高中数学《几类不同增长的函数模型》说课稿.doc

几类不同增长的函数模型（第一课时）一、三维目标（一）知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．(二)过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数等），了解函数模型的广泛应用．(三)情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识.二、教学重点将实际问题转化为函数模型，一次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．三、教学难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．四、教具准备多媒体课件、与教材内容相关的资料五、教学方法启发式与探究式相结合七、教学过程（一）创设情境： （视屏片段一）：猪八戒开招聘会，引出招聘的试题：猪氏集团旗下的“天鹏大酒店”于08年元旦开张，生意蒸蒸日上。

第一个月营业额达到100万，第二个月达到了150万. 试问：照此增长，第三个月的营业额为多少？设计意图：通过卡通视屏引出话题，增加学生的学习兴趣，活跃课堂的氛围. （二）组织探究：问题1：你觉得第三个月的营业额是多少？设计意图：学会将实际问题转化为数学模型.分析其中的数量关系，得出所要寻找的是过点()()5.1111，、，且在*∈N x 上单调递增的函数模型问题2：进入高中以来，我们所学的函数中，哪些是符合在*∈N x 上单调递增？ 设计意图：比较自然地引导学生给出一次函数，指数函数，对数函数，幂函数.问题3：上述函数模型是否满足过点()()5.1111，、，？ 设计意图：引导学生思考，通过讨论。

老师对所给出的函数进行结构上的优化，从而建立符合题意的函数模型.问题4：结合excel 表格，你能分析出个模型增长的差异吗？月份 y=a x+by=ma x +by=ax α+b y=mlog a x+b 1 1 1 1.000 1.000 2 1.5 1.5 1.500 1.500 3 2 2.5 2.857 1.792 4 2.5 4.5 5.500 2.000 5 3 8.5 9.857 2.161 6 3.5 16.5 16.357 2.292 7432.525.4292.4048 4.5 64.5 37.500 2.5009 5 128.5 53.000 2.58510 5.5 256.5 72.357 2.66111 6 512.5 96.000 2.73012 6.5 1024.5 124.357 2.79213 7 2048.5 157.857 2.850设计意图：通过现场操作电子表格和绘制散点图，使学生初步感受直线上升，指数爆炸及幂函数，对数函数增长的特点.体会信息技术在数学课堂中的作用.（三）探索研究（视屏片段二）：若第10个月的营业额不超过500万，且在08年内，一月份到其他任何一个月份的营业额的月平均增长量不超过50万，那么所列的模型中哪个符合要求?设计意图：借助先前的表格，引导学生分析三种函数的不同增长情况对模型选择的影响，使学生明确问题的实质就是比较所列模型的增长情况.（四）巩固反思；通过一个课堂小游戏：让学生想象把30张纸叠在一起和把一张足够大的纸折叠30次，这两者的高度各是多少？设计意图：通过这个震撼的对比，让学生更进一步的理解直线上升和指数爆炸在增长上的差异。

