2020 学年第一学期徐汇区初三数学期末卷 一模试卷

2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题1．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，那么下列关于该函数的判断正确的是（）A．该函数图象有最高点（0，﹣3）B．该函数图象有最低点（0，﹣3）C．该函数图象在x轴的下方D．该函数图象在对称轴左侧是下降的2．（4分）如图，AB∥CD∥FF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（）A．DF B．EF C．CD D．BF3．（4分）已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP•AB，那么AP：AB的值是（）A．B．C．D．4．（4分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，那么下列结论正确的是（）A．sin A B．cos A C．cot A D．tan A5．（4分）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）A．200米B．400米C．米D．米6．（4分）下列命题中，假命题是（）A．凡有内角为30°的直角三角形都相似B．凡有内角为45°的等腰三角形都相似C．凡有内角为60°的直角三角形都相似D．凡有内角为90°的等腰三角形都相似二、填空题7．（4分）计算：2sin60°﹣cot30°•tan45°＝．8．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝厘米．9．（4分）如果两个相似三角形的对应高比是：2，那么它们的相似比是．10．（4分）四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是．11．（4分）已知二次函数y＝2（x+2）2，如果x＞﹣2，那么y随x的增大而．12．（4分）同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是米．13．（4分）一山坡的坡度i＝1：3，小刚从山坡脚下点P处上坡走了50米到达点N处，那么他上升的高度是米．14．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AB＝6，AC＝4，BC＝5，AD＝2，AE＝3，那么DE的长是．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，正方形DEFG内接于△ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是．16．（4分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，∠BAD＝∠C，BD＝2，CD＝6，那么tan C＝．17．（4分）我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中△ABC的中线BD、CE互相垂直于点G，如果BD＝9，CE＝12，那么D、E两点间的距离是．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是．三、解答题19．（10分）已知：a：b：c＝2：3：5（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．21．（10分）如图，一艘游艇在离开码头A处后，沿南偏西60°方向行驶到达B处，此时从B处发现灯塔C在游轮的东北方向，已知灯塔C在码头A的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C的距离（精确到1米）．（参考数据： 1.414， 1.732， 2.449）22．（10分）如图，在△ABC中，AD、BE是△ABC的角平分线，BE＝CE，AB＝2，AC＝3．（1）设，，求向量（用向量、表示）（2）将△ABC沿直线AD翻折后，点B在边AC上的点F重合，联结DF，求S△CDF：S的值．△CEB23．（12分）如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别在AB、AC、BC上，AB＝3AD，CE ＝2AE，BF＝FG＝CG，DG与EF交于点H．（1）求证：FH•AC＝HG•AB；（2）联结DF，EG，求证：∠A＝∠FDG+∠GEF．24．（12分）如图，将抛物线y x2+4平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x轴正半轴交于点B，联结BC，tan B＝4，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．（1）求点D的坐标；（2）设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标．（3）在（2）的条件下，将抛物线y x2+4沿x轴左右平移，点C的对应点为F，当△DEF和△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC 交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，那么下列关于该函数的判断正确的是（）A．该函数图象有最高点（0，﹣3）B．该函数图象有最低点（0，﹣3）C．该函数图象在x轴的下方D．该函数图象在对称轴左侧是下降的【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴该函数图象有最高点（1，﹣2），故选项A错误，选项B错误；该函数图象在x轴下方，故选项C正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；故选：C．2．（4分）如图，AB∥CD∥FF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（）A．DF B．EF C．CD D．BF【解答】解：∵AB∥CD∥FF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，∴，即，解得：DF，∴BF＝BD+DF，故选：D．3．（4分）已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP•AB，那么AP：AB的值是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB为1，AP为x，则BP为1﹣x，。

2020-2021学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．将抛物线y＝2（x+1）2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后．所得抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2﹣2B．y＝2（x﹣2）2+2C．y＝2（x+4）2﹣2D．y＝2（x+4）2+22．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，那么下列结论正确的是（）A．tan C＝B．cot C＝C．sin C＝D．cos C＝3．已知抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）4．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里5．下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含30°角的直角三角形必相似6．定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．例如：[1.7]＝1，[]＝0，[﹣2]＝﹣3．根据你学习函数的经验，下列关于函数y＝[x]的判断中，正确的是（）A．函数y＝[x]的定义域是一切整数B．函数y＝[x]的图象是经过原点的一条直线C．点（2，2）在函数y＝[x]图象上D．函数y＝[x]的函数值y随x的增大而增大二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果a：b＝2：3，那么代数式的值是．8．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是．9．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是．10．已知二次函数y＝a（x+）2﹣1的图象在直线x＝﹣的左侧部分是下降的，那么a的取值范围是．11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△AED和四边形DECB的面积相等，BC＝2，那么DE的长是．12．在坡度为i＝1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是米．13．已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是米．14．如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tan C ＝，那么DP的长是．15．如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、AB上，点F、G在边BC上，那么AD的长是．16．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD 的面积是正方形EFGH面积的13倍，那么∠ABE的余切值是．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8，＝，那么MN的长是．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin ∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．三、（本大题共7感，第19--22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分：满分78分）19．（10分）计算：sin45°cot45°﹣tan60°+|2cos45°﹣cot30°|．20．（10分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F，AB＝1.2，BC＝1.8．（1）求BF：DF的值；（2）设＝，＝．求向量（用向量、表示）．21．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的表达式及点M的坐标；（2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由．22．（10分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）23．（12分）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD 与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．24．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x 轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t ＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G （1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；（3）当AG＝AE时，求CD的长．2020-2021学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．将抛物线y＝2（x+1）2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后．所得抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2﹣2B．y＝2（x﹣2）2+2C．y＝2（x+4）2﹣2D．y＝2（x+4）2+2【分析】先确定抛物线y＝2（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），再根据点平移的规律得到把点（﹣1，0）平移后得到对应点的坐标为（2，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为（2，﹣2），所以平移后的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2．故选：A．2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，那么下列结论正确的是（）A．tan C＝B．cot C＝C．sin C＝D．cos C＝【分析】画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：如图，由勾股定理得，AC＝＝＝8，∴tan C＝＝＝，cot C＝＝＝，sin C＝＝＝，cos C＝＝＝，因此选项D符合题意，故选：D．3．已知抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后计算出自变量为0所对应的函数值，再根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），∴﹣16+16+c＝3，∴c＝3，∴抛物线为y＝﹣x2+4x+3，当x＝0时，y＝﹣x2+4x+3＝3；所以点（0，3）在抛物线y＝﹣x2+4x+3上．故选：B．4．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．5．下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含30°角的直角三角形必相似【分析】直接利用相似图形的判定方法得出答案．【解答】解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项错误；B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项错误；C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项错误；D、两个含30°角的直角三角形必相似，故此选项正确．故选：D．6．定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．例如：[1.7]＝1，[]＝0，[﹣2]＝﹣3．根据你学习函数的经验，下列关于函数y＝[x]的判断中，正确的是（）A．函数y＝[x]的定义域是一切整数B．函数y＝[x]的图象是经过原点的一条直线C．点（2，2）在函数y＝[x]图象上D．函数y＝[x]的函数值y随x的增大而增大【分析】根据题意，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，函数y＝[x]的定义域是一切实数，故选项A错误；函数y＝[x]的图象是分段函数，故选项B错误；点（2，2）在函数y＝[x]图象上，故选项C正确；函数y＝[x]的函数值y随x的增大不一定增大，如x＝1.2时，y＝[1.2]＝1，x＝1.5时，y ＝[1.5]＝1，即x＝1.2和x＝1.5时的函数值相等，故选项D错误；故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果a：b＝2：3，那么代数式的值是．【分析】根据已知条件得出＝，再把要求的式子化成＝﹣1，然后代值计算即可．【解答】解：∵a：b＝2：3，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝．故答案为：．8．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是．【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，∴，即，解得：BF＝，故答案为：．9．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是2﹣2．【分析】先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP＝AB，把AB＝4代入计算即可．【解答】解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP，∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．10．已知二次函数y＝a（x+）2﹣1的图象在直线x＝﹣的左侧部分是下降的，那么a的取值范围是a＞0．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝a（x+）2﹣1，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣，∵二次函数y＝a（x+）2﹣1的图象在直线x＝﹣的左侧部分是下降的，∴a＞0，故答案为：a＞011．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△AED和四边形DECB的面积相等，BC＝2，那么DE的长是2．【分析】先根据题意得到＝，再证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质得＝（）2＝，然后利用比例的性质可求出DE的长．【解答】解：∵△AED和四边形DECB的面积相等，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，即＝，∴DE＝2．故答案为2．12．在坡度为i＝1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是2米．【分析】根据坡度的定义，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，过B作BC⊥AD于C，∵山坡AB的坡度为i＝1：3，株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，∴水平距离AC＝6米，铅垂高度BC＝2米，∴斜坡上相邻两树间的坡面距离AB＝＝2（米），故答案为：2．13．已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是（30﹣10）米．【分析】过C作CE⊥AB于E，先由矩形和含30°角的直角三角形的性质求出AE的长，再由等腰直角三角形的性质求出AB的长，即可得出结果．【解答】解：如图，甲楼为CD、乙楼为AB，BD＝30米，∠ADB＝45°，∠CAF＝30°，过C作CE⊥AB于E，则四边形BDCE为矩形，CE∥AF，∴CE＝BD＝30米，CD＝BE，∠ACE＝∠CAF＝30°，∴AE＝CE＝10（米），在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB＝30米，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝（30﹣10）米，即甲楼的高为（30﹣10）米，故答案为：（30﹣10）．14．如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tan C＝，那么DP的长是．【分析】由DP⊥AP，CD⊥DP，得AP∥CD，则∠C＝∠APB，由tan∠APB＝，求得BP＝4，PC＝6，在Rt△CDP中，tan C＝，CD＝，得出＝，即可得出结果．【解答】解：∵DP⊥AP，CD⊥DP，∴AP∥CD，∴∠C＝∠APB，∵AB⊥BC，∴tan∠APB＝，∵tan C＝，∴＝，∴BP＝4，∴PC＝BC﹣BP＝10﹣4＝6，在Rt△CDP中，tan C＝，CD＝＝，∴＝，解得：DP＝或DP＝﹣（不合题意舍去），故答案为：．15．如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、AB上，点F、G在边BC上，那么AD的长是4﹣6．【分析】过A点作AM⊥BC于M，交DE于N，如图，根据等边三角形的性质得到∠C ＝∠CAB＝60°，CM＝BM＝BC＝1，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AM ＝，设正方形DEFG的边长为x，则DG＝DE＝x，MN＝DG＝x，AN＝﹣x，接着证明△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质得＝，解得x＝4﹣6，然后证明△ADE为等边三角形，从而得到AD＝DE．【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，交DE于N，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠CAB＝60°，CM＝BM＝BC＝1，∴AM＝CM＝，设正方形DEFG的边长为x，则DG＝DE＝x，易得四边形DGMN为矩形，∴MN＝DG＝x，∴AN＝AM﹣MN＝﹣x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得x＝4﹣6，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE＝4﹣6．故答案为4﹣6．16．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD 的面积是正方形EFGH面积的13倍，那么∠ABE的余切值是．【分析】小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，则小正方形EFGH 边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，设AE＝BF＝x，利用勾股定理求出x，最后利用熟记函数即可解答．【解答】解：设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，∵图中的四个直角三角形是全等的，∴AE＝BF，设AE＝BF＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，即13a2＝x2+（x+a）2解得：x1＝2a，x2＝﹣3a（舍去），∴AE＝2a，BE＝3a，∴∠ABE的余切值＝，故答案为：．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8，＝，那么MN的长是4．【分析】先根据折叠的性质得DA＝DF，∠ADE＝∠FDE，再根据平行线的性质和等量代换得到∠B＝∠BMD，则DB＝DM，接着利用比例的性质得到FM＝DM，然后证明△FMN∽△FDE，从而利用相似比可计算出MN的长．【解答】解：∵△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，∴DA＝DF，∠ADE＝∠FDE，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠FDE＝∠BMD，∴∠B＝∠BMD，∴DB＝DM，∵＝，∴＝2，∴＝2，∴FM＝DM，∵MN∥DE，∴△FMN∽△FDE，∴＝＝，∴MN＝DE＝×8＝4．故答案为4．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin ∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是9﹣6．【分析】如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．解直角三角形求出BH，CH即可解决问题．【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABC＝120°，∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，∵AB＝12，∠H＝90°，∴BH＝AB•cos60°＝6，AH＝AB•sin60°＝6，∵EF⊥DF，DE＝5，∴sin∠ADE＝＝，∴EF＝4，∴DF＝＝＝3，∵S△CDE＝6，∴•CD•EF＝6，∴CD＝3，∴CF＝CD+DF＝6，∵tan C＝＝，∴＝，∴CH＝9，∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．故答案为：9﹣6．三、（本大题共7感，第19--22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分：满分78分）19．（10分）计算：sin45°cot45°﹣tan60°+|2cos45°﹣cot30°|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝×1﹣+|2×﹣|＝﹣+﹣＝﹣．20．（10分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F，AB＝1.2，BC＝1.8．（1）求BF：DF的值；（2）设＝，＝．求向量（用向量、表示）．【分析】（1）由平行四边形的性质得DC∥AB，从而△ABF∽△EDF，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得BF：DF；（2）先求出BF＝BD，再利用向量的加法可得答案．【解答】解：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝1.2，∵BC∥AD，∴△BEF∽△DAF，∴，∴；（2）∵BF：DF＝2：3，∴DF＝BD，∵＝﹣，∴＝，∴＝﹣．21．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的表达式及点M的坐标；（2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式求得顶点M的坐标；（2）设新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1﹣m，把（0，0）代入求得m的值，即可根据平移的原则得到顶点N的坐标，根据勾股定理求得OM2＝ON2＝2，MN2＝4，即可得到结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1．∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2+2x+2，∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴顶点M（﹣1，1）；（2）∵抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，∴设新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1﹣m，把（0，0）代入得，0＝1+1﹣m，∴m＝2，∴顶点N为（﹣1，﹣1），∵M（﹣1，1），∴OM2＝（﹣1）2+12＝2，ON2＝（﹣1）2+（﹣1）2＝2，MN2＝22＝4，∴OM＝ON，OM2＝（﹣1）2+ON2＝MN2，∴△MON是等腰直角三角形．22．（10分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】（1）由三角函数定义求出AE、AB，即可得出答案；（2）求出该汽车的速度，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意，得∠CAB＝37°，CD＝220米，∠DAB＝30°，∠DBA＝45°，如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，∵CD∥AB，∴四边形CDFE是矩形，∴CE＝DF，CD＝EF，∵∠DBA＝45°，∴DF＝BF，设DF＝BF＝CE＝x米，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，DF＝x米，∴AF＝DF＝x（米），∴AE＝AF﹣EF＝（x﹣220）米，在Rt△AEC中，∠CAE＝37°，∵CE＝AE•tan37°，∴x＝（x﹣220）×0.75，解得x＝60（3+4）＝（180+240）米，∴AE＝x﹣220＝（320+240）米，FB＝x＝（180+240）（米），∴AB＝AE+EF+FB＝320+240+220+180+240＝780+420≈1507（米），答：限速道路AB的长约为1507米；（2）∵1分20秒＝小时，∴该汽车的速度约为：1507÷≈67.8km/h＞60km/h，∴该车超速．23．（12分）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD 与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF ＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到＝，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，∴＝，而∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴∠AEF＝∠BDF，∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BEC；（2）∵△AFE∽△BFD，∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，∵EB＝EC，AB＝AD，∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，∴△AEF∽△CBA，∴＝，∴EF•AC＝AB•AF∵∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，∴EF•AC＝CD•AF，即AF•CD＝EF•AC．24．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x 轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t ＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．【分析】（1）用配方法配成顶点式，即可得出结论；（2）先判断出△CDH∽△BCO，得出，求出OC＝3，即可得出结论；（3）连接OM，利用三角形的面积的和差，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+4＝a（x2﹣2x+1）+4＝a（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点D（1，4），∵a＜0，∴抛物线的开口向下；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，∴A（1，0），对于y＝ax2﹣2ax+a+4，令x＝0，则y＝a+4，∴C（0，a+4），如图1，过点D作DH⊥y轴于H，∴∠CDH+∠DCH＝90°，∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠DCH+∠OCB＝90°，∴∠CDH＝∠BCO，∵∠BOC＝∠CHD＝90°，∴△CDH∽△BCO，∴，在Rt△BDC中，tan∠DBC＝，∵D（1，4），∴DH＝1，∴，∴CO＝3，∴a+4＝3，∴a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）如图2，由（2）知，a＝﹣1，∴C（0，3），∴OC＝3，连接OM，设点M的横坐标为t（t＞1），∴点M的纵坐标为﹣t2+2t+3，∵△ACM的面积是，∴S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△AOC＝×3t+×1×（﹣t2+2t+3）﹣×1×3＝，∴t＝，∴M（，）．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G （1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；（3）当AG＝AE时，求CD的长．【分析】（1）证明△ADE≌△BFE（ASA），推出AD＝BF，构建方程求出CD即可．（2）过点A作AM⊥BE于M，想办法求出AB，AM即可解决问题．（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠DEF＝90°，∴∠AED＝∠BEF，∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，∴△ADE≌△BFE（ASA），∴AD＝BF，∴AD＝5+CF＝5+CD，∵AC＝CD+AD＝12，∴CD+5+CD＝12，∴CD＝，∴正方形CDEF的面积为．（2）如图2中，∵∠ABG＝∠EBH，∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，∴△CBG∽△CAB，∴CB2＝CG•CA，∴CG＝，∴BG＝＝＝，∴AG＝AC﹣CG＝，过点A作AM⊥BE于M，∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，∴∠GAM＝∠CBG，∴cos∠GAM＝cos∠CBG＝＝＝，∴AM＝，∵AB＝＝＝13，∴sin∠ABM＝＝．（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．∵AE＝AG＝AN，∴∠GEN＝90°，由（1）可知，△NDE≌△BFR，∴ND＝BF，设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，在Rt△ADE中，∵AE2＝AD2+DE2，∴x2+（12﹣x）2＝（2x﹣7）2，∴x＝1+或1﹣（舍弃），∴CD＝1+．。

2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． = D． =2．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A． B． C． D．3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+24．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米6．已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ．8．点C是线段AB延长线的点，已知=， =，那么= ．9．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．10．如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是．11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．14．已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）23．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． = D． =【考点】比例的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．2．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A． B． C． D．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．【解答】解：如图所示：由题意，得：tanα=i==，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，则斜边==13x，则cosα==．故选D．【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2（x ﹣1）2，抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2（x+1）2﹣2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC【考点】相似三角形的判定．【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：如图所示：由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，在Rt△ABC中，∵sin∠A=，∴AC===2000米．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．6．已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小，故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= 6 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．【解答】解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac．则b===6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．8．点C是线段AB延长线的点，已知=， =，那么= ﹣．【考点】*平面向量．【分析】根据向量、的方向相反进行解答．【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=， =，所以=+=﹣．故答案是：﹣．【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．9．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．10．如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是：2 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，∴它们的周长比为：2．故答案为：：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键．11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：AP2=BP•AB．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念解答即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP2=BP•AB，故答案为：AP2=BP•AB．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出tan∠BCD即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴tanA=tan∠BCD==，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，∴△ABF∽△DEF，∴==3，∵AF+DF=AD=3，∴AF=AD=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．14．已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．【解答】解：y=ax2﹣4ax=a（x2﹣4x+4）﹣4a=a（x﹣2）2﹣4a，则顶点坐标是（2，﹣4a），则﹣4a=﹣2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；矩形的性质．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，则CF=1，AE=2，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠BAE=∠CBE，∴△ABE∽△BCF，∴，∴，∴BE=，在Rt△ABE中，AB==，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是16 ．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，可得=（）2，因为=，得到=（）2，解方程即可．【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=（）2，∵=，∴=（）2，解得x=1或16（舍弃），∵S△ABD=S△ADC=1，∴S△AOB=S△DOC=3，∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，故答案为16．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是 2 ．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，∴AB=4，由旋转得：EC=AC=5，∴BE=5﹣3=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，∴CH=a，DH=a，在Rt△DFH中，DF===2a，在Rt△ECG中，∵CE=a，∴CG=a，GE=a，在Rt△BEG中，BE===a，∴•AP•BE=•DF•AQ，∴==，故答案为．【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2×﹣|1|+，=+1+，=﹣2﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D 的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；（2）过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，则D的坐标是（2，﹣9）．在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，则C的坐标是（0，﹣5），令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，则B的坐标是（5，0）；（2）过D作DA⊥y轴于点A．则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．【考点】*平面向量；梯形；解直角三角形．【分析】（1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==， ==， =+．（2）由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AC平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∵DE∥AB，AB⊥AC，∴DE⊥AC，∴AF=CF，∴BE=CE，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∴==， ==，∴=+．（2）∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，∴△DFC∽△BAC，∴==，∵CD=AD=3，∴BC=6，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，∴AC===2，∴tanB===．【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；（2）通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=，∴CD=AC•cos30°=120×=60（海里）；（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=，∴BC===60≈60×2.44=146.4（海里），∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据已知条件得到，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；（2）由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AE•CD=AD•CE，∴，∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴，∴DE∥AB；（2）∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2=DF•AB，∵AD=BD，∴AD2=DF•AB，∴=，∵DE∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴==1，∴DF=AF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；（3）运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为（x，3x+3），根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，∴点C的坐标为：（0，3），∵OB=OC，∴点B的坐标为：（3，0），∴﹣9+3b+3=0，解得，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）如图1，作DH⊥y轴于H，则CH=DH=1，∴∠HCD=∠HDC=45°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠DCB=90°，∴cot∠DBC===3；（3）﹣x2+2x+3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为：（﹣1，0），∴=，又=，∴=，∴Rt△AOC∽Rt△DCB，∴∠ACO=∠DBC，∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，∴∠E=45°，∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，∴∠ACB=∠BME，∴BM=BC，设直线CA的解析式为：y=kx+b，则，解得，，则直线CA的解析式为：y=3x+3，设点M的坐标为（x，3x+3），则（x﹣3）2+（3x+3）2=18，解得，x1=0（舍去），x2=﹣，x2=﹣时，y=﹣，∴点M的坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．【考点】三角形综合题；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；（2）当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；（3）先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．【解答】解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则根据QE=2DQ，可得==，又∵DE∥BC，∴==1，∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，∵DF∥AC，∴=，即=，∴y=，定义域为：0＜x＜3；（2）∵DE∥BC，∴△PEQ∽△PBC，∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，∴BC2=CP•AC，即4=3（3﹣y），解得y=，∴=，解得x==BD；②当PC=BC=2时，AP=y=1，∴=1，解得x==BD；③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；（3）∵DE∥BC，∴∠BDQ+∠CBD=180°，又∵∠CQB和∠CBD互补，∴∠CQB+∠CBD=180°，∴∠CQB=∠BDQ，∵BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴∠BDE=∠CED，∴∠CQB=∠CED，又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，∴∠DQB=∠ECQ，∴△BDQ∽△QEC，∴=，即2DQ2=x2，∴DQ=，DE=，∵DE∥BC，∴=，即=，解得x=．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．。

