第二部分 分子的对称性
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分子的对称性.
当原子由位置1（x,y,z）转至位置2 （x`,y`,z）时，坐标关系为
o
O
x = − sin ( 30 + α ) = −1/ 2 x − 3 / 2 y
` o
30o＋α
y ` = cos ( 30o + α ) = 3 / 2 x − 1/ 2 y
y
α
n x
与C4轴相关的转动操作及其表示矩阵为
所有分子都有无限多个C1旋转轴，因为绕通过分子的任一 直线旋转360o都使分子复原，是个恒等操作，常用E表示。 E 称为主操作，和乘法中的1相似。严格地说，一个分子若只有E 能使它复原，这个分子不能称为对称分子，或只能看作对称分 子的一个特例。在分子的对称操作群中， E是一个不可缺少的 元素。 对于分子等有限物体， Cn的轴次并不受限制，n可为任意 正整数。分子中常见的旋转轴有C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C∞等。
•
生 物 界 的 对 称 性
分子对称性是联系分子结构和分子性质的重要桥梁之一。 对称性概念和有关原理对化学十分重要： ◆它能简明地表达分子的构型。例如Ni(CN)42-离子具有D4h点群 的对称性，用D4h这个符号就能准确地表达9个原子在同一平面 上，Ni在离子的中心位置，周围4个CN完全等同，都是直线 型，Ni－C－N互成90o 角。 ◆可简化分子构型的测定工作。将对称性基本原理用于量子力 学、光谱学、X射线晶体学等测定分子பைடு நூலகம்晶体结构时，许多计 算可简化，图像更为明确。
⎡ 1/ 2 − 3 / 2 0 ⎤ ⎡ 1/ 2 ⎢ ⎥ 5 ⎢ 1 C6 = ⎢ 3 / 2 1/ 2 0 ⎥ , C6 = ⎢ − 3 / 2 ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 0 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ 3 / 2 0⎤ ⎥ 1/ 2 0 ⎥ 0 1⎥ ⎥ ⎦
分子的对称性的概念和性质
分子的对称性的概念和性质
分子的对称性是指分子内部的元素和化学键的排列方式能够使分子具有某种对
称性质，例如轴对称、面对称或中心对称等。
分子的对称性具有以下性质：
1. 对称性越高，分子越稳定。
高对称性的分子能更好地分散电荷，使电子对于分子的外界环境的影响降低，从而提高其稳定性。
2. 对称性决定了部分分子性质。
例如，分子的光学旋光性、通过红外光谱确定的基团、共振能力和一些电学性质，都与其对称性有关。
3. 不同的分子对称性能够使分子之间的相互作用发生变化。
例如，对称性相同的分子之间的吸引力强于对称性不同的分子，因为它们之间的电场相互作用更强。
4. 分子的对称性还决定了它们在不同状态下的性质。
例如，具有闭壳层分子轨道的分子具有惰性，而具有非闭壳层分子轨道的分子具有较强的反应性和化学活性。
第二章 第二节 分子点群及波函数的对称性
2V
φ H 1 + 1 × σ 3V φ H 1 )
应用正交归一化条件
1 ΨA1 = (φH 1 + φH 2 + φH 3 ) 3
（2）对于E对称性配体群轨道
• 由于E为二维，故应构建两个轨道
1 ˆ ˆ P Eφ H 1 = ∑ χ j ( R ) R φ H 1 6 R 1 1 = ( 2 × E φ H 1 + ( − 1 ) × C 3 φ H 1 + ( − 1 ) × C 32 φ H 1 + 0 × σ 1V φ H 1 + 0 × σ 2 V φ H 1 + 0 × σ 3 V φ H 1 ) 6 1 = ( 2φ H 1 − φ H 2 − φ H 3 ) 6 1 ˆ ˆ P Eφ H 2 = ∑ χ j ( R ) R φ H 2 6 R 1 1 = ( 2 × E φ H 2 + ( − 1) × C 3 φ H 2 + ( − 1) × C 32 φ H 2 + 0 × σ 1V φ H 2 + 0 × σ 2 V φ H 2 + 0 × σ 3 V φ H 2 ) 6 1 = ( 2φ H 2 − φ H 3 − φ H 1 ) 6
群 表 示 Z X Y
1 ·z
C3
= (1)z,
σv1·z = (1)z, σv3·z = (1) E C31 (1) C32 (1) σv1 (1) σv2 (1) σv3 (1)
C3V： Г(z)
(1)
NH3分子不同基函数的表示
• 以Z轴为主轴。
问题： 1.如果以（x,y,z）为基基函数，表示矩阵又怎样？ 2.如果不以Z轴为主轴，表示矩阵有怎样？
结构化学分子的对称性
ˆ ˆ2 ˆ3 ˆn ˆ 2n ˆ 2n C 2n , C 2n , C 2n , , C 2n , , C 2n 1 , C 2n E
而
ˆ n n 2π 2π C ˆ C 2n 2 2n 2
ˆ C 2 z
x, y, z
2
x, y, z
1
ˆ i
ˆ σ xy
x, y, z
3
并延长到反方向等距离处而使分子复原,这一点就是对
称中心 i ,这种操作就是反演.