省级优质课参赛说课稿§3.2几类不同增长的函数模型（第一课时）实验高中《几类不同增长的函数模型》（第一课时）说课教案一、说课标课程标准中明确指出：高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动．数学建模就是引导学生从实际情境中提出问题，并归结为数学模型，尝试用数学思想和方法去解决问题．在教学中，要特别注意以下两点：（1）数学建模的问题应是多样的，开放的，同时解决问题所涉及的知识、技能、方法、思想应与高中数学课程紧密相关；（2）学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的途径．二、说教材1.本节课在教材中的地位和作用本节课选自高中数学人教A版必修1第三章第二节“函数模型及其应用”，教学安排为四课时，在这里主要研究的是第一课时的内容：几类不同增长的函数模型．在义务教育阶段，学生对数学建模就已经积累了一定的研究经验．到了高中阶段，通过第二章的学习，学生有了利用函数知识解决实际问题的经历，熟悉了几种基本初等函数的概念，掌握了对应函数图象的基本特征，这是本节课的知识基础．而本节课在探求解决实际问题的过程中，体验到几种常见函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点,从不同的方面对实际问题多视点、宽角度地进行了探究，始终贯穿着函数模型的应用这条主线，从而拉开高中阶段数学建模活动的帷幕．2.教学目标：知识与技能目标：①尝试从实际问题中建构出数学问题的技能；②体验用简单的函数模型解决实际问题的经历；③结合实例体会直线上升，指数爆炸等不同函数模型的增长差异．过程与方法目标：①使学生经历建立和运用函数模型的过程，初步体验数学建模的基本思想；②通过三种表示方法的恰当运用，认识函数问题的研究方法．情感、态度与价值观目标：在认真分析实际背景，抽象概括现实问题，转化整合数学模型的过程中，养成严谨、求真、奋进的科学态度，学会交流、分享、合作，增强团队意识．3.教学目标的重点与难点：教学重点：①培养学生用数学知识描述实际问题的数学化能力；②在比较不同函数模型的过程中，体会直线上升、指数爆炸等不同类型函数的增长差异；③通过小组内部的合作，使学生学会交流、分享、展示，增强团队意识．教学难点：结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，增强合作意识．三、说学情知识基础：①熟悉了几种基本函数的概念；②掌握了这些函数图象的基本特征；②具有利用函数知识解决实际问题的初步体验．认知特点：建模思想对学生的应用、合作、探究、创新意识都有较高要求，在这方面尚需要教师精心的组织引导．四、说教法选用合作探究与尝试概括相结合的教学方法．在教学中，从精心创设的问题情境出发，为学生提供更多的机会和时间，提问质疑、尝试探究、讨论交流、归纳总结等，促使学生的思维空间充分开放；积极营造出一个有利于人际沟通与合作的环境，使学生学会交流和分享自己的成果，并能把每个人的成果进行有效的整合，增强团队意识；丰富学生对数学与日常生活紧密联系的体验，感受数学的实际价值，增强应用意识，发展创新意识，真正做到学有所思、思有所得、得有所悟，悟有所获，获有所用．五、说设计1.挖掘背景，提出问题请同学们根据下面的两个实验，提出数学问题：模拟实验1、动画演示摞砖游戏，模拟实验2、师生一起动手做折纸游戏.设计意图：这两个实验都源于学生熟悉的生活背景，在认真观察、实际操作中，要求学生充分发挥自己的特长与个性，从不同角度、层次挖掘其中所蕴涵的数学问题，最终获得数学建模的初步体验．这样做，不仅要求学生能够自己发现问题，体现了数学建模与解应用题的不同；也激发了学生的学习兴趣，充分体现了“数学是自然的”这一新课程理念．2.