2019~2020学年上海市徐汇区九年级一模数学试卷（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.已知二次函数223y x x=-+-，那么下列关于该函数的判断正确的是（）（A）该函数图像有最高点(0,3)-；（B）该函数图像有最低点(0,3)-；（C）该函数图像在x轴的下方；（D）该函数图像在对称轴左侧是下降的．2.如图，AB//CD//EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，那么下列结论正确的是（）（A）154DF=；（B）154EF=；（C）154CD=；（D）154BF=．3.已知点P是线段AB上的点，且2AP BP AB=⋅，那么AP : AB的值是（）（A（B；（C（D．4.在Rt△ABC中，△B=90°，BC=3，AC=5，那么下列结论正确的是（）（A）3sin4A=；（B）4cos5A=；（C）5cot4A=；（D）4tan3A=．5.跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着陆点A的距离是（）（A）200米；（B）400米；（C米；（D米．6.下列命题中，假命题的是（）（A）凡有内角为30°的直角三角形都相似；（B）凡有内角为45°的等腰三角形都相似；（C）凡有内角为60°的直角三角形都相似；（D）凡有内角为90°的等腰三角形都相似．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分24分）7.计算：2sin60cot30tan45︒-︒⋅︒=___________．8.已知线段a = 4厘米，c = 9厘米，那么线段a、c的比例中项b =________厘米．9.2，那么它们的相似比是___________．10. 四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′是相似图形，那么A 、B 、C 、D 分别与点A′、B′C′、D′对应，已知BC = 3，CD = 2.4，B′C′ = 2，那么C′D′的长是__________． 11. 已知二次函数22(2)y x =+，如果2x >-，那么y 随x 的增大而__________． 12. 同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高为__________米．13. 一山坡的颇高i = 1 : 3小刚从山坡脚下点P 处上坡走了N 处，那么他上升的高度是__________米．14. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AB = 6，AC = 4，BC = 5，AD = 2，AE= 3，那么DE 的长为__________．15. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1,正方形DEFG 内接于△ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是_______． 16. 如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，AD ⊥AC ，∠BAD=∠C ，BD=2，CD=6，那么tan C的值是__________．17. 我们把有两条中线互相垂直的三角形叫做“中垂三角形”，如图，△ABC 是“中垂三角形”，其中△ABC 的中线BD 、CE 互相垂直于点G ，如果BD=9，CE=12，那么D 、E 两点间的距离是__________．18. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形A ′B ′C ′D ′，点A 的对应点A ′在对角线AC 上，点C 、D 的对应点分别与点C ′、D ′对应，A ′D ′与边BC 交于点E ，那么BE 的长是__________．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）已知：a : b : c = 2 : 3 : 5．（1）求代数式323a b ca b c-++-的值；（2）如果324a b c -+=，求a 、b 、c 的值．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的自变量x 的值和它对应的函数值y 如下表所示：（2）设该二次函数图像与x 轴的左交点为B ，它的顶点为A ，该图像上点C 的横坐标为4，求△ABC 的面积．21. 如图，一艘游轮在离开码头A 处后，沿南偏西60°方向行驶到达B 处，此时从B 处发现灯塔C 在游轮的东北方向，已知灯塔C 在码头A 的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C 的距离（精确到1米）．1.414 1.7322.449】22. （本题满分10分）如图，在△ABC 中，AD 、BE 是△ABC 的角平分线，BE=CE ，AB=2，AC=3． （1）设AB a =，BC b =，求向量BE （用向量a 、b 表示）；（2）将△ABC 沿直线AD 翻折后，点B 与边AC 上的点F 重合，联结DF ，求:CDF CEBS S △△的值．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 、G 分别在边AB 、AC 、BC 上，AB=3AD ，CE=2AE ，BF=FG=CG ，DG 与EF 交于点H ．（1）求证：FH AC HG AB ⋅=⋅；（2）联结DF 、EG ，求证：∠A=∠FDG ＋∠GEF ．24. （本题满分12分）如图，将抛物线2443y x =-+平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x轴正半轴交于点B ，联结BC ，tan 4B =，设新抛物线与x 轴的用另一个交点是A ，新抛物线的顶点是D ．（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结AC 、DC ，如果CE 平分∠DCA ，求点E 的坐标；（3）在（2）条件下，将抛物线2443y x =-+沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当△DEF 与△ABC 相似时，请直接写出平移后所得抛物线的表达式．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是边AB上的动点（点D不与点A、B 重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE=∠A，∠GBE=∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A=2∠ACD时，求AD的长；点D在边AB上运动的过程中，AD : BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求出AD : BE的值；如果变化，请说明理由．2019~2020学年上海市徐汇区九年级一模数学试卷参考答案。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，过反比例函数的图像上一点A 作AB ⊥轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】试题分析：观察图象可得，k ＞0，已知S △AOB =2，根据反比例函数k 的几何意义可得k=4，故答案选C.考点：反比例函数k 的几何意义.2．如图，在平面直角坐标系中，A 与x 轴相切于点B ，BC 为A 的直径，点C 在函数()0,0k y k x x =>>的图象上，若OAB ∆的面积为52，则k 的值为（ ）A ．5B ．152C ．10D ．15 【答案】C【分析】首先设点C 坐标为(),x y ，根据反比例函数的性质得出=k xy ，然后利用圆的切线性质和三角形OAB 面积构建等式，即可得解.【详解】设点C 坐标为(),x y ，则=k xy∵A 与x 轴相切于点B ，∴CB ⊥OB∵OAB ∆的面积为52 ∴1522OB AB ⋅=，即5OB AB ⋅= ∵BC 为A 的直径∴BC=2AB ∴210k xy OB AB ==⋅=故选：C.【点睛】此题主要考查圆的切线性质以及反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.3．如图，四边形ABCD 是正方形，以BC 为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE ，连接AE ，分别交BD ，BC 于点F ，G ，则下列结论：①△AFB ∽△ABE ；②△ADF ∽△GCE ；③CG=3BG ；④AF=EF ，其中正确的有（ ）.A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④【答案】B 【解析】连接AC ，交BD 于O ，过点E 作EH ⊥BC 于H ，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质可得∠ADF=∠ABD=∠BCE=∠CBE=45°，可得∠ABE=135°，根据外角性质可得∠AFD=∠FAB+∠ABF>45°，利用平角定义可得∠AFB<135°，即可证明∠AFB≠∠ABE ，可对①进行判断；由EH ⊥BC 可证明EH//AB ，根据平行线的性质可得∠HEG=∠FAB ，根据角的和差关系可证明∠DAF=∠CEG ，即可证明△ADF ∽△GCE ；可对②进行判断，由EH//AB 可得△HEG ∽△BAG ，根据相似三角形的性质即可得出BG=2HG ，根据等腰直角三角形性质可得CH=BH ，进而可得CG=2BG ，可对③进行判断；根据正方形的性质可得OA=BE ，∠AOF=∠FBE=90°，利用AAS 可证明△AOF ≌△EBF ，可得AF=EF ，可对④进行判断；综上即可得答案.【详解】如图，连接AC ，交BD 于O ，过点E 作EH ⊥BC 于H ，∵ABCD 是正方形，△BCE 是等腰直角三角形，∴∠ADF=∠ABD=∠BCE=∠CBE=45°，∴∠ABE=135°，∵∠AFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+45°>45°，∴∠AFB=180°-∠AFD<135°，∴∠AFB≠∠ABE ，∴△AFB 与△ABE 不相似，故①错误，∵EH⊥BC，∠ABC=90°，∴EH//AB，∴∠HEG=∠FAB，∴∠AFD=∠FAB+∠ABD=45°+∠HEG=∠CEG，又∵∠ADB=∠GCE=45°，∴△ADF∽△GCE，故②正确，∵EH//AB，∴△HEG∽△BAG，∴EH HG AB BG=,∵△BCE是等腰直角三角形，∴EH=CH=BH=12BC=12AB，∴HGBG=12，即BG=2HG，∴CH=BH=3HG，∴CG=CH+HG=4HG，∴CG=2BG，故③错误，∵ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，∴∠AOF=90°，∠FBE=∠DBC+∠CBE=45°+45°=90°，OA=22AB，BE=22BC，∴∠AOF=∠FBE，OA=BE，在△AOF和△EBF中，AFO BFEAOF FBEOA BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOF≌△EBF，∴AF=EF，故④正确，综上所述：正确的结论有②④，故选：B.【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键.4．某药品原价为100元，连续两次降价%a 后，售价为64元，则a 的值为（ ）A ．10B ．20C ．23D ．36 【答案】B【解析】根据题意可列出一元二次方程100（1-%a ）²=64，即可解出此题.【详解】依题意列出方程100（1-%a ）²=64，解得a=20，（a=180100>,舍去）故选B.【点睛】此题主要考察一元二次方程的应用，依题意列出方程是解题的关键.5．抛物线23123y x x =-+-的顶点坐标是（ ）A ．（2，9）B ．（2，-9）C ．（-2，9）D ．（-2，-9）【答案】A【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可求得答案．【详解】∵223123=3(2)9y x x x =-+---+，∴顶点坐标为（2，9）．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解答此题的关键，即在2()y a x h k =-+中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．6．已知二次函数y=2ax bx c ++（a≠0）的图像如图所示，对称轴为x= -1，则下列式子正确的个数是（ ） （1）abc ＞0（2）2a+b=0（3）4a+2b+c ＜0（4）b 2-4ac ＜0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】由图像可知，抛物线开口向下，a ＜0，图像与y 轴交于正半轴，c ＞0，对称轴为直线x=-1＜0，即-2b a＜0， 因为a ＜0，所以b ＜0，所以abc ＞0，故（1）正确； 由-2b a =-1得，b=2a ，即2a-b=0，故（2）错误； 由图像可知当x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0 ， 故（3）正确；该图像与x 轴有两个交点，即b 2-4ac ＞0，故（4）错误，本题正确的有两个，故选B ．7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判断△ABC ∽△AED 的是（ ）A ．∠AED=∠BB ．∠ADE=∠C C ．AD AC AE AB = D ．AD AE AB AC= 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB ，A 、当∠AED=∠B 时，△ABC ∽△AED ，故本选项不符合题意；B 、当∠ADE=∠C 时，△ABC ∽△AED ，故本选项不符合题意；C 、当AD AE =AC AB时，△ABC ∽△AED ，故本选项不符合题意； D 、当AD AB =AE AC 时，不能推断△ABC ∽△AED ，故本选项符合题意； 故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．8．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（ ）A ．11B ．12C ．9D ．10 【答案】D【解析】利用平均数的求法求解即可．【详解】这组数据10，9，10，12，9的平均数是1(10910129)105++++=故选：D．【点睛】本题主要考查平均数，掌握平均数的求法是解题的关键．9．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】A【解析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得a cb d=，又由b=3cm，c=8cm，d=12cm，即可求得a的值．【详解】∵四条线段a、b、c、d成比例，∴a cb d =∵b=3cm，c=8cm，d=12cm，∴8 312 a=解得：a=2cm．故答案为A．【点睛】此题考查了比例线段的定义．解题的关键是熟记比例线段的概念．10．如图，已知二次函数y=（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）A．﹣3和5B．﹣4和5C．﹣4和﹣3D．﹣1和5【答案】B【解析】先求出二次函数的对称轴为直线x=-1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．【详解】∵二次函数y=（x+1）2-4，对称轴是：x=-1∵a=-1＞0，∴x＞-1时，y随x的增大而增大，x＜-1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在-2≤x≤2内，x=2时，y有最大值，y=（2+1）2-4=5，x=-1时y 有最小值，是-4，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 11．已知二次函数22y x x m =-+（m 为常数），当12x -≤≤时，函数值y 的最小值为3-，则m 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-【答案】B【分析】函数配方后得2(-1)1y x m =+-，抛物线开口向上，在=1x 时，取最小值为-3，列方程求解可得．【详解】∵22-2=(-1)+-1y x x m x m =+，∴ 抛物线开口向上，且对称轴为=1x ，∴在=1x 时，有最小值-3，即：-1-3m =，解得2m =-，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及增减性是解题的关键．12．二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m≤x≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ． 【答案】D【解析】由m≤x≤n 和mn ＜0知m ＜0，n ＞0，据此得最小值为1m 为负数，最大值为1n 为正数．将最大值为1n 分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m 时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n 求出，最小值只能由x=m 求出．【详解】解：二次函数y=﹣（x ﹣1）1+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=n时y取最大值，即1n=﹣（n﹣1）1+5，解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=1时y取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5，解得：n=52，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，1m=-（n-1）1+5，n=52，∴m=11 8，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n=﹣1+52=12．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝kx（k＞0）的图像在第一象限交于点A，点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为__________________________.【答案】9yx=或16yx=【解析】过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m，n），则根据A在y=x上得m=n，由AC长的最大值为7，可知AC过圆心B交⊙B于C，进而可知AB=5，在Rt△ADB中，AD=m，BD=7-m，根据勾股定理列方程即可求出m的值，进而可得A点坐标，即可求出该反比例函数的表达式.【详解】过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m，n），∵A在直线y=x上，∴m=n，∵AC长的最大值为7，∴AC过圆心B交⊙B于C，∴AB=7-2=5，在Rt △ADB 中，AD=m ，BD=7-m ，AB=5，∴m 2+(7-m)2=52，解得：m=3或m=4，∵A 点在反比例函数y ＝k x （k ＞0）的图像上， ∴当m=3时，k=9；当m=4时，k=16，∴该反比例函数的表达式为：9y x = 或16y x= ，故答案为9y x =或16y x= 【点睛】 本题考查一次函数与反比例函数的性质，理解题意找出AC 的最长值是通过圆心的直线是解题关键. 14．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字 －1，1, 1．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于x 的方程20x px q ++=有实数根的概率是_________．【答案】12【分析】由题意通过列表求出p 、q 的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率.【详解】解：由题意，列表为：∵通过列表可以得出共有6种情况，其中能使关于x 的方程20x px q ++=有实数根的有3种情况， ∴P 满足关于x 的方程20x px q ++=有实数根为3162=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查列表法或树状图求概率的运用，根的判别式的运用，解答时运用列表求出所有可能的情况是关键． 153-（sin60°﹣1）0﹣2cos30°=________________．【答案】-1【分析】根据实数的性质即可化简求解．【详解】3-（sin60°﹣1）0﹣2cos30°=3-1-2×3=3-1-3=-1故答案为：-1．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值的求解．16．如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，BP⊥PE交BC的延长线于点E，若AB=6，AP=4，则CE的长为_____．【答案】2【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，结合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=∠ECF=90°，AB=AD=CD=6，∴DP=AD﹣AP=1．∵BP⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠APB+∠DPF=90°．∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPF．又∵∠A=∠D，∴△APB∽△DFP，∴DF DPAP AB=，即246DF=，∴DF=43，∴CF=143．∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，∴△PFD∽△EFC，∴CE DP=CFDF，即143423CE=，∴CE=2．故答案为：2．【点睛】此题考查相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解题的关键．17．化简：()122a b a b⎛⎫+--=⎪⎝⎭______．【答案】2a b+【分析】根据向量的加减法法则计算即可.【详解】解：()1222a b a b a b⎛⎫+--=+⎪⎝⎭-a b+=2a b+.【点睛】本题考查了向量的加减法，掌握运算法则是关键.18．如图，在正方形ABCD中，1AD=，将ABD∆绕点B顺时针旋转45︒得到A BD''∆，此时A D''与CD 交于点E，则DE的长度为___________.【答案】22-【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．【详解】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A ′B=1，∴，∴A ′1，∴在Rt △DA ′E 中，DE='2sin 45DA =︒故答案为：2-【点睛】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A ′D 的长是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．一件商品进价100元，标价160元时，每天可售出200件，根据市场调研，每降价1元，每天可多售出10件，反之，价格每提高1元，每天少售出10件．以160元为基准，标价提高m 元后，对应的利润为w 元．（1）求w 与m 之间的关系式；（2）要想获得利润7000元，标价应为多少元？【答案】（1）w ＝﹣1m 2﹣400m+12000（0≤m≤20）；（2）标价应为11元或170元．【分析】（1）表示出价格变动后的利润和销售件数，然后根据利润＝售价×件数列式整理即可得解； （2）代入w ＝7000得到一元二次方程，求解即可．【详解】解：（1）w ＝（160+m ﹣10）（200﹣1m ）＝﹣1m 2﹣400m+12000（0≤m≤20）（2）当利润7000元时，即w ＝7000，即﹣1m 2﹣400m+12000＝7000，整理得m 2+40m ﹣500＝0，解得m 1＝﹣50，m 2＝1．当m ＝﹣50时，标价为160+（﹣50）＝11元，当m ＝1时，标价为160+1＝170元．∴要想获得利润7000元，标价应为11元或170元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握计算法则列出之前的方程.20．某中学准备举办一次演讲比赛，每班限定两人报名，初三（1）班的三位同学（两位女生，一位男生）都想报名参加，班主任李老师设计了一个摸球游戏，利用已学过的概率知识来决定谁去参加比赛，游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放3个大小质地完全相同的乒乓球，在这3个乒乓球上分别写上A 、B 、C （每个字母分别代表一位同学，其中A 、B 分别代表两位女生，C 代表男生），搅匀后，李老师从箱子里随机摸出一个乒乓球，不放回，再次搅匀后随机摸出第二个乒乓球，根据乒乓球上的字母决定谁去参加比赛。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若⊙O 的弦AB 等于半径，则AB 所对的圆心角的度数是（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】B【解析】试题分析：∵OA=OB=AB ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°．故选B ．【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．2．对于题目“抛物线l 1：2(1)4y x =--+（﹣1＜x≤2）与直线l 2：y ＝m （m 为整数）只有一个交点，确定m 的值”；甲的结果是m ＝1或m ＝2；乙的结果是m ＝4，则（ ）A ．只有甲的结果正确B ．只有乙的结果正确C ．甲、乙的结果合起来才正确D ．甲、乙的结果合起来也不正确【答案】C【分析】画出抛物线l 1：y ＝﹣（x ﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）的图象，根据图象即可判断．【详解】解：由抛物线l 1：y ＝﹣（x ﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点为（1，4），如图所示：∵m 为整数，由图象可知，当m ＝1或m ＝2或m ＝4时，抛物线l 1：y ＝﹣（x ﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l 2：y ＝m （m 为整数）只有一个交点，∴甲、乙的结果合在一起正确，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题，作出函数的图象是解题的关键．3．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．【详解】∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P对应点的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（2，﹣4）或（﹣2，4）C．（12，﹣1）D．（12，﹣1）或（﹣12，1）【答案】B【分析】根据位似变换的性质计算即可．【详解】点P（1，﹣2）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（1×2，﹣2×2）或（1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，﹣4）或（﹣2，4），故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．5．抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（）A．（0，﹣3）B．（﹣3，0）C．（﹣34，0）D．（0，﹣34）【答案】A【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】∵抛物线y＝2x2﹣3的对称轴是y轴，∴该抛物线的顶点坐标为(0，﹣3)，故选：A．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，找到抛物线的对称轴是解题的关键．6．已知点A（1-，m），B （l，m），C （2，1）在同一条抛物线上，则下列各点中一定在这条抛物线上的是（）A．(1,1)B．(2,1)-C．(4,1)D．(3,4)【答案】B【分析】根据抛物线的对称性进行分析作答．【详解】由点A（1-，m），B （l，m），可得：抛物线的对称轴为y轴，∵C （2，1），∴点C关于y轴的对称点为（－2，1），故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，找到抛物线的对称轴是本题的关键．7．质检部门对某酒店的餐纸进行调查，随机调查5包(每包5片)，5包中合格餐纸(单位：片)分别为4，5，4，5，5，则估计该酒店的餐纸的合格率为（）A．95% B．97% C．92% D．98%【答案】C【分析】随机调查1包餐纸的合格率作为该酒店的餐纸的合格率，即用样本估计总体．【详解】解：1包（每包1片）共21片，1包中合格餐纸的合格率4545592%25++++==．故选：C．【点睛】本题考查用样本估计整体，注意1包中的总数是21，不是1．8．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD为O的直径，弦AB CD⊥，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”，依题意得CD的长为（）A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸【答案】D【分析】连接AO ，设直径CD 的长为2x 寸，则半径OA=OC=x 寸，然后利用垂径定理得出AE ，最后根据勾股定理进一步求解即可. 【详解】如图，连接AO ，设直径CD 的长为2x 寸，则半径OA=OC=x 寸，∵CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，AB=10寸，∴AE=BE=12AB=5寸，根据勾股定理可知，在Rt △AOE 中，222AO AE OE =+，∴()22251x x =+-，解得：13x =，∴226x =，即CD 长为26寸.【点睛】本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.9．已知△ABC ∽△DEF ， ∠A =85°；∠F =50°，那么cosB 的值是（ ）A ．1B ．12C ．22D 3【答案】C【分析】由题意首先根据相似三角形求得∠B 的度数，然后根据特殊角的三角函数值确定正确的选项即可．【详解】解：△ABC ∽△DEF ，∠A=85°，∠F=50°，∴∠C=∠F=50°，∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-85°-50°=45°，∴cosB=cos45°=22. 故选：C.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质以及三角函数相关，解题的关键是熟练掌握相似三角形的对应角相等．10．不等式23x x -+>的解为（ ）A ．12x >-B ．12x <C ．2x >-D ．2x <【答案】B【分析】根据一元一次不等式的解法进行求解即可．【详解】解：移项得，32x x -->-， 合并得，42x ->-，系数化为1得，12x <． 故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，属于基础题型，明确解法是关键．11．将6497.1亿用科学记数法表示为（ ）A ．6.4971×1012B ．64.971×1010C ．6.5×1011D ．6.4971×1011 【答案】D【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：6497.1亿＝649710000000＝6.4971×1．故选：D ．【点睛】此题主要考查科学记数法，解题的关键是熟知科学记数法的表示方法.12．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，13AD AB =，BC =12，则DE 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】试题解析：在△ABC 中，DE ∥BC ，.ADE ABC ∴∽1.3DE AD BC AB ∴== 12.BC =4.DE ∴=故选B.二、填空题（本题包括8个小题）13．方程290x 的解为________.【答案】3x =±【解析】这个式子先移项，变成x 2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x 2=9，解得x=±1．故答案为3x =±．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．14．甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌牌面数字的积为偶数，则乙获胜.这个游戏________.(填“公平”或“不公平”)【答案】不公平．【分析】先根据题意画出树状图，然后根据概率公式求解即可．【详解】画出树状图如下：共有9种情况，积为奇数有4种情况所以，P （积为奇数）=49 即甲获胜的概率是49，乙获胜的概率是59所以这个游戏不公平.【点睛】解题的关键是熟练掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数的比值.15．如图，圆O 是一个油罐的截面图，已知圆O 的直径为5m ，油的最大深度4CD =m （CD AB ⊥），则油面宽度AB 为__________m ．【答案】1【分析】连接OA ，先求出OA 和OD ，再根据勾股定理和垂径定理即可求出AD 和AB ．【详解】解：连接OA∵圆O 的直径为5m ，油的最大深度4CD =m∴OA=OC=52m ∴OD=CD －OC=32m ∵CD AB ⊥根据勾股定理可得：222OA OD m∴AB=2AD=1m故答案为：1．【点睛】此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键．16．如果抛物线22y ax ax c =++与x 轴的一个交点的坐标是()1,0，那么与x 轴的另一个交点的坐标是___________.【答案】()3,0-【分析】根据抛物线y=ax 2+2ax+c ，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性和抛物线y=ax 2+2ax+c 与x 轴的一个交点的坐标是（1，0），可以得到该抛物线与x 轴的另一个交点坐标．【详解】∵抛物线y=ax 2+2ax+c=a （x+1）2-a+c ，∴该抛物线的对称轴是直线x=-1，∵抛物线y=ax 2+2ax+c 与x 轴的一个交点的坐标是（1，0），∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（-3，0），故答案为：（-3，0）．【点睛】此题考查二次函数的图形及其性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17．如图，ABC △中，5,3,4AB BC AC ===，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则C 的半径为________.【答案】125【解析】试题解析: 在△ABC 中，∵AB=5，BC=3，AC=4，222222345AC BC AB ∴+=+==，90C ∴∠=，如图：设切点为D ，连接CD ，∵AB 是C 的切线，∴CD ⊥AB ，1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅， ∴AC ⋅BC=AB ⋅CD ，即3412.55AC BC CD AB ⋅⨯=== ∴C 的半径为12.5故答案为: 12.5 点睛:如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形.18．二次函数()252y x =--+的最大值是________．【答案】1【分析】题目所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（5，1），也就是当x ＝5时，函数有最大值1．【详解】解：∵()252y x =--+，∴此函数的顶点坐标是（5，1）．即当x ＝5时，函数有最大值1．故答案是：1．【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．三、解答题（本题包括8个小题）19．计算：|1﹣3|+（2019﹣502）0﹣（12）﹣2 【答案】3-4【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】解：：|1﹣3|+（2019﹣502）0﹣（12）﹣2 ＝3﹣1+1﹣4＝3﹣4【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质．20．如图，平面直角坐标系内，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()(),2,04,0A B -，与y 轴交于点()0,6C .()1求二次函数的解析式； ()2点D 为x 轴下方二次函数图象上一点，连接,,,AC BC AD BD ，若ABD △的面积是ABC 面积的一半，求D 点坐标.