(4) 象转轴和旋转反映操作 反轴和旋转反演操作 旋转反映或旋转反演都是复合操作，相应的对 称元素分别称为象转轴Sn和反轴In . 旋转反映(或旋 转反演)的两步操作顺序可以反过来.
对于Sn，若n等于奇数，则Cn和与之垂直的σ都
而唯一地被定义了——至少在抽象地意义上是如此。上述概念 可以方便地呈现在群的乘法表的形式中。 一个h阶有限群的乘法表由h行和h列组成，共h2 个乘积； 设行坐标为x，列坐标为y，则交叉点yx,先操作x，再操作y；对 称操作的乘法一般是不可交换的，故应注意次序。 在群的乘法表中，每个元素在每一行和每一列中被列入一 次而且只被列入一次，不可能有两行或两列是全同的。每一行 或每一列都是群元素的重新排列，这就是群的重排定理。
四阶群只有两种，其乘法表如下
G4 E A B C E E A B C A A B C E B B C E A C C E A B G4 E A B C E E A B C A A E C B B B C E A C C B A E
H2O分子的所有对称操作形成的C2v点群的乘法表如下：
G4
E E
ˆ C2 ˆ C2
ˆ 2 C 1C 1 , Cn ˆ n ˆ n
分子的对称性
第四章 分子的对称性§4.1 对称性操作和对称元素§ <1>分子对称性概念原子组成分子构成有限的图形，具有对称性。
与晶体的对称性不同。
晶体的主要对称性是点阵结构，而分子的对称性主要是指分子骨架在空间的对称性以及分子轨道（波函数）的对称性。
○1分子对称性：指分子的几何图形（原子骨架和原子、分子轨道空间形状）中有相互等同的部分，而这些等同部分互相交换以后，与原来的状态相比，不发生可辨别的变化，即交换前后图形复原。
○2对称操作：不改变物体内部任何两点间的距离，使图形完全复原的一次或连续几次的操作。
（借助于一定几何实体）○3对称元素：对图形进行对称操作，所依赖的几何要素，如：点，线，面及其组合。
<2>对称元素及相应的对称操作○1恒等元素和恒等操作，（E ） ΛE 所有分子图形都具有。
○2旋转轴（对称轴）和旋转操作，Λn n C C ,；对称轴是一条特定的直线。
绕该线按一定方向（逆时针方向为正方面）进行一个角度θ旋转，nπθ2=如：H 2O ： πθ21==n 。
分子中可能有 n 个对称轴，其中n 最大的称为主轴，其它称为非主轴，如：BF 3 ，主轴C 3 ，三个C 2垂直于C 3 与分子平面平行。
n C 将产生n 个旋转操作：E =-nn n n n n C C C C ,,,,12逆时旋转为正操作，k n C ；顺时旋转为逆操作，k n C -。
)(k n nk n C C --= 分子图形完全复原的最少次数称操作周期，旋转操作的周期为 n ；分子中，nC的轴次不受限制，n 为任意整数。
如： E =→332333,,C C C C○3对称和反映操作。
Λσσ, ：对称面是一个特定的镜面，把分子图形分成两个完全相等的对称部分，两部分之间互为镜中映像，对称操作是镜面的一个反映。
图形中相等的部分互相交换位置，其反映的周期为2。
E =Λ2σ。
对称面可分为：v σ面：包含主轴； h σ面：垂直于主轴；d σ面：包含主轴且平分相邻'2C 轴的夹角（或两个v σ之间的夹角）。
2分子对称性和群论初步
点群表示 点群示例
C
nv
= E ,C ,C n
2 n
,
…
,C
n 1 n