阅读问题，尝试建模请同学们阅读下面的问题，并建立相关的函数模型：问题1 张女士给今年上大学的儿子花5400元买了一部“苹果”手机．由于电子技术的飞速发展，手机成本不断降低，每隔一年手机的价格降低30﹪，四年后大学毕业时此人这部手机还值多少钱？设计意图：这个问题选自学生关注的日常生活，其背景对学生来说非常熟悉，在已有知识的基础上，学生通过认真的阅读，能够用指数型函数来解决这个问题，这样的设计可以使学生体验数学在解决实际问题中的作用，发展数学的应用意识，提高实践能力．问题2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价（元）6 7 8 9 10 11 12日均销售量（桶）4844400 360 320 280 24试建立利润关于销售单价的函数解析式．问题3 已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车与A地的距离x表示为时间t（小时）的函数，并画出函数的图象．设计意图：这两个问题的处理都交给学生完成，目的在于培养学生收集、分析和加工信息的能力．学生通过数据分析、模型整合、独立思考、合作交流，真正成为学习的践行者，课堂的主人．.另外，通过小组内部的合作，还增强了学生的合作意识，这也是现代人所必须具备的基本素质．3.探究模型，回归说明数学建模思想：①从一个实际背景中抽象出数学问题；②用相关的函数知识来描述数学问题；③对函数模型进行分析④回归说明实际问题.例题我们公司有一笔资金用于投资，现有三种投资方案可供选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．如果你作为公司的一员，会选择哪种投资方案呢？请同学们根据下面的分析，解决这个问题：（1）选择投资方案的标准是什么？（2）“翻一番”的含义怎样理解？（3）研究函数问题的方法有几种，分别是什么？设计意图：面对精心创设的问题情境，通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，选择恰当的函数模型，借助三种不同的表示方法，弄清几个函数间的增长差异．这种处理方式，一方面可以使学生学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析，另一方面也提高了学生分析问题、解决问题的能力．4.归纳体会，类比应用（1）今天你学到了什么？（2）请同学们针对新课引入中的两个实验，建立相关的函数模型，并分析它的增长特点．设计意图：本环节以讨论的形式展开，在热烈的讨论过程中，再现本节课的知识体系，梳理整个探究过程中体现的思想方法，优化学生的知识结构，使之系统化、条理化，加强对知识间内在联系的理解和认识.5.布置作业，课外延伸巩固性作业：P107 习题3.2 A组: 1、2、3课外探究：收集身边有关分期付款的信息，建立并分析相关的数学模型课后作业分为两种形式,体现作业的巩固性和发展性原则,巩固性作业用于检测学生的学习效果,而课外探究采用开放性问题，供学生课后研究，有利于扩展学生的数学视野，提高实践能力，它也是新课标里研究性学习内容的一部分.六、说评价要注意：过程与结果并重；自评与互评并重；建立学生的成长档案.在评价学生课堂活动中的表现时，不苛求数学建模过程的严密，结果的准确，要重过程，重参与，其内容应关注：创新性、现实性、真实性、合理性、有效性，有一项做得好就要给与充分的肯定.七、说开发作为数学建模的起始课，本节课可以开发出丰富的课程资源，要重点关注两个方面：1.研究性学习课题数列在分期付款中的应用；向量在物理中的应用；线性规划的实际应用；定积分在经济生活中的应用2.相关的选修专题3-2 信息安全与密码3-3 球面上的几何3-5 欧拉公式与闭曲面分类4-3 数列与差分4-7 优化法与试验设计初步4-10 开关电路与布尔代数。