【答案】（1）233642y x x =-++；（2）点D 坐标为()131,3--或)131,3- 【分析】（1）根据A 、B 、C 三点坐标，运用待定系数法即可解答；（2）由ABD △的面积是ABC 面积的一半，则D 点的纵坐标为-3，令y=3，求得x 的值即为D 点的纵坐标.【详解】解:()1233642y x x =-++ ()2设D 的坐标为（x ，y D ）∵ABD △的面积是ABC 面积的一半 ∴132D y OC ==， 又∵点D 在x 轴下方，即3D y =-.令y=-3，即2333642x x -=-++解得:11x =，21x ，∴点D 坐标为()1,3-或)1,3- 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式和三角形的面积，确定二次函数解析式并确定△ABD 的高是解答本题的关键.21．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x 元(x 为正整数)．据此规律，请回答：(1)商场日销轡量增加 件，每件商品盈利 元(用含x 的代数式表示)；(2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2400元；(3)在上述条件不变，销售正常情况下，求商场日盈利的最大值．【答案】（1）2x ；（50-x ）；（2）每件商品降价1元，商场可日盈利2400元；（3）商场日盈利的最大值为2450元．【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x 元，可多售出2x 件，盈利的钱数＝原来的盈利−降低的钱数；（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数40＋2×降价的钱数），列出方程求解即可；（3）求出（2）中函数表达式的顶点坐标的横坐标即可解决问题．【详解】（1）商场日销售量增加2x 件，每件商品盈利（50−x ）元，故答案为：2x ；（50−x ）；（2）由题意得：（50-x ）（40+2x ）=2400化简得：x 2-30x+10=0，即（x-10）（x-1）=0，解得：x 1=10，x 2=1，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴x=1．答：每件商品降价1元，商场可日盈利2400元．（3） y = （50- x ）×（40+ 2x ） = -2（x-15）2 +2450当x=15时，y 最大值= 2450即 商场日盈利的最大值为2450元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．22．综合与实践在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为BC 边上的任意一点．将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 落在斜边AB 上的点E 处．问是否存在BDE 是直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时CD 的长度．探究展示：勤奋小组很快找到了点D 、E 的位置．如图2，作CAB ∠的角平分线交BC 于点D ，此时C ∠沿AD 所在的直线折叠，点E 恰好在AB 上，且90BED ∠=︒，所以BDE 是直角三角形．问题解决:（1）按勤奋小组的这种折叠方式，CD 的长度为 ．（2）创新小组看完勤奋小组的折叠方法后，发现还有另一种折叠方法，请在图3中画出来．（3）在（2）的条件下，求出CD 的长．【答案】（1）3；（2）见解析；（3）247CD = 【分析】（1）由勾股定理可求AB 的长，由折叠的性质可得AC=AE=6，CD=DE ，∠C=∠BED=90°，由勾股定理可求解；（2）如图所示，当DE ∥AC ，∠EDB=∠ACB=90°，即可得到答案；（3）由折叠的性质可得CF=EF ，CD=DE ，∠C=∠FED=90°，∠CDF=∠EDF=45°，可得DE=CD=CF=EF ，通过证明△DEB ∽△CAB ，可得DE BD AC BC＝ ，即可求解． 【详解】（1）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8， ∴228610AB +=，由折叠的性质可得：△ACD ≌△AED ，∴AC=AE=6，CD=DE ，∠C=∠BED=90°，∴BE=10-6=4，∵BD 2=DE 2+BE 2，∴（8-CD ）2=CD 2+16，∴CD=3，故答案为：3；（2）如图3，当DE∥AC，△BDE是直角三角形，（3）∵DE∥AC，∴∠ACB=∠BDE=90°，由折叠的性质可得：△CDF≌△EDF，∴CF=EF，CD=DE，∠C=∠FED=90°，∠CDF=∠EDF=45°，∴EF=DE，∴DE=CD=CF=EF，∵DE∥AC，∴△DEB∽△CAB，∴DE BD AC BC＝，∴886DE DE-＝，∴DE=247，∴247 CD=【点睛】此题考查几何变换综合题，全等三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．23．（1）如图1，在⊙O中，弦AB与CD相交于点F，∠BCD＝68°，∠CFA＝108°，求∠ADC的度数．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F，若AB＝9，BF＝7，求DE长．【答案】（1）40°；（2）1．【分析】（1）由∠BCD＝18°，∠CFA＝108°，利用三角形外角的性质，即可求得∠B的度数，然后由圆周角定理，求得答案；（2）由正方形的性质和已知条件证明△ADE ∽△ECF ，根据相似三角形的性质可知：DE AD FC CE =，设DE ＝x ，则EC ＝9﹣x ，代入计算求出x 的值即可．【详解】（1）∵∠BCD ＝18°，∠CFA ＝108°，∴∠B ＝∠CFA ﹣∠BCD ＝108°﹣18°＝40°，∴∠ADC ＝∠B ＝40°．（2）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ＝AD ＝BC ＝AB ＝9，∠D ＝∠C ＝90°，∴CF ＝BC ﹣BF ＝2，在Rt △ADE 中，∠DAE+∠AED ＝90°，∵AE ⊥EF 于E ，∴∠AED+∠FEC ＝90°，∴∠DAE ＝∠FEC ，∴△ADE ∽△ECF ，∴DE AD FC CE=， 设DE ＝x ，则EC ＝9﹣x ， ∴929x x =-， 解得x 1＝3，x 2＝1，∵DE ＞CE ，∴DE ＝1．【点睛】此题考查三角形的外角的性质，圆周角定理，正方形的性质，三角形相似的判定及性质.24．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为OC 上动点（不与O 、C 重合），作AF BE ⊥，垂足为G ，分别交BC 、OB 于F 、H ，连接OG 、CG ．（1）求证：AOH BOE ∆∆≌；（2）求AGO ∠的度数；（3）若90OGC ∠=︒，6BG =OGC ∆的面积．【答案】（1）见解析；（2）45AGO ∠=︒；（3）3【分析】（1）结合正方形的性质利用ASA 即可证明AOH BOE ∆∆≌；（2）由两组对应角相等可证AOH BGH ∆∆∽，由相似三角形对应线段成比例再等量代换可得OH GH AH BH=，由两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似可证OHG AHB ∆∆∽，由相似三角形对应角相等可得AGO ∠的度数；（3）结合相似三角形对应角相等及直角三角形的性质根据两组对应角相等的两个三角形相似可证BGO CGB ∆∆∽，由其对应线段成比例的性质可得OG CG ⋅的值，由三角形面积公式计算即可.【详解】解：（1）四边形ABCD 是正方形，OA OB ∴=，90AOB BOE ∠=∠=︒，AF BE ⊥，90GAE AEG OBE AEG ∴∠+∠=∠+∠=︒，GAE OBE ∴∠=∠，()AOH BOE ASA ∴∆∆≌（2）90AOH BGH ∠︒∠==，AHO BHG ∠=∠，AOH BGH ∴∆∆∽OH AH GH BH∴=， OH GH AH BH ∴=， OHG AHB ∠=∠，OHG AHB ∴∆∆∽45AGO ABO ∴∠=∠=︒，（3）90ABC ∠=︒，AF BE ⊥，即90AGB BGF ∠=∠=︒90,90BAG ABG FBG ABG ∴∠+∠=︒∠+∠=︒BAG FBG ∴∠=∠，OHG AHB ∆∆∽GOH BAG ∴∠=∠，GOH FBG ∴∠=∠，即GOB CBG ∠=∠45AGO =︒∠，90OGC ∠=︒，18045CGF AGO OGC ∴∠=︒-∠-∠=︒135BGO CGB ∴∠=∠=︒，BGO CGB ∴∆∆∽OG BG BG CG ∴=， 26BG OG CG ∴=⋅=，16S 322OGC OG CG ∆∴=⋅==. 【点睛】本题综合考查了正方形与三角形的综合，涉及了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，灵活的利用相似三角形的判定与性质是解题的关键.25．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且BD=BC ，延长AD 到E ，且有∠EBD=∠CAB ．⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若BC =3，AC=5，求圆的直径AD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）1【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB 从而得到∠BAD=∠EBD ，最后用直径所对的圆周角为直角即可；（2）利用三角形的中位线先求出OM ，再用勾股定理求出半径r ，最后得到直径的长．【详解】解：⑴证明：连接OB,CD,OB 、CD 交于点M∵BC=BD ，∴∠CAB=∠BAD .∵OA=OB,∴∠BAD=∠OBA.∴∠CAB=∠OBA.∴OB ∥AC.又AD 是直径,∴∠ABD=∠ACD =90°，又∠EBD=∠CAB, ∠CAB=∠OBA.∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.又OB是半径,∴BE是⊙O的切线．⑵∵ OB∥AC, OA=OD,AC=5,.∴ OM=2.5 ,BM=OB-2.5,OB⊥CD设⊙O的半径为r，则在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2 ,BD=BC=3.∴r1=3 ,r2=-0.5(舍).∴圆的直径AD的长是1．【点睛】此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，勾股定理等，解本题的关键是作出辅助线．26．如图，请仅用无刻度．．．的直尺画出线段BC的垂直平分线．（不要求写出作法，保留作图痕迹）（1）如图①，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC；（2）如图②，已知四边形ABCD为矩形，AB、CD与⊙O分别交于点E、F．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．【分析】（1）如图，作直线OA即可，OA即为所求；（2）连接AF、DE交于点O，连接EC、BH交于点H，连接OH即可．【详解】解：（1）如图①，作直线OA即可，OA即为所求；（2）如图②，连接AF、DE交于点O，连接EC、BH交于点H，连接OH即可，直线OH即为所求．【点睛】本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、垂径定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题．27．小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，她在地面上竖直立一根2米长的标杆CD，某一时刻测得其影长DE＝1.2米，此时旗杆AB在阳光下的投影BF＝4.8米，AB⊥BD，CD⊥BD．请你根据相关信息，求旗杆AB的高．【答案】旗杆AB的高为8m．【分析】证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．【详解】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠AFB＝∠CED，而∠ABF＝∠CDE＝90°，∴△ABF∽△CDE，∴ABCD＝BFDE，即4.82 1.2AB，∴AB＝8（m）．答：旗杆AB的高为8m．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列函数中，y 的值随着x 逐渐增大而减小的是（ ）A ．2y x =B ．2y xC ．2y x =-D ．1y x =-【答案】D【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．【详解】A 选项函数2y x =的图象是y 随着x 增大而增大，故本选项错误；B 选项函数2y x 的对称轴为0x =，当0x ≤时y 随x 增大而减小故本选项错误；C 选项函数2y x =-，当0x <或0x >，y 随着x 增大而增大故本选项错误；D 选项函数1y x =-的图象是y 随着x 增大而减小，故本选项正确；故选D.【点睛】本题考查了三种函数的性质，了解它们的性质是解答本题的关键，难度不大．2．在圆内接四边形ABCD 中，ADC 与ABC 的比为3:2，则B 的度数为（ ）A ．36︒B ．72︒C ．108︒D ．216︒【答案】C【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质即可求得．【详解】∵在圆内接四边形ABCD 中，ADC ：ABC ＝3：2，∴∠B ：∠D ＝3：2，∵∠B ＋∠D ＝180°，∴∠B ＝180°×35＝108︒．故选C.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，120BCD ∠=︒．若⊙O 的半径为2，则BD 的长为（ ）A．23B．4 C．32D．3【答案】A【分析】圆内接四边形的对角互补，可得∠A，圆周角定理可得∠BOD，再利用等腰三角形三线合一、含有30°直角三角形的性质求解．【详解】连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E，∵∠BOD＝120°，∠BOD＋∠A＝180°，∴∠A＝60°，∠BOD＝2∠A＝120°，∵OB＝OD，OE⊥BD，∴∠EOD＝12∠BOD＝60°，BD＝2ED，∵OD＝2，∴OE＝1，ED＝3，∴BD＝23，故选A．【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟悉“三线合一”是解答的关键．4．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.30左右，则布袋中黄球可能有（）A．12个B．14个C．18个D．28个【答案】A【分析】根据概率公式计算即可．【详解】解：设袋子中黄球有x 个， 根据题意，得：40x ＝0.30， 解得：x ＝12，即布袋中黄球可能有12个，故选：A ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．5．如图，直线AC,DF 被三条平行线所截，若 DE:EF=1:2，AB=2，则AC 的值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．52【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出BC ，计算即可．【详解】解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴12AB DE BC EF == ， 又∵AB=2，∴BC=4，∴AC=AB+BC=1．故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 6．已知点A （-2，m ），B （2，m ），C （3，m ﹣n ）（n ＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝﹣2xC ．y ＝x 2D ．y ＝﹣x 2【答案】D【分析】可以采用排除法得出答案，由点A （-2，m ），B （2，m ）关于y 轴对称，于是排除选项A 、B ；再根据B （2，m ），C （3，m ﹣n ）（n ＞0）的特点和二次函数的性质，可知抛物线在对称轴的右侧呈下降趋势，所以抛物线的开口向下，即a<0.【详解】解：∵A （-2，m ），B （2，m ）关于y 轴对称，且在同一个函数的图像上，而y x =，2y x=-的图象关于原点对称， ∴选项A 、B 错误，只能选C 、D ， 0n >， m n m ∴-<；∵()2,B m ，()3,C m n -在同一个函数的图像上， 而 y ＝x 2在y 轴右侧呈上升趋势，∴选项C 错误，而D 选项符合题意.故选：D ．【点睛】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，熟悉各个函数的图象和性质是解题的基础，发现点的坐标关系是解题的关键.7．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（ ）A ．23B ．16C ．13D ．12【答案】D【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．详解：∵共6个数，大于3的有3个，∴P （大于3）=3162=. 故选D ．点睛：本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 8．计算2(3)-的结果等于（ ）A ．-6B ．6C ．-9D ．9 【答案】D【分析】根据有理数乘方运算的法则计算即可．【详解】解：2(93)-=，故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握运算法则是解题的关键．9．二次函数21y x mx =++的图象的顶点在坐标轴上，则m 的值（ ）A ．0B ．2C ．2±D ．0或2±【答案】D【解析】试题解析: 当图象的顶点在x 轴上时，∵二次函数21y x mx =++的图象的顶点在x 轴上，∴二次函数的解析式为：2(1)y x =±， ∴m=±2.当图象的顶点在y 轴上时，m=0，故选D.10．在四张完全相同的卡片上．分别画有等腰三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】C【分析】在等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】∵等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆， ∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：34． 故选：C ．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n．也考查了中心对称图形的定义． 11．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( ) A ．y=2(x+1)2+3 B ．y=2(x －1)2－3C ．y=2(x+1)2－3D ．y=2(x －1)2+3 【答案】A【分析】抛物线平移不改变a 的值．【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，1）．可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+1．故选：A．12．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】B【解析】试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.考点：一元二次方程根的判别式．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.【答案】1【解析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：1，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【详解】如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=12CK，BF=12BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：1，∴KO=OF=12CF=12BF，在Rt △PBF 中，tan ∠BOF=BF OF=1， ∵∠AOD=∠BOF ，∴tan ∠AOD=1．故答案为1【点睛】 此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．14．如图，四边形ABCD ，EFGH 都是平行四边形，点O 是ABCD 内的一点，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB 上，OC ，OD 的一点，//EF AB ，3OA OE =，若阴影部分的面积为5，则ABCD 的面积为__________．【答案】90 【分析】根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，EF ∥HG ，EF=HG ，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵四边形,ABCD EFGH 都是平行四边形， ∴//EF GH ，//AB CD ，∴//////AB EF HG DC ，∴OEF OAB △∽△，OHG ODC △∽△．又∵3OA OE =，∴13OH OG OF OE OD OC OB OA ====， ∴19OEF OAB S S =△△，19OFG OBC S S =△△，19OEH OCD S S =△△， 19OEH OAD S S =△△．易知5OFG OEH OEF QGH S S S S +=+=△△△△， ∴OAB OCD OBC OAD S S S S +++△△△△()()99959590OEF OGH OEG OEH S S S S =+++=⨯+⨯=△△△△【点睛】此题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．15．二次函数y=x 2+bx+c 的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x=________【答案】-1【解析】根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x=-1对称，由此可得到抛物线的对称轴．【详解】∵点（3，4）和（-5，4）的纵坐标相同，∴点（3，4）和（-5，4）是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x=-1对称，∴抛物线的对称轴为直线x=-1．故答案为-1．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标是（-2b a ，244ac b a-），对称轴直线x=-2b a． 16．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出_____．【答案】4个小支干．【分析】设每个支干长出x 个小支干，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每个支干长出x 个小支干，根据题意得：21x x 21++=，解得：1x 5(=-舍去)，2x 4=．故答案为4个小支干．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m ，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m ．【答案】1。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（）A．32y x=-B．23y x=-C．32y x=D．23y x=【答案】A【分析】根据待定系数法求解即可．【详解】解：设函数的解析式是y＝kx，根据题意得：2k＝﹣3，解得：k＝﹣32．故函数的解析式是：y＝﹣32 x．故选：A．【点睛】本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题关键．2．关于二次函数y＝x2+2x+3的图象有以下说法：其中正确的个数是（）①它开口向下；②它的对称轴是过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线；③它与x轴没有公共点；④它与y 轴的交点坐标为（3，0）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】直接利用二次函数的性质分析判断即可．【详解】①y＝x2+2x+3，a＝1＞0，函数的图象的开口向上，故①错误；②y＝x2+2x+3的对称轴是直线x＝221-⨯＝﹣1，即函数的对称轴是过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线，故②正确；③y＝x2+2x+3，△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即函数的图象与x轴没有交点，故③正确；④y＝x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，即函数的图象与y轴的交点是（0，3），故④错误；即正确的个数是2个，故选：B．本题考查二次函数的特征，解题的关键是熟练掌握根据二次函数解析式求二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点坐标．3．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，且DE ∥BC ，若AD ：DB=3：2，AE=6，则EC 等于（ ）A ．10B ．4C ．15D ．9【答案】B 【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴，即 ，解得，EC=4，故选：B ．【点睛】考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．4．二次函数y = x 2+2的对称轴为（ ）A ．2x =B ．0x =C ．2x =-D ．1x =【答案】B【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】二次函数y = x 2+2的对称轴为直线0x =．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a ，b ，c 为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k 的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h ，k ），对称轴是x=h ．5．已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° 【答案】D【解析】由图可知，OA=10，OD=1．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB 的度数，再根据圆周定理求出∠C 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E 的度数即可．【详解】由图可知，OA=10，OD=1，在Rt △OAD 中，∵OA=10，OD=1，AD=22OA OD -=53，∴tan ∠1=3AD OD=，∴∠1=60°， 同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴∠C=60°，∴∠E=180°-60°=120°,即弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°，故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.6．如图所示，矩形纸片ABCD 中，6AD cm =，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为（ ）A ．3.5cmB ．4cmC ．4.5cmD ．5cm【答案】B 【分析】设AB=xcm ，则DE=（6-x ）cm ，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【详解】设AB x =，则DE=（6-x ）cm ，由题意，得()906180x x ππ⋅=-， 解得4x =.故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．7．如图，在Rt △ABC 中，AC=3，AB=5，则cosA 的值为( )A ．45B ．35C ．34D ．43【答案】B【分析】根据余弦的定义计算即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，3cos 5AC A AB ==； 故选：B.【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键． 8．两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为x ，则根据题意列出的方程正确的是（ ） A ．()1323+=x xB ．()2323+=x xC ．()2323-=x xD ．()()2121323+-=x x 【答案】B【分析】根据连续奇数的关系用x 表示出另一个奇数，然后根据乘积列方程即可．【详解】解：根据题意：另一个奇数为：x ＋2∴()2323+=x x故选B ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握数字之间的关系是解决此题的关键．9．分别写有数字﹣4，0，﹣1，6，9，2的六张卡片，除数字外其它均相同，从中任抽一张，则抽到偶数的概率是（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【分析】根据概率公式直接计算即可．【详解】解：在这6张卡片中，偶数有4张， 所以抽到偶数的概率是46＝23， 故选：D ．本题主要考查了随机事件的概率，随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，灵活利用概率公式是解题的关键.10．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -，顶点坐标为()1,n ，与y 轴的交点在()0,2、()0,3之间（包含端点）．有下列结论： ①当3x =时，0y =；②30a b +>；③213a -≤≤-；④843n ≤≤． 其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】①由抛物线的顶点坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为x=1，结合抛物线的对称性及点A 的坐标，可得出点B 的坐标，由点B 的坐标即可断定①正确；②由抛物线的开口向下可得出a ＜1，结合抛物线对称轴为x=-2ab =1，可得出b=-2a ，将b=-2a 代入2a+b 中，结合a ＜1即可得出②不正确；③由抛物线与y 轴的交点的范围可得出c 的取值范围，将（-1，1）代入抛物线解析式中，再结合b=-2a 即可得出a 的取值范围，从而断定③正确；④结合抛物线的顶点坐标的纵坐标为244ac b a-，结合a 的取值范围以及c 的取值范围即可得出n 的范围，从而断定④正确．综上所述，即可得出结论．【详解】解：①由抛物线的对称性可知：抛物线与x 轴的另一交点横坐标为1×2-（-1）=2，即点B 的坐标为（2，1），∴当x=2时，y=1，①正确；②∵抛物线开口向下，∴a ＜1．∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），∴抛物线的对称轴为x=-2b a=1， ∴b=-2a ，2a+b=a ＜1，②不正确；③∵抛物线与y 轴的交点在（1，2）、（1，2）之间（包含端点），∴2≤c≤2．令x=-1，则有a-b+c=1，∴2a=-c ，即-2≤2a≤-2，解得：-1≤a≤-23，③正确； ④∵抛物线的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ， ∴n=244ac b a -=c-2b 4a, 又∵b=-2a ，2≤c≤2，-1≤a≤-23， ∴n=c-a ，83≤n≤4，④正确． 综上可知：正确的结论为①③④．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐标是关键．11．下列函数的图象，不经过原点的是（ ）A ．32x y =B ．y ＝2x 2C ．y ＝（x ﹣1）2﹣1D ．3y x= 【答案】D【分析】根据函数图象上的点的坐标特征可以知道，经过原点的函数图象，点（0，0）一定在函数的解析式上；反之，点（0，0）一定不在函数的解析式上．【详解】解：A 、当x ＝0时，y ＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；B 、当x ＝0时，y ＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；C 、当x ＝0时，y ＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；D 、当x ＝0时，原方程无解，即该函数图象一定不经过原点（0，0）．故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的图象,熟悉正比例函数,二次函数和反比例函数图象的特点是解题关键.12．小敏打算在某外卖网站点如下表所示的菜品和米饭.已知每份订单的配送费为3元，商家为促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元.如果小敏在购买下表的所有菜品和米饭时，采取适当的下单方式，那么他的总费用最低可为（ ） 菜品单价（含包装费） 数量 水煮牛肉（小） 30元 1醋溜土豆丝（小）12元 1豉汁排骨（小）30元 1手撕包菜（小）12元 1米饭3元 2A．48元B．51元C．54元D．59元【答案】C【分析】根据满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，即可得到结论．【详解】小宇应采取的订单方式是60一份，30一份，所以点餐总费用最低可为60−30＋3＋30−12＋3＝54元，答：他点餐总费用最低可为54元．故选C.【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确的理解题意是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是_____．【答案】（﹣2，3）．【解析】根据坐标轴的对称性即可写出.【详解】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点睛】此题主要考查直角坐标系内的坐标变换，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.14．某校七年级共380名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中20名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有______人.【答案】152.【解析】随机抽取的50名学生的成绩是一个样本，可以用这个样本的优秀率去估计总体的优秀率，从而求得该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数．【详解】随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有20名学生成绩达到优秀，∴样本优秀率为：20÷50=40%，又∵某校七年级共380名学生参加数学测试，∴该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为：380×40%=152人.【点睛】本题考查了用样本估计总体，解题的关键是求样本的优秀率.15．已知tan （α+15°）=，则锐角α的度数为______°． 【答案】15【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：tan （α+15°）∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．16．在ABC 中，AB AC =，点D 在直线BC 上，3DC DB =，点E 为AB 边的中点，连接AD ，射线CE 交AD 于点M ，则AM MD 的值为________. 【答案】23或43【分析】分两种情况讨论：①当D 在线段BC 上时，如图1，过D 作DH ∥CE 交AB 于H ．②当D 在线段CB 延长线上时，如图2，过B 作BH ∥CE 交AD 于H ．利用平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】分两种情况讨论：①当D 在线段BC 上时，如图1，过D 作DH ∥CE 交AB 于H ．∵DH ∥CE ， ∴13BH BD HE CD ==． 设BH=x ，则HE=3x ，∴BE=4x ．∵E 是AB 的中点，∴AE=BE=4x ．∵EM ∥HD ， ∴4433AM AE x MD EH x ===． ②当D 在线段CB 延长线上时，如图2，过B 作BH ∥CE 交AD 于H ．∵DC=3DB ，∵BH ∥CE ， ∴12DH BD HM BC ==． 设DH=x ，则HM=2x ．∵E 是AB 的中点，EM ∥BH ，∴1AM AE MH EB==， ∴AM=MH=2x ，∴2233AM x MD x ==． 综上所述：AM MD 的值为23或43．故答案为：23或43． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握辅助线的作法是解答本题的关键．17．写出一个对称轴是直线1x =，且经过原点的抛物线的表达式______．【答案】答案不唯一（如22y x x =-）【分析】抛物线的对称轴即为顶点横坐标的值，根据顶点式写出对称轴是直线1x =的抛物线表达式，再化为一般式，再由经过原点即为常数项c 为0，即可得到答案.【详解】解：∵对称轴是直线1x =的抛物线可为：22(1)21y x x x =-=-+又∵抛物线经过原点，即C=0，∴对称轴是直线1x =，且经过原点的抛物线的表达式可以为：22y x x =-，故本题答案为：22y x x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同．【答案】 (﹣6，﹣3)．【分析】根据“在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的两点的坐标横坐标相同、纵坐标互为相反数”，即可得解．【详解】()6,3P -关于x 轴对称的点的坐标为()6,3--故答案为：()6,3--【点睛】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于x 轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．三、解答题（本题包括8个小题）19．某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为 ；“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有 人，补全条形统计图．（2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？（3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率．【答案】（1）144°，1；（2）180；（3）16． 【解析】试题分析：（1）用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算得到“经常参加”所对应的圆心角的度数；先求出“经常参加”的人数，然后减去其它各组人数得出喜欢足球的人数；进而补全条形图；（2）用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解；（3）先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”所占结果数，然后根据概率公式求解．试题解析：（1）360°×（1﹣15%﹣45%）=360°×40%=144°；补全统计图如图所示：故答案为：144°，1；（2）全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数约为：1200×640=180人；（3）设A代表“乒乓球”、B代表“篮球”、C代表“足球”、D代表“羽毛球”，画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”的情况占2种，所以选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率是212=16．点睛：本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图．20．如图，在 O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB=30°.(1)求∠AOC的度数.(2)若弦BC=8cm，求图中劣弧BC的长.【答案】（1）60°；（2）1639π【分析】（1）先根据垂径定理得出BE=CE，AB AC，再根据圆周角定理即可得出∠AOC的度数；（2）连接OB，先根据勾股定理得出OE的长，由弦BC=8cm，可得半径的长，继而求劣弧BC的长；【详解】解：（1）连接OB，∵BC⊥OA，∴BE=CE，AB AC=，又∵∠ADB=30°，∴∠AOC=∠AOB=2∠ADB，∴∠AOC=60°；（2）连接OB得，∠BOC=2∠AOC=120°，∵弦BC=8cm，OA⊥BC，∴CE=4cm，∴OC=83=sin60CE︒cm，∴劣弧BC的长为：831201633=1809ππ⨯⨯；【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，掌握勾股定理，垂径定理，圆周角定理是解题的关键. 21．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）y＝180(4060)3300(6090)x xx x-+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W＝222105400(4060)33909000(6090)x x xx x x⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是1．【分析】（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=1，于是得到结论．