高等数学考研知识点总结

高等数学考研知识点总结

一、考试要求

1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5、理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。

7、掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。1

1、掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。

二、内容提要

1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系、（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域、（3）分段函数: 注意，为分段函数、（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注：

1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若为偶函数且存在，则

2、若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则为偶函数；

3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。

4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数、

5、设是以为周期的连续函数，则，

6、若为奇函数，则；若为偶函数，则

7、设在内连续且存在，则在内有界。

2、极限 (1)

数列的极限：

(2)

函数在一点的极限的定义：

(3)

单侧极限:1)

左右极限2)

极限存在的充要条件：

(4)

极限存在的准则1)

夹逼定理：

数列情形，函数情形2)

单调有界数列必有极限(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算*1）极限不等式注：不成立2）局部保号性则在某内3）局部有界性则在某内有界。4） (6)

两类重要极限 (7)

无穷小量与无穷大量1)

无穷小量;2)

无穷大量; （注意与无界变量的差异）3)

无穷小量与无穷大量的关系 (8)

无穷小量阶的比较 (9)

罗比达法则

3、连续1)

连续的定义2)

区间上的连续函数3)

间断点及其分类4)

闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理

三、 * 重要公式与结论

1、常见极限不存在的情形：1)

方法：用无穷小量乘有界变量2）方法：分或讨论、2 、特别：若

3、无穷小量的等价代换若，则有特别注意：

（，（），（），设，且～，～(1)

(2)

(3)

(4)

若，则（0712）当时，与等价的无穷小量是（A）（B）（C）（D）4 、若由此有

5、极限的形式与关系（1）（2）（3），

6、若，则 (i)

(ii)

若，则 (i)

(ii)

7、设在处连续，则（1）（2）（3）（4）不存在

四、典型题型与例题题型

一、函数的概念和性质例

1、设，则=（A） 0 （B）1 （C）（D）例

2、对下列函数（1）（2）（3）在（0，1）内有界的有（）个（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3例

3、（0434）函数在下列哪个区间内有界（A）（-1，0）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，3）例

4、（0534）以下四个命题中正确的是（）（A）若在（0，1）内连续，则在（0，1）内有界（B）若在（0，1）内连续，则在（0，1）内有界（C）若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界（D）若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界例

5、（0

51、2）设是连续函数的一个原函数，则必有（A）是偶函数是奇函数（B）是奇函数是偶函数（C）是周期函数是周期函数（D）是单调函数是单调函数题型

二、极限的概念和性质例

6、当时，是（A）无穷小（B）无穷大（C）有界的但不是无穷小（D）无界的但不是无穷大例

7、设对，总有，且，则（A）存在且等于0 （B）存在但一定不为0 （C）一定不存在（D）不一定存在例

8、已知在处连续，且，求题型

三、求函数的极限基本思路：

1、先化简（1）约掉零因子（无穷因子）（2）提出极限不为零的因子（3）根式有理化（4）无穷小替换（5）变量替换（尤其是倒代换）

2、再用洛必达法则或其它求极限的方法

3、上述步骤可重复进行

1、常规方法：1)

运算法则，2)无穷小量等价代换，3）洛必塔法则1）用运算法则应注意的问题例

9、求极限例

10、求极限罗毕达法则

1、或型

1、先化简

2、用洛必达法则、四则运算法则、泰勒公式

3、综合题（结合导数的定义等）例

11、求例

12、求极限例

13、（042）求极限例

14、（0734）= 罗毕达法则

2、型型未定式有两种处理方法或例

15、求例

16、例

17、（101）极限(A)1 、 (B)、 (C)、 (D)、

【】

罗毕达法则

3、其他类型