3.2.1《几类不同增长的函数模型》说课稿各位评委老师大家好，我是第xx号考生xx，今天我要说课的内容是人教A版必修一第三章第二节的第一小节《几类不同增长的函数模型》，本次说课包括五部分：说教材、说教法、说学法、说教学程序和说板书。

一、说教材1、教材分析:本节是高中数学必修1（人教A版）第三章《函数的应用》的起始课．该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长（衰减）差异的方法；感受数学建模的思想。

因此从内容上看，本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，．因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.2、教材目标：根据新课标标准要求以及学生现有的认知结构，我确定本节课的教学目标如下：①知识与技能目标：在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题②过程与方法目标:经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力③情感态度与价值观目标:培养学生自主探究，合作交流的能力，激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的科学态度3、教学重点、难点教学重点:将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义．教学难点: 如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题．二、说教法 1.学情分析在能力上，学生在前面已学过函数概念、指数函数、对数函数、幂函数，但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难。

高中数学《几类不同增长的函数模型》说课稿下面是小编收集的人教版高中数学《几类不同增长的函数模型》的说课稿，仅供参考!一.内容和内容解析本节是高中数学必修1(人教A版)第三章《函数的应用》的起始课.该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异;理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义;认识研究函数增长(衰减)差异的方法;感受数学建模的思想.对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点.教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义.在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数.本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，.因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想;在解决问题过程中函数与方程的思想.二.目标和目标解析本节课的教学任务为：(1)创设一个投资方案的问题情境，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质，体会直线上升和指数爆炸;(2)创设一个选择奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会对数增长模型的特点;(3)通过建立和运用函数基本模型，让学生初步体验数学建模的基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识.根据内容解析和教学任务，本节课的教学目标确定为：(1)通过实例的解决，运用函数表格、图象，比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义;(2)通过恰当地运用函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法)，表达实际问题中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察—归纳—猜想—证明;(3)经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力.这部分内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数模型为对象，将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来，使之成为一个整体.因此教学中应当注意贯彻教材的设计意图，让学生经历函数模型应用的全过程，能在这一过程中认识不同增长的差异，认识知晓函数增长差异的作用，认识研究差异的思想方法.结合以上分析本节课的教学重点为：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义.三.教学问题诊断学生在前面已学过函数概念、指数函数、对数函数、幂函数，但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难.因此本节课教学难点确定为：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题.为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情境，并通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题解决问题的能力.第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情境，在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析.第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会到对数增长模型的特点.第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题.先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象，从中体会二者的差异;再通过两个探究问题，让学生对幂函数和对数函数的增长差异，以及三种函数的衰减情况进行自主探究.这样的安排内容上层次分明，可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和探究活动，对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究.对学生分分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动.由于本节内容比较丰富，而且研究问题的方法和途径也比较多，所以本节课我们只能重点解决其中的前两个问题.四.教学支持条件分析要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是本节例题中用函数模型研究实际问题有许多数据、图象等方面处理上的困难，而利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异.