【详解】解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（40，140），（60，120）代入得40140 60120k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：1180 kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，将（90，30），（60，120）代入得9030 60120m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：3300 mn=-⎧⎨=⎩，∴y＝﹣3x+300；综上所述，y＝180(4060) 3300(6090)x xx x-+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，综上所述，W＝222105400(4060) 33909000(6090)x x xx x x⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩；（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，∵﹣1＜0，对称轴x＝2102--＝105，∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，∵﹣3＜0，对称轴x＝3906--＝65，∵60＜x≤90，∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝1，∵1＞3600，∴当x＝65时，W最大＝1，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是1．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．22．已知关于x 的一元二次方程()222110k x k x +-+=． （1）若方程有实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两个实数根的倒数的平方和等于14，求k 的值．【答案】（1）12k ≤且0k ≠；（2）1k =- 【分析】(1)根据方程有实数根得出()2221484]0k k k ∆=--=-+≥[，且20k ≠解之可得；(2)利用根与系数的关系可用k 表示出221211x x +的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解： (1)由于是一元二次方程且有实数根，所以20k ≠，即0k ≠，且()2221484]0k k k ∆=--=-+≥[ ∴12k ≤且0k ≠ (2)设方程的两个根为12x x 、，则1222(1)k x x k -+=-，1221x x k ⋅= ∴222222121212222222121212()2114(1)22(42)14x x x x x x k k k k x x x x x x ++-⋅+===--=-+= 整理，得2(2)9k -=解得1215k k =-=，根据(1)中12k ≤且0k ≠，得11k =-. 【点睛】此题主要考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．23．如图，△ABC 的顶点都在方格线的交点（格点）上．（1）将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B′C′；（2）将△ABC 向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到△A″B″C″，请在图中画出△A″B″C″； （3）若将△ABC 绕原点O 旋转180°，A 的对应点A 1的坐标是 ．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（2，﹣3）．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用关于原点对称点的性质直接得出答案．【详解】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）如图所示：△A″B″C″，即为所求；（3）将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是（2，﹣3）．【点睛】考点：1.-旋转变换；2.-平移变换．24．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数kyx（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝3x-；（2）P（0，2）或（－3，5）；（3）M（123-+，0）或（331+，0）．【解析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出S△ACP＝12×3×|n＋1|，S△BDP＝12×1×|3−n|，进而建立方程求解即可得出结论；（3）设出点M坐标，表示出MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）∵直线y＝－x＋2与反比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，∴a＝－1，b＝－1，∴A（－1，3），B（3，－1），∵点A（－1，3）在反比例函数y＝kx上，∴k＝－1×3＝－3，∴反比例函数解析式为y＝3x -；（2）设点P（n，－n＋2），∵A（－1，3），∴C（－1，0），∵B（3，－1），∴D（3，0），∴S△ACP＝12AC×|x P−x A|＝12×3×|n＋1|，S△BDP＝12BD×|x B−x P|＝12×1×|3−n|，∵S△ACP＝S△BDP，∴12×3×|n＋1|＝12×1×|3−n|，∴n＝0或n＝−3，∴P（0，2）或（−3，5）；（3）设M（m，0）（m＞0），∵A（−1，3），B（3，−1），∴MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝（3＋1）2＋（−1−3）2＝32，∵△MAB是等腰三角形，∴①当MA＝MB时，∴（m＋1）2＋9＝（m−3）2＋1，∴m＝0，（舍）②当MA＝AB时，∴（m＋1）2＋9＝32，∴m＝−1m＝，∴M（−10）③当MB＝AB时，（m−3）2＋1＝32，∴m＝3m＝，∴M（30）即：满足条件的M（−10）或（3＋0）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，与x轴相交于A、B两点（点A在点B 的右侧），点A的坐标为（m，0），且AB＝1．（1）填空：点B的坐标为（用含m的代数式表示）；（2）把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，△ABP的面积为8：①求抛物线的解析式（用含m的代数式表示）；②当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为12时，求m的值．【答案】（1）（m﹣1，0）；（3）①y＝18（x﹣m）（x﹣m+1）；②m的值为：3+或3﹣或3≤m≤3．【分析】（1）A的坐标为（m，0），AB=1，则点B坐标为（m-1，0）；（3）①S△ABP=12•AB•y P=3y P=8，即：y P=1，求出点P的坐标为（1+m，1），即可求解；②抛物线对称轴为x=m-3．分x=m-3≥1、0≤x=m-3≤1、x=m-3≤0三种情况，讨论求解.【详解】解：（1）A的坐标为（m，0），AB＝1，则点B坐标为（m﹣1，0），故答案为（m﹣1，0）；（3）①S△ABP＝12AB•y P＝3y P＝8，∴y P＝1，把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，此时，直线AP表达式中的k值为1，设：直线AP的表达式为：y＝x+b，把点A坐标代入上式得：m+b＝0，即：b＝﹣m，则直线AP的表达式为：y＝x﹣m，则点P的坐标为（1+m，1），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣m+1），把点P坐标代入上式得：a（1+m﹣m）（1+m﹣m+1）＝1，解得：a＝18，则抛物线表达式为：y＝18（x﹣m）（x﹣m+1），②抛物线的对称轴为：x＝m﹣3，当x＝m﹣3≥1（即：m≥3）时，x＝0时，抛物线上的点到x轴距离为最大值，即：18（0﹣m）（0﹣m+1）＝12±，解得：m＝3或3±32，∵m≥3，故：m＝3+32；当0≤x＝m﹣3≤1（即：3≤m≤3）时，在顶点处，抛物线上的点到x轴距离为最大值，即：﹣18（m﹣3﹣m）（m﹣3﹣m+1）＝12，符合条件，故：3≤m≤3；当x＝m﹣3≤0（即：m≤3）时，x＝1时，抛物线上的点到x轴距离为最大值，即：18（1﹣m）（1﹣m+1）＝12±，解得：m＝3或2，∵m≤3，故：m＝3﹣2；综上所述，m的值为：2或3﹣2或3≤m≤3．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到图象旋转、一次函数基本知识等相关内容，其中（3）中，讨论抛物线对称轴所处的位置与0，1的关系是本题的难点．26．计算：（1）已知23x y =，求x y y +的值； （2）6cos 245°﹣2tan30°•tan60°．【答案】（1）53；（2）1． 【分析】(1)先把x y y+化成1x y +,再代入计算即可; (2)根据特殊角的三角函数进行计算即可得出答案．【详解】（1）∵23x y =, ∴1x y x y y+=+, ＝23+1, ＝53; （2）6cos 245°﹣2tan30°•tan60°,＝6×（2）2﹣2×3×3, ＝6×12﹣2, ＝1．【点睛】本题主要考查了比例的性质和特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握比例的性质和几个特殊三角函数值.27．如图，一次函数6y x =-+的图象与反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限的图象交于()2,A a 和B 两点，与x 轴交于点C .（1）求反比例函数的解析式；（2）若点M 在x 轴上，且AMC ∆的面积为10，求点M 的坐标.【答案】（1）8y x=；（2）()1,0或()11,0 【分析】（1）先把点()2,A a 代入6y x =-+解得a 的值，再代入反比例函数(0)k y k x=≠中解得k 的值即可； （2）AMC ∆的面积可以理解为是以MC 为底，点A 的纵坐标为高，根据三角形的面积公式列式求解即可.【详解】解：（1）把点()2,A a 代入6y x =-+，得26a =-+，解得：4a =，()2,4A ∴把()2,4A 代入反比例函数k y x=， 248k ∴=⨯=； ∴反比例函数的表达式为8y x =； （2）一次函数6y x =-+的图象与x 轴交于点C ，()6,0C ∴，设(),0M x ，6MC x ∴=-，164102AMC S x ∆∴=-⨯=， 1x ∴=或11x =，M ∴的坐标为()1,0或()11,0.【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，注意MC 的值有两个.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在平面直角坐标系中，抛物线(5)(3)y x x =+-经过变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位【答案】B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），故选B ．【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 2．如图所示的抛物线是二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列结论：①abc ＞0；②b+2a=0；③抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0）；④a+c ＞b ，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】试题分析：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=2b a-=1，∴b=﹣2a ＜0，所以②正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＞0，所以①正确；∵点（﹣2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（4，0），所以③正确；∵x=﹣1时，y ＜0，即a ﹣b+c ＜0，∴a+c ＜b ，所以④错误．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系．3．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】A【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：110°•（n-2）=3×360°解得n=1．故选A．点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．4．若反比例函数y=kx的图象经过点（2，﹣6），则k的值为（）A．﹣12 B．12 C．﹣3 D．3 【答案】A【解析】试题分析：∵反比例函数kyx=的图象经过点（2，﹣6），∴2(6)12k=⨯-=-，解得k=﹣1．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．5．矩形ABCD中，AB＝10，42BC=，点P在边AB上，且BP:AP=4:1，如果⊙P是以点P 为圆心，PD 长为半径的圆，那么下列结论正确的是（）A．点B、C均在⊙P外B．点B在⊙P外，点C在⊙P内C．点B在⊙P内，点C在⊙P外D．点B、C均在⊙P内【答案】A【分析】根据BP=4AP和AB的长度求得AP的长度，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长；根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可【详解】根据题意画出示意图，连接PC，PD，如图所示∵AB=10,点P在边AB上，BP:AP=4:1∴AP=2 , BP=8又∵AD=42BC=∴圆的半径22(42)2=6+22(42)8=32+64=46+∵PB=8>6, PC=46>6 ∴点B 、C 均在⊙P 外 故答案为：A 【点睛】 本题考查了点和圆的位置关系的判定，根据点和圆心之间的距离和半径的大小关系作出判断即可 6．如果2a ＝5b ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．25a b =B ．25a b =C ．52a b =D ．25a b = 【答案】C【分析】由2a ＝5b ，根据比例的性质，即可求得答案．【详解】∵2a ＝5b ，∴52a b =或52a b =．故选：C ． 【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知等式与分式的性质.7．已知一元二次方程2330p p --=，2330q q --=，则p q +的值为（ ）A ．3-B ．3C ．3-D ．3 【答案】B【分析】根据题干可以明确得到p,q 是方程2330x x --=的两根,再利用韦达定理即可求解.【详解】解：由题可知p,q 是方程2330x x --=的两根,∴p+q=3,故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键.8．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OFA 的度数是（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】B 【解析】由旋转的性质和正方形的性质可得∠FOC ＝40°，AO ＝OD ＝OC ＝OF ，∠AOC ＝90°，再根据等腰三角形的性质可求∠OFA 的度数．【详解】∵正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，∴∠FOC ＝40°，AO ＝OD ＝OC ＝OF ，∠AOC ＝90°∴∠AOF ＝130°，且AO ＝OF ，∴∠OFA ＝25°故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 9．在一个不透明的布袋中，有红色、黑色、白色球共40个，它们除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则布袋中白色球的个数可能是（ ）A ．24B ．18C ．16D ．6【答案】C【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率＝频数计算白球的个数．【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴摸到白球的频率为1−15%−45%＝40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个．故选：C ．【点睛】大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．10．如图，已知DE∥BC，CD 和BE 相交于点O ，S △DOE ：S △COB =4：9，则AE ：EC 为（ ）A ．2：1B ．2：3C ．4：9D ．5：4【答案】A 【解析】试题解析：∵ED ∥BC ，.DOE COB AED ACB ∴∽，∽:4:9DOE BOC DOE COB S S ∽，，=:2:3.ED BC ∴=AED ACB ∽，::.ED BC AE AC ∴=:2:3,?::ED BC ED BC AE AC ，==:2:3AE AC ∴=，:2:1.AE EC ∴=故选A.点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.11．已知OA=5cm ，以O 为圆心，r 为半径作⊙O ．若点A 在⊙O 内，则r 的值可以是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【答案】D【解析】试题分析：根据题意可知，若使点A 在⊙O 内，则点A 到圆心的大小应该小于圆的半径，因此圆的半径应该大于1．故选D考点：点与圆的位置关系12．已知反比例函数y ＝k x的图象如图所示，则二次函数y ＝k 2x 2+x ﹣2k 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据已知图象确定反比例函数的系数k 的正负，然后再依次确定二次函数的开口方向、对称轴、与y 轴的交点坐标确定出合适图象即可.【详解】解：∵反比例函数图象位于第一三象限，∴k ＞0，∴k 2＞0，﹣2k ＜0，∴抛物线与y 轴的交点（0，－2k ）在y 轴负半轴，∵k 2＞0，∴二次函数图象开口向上，∵对称轴为直线x ＝212k -＜0，∴对称轴在y 轴左边， 纵观各选项，只有A 选项符合．故选：A ．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知35x y =，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）A ．53x y =B ．8x y +=C ．85x y y += D ．35x x y y +=+【答案】B【分析】根据比例的性质作答．【详解】A 、由比例的性质得到3y=5x ，故本选项不符合题意． B 、根据比例的性质得到x+y=8k （k 是正整数），故本选项符合题意． C 、根据合比性质得到85x y y +=，故本选项不符合题意． D 、根据等比性质得到35x x y y +=+，故本选项不符合题意．故选：B ． 【点睛】此题考查了比例的性质，解题关键在于需要掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质． 2．如图，这是二次函数226y ax bx a a =+++-的图象，则a 的值等于（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-【答案】D【分析】由题意根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式得到26a a +- =0，然后解关于a 的方程即可．【详解】解：因为二次函数图象过原点，所以把（0，0）代入二次函数226y ax bx a a =+++-得出26a a +- =0，解得2a =或3a =-， 又因为二次函数图象开口向下， 所以3a =-. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式进行分析作答即可．3．如图，矩形草坪ABCD中，AD＝10 m，AB＝103m．现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG，扇环的圆心分别是B，D．若便道的宽为1 m，则这条便道的面积大约是（）（精确到0.1 m2）A．9.5 m2B．10.0 m2C．10.5 m2D．11.0 m2【答案】C【分析】由四边形ABCD为矩形得到△ADB为直角三角形，又由AD＝10，AB＝103，由此利用勾股定理求出BD＝20，又由cos∠ADB＝12ADDB=，得到∠ADB＝60°，又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°且外环半径为10.1，内环半径为9.1．这样可以求出每个扇环的面积．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴△ADB为直角三角形，又∵AD＝10，AB＝103，∴BD＝22AD AB+，又∵cos∠ADB＝12 ADDB=，∴∠ADB＝60°．又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°，且外环半径为10.1，内环半径为9.1．∴每个扇环的面积为223010.5309.553603603πππ⨯⨯⨯⨯-=．∴当π取3.14时整条便道面积为53π×2＝10.4666≈10.1m2．便道面积约为10.1m2．故选：C．【点睛】此题考查内容比较多，有勾股定理、三角函数、扇形面积，做题的关键是把实际问题转化为数学问题．4．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍，得到△A´B´C´,以下说法错误的是（）A．:2:1BB BO'=B．△ABC∽△A´B´C´C．AB∥A´B´D．点C,点O,点'C三点共线【答案】A【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，OB´：BO＝2：1，故选项A错误，符合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．5．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF 的面积之比为（）A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25【答案】C【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得出结果.【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC=3：2，∴33325 DEBA==+，∴29()25DEF BAFS DE SBA ==． 故选C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.6．点A(1，y 1)、B(3，y 2)是反比例函数y ＝9x图象上的两点，则y 1、y 2的大小关系是( ) A ．y 1＞y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定【答案】A【解析】∵反比例函数y ＝9x中的9>0， ∴经过第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， 又∵A(1,y ₁)、B(3,y ₂)都位于第一象限，且1<3， ∴y ₁>y ₂， 故选A.7．一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（ ） A ．32y x =-B ．23y x =-C ．32y x =D ．23y x =【答案】A【分析】根据待定系数法求解即可． 【详解】解：设函数的解析式是y ＝kx ， 根据题意得：2k ＝﹣3，解得：k ＝﹣32． 故函数的解析式是：y ＝﹣32x ． 故选：A ． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题关键．8．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．22990x x --=化为()21100x -=B ．22740x x --=化为2781416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．2890x x ++=化为()2+4=25x D ．23-420x x -=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案． 【详解】A 、由原方程，得22990x x --=，等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得()21100x -=； 故本选项正确；B 、由原方程，得22740x x --=，等式的两边同时加上一次项系数−7的一半的平方，得，2781416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故本选项正确；C 、由原方程，得2890x x ++=，等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得（x ＋4）2＝7； 故本选项错误；D 、由原方程，得3x 2−4x ＝2， 化二次项系数为1，得x 2−43x ＝23等式的两边同时加上一次项系数−43的一半的平方169，得221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；故本选项正确． 故选：C ． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 9．若反比例函数2k y x-=的图象在每一条曲线上y 都随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（） A ．2k > B ．2k <C ．02k <<D ．k 2≤【答案】B【分析】根据反比例函数的性质，可求k 的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数2k y x-=图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大， ∴k−2<0， ∴k<2 故选B ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．10．三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a、b、c，则以a、b、c为边长能构成等腰三角形的概率是()A．19B．13C．59D．79【答案】C【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与构成等腰三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】画树状图得：∵共有27种等可能的结果，构成等腰三角形的有15种情况，∴以a、b、c为边长正好构成等腰三角形的概率是：155 279=．故选：C．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．如图，平行四边形HEFG的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上.//NE AD，分别交DC，HG，AB于点N，M，E，且CG MN=.要求得平行四边形HEFG的面积，只需知道一条线段的长度.这条线段可以是（）A．EH B．AE C．EB D．DH【答案】C【分析】根据图形证明△AOE≌△COG，作KM⊥AD，证明四边形DKMN为正方形，再证明Rt△AEH≌Rt△CGF，Rt△DHG≌Rt△BFE，设正方形ABCD边长为a，CG=MN=x，根据正方形的性质列出平行四边形HEFG的面积的代数式，再化简整理，即可判断.【详解】连接AC,EG，交于O点，∵四边形HEFG 是平行四边形，四边形ABCD 是正方形， ∴GO=EO,AO=CO, 又∠AOE=∠COG ∴△AOE ≌△COG ， ∴GC=AE, ∵NE ∥AD ，∴四边形AEND 为矩形， ∴AE=DN, ∴DN=GC=MN 作KM ⊥AD ，∴四边形DKMN 为正方形， 在Rt △AEH 和Rt △CGF 中，AE CGHE FG =⎧⎨=⎩∴Rt △AEH ≌Rt △CGF ， ∴AH=CF, ∵AD-AH=BC-CF ∴DH=BF,同理Rt △DHG ≌Rt △BFE ， 设CG=MN=x ，设正方形ABCD 边长为a 则S △HDG =12DH×x+12DG×x=S △FBE S △HAE =12AH×x =S △GCF S 平行四边形EFGH =a 2-2S △HDG -2S △HAE = a 2-(DH+DG+AH)×x, ∵DG=a-x∴S 平行四边形EFGH = a 2-(a+a-x)×x= a 2-2ax+x 2= (a-x)2 故只需要知道a-x 就可以求出面积 BE=a-x ，故选C.【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是根据题意设出字母，表示出面积进行求解. 12．对于反比例函数32y x=，下列说法错误的是（ ） A ．它的图像在第一、三象限 B ．它的函数值y 随x 的增大而减小C ．点P 为图像上的任意一点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ．POA ∆的面积是34．D ．若点()11,A y -和点()2B y 在这个函数图像上，则12y y < 【答案】B【分析】对反比例函数32y x =化简得32y x=，所以k=32＞0，当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A 、∵k=32＞0，∴它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确； B 、∵它的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y 随x 的增大而减小，故本选项错误； C 、∵k=32，根据反比例函数中k 的几何意义可得POA ∆的面积为12k ⨯=34，故本选项正确；D 、∵它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵x 1=﹣1＜0，x 2=0，且x 1＞x 2，∴12y y <，故本选项正确． 故选：B ． 【点睛】题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=kx（k≠0）中，当k ＞0时函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键． 二、填空题（本题包括8个小题）13．若关于x 的一元二次方程22(1)510m x x m -++-=有一个根为0，则m 的值等于___. 【答案】m=-1【解析】把0代入方程有：2m 10-=， ∴m 1=1，m 2=-1. ∵m −1≠0 ∴m=1(舍去) 故m=-1.14．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60，则该直尺的宽度为____________cm ．【答案】533【分析】连接OC,OD,OC 与AD 交于点E ，根据圆周角定理有130,2BAD BOD ∠=∠=︒根据垂径定理有：15,2AE AD == 解直角OAE △即可. 【详解】连接OC,OD,OC 与AD 交于点E ，130,2BAD BOD ∠=∠=︒ 103.cos303AE OA ==︒5tan 303,3OE AE =⋅︒=直尺的宽度：105533 3.333CE OC OE =-=-= 故答案为533【点睛】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.15．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB ，DE ：EA=2：3，EF=4，则CD 的长为___________．【答案】1．【详解】解：∵EF ∥AB,∴△DEF ∽△DAB,∴EF ：AB=DE ：DA=DE ：（DE+EA ）=2：5,∴AB=1,∵在▱ABCD 中AB=CD ． ∴CD=1． 故答案为：1【点睛】本题考查①相似三角形的判定；②相似三角形的性质；③平行四边形的性质． 16．分解因式：3a 2b+6ab 2=____． 【答案】3ab （a+2b ）【分析】观察可得此题的公因式为：3ab ，提取公因式即可求得答案． 【详解】解：3a 2b+6ab 2=3ab （a+2b ） 故答案为：3ab （a+2b ）17．已知11x =-是方程260x mx +-=的一个根，则方程另一个根是________. 【答案】1【分析】设方程另一个根为x 1，根据根与系数的关系得到-1•x 1=-1，然后解一次方程即可． 【详解】设方程另一个根为x 1，根据题意得-1•x 1=-1， 所以x 1=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．18．如图，已知⊙O 的半径是2，点A 、B 、C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为_____．【答案】4233π- 【分析】连接OB 和AC 交于点D ，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC 的长及∠AOC 的度数，然后求出菱形ABCO 及扇形AOC 的面积，则由S 扇形AOC -S 菱形ABCO 可得答案． 【详解】连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：∵圆的半径为2， ∴OB ＝OA ＝OC ＝2， 又四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD ＝12OB ＝1，在Rt △COD 中利用勾股定理可知： CD 2CD ===sin D CD CO OC ∠== ∴∠COD ＝60°，∠AOC ＝2∠COD ＝120°，∴S 菱形ABCO ＝11OB AC 222⨯=⨯⨯=S 扇形AOC ＝120443603ππ⋅⨯=则图中阴影部分面积为S 扇形AOC ﹣S 菱形ABCO ＝43π-故答案为43π-【点睛】本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积和扇形的面积，有一定的难度．三、解答题（本题包括8个小题）19．阅读材料，解答问题： 观察下列方程：①23x x +=；②65x x +=；③127x x+=；…； （1）按此规律写出关于x 的第4个方程为 ，第n 个方程为 ；（2）直接写出第n 个方程的解，并检验此解是否正确．【答案】（1）9，2n+1；（2）2n+1，见解析【分析】（1）观察一系列等式左边分子为连续两个整数的积，右边为从3开始的连续奇数，即可写出第4个方程及第n 个方程；（2）归纳总结即可得到第n 个方程的解为n 与n+1，代入检验即可．【详解】解：（1）x+45x⨯＝x+20x ＝9，x+(1)n n x +＝2n+1； 故答案为：x+20x ＝9；x+(1)n n x+＝2n+1． （2）x+(1)n n x +＝2n+1， 观察得：x 1＝n ，x 2＝n+1，将x ＝n 代入方程左边得：n+n+1＝2n+1；右边为2n+1，左边＝右边，即x ＝n 是方程的解；将n+1代入方程左边得：n+1+n ＝2n+1；右边为2n+1，左边＝右边，即x ＝n+1是方程的解，则经检验都为原分式方程的解．【点睛】本题主要考查的是分式方程的解，根据所给方程找出规律是解题的关键．20．如图，ABC ∆是等边三角形，ABD ∆顺时针方向旋转后能与CBD '∆重合.（1）旋转中心是___________，旋转角度是___________度，（2）连接DD '，证明：BDD '∆为等边三角形.【答案】（1）B ，60；（2）见解析【分析】（1）根据三角形三个顶点中没有变动的点就是旋转中心来判断，再根据旋转的性质判断出旋转的角度即可；（2）先根据旋转的性质得出60DBD '∠=︒和BD BD '=即可证明.【详解】解：（1）旋转中心是B ，旋转角度是60度；（2）证明：ABC ∆是等边三角形，60ABC ∴∠=︒，∴旋转角是60︒；60DBD '∴∠=︒，又BD BD '=，BDD '∴∆是等边三角形．【点睛】本题主要考察正三角形的判定及性质、图形的旋转性质，熟练掌握性质是关键.21．汽车产业的发展，有效促进我国现代建设．某汽车销售公司2007年盈利3000万元，到2009年盈利4320万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同，该公司2008年盈利多少万元?【答案】2008年盈利3600万元．【分析】设该公司从2007年到2009年，每年盈利的年增长率是x ，根据题意列出方程进行求解即可求出年增长率；然后根据2007年的盈利，即可算出2008年的盈利．【详解】解：设每年盈利的年增长率为x ，由题意得：3000(1+x)2=4320，解得：10.2x =，2 2.2x =-（不合题意，舍去），∴年增长率20%，∴3000×(1+20%)=3600，答：该公司2008年盈利3600万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是求出从2007年到2009年，每年盈利的年增长率． 22．解下列一元二次方程．（1）x 2＋x －6＝1；（2）2(x －1)2－8＝1．【答案】（1）123;2x x =-=；（2）123;1x x ==-【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方方程；（2）用直接开平方法解一元二次方程.【详解】解：（1）x 2＋x －6＝1；(3)(2)0x x +-=∴123;2x x =-=（2）2(x －1)2－8＝1．22(1)8x -=2(1)4x -=12x -=±∴123;1x x ==-【点睛】本题考查直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，掌握解题技巧正确计算是本题的解题关键. 23．济南国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840m ，他需要多少时间才能到达终点？（2）将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向下平移5个单位，求平移后的函数表达式．【答案】（1）20s ；（2）2511222y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 【解析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出y ＝840时x 的值即可得；（2）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：（1）∵该抛物线过点（0，0），∴设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx ，将（1，4）、（2，12）代入，得：44212a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：22a b =⎧⎨=⎩， 所以抛物线的解析式为y ＝2x 2+2x ，当y ＝840时，2x 2+2x ＝840，解得：x ＝20（负值舍去），即他需要20s 才能到达终点；（2）∵y ＝2x 2+2x ＝2（x+12）2﹣12， ∴向左平移2个单位，再向下平移5个单位后函数解析式为y ＝2（x+2+12）2﹣12﹣5＝2（x+52）2﹣112． 【点睛】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及函数图象平移的规律． 24．在△ABC 中， AB=12，AC=9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 与相似，如果AE=6，那么线段AD 的长是______．【答案】8或92； 【分析】分类讨论：当ADE ABC ∆∆∽，根据相似的性质得AD AE AB AC =；当AED ABC ∆∆∽，根据相似的性质得AE AD AB AC=，然后分别利用比例性质求解即可． 【详解】解：DAE BAC ∠=∠，∴当ADE ABC ∆∆∽，则AD AE AB AC =，即6129AD =，解得8AD =； 当AED ABC ∆∆∽，则AE AD AB AC =，即6129AD =，解得9 2AD =， 综上所述，AD 的长为8或92．故答案为：8或92． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．解决本题时分类讨论边与边的对应关系是解题的关键. 25．如图ABC 内接于O ，60B ∠=，CD 是O 的直径，点P 是CD 延长线上一点，且AP AC =． ()1求证：PA 是O 的切线； ()2若5PD =，求O 的直径．【答案】（1）详见解析；（2）O 的直径为25．【解析】()1连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，再根据同圆的半径相等从而可得ACO OAC 30∠∠==，继而根据等腰三角形的性质可得出P 30∠=，继而由OAP AOC P ∠∠∠=-，可得出OA PA ⊥，从而得出结论；()2利用含30的直角三角形的性质求出OP 2OA =，可得出OP PD OD -=，再由PD 5=，可得出O 的直径．【详解】()1连接OA ，如图，B 60∠=，AOC 2B 120∠∠∴==，又OA OC =，OAC OCA 30∠∠∴==，又AP AC =，P ACP 30∠∠∴==，OAP AOC P 90∠∠∠∴=-=，OA PA ∴⊥，PA ∴是O 的切线．()2在Rt OAP 中，P 30∠=， PO 2OA OD PD ∴==+， 又OA OD =，PD OA ∴=，PD 5=2OA 2PD ∴==O ∴的直径为【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.26．（1）计算：sin 230°+cos 245°（2）解方程：x （x+1）＝3【答案】 (1) 34；(2) x 1＝12-+，x 2＝12--．【分析】（1）sin30°=12，cos45°=2，sin 230°+cos 245°=（12）2+（2）2=34（2）用公式法：化简得230x x +-=，a=1,b=1,c=-3,b-4ac=13,【详解】解：（1）原式＝（12）2+）2＝34； （2）x （x+1）＝3，x 2+x ﹣3＝0， ∵a ＝1，b ＝1，c ＝﹣3，b ﹣4ac ＝1﹣4×1×（﹣3）＝13，∴x ＝121-⨯＝12-±，∴x 1，x 2.【点睛】本题的考点是三角函数的计算和解一元二次方程.方法是熟记特殊三角形的三角函数及几种常用的解一元二次方程的方法.27．