第1章 2.1 条件概率与独立事件

概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。

在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。

2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。

–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。

–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。

1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。

–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。

–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。

2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。

随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。

–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。

1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。

如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。

–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。

2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。

–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。

–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。

第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。

–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。

条件概率【问题导思】 一个家庭有两个孩子，假设男女出生率一样．(1)这个家庭一男一女的概率是多少？(2)预先知道这个家庭中至少有一个女孩，这个家庭一男一女的概率是多少？【提示】 (1)12，(2)23.(1)概念：已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )．(2)公式：当P (B )＞0时，P (A |B )＝P ABP B.独立事件【问题导思】 在一次数学测试中，甲考满分，对乙考满分有影响吗？【提示】 没有影响．(1)定义：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)性质：如果A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．(3)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ).应用在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率． 【思路探究】 求解的关键是判断概率的类型．第一问是古典概型问题；第二问是条件概率问题．【自主解答】 设“第一次取到不合格品”为事件A ，“第二次取到不合格品”为事件B .(1)P (A )＝5100＝0.05.(2)法一 第一次取走1件不合格品后，还剩下99件产品，其中有4件不合格品．于是第二次再次取到不合格品的概率为499，这是一个条件概率，表示为P (B |A )＝499.法二 根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB 的概率． P (AB )＝5100×499，∴有P (B |A )＝P ABP A ＝5100×4995100＝499.1．注意抽取方式是“不放回”地抽取．2．解答此类问题的关键是搞清在什么条件下，求什么事件发生的概率． 3．第二问的解法一是利用缩小样本空间的观点计算的，其公式为P (B |A )＝n ABn A，此法常应用于古典概型中的条件概率求法．在例1题设的条件下，试求在第一次取到合格品后，第二次取到不合格品的概率．【解】 法一 第一次取走1件合格品后，还剩下99件产品，其中有5件不合格品，于是第二次取到不合格品的概率为599.法二 ∵P (A B )＝95100×599，∴P (B |A )＝P A B PA＝95100×59995100＝599.对于下列给出的两个事件：①甲、乙两同学同时解一道数学题，事件A 表示“甲同学做对”，事件B 表示“乙同学做对”；②在某次抽奖活动中，记事件A 表示“甲抽到的两张奖券中，一张中一等奖，另一张未中奖”，事件B 表示“甲抽到的两张奖券均中二等奖”；③一个布袋里有3个白球和2个红球，记事件A ，B 分别表示“从中任意取一个是白球”与“取出的球不放回，再从中任取一球是红球”；④在有奖储蓄中，记甲在不同奖组M 和N 中所开设的两个户头分别中一等奖为事件A 和B .其中事件A 和事件B 相互独立的是( )A ．①②B ．①④C ．③④D ．仅有① 【自主解答】 序号 判断 原因分析① √ 事件A 的发生对事件B 发生的概率无影响② × A 与B 互斥③ × 事件A 的发生对事件B 发生的概率有影响 ④√事件A 的发生对事件B 发生的概率无影响判断两个事件是不是相互独立有以下两种方法：(1)由定义，若P (AB )＝P (A )P (B )，则事件A 与B 相互独立．(2)由事件本身的性质直接判断，也就是判断一个事件的发生对另一个事件有没有影响．下列事件A ，B 是独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面” B ．袋中有4个小球，其中2个白球，2个黑球，不放回地摸两次，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”1．求解某些事件的概率时，应首先确定事件间的关系，即两事件是互斥事有n位同学参加某项选拔测试，C ．p nD ．1－(1－p )n【解析】 至少有一位同学通过测试的对立事件为无人通过测试，其概率为(1－p )n.应用对立事件的概率求解知，至少有一位同学通过测试的概率为1－(1－p )n. 课堂小结：1．条件概率的前提条件是：在知道事件A 必然发生的前提下，只需局限在A 发生的范围内考虑问题，在事件A 发生的前提下事件B 发生，等价于事件A 和B 同时发生，由古典概型知其条件概率为：P (B |A )＝n ABn A ＝nABn ΩnAnΩ＝P ABP A，其中n (Ω)为一次试验可能出现的结果数，n (A )为事件A 所包含的结果数，n (AB )为AB 同时发生时的结果数．2．P (AB )＝P (A )P (B )使用的前提条件是A ，B 为相互独立事件；当事件A 与B 相互独立时，事件A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立．3．求事件概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题，可考虑用他们的对立事件求解． 作业布置：1．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12【解析】 事件A 包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件B 包含(2,4)一个基本事件．∴P (B |A )＝P A ∩B P A ＝14.2．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )A.16B.25C.215D.56【解析】 记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A ，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B ，则事件A ，B 是相互独立事件，故P (A ∩B )＝P (A )×P (B )＝24×26＝16. 3．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A ·B )＝________；P (A ·B )＝________.。

