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第二章 实数专项复习

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第二章 实数专项复习 学习目标： 1、加深理解无理数、平方根、立方根和实数的概念及意义； 2、能利用估算实数的大小； 3、掌握实数运算和简单的根式化简，解决相关的问题。 知识整理 【知识点1】无理数 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数； 注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2. 常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.01001000100001„（两个1之间依次多1个0）等； （3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数； （4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2π；

（5）开方开不尽的数，如:2，5,39等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等； 无理数也不一定带根号，如：π）。 3. 有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例1：（1）下列各数：①3.141、②0.33333„、③57、④π、⑤25.2、⑥32、⑦0.3030003000003„（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125„，0.1010010001„,-π，4，32其中无理数有( )个。

【知识点2】数的开方 1、算术平方根

（1）定义：如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为： 云图教育——让学习更有效 选择云图，把梦想变成现实

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“a”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 （2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0aa。 （3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。 例2：（1）下列说法正确的是（ ）

A．1的立方根是1 B．24 （C）、81的平方根是3 （ D）、0没有平方根 （2）下列各式正确的是（ ） A、981 B、14.314.3 C、3927 D、235

（3）2)3(的算术平方根是 。 （4）若xx有意义，则1x___________。 （5）已知△ABC的三边分别是a,b,c,且满足0)4(32ba,求c的取值范围。

2、平方根：如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当)0(2aax时，我们称x是a的平方根，记做：)0(aax。因此： ①、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； ②、当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：ax。 ③、当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。

3、22)0(aaa与性质 ①、)0(2aaa 如：772 ②、aa2中，a可以取任意实数。如33)3(,55522 例3：（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若x的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （4）当x 时，x23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？ 云图教育——让学习更有效 选择云图，把梦想变成现实

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（6）已知112aa）（，那么a的取值范围是 。 （7）已知2＜x＜3，化简322xa）（ 。 【知识点3】立方根 1、定义：如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：3a，读作，3次根 号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在 两次以上的时候，则不能省略。 2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例4：（1）64的立方根是 （2）若9.28,89.233aba，则b等于（ ）。 A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000 （3）下列说法中：①3都是27的立方根，②yy33，③64的立方根是2，④4832。 其中正确的有（ ）。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

【知识点4】估算 1、用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。 2、“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。 3、方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。 4、用估算的方法比较数的大小：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较。当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论： ①、若baba＞则＞,0 ②、3333,bbabaa＞或＞则＞ ③、若a,b都为正数，且a＞b时，则a²＞b² 例5：（1）估算下列各数的大小

① 327（误差小于0.1） ② 327（精确到0.1） 云图教育——让学习更有效 选择云图，把梦想变成现实

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（2）比较下列两数的大小 2310和21 25和35

【知识点5】实数 1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

2、实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是a1（a≠0）；实数a的绝对值|a|=)0()0(aaaa，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。 3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负 数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的 数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。 4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序 与有理数的一致。 例6：（1）下列说法正确的是（ ）； A、任何有理数均可用分数形式表示 B、数轴上的点与有理数一一对应 C、1和2之间的无理数只有2 D、不带根号的数都是有理数 （2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

A、ba B、ab C、ba D、ab （3）比较大小(填“>”或“<”).

3 10， 3 320， 76______67， 215 21， （4）数 7,2,3 的大小关系是 ( ) A. 732 B. 372 C. 273 D. 327 （5）将下列各数：51,3,8,23，用“＜”连接起来；______________________________________。

a 0 b 云图教育——让学习更有效 选择云图，把梦想变成现实

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（6）若2,3ba，且0ab，则：ba= 。 （7）已知：064.01,121732yx，求代数式3245102yyxx的值。

【知识点6】二次根式 1、定义：形如)0aa（的式子叫做二次根式，a叫做被开方数 2、二次根式的性质： ①、)0,0babaab（积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。

②、)0,0baabab（商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。 3、最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。 例7：（1）计算：

32278115.04

1 323811613125.0

（2）小东在学习了baba后, 认为baba也成立, 因此他认为一个化简过程: 545520520545=24是正确的。你认为他的化简对吗？说说理由。

（3）请你计算下列各题，然后解答第②、③两个问题。 ①____94，____94，_____252516，____252516. ②从①中你发现了什么？换几个数再试试，看是否有同样的规律？你能用字母表示这个规律吗？

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第二章实数典型例题及练习题

第二章实数典型例题及练习题

第二章 实数典型例题及练习题 经典例题 类型一．有关概念的识别

1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 【变式1】下列说法中正确的是（ ）

A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数 【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）

A、1 B、1.4 C、 D、

【变式3】 类型二．计算类型题

2．设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.