在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且DC=AE ，AD 与BE 交于点P ，连接PC ．(1)证明：ΔABE ≌ΔCAD ．(2)若CE=CP ，求证∠CPD=∠PBD ．(3)在(2)的条件下，证明：点D 是BC 的黄金分割点.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为△ABC 是等边三角形，所以AB=AC ，∠BAE=∠ACD=60°，又AE=CD ，即可证明ΔABE ≌ΔCAD ；（2）设ABE CAD α∠=∠=则60PEC BAC ABE α∠=∠+∠=︒+由等边对等角可得60CPE CEP α∠=∠=︒+可得18018060(60)60CPD BPD CPE αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒+=︒-以及60PBD ABC ABE α∠=∠-∠=︒-，故CPD PBD ∠=∠；（3）可证P CPD CB ∆∆∽可得CD CP CP CB=，故2CP CD CB =⋅由于CP CE BD ==可得2BD CD CB =⋅，根据黄金分割点可证点D 是BC 的黄金分割点；【详解】证明：(1) ∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAE=∠ACD=60°，在ΔABE 与ΔCDA 中，AB=AC ，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD ，∴△AEB ≌△CDA ；（2）由（1）知ABE CAD ∠=∠，则60BPD ABE BAP CAD BAP ∠=∠+∠=∠+∠=︒，设ABE CAD α∠=∠=，则60PEC BAC ABE α∠=∠+∠=︒+，∵CE CP =，∴60CPE CEP α∠=∠=︒+，∴18018060(60)60CPD BPD CPE αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒+=︒-，又60PBD ABC ABE α∠=∠-∠=︒-，∴CPD PBD ∠=∠；（3）在CPD ∆和CBP ∆中，PCB DCP ∠=∠，CPD PBD ∠=∠，∴P CPD CB ∆∆∽， ∴CD CP CP CB=， ∴2CP CD CB =⋅，又CP CE BD ==，∴2BD CD CB =⋅，∴点D 是BC 的黄金分割点；【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．从下列两组卡片中各摸一张，所摸两张卡片上的数字之和为5的概率是（）第一组：1,2,3 第二组：2,3,4A．49B．38C．29D．13【答案】D【分析】根据题意，通过树状图法即可得解.【详解】如下图，画树状图可知，从两组卡片中各摸一张，一共有9种可能性，两张卡片上的数字之和为5的可能性有3种，则P(两张卡片上的数字之和为5)31 93 ==，故选：D.【点睛】本题属于概率初步题，熟练掌握树状图法或者列表法是解决本题的关键.2．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 【答案】A【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是13，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13，∴OD DC OB AB=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用． 3．下列图形中，中心对称图形有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行解答．【详解】第一、二、三个图形是中心对称图形，第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形. 综上所述，是中心对称图形的有3个. 故答案选B. 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形的定义. 4．若反比例函数2k y x-=的图象在每一条曲线上y 都随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（） A ．2k > B ．2k <C ．02k <<D ．k 2≤【答案】B【分析】根据反比例函数的性质，可求k 的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数2k y x-=图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大， ∴k−2<0， ∴k<2 故选B ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．5．点A(﹣3，2)关于x 轴的对称点A′的坐标为（ ） A ．(3，2) B ．(3，﹣2)C ．(﹣3，2)D ．(﹣3，﹣2)【答案】D【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质得出符合题意的答案．【详解】解：点A （﹣3，2）关于x 轴的对称点A′的坐标为：（﹣3，﹣2）， 故选：D ．本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．6．如图，AB是⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且AO＝CD，则∠PCA＝（）A．30°B．60°C．67.5°D．45°【答案】C【分析】直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠PCA的度数．【详解】解：∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°，∵AO＝CD，∴OC＝DC，∴∠COD＝∠D＝45°，∵AO＝CO，∴∠A＝∠ACO＝22.5°，∴∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．故选：C．【点睛】此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠COD=∠D=45°是解题关键．7．若2y－7x＝0，则x∶y等于（）A．2∶7 B．4∶7 C．7∶2 D．7∶4【答案】A【分析】由2y－7x＝0可得2y＝7x，再根据等式的基本性质求解即可.【详解】解：∵2y－7x＝0∴2y＝7x∴x∶y＝2∶7故选A.【点睛】比例的性质，根据等式的基本性质2进行计算即可，是基础题，比较简单．8．如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是( )A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD⊥BC 且AB ＝AC ，则四边形AEDF 是菱形 【答案】C【解析】A 选项，∵在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴DE ∥AF ，DF ∥AE ，∴四边形AEDF 是平行四边形；即A 正确； B 选项，∵四边形AEDF 是平行四边形，∠BAC=90°， ∴四边形AEDF 是矩形；即B 正确；C 选项，因为添加条件“AD 平分∠BAC ”结合四边形AEDF 是平行四边形只能证明四边形AEDF 是菱形，而不能证明四边形AEDF 是矩形；所以C 错误；D 选项，因为由添加的条件“AB=AC ，AD ⊥BC ”可证明AD 平分∠BAC ，从而可通过证∠EAD=∠CAD=∠EDA 证得AE=DE ，结合四边形AEDF 是平行四边形即可得到四边形AEDF 是菱形，所以D 正确. 故选C. 9．要使分式2xx 有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．x ＜2 B ．x ≠2C ．x ≠0D ．x ＞2【答案】B【解析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为1． 【详解】解：∵x ﹣2≠1， ∴x≠2， 故选B ． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为1时，分式有意义．10．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）A．抛一枚硬币，正面朝上的概率B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率【答案】D【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项不符合题意；B、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项不符合题意；C、转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为23，故此选项不符合题意；D、从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为13，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，属于常见题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答的关键．11．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【详解】连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE．∵E是AC中点，∴DE=EH．∴△DCE≌△HAE（AAS）．∴DE=HE，DC=AH．∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线．∴EF=12BH．∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2．∴EF=2．故选D．12．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数kyx=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（）A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12【答案】D【分析】先设D（a，b），得出CO=-a，CD=AB=b，k=ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE=12，最后根据AB∥OE，BC•EO=AB•CO，求得ab的值即可．【详解】设D（a，b），则CO=﹣a，CD=AB=b，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数kyx=（x＜0）的图象上，∴k=ab，∵△BCE的面积是6，∴12×BC×OE=6，即BC×OE=12，∵AB∥OE，∴BC ABOC EO=，即BC•EO=AB•CO，∴12=b×（﹣a），即ab=﹣12，∴k=﹣12，故选D．考点：反比例函数系数k 的几何意义；矩形的性质；平行线分线段成比例；数形结合． 二、填空题（本题包括8个小题）13．根据下列统计图，回答问题：该超市10月份的水果类销售额___________11月份的水果类销售额（请从“>”“=”或“<”中选一个填空）.【答案】>【分析】根据统计图，分别求出该超市10月份的水果类销售额与11月份的水果类销售额，比较大小即可． 【详解】∵10月份的水果类销售额为6020%12⨯=（万元），11月份的水果类销售额为7015%10.5⨯=（万元），∴10月份的水果类销售额>11月份的水果类销售额． 故答案是：> 【点睛】本题主要考查从统计图种提取信息，通过观察统计图，得到有用的信息，是解题的关键．14．已知一列分式，2x y ，53x y -，106x y ，1710x y -,2615x y,3721x y -…，观察其规律，则第n 个分式是_______．【答案】2111(1)2(1)n n n n x y+++-【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n 个分式的式子． 【详解】观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n 项的符号为：()11n +-分母规律为：y 的次序依次增加2、3、4等等，故第n 项为：123ny++++=()112n n y +分子规律为：x 的次数为对应项的平方加1，故第n 项为：21nx +故答案为：2111(1)2(1)n n n n x y+++-．【点睛】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字规律外，我们还要寻找符号规律． 15．若1210m x x -+-=是关于x 的一元二次方程，则m =__________． 【答案】1【分析】根据一元二次方程的定义可知12-m x 的次数为2，列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵1210m x x -+-=是关于x 的一元二次方程， ∴12m -=， 解得：m=1， 故答案为：1． 【点睛】本题重点考查一元二次方程定义，理解一元二次方程的三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（1）是整式方程；其中理解特点（2）是解决这题的关键．16．某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人．设该病毒一人平均每轮传染x 人，则关于x 的方程为_________． 【答案】2(1)121x +=【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x （x+1）人，依题意列方程：1+x+x （1+x ）=1． 【详解】11121x x x +++=（），整理得，()21121x +=． 故答案为：()21121x +=． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解． 17．若关于x 的方程250x x k ++=的一个根是1，则k 的值为______. 【答案】－6【分析】把x=1代入原方程就可以得到一个关于k 的方程，解这个方程即可求出k 的值． 【详解】把1x =代入方程250x x k ++=得到150k ++=，解得6k =-.故答案为：−6. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将方程的根代入并求值是解题的关键.。

2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷答案解析版一、选择题：1.已知二次函数223y x x =-+-，那么下列关于该函数的判断正确的是（ ）A. 该函数图像有最高点(0,3)-B. 该函数图像有最低点(0,3)-C. 该函数图像在x 轴的下方；D. 该函数图像在对称轴左侧是下降的.【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】∵二次函数y=-x 2+2x-3=-（x-1）2-2，∴该函数图象有最高点（1，-2），故选项A 错误，选项B 错误； 该函数图象在x 轴下方，故选项C 正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D 错误； 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2.如图，////AB CD EF ，2AC =，5AE =， 1.5BD =，那么下列结论正确的是（ ）A. 154DF = B. 154EF =C. 154CD =D. 154BF =【答案】D 【解析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】∵AB ∥CD ∥FF ，AC=2，AE=5，BD=1.5，∴=AC BDCE DF 即2 1.552DF=- 解得：94DF =9315424BF BD DF ∴=+=+= 故选：D ． 【点睛】本题考查是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3.线段AB 内一点P ，且2AP AB BP =⋅，1AB =，则(AP = )A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】设AP=x ，则BP=1-x ，根据2AP AB BP =⋅，列方程求出x 值即可. 【详解】设AP=x ，则BP=1-x ， ∵2AP AB BP =⋅ ∴x 2=1-x ， 解得：x 1（舍去），x 2故选C.【点睛】本题考查比例线段.根据已知列出方程是解题关键.4.在Rt ABC ∆中，90B =o ∠，3BC =，5AC =，那么下列结论正确的是（ ）A. 3sin 4A = B. 4cos 5A =C. 5cot 4A =D. 4tan 3A =【答案】B分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求出AB的长，直接利用锐角三角函数关系分别求出即可．【详解】如图所示：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=5，∴AB=4，∴sinA=35BCAC=，故选项A错误；cosA=45ABAC=，故选项B正确；cotA=43ABBC=，故选项C错误；tanA=34BCAB=，故选项D错误．故选：B．5.跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）A. 200米B. 400米C. 米D.【答案】D【解析】【分析】已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．【详解】根据题意，此时小李离着落点A的距离是200sin30︒=，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角【三角形并解直角三角形．6.下列命题中，假命题是（）A. 凡有内角为30°的直角三角形都相似B. 凡有内角为45°的等腰三角形都相似C. 凡有内角为60°的直角三角形都相似D. 凡有内角为90°的等腰三角形都相似【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各小题分析判断即可判断．【详解】A、凡有内角为30°的直角三角形都相似，所以A选项的命题为真命题；B、凡有内角为45°的等腰三角形不一定相似，所以B选项的命题为假命题；C、凡有内角为60°的直角三角形都相似所以C选项的命题为真命题；D、凡有内角为90°的等腰三角形都相似，所以D选项的命题为真命题．故选：B．【点睛】题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二、填空题o o o__________．7.计算：2sin60cot30tan45-•=【答案】0【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【详解】2sin60°-cot30°∙tan45°=21⨯2==0.故答案为：0.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 8.已知线段4a =，9c =，那么a 和c 的比例中项b =________. 【答案】6； 【解析】 【分析】根据比例中项的定义可得b 2＝ac ，从而易求b ． 【详解】∵b 是a 、c 的比例中项， ∴b 2＝ac ， 即b 2＝36，∴b ＝6（负数舍去）， 故答案是6．【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．9.2，那么它们的相似比是__________．2 【解析】 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比解答．【详解】∵2，∴2，2．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．10.四边形ABCD 和四边形''''A B C D 是相似图形，点,,,A B C D 分别与',',','A B C D 对应，已知3BC =， 2.4CD =，''2B C =，那么''C D 的长是__________． 【答案】1.6 【解析】 【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD ∽四边形A'B'C'D'， ∴CD ：C′D′=BC ：B′C′， ∵BC=3，CD=2.4，B'C′=2， ∴C′D′=1.6， 故答案为：1.6．【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质． 11.已知二次函数22(2)y x =+，如果2x >-，那么y 随x 的增大而__________． 【答案】增大 【解析】 【分析】由二次函数解析式可求得其对称轴，结合二次函数的增减性可求得答案． 【详解】∵y=2（x+2）2，∴抛物线开口向上，且对称轴为x=-2， ∴在对称轴右侧y 随x 的增大而增大， ∴当x ＞-2时，y 随x 的增大而增大， 故答案为：增大． 【解答】解：【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 12.同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是______米. 【答案】28 【解析】 【分析】根据成比例关系可知，旗杆高比上旗杆的影长等于铁塔的高比上铁塔的影长，代入数据即可得出答案．【详解】设铁塔高度为x ，有12921x=， 解得：x=28，答：铁塔的高是28米， 故答案为：28．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．13.一山坡的坡度1:3i =，小刚从山坡脚下点P 处上坡走了米到达点N 处，那么他上升的高度是________米. 【答案】50 【解析】 【分析】设坡面的铅直高度为x 米，根据坡度的概念用x 表示出坡面的水平宽度，根据勾股定理计算即可．【详解】设坡面的铅直高度为x 米， ∵山坡的坡度i=1：3， ∴坡面的水平宽度为3x 米，由勾股定理得，（3x ）2+x 2=（）2， 解得，x=50，则他上升的高度是50米， 故答案为：50．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键．14.在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AB AC 上，6AB =，4AC =，5BC =，2AD =，3AE =，那么DE 的长是_______.【答案】52【解析】 【分析】通过证明△AED ∽△ABC ，可得12DE AD BC AC ==，即可求解． 【详解】∵2131,4262AD AE AC AB ====，∴AD AEAC AB=，且∠DAE=∠BAC ， ∴△AED ∽△ABC ，∴12DE AD BC AC ==， ∴1522DE BC ==，故答案为：52．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．15.如图，在Rt ABC ∆中，90C =o ∠，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ∆，点G 、F 分别在边,AC BC 上，点,D E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是_______.【解析】 【分析】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理得出AB ==AC BC CM AB ⨯==，证明△CGF ∽△CAB ，得出CN GF CM AB =，即可得出答案． 【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示：∵Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，∴AB==∴5AC BCCMAB⨯===∵正方形DEFG内接于△ABC，∴GF=EF=MN，GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴CN GFCM AB=EF-=，解得：7EF=;故答案为：7.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．16.如图，在ABC∆中，点D在边BC上，AD AC⊥，BAD C∠=∠，2BD=，6CD=，那么tan C=_________.【答案】12【解析】【分析】证明△ABD∽△CBA，得出AD AB BDAC BC AB==，求出AB=4，由三角函数定义即可得出答案．【详解】∵BD=2，CD=6，∴BC=BD+CD=8，∵∠B=∠B ，∠BAD=∠C ， ∴△ABD ∽△CBA ， ∴AD AB BDAC BC AB==， ∴AB 2=BD×BC=2×8=16， ∴AB=4， ∵AD ⊥AC ，∴41tan 82AD AB C AC BC ====； 故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17.我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中ABC ∆的中线,BD CE 互相垂直于点G ，如果9BD =，12CE =，那么,D E 两点间的距离是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】连接DE ，设BD 、CE 交于点G ，证明DE 是△ABC 的中位线，得出DE=12BC ，DE ∥BC ，证明△GDE ∽△GBC ，得出12GD GE DE GB GC BC ===，求出GC=8，GE=6，由勾股定理得出10BC =，即可得出答案．【详解】连接DE ，设BD 、CE 交于点G ，如图所示：∵△ABC 的中线BD 、CE 互相垂直， ∴DE 是△ABC 的中位线，∠BGC=90°，∴DE=12BC ，DE ∥BC ， ∴△GDE ∽△GBC ，∴12GD GE DE GB GC BC ===， ∴2212833GC CE ==⨯=，229633GB BD ==⨯=，∴10BC ===， ∴DE=5； 故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键．18.如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形''''A B C D ，点A 的对应点'A 在对角线AC 上，点,C D 分别与点','C D 对应，''A D 与边BC 交于点E ，那么BE 的长是__________.【答案】258【解析】 【分析】根据旋转的性质可得BA BA '= 可知BAA BA A ''∠=∠，由矩形的性质得90BA A CA E ''∠+∠=︒，90BCA BAC ∠+∠=︒ ，可得ECA EA C ''∠=∠ 从而A E CE '=，设CE=x ，则4A E x BE x '==-，，在Rt BA E '∆中，运用勾股定理列出方程求解即可. 【详解】如图所示，由旋转的性质得BA BA '=， ∴BAA BA A ''∠=∠，∵四边形ABCD 和A B C D ''''为矩形， ∴90ABC BA D '∠=∠=︒ 又点A '在AC 上，∴90BA A CA E ''∠+∠=︒，90BCA BAC ∠+∠=︒ ∴ECA EA C ''∠=∠， ∴A E CE '=设CE=x ，则A E x '=，， ∵AB=3，BC=4， ∴=3BA '，4BE x =-在Rt BA E '∆中，222A E A B BE ''+=∴2223(4)x x +=-，解得，7=8x ， ∴BE=725488-=. 故答案为：258. 【点睛】本题考查图形的旋转和勾股定理，解题的关键是掌握图形旋转的性质．三、解答题：19.已知：::2:3:5a b c =.（1）求代数式323a b ca b c-++-的值；（2）如果324a b c -+=，求,,a b c 的值.【答案】（1）1；（2）6,9,15a b c ===【解析】 【分析】（1）设a=2k ，b=3k ，c=5k (k 0)≠，代入代数式323a b ca b c-++-，即可求出答案；（2）把a 、b 、c 的值代入，求出即可． 【详解】∵::2:3:5a b c = ∴设a=2k ，b=3k ，c=5k (k 0)≠， （1）36358=1234958a b c k k k ka b c k k k k-+-+==+-+-；（2）∵324a b c -+= ∴6k-3k+5k=24， ∴k=3，∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．20.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠自变量x 的值和它对应的函数值y 如下表所示：（1）请写出该二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标和m 的值；（2）设该二次函数图像与x 轴的左交点为B ，它的顶点为A ，该图像上点C 的横坐标为4，求ABC ∆的面积.【答案】（1）开口向上，对称轴：2x =；顶点(2,1)-，3m =；（2）3 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m 的值；（2）根据表格中的数据和题意，可以写出点B 、点A 和点C 的坐标，再求出直线AC 和x 轴的交点，即可得到△ABC 的面积． 【详解】（1）由表格可知，该函数有最小值，当x=2时，y=-1，当x=4和x=0时函数值相等，则m=3，即该二次函数图象开口方向向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-1），m 的值是3；（2）由题意可得，点B 的坐标为（1，0），点A 的坐标为（2，-1），点C 的坐标为（4，3）， 设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，2143k b k b +=-⎧⎨+=⎩，得25k b =⎧⎨=-⎩， 所以直线AC 的函数解析式为y=2x-5， 当y=0时，0=2x-5，得x=2.5，则直线AC 与x 轴的交点为（2.5，0）， 故△ABC 的面积是：(2.51)3(2.51)|1|322-⨯-⨯-+=.【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21.如图，一艘游艇在离开码头A 处后，沿南偏西60°方向行驶到达B 处，此时从B 处发现灯塔C 在游轮的东北方向，已知灯塔C 在码头A 的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C 的距离（精确到1米）.1.414=1.732=2.449=）【答案】386米 【解析】 【分析】过B 作BD ⊥AC 于D ，解直角三角形即可得到结论． 【详解】过B 作BD ⊥AC 于D ，的的在Rt △BCD 中，∵∠D=90°，∠DBC=45°， ∴∠DBC=∠DCB=45°， ∴BD=CD ，在Rt △ABD 中，∵∠DAB=30°， ∴AD=3BD ， ∵AC=200， ∴3BD-BD=200，∴BD=31-=100（3+1）， ∴BC=2BD=100（3+1）×2≈386米， 答：此时游轮与灯塔C 的距离为386米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22. 如图，在△ABC 中，AD 、BE 是△ABC 的角平分线，BE = CE ，AB = 2，AC = 3， （1）设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ ，求向量 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ （用向量a 、b ⃗ 表示）； （2）将△ABC 沿直线AD 翻折后，点B 在边AC 上的点F 重合，联结DF ，求S △CDF ：S △CEB 的值. 【答案】（1）；（2）.【解析】23.如图，在ABC ∆中，点,,,D E F G 分别在,,AB AC BC 上，3AB AD =，2CE AE =，BF FG CG ==，DG 与EF 交于点H .（1）求证：FH AC HG AB •=•；（2）连接,DF EG ，求证：A FDG GEF ∠=∠+∠. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件先证明DG ∥AC ，EF ∥AB ，可得∠HGF=∠C ，∠HFG=∠B ，即可证明△HFG ∽△ABC ，从而可得结论；（2）连接DF ，EG ，DE ，证明四边形DFGE 和ADHE 是平行四边形，即可证得结论. 【详解】∵AB=3AD ，BF=FG=CG ， ∴BD=2AD ，BG=2CG ，∴2BD BGAD CG== ∴DG ∥AC同理可得，EF ∥AB ，∴∠HFG=∠ABC ，∠HGF=∠ACB ， ∴△HFG ∽△ABC ， ∴FH HGAB AC=，即FH AC HG AB •=•； （2）连接,DF EG ，DE 如图所示，∵EF ∥AB ， ∴GH GFHD FB =∵GF=FB ∴GH GFHD FB==1， ∴GH=HD ， 同理可证，FH=EH ，∴四边形DFGE 是平行四边形， ∴DF ∥EG ， ∴∠FDG=∠EGD ， ∴∠FHG=∠EGH+∠HEG ， ∵∠DHE=∠FHG ，∴∠DHE=∠EGH+∠HEG=FDG GEF ∠+∠， 由EF ∥AB ，DG ∥AC 得四边形ADHE 是平行四边形， ∴∠A=∠DHE ，∴A FDG GEF ∠=∠+∠【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握相减的判定与性质是解决此题的关键. 24.如图，将抛物线2443y x =-+平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，tan 4B =，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D .（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结,AC DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线2443y x =-+沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当DEF ∆和ABC ∆相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式. 【答案】（1）16(1,)3-；（2）(2,4)-；（3）242()433y x =-++或241()4312y x =--+ 【解析】 【分析】（1）设点D 坐标（a ，b ），可得新抛物线解析式为：y=-43（x-a ）2+b ，先求出点C ，点B 坐标，代入解析式可求解；（2）通过证明△AOC ∽△CHD ，可得∠ACO=∠DCH ，可证EC ∥AO ，可得点E 纵坐标为4，即可求点E 坐标；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求点F 坐标，即可求平移后得到抛物线的表达式．【详解】（1）∵抛物线y=-43x 2+4的顶点为C ， ∴点C （0，4） ∴OC=4，∵tanB=4=OCOB， ∴OB=1，∴点B （1，0） 设点D 坐标（a ，b ） ∴新抛物线解析式：y=-43（x-a ）2+b ，且过点C （0，4），点B （1，0） ∴2240(1)3443a b a b ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得：1163a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴点D 坐标（-1，163） （2）如图1，过点D 作DH ⊥OC ，∵点D 坐标（-1，163） ∴新抛物线解析式为：y=-43（x+1）2+163， 当y=0时，0=-43（x+1）2+163，∴x 1=-3，x 2=1， ∴点A （-3，0）， ∴AO=3， ∴34AO CO =，∵点D 坐标（-1，163） ∴DH=1，HO=163， ∴CH=OH-OC=43，∴34DH CH =， ∴AO DHCO CH=，且∠AOC=∠DHC=90°， ∴△AOC ∽△CHD ， ∴∠ACO=∠DCH ， ∵CE 平分∠ACD ， ∴∠ACE=∠DCE ，∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE ，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180° ∴∠ECO=∠ECH=90°=∠AOB ， ∴EC ∥AO ， ∴点E 纵坐标为4， ∴4=-43（x+1）2+163， ∴x 1=-2，x 2=0， ∴点E （-2，4）， （3）如图2，∵点E （-2，4），点C （0，4），点A （-3，0），点B （1，0），点D 坐标（-1，163）∴DE=DC=53，5AC =，AB=3+1=4， ∴∠DEC=∠DCE ，∵EC ∥AB ，∴∠ECA=∠CAB ，∴∠DEC=∠CAB ，∵△DEF 和△ABC 相似 ∴DE EF AC AB =或DE EF AB AC=， ∴5354EF =或5345EF = ∴EF=43或2512∴点F （-23，4）或（112，4） 设平移后解析式为：y=-43（x+1-c ）2+4， ∴4=-43（-23+1-c ）2+4或4=-43（112+1-c ）2+4， ∴c 1=13，c 2=1312 ∴平移后解析式为：y=-43（x+23）2+4或y=-43（x-112）2+4， 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 25.如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点,A B 重合），点G 在边AB 的延长线上，CDE A ∠=∠，GBE ABC ∠=∠，DE 与边BC 交于点F .（1）求cos A 的值；（2）当2A ACD ∠=∠时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，:AD BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求:AD BE的值；如果变化，请说明理由.【答案】（1）725；（2）12539；（3）5:6【解析】【分析】（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．解直角三角形求出BM，AM即可解决问题．（2）设AH交CD于K．首先证明AK=CK，设AK=CK=x，在Rt△CHK中，理由勾股定理求出x，再证明△ADK∽△CDA，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．（3）结论：AD：BE=5：6值不变．证明△ACD∽△BCE，可得56 AD ACBE BC==．【详解】（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=3，∴4AH==，∵1122ABCS BC AH AC BM=⋅⋅=⋅⋅V，∴BM=245 BC AHAC⋅=，∴75 AM===，∴7 cos25AMAAB==．（2）设AH交CD于K．∵∠BAC=2∠ACD，∠BAH=∠CAH，∴∠CAK=∠ACK，∴CK=AK ，设CK=AK=x ，在Rt △CKH 中，则有x 2=（4-x ）2+32，解得x=258， ∴AK=CK=258， ∵∠ADK=∠ADC ，∠DAK=∠ACD ，∴△ADK ∽△CDA ， ∴255885AD AK DK CD AC AD ====，设AD=m ，DK=n ， 则有252588258m n m n n ⎧=⎪+⎪⎨⎪⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得125625,39312m n ==． ∴AD=12539． （3）结论：AD ：BE=5：6值不变．理由：∵∠GBE=∠ABC ，∠BAC+2∠ABC=180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC=180°， ∴∠EBC=∠BAC ，∵∠EDC=∠BAC ，∴∠EBC=∠EDC ，∴D ，B ，E ，C 四点共圆，∴∠EDB=∠ECB ，∵∠EDB+∠EDC=∠ACD+∠DAC ，∠EDC=∠DAC ，∴∠EDB=∠ACD ，∴∠ECB=∠ACD ，∴△ACD ∽△BCE ， ∴56AD AC BE BC ==． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．。