第一章DIYIZHANG统计案例§2独立性检验2.1条件概率与独立事件课后篇巩固提升A组1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A:“取到的2个数之和为偶数”,事件B:“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=()A. B. C. D.(A)=,P(AB)=,由条件概率计算公式,得P(B|A)=.2.某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中不正确的是()A.P(A)=B.P(AB)=C.P(B|A)=D.P(B|)=(A)=,故A正确;P(AB)=,故B正确;P(B|A)=,故C正确;P()=1-P(A)=1-,P(B)=,P(B|)=,故D错误.故选D.3.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则得0.6=0.75·p,解得p=0.8,故选A.4.某中学开展主题为“学习宪法知识,弘扬宪法精神”的知识竞赛活动,甲同学答对第一道题的概率为,连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲同学答对第一道题”,事件B表示“甲同学答对第二道题”,则P(B|A)=()A. B. C. D.P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)=.故选D.5.如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为()A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576:由题意知K,A1,A2正常工作的概率分别为P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8, ∵K,A1,A2相互独立,∴A1,A2至少有一个正常工作的概率为P(A2)+P(A1)+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96.∴系统正常工作的概率为P(K)[P(A2)+P(A1)+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864.方法二:A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-P()=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,∴系统正常工作的概率为P(K)[1-P()]=0.9×0.96=0.864.6.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为..128,该选手的第二个问题必答错,第三、四个问题必答对,故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P=1×0.2×0.8×0.8=0.128.7.已知随机事件A和B相互独立,若P(AB)=0.36,P()=0.6(表示事件A的对立事件),则P(B)=..9P(A)=1-P()=0.4,由独立事件的概率乘法公式可得P(AB)=P(A)P(B),因此,P(B)==0.9.8.盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次取出2个球使用,在第一次取出新球的条件下,第二次也取到新球的概率为.,则袋中还有9个球,其中5个新球,所以第二次取出新球的概率为.9.集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取,乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.1:将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b),则所有可能的抽取结果为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),( 4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),共30个.其中甲抽到奇数的情形有15个,在这15个中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个,所求概率P=.解法2:设甲抽到奇数的事件为A,甲抽到奇数,且乙抽到的数比甲大为事件B,则P(A)=.P(AB)=,故P(B|A)=.10.某班有两个课外活动小组,其中第一小组有足球票6张,排球票4张;第二小组有足球票4张,排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张,乙从第二小组的10张票中任抽1张.(1)两人都抽到足球票的概率是多少?(2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件A,“乙从第二小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件B,则“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件,“乙从第二小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件,于是P(A)=,P()=;P(B)=,P()=.由于甲(或乙)是否抽到排球票,对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响,因此A与B是相互独立事件.(1)两人都抽到足球票的概率为P=P(A)·P(B)=.(2)两人都抽到排球票的概率为P=P()·P()=.故两人至少有1人抽到足球票的概率为P=1-.B组1.已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品,则任选一件为一级品的概率为()A.75%B.96%C.72%D.78.125%“任选一件产品是合格品”为事件A,则P(A)=1-P()=1-4%=96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B.由于一级品必是合格品,所以事件A包含事件B,故P(AB)=P(B).由合格品中75%为一级品知P(B|A)=75%;故P(B)=P(AB)=P(A)·P(B|A)=96%×75%=72%.2.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论不正确的是()A.2个球都是红球的概率为B.2个球不都是红球的概率为C.至少有1个红球的概率为D.2个球中恰有1个红球的概率为A选项,2个球都是红球的概率为,A选项正确;对于B选项,2个球不都是红球的概率为1-,B 选项错误;对于C选项,至少有1个红球的概率为1-,C选项正确;对于D选项,2个球中恰有1个红球的概率为,D选项正确.故选B.3.已知P(AB)=P(A)P(B),且P()=,P(A)=P(B),则事件A发生的概率是()A. B. C. D.P(AB)=P(A)P(B),知A与B相互独立,故A与与B,都是相互独立的,由P(A)=P(B),得P(A)P()=P(B)P(),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],得P(A)=P(B).∵P()=,∴P()=P()=,∴P(A)=.4.某农业科技站对一批新水稻种子进行试验,已知这批水稻种子的发芽率为0.8,出芽后的幼苗成活率为0.9.在这批水稻种子中,随机地取出一粒,则这粒水稻种子发芽并能成长为幼苗的概率为() A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72“这粒水稻种子发芽”为事件A,“这粒水稻种子发芽并成长为幼苗”为事件AB,“这粒水稻种子在发芽的前提下能成长为幼苗”为事件B|A,则P(A)=0.8,P(B|A)=0.9,由条件概率公式,得P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72.5.市场上供应的灯泡中,甲厂占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则市场上灯泡的合格率是..5%A={甲厂产品},B={乙厂产品},C={合格产品},则C=AC+BC,所以P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=70%×95%+30%×80%=0.905=90.5%.6.设甲乘汽车、火车前往目的地的概率分别为0.6,0.4,汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8,则甲正点到达目的地的概率为..86P=0.6×0.9=0.54,当甲乘火车时正点到达目的地的概率为P=0.4×0.8=0.32,所以甲正点到达目的地的概率为P=0.54+0.32=0.86.7.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽1张,已知第1次抽到A,则第2次也抽到A的概率为多少?1次抽到A为事件M,第2次也抽到A为事件N,则MN表示两次都抽到A, P(M)=,P(MN)=,P(N|M)=.8.制造一机器零件,甲机床生产的废品率是0.04,乙机床生产的废品率是0.05,从它们生产的产品中各任取1件,求:(1)两件都是废品的概率;(2)其中没有废品的概率;(3)其中恰有1件废品的概率;(4)其中至少有1件废品的概率;(5)其中至多有1件废品的概率.“从甲机床生产的产品中抽得1件是废品”为事件A,“从乙机床生产的产品中抽得1件是废品”为事件B.则P(A)=0.04,P(B)=0.05.(1)P(AB)=P(A)P(B)=0.04×0.05=0.002.(2)P()=P()P()=0.96×0.95=0.912.(3)P(B+A)=P()P(B)+P(A)P()=0.96×0.05+0.04×0.95=0.086.(4)至少有一件是废品的对应事件为B+A+AB,易知B,A,AB是彼此互斥的三件事件.故所求概率为P=P(B+A+AB)=P(B+A)+P(AB)=0.086+0.002=0.088.(利用(1),(3)小题的结果)或考虑其对应事件“没有废品”,故P=1-P()=1-0.912=0.088.(5)“至多有一件是废品”即为事件B+A;其对立事件为“两件都是废品”:AB.故所求概率P=P(B+A)=1-P(AB)=1-0.002=0.998.。