这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法.因此在本节内容教学的处理上，通过学生收集数据并建立函数模型，利用计算器和计算机，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.五.教学过程设计一、创设情境，引入课题1.介绍第三章章头图，提出问题.问题1：澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由5只发展到5亿只?澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象：指数增长.问题2：在生活中，你还能举出其它增长的例子吗?2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型.3.揭示课题：几类不同增长的函数模型.【设计意图】运用章头图，形成问题情境，产生应用函数的需要，激发学生的学习愿望.二、分析问题，建立模型(一)提出问题例1.假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元;方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问：你会选择哪种投资方式?(二)分析问题1.引导审题，抓住关键词“回报”问题3：你选择的是什么样的回报?怎样比较回报资金的大小?从解决问题的角度看：(1)比较三种方案的每日回报;(2)比较三种方案在若干天内的累计回报.2.引导分析数量关系，建立函数模型仅从日回报的角度引导学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式.【设计意图】引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程.【备注】累计回报的本质是数列求和问题，由于学生目前的知识储备还不够，现在仅限于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择.三、组织探究，感性体验1.教师提出问题问题4：你会选择哪种投资方案?请用数学语言呈现你的理由.2.学生分组操作，比较不同增长从解决问题的方式上：(1)用列表方法来比较;(2)画出函数图象来分析.【设计意图】保成学生合作探究、动手实践，能借助计算器，利用数据表格、函数图象对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增长差异的方法.四、成果交流，阶段小结(一)学生交流让学生交流小组探究的成果(表格、图象、结论)(二)师生互动1.阅读教材上例题解答中的数据表格与图象(突出散点图)，引导学生关注增长量，感受增长差异.2.通过教师多媒体动态演示，让学生进一步体会增长差异.在不同的函数模型下，虽然都有增长，但增长态势各具特点.他们的增长不在同一个“档次”上，当自变量变得很大时，指数型函数比一次函数增长的速度要快得多.(三)归纳小结1.通过教师的小结，增强学生对增长差异的认识.常数函数(没有增长)，直线上升(匀速增长)，指数爆炸(急剧增长).2.上述问题的解决，是通过考虑其中的数量关系，把它抽象概括成一个函数问题，用解析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的.【设计意图】分享学生成果，达到生生互动、师生互动;借助多媒体展示，帮助学生理解不同增长的函数模型的增长差异，并且初步体验数学建模的基本思想，认识函数问题的研究方法.五、深入探究，理性分析(一)提出问题例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金(单位：万元)随销售利润(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：.其中哪个模型能符合公司的要求?(二)引导分析问题5：你能立刻做出选择吗?选择的依据是什么?问题6：公司的要求到底意味着怎样的数学关系?问题7：我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件?(三)解决问题1.通过多媒体演示，发现增长差异;R>2.结合限制条件，初步作出选择;3.通过计算，进一步确认，验证所得结论;4.体会对数增长模型的增长特征：当自变量变得很大时平缓增长;5.揭示函数问题的研究方法(观察—归纳—猜想—证明).【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，体会对数增长模型的特点.【备注】对判断模型二是否满足限制条件“”，考虑到学生现在知识储备和接受水平，只能采用了直观教学，通过构造新函数，观察新函数的图象来解决(因为该函数单调性的判定，必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决).六、拓展延伸，创新设计这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业发展蒸蒸日上，但随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.问题8：我们的奖励方案有什么弊端?问题9：你能否设计出更合理的奖励模型?【创新设计】为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加,要求如下：10万～50万，奖金不超过2万;50万～200万，奖金不超过4万;200万～1000万，奖金不超过20万.请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案.(四人一组，合作完成)【设计意图】设计开放性问题对例2拓展延伸，既检测了学生对几类不同模型增长差异的掌握情况，又鼓励学生学以致用，用以致优，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.七、归纳总结，提炼升华问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获?请你从知识、方法、思想方面作一个小结.1.知识：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大：常数函数(没有增长);一次函数(直线上升);指数函数(爆炸增长);对数函数(平缓增长).2.方法：函数有三种表示方法(解析法、列表法、图象法);函数问题的一般研究方法(观察—归纳—猜想—证明)3.思想：两个例题都体现了数学建模的思想，即把实际问题数学化：面对实际问题，我们要读懂问题，运用所学知识，将其转化成数学模型，最终得到实际问题的解.【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值.八、布置作业，巩固提高1.课本98页课后练习1，2;课本107页习题3.2(A组)第1题;2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用.。