中考数学一模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共 6 小题，共24.0 分）1. 已知二次函数2）y=-x +2 x-3，那么以下对于该函数的判断正确的选项是（A.该函数图象有最高点（ 0， -3）B.该函数图象有最低点（ 0， -3）C.该函数图象在 x 轴的下方D.该函数图象在对称轴左边是降落的2.如图， AB∥CD ∥FF ， AC=2， AE=5，，那么以下结论正确的是（）A.B. DF = EF=C.CD =D.BF=3. 已知， P 是线段 AB 上的点，且 AP 2=BP AB，那么AP：AB的值是（）?A. B. C. D.4.Rt ABC B=90 ° BC=3，AC=5 ，那么以下结论正确的选项是（）在△中，∠，A. sinA=B. cosA=C. cotA=D. tanA=5. 跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的下落点A的俯角为60 °，那么此时小李离下落点 A 的距离是（）A. 200 米B. 400 米C. 米D. 米6. 以下命题中，假命题是（）A. 凡有内角为30°的直角三角形都相像B. 凡有内角为45°的等腰三角形都相像C. 凡有内角为60°的直角三角形都相像D. 凡有内角为90°的等腰三角形都相像二、填空题（本大题共12 小题，共48.0 分）7. 计算：2sin60 -cot30°°tan45 =°．?8. 假如线段 a=4 厘米， c=9 厘米，那么线段a、 c 的比率中项 b=______ 厘米．9.假如两个相像三角形的对应高比是：2，那么它们的相像比是______．10.四边形 ABCD 和四边形 A'B'C'D '是相像图形，点 A、B、 C、 D 分别与 A'、 B'、 C'、D'对应，已知 BC=3，， B'C′=2，那么 C′ D'的长是 ______．11.已知二次函数 y=2 （ x+2）2，假如 x＞ -2，那么 y 随 x 的增大而 ______．12.同一时辰，高为12 米的学校旗杆的影长为9 米，一座铁塔的影长为21 米，那么此铁塔的高是 ______米．13.一山坡的坡度i=1：3，小刚从山坡脚下点P处上坡走了50米抵达点N 处，那么他上涨的高度是______米．14.在△ABC 中，点 D、 E 分别在边 AB、 AC 上， AB=6， AC=4 ， BC=5，AD =2， AE=3，那么 DE 的长是 ______．15.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90 °， AC=2 ， BC=1 ，正方形 DEFG 内接于△ABC，点 G、F 分别在边 AC、BC 上，点 D 、E 在斜边 AB 上，那么正方形DEFG的边长是 ______．16.如图，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上， AD⊥AC，∠BAD =∠C，BD=2 ， CD=6，那么 tanC=______ ．17. 我们把有两条中线相互垂直的三角形称为“中垂三角形”，ABC的中线BD、此中△CE 相互垂直于点G，假如 BD =9， CE=12 ，那么 D、 E 两点间的距离是______．18.如图，在矩形 ABCD 中， AB=3，AD =4，将矩形 ABCD 绕着点B 顺时针旋转后获得矩形 A'BC'D '，点 A 的对应点 A'在对角线 AC 上，点 C、 D 分别与点 C'、 D'对应， A′D '与边 BC交于点 E，那么 BE 的长是 ______．三、计算题（本大题共 1 小题，共10.0 分）19.已知： a： b： c=2： 3： 5（ 1）求代数式的值；（2）假如 3a-b+c=24，求 a， b， c 的值．四、解答题（本大题共 6 小题，共68.0 分）20. 已知二次函数2y 如表所示：y=ax +bx+c（ a≠0）自变量 x 的值和它对应的函数值x 0 1 2 3 4y 3 0 -1 0 m（ 1）请写出该二次函数图象的张口方向、对称轴、极点坐标和m 的值；（2）设该二次函数图象与 x 轴的左交点为 B，它的极点为 A，该图象上点 C 的横坐标为4，求△ABC 的面积．21. 如图，一艘游艇在走开码头A处后，沿南偏西60°方向行驶抵达 B 处，此时从 B 处发现灯塔 C 在游轮的东北方向，已知灯塔 C 在码头 A 的正西方向 200 米处，求此时游轮与灯塔 C 的距离（精准到 1 米）．（参照数据：=1.414 ，=1.732 ，=2.449 ）22.如图，在△ABC 中，AD、BE 是△ABC 的角均分线，BE=CE，AB=2， AC=3．（ 1）设= ，= ，求向量（用向量、表示）（ 2）将△ABC 沿直线 AD 翻折后，点B 在边 AC 上的点F 重合，联络DF ，求 S△CDF： S△CEB的值．23.如图，在△ABC 中，点 D，E，F， G 分别在 AB、AC、BC上， AB=3AD， CE=2AE， BF=FG=CG， DG 与 EF 交于点H．（1）求证： FH ?AC =HG ?AB；（2）联络 DF ，EG，求证：∠A=∠FDG +∠GEF ．24. 如图，将抛物线y=- x2 +4 平移后，新抛物线经过原抛物线的极点C，新抛物线与 x轴正半轴交于点B，联络 BC，tanB=4，设新抛物线与 x 轴的另一交点是 A，新抛物线的极点是 D．（ 1）求点 D 的坐标；（ 2）设点 E 在新抛物线上，联络AC、 DC ，假如 CE 均分∠DCA ，求点 E 的坐标．（ 3）在（ 2）的条件下，将抛物线y=- x2+4 沿 x 轴左右平移，点 C 的对应点为 F ，当△DEF 和△ABC 相像时，请直接写出平移后获得抛物线的表达式．25.如图，在△ABC 中， AB=AC=5 ，BC=6，点 D 是边AB 上的动点（点 D 不与点 AB 重合），点 G 在边AB 的延伸线上，∠CDE=∠A，∠GBE=∠ABC，DE 与边 BC 交于点F．（ 1）求 cosA 的值；（ 2）当∠A=2∠ACD 时，求 AD 的长；（ 3）点 D 在边 AB 上运动的过程中， AD ：BE 的值能否会发生变化？假如不变化，恳求AD ： BE 的值；假如变化，请说明原因．答案和分析1. 【答案】 C【分析】解：∵二次函数 y=-x2+2x-3=- （ x-1 ）2-2，∴该函数图象有最高点（ 1， -2），应选项 A 错误，选项 B 错误；该函数图象在 x 轴下方，应选项 C 正确；该函数图象在对称轴左边是上涨的，应选项 D 错误；应选： C．依据题目中的函数分析式和二次函数的性质能够判断各个选项中的说法能否正确，从而能够解答本题．本题考察抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的重点是明确题意，利用二次函数的性质解答．2.【答案】D【分析】解：∵AB∥CD∥FF ， AC=2，AE =5，，∴，即，解得： DF= ，∴BF=BD+DF = ，应选： D．依据平行线分线段成比率定理判断即可．本题考察的是平行线分线段成比率定理，灵巧运用定理、找准对应关系是解题的重点．3.【答案】A【分析】解：设 AB 为 1，AP 为 x，则 BP 为 1-x，AP2 =BP?AB，∵∴x2=（1-x）×1解得 x1= ， x2= （舍去）．∴AP： AB=．应选： A．依据黄金切割定义即可求解．本题考察了黄金切割、解决本题的重点是利用一元二次方程解决问题．4.【答案】B【分析】解：如图，∵∠B=90°， BC=3， AC=5，∴AB===4，∴cosA= = ，应选： B．依据勾股定理求出AB，再依据锐角三角函数的定义解决问题即可．本题考察锐角三角函数的定义，解题的重点是灵巧运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5.【答案】D【分析】解：依据题意，此时小李离下落点 A 的距离是=，应选： D．已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．本题考察认识直角三角形的应用 --仰角俯角问题，要修业生能借助俯角结构直角三角形并解直角三角形．6.【答案】B【分析】解： A、凡有内角为 30°的直角三角形都相像，因此 A 选项的命题为真命题；B、凡有内角为45° B选项的命题为假命题；的等腰三角形不必定相像，因此C、凡有内角为60°的直角三角形都相像因此 C 选项的命题为真命题；D 、凡有内角为90°的等腰三角形都相像，因此 D 选项的命题为真命题．应选： B．依据相像三角形的判断定理对各小题剖析判断即可判断．题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．很多命题都是由题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题能够写成“假如那么”形式．有些命题的正确性是用推理证明的，这样的真命题叫做定理．7.【答案】0【分析】解：原式 =2× -×1=-=0 ．故答案为： 0．直接利用特别角的三角函数值从而化简得出答案．本题主要考察了特别角的三角函数值，正确记忆有关数据是解题重点．8.【答案】6【分析】解：∵线段 a 和 c 的比率中项为b，∴a： b=b： c，即 4： b=b： 9，∴b=±6（负值舍去）．故答案为： 6．依据比率中项的定义获得a： b=b： c，而后利用比率性质计算即可．本题考察了比率线段：对于四条线段a、 b、 c、 d，假如此中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a： b=c： d（即 ad=bc），我们就说这四条线段是成比率线段，简称比率线段．判断四条线段能否成比率，只需把四条线段按大小次序摆列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比能否相等即可．9.【答案】：2【分析】解：∵两个相像三角形的对应高比是：2，∴它们的相像比是：2，故答案为：： 2．依据相像三角形对应高的比等于相像比解答．本题考察的是相像三角形的性质，掌握相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比都等于相像比是解题的重点．10.【答案】【分析】解：∵四边形 ABCD ∽四边形 A'B'C'D '，∴CD ： C′D ′=BC： B′ C′，∵BC=3 ，， B'C′ =2，∴C′ D′，故答案为：．相像多边形的对应边成比率，依据相像多边形的性质即可解决问题．本题考察相像图形，解题的重点是娴熟掌握相像多边形的性质．11.【答案】增大2【分析】解：∵y=2 （x+2 ），∴在对称轴右边y 随 x 的增大而增大，∴当 x＞ -2 时， y 随 x 的增大而增大，故答案为：增大．由二次函数分析式可求得其对称轴，联合二次函数的增减性可求得答案．本题主要考察二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的重点．12.【答案】28【分析】解：设铁塔高度为x，有=，解得： x=28，答：铁塔的高是28 米，故答案为： 28．依据成比率关系可知，旗杆高比上旗杆的影长等于铁塔的高比上铁塔的影长，代入数据即可得出答案．本题考察了相像三角形的应用，解题重点是知道在同一时辰同一地址任何物体的高与其影子长比值是同样的．13.【答案】50【分析】解：设坡面的铅直高度为x 米，∵山坡的坡度 i=1 ： 3，∴坡面的水平宽度为3x 米，由勾股定理得，（2 2 2，3x） +x =（ 50 ）解得， x=50，则他上涨的高度是50 米，故答案为： 50．设坡面的铅直高度为x 米，依据坡度的观点用x 表示出坡面的水平宽度，依据勾股定理计算即可．本题考察的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度 l 的比是解题的重点．14.【答案】【分析】解：∵= ，，∴，且∠DAE=∠BAC，∴△AED∽△ABC，∴，∴DE = BC= ，故答案为：．经过证明△AED∽△ABC，可得，即可求解．本题考察相像三角形的判断和性质，解题的重点是正确找寻相像三角形解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】【分析】解：作 CM ⊥AB 于 M ，交 GF 于 N，如下图：∵Rt△ABC 中，∠C=90 °， AC=2，BC =1，∴AB==，∴CM===，∵正方形 DEFG 内接于△ABC，∴GF =EF=MN ， GF ∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴=，即=，解得： EF=；故答案为：．作 CM ⊥AB 于 M，交 GF 于 N，由勾股定理得出AB==，由面积法求出CM ==，证明△CGF∽△CAB，得出=，即可得出答案．本题考察的是相像三角形的判断和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出协助线、灵巧运用相像三角形的判断定理和性质定理是解题的重点．16.【答案】【分析】解：∵BD=2 ，CD=6 ，∴BC=BD +CD =8，∵∠B=∠B，∠BAD =∠C，∴△ABD∽△CBA，∴= = ，∴AB2=BD ×BC=2×8=16，∴AB=4，∵AD ⊥AC，∴tanC= = = = ；故答案为：．证明△ABD ∽△CBA ，得出= =，求出AB=4，由三角函数定义即可得出答案．本题考察了相像三角形的判断与性质以及解直角三角形；娴熟掌握相像三角形的判断与性质是解题的重点．17.【答案】5【分析】解：连结DE，设 BD、 CE 交于点 P，如下图：∵△ABC 的中线 BD 、 CE 相互垂直，∴DE 是△ABC 的中位线，∠BPC=90 °，∴DE = BC， DE ∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴===，∴PC= CE= ×12=8， PB= BD= ×9=6 ，∴BC===10，∴DE =5；故答案为： 5．连结 DE，设 BD 、 CE 交于点 P，证明 DE 是△ABC 的中位线，得出DE = BC， DE ∥BC，证明△PDE ∽△PBC ，得出= = = ，求出 PC=8，PE =6，由勾股定理得出BC==10 ，即可得出答案．本题考察了相像三角形的判断与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；娴熟掌握相像三角形的判断与性质和三角形中位线定理是解题的重点．18.【答案】【分析】解：如图，过点 B 作 BF⊥AC，过点 E 作 EH ⊥AC，∵AB=3， AD=4 ，∠ABC =90 °，∴AC===5 ，∵S△ABC= AB×BC= AC×BF ，∴3×4=5BF，∴BF=∴AF===，∵将矩形 ABCD 绕着点 B 顺时针旋转后获得矩形A'BC'D'，∴AB=BA'，∠BAD=∠BA'D '=90 ，°且 BF ⊥AC，∴∠BAC=∠BA'A， AF=A'F= ，∠BA'A+∠EA'C=90 °，∴A'C=AC-AA'= ，∵∠BA'A+∠EA'C=90 °，∠BAA'+∠ACB=90 °，∴∠ACB=∠EA'C，∴A'E=EC ，且 EH ⊥AC，∴A'H=HC = A'C=，∵∠ACB=∠ECH ，∠ABC=∠EHC =90 °，∴△EHC∽△ABC，∴∴∴EC= ，∴BE=BC-EC=4- =，故答案为：．如图，过点 B 作 BF⊥AC，过点 E 作 EH ⊥AC，由勾股定理可求A C=5，由面积法可求B F=，由勾股定理可求AF= ，由旋转的性质可得AB=BA'，∠BAD =∠BA'D'=90 °，可求 AA'= ，由等腰三角形的性质可求HC EHC ABC，可求EC的的长，经过证明△∽△ ，可得长，即可求解．本题考察了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相像三角形的判断和性质，求出 HC 的长是本题的重点．19.【答案】解：（1）∵a：b：c=2：3：5，∴设 a=2k， b=3 k， c=5k（k≠0），则==1；（2）设 a=2k， b=3k， c=5k（ k≠0），则6k-3k+5k=24，解得 k=3 ．则 a=2 k=6，b=3k=9，c=5k=15．【分析】（ 1）依据比率设 a=2 k， b=3k，c=5k（ k≠0），而后辈入比率式进行计算即可得解；（2）先设 a=2 k，b=3k， c=5k（ k≠0），而后将其代入 3a-b+c=24，即可求得 a、b、 c 的值．本题考察了比率的性质，利用“设k 法”求解更简易．20.【答案】解：（1）由表格可知，该函数有最小值，当x=2 时， y=-1，当 x=4 和 x=0 时的函数值相等，则m=3，即该二次函数图象的张口方向向上，对称轴是直线x=2 ，极点坐标为（ 2，-1）， m 的值是 3；（ 2）由题意可得，点 B 的坐标为（ 1， 0），点 A 的坐标为（ 2， -1），点 C 的坐标为（ 4， 3），设直线 AC 的函数分析式为 y=kx+b，，得，因此直线AC 的函数分析式为y=2x-5，当 y=0 时， 0=2x-5，得，则直线 AC 与 x 轴的交点为（， 0），故△ABC 的面积是：=3．【分析】（ 1）依据表格中的数据和二次函数的性质，能够获得该二次函数图象的张口方向、对称轴、极点坐标和 m 的值；（ 2）依据表格中的数据和题意，能够写出点B、点 A 和点 C 的坐标，再求出直线AC 和 x 轴的交点，即可获得△ABC的面积．本题考察抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的重点是明确题意，利用二次函数的性质解答．21.【答案】解：过B作BD⊥AC于D，在 Rt△BCD 中，∵∠D=90°，∠DBC =45°，∴∠DBC=∠DCB =45 °，∴BD =CD ，在 Rt△ABD 中，∵∠DAB=30°，∴AD= BD，∵AC=200 ，∴BD -BD =200，∴BD ==100（+1），∴BC= BD =100（+1）×≈ 386米，答：此时游轮与灯塔 C 的距离为386 米．【分析】过 B 作 BD ⊥AC 于 D，解直角三角形即可获得结论．本题考察的是解直角三角形的应用，仰角俯角问题，依据题意作出协助线，结构出直角三角形是解答本题的重点．22.【答案】解：（1）∵EB=EC，∴∠EBC=∠C，∵BE 均分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠C，∵∠BAE=∠CAB，∴△BAE∽△CAB，2∴AE= ，∴AE= AC ，∵= + ，∴=+，∴=+，∴= + =-+ + = -．（2）∵AD 均分∠BAC，∴= = ，由翻折可知：∠ABC=∠AFD，∵∠ABC=2∠C，∴∠AFD =2∠C，∵∠AFD =∠FDC +∠C，∴∠FDC =∠C，∵∠EBC=∠C，∴∠FDC =∠EBC ，∴DF ∥BE，∴△CFD ∽△CEB，∴=（）2=．【分析】（1）利用相像三角形的性质求出AE，求出，利用三角形法例即可解决问题．（2）证明 DF ∥BE，利用相像三角形的性质即可解决问题．本题考察相像三角形的判断和性质，平行线的判断和性质等知识，解题的重点是娴熟掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】（1）证明：∵AB=3AD，BF=FG=CG，∴= = ，∠B=∠B，∴△BDG∽△BCA，∴∠C=∠DGB ，同理可得：∠B=∠EFC ，∴△FGH ∽△BCA，∴= ，∴FH ?AC=HG ?AB；（ 2）如下图：连结 DF 、 EG、DE ，∵= = ，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴ = ，∴DE =FG ， DE∥BC，∴四边形 DEGF 是平行四边形，∴DF ∥EG，∴∠DFE =∠GEF ，∴∠FHG =∠HDF +∠DFH =∠HDF +∠GEF ，∵△FGH ∽△BCA，∴∠BAC=∠FHG ，∴∠BAC=∠FDG +∠GEF ．【分析】（ 1）依据已知条件可得△BGD∽△BCA，△CEF∽△CAB，从而可得∠HFG =∠B，∠HGF =∠C，可推出△HGF ∽△ACB，即可得结论；（2）连结 DE，可证明 DE ∥BC 且 DE=FG，可得四边形 DEGF 是平行四边形，即可得结论．本题考察了相像三角形的判断与性质．解决本题的重点是掌握相像三角形的判断方法并娴熟运用．24.【答案】解：（1）∵抛物线y=- x2+4的极点为C，∴点 C（0， 4）∴OC=4，∵tanB=4=，∴OB=1，∴点 B（1， 0）设点 D 坐标（ a， b）2∴新抛物线分析式为：y=- （ x-a） +b，且过点C（0， 4），点 B（1， 0）∴解得：∴点 D 坐标（ -1，）（ 2）如图 1，过点 D 作 DH ⊥OC，∵点 D 坐标（ -1，）∴新抛物线分析式为：y=- （ x+1）2+，当 y=0 时， 0=- （ x+1）2+ ，∴x1=-3， x2 =1，∴点 A（ -3，0），∴AO=3，∴，∵点 D 坐标（ -1，）∴DH =1， HO=，∴CH =OH -OC= ，∴，∴，且∠AOC=∠DHC =90 °，∴△AOC∽△CHD ，∴∠ACO=∠DCH ，∵CE 均分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE ，∴∠ACO+∠ACE =∠DCH +∠DCE ，且∠ACO +∠ACE+∠DCH +∠DCE =180 °∴∠ECO=∠ECH =90 °=∠AOB ，∴EC ∥AO，∴点 E 纵坐标为4，∴4=- （ x+1）2+，∴x1=-2， x2 =0，∴点 E（ -2，4），（ 3）如图 2，∵点 E（ -2，4），点C（ 0，4），点 A（ -3， 0），点 B（ 1， 0），点 D 坐标（ -1，）∴DE =DC = ， AC= = =5 ， AB=3+1=4 ，∴∠DEC=∠DCE ，∵EC ∥AB，∴∠ECA=∠CAB ，∴∠DEC=∠CAB ，∵△DEF 和△ABC 相像∴或，∴或∴EF= 或∴点 F（- ，4）或（，4）2设平移后分析式为：y=- （ x+1- c） +4，∴4=- （ - +1- c）2 +4 或 4=- （+1-c）2+4 ，∴c1= ，c2=2 2∴平移后分析式为：y=- （ x+ ） +4 或 y=- （ x-）+4，【分析】（ 1）设点 D 坐标（ a，b），可得新抛物线分析式为：y=- （ x-a）2+b，先求出点 C，点 B 坐标，代入分析式可求解；（2）经过证明△AOC ∽△CHD ，可得∠ACO=∠DCH ，可证 EC∥AO，可得点 E 纵坐标为4，即可求点 E 坐标；（ 3）分两种状况议论，由相像三角形的性质可求点 F 坐标，即可求平移后获得抛物线的表达式．本题是二次函数综合题，考察了二次函数的性质，二次函数的应用，相像三角形的判断和性质，待定系数法求分析式等知识，利用分类议论思想解决问题是本题的重点．25.【答案】解：（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH =CH =3，∴AH ===4，∵S△ABC= ?BC?AH = ?AC ?BM，∴BM==，∴AM===，∴cosA= =．（2）设 AH交 CD于 K．∵∠BAC=2∠ACD，∠BAH =∠CAH ，∴∠CAK=∠ACK ，∴CK =AK ，设 CK =AK =x，2 2 2在 Rt△CKH 中，则有 x =（ 4-x）+3 ，解得 x=，∴AK=CK =，∵∠ADK =∠ADC ，∠DAK =∠ACD ，∴△ADK ∽△CDA ，∴= = = = ，设 AD=m， DK=n，则有，解得 m=，n=．∴AD=．（ 3）结论： AD： BE=5：6 值不变．原因：∵∠GBE=∠ABC，∠BAC+2∠ABC=180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC=180°，∴∠EBC=∠BAC ，∵∠EDC=∠BAC ，∴∠EBC=∠EDC ，∴D ，B， E，C 四点共圆，∴∠EDB=∠ECB，∵∠EDB+∠EDC =∠ACD +∠DAC ，∠EDC=∠DAC，∴∠EDB=∠ACD ，∴∠ECB=∠ACD ，∴△ACD∽△BCE，∴= = ．【分析】（ 1）作 AH ⊥BC 于 H， BM⊥AC 于 M．解直角三角形求出 BM， AM 即可解决问题．（2）设 AH 交 CD 于 K．第一证明 AK=CK，设 AK =CK =x，在 Rt△CHK 中，原因勾股定理求出 x，再证明△ADK ∽△CDA，原因相像三角形的性质建立方程组即可解决问题．（ 3）结论： AD： BE=5：6 值不变．证明△ACD ∽△BCE，可得= = ．本题属于三角形综合题，考察了等腰三角形的性质，解直角三角形，相像三角形的判断和性质等知识，解题的重点是正确找寻相像三角形解决问题，学会利用参数建立方程解决问题，属于中考压轴题．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．方程2x x =的解是（ ）A ．x=0B ．x=1C ．x=0或x=1D ．x=0或x=-1 【答案】C【分析】根据因式分解法，可得答案．【详解】解：2x x =，方程整理，得，x 2-x=0因式分解得，x （x-1）=0，于是，得，x=0或x-1=0，解得x 1=0，x 2=1，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．2．如图，在△ABC 中，∠C=90︒，∠B=30︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于P ，作射线AP 交BC 于点D ，下列说法不正确的是（ ）A ．∠ADC=60︒B ．AD=BDC ．13ACD ABD S S =：： D ．CD=12BD 【答案】C【分析】由题意可知AD 平分CAB ∠，求出DAB ∠，CAD ∠，利用直角三角形30角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可．【详解】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，903060CAB ∴∠=︒-︒=︒，由作图可知：AD 平分CAB ∠1302DAB CAB B ∴∠=∠=︒=∠， 60ADC DAB B ∴∠=∠+∠=︒，故A 正确DA DB =，故B 正确30CAD ∠=︒，2AD BD CD ∴==，13CD BC ∴=， :1:3ADC ABC S S ∆∆∴=，:1:2ADC ABD S S ∆∆∴=，故C 错误，设CD a =，则2AD BD a ==，12CD BD ∴=，故D 正确， 故选：C ．【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A 点、B 点的距离相等，然后思考满足到C 点、B 点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得．【详解】解：如图：∵OA ＝OB ，∴O 在线段AB 的垂直平分线上，∵OB ＝OC ，∴O 在线段BC 的垂直平分线上，∵OA ＝OC ，∴O 在线段AC 的垂直平分线上，又三个交点相交于一点，∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．故选：D ．【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等． 4．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）A ．302，B ．602，C ．3602， D ．603，【答案】C【解析】试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot ∠33AB=2BC=4，∵△EDC 是△ABC 旋转而成，∴BC=CD=BD=12AB=2， ∵∠B=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∵BD=12AB=2， ∴DF 是△ABC 的中位线，∴DF=12BC=12×2=1，CF=12AC=12×23=3，∴S阴影=12DF×CF=12×3=32．故选C．考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．5．下列方程中，是一元二次方程的是()A．2ax bx c++B．2111 22x x+--=C．211x x-+=D．310x x++=【答案】B【解析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】A.属于多项式，错误；B.属于一元二次方程，正确；C.未知数项的最高次数是2，但不属于整式方程，错误；D.属于整式方程，未知数项的最高次数是3，错误．故答案为：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的性质以及定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A，B，与反比例函数kyx=（k＞0）在第一象限的图象交于点E，F，过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C，若13BEBF=，则△OEF与△CEF的面积之比是（）A．2：1 B．3：1 C．2：3 D．3：2【答案】A【分析】根据E，F都在反比例函数的图象上设出E，F的坐标，进而分别得出△CEF的面积以及△OEF的面积，然后即可得出答案．【详解】解：设△CEF 的面积为S 1，△OEF 的面积为S 2，过点F 作FG ⊥BO 于点G ，EH ⊥AO 于点H ，∴GF ∥MC ， ∴ME GF ＝13BE BF =， ∵ME •EH ＝FN •GF，∴ME GF ＝FN EH ＝13， 设E 点坐标为：（x ，k x ），则F 点坐标为：（3x ，3k x ）， ∴S △CEF ＝12（3x ﹣x ）（k x ﹣3k x ）＝23k ， ∵S △OEF ＝S 梯形EHNF +S △EOH ﹣S △FON ＝S 梯形EHNF ＝12（k x +3k x ）（3x ﹣x ）＝43k ∴OEFCEF S S ∆∆＝4323k k ＝21． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及三角形面积求法，根据已知表示出E ，F 的点坐标是解题关键，有一定难度，要求同学们能将所学的知识融会贯通．7．如图，为了测量路灯离地面的高度，身高1.6m 的小明站在距离路灯的底部（点O ）12m 的点A 处，测得自己的影子AM 的长为4m ，则路灯CO 的高度是（ ）A ．4.8mB ．6.4mC ．8mD ．9.6m【答案】B 【分析】根据平行得：△ABM ∽△ODM ，列比例式，代入可求得结论．【详解】解：由题意得：AB ∥OC ，∴△ABM ∽△OCM ， ∴AB AM OC OM = ∵OA=12，AM=4，AB=1.6，∴OM=OA+AM=12+4=16，∴11.646OC = ∴OC=6.4，则则路灯距离地面6.4米.故选：B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是利用物高和影长成正比或相似三角形的对应边成比例性质解决此题．8．如图，双曲线k y x=与直线y mx =相交于A 、B 两点，B 点坐标为()2,3--，则A 点坐标为（ ）A ．()2,3? --B ．()2,3C ．()2,3-D ．()2,3-【答案】B 【解析】反比例函数的图象是中心对称图形,则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.【详解】解:点A 与B 关于原点对称, B 点坐标为()2,3--∴A 点的坐标为(2,3).所以B 选项是正确的.【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性,要求同学们要熟练掌握.9．如图，直径为10的⊙A 山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )A ．12B ．34C ．32D ．45【答案】C【分析】连接CD ，由直径所对的圆周角是直角，可得CD 是直径；由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC ，在Rt △OCD 中，由OC 和CD 的长可求出sin ∠ODC.【详解】设⊙A 交x 轴于另一点D ，连接CD ，∵∠COD=90°，∴CD 为直径，∵直径为10，∴CD=10，∵点C （0，5）和点O （0，0），∴OC=5，∴sin ∠ODC= OC CD = 12， ∴∠ODC=30°，∴∠OBC=∠ODC=30°，∴cos ∠OBC=cos30°=3 ． 故选C.【点睛】此题考查了圆周角定理、锐角三角函数的知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用. 10．如图，ABC ∆中，//,2,3DE BC AD BD ==，则DE AE BC AC =的值为（ ）A ．2:3B ．1:2C ．3:5D ．2:5【答案】D 【解析】根据相似三角形的判定和性质，即可得到答案.【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ∆∽ABC ∆， ∴22235DE AE AD AD BC AC AB AD DB =====++； 故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.11．如图，AD 是⊙O 的直径，以A 为圆心，弦AB 为半径画弧交⊙O 于点C ，连结BC 交AD 于点E ，若DE ＝3，BC ＝8，则⊙O 的半径长为（ ）A ．256B ．5C ．163D ．253【答案】A【分析】由作法得AB AC =，根据圆周角定理得到∠ADB ＝∠ABE ，再根据垂径定理的推论得到AD ⊥BC ，BE ＝CE ＝12BC ＝4，于是可判断Rt △ABE ∽Rt △BDE ，然后利用相似比求出AE ，从而得到圆的直径和半径． 【详解】解：由作法得AC ＝AB ，∴AB AC =，∴∠ADB ＝∠ABE ，∵AB 为直径，∴AD ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝4，∠BEA ＝∠BED ＝90°， 而∠BDE ＝∠ABE ，∴Rt △ABE ∽Rt △BDE ，∴BE ：DE ＝AE ：BE ，即4：3＝AE ：4，∴AE ＝163， ∴AD ＝AE+DE ＝163+3＝253， ∴⊙O 的半径长为256． 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了圆周角定理．12．将二次函数y ＝2x 2+2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得新函数图象的表达式为（ ）A ．y ＝2（x ﹣1）2+3B ．y ＝﹣2（x+3）2+1C ．y ＝2（x ﹣3）2﹣1D ．y ＝2（x+3）2+1【答案】D【分析】根据二次函数图像的平移法则进行推导即可.【详解】解：将二次函数y ＝2x 2+2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得新函数图象的表达式为y ＝2（x+3）2+2﹣1，即y ＝2（x+3）2+1．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，掌握并灵活运用“上加下减，左加右减”的平移原则是解题的关键.二、填空题（本题包括8个小题） 13．如图，在Rt ABC 中，90,8C BC ∠=︒=，1 2tanB =，点D 在BC 上，且BD AD =，则AC =______．cos ADC ∠=______．【答案】4 35【分析】在Rt △ABC 中，根据1 t an 2AC B BC ==，可求得AC 的长；在Rt △ACD 中，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，根据勾股定理列方程求出x 值，从而求得结果．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵1 t an 2AC B BC ==，∴AC=12BC=1． 设CD=x ，则BD=8-x=AD ，在Rt △ACD 中，由勾股定理得，x 2+12=(8-x)2，解得x=2．∴CD=2，AD=5，∴3cos 5CD ADC AD ∠==． 故答案为：1；35． 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握相关概念是解题的关键．14．若△ABC ∽△DEF,，且相似比为1：2，则△ABC 与△DEF 面积比_____________.【答案】1：1【分析】由题意直接根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行求值即可．【详解】解：∵△ABC ∽△DEF ，且△ABC 与△DEF 的相似比为1：2，∴△ABC 与△DEF 的面积比为1：1，故答案为：1：1．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 15．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4BC =则cos B =______．【答案】34【分析】根据题意画出图形，进而得出cosB=AB BC 求出即可． 【详解】解：∵∠A=90°，AB=3，BC=4，则cosB=AB BC =34． 故答案为：34．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题的关键．16．若点（p ，2）与（﹣3，q ）关于原点对称，则p+q ＝__．【答案】1【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出p ，q 的值进而得出答案．【详解】解：∵点（p ，2）与（﹣3，q ）关于原点对称，∴p ＝3，q ＝﹣2，∴p+q ＝3﹣2＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的坐标之间的关系是解题关键． 17．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x ，乙立方体朝上一面上的数字为y ，这样就确定点P 的一个坐标（x ，y ），那么点P 落在双曲线y=6x 上的概率为____． 【答案】19【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出P 坐标落在双曲线上的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：列表得：所有等可能的情况数有36种，其中P （x ，y ）落在双曲线y=6x上的情况有4种， 则P=436=19． 故答案为19 【点睛】 本题考查列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征，掌握概率的求法是解题关键．18．如图，点A 是函数8(0)y x x =>图象上的一点，连接AO ，交函数2(0)y x x=>的图象于点B ，点C 是x 轴上的一点，且AC AO =，则ABC ∆的面积为_________.【答案】4【分析】作AE ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点D 得出△OBD ∽△OAE ，根据面积比等于相似比的平方结合反比例函数的几何意义求出12OD OE =，再利用条件“AO=AC”得出14OD OC =，进而分别求出OBC S 和OAC S 相减即可得出答案. 【详解】作AE ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点D∴△OBD ∽△OAE∴2OBDOAE S OD OE S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 根据反比例函数的几何意义可得：4OAE S=，1OBD S = ∴12OD OE = ∵AO=AC∴OE=EC∴14OD OC = ∴4OBC S=，8OAC S = ∴4ABC OAC OBC S S S =-=故答案为4.【点睛】 本题考查的是反比例函数与几何的综合，难度系数较大，需要熟练掌握反比例函数的几何意义.三、解答题（本题包括8个小题）19．解方程：3x （x ﹣1）=2﹣2x ．【答案】x 1=1，x 2=﹣23．【解析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．【详解】解：3x （x ﹣1）+2（x ﹣1）=0，（x ﹣1）（3x+2）=0，∴x ﹣1=0，3x+2=0，解得x 1=1，x 2=﹣23． 考点：解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法．20．岚山区地处黄海之滨，渔业资源丰富，海产品深受消费者喜爱．某海产品批发超市对进货价为40元/千克的某品牌小黄鱼的销售情况进行统计，发现每天销售量y （千克）与销售价x （元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若不考虑其它因素，则销售总利润=每千克的利润×总销量，那么当销售价格定为多少时，该品牌小黄鱼每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=-2x+140；（2）当该种小黄鱼销售价定为55元/千克时，每天的销售利润有最大值1元【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）先求出利润与销售价格之间的关系式，然后利用二次函数的最值问题，即可得到答案．【详解】解：（1）由图象，设函数解析式为y=kx+b ，把（60，20）、（70，0）代入，得6020700k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：k=﹣2，b=140 ，∴函数解析式为y=-2x+140；（2）设该品牌小黄鱼每千克的售价为x 元，总利润为W 元，根据题意，得 2(40)(40)(2140)22205600W x yx x x x =-⋅=--+=-+-当x=2b a-=55时，W 有最大值244ac b a -=1． 即当该种小黄鱼销售价定为55元/千克时，每天的销售利润有最大值1元．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，以及一次函数的性质，求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握题意，正确求出关系式，从而进行解题．21．在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒,点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边APE ，点E 的位置随点P 的位置变化而变化.（1）如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ；（2）当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).(3) 如图4，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若23AB = ,219BE = ,求四边形ADPE 的面积.【答案】（1）BP=CE ； CE ⊥AD ；（2）成立，理由见解析；（3）83 .【解析】（1）①连接AC ，证明△ABP ≌△ACE ，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE ；②根据菱形对角线平分对角可得ABD 30∠=︒，再根据△ABP ≌△ACE ，可得ACF ABD 30∠∠==︒，继而可推导得出CFD 90∠=︒ ，即可证得CE ⊥AD ；（2）(1)中的结论：BP=CE ，CE ⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可；（3）连接AC 交BD 于点O ，CE ，作EH ⊥AP 于H ，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE 的长，AP 长，由△APE 是等边三角形，求得PH ， EH 的长，再根据ADP APE ADPE S SS =+四，进行计算即可得.【详解】（1）①BP=CE ，理由如下：连接AC ，∵菱形ABCD ，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC=60°，∵△APE 是等边三角形，∴AP=AE ，∠PAE=60° ，∴∠BAP=∠CAE ，∴△ABP ≌△ACE ，∴BP=CE ；②CE ⊥AD ，∵菱形对角线平分对角，∴ABD 30∠=︒，∵△ABP ≌△ACE ，∴ACF ABD 30∠∠==︒，∵ACD ADC 60∠∠==︒，∴DCF 30∠=︒，∴DCF ADC 90∠∠=︒＋，∴CFD 90∠=︒ ，∴CF ⊥AD ，即CE ⊥AD ；（2）(1)中的结论：BP=CE ，CE ⊥AD 仍然成立，理由如下：连接AC ，∵菱形ABCD ，∠ABC=60°，∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAD=120° ，∠BAP=120°＋∠DAP ，∵△APE 是等边三角形，∴AP=AE ， ∠PAE=60° ，∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP ，∴∠BAP=∠CAE ，∴△ABP ≌△ACE ，∴BP=CE ，ACE ABD 30∠∠==︒，∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°，∴∠DCE ＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE ⊥AD ，∴(1)中的结论：BP=CE ，CE ⊥AD 仍然成立；(3) 连接AC 交BD 于点O ，CE ，作EH ⊥AP 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BD 平分∠ABC ，∵∠ABC=60°，AB 23=，∴∠ABO=30° ，∴AO 3=， BO=DO=3， ∴BD=6，由(2)知CE ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴CE ⊥BC ， ∵BE 219=， BC AB 23==，∴()()22CE 219238==－， 由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5， ∴()22AP 5327==＋∵△APE 是等边三角形，∴PH 7=， EH 21= ∵ADP APE ADPE S SS =+四， ∴ADPE 11S DP?AO AP?EH 22=+四， =1123272122⨯⨯=373=3∴四边形ADPE 的面积是3 .