1 v
,s
,s
2 v
,
…
,s
n v
C2 v
C2 H 2Cl2
C3 v
NH 3
C v
CO
C3v
3). Cnh群
群中含有一个Cn轴，还有一个垂直于Cn轴σh面
点群示例
C 2h
C4 H 6
S8
2.5 假轴向群 Sn群
Sn：有一个n重象转轴，须考虑n的奇偶性。n为偶数时， 群中有n个元素，n为奇数时，Sn不独立存在。 只有S4是独立的点群。例如：1,3,5,7-四甲基环辛四烯， 有一个S4映转轴，没有其它独立对称元素。
S2 S4
2.6 六方群
1). Td群
若一个四面体骨架的分子，存在4个C3轴，3个C2轴，同时每 个C2轴还处在两个互相垂直的平面sd的交线上，这两个平面还 平分另外2个C2轴（共有6个这样的平面）则该分子属Td对称性。 对称操作为｛E，3C2，8C3，6S4，6sd｝共有24阶。 四 面 体 CH4 、 CCl4 对 称 性 属 Td 群 ， 一 些 含 氧 酸 根 SO42- 、 PO43-等亦是。在CH4分子中，每个C-H键方向存在1个C3轴，2 个氢原子连线中点与中心C原子间是C2轴，还有6个sd平面。
s Z 2
Y x
独立：可以通过其它对称元素或组合来产生。
CH4中的象转轴S4与旋转反映操作
4 3 旋转90◦ 2 4 3
1
2
1
2
1
反映
4 3
第2章-2分子对称性方案
平面的交线上或三个或三个以上的平面的交点上，即这 个原子必须在所有的对称面上。
一个对称面只生成一个对称操作；
标准符号是σ＝对称操作， σ2＝E 恒等操作。
试找出分子中的镜面
极端情况:1、FClSO(有何对称元素？) S
F O
Cl
2、线形分子(有何对称元素？)
F
H
3、大多数情况介于1、2之间
S
S
Cnm
Cnn=E ; Cnn+1=Cn1 ; Cnn+2=Cn2
一个n阶真轴生成n个操作： Cn1 Cn2 Cn3 …….. Cnn-1 Cnn
Cn轴存在则每种原子必须有确定的数目（轴上的原子不
限）
分子中若存在一条轴线，绕此轴旋转一定角 度能使分子复原，就称此轴为旋转轴, 符号为Cn 。 旋转可以实际进行，为真操作；相应地，旋转轴 也称为真轴。
二、对称面与反映（反映面）
（x1,y1,z1,）→ （x1,y1,-z1） 从每一个原子向平面（对称面）作垂线，把这条线
向平面的反面延长相当的距离，并把原子移到线的另一 端，若对分子中的所有原子都完成了这种操作则得到一 个等价构型，此平面就是对映面。
特殊的：平面型分子
*不位于对称面上的给定种类的原子必须成对出现； *若分子中给定的原子的个数只有一个则必在两个以上的
例1：两个生成直角的二重轴必然有与二者相垂直的 第三个轴。(假定两个给定的轴与x,y轴重合)
（X1，Y1，Z1）C2(x)（ X1，－Y1，－Z1）C2(y)（－X1， － Y1，Z1）
若现在把C2(z)作用于（X1，Y1，Z1） ，该点被移动到 （－X1，Y1，Z1）,因此我们可以写成:
C2(y) C2(x)= C2(z) 由此可见每当存在C2(x)和C2(y)时，必定也存 在C2(z)因为它是它们的乘积。 为什么存在两个对称元素就自动地要求第三
一个对称面只生成一个对称操作；
标准符号是σ＝对称操作， σ2＝E 恒等操作。
试找出分子中的镜面
极端情况:1、FClSO(有何对称元素？) S
F O
Cl
2、线形分子(有何对称元素？)