3.2.1 几类不同增长的函数模型[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.知识点一 三种函数模型的性质知识点二 三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x .题型一 函数模型的增长差异例1 (1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y ＝10 000x B.y ＝log 2x C.y ＝x 1 000D.y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x(2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：答案 (1)D (2)y 2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x增长速度最快.(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化.反思与感悟 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x . 跟踪训练1 下列函数中，随x 增大而增大速度最快的是( ) A.2 014ln x B.y ＝x 2 014 C.y ＝x2 014D.y ＝2 014·2x答案 D解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝2 014·2x 的增长速度最快.故选D.题型二 几种函数模型的比较例2 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y (单位：元/102kg)与上市时间x (单位：天)的数据如下表：(1)y 与上市时间x 的变化关系：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ， y ＝a ·b x ，y ＝a log a x .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本. 解 (1)由表格中数据可知，种植成本不是常函数，∴a ≠0，而此时y ＝ax ＋b ，y ＝a ·b x ，y ＝a log a x 均为单调函数， 与表中数据不符，因此y ＝ax 2＋bx ＋c ， 将三组数据代入得⎩⎪⎨⎪⎧2 500a ＋50b ＋c ＝150，12 100a ＋110b ＋c ＝108，62 500a ＋250b ＋c ＝150，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.∴描述西红柿种植成本y 与上市时间x 的关系为 y ＝1200x 2－32x ＋4252. (2)当x ＝150时，y min ＝100(元/102kg).反思与感悟 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合.跟踪训练2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系？解 建立年产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30). (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ， 故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253·⎝⎛⎭⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系.对几种函数的增长趋势把握不准致误例3 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).有以下结论：①当x >1时，甲走在最前面； ②当x >1时，乙走在最前面；③当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲. 其中，正确结论的序号为________.解析 四个函数的图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.答案 ③④⑤纠错心得 解决这类问题可以作出图象，根据图象特征使问题得解.跟踪训练3 下面对函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是( )A.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快 答案 C解析 函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的大致图象如图所示.观察图象，可知函数f (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.函数h (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选C.1.当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( ) A.y ＝3x B.y ＝log 3x C.y ＝x 3 D.y ＝3x 答案 D解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D. 2.当a >1时，有下列结论：①指数函数y ＝a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y ＝a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y ＝log a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y ＝log a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 答案 B3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 设该林区的森林原有蓄积量为a ， 由题意，ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)， ∴y ＝f (x )的图象大致为D 中图象.4.当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( ) A.2x ＞x 2＞log 2x B.x 2＞2x ＞log 2x C.2x ＞log 2x ＞x 2 D.x 2＞log 2x ＞2x答案 B解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x 在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x .方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x ＝3，经检验易知选B.5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为___________________. 答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)解析 设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧30＝k ×80＋b ，20＝k ×120＋b ，解得k ＝－14，b ＝50，∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200).三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快.一、选择题1.下列函数中，增长速度最慢的是( ) A.y ＝6x B.y ＝log 6x C.y ＝x 6 D.y ＝6x 答案 B解析 对数函数增长的速度越来越慢，故选B.2.今年小王用7 200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，则三年后这种笔记本的价格是( )A.7 200×(13)3B.7 200×(23)3C.7 200×(13)2D.7 200×(23)2答案 B解析 由于小王用7 200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7 200－7 200×13＝7 200×23，两年后，价格为7 200×23×(1－13)＝7 200×(23)2，三年后这种笔记本电脑的价格为7 200×(23)3.3.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A.指数函数：y ＝2tB.对数函数：y ＝log 2tC.幂函数：y ＝t 3D.二次函数：y ＝2t 2答案 A解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数.4.某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只答案 A解析 由已知第一年有100只，得a ＝100.将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)， 得y ＝300.5.向高为H 的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )答案 B解析 取OH 的中点(如图)E 作h 轴的垂线，由图知当水深h 达到容量一半时，体积V 大于一半.易知B 符合题意.6.若x ∈(1,2)，则下列结论正确的是( ) A.2x ＞x 21＞lg x B.2x ＞lg x ＞x 21 C.x 21＞2x ＞lg x D.x 21＞lg x ＞2x答案 A解析 ∵x ∈(1,2)，∴2x ＞2.∴x 21∈(1，2)，lg x ∈(0,1).∴2x ＞x 21＞lg x . 二、填空题7.三个变量y 1、y 2、y 3随变量x 的变化情况如表：x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y 1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 35.006.106.616.957.207.40其中x 呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________. 答案 y 3 y 2 y 1解析 根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y 2随着x 的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y 3随着x 的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y 1相对于y 2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.8.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 答案 e 6－1解析 由题意得2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm＝e 6－1. 9.若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n ，log a x 中最大的是________. 答案 a x解析 由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知a x >x n >log a x . 10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t (t ≥0，a >0且a ≠1)的图象.有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于15；②每月减少的有害物质量都相等；③若残留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________. 答案 ①③解析 根据题意，函数的图象经过点(2，49)，故函数为y ＝(23)t .易知①③正确.三、解答题11.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现v 与log 3Q100成正比，且当Q ＝900时，v ＝1.(1)求出v 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数. 解 (1)设v ＝k ·log 3Q100，∵当Q ＝900时，v ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴v 关于Q 的函数解析式为v ＝12log 3Q100.(2)令v ＝1.5，则1.5＝12log 3Q100，∴Q ＝2 700，∴一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位.12.现有某种细胞100个，每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，且每次只有占总数12的细胞分裂，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100(个)；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100(个)；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100(个)；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100(个).可归纳出，细胞总数y (个)与时间x (小时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x ，x ∈N *.由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46小时，细胞总数超过1010个.13.我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W /m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10lg I 2I 0＝10lg 1＝0(分贝)； 耳语的强度水平为L 3＝10lg I 3I 0＝10lg 102＝20(分贝)； 恬静的无线电广播的强度水平为L 4＝10lg I 4I 0＝10lg 104＝40(分贝). (2)由题意知0≤L 1＜50，即0≤10lg I I 0＜50， 所以1≤I I 0＜105， 即1×10－12≤I ＜1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 的范围为[1×10－12，1×10－7).。