【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键.22．华联超市准备代销一款运动鞋，每双的成本是170元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是40双，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5双，设每双降低x 元(x 为正整数)，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)每双运动鞋的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣5x 2+110x+1200；(2) 售价定为189元，利润最大1805元【解析】利润等于（售价﹣成本）×销售量，根据题意列出表达式，借助二次函数的性质求最大值即可；【详解】（1）y ＝（200﹣x ﹣170）（40+5x ）＝﹣5x 2+110x+1200；（2）y ＝﹣5x 2+110x+1200＝﹣5（x ﹣11）2+1805，∵抛物线开口向下，∴当x ＝11时，y 有最大值1805，答：售价定为189元，利润最大1805元；【点睛】本题考查实际应用中利润的求法，二次函数的应用；能够根据题意列出合理的表达式是解题的关键．23．先化简，再求值：2221211a a a a a a +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭,其中a=2. 【答案】1a a -，2 【分析】先根据分式的运算顺序和运算法则化简原式，再将a=2代入计算即可；【详解】解：原式=2(1)21(1)1a a a a a a +-+⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭2(1)1•(1)11a a a a a a a +-==-+-； 当a=2时，原式值=222-1=； 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键.24．已知一元二次方程x 2﹣3x+m ＝1．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．【答案】（1）9m 4<；（2）x 1＝x 2＝32【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式大于零，列出不等式，即可求解；（2）根据一元二次方程根的判别式等于零，列出方程，求出m 的值，进而即可求解．【详解】（1）∵一元二次方程x 2﹣3x+m ＝1有两个不相等的实数根，∴∆＝b 2﹣4ac ＝9﹣4m ＞1，∴m ＜94； （2）∵一元二次方程x 2﹣3x+m ＝1有两个相等的实数根，∴∆＝b 2﹣4ac ＝9﹣4m ＝1，∴m ＝94， ∴x 2﹣3x+94＝1， ∴x 1＝x 2＝32． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况关系是解题的关键． 25．如图，己知抛物线2y x bx c =++的图象与x 轴的一个交点为()4,0B 另一个交点为A ，且与y 轴交于点()0,4C（1）求直线BC 与抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的－一动点，过点M 作//MN y 轴交直线BC 于点N ，当MN 的值最大时，求BMN ∆的周长．【答案】（1）4y x =-+，254y x x =-+；（2）4+【分析】（1）直接用待定系数法求出直线和抛物线解析式；（2）先求出最大的MN ，再求出M ，N 坐标即可求出周长；【详解】解：（1）设直线BC 的解析式为y mx n =+，将(4,0)B ，(0,4)C 两点的坐标代入， 得，404m n n +=⎧⎨=⎩， ∴14m n =-⎧⎨=⎩ 所以直线BC 的解析式为4y x =-+；将(4,0)B ，(0,4)C 两点的坐标代入2y x bx c =++， 得，16404b c c ++=⎧⎨=⎩，∴54b c =-⎧⎨=⎩ 所以抛物线的解析式为254y x x =-+；（2）如图1，设(M x ，254)(14)x x x -+<<，则(,4)N x x -+， 222(4)(54)4(2)4MN x x x x x x =-+--+=-+=--+，∴当2x =时，MN 有最大值4； MN 取得最大值时，2x =，4242x ∴-+=-+=，即(2,2)N ．25445242x x -+=-⨯+=-，即(2,2)M -，(4.0)B ， 可得22BN =，22BM =，BMN ∴∆的周长42222442=++=+．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数的极值，三角形的周长，三角形的面积，方程组的求解，解本题的关键是建立MN 的函数关系式．26．2019年全国青少年禁毒知识竞赛开始以来，某市青少年学生踊跃参加，掀起了学习禁毒知识的热潮，禁毒知识竞赛的成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格．为了了解该市广大学生参加禁毒知识竞赛的成绩，抽取了部分学生的成绩，根据抽查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）本次抽查的人数是 ；扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为 ； （2）补全条形统计图；（3）若某校有2000名学生，请你根据调查结果估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有多少人？【答案】（1）120，18°；（2）详见解析；（3）1000【分析】（1）由优秀的人数及其所占百分比可得总人数；用360°乘以不及格人数所占比例即可得出不及格学生所占的圆心角的度数；（2）用总人数减去各等级人数之和求出良好的人数，据此可补全条形图；（3）用总人数乘以样本中“优秀”和“良好”人数和占被调查人数的比例即可得出答案．【详解】解：（1）本次抽查的人数为：24÷20%＝120（人），扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为360°×6120＝18°， 故答案为：120，18°；（2）良好的人数为：120﹣（24+54+6）＝36（人），补全图形如下：（3）估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有： 2000×2436120+＝1000（人）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．27．已知234==a b c （1）求a b c b++的值； （2）若2230a b c ++=-，求,,a b c 的值．【答案】（1）3；（2）a=-4，b=-6，c=-8.【解析】（1）设234a b c k ===，可得2a k =，3b k =，4c k =，代入原式即可解答；（2）把2a k =，3b k =，4c k =，带入（2）式即可计算出k 的值，从而求解. 【详解】（1）设234a b c k ===， 则2a k =，3b k =，4c k = ∴2349333a b c k k k k b k k++++=== （2）由（1）2232430k k k ⨯++⨯=-解得2k =-，4a =-，6b =-，8c =-【点睛】 本题考查比例的性质，设234a b c k ===是解题关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的6名同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下：（单位：个）33，25，28，26，25，31，如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为（ ）A ．900个B ．1080个C ．1260个D ．1800个 【答案】C【分析】先求出6名同学家丢弃塑料袋的平均数量作为全班学生家的平均数量，然后乘以总人数45即可解答． 【详解】估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为3325282625314512606+++++⨯=（个）． 【点睛】本题考查了用样本估计总体的问题，掌握算术平均数的公式是解题的关键．2．如图，AD ，BC 相交于点O ，//AB CD ．若1AB =，2CD =，则ABO ∆与DCO ∆的面积之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．2:1D ．4:1【答案】B 【分析】先证明两三角形相似,再利用面积比是相似比的平方即可解出. 【详解】∵AB ∥CD,∴∠A=∠D,∠B=∠C,∴△ABO ∽△DCO,∵AB=1,CD=2,∴△AOB 和△DCO 相似比为:1:2.∴△AOB 和△DCO 面积比为:1:4.故选B.【点睛】本题考查相似三角形的面积比,关键在于牢记面积比和相似比的关系.3．如图摆放的圆锥、圆柱、三棱柱、球，其主视图是三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形判断即可．【详解】A.主视图是圆；B.主视图是矩形；C.主视图是矩形；D.主视图是三角形．故选：D．【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．某林业部门要考察某幼苗的成活率，于是进行了试验，下表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况，则下列说法不正确的是（）A．由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9B．如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则必定成活18000株C．可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值D．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率【答案】B【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率即可得到答案．【详解】解：由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9，故A选项正确；如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则大约成活18000株，故B选项错误；可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值，故C选项正确；在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率，故D选项正确.故选：B．【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，掌握这个知识点是解题的关键．5．如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意，B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，故选：A.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．6．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B的度数是（）A．100°B．80°C．60°D．50°【答案】B【解析】试题分析：如图，翻折△ACD，点A落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B=80°.故选：B7．已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a，b的大小关系为( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能确定【答案】D【解析】∵二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，∴a>0，∵无论b为何值，此函数均有最小值，∴a、b大小无法确定．8．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【解析】试题解析：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件；④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件；⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件；⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件；所以正确的有③⑥．故选A．9．下列结论中，错误的有：（）①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据相似多边形的定义判断①⑤，根据相似图形的定义判断②，根据相似三角形的判定判断③④.【详解】相似多边形对应边成比例，对应角相等，菱形之间的对应角不一定相等，故①错误； 放大镜下的图形只是大小发生了变化，形状不变，所以一定相似，②错误；等边三角形的角都是60°，一定相似，③正确；钝角只能是等腰三角形的顶角，则底角只能是35°，所以两个等腰三角形相似，④正确；矩形之间的对应角相等，但是对应边不一定成比例，故⑤正确.有2个错误，故选B.【点睛】本题考查相似图形的判定，注意相似三角形与相似多边形判定的区别.10．已知反比例函数y ＝﹣3x ，下列结论不正确的是（ ） A ．图象必经过点（﹣1，3）B ．若x ＞1，则﹣3＜y ＜0C ．图象在第二、四象限内D ．y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】A . ∵(−1)×3=−3,∴图象必经过点(−1,3)，故正确；B . ∵k =−3<0，∴函数图象的两个分支分布在第二、四象限，故正确；C . ∵x=1时，y =−3且y 随x 的增大而而增大，∴x>1时，−3<y<0，故正确；D. 函数图象的两个分支分布在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，故错误． 故选D.11．二次函数y=(x+2)2-3的顶点坐标是（ ）A ．(﹣2，3)B ．(2，3)C ．(﹣2，﹣3)D ．(2，﹣3) 【答案】C【分析】根据二次函数的性质直接求解．【详解】解：二次函数y=（x+2）2-3的顶点坐标是（-2，-3）．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；抛物线的顶点式为y=a （x-2b a ）2+242ac b a -，对称轴为直线x=-2b a ，顶点坐标为（-2b a ，242ac b a -）；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）．12．如图钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长m ，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，两个同心圆(圆心相同半径不同的圆)的半径分别为6cm 和3cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，则劣弧AB 的长为( )A ．2πcmB ．4πcmC ．6πcmD ．8πcm【答案】B 【解析】首先连接OC ，AO ，由切线的性质，可得OC ⊥AB ，根据已知条件可得：OA=2OC ，进而求出∠AOC 的度数，则圆心角∠AOB 可求，根据弧长公式即可求出劣弧AB 的长．【详解】解：如图，连接OC ，AO ，∵大圆的一条弦AB 与小圆相切，∴OC ⊥AB ，∵OA=6，OC=3，∴OA=2OC ，∴∠A=30°，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，∴劣弧AB 的长=1206180π⨯⨯ =4π， 故选B ．【点睛】本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键．2．抛物线244y x x =-+-与坐标轴的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y 轴的交点坐标，再解方程2440x x -+-=得抛物线与x 轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．【详解】当0x =时，2444y x x =-+-=-，则抛物线与y 轴的交点坐标为(0,4)-，当0y =时，2440x x -+-=，解得122x x ==，抛物线与x 轴的交点坐标为(2,0)，所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．3．计算（24827(73)(73)(231)3-+--++的结果为（ ） A ．8﹣43B ．﹣8﹣43C ．﹣8+43D ．8+43 【答案】B 【分析】先按照平方差公式与完全平方公式计算2(73)(73)(231)+--+，同时按照二次根式的除法计算48273-，再合并即可得到答案． 【详解】解：24827(73)(73)(231)3-+--++()7312431169=--+++-4134343=--+-84 3.=--故选B ．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法与二次根式的除法运算是解本题的关键． 4．按如下方法，将△ABC 的三边缩小的原来的12，如图，任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是（ ）①△ABC 与△DEF 是位似图形 ②△ABC 与△DEF 是相似图形③△ABC 与△DEF 的周长比为1：2 ④△ABC 与△DEF 的面积比为4：1．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【详解】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，∵将△ABC的三边缩小的原来的12，∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故③选项错误，根据面积比等于相似比的平方，∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．故选C．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，中等难度,熟悉位似图形的性质是解决问题的关键．5．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在白色区域的概率等于（）A．13B．12C．23D．无法确定【答案】C【分析】根据概率P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数可得答案．【详解】以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，白色区域有4个，因此46＝23，故选：C．【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的求解方法.6．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球，摸出白球的概率是()A．12B．13C．14D．16【答案】A【分析】根据概率公式计算即可.【详解】∵盒子内装有红球1个、绿球1个、白球2个共4个球，∴出一个球，摸出白球的概率是21 42 ，故选：A.【点睛】此题考查概率的公式，熟记概率的计算方法是解题的关键.7．如图，太阳在房子的后方，那么你站在房子的正前方看到的影子为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据平行投影的性质可知烟囱的影子应该在右下方，房子左边对应的突起应该在影子的左边．8．下列几何体中，主视图是三角形的是( )A．B．C．D．【答案】C【分析】主视图是从正面看所得到的图形，据此判断即可．【详解】解：A、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；B、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；D、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了几何体的三视图，解此题的关键是熟练掌握几何体的主视图．9．已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（）x …-1 0 1 3 …y …0 3 4 3 …A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）【答案】C【分析】根据（0，3）、（3，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（3，3）两点，∴对称轴x=032=1.5；点（-1，0）关于对称轴对称点为（4，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（4，0）．故选C．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．图中信息是小明和小华射箭的成绩，两人都射了10箭，则射箭成绩的方差较大的是（）A．小明B．小华C．两人一样D．无法确定【答案】B【分析】根据图中的信息找出波动性小的即可．【详解】解：根据图中的信息可知，小明的成绩波动性小，则这两人中成绩稳定的是小明；故射箭成绩的方差较大的是小华，故选：B ．【点睛】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球运动时间t (单位：s )之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m ；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度30h m =时， 1.5t s =．其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②③【答案】D 【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m ；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：()2340h a t =-+，把()0,0O 代入得()200340a =-+，解得409a =-， ∴函数解析式为()2403409h t =--+， 把30h =代入解析式得，()240303409t =--+， 解得： 4.5t =或 1.5t =，∴小球的高度30h m =时， 1.5t s =或4.5s ，故④错误；故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意12．若()22222()230a b a b+-+-=，则代数式22a b +的值（ ） A ．-1 B ．3 C ．-1或3D ．1或-3【答案】B【分析】利用换元法解方程即可.【详解】设22a b +=x ，原方程变为：2230x x --=，解得x=3或-1，∵22a b +≥0，∴22 3.a b +=故选B.【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，设22a b +=x ，把原方程转化为2230x x --=是解题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．一种微粒的半径是1．11114米，这个数据用科学记数法表示为____．【答案】5410-⨯【解析】试题分析：科学计数法是指a×10n ，且1≤a ＜11，小数点向右移动几位，则n 的相反数就是几．考点：科学计数法14．如图，起重机臂AC 长60m ，露在水面上的钢缆BC 长302m ，起重机司机想看看被打捞的沉船情况，在竖直平面内把起重机臂AC 逆时针转动15︒到'AC 的位置，此时露在水面上的钢缆''B C 的长度是___________.【答案】3m【解析】首先在Rt△ABC中，利用正弦值可推出∠CAB=45°，然后由转动角度可得出∠C'AB'=60°，在Rt△C'AB'中利用60°的正弦即可求出B' C'．【详解】再Rt△ABC中，∵BC3022 sin CAB===AC602∠∴∠CAB=45°起重机臂AC逆时针转动15︒到'AC的位置后，∠C'AB'=∠CAB+15°=60°在Rt△C'AB'中，B' C'=3AC sin C AB=60=3032'⋅∠''⨯m故答案为：303m．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．15．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为___．【答案】2020.【分析】把x=m代入方程计算即可求解．【详解】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，则原式＝2019+1＝2020，故答案为2020.【点睛】本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．16．已知，P为等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则S△ABC＝_____．25336+【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，则△BPE为等边三角形，得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，延长BP，作AF⊥BP于点F，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数，在Rt△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在Rt△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．∴∠APF＝30°，∴在直角△APF中，AF＝12AP＝32，PF＝3AP＝33．∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+33）2+（32）2＝25+123．∴△ABC的面积＝3AB2＝3（25+123）＝25336+；故答案为：253364+．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．17．正六边形的边长为6，则该正六边形的面积是______________.【答案】3【分析】根据题意可知边长为6的正六边形可以分成六个边长为6的正三角形，从而计算出正六边形的面积即可．【详解】解：连接正六变形的中心O和两个顶点D、E，得到△ODE，因为∠DOE=360°×16=60°， 又因为OD=OE ， 所以∠ODE=∠OED=（180°-60°）÷2=60°，则三角形ODE 为正三角形，∴OD=OE=DE=6，∴S △ODE= 12OD •OE •sin60°= 12×6×633 正六边形的面积为6×93=54 3 故答案为3【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，即要熟悉正六边形的性质，也要熟悉正三角形的面积公式．18．若a 、b ()a b <是关于x 的一元二次方程()()20x m x n ---=的两个根，且m n <，则a ，b ，m ，n 的大小关系是_____________．【答案】a m n b <<<【分析】根据题意和二次函数性质，可以判断出a b m n 、、、的大小关系，本题得以解决．【详解】令()()y x m x n =--，则该函数的图象开口向上，当0y =时，12x m x n ==，，当2y =时，()()2x m x n =--，即()()20x m x n ---=，∵()a b a b <、是关于x 的方程()()20x m x n ---=的两根，且m n <，∴a m n b <<<，故答案为：a m n b <<<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1,0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B．(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标．【答案】（1）y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3；（2）M(－1，2)．【解析】试题分析：（1）根据题意得出关于a、b、c的方程组，求得a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性得出点B的坐标，再设出直线BC的解析式，把点B、C的坐标代入即可得出直线BC的解析式；（2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC，设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC 的值最小，再求得点M的坐标．试题解析：（1）依题意得：12{03baa b cc-=-++==，解之得：1 {23abc=-=-=，∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），∴B（-3，0），∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得30 {3m nn-+==，解得：1 {3mn==，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得，y=2∴M（-1，2）．即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）．考点：1.抛物线与x轴的交点；2.轴对称-最短路线问题．20．如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90°，交⊙O于点D，连接BD．若AB＝6cm，AC＝2cm，记A，M两点间距离为xcm，B，D两点间的距离为ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格：x/cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6y/cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 1.66 0（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD＝AC时，AM的长度约为cm．【答案】（1）2.41；（2）详见解析；（3）1.38或4.1（本题答案不唯一）．【分析】（1）描出图象后，测量x＝4时，y的值，即可求解；（2）描点作图即可；（3）当BD＝AC时，即：y＝2，即图中点A、B的位置，即可求解．【详解】（1）描出后图象后，x＝4时，测得y＝2.41（答案不唯一），故答案是2.41；（2）图象如下图所示：当x＝4时，测量得：y＝2.41；（3）当BD＝AC时，y＝2，即图中点A、B的位置，从图中测量可得：x A ＝1.38，x B ＝4.1，故：答案为：1.38或4.1．【点睛】此题考查圆的综合题，函数的作图，解题关键在于通过描点的方法作图，再根据题意测量出相应的长度． 21．如图，E 、F 分别为线段AC 上的两个点，且DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，若AB ＝CD ，AE ＝CF ．求证：BF ＝DE ．【答案】详见解析．【分析】由题意根据DE ⊥AC ，BF ⊥AC 可以证明∠DEC ＝∠BFA ＝90°，由“HL”可证Rt △ABF ≌Rt △CDE 可得BF ＝DE ．【详解】解：证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BFA ＝90°．∵AE ＝CF ，∴AE+EF ＝CF+EF ，即AF ＝CE ．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CD AF CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ），∴BF ＝DE.【点睛】本题考查全等三角形的判定以及考查全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt △ABF ≌Rt △CDE 是解题的关键．22．已知抛物线y ＝x 2﹣2ax+m ．（1）当a ＝2，m ＝﹣5时，求抛物线的最值；（2）当a ＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y 轴向上平移k 个单位长度后，得到新的抛物线与x 轴没有交点，请判断k 的取值情况，并说明理由；（3）当m ＝0时，平行于y 轴的直线l 分别与直线y ＝x ﹣（a ﹣1）和该抛物线交于P ，Q 两点．若平移直线l ，可以使点P ，Q 都在x 轴的下方，求a 的取值范围．【答案】（3）-3；（2）k ＞2，见解析；（3）a ＞3或a ＜﹣3【分析】(3)把a＝2，m＝﹣5代入抛物线解析式即可求抛物线的最值；(2)把a＝2代入，当该抛物线与坐标轴有两个交点，分抛物线与x轴、y轴分别有一个交点和抛物线与x 轴、y轴交于原点，分别求出m的值，把它沿y轴向上平移k个单位长度，得到新的抛物线与x轴没有交点，列出不等式，即可判断k的取值；(3)根据题意，分a大于2和a小于2两种情况讨论即可得a的取值范围．【详解】解：(3)当a＝2，m＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣3所以抛物线的最小值为﹣3．(2)当a＝2时，y＝x2﹣4x+m因为该抛物线与坐标轴有两个交点，①该抛物线与x轴、y轴分别有一个交点∴△=36-4m=2，∴m=4，∴y＝x2﹣4x+4=（x-2）2沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，则k＞2；②该抛物线与x轴、y轴交于原点，即m=2，∴y＝x2﹣4x∵把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，∴y＝x2﹣4x+k此时△＜2，即36﹣4k＜2解得k＞4;综上，k＞2时，函数沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点；(3)当m＝2时，y＝x2﹣2ax抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（2，2）（2a，2），a≠2．直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣3）和该抛物线交于P，Q两点，平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，①当a＞2时，如图3所示，此时，当x＝2时，2﹣a+3＜2，解得a＞3；②当a＜2时，如图2所示，此时，当x＝2a时，2a﹣a+3＜2，解得a＜﹣3．综上：a＞3或a＜﹣3．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的最值问题和根据题意进行分类讨论是解本题的关键.23．如图，某防洪堤坝长300米，其背水坡的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得加固后坡面的坡角∠ADB=50°（1）求此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（2）完成这项工程需要土石多少立方米？（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）【答案】（1）应将坝底向外拓宽大约6.58米；（2）21714立方米【分析】（1）过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DE-BE即可求解；（2）用△ABD的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．【详解】解：（1）过A 点作AE ⊥CD 于E ．在Rt △ABE 中，∠ABE=62°．∴AE=AB•sin62°≈25×0.88=22米，BE=AB•cos62°≈25×0.47=11.75米，在Rt △ADE 中，∠ADB=50°，∴DE=tan 50AE ︒=18.33米， ∴DB=DE-BE≈6.58米．故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．（2）6.58×22×12×300=21714立方米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．24．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？【答案】6【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为2y ax =(a ≠0).∵图象经过点（2，-2），∴-2=4a ，解得：12a =-. ∴212y x =-.当y=-3时，6x =±.答：当水面高度下降1米时，水面宽度为26米.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般．25．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门．将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出（点A 在y 轴上），足球的飞行高度y （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间满足函数关系y ＝at 2+5t+c ，己知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m ．（1）a ＝ ，c ＝ ；（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）2516-，12；（2）当足球飞行的时间85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（3）能． 【分析】（1）由题意得：函数y ＝at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），代入函数的表达式即可求出a ，c 的值； （2）利用配方法即可求出足球飞行的时间以及足球离地面的最大高度； （3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，把t ＝2.8代入解析式求出y 的值和2.44m 比较大小即可得到结论．【详解】（1）由题意得：函数y ＝at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴20.53.50.850.8c a c =⎧⎨=+⨯+⎩， 解得：251612a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣2516t 2+5t+12， 故答案为：﹣2516，12； （2）∵y ＝﹣2516t 2+5t+12，∴y＝﹣2516（t﹣85）2+92，∴当t＝85时，y最大＝4.5，∴当足球飞行的时间85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（3）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，∴当t＝2.8时，y＝﹣2516×2.82+5×2.8+12＝2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．26．（操作发现）如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=____．（问题解决）（3）如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）【答案】（1）如图，△AB′C′即为所求；见解析；（1）45°；（3）S△APC=3【解析】（1）如图所示，△AB′C′即为所求；（1）利用等腰三角形的性质即可解决问题；【问题解决】结论:PA1+PB1=PC1．证法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；证法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．【详解】（1）如图，△AB′C′即为所求；（1）∵△ABB′是等腰直角三角形，∴∠AB′B=45°．故答案为45°；（3）如图②，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣110°=150°，∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，∴PP′= 3，即AP= 3∵∠APC=90°，∴AP1+PC1=AC1，3）1+PC1=71，∴PC=27∴21∴S△APC=12AP•PC=73【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．27．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析.【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若x=2y，则xy的值为（）A．2 B．1 C．12D．13【答案】A【解析】将x=2y代入xy中化简后即可得到答案.【详解】将x=2y代入xy得：22x yy y==，故选：A.【点睛】此题考查代数式代入求值，正确计算即可.2．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为( )A．1 B．12C．14D．15【答案】B【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．【详解】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12，故选B．【点睛】此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．3．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB【答案】C【解析】试题分析：∵∠A=∠A，∴当∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或AD：AC=AE：AB时，△ABE和△ACD相似．