2） -27立方根是__________. 3）___________， ___________，___________. 【变式2】求下列各式中的

（1） （2） （3）

类型三．数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______ 举一反三：

【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．

A．－1 B．1－ C．2－ D．－2 [变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示： 化简 类型四．实数绝对值的应用 4．化简下列各式： (1) |-1.4| (2) |π-3.142| (3) |-|

(4) |x-|x-3|| (x≤3) (5) |x2+6x+10| 说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。 举一反三： 【变式1】化简：

类型五．实数非负性的应用 5．已知：=0，求实数a, b的值。 分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0， 分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组

第二章实数知识要点

第二章实数知识要点

实数知识要点 知识要点： （1）平方根与立方根

a. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。用a表示。

例如：因为()525252552，所以的平方根为。 b. 算术平方根的概念：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。0的算术平方根为0。

用a表示a的算术平方根。

例如：3的平方根为3，其中3为3的算术平方根。 c. 立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，用a3表示。

例如：因为3272727333，所以的立方根为。 d. 平方根的特征： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 ②0有一个平方根，就是0本身。 ③负数没有平方根。 e. 立方根的特征： ①正数有一个正的立方根。 ②负数有一个负的立方根。 ③0的立方根为0。

④aa33。 ⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0，－1。 （2）二次根式

a. 二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数

一定是非负数，否则就没有意义，并且根式a0）。 b. 二次根式的基本性质：

①aa00（）

②()aaa20（） ③aaaaaaa20000||（）（）（） ④ababab（，）00 ⑤babaab（，）00 c. 二次根式的乘除法

①ababab（，）00

②babaab（，）00 d. 最简二次根式的标准： ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）。 ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 e. 同类二次根式的识别： 几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。

例如：8222与是同类二次根式，35aa与是同类二次根式。 f. 二次根式的加减法运算法则： 在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算，运算时只有同类二次根式才能合并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不变），合并同类二次根式之后的式子作为最后的结果（注意：最后结果要尽可能最简）。 h. 使分母不带根号（分母有理化）常用方法： ①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。 ②化去分母中的根号，有时通过约分来解决

第二章 实数

第二章 实数

第二章 实数2.1 认识无理数一、知识大纲正整数 整数 0 实数有理数 负整数分数 有限小数无限循环小数无理数→无限不循环小数二、题型解析题型一：判断是有理数还是无理数（既不是整数，也不是分数，即不是有理数）例1：有以下各数：3，227，3.14，1399，—π，5.6，901，4.121121112…（每两个“2”之间依次增加一个“1”），3.141414……。

有理数有哪些？无理数有哪些？练习1：在数—12，1.30606…，|—π|，8.020202…，1.12345678910111213…（ 小数部分由相继的正整数组成）中，有理数是 ， 无理数是 。

题型二：实数在实际生活中的应用例2：某农户拟将60平方米的草坪改为等面积的2个边长为a 的正方形，则a 应满足什么条件？a 是有理数吗？练习2：我国国旗旗面为长方形，长与宽之比为3:2，国旗通用制作尺寸为240cm ，宽160cm ，国旗对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？题型三：估算（夹逼法，找两个相邻数的平方把x2夹在中间，逐级往下求）例3：设面积为10π的圆的半径为x，（1）x是有理数吗？请说明理由；（2）请估计x的整数部分；（3）将x保留到十分位是多少？练习3：若长方形的长为3，宽为2，它的对角线长度是一个无理数，则把它精确到十分位约为。

练习4：计算边长为2的等边三角形的高时，要求精确到十分位，则这个高的十分位上的数字在整数与之间。

练习5：要做一个面积为17cm2的正方形，它的边长的整数部分是，十分位是，百分位是。

练习6：已知正方形ABCD的面积是16cm2,E、F、G、H分别为正方形四条边的中点，依次连结E、F、G、H得到一个正方形，则这个正方形的边长为cm.（结果保留两个有效数字）练习7：如图2.1-1，由4个变成为1的正方形构成的“田字格”。

以格点为顶点作等腰△ABC。

（1）估算腰长AB，精确到0.1；A BD HCEFG练习8：如图2.1-2在棱长为4cm的正方体箱子中，放进一根细长的铁棒，则这根铁棒的最大长度可能接近哪个整数？你能估算出来吗？（结果保留两个有效数字）图2.1-2练习9：在城市旧房改造工程中，小明家分到一套新居室，他想用100块正方形地砖铺满30m2的客厅，请你想一想，正方形的地砖的边长是有理数吗？请你说明理由，并计算边长的值（精确到十分位）三、思维拓展题型四：无线循环小数化为分数（方程的思想）例4：利用方程的知识把0.2•3•化为分数的形式。

实数整章概念复习与整理(二)

实数整章概念复习与整理(二)

实质：实数的大小比较 例2
π − 3.15 =
；
7 −3 =
； 2 2 −3 =
；
aHale Waihona Puke − a +1 =.
三、本次课后作业 见附页 四、学生对于本次课的评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 五、教师评定： 1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ ○ 较好 较好 ○ ○ 一般 一般 教师签字： ○ ○ 差 差
(a). 例1
x = a ( a > 0 ) ⇔ x = ±a x =5，则 x =
； 2 x − 3 = 11 ，则 x = ；
(b).
a −b a −b = 0 − ( a − b ) = b − a
(a > b) (a = b) ( a < b)
a +b ≥0
x + x = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 ⇔ 1 2 x3 + x4 = 0
2、学生本次上课情况评价：○ 好
主任签字：
龙文教育教务处
.
例2 例3 例4
一个数的平方根是 a 和 3，求 a 的值及这个数的值. 一个数的平方根是 x + 3 和 −
1 ，求 x 的值. 2
a 的平方根是 m + 3 和 2m + 1 ， b 的算数平方根是 a ，求 a + b 的相反数的值.
如果两个数 a 和 b 满足 a ⋅ b = 1 ，那么 a 和 b 互为倒数，零没有倒数.
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教师： 一、授课目的与考点分析： 学生： 时间： 年 月 日 段