《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数学北师大版1-2(配套备课资源)第一章22．1 条件概率与独立事件一、基础过关1． 若P(A)＝34，P(B|A)＝12，则P(AB)等于 ( )A.23B.38C.13D.582． 某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12.现有一只此种电子元件，差不多用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是 ( )A.34B.23C.12D.133． 某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( ) A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72 4． 甲，乙，丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率为( )A.115B.215C.15D.1105. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率差不多上12，且是互相独立的，灯亮 的概率为( ) A.316 B.34 C.1316 D.146． 设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．二、能力提升7． 在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配在A 型螺栓的概率为________．8． 甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．9． 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？10．某种电路开关闭合后，会显现红灯或绿灯闪耀，已知开关第一次闭合后显现红灯的概率是12，两次闭合都显现红灯的概率为16.求在第一次闭合显现红灯的条件下第二次显现红灯的概率．11．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球差不多上白球，第2次取出的2个球差不多上红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球差不多上白球的概率．三、探究与拓展12．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)至少有1名工人选择的项目属于民生工程的概率．答案1．B 2．B 3．D 4．C 5．C6．0.5 7.35 8.12 9．解 (1)设x 为掷红骰子得的点数，y 为掷蓝骰子得的点数，则所有可 能的事件为(x ，y)，建立一一对应的关系，由题意作图如图．明显：P(A)＝1236＝13，P(B)＝1036＝518，P(AB)＝536. (2)方法一 P(B|A)＝n AB n A ＝512. 方法二 P(B|A)＝P AB P A＝53613＝512. 10．解 第一次闭合后显现红灯记为事件A ，第二次闭合后显现红灯记为事件B.则P(A)＝12，P(AB)＝16，∴P(B|A)＝1612＝13.11．解 记：“第1次取出的2个球差不多上白球”的事件为A ，“第2次取出的2个球差不多上红球”的事件为B ，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C ，专门明显，由于每次取出后再放回，A 、B 、C 差不多上相互独立事件．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝310·110＝3100.故第1次取出的2个球差不多上白球，第2次取出的2个球差不多上红球的概率是3100.(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝610·310＝950.故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球差不多上白球的概率是950.12．解 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai ，Bi ，Ci ，i ＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai ，Bj ，Ck (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P(Ai)＝12，P(Bi)＝13，P(Ci)＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P ＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×12×13×16＝16.(2)至少有1名工人选择的项目属于民生工程的概率P ＝1－P(B1 B2 B3)＝1－P(B1)P(B2)P(B3) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝1927.。

