的最值。

我们知道，在一个可导函数的极值点处，导数为零或不存在。

因此，通过求函数的导数，并解方程找到导数为零的点，我们可以确定函数的极值点。

然后通过二阶导数的符号来判断极值点的类型，是极大值还是极小值。

例如，我们有一个函数f(x)表示某商品的需求曲线，通过求导并解方程f'(x)=0，可以找到最大需求和最小需求的价格。

2. 切线与法线导数还可以用来求函数图像上的切线和法线。

切线是函数图像在某点的斜率，而斜率恰好就是该点处的导数值。

因此，我们可以通过求导得到函数在某点处的导数，从而得到该点的切线。

例如，我们有一个位置函数s(t)，表示某物体在时间t时的位置。

通过求导得到速度函数v(t)，我们可以知道在任意时间t时物体的速度，进而得到该时刻物体运动轨迹上的切线。

3. 函数图像的变化趋势函数的导数还可以用来描述函数图像的变化趋势。

根据导数的正负性，可以判断函数在某一区间上是递增还是递减。

例如，对于函数f(x)，如果在某区间上导数大于零，则说明函数在该区间上递增；如果导数小于零，则说明函数在该区间上递减。

这样，我们就可以通过函数的导数来判断其图像的升降性，并画出函数的大致图像。

4. 曲线的凹凸性导数的二阶导数可以判定函数图像上的曲线是凹还是凸。

具体地说，如果函数的二阶导数大于零，则函数图像是凹的；如果二阶导数小于零，则函数图像是凸的。

例如，对于函数f(x)，我们可以通过计算它的二阶导数f''(x)来判断函数图像在某一区间上的凹凸性。

这个判断对于模型的建立和问题的分析具有重要作用。

综上所述，导数作为微积分的重要工具，具有广泛的应用。

通过求导，我们可以解决最值问题、求切线和法线、描述函数图像的变化趋势以及判断曲线的凹凸性等。

答案详解：本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）求出比较其与的大小，得到的单调性表，于是得到的极值。

（2）将代入到中，并求得当时，此时恒成立，即在单调递增，同理可以得到在上为增函数，则原不等式可化为在上恒成立，令，对其求导得知若为减函数时其导数恒小于，便可得到的取值范围。

（3）若存在，使得假设成立，也即在上不是单调增或单调减，故，对求导得到其极小值点为，由于解得此时，此时需证明当，使得即可，此时可取，发现成立，故的取值范围为。

答案详解（Ⅰ），由是的极值点得，所以。

于是，定义域为，，函数在上单调递增，且。

因此，当时，；当时，。

所以，在上单调递减，在上单调递增。

（Ⅱ）当，时，，故只需要证明当时，。

当时，函数在单调递增，又，，故在有唯一实根，且。

当时，；当时，；从而当时，取得最小值。

由得：，，故。

综上：当时，。

解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断。

（Ⅰ）先对函数求导，得导函数，由题，则可得的值，当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。

（Ⅱ）由分析知，只需证明当时，，此时通过分析函数单调性，求得即可得证。

例题5：函数。

（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；（Ⅱ）证明：当时，。

答案详解（Ⅰ）的定义域为，（）。

当时，，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增。

又，当满足且时，，故当时，存在唯一零点。

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；当时，。

故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为。

由于，所以。

故当时，。

解析:本题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在函数研究中的应用。

（Ⅰ）求导得出的表达式，根据其表达式，对进行分类讨论。

当时，可知没有零点；当时，可知单调递增，且存在使得而，因此存在唯一零点。

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设的最小值在时取到，最小值为。

写出的表达式，再运用均值不等式即可得出。

题型3：先构造，再赋值，证明和式或积式不等式例题：已知函数。

一、导数应用1． 单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(<x ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 二、导数应用的细节1、导数与函数的单调性的关系㈠0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。

如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

㈡0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。

∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。

㈢0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。

)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。

当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。

∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。

㈣单调区间的求解过程，已知)(x f y =（1）分析)(x f y =的定义域; （2）求导数 )(x f y '='（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间。

2021年高考数学导数应用题型及解题方法精讲答题技巧
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，整理了导数应用题型及解题方法，请考生参考。