3.2.1几类不同增长的函数模型（1）教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。

教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。

建立实际问题的函数模型是难点。

教学过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。

投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。

再看累计回报数表P114。

投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。

例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过log＋1，y＝。

其中哪个模型利润的25%。

现有三个奖励模型：y＝，y＝x2能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。

不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。

第2课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1情景导入国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.思路2直接导入我们知道，对数函数y=log a x(a>1),指数函数y=a x(a>1)与幂函数y=x n(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.推进新课新知探究提出问题①在区间(0，+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.③结合函数的图象找出其交点坐标.④请在图象上分别标出使不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围.⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：①在区间(0，+∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数.图3-2-1-12③从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16).④不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围分别是(2，4)和(0，2)∪(4，+∞).⑤我们在更大的范围内列表作函数图象(图3-2-1-13),图3-2-1-13容易看出：y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x<x2，有时x2<2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3-2-1-14和下表所示.图3-2-1-14一般地，对于指数函数y=a x(a>1)和幂函数y=x n(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.同样地，对于对数函数y=log a x(a>1)和幂函数y=x n(n>0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n.综上所述，尽管对数函数y=log a x(a>1),指数函数y=a x(a>1)与幂函数y=x n(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n(n>0)的增长速度，而y=log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n<a x.虽然幂函数y=x n(n>0)增长快于对数函数y=log a x(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”. 应用示例思路1例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x 份，显然当x ∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x ；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x-250).付给报社的总价为30·0.20x.解：设摊主每天从报社买进x 份，显然当x ∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y 为 y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x-250)-30·0.20x=0.5x+625，x ∈［250，400］. 因函数y 在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y 有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3-2-1-15解：(1)依题意,得y=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤.101,32032,10,6t t t t (2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则32-t 1+320=4,t 1=4.因而第二次服药应在11:00；设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有32-t 2+32032-(t 2-4)+320=4,解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00； 设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，32-(t 2-4)+32032-(t 2-9)+320=4,解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-.3016.1073,1610.59,100.436.21.02x x x x x x(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？ 解：(1)当0<x≤10时，f(x)=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9， 由f(x)的图象,知当x=10时，［f(x)］max =f(10)=59；当10<x≤16时，f(x)=59；当16<x≤30时，f(x)=-3x+107， 由f(x)的图象,知f(x)<-3×16+107=59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟. (2)∵f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5，f(20)=-3×20+107=47<53.5, ∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.思路2例3(山东滨州一模，文20)一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低0.02元,但最低出厂单价不低于51元.(1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰为51元?(2)设一次订购量为x 个时,零件的实际出厂价为p 元,写出p=f(x).(3)当销售商一次订购量分别为500、1 000个时,该工厂的利润分别为多少? (一个零件的利润=实际出厂价-成本)解：(1)设一次订购量为a 个时,零件的实际出厂价恰好为51元,则a=100+02.05160-50个. (2)p=f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤<,550,51,550100,5062,1000,60x x x x 其中x ∈N *.(3)当销售商一次订购量为x个时,该工厂的利润为y,则y=(p-40)x=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤<.550,11,550100,5022,100,202x x x x x x x 其中x ∈N *,故当x=500时,y=6000;当x=1000时,y=11000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x 、y 的等式. 例4甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：图3-2-1-16甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只.乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.(3)哪一年的规模(即总产量)最大?请说明理由.活动：观察函数图象，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:先观察图象得出相关数据，利用数据找出函数模型.解：由题意可知,甲图象经过(1,1)和(6,2)两点,从而求得其解析式为y甲=0.2x+0.8,乙图象经过(1,30)和(6,10)两点,从而求得其解析式为y乙=-4x+34.(1)当x=2时，y甲=0.2×2+0.8=1.2,y乙=-4×2+34=26，y甲·y乙=1.2×26=31.2.所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只.(2)第1年出产鳗鱼1×30=30(万只),第6年出产鳗鱼2×10=20(万只),可见,第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了.(3)设当第m年时的规模总产量为n,那么n=y甲·y乙=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m2+3.6m+27.2=-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25.因此,当m=2时,n max=31.2,即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只.知能训练某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(1) (2)图3-2-1-17(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)活动：学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正. 解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000.3000t t t t由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t-150)2+100,0≤t≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t).即h(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025722001,2000,2175********t t t t t t当0≤t≤200时，配方整理,得h(t)=2001-(t-50)2+100, 所以当t=50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100； 当200<t≤300时，配方整理,得h(t)=2001-(t-350)2+100, 所以当t=300时，h(t)取得区间［200，300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大. 点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力. 拓展提升 探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式. ②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：(2015山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3-2-1-18(1)、图3-2-1-18(2)、图3-2-1-18(3)所示.其中图3-2-1-18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.图3-2-1-18(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元? 分析：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式. 2.在t ∈［0,40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段. 3.回忆函数最值的求法. 解：(1)f(t)=⎩⎨⎧≤<+-≤≤,4030,2406,300,2t t t t g(t)=203-t 2+6t(0≤t≤40).(2)每件A 产品销售利润h(t)=⎩⎨⎧≤≤≤≤.4020,60,200,3t t t .该公司的日销售利润F(t)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤--,4030),240203(60,3020),8203(60,200),8203(3222t t t t t t t t t ,当0≤t≤20时，F(t)=3t(203-t 2+8t),先判断其单调性. 设0≤t 1＜t 2≤20,则F(t 1)-F(t 2)=3t 1(203-t 12+8t 1)-3t 2(203-t 22+8t 2)=209-(t 1+t 2)(t 1-t 2)2.∴F(t)在［0,20］上为增函数.∴F(t)max =F(20)=6 000<6 300.当20<t≤30时，令60(203-t 2+8t)>6 300，则370<t<30; 当30<t≤40时，F(t)=60(203-t 2+240)<60(203-×302+240)=6 300,故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.点评：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式,重点是找出关键点.2.在t ∈［0,40］上，有几个分界点,t=20,t=30两点把区间分为三段.3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一. 课堂小结本节学习了:①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.②幂函数、指数函数、对数函数的应用. 作业课本习题3.2A组3、4.设计感想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异.接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力;并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点.本节的每个例题都很精彩，可灵活选用.。