事件的独立性与条件概率事件的独立性与条件概率是概率论中非常重要的概念，它们的理解与应用在各个领域都具有广泛的意义。

在本文中，我将探讨事件的独立性和条件概率的概念及其关系。

一、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生与否互不影响。

换句话说，当两个或多个事件独立发生时，它们的概率乘积等于它们各自发生的概率之积。

以掷硬币为例，假设我们掷两枚硬币，事件A表示第一枚硬币为正面，事件B表示第二枚硬币为正面。

如果两个事件相互独立，那么P(A∩B) = P(A)×P(B)。

也就是说，第一枚硬币为正面的概率与第二枚硬币为正面的概率乘积等于两枚硬币都为正面的概率。

二、条件概率条件概率是在已知一个或多个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

通常表示为P(A|B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

仍以掷硬币为例，事件A表示第一枚硬币为正面，事件B表示两枚硬币都为正面。

如果已知第一枚硬币为正面，即事件A已经发生，那么事件B的概率会发生变化，变成了P(B|A)。

这时，我们可以用条件概率的公式计算出P(B|A)。

三、事件的独立性与条件概率的关系事件的独立性与条件概率有着密切的关系。

当两个事件A和B是相互独立的时候，P(A|B) = P(A)，也就是说，当事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率与事件B未发生时的概率相等。

反过来讲，如果已知事件B发生，且P(A|B) = P(A)，那么事件A 与事件B就是相互独立的。

因此，可以通过条件概率的计算来判断事件之间的独立性。

四、应用举例事件的独立性与条件概率在实际应用中有许多重要的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 疾病诊断：在医学领域，独立性与条件概率可以用于判断多个疾病的共同发生概率。

例如，根据患者的症状，通过条件概率可以计算出某种疾病的患病概率。

2. 金融风险评估：在金融领域，独立性与条件概率可以用于评估投资组合的风险。

通过将不同资产之间的独立性与条件概率应用到投资组合的构建中，可以更准确地评估风险和收益。

条件概率与独立事件【要点梳理】要点一：条件概率1.概念设A 、B 为两个事件，求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为()|P A B ，读作：事件B 发生的条件下A 发生的概率。

要点诠释：我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，()|P A B 相当于B 在A 内的那部分（即事件AB ）在A中所占的比例。

2.公式.要点诠释：（1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率： 古典概型：(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即()()card (|)card AB P AB B =； 几何概型：(|)AB P A B B =的测度的测度. （2）公式()(|)()P AB P A B P B =揭示了()P B 、()|P AB 、()P AB 的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若()P B ＞0，则()()()=|P AB P A P B A ，该式称为概率的乘法公式．（3）类似地，当()0P A >时，A 发生时B 发生的条件概率为：()()()|=P AB P B A P A .3. 性质（1）非负性：()|0P A B ≥；（2）规范性：()|=1P B Ω（其中Ω为样本空间）；（3）可列可加性：若两个事件A 、B 互斥，则()()()+||+|P A B C P A C P B C =.4.概率()P A |B 与()P AB 的联系与区别： 当()0P B >时，()()()|=P A B P A B P B .联系：事件A ，B 都发生了。

区别：①在()|P A B 中，事件A ，B 发生有时间上的差异，事件B 先发生，事件A 后发生；在()P AB 中，事件A ，B 同时发生；②基本事件空间不同在()|P A B 中，事件B 成为基本事件空间，即()()card (|)card AB P ABB =；在()P AB 中，基本事件空间保持不变，仍为原基本事件空间，即()()card ()card AB P AB =Ω。