考点：相似三角形的判定．4．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，30B ∠=，AD 平分BAC ∠，E 是AD 的中点，若8AB =，则CE 的长为（ ）A ．4B 43C 3D 23 【答案】B 【分析】首先证明AD BD =，然后再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即12CE AD =. 【详解】解：90,30,ACB B ∠=︒∠=︒60.CAB ∴∠=︒AD CAB ∠又平分30CAD DAB ∴∠=∠=︒DAB B ∴∠=∠.AD BD ∴=1.2Rt ACD CD AD =在中， 设,AD BD x == 则12CD x =, 142AC AB == 在Rt ACD 中，222AC CD AD += 即222142x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解得833x = E 为AD 中点， 14323CE AD ∴== 故选B本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形.5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是( )A．60B．65C．70D．75【答案】D【详解】由题意知：△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，∴∠DAC=（180°−∠DCA）÷2=（180°−30°）÷2=75°．故选D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．6．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．下列各式中属于最简二次根式的是（）A B C D 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可.【详解】A.是最简二次根式；B. =不是最简二次根式；C.D. =，∴不是最简二次根式；故选A.【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.8．下列判断正确的是（ ）A ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B ．两组邻边相等的四边形是平行四边形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形【答案】A【分析】利用特殊四边形的判定定理逐项判断即可.【详解】A 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此项正确B 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此项错误C 、对角线相等的平行四边形是矩形，此项错误D 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此项错误故选：A.【点睛】本题考查了特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的判定定理，掌握理解各判定定理是解题关键.9．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．53t -<<B ．5t >-C ．34t <≤D ．54t -<≤【答案】D 【分析】首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.【详解】将()4,0代入二次函数，得2440m -+=∴4m =∴方程为240x x t -+= ∴41642t x ±-= ∵15x <<∴54t -<≤故答案为D .【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.10．平面直角坐标系中，抛物线(1)(3)y x x =-+经变换后得到抛物线(3)(1)y x x =-+，则这个变换可以是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位【答案】B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：2(1)(3)(1)4y x x x =-+=+-，顶点坐标是（-1，-4）． 2(3)(1)(1)4y x x x =-+=--，顶点坐标是（1，-4）．所以将抛物线(1)(3)y x x =-+向右平移2个单位长度得到抛物线(3)(1)y x x =-+，故选：B ．【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律和变化特点.11．小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面四条信息：①230a b +=；②24b ac -＜0；③0a b c -+>；④方程20ax bx c ++=必有一个根在－1到0之间．你认为其中正确信息的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【详解】观察图象可知，抛物线的对称轴为x=13，即123b a -=，所以2a+3b=0，即①正确； 二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，②错误；由图象可知，当x=-1时，y ＞0，即a-b+c>0，③正确；由图象可知，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的一个交点在0和-1之间，所以方程20ax bx c ++=必有一个根在－1到0之间，④正确．正确的结论有3个，故选C ．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．12．已知如图，在正方形ABCD 中，AD=4，E ，F 分别是CD ，BC 上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，过点B 作BM ∥AG，交AF 于点M ，则以下结论：①DE+BF=EF，②BF=47，③AF=307，④S △MEF =32175中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④【答案】D 【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出BF 的长，再利用相似三角形的性质求出△BMF 的面积。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法判断【答案】C【解析】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∴6＞5，即：d＜r．∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．2．若232m1x﹣+10x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的值应为（）A．m="2" B．m=23C．m=32D．无法确定【答案】C【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义进行解得2m﹣1=2，解得m=32．故选C．考点：一元二次方程的定义3．点P（x﹣1，x+1）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】本题可以转化为不等式组的问题，看下列不等式组哪个无解，（1）x-1＞0, x+1＞0 ，解得x＞1，故x-1＞0，x+1＞0，点在第一象限；（2）x-1＜0 ,x+1＜0 ，解得x＜-1，故x-1＜0，x+1＜0，点在第三象限；（3）x-1＞0 ,x+1＜0 ，无解；（4）x-1＜0 ,x+1＞0 ，解得-1＜x＜1，故x-1＜0，x+1＞0，点在第二象限．故点P不能在第四象限，故选D．4．如果△ABC∽△DEF，且对应边的AB与DE的长分别为2、3，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．4:9 B．2:3 C．3:2 D．9:4【答案】A【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算．【详解】∵△ABC∽△DEF，∴△ABC与△DEF的面积之比等于（ABDE）2＝（23）2＝49．故选：A ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 5．为了让市民游客欢度“五一”，泉州市各地推出了许多文化旅游活动和景区优惠，旅游人气持续兴旺．从市文旅局获悉，“五一”假日全市累计接待国内外游客171.18万人次，171.18万这个数用科学记数法应表示为（ ） A ．1.7118×102 B ．0.17118×107 C ．1.7118×106 D ．171.18×10【答案】C【分析】用科学记数法表示较大数的形式是10n a ⨯ ，其中110a ≤<，n 为正整数，只要确定a,n 即可. 【详解】将171.18万用科学记数法表示为：1.7118×1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键. 6．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ） A ．22 B ．2C ．2D ．1【答案】B【解析】试题解析：如图所示，连接OA 、OE ，∵AB 是小圆的切线， ∴OE ⊥AB ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AE=OE ，∴△AOE 是等腰直角三角形，22.OE ∴== 故选B.7．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD 的度数是（ ）A ．86°B ．94°C ．107°D ．137°【答案】D【详解】解：∵∠BOD=86°， ∴∠BAD=86°÷2=43°， ∵∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°-43°=137°， 即∠BCD 的度数是137°． 故选D ． 【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．8．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数by x=与一次函数y cx a =+在同一平面直角坐标系中的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：∵由二次函数2y ax bx c =++的图象知，a ＜1， b2a-＞1，∴b ＞1． ∴由b ＞1知，反比例函数by x=的图象在一、三象限，排除C 、D ； 由知a ＜1，一次函数y cx a =+的图象与y 国轴的交点在x 轴下方，排除A ． 故选B ．9．如图，将正方形图案绕中心O 旋转180°后，得到的图案是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等， 分析选项，可得正方形图案绕中心O 旋转180°后，得到的图案是D ． 故选D ． 【点睛】本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.10．为了迎接春节，某厂10月份生产春联50万幅，计划在12月份生产春联120万幅，设11、12月份平均每月增长率为,x 根据题意，可列出方程为（ ） A ．()()2501501120x x +++= B ．()()250501501120x x ++++= C ．()2501120x += D ．()50160x +=【答案】C【分析】根据“当月的生产量=上月的生产量⨯（1+增长率）”即可得． 【详解】由题意得：11月份的生产量为50(1)x +万幅 12月份的生产量为250(1)(1)50(1)x x x ++=+万幅 则250(1)120x += 故选：C ． 【点睛】本题考查了列一元二次方程，读懂题意，正确求出12月份的生产量是解题关键．11．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得01442b cb c =-+⎧⎨=++⎩解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为：221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x∴当x=16-时，y 的最小值为2536-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得1201bb c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键． 12．函数a y x=与20()y ax a a =--≠在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项. 【详解】解：当a>o 时，函数a y x=的图象位于一、三象限，20()y ax a a =--≠的开口向下，交y 轴的负半轴，选项B 符合； 当a<o 时，函数a y x=的图象位于二、四象限，20()y ax a a =--≠的开口向上，交y 轴的正半轴，没有符合的选项. 故答案为：B. 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键. 二、填空题（本题包括8个小题）13．已知二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的部分对应值列表如下：x… －3 －2 －1 0 … y…－3－4－3…则关于x 的方程20ax bx c ++=的解是______. 【答案】13x =-，21x =【分析】首先根据x 与函数y 的部分对应值求出二次函数解析式，然后即可得出一元二次方程的解. 【详解】将（0，-3）（-1，-4）（-3,0）代入二次函数，得34930c a b c a b c =-⎧⎪-+=-⎨⎪-+=⎩解得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴二次函数解析式为223y x x =+- ∴方程为2230x x +-=()()130x x -+=∴方程的解为13x =-，21x = 故答案为13x =-，21x =. 【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.14．ABC ∆绕着A 点旋转后得到AB C ''△，若130BAC '∠=，80BAC ∠=，则旋转角等于_____． 【答案】50°或210°【分析】首先根据题意作图，然后由∠BAC′=130°，∠BAC=80°，即可求得答案． 【详解】解：∵∠BAC′=130°，∠BAC=80°， ∴如图1，∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=50°， 如图2，∠CAC′=∠BAC′+∠BAC=210°． ∴旋转角等于50°或210°． 故答案为：50°或210°．【点睛】本题考查了旋转的性质．注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．15．某学习小组做摸球实验，在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球若干只，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据现从这个口袋中摸出一球，恰好是黄球的概率为_____． 【答案】0.1【分析】根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.1左右，即为摸出黄球的概率． 【详解】解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到黄球的频率稳定在0.1左右， 则P 黄球＝0.1． 故答案为：0.1． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：通过大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性可以根据频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率16．关于x 的一元二次方程2960x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________． 【答案】1k <【分析】方程有两个不相等的实数根，则∆＞2，由此建立关于k 的不等式，然后可以求出k 的取值范围． 【详解】解：由题意知，∆=36-36k ＞2, 解得k ＜1． 故答案为：k ＜1. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：（1）∆＞2⇔方程有两个不相等的实数根；（2）∆=2⇔方程有两个相等的实数根；（3）∆＜2⇔方程没有实数根．同时注意一元二次方程的二次项系数不为2． 17．已知73a b a b +=-，则ab=__________. 【答案】52【分析】根据比例的性质，化简求值即可. 【详解】73a b a b +=- ∴()()37a b a b +=-3377a b a b ∴+=-410a b ∴=52a b ∴= 故答案为：52. 【点睛】本题主要考察比例的性质，解题关键是根据比例的性质化简求值. 18．如图，点A 在函数y ＝kx(x ＞0)的图像上，点B 在x 轴正半轴上，△OAB 是边长为2的等边三角形，则k 的值为______．【答案】3【分析】首先过点A 作AC ⊥OB ，根据等边三角形的性质得出点A 的坐标，从而得出k 的值． 【详解】分析：解：过点A 作AC ⊥OB ，∵△OAB 为正三角形，边长为2， ∴OC=1，AC=3， ∴k=1×3=3．3 【点睛】本题主要考查的是待定系数法求反比例函数解析式以及等边三角形的性质，属于基础题型．得出点A 的坐标是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走． （1）假如每天能运x 立方米，所需时间为y 天，写出y 与x 之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？【答案】（1）y＝1200 x；（2）5辆这样的拖拉机要用20天才能运完【分析】（1）根据等量关系列式即可；（2）先求出一天运的数量，然后代入解析式即可．【详解】解：（1）∵xy＝1200，∴y＝1200x；（2）x＝12×5＝60，将x＝60代入y＝1200x，得y＝120060＝20，答：5辆这样的拖拉机要用20天才能运完．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，找出等量关系列出关系式是解题关键．20．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1,0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B．(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标．【答案】（1）y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3；（2）M(－1，2)．【解析】试题分析：（1）根据题意得出关于a、b、c的方程组，求得a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性得出点B的坐标，再设出直线BC的解析式，把点B、C的坐标代入即可得出直线BC的解析式；（2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC，设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC 的值最小，再求得点M的坐标．试题解析：（1）依题意得：12{03baa b cc-=-++==，解之得：1{23a b c =-=-=，∴抛物线解析式为y=-x 2-2x+3，∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A （1，0），∴B （-3，0），∴把B （-3，0）、C （0，3）分别代入直线y=mx+n ，得30{3m n n -+==， 解得：1{3m n ==，∴直线y=mx+n 的解析式为y=x+3；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得，y=2∴M （-1，2）．即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（-1，2）．考点：1.抛物线与x 轴的交点；2.轴对称-最短路线问题．21．某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由.【答案】（1）10300y x =-+（830x ≤<）；（2）定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元.（3）不能销售完这批蜜柚.【解析】（1）根据图象利用待定系数法可求得函数解析式，再根据蜜柚销售不会亏本以及销售量大于0求得自变量x 的取值范围；（2）根据利润=每千克的利润×销售量，可得关于x 的二次函数，利用二次函数的性质即可求得； （3）先计算出每天的销量，然后计算出40天销售总量，进行对比即可得.【详解】（1）设 y kx b =+，将点（10，200）、（15，150）分别代入，则1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴10300y x =-+，∵蜜柚销售不会亏本，∴x 8≥，又0y >，∴103000x -+≥ ，∴30x ≤，∴ 830x ≤≤ ；（2） 设利润为w 元，则 ()()810300w x x =--+=2103802400x x -+-=2210(19)1210x x --+，∴ 当19x = 时， w 最大为1210，∴ 定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元；(3) 当19x = 时，110y =，110×40=4400＜4800，∴不能销售完这批蜜柚.【点睛】 本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，弄清题意，找出数量间的关系列出函数解析式是解题的关键.22．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2230yax ax a 与y 轴交于点A ． （1）直接写出点A 的坐标；（2）点A 、B 关于对称轴对称，求点B 的坐标；（3）已知点(4,0)P ，1(,0)Q a ．若抛物线与线段PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】 (1)(0,-3);(2)B(2,-3);(3) 318a ≤≤或3a <- 【分析】（1）题干要求直接写出点A 的坐标，将x=0代入即可求出；（2）由题意知点A 、B 关于对称轴对称，求出对称轴从而即可求点B 的坐标；（3）结合函数图象，抛物线与线段PQ恰有两个公共点，分别对有两个公共点的情况进行讨论求解. 【详解】解：（1）由题意抛物线2230y ax ax a与y轴交于点A ，将x=0代入求出坐标为(0,3)-；（2）∵212b axa a-=-=-=；∴(2,3)B-．（3）当抛物线过点P（4,0）时，38a=，∴8(,0)3Q-．此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．当抛物线过点1(,0)Qa时，a=1，此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，∴31 8a≤≤．当抛物线开口向下时，3a<-．综上所述，当318a≤≤或3a<-时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．【点睛】本题考查二次函数图像相关性质，熟练掌握二次函数图像相关性质是解题的关键.23．如图，直线y=kx+b(b>0)与抛物线y=14x2相交于点A（x1,y1),B(x2,y2)两点，与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，设∆OCD的面积为S，且kS+8=0.（1）求b 的值.（2）求证：点（y 1,y 2)在反比例函数y=16x 的图像上. 【答案】（1）b=4(b>0) ；（2）见解析【分析】（1）根据直线解析式求OC 和OD 长，依据面积公式代入即可得；（2）联立方程，根据根与系数的关系即可证明.【详解】（1）∵D(0,b),C(-b k ,0) ∴由题意得OD=b,OC= -b k∴S=22b k- ∴k•(22b k-)+8=0 ∴b=4(b>0) （2）∵2144x kx =+ ∴21404x kx --= ∴1216x x ⋅=- ∴()222121************y y x x x x ⋅=⋅=⋅= ∴点（y 1,y 2)在反比例函数y=16x的图像上. 【点睛】本题考查二次函数的性质及图象与直线的关系，联立方程组并求解是解答两图象交点问题的重要途径，理解图象与方程的关系是解答此题的关键.24．如图1，直线y＝x与双曲线y＝3x交于A，B两点，根据中心对称性可以得知OA＝OB．（1）如图2，直线y＝2x+1与双曲线y＝3x交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试证明：AC＝BD；（2）如图3，直线y＝ax+b与双曲线y＝Kx交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试问：AC＝BD还成立吗？（3）如果直线y＝x+3与双曲线y＝Kx交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，若DB+DC≤52，求出k的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）k≤2【分析】（1）如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．证明四边形ACFE，四边形BDEF 都是平行四边形即可解决问题．（2）证明方法类似（1）．（3）由题意CD＝32，推出BD≤22，求出BD＝22时，k的值即可判断．【详解】解：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．∵AE∥y轴，∴S△AOE＝S△AEF＝32，∵BF∥x轴，∴S △BEF ＝S △OBF ＝32， ∴S △AEF ＝S △BEF ，∴AB ∥EF ，∴四边形ACFE ，四边形BDEF 都是平行四边形，∴AC ＝EF ，BD ＝EF ，∴AC ＝BD ．（2）如图1中，如图1中，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥y 轴于F ，连接EF ，AF ，BE ．∵AE ∥y 轴，∴S △AOE ＝S △AEF ＝2k ， ∵BF ∥x 轴，∴S △BEF ＝S △OBF ＝2k ， ∴S △AEF ＝S △BEF ，∴AB ∥EF ，∴四边形ACFE ，四边形BDEF 都是平行四边形，∴AC ＝EF ，BD ＝EF ，∴AC ＝BD ．（3）如图2中，∵直线y ＝x+3与坐标轴交于C ，D ，∴C （0，3），D （3，0），∴OC ＝OD ＝3，CD ＝2，∵2，∴2，当BD ＝2时，∵∠CDO ＝45°，∴B （1，2），此时k ＝2，观察图象可知，当k≤2时，CD+BD≤52 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的解题,关键在于熟记基础知识,结合图形运用性质.25．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠． （1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）12DBC BDC ∠=∠,4BD =，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）=3AE【分析】（1）连接OA, 根据角平分线的定义及等腰三角形的性质得出OAD EDA ∠=∠，从而有//OA CE ，再通过AE CE ⊥得出90OAE AED ∠=∠=︒，即AE OA ⊥，则结论可证；（2）根据12DBC BDC ∠=∠ 得30,60DBC BDC ∠∠=︒=︒，再利用角平分线的定义和直角三角形两锐角互余得出30ABD EAD ∠=∠=︒，然后利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可求出AE 的长度．【详解】（1）证明：连接OA ，DA 平分BDE ∠，BDA EDA ∴∠=∠．OA OD = ，ODA OAD ∴∠=∠ ，OAD EDA ∴∠=∠，//OA CE ∴ ，180OAE AED ∴∠+∠=︒，AE CE ⊥ ,90OAE AED ∴∠=∠=︒ ，AE OA ∴⊥ ，∴AE 是⊙O 的切线；（2）BD 是直径，90BCD BAD ∴∠=∠=︒． 又12DBC BDC ∠=∠， 30,60DBC BDC ∴∠=∠=︒︒，180120BDE BDC ∴∠=︒-∠=︒．∵DA 平分BDE ∠ ，60BDA EDA ∴∠=∠=︒ ，30ABD EAD ∴∠=∠=︒ ．在Rt ABD △中，90,30,4BAD ABD BD ∠=∠==，2AD ∴=．在Rt AED 中，90,30AED EAD ∠=∠=，1ED ∴=,AE ∴=【点睛】本题主要考查角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，掌握角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，含30°的直角三角形的性质是解题的关键．26．用配方法把二次函数y=﹣2x 2+6x+4化为y=a （x+m ）2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】开口向下，对称轴为直线32x =，顶点317,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析:先通过配方法对二次函数的一般式进行配方成顶点式,再根据二次函数图象性质写出开口方向,对称轴,顶点坐标.试题解析:2264y x x =-++, =29923442x x ⎛⎫--+++ ⎪⎝⎭,=22317317222222x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 开口向下,对称轴为直线32x =,顶点317,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 27．光明中学以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨举办首届《诗词大会》，九年级2班的马小梅晋级总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目. 第一环节：横扫千军、你说我猜、初级飞花令，（分别用123,,T T T ）表示；第二环节：出口成诗、飞花令、超级飞花令、诗词接龙（分别用1234,,,S S S S 表示）.（1）请用画树状图或列表的方法表示马小梅参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求马小梅参加总决赛抽取题目都是飞花令题目（初级飞花令、飞花令、超级飞花令）的概率.【答案】（1）详见解析；（2）16【分析】（1）根据题意画树状图写出所有可能的结果即可；（2）找到抽取题目都是飞花令题目的情况数，再除以总的情况数即可得出概率．【详解】解：（1）画树状图如下共有12种可能的结果：T 1S 1，T 1S 2，T 1S 3，T 1S 1，T 2S 1，T 2S 2，T 2S 3，T 2S 1，T 3S 1，T 3S 2，T 3S 3，T 3S 1． （2）马小梅参加总决赛抽取题目都是飞花令题目的有T 3S 2，T 3S 3两种情况，由（1）知总共有12种情况，所以所求概率为21=126． 【点睛】本题考查概率的计算，熟练掌握树状图法或列表法是解题的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若角αβ，都是锐角，以下结论：①若αβ<，则sin sin αβ<；②若αβ<，则cos cos αβ<；③若αβ<，则tan tan αβ<；④若90αβ+=，则sin cos αβ=.其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】C【分析】根据锐角范围内sin α 、cos α 、tan α 的增减性以及互余两锐角的正余弦函数间的关系可得． 【详解】①∵sin α随α 的增大而增大，正确； ②∵cos α随α 的增大而减小，错误； ③∵tan α随α 的增大而增大，正确；④若90αβ+=，根据互余两锐角的正余弦函数间的关系可得sin cos αβ=，正确； 综上所述，①③④正确 故答案为：C ． 【点睛】本题考查了锐角的正余弦函数，掌握锐角的正余弦函数的增减性以及互余锐角的正余弦函数间的关系是解题的关键． 2．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，若40BCD ∠︒＝，则ABD ∠的大小为（ ）．A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B【分析】根据题意连接AD ，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD ∠的大小. 【详解】解：连接AD ，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒． ∵40BCD ∠=︒，∴40A BCD ∠=∠=︒， ∴904050ABD ∠=︒-︒=︒． 故选B ． 【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.3．一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率是（ ） A ．14B ．13C ．512D ．12【答案】B【分析】利用概率公式直接计算即可.【详解】解：根据题意可得：袋子中有有3个白球，4个黄球和5个红球，共12个， 从袋子中随机摸出一个球，它是黄色球的概率41123=． 故选B ． 【点睛】本题考查概率的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键. 4．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，若56ABD ∠=︒，则BCD ∠=（ ）．A ．32︒B ．34︒C ．44︒D ．46︒【答案】B【分析】根据AB 是⊙O 的直径得出∠ADB ＝90°，再求出∠A 的度数，由圆周角定理即可推出∠BCD 的度数．【详解】∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴在Rt △ABD 中，∠A ＝90°﹣∠ABD ＝34°， ∵弧BD ＝弧BD ， ∴∠BCD ＝∠A ＝34°， 故选B ． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．在皮影戏的表演中，要使银幕上的投影放大，下列做法中正确的是（）A．把投影灯向银幕的相反方向移动B．把剪影向投影灯方向移动C．把剪影向银幕方向移动D．把银幕向投影灯方向移动【答案】B【分析】根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，据此分析判断即可．【详解】解：根据中心投影的特点可知，如图，当投影灯接近银幕时，投影会越来越大；相反当投影灯远离银幕时，投影会越来越小，故A错误；当剪影越接近银幕时，投影会越来越小；相反当剪影远离银幕时，投影会越来越大，故B正确，C错误；当银幕接近投影灯时，投影会越来越小；当银幕远离投影灯时，投影会越来越大，故D错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了中心投影的特点，熟练掌握中心投影的原理和特点是解题的关键．6．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（）A 25B5C．2 D．12【答案】D【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.【详解】∵∠DAB=∠DEB，∴tan∠DEB= tan∠DAB=12，故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．7．在矩形ABCD 中，B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，BED ∠的角平分线EF 与DC 交于点F ，若7AB =，34DF FC =，则BC 的长为（ ）A ．721-B ．432+C ．225+D ．423+【答案】D【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系，并根据BG ＝BC ＋CG 进行计算即可． 【详解】延长EF 和BC ，交于点G ，∵3DF ＝4FC ， ∴34CF DF =， ∵矩形ABCD 中，∠ABC 的角平分线BE 与AD 交于点E ， ∴∠ABE ＝∠AEB ＝45°， ∴AB ＝AE ＝7，∴直角三角形ABE 中，BE 227772+= 又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ， ∴∠BEG ＝∠DEF ， ∵AD ∥BC ， ∴∠G ＝∠DEF ， ∴∠BEG ＝∠G ， ∴BG ＝BE ＝72∵∠G ＝∠DEF ，∠EFD ＝∠GFC ， ∴△EFD ∽△GFC ， ∴34CG CF DE DF ==， 设CG ＝3x ，DE ＝4x ，则AD ＝7＋4x ＝BC ，∵BG ＝BC ＋CG ， ∴7＋4x ＋3x ＝72， 解得x ＝2−1，∴BC ＝7＋4x ＝7＋42−4＝3＋42， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．8．如图，在ABC 中，D 、E 分别在AB 边和AC 边上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连结AM 交DE 于点N ，则（ ）A ．ADANAN AEB ．BD MNMN CEC ．DN NEBM MCD ．DN NEMC BM【答案】C【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再根据相似三角形的性质即可得到答案.【详解】∵//DE BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，∴,DN AN ANNE DN NEBMAM AMMCBMMC，故选C. 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.9．若抛物线2y x bx =+的对称轴是直线2x =，则方程25x bx +=的解是（ ） A ．11x =，25x = B ．11x =，25x =- C ．11x =-，25x = D ．11x =-，25x =-【答案】C【分析】利用对称轴公式求出b 的值，然后解方程. 【详解】解：由题意：22bx =-= 解得：b=-4 ∴25x bx +=2450x x --=(5)(1)0x x -+=解得：11x =-，25x = 故选：C 【点睛】本题考查抛物线对称轴公式及解一元二次方程，熟记公式正确计算是本题的解题关键. 10．关于x 的一元二次方程2ax x 10-+=有实数根，则a 的取值范围是 A ．1a a 04≠≤且 B ．1a 4≤C ．1a a 04≠≥－且D ．1a 4≥－【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程的意义，可知a≠0，然后根据一元二次方程根的判别式，可由有实数根得△=b 2-4ac=1-4a≥0，解得a≤14，因此可知a 的取值范围为a≤14且a≠0. 点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个数判断△=b 2-4ac 的值即可.注意：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的十数根； 当△＜0时，方程没有实数根.11．一个凸多边形共有 20 条对角线，它是（ ）边形 A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】根据多边形的对角线的条数公式(3)2n n -列式进行计算即可求解． 【详解】解：设该多边形的边数为n ，由题意得：(3)202n n -=， 解得：128,5n n ==-（舍去） 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线公式，熟记公式是解题的关键．12．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A【详解】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况， ∴两次都摸到黑球的概率是14． 故选A ．二、填空题（本题包括8个小题）13．在△ABC 中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC 外接圆半径为________； 【答案】5【分析】先确定外接圆的半径是AB ，圆心在AB 的中点，再计算AB 的长，由此求出外接圆的半径为5. 【详解】∵在△ABC 中，∠C=90°，∴△ABC 外接圆直径为斜边AB 、圆心是AB 的中点， ∵∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴22226810ABAC BC ，∴△ABC 外接圆半径为5. 故答案为：5. 【点睛】此题考查勾股定理的运用、三角形外接圆的确定.根据圆周角定理，直角三角形的直角所对的边为直径，即可确定圆的位置及大小.14．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为______． 【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程的根的判别式，直接可求△=24b ac -=2(2)4(1)2a --⨯-⨯=4-8a+8≥0，解得a≤32，因此a 的最大整数解为1. 故答案为1.点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式△=b 2-4ac ，解题关键是确定a 、b 、c 的值，再求出判别式的结果.可根据下面的理由：（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当△=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当△<0时，方程没有实数根． 15．如图，若△ADE ∽△ACB ，且AD AC =23，DE=10，则BC=________。