高一数学教案：《几类不同增长的函数模型》高一数学教案：《几类不同增长的函数模型》教学要求：①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.②借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.③恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.④收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学过程：一、新课引入：（国际象棋棋盘的奖赏教科书第三章的章头图：澳大利亚兔子数"爆炸'）有一大群喝水、玩耍的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有旺盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到1XX年，兔子们占据了整个澳大利亚，数量满足75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采纳各种方法毁灭这些兔子，直至二十世纪五十年月，科学家采纳载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．二、讲授新课：1、例题讲解：①例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？②探究：在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？师生共同分析解答探究：依据例1的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么熟悉？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？依据以上分析，你认为就作出如何选择？③例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标，预备制定一个激励销售部门的嘉奖方案：在销售利润满足10万元时，按销售利润进行嘉奖，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个嘉奖模型：；； . 问：其中哪个模型能符合公司的要求？④探究：本例涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？依据问题中的数据，如何判定所给的嘉奖模型是否符合公司要求？通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答．2、探究与发觉：幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探究讨论幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行沟通、商量、概括总结，形成较为精准、详尽的结论性报告．3、尝试练习：教材p110练习1、2；教材p113练习．4、小结与反思：直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义；数学的有用价三、巩固练习：1. 教材p120习题32（a组）第1~3题；2. 作业：教材p125 2、3、4题3、课外活动：收集一些社会生活中普遍使用的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较；有时同一个实际问题可以建立多个函数模型，怎样选用合理的函数模型？第三、四课时3.2.2函数模型的应用实例（2课时）教学要求：通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用.教学重点：建立函数模型的过程.教学难点：在实际问题中建立函数模型.教学过程：一、新课引入：前节课主要是讲授指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，本节课我们主要是通过一些生活中常遇到的实例来进一步说明函数模型在解决实际问题中的应用.二、讲授新课：1、例题讲解：①例1、在中国轻纺城批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势. 设某服装开头时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开头保持20元的平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周末，该服装已不再销售.（1）试建立价格p与周次t之间的函数关系；（2）若此服装每件进价q与周次t之间的关系式为，试问该服装第几周每件销售利润最大？（找出实际问题中涉及的函数变量引导同学依据变量间的关系建立函数模型利用模型解决实际问题小结：二次函数模型）②练习（图表形式）：某同学完成一项任务共花去9个小时，他记录的完成工作量的百分数如下：时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 8 9完成的百分数15 30 45 60 60 70 80 90 100（1）假如用t（h）来表示h小时后完成的工作量的百分数，请问t（5）是多少？求出t（h）的解析式，并画出图象. （2）假如该同学在早晨8：00时开头工作，什么时候他未工作？③例2、人中问题是当今世界各国普遍关注的问题，熟悉人口数量的改变规律，可以为有效掌握人口增长供应依据. 早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（1766－1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率. （数据和问题见p115）（师生共析老师小结：指数型函数模型同学阅读课本，完善解题过程）③例3、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值讨论：（数据和问题见p118）分小组商量该选用何种函数模型来刻画这个地区未成年男性体重与身高的函数关系并分别验证，总结商量结果，找出最恰当的函数模型，利用函数模型来解决实际问题.小结：依据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验符合实际，用函数模型说明实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.2、练习：教材p114 图形给出的函数应用讨论; 利润讨论；三、巩固练习：1. 阅读p123、p73、p79 等应用问题，小结函数模型类别2. 已知镭经过1XX年，质量便比原来削减4.24％，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为 .3. 某新型电子产品XX年投产,计划XX年使其成本降低36℅.则平均每年应降低成本℅.3.有一批影碟（vcd）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再削减20元，但每台售价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较低？4. 作业：p120 1、2、4、5题。