1.导数的常规问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。

2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

二、知识整合
1.导数概念的理解。

2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。

复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

3.要能正确求导，必须做到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

导数应用题型及解题方法就为大家分享到这里，希望考生可以认真阅读理解。

第1讲直接讨论法知识与方法1.直接讨论法处理恒成立问题,是指对题中给出的函数(含有参数)直接求导,通过对参数的分类讨论,确定函数的单调性,得出函数的最值(或值域),进而求得参数的取值范围.核心思想是:若函数f(x)存在最大(小)值,则:(1)f(x)≥0恒成立等价于f(x)min≥0;(2)f(x)≤0恒成立等价于f(x)max≤0.2.直接讨论法研究恒成立问题,求解的关键在于确定函数的单调区间.一般地,可根据导数的正负得到函数的单调区间.常用的手段是对导数进行因式分解或利用求根公式求根;当极值点不可求时,常利用零点存在性定理,确定导数零点的范围之后再进行讨论.3.用导数研究含参函数的单调性,一般要进行分类讨论,其一般步骤为:(1)先求函数的定义域;(2)求导函数(通分、因式分解,便于讨论导函数的正负);(3)先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况;(4)再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界);(5)点睛意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并.典型例题第1类可求最值型【例1】已知函数f(x)=e x(e x−a)−a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(−∞,+∞),f′(x)=2e2x−ae x−a2=(2e x+a)(e x−a),①若a=0,则f(x)=e2x在(−∞,+∞)上单调递增.②若a>0,则由f′(x)=0得x=lna.当x∈(−∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0, 故f(x)在(−∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.③若a<0,则由f′(x)=0得x=ln(−a2).当x∈(−∞,ln(−a2))时,f′(x)<0;当x∈(ln(−a2),+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(−∞,ln(−a2))单调递减,在(ln(−a2),+∞)单调递增.(2) ①若a=0,则f(x)=e2x>0,满足题意;②若a>0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=−a2lna.从而当且仅当−a2lna≥0,解得0<a≤1,即0<a≤1时,f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln(−a2)时,f(x)取得最小值,最小值为f (ln (−a 2))=a 2[34−ln (−a 2)]. 从而,当且仅当a 2[34−ln (−a 2)]≥0,即−2e 34≤a <0时,f (x )≥0.综上,a 的取值范围为[−2e 34,1].【点睛】求导之后,要有因式分解的意识.f ′(x )=2e 2x −ae x −a 2=(2e x +a )(e x −a )这个式子十分关键.令f ′(x )=0得2e x +a =0或e x −a =0,即a =−2e x 或a =e x .点睛意到e x >0,显然接下来需要分类讨论,讨论的临界点就是a =0.第二类对数靠边走【例2】已知函数f (x )=(x +1)lnx −a (x −1).(1)当a =4时,求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0,求a 的取值范围.【解析】(1)f (x )的定义域为(0,+∞).当a =4时,f (x )=(x +1)lnx −4(x −1),f ′(x )=lnx +1x −3,f ′(1)=−2,f (1)=0.曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +y −2=0.(2)当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0等价于lnx −a (x−1)x+1>0. 今g (x )=lnx −a (x−1)x+1,则g ′(x )=1x −2a (x+1)2=x 2+2(1−a )x+1x (x+1)2,g (1)=0, ①当a ≤2,x ∈(1,+∞)时,x 2+2(1−a )x +1≥x 2−2x +1>0,故g ′(x )>0,g (x )在x ∈(1,+∞)上单调递增,因此g (x )>g (1)=0;②当a >2时,令g ′(x )=0得x 1=a −1−√(a −1)2−1,x 2=a −1+√(a −1)2−1,由x 2>1和x 1x 2=1得x 1<1,故当x ∈(1,x 2)时,g ′(x )<0,g (x )在x ∈(1,x 2)单调递减,因此g (x )<g (1)=0,故此时f (x )>0不成立.综上,a 的取值范围是(−∞,2].【点睛】第二问将不等式进行变形,让对数变成单独一项,再对新函数求导,对数便消失了.利用“对数靠边走”,只需一次求导就可以往下做,可以避免多次求导的麻烦.对于第二问,分类讨论的标准其实不止受判别式影响,还需要根据定义域及二次结构的正负,进行进一步的整合.本题亦可考虑分离参数来处理,由f (x )=(x +1)lnx −a (x −1)>0,分离参数a ,可得a <(x+1)lnx x−1,令ℎ(x )=(x+1)lnx x−1,则ℎ′(x )=x−2lnx−1x (x−1)2,再令g (x )=x −2lnx −1x ,由g ′(x )=(x−1)2x 2>0对任意x ∈(1,+∞)恒成立,可知g (x )在x ∈(1,+∞)上单调递增,于是g (x )>g (1)=0,即有ℎ′(x )>0,所以g (x )在(1,+∞)上单调递增,点睛意到ℎ(1)不存在,由洛必达法则,可得lim x→1(x+1)lnx x−1=lim x→1lnx+x+1x 1=2,则ℎ(x )>2,所以a 的取值范围是(−∞,2].第三类指数找朋友【例3】已知函数f (x )=e x −sinx −cosx ,证明:当x >−5π4时,f (x )≥0. 【解析】(1)f (x )≥0⇔sinx+cosx e x ≤1. 令ℎ(x )=sinx+cosxe x ,ℎ′(x )=−2sinxe x.(1)当x ∈(−5π4,−π)时,ℎ′(x )<0;当x ∈(−π,0)时,ℎ′(x )>0;当x ∈(0,π)时,ℎ′(x )<0.又ℎ(−5π4)=0,ℎ(0)=1,结合图像可知:当x ∈(−5π4,π)时,ℎ(x )≤ℎ(0)=1,故f (x )≥0恒成立.(2)当x ∈[π,+∞)时,e x ≥e π,而sinx +cosx ≤√2,e π>√2,所以e x ≥sinx +cosx ,则有f (x )≥0.综上,得证.【点睛】对于含指数型函数的不等式,通常要让一个多项式函数乘以或除以指数型函数.“指数找朋友”,往往很容易求出极值点,从而避免多次求导的麻烦.第四类三角带参型【例4】已知点P (e x x ,1),Q (x,mx +sinx ),O 为坐标原点,设函数f (x )=OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ). (1)当m =−2时,判断函数f (x )在(−∞,0)上的单调性;(2)若x ≥0时,不等式f (x )≥1恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】由已知,f (x )=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e x +mx +sinx . (1)当m =−2时,f (x )=e x −2x +sinx,f ′(x )=e x −2+cosx ,当x <0时,e x <1,又cosx ≤1,从而f ′(x )=e x −2+cosx <0,所以函数f (x )在(−∞,0)上单调递减.(2)解法1:①当x=0时,f(x)=1≥1,对于m∈R,f(x)≥1恒成立;②当x>0时,f′(x)=e x+m+cosx,设g(x)=e x+m+cosx,则g′(x)=e x−sinx,因为e x>1,又sinx≤1,所以g′(x)=e x−sinx>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(0)=m+2,所以g(x)>m+2,即f′(x)在(0,+∞)上单调递增,且f′(x)>m+2.(i)当m≥−2时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(0)=1,所以f(x)≥1恒成立;(ii)当m<−2时,f′(0)=m+2<0,因为f′(x)在(0,+∞)上单调递增,又当x=ln(2−m)时,f′(x)=e ln(2−m)+m+cos(ln(2−m))=2+cos(ln(2−m))>0,则存在x0∈(0,+∞),对任意x∈(0,x0),有f′(x)<0恒成立,故f(x)在(0,x0)上单调递减,所以,当x∈(0,x0)时,f(x)<f(0)=1,不合题意. 综上,所求实数m的取值范围是[−2,+∞).解法2:端点效应令F(x)=e x+mx+sinx−1,因为F(0)=0,所以F(x)≥F(0)恒成立.F′(x)=e x+m+cosx,所以F′(0)≥0,即m≥−2.这是必要条件.下证:当m≥−2时,f(x)≥1(x≥0)恒成立.因为x≥0,m≥−2,所以e x+mx+sinx−1≥e x−2x+sinx−1.令g(x)=e x−2x+sinx−1,则g′(x)=e x−2+cosx,g′′(x)=e x−sinx≥e x−1>0,所以g′(x)单调递增,所以g′(x)>g′(0)=0,所以g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0.所以e x+mx+sinx−1≥g(x)≥0,从而m≥−2符合题意.综上,m的取值范围是[−2,+∞).强化训练1.已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=2ae2x+(a−2)e x−1=(ae x−1)(2e x+1),(i)若a≤0,则f′(x)<0,所以f(x)在(−∞,+∞)单调递减;(ii)若a>0,则由f′(x)=0得x=−lna.当x∈(−∞,−lna)时,f′(x)<0;当x∈(−lna,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(−∞,−lna)单调递减,在(−lna,+∞)单调递增.(2)(i)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点+lna. (ii)若a>0,由(1)知,当x=−lna时,f(x)取得最小值f(−lna)=1−1a(1)当a=1时,由于f(−lna)=0,故f(x)只有一个零点;+lna>0,即f(−lna)>0,故f(x)没有零点;(2)当a∈(1,+∞)时,由于1−1a+lna<0,即f(−lna)<0.(3)当a∈(0,1)时,1−1a又f(−2)=ae−4+(a−2)e−2+2>−2e−2+2>0,故f(x)在(−∞,−lna)有一个零点.−1),设正整数n0满足n0>ln(3a则f (n 0)=e n 0(ae n 0+a −2)−n 0>e n 0−n 0>2n 0−n 0>0.由于ln (3a −1)>−lna ,因此f (x )在(−lna,+∞)有一个零点.综上,若f (x )有两个零点,则a 的取值范围为(0,1).2.已知函数f (x )=e 2x +(a +1)e x −(a 2+2a +1)x .(1)若a =−1,求函数f (x )的图象在点x =0处的切线方程;(2)若f (x )≥0,求a 的取值范围.【解析】(1)当a =−1时,f (x )=e 2x ,所以f ′(x )=2e 2x ,所以k =f ′(0)=2,f (0)=e 0=1又因为切点为(0,1),故所求的切线方程为y =2x +1(2)f ′(x )=2e 2x +(a +1)e x −(a 2+2a +1)=(2e x −a −1)(e x +a +1)(1)若a +1=0,即a =−1,则f (x )=e 2x ,在R 上单调递增,所以f (x )≥0.(2)若a +1>0,即a >−1,则由f ′(x )=0得x =lna+12, 当x ∈(−∞,ln a+12)时,f ′(x )<0;当x ∈(lna+12,+∞)时,f ′(x )>0, 所以f (x )在x ∈(−∞,ln a+12)单调递减,在x ∈(ln a+12,+∞)单调递增. 所以f (x )最小值为f (lna+12)=(a +1)2(34−ln a+12)≥0, 即−1<a ≤2e 34−1时,f (x )≥0.(3)若a +1<0,即a <−1,则由f ′(x )=0得x =ln (−a −1),当x ∈(−∞,ln (−a −1))时,f ′(x )<0;当x ∈(ln (−a −1),+∞)时,f ′(x )>0, 故f (x )在(−∞,ln (a −1))单调递减,在(ln (−a −1),+∞)单调递增,所以当x =ln (−a −1)时,f (x )取得最小值,最小值为f(ln (−a −1))=−(a +1)2ln (−a −1);所以−(a+1)2ln(−a−1)≥0,即−1>a≥−2时,f(x)≥0.综上所述:a的取值范围为[−2,2e 34−1].【点睛】第二问通过求导判断其单调性,发现a+1的变化影响其单调性,分别讨论其大于、等于、小于0的情况即可.3.已知函数f(x)=(x−a−1)e x−1−12x2+ax(x>0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a≤2时,若f(x)无最小值,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=(x−a−1)e x−1−12x2+ax(x>0),所以f′(x)=(x−a)(e x−1−1)(x>0).令f′(x)=0,得x=a,或x=1.当a≤0时,由f′(x)>0,得x>1;由f′(x)<0,得0<x<1,则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.当0<a<1时,由f′(x)>0,得0<x<a或x>1;由f′(x)<0,得a<x<1,则f(x)在(a,1)上单调递减,在(0,a)和(1,+∞)上单调递增.当a=1时,f′(x)≥0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a>1时,由f′(x)>0,得0<x<1,或x>a;由f′(x)<0,得1<x<a,则f(x)在(1,a)上单调递减,在(0,1)和(a,+∞)上单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当0<a<1时,f(x)在(a,1)上单调递减,在(0,a),(1,+∞)上单调递增;当a=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>1时,f(x)在(1,a)上单调递减,在(0,1),(a,+∞)上单调递增.(2)当a≤0时,由(1)可知f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则f(x)有最小值f(1)=−12,故a≤0不符合题意;当0<a<1时,由(1)可知,f(x)在(a,1)上单调递减,在(0,a)和(1,+∞)上单调递增,因为f(x)无最小值,所以f(0)<f(1),即−a+1e <−12,解得e2−1<a<1;当a=1时,由(1)可知,f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)无最小值,所以a=1符合题意;当1<a≤2时,由(1)可知f(x)在(1,a)上单调递减,在(0,1),(a,+∞)上单调递增. 因为f(x)无最小值,所以f(0)<f(a),即−a+1e <12a2−e a−1,即e a−1−12a2−a+1e<0.设g(x)=e x−1−12x2−x+1e(1<x≤2),g′(x)=e x−1−x−1e(1<x≤2).设ℎ(x)=g′(x)=e x−1−x−1e(1<x≤2),则ℎ′(x)=e x−1−1>0在(1,2]上恒成立.故ℎ(x)在(1,2]上单调递增,即g′(x)在(1,2]上单调递增.因为g′(1)=−1e <0,g′(2)=e−2−1e>0,所以存在唯一的x0∈(1,2],使得g′(x0)=0.故g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,2]上单调递增.30因为g(1)=12−2e=e−42e<0,g(2)=e−2−3e<0,所以g(x)<0在(1,2]恒成立,即e a−1−12a2−a+1e<0在(1,2]上恒成立,即1<a≤2符合题意.综上,实数a的取值范围为(e2−1,2].。