F
H
3、大多数情况介于1、2之间
S
S
Cnm
Cnn=E ; Cnn+1=Cn1 ; Cnn+2=Cn2
一个n阶真轴生成n个操作： Cn1 Cn2 Cn3 …….. Cnn-1 Cnn
Cn轴存在则每种原子必须有确定的数目（轴上的原子不
限）
分子中若存在一条轴线，绕此轴旋转一定角 度能使分子复原，就称此轴为旋转轴, 符号为Cn 。 旋转可以实际进行，为真操作；相应地，旋转轴 也称为真轴。
二、对称面与反映（反映面）
（x1,y1,z1,）→ （x1,y1,-z1） 从每一个原子向平面（对称面）作垂线，把这条线
向平面的反面延长相当的距离，并把原子移到线的另一 端，若对分子中的所有原子都完成了这种操作则得到一 个等价构型，此平面就是对映面。
特殊的：平面型分子
*不位于对称面上的给定种类的原子必须成对出现； *若分子中给定的原子的个数只有一个则必在两个以上的
例1：两个生成直角的二重轴必然有与二者相垂直的 第三个轴。(假定两个给定的轴与x,y轴重合)
（X1，Y1，Z1）C2(x)（ X1，－Y1，－Z1）C2(y)（－X1， － Y1，Z1）
若现在把C2(z)作用于（X1，Y1，Z1） ，该点被移动到 （－X1，Y1，Z1）,因此我们可以写成:
C2(y) C2(x)= C2(z) 由此可见每当存在C2(x)和C2(y)时，必定也存 在C2(z)因为它是它们的乘积。 为什么存在两个对称元素就自动地要求第三
分子的对称性和空间构型
分子的对称性和空间构型在化学中，分子的对称性和空间构型是两个重要的概念。
对称性是指分子在一些操作下保持不变的性质，而空间构型则是描述分子中原子的相对位置和排列方式。
这两个概念在研究分子性质和反应机理中起着至关重要的作用。
首先，让我们来探讨分子的对称性。
对称性是指分子在一些操作下保持不变的性质，比如旋转、反射、转动等。
分子的对称性可以通过对称元素来描述，包括轴对称元素和面对称元素。
轴对称元素是指分子中存在一个轴，沿着这个轴旋转分子一定角度后，分子与原来的位置完全重合。
常见的轴对称元素有Cn轴（n为整数）和S2n轴（n为整数）。
面对称元素是指分子中存在一个面，将分子沿着这个面反射后，分子与原来的位置完全重合。
常见的面对称元素有σ面。
对称性对于分子的性质和反应机理的研究非常重要。
对称性可以决定分子的光谱性质、化学反应的速率和选择性等。
例如，分子的对称性可以决定分子的振动光谱中是否存在红外活性峰。
在化学反应中，对称性可以决定反应的速率和反应产物的选择性。
因此，通过对分子的对称性进行研究，可以更好地理解分子的性质和反应机理。
接下来，我们来讨论分子的空间构型。
空间构型是描述分子中原子的相对位置和排列方式的概念。
分子的空间构型可以通过分子的立体结构来描述。
分子的立体结构可以通过实验技术如X射线衍射、核磁共振等确定。
在分子的立体结构中，原子的相对位置和排列方式对于分子的性质和反应机理有着重要的影响。
例如，分子的立体结构可以决定分子的手性性质。
手性分子是指与其镜像不可重叠的分子，具有手性的分子在光学活性、药物作用等方面表现出独特的特性。
此外，分子的立体结构还可以决定分子之间的相互作用，如分子间的氢键、范德华力等。
分子的对称性和空间构型在化学中的应用非常广泛。
在有机化学中，对称性和空间构型的研究可以帮助我们理解有机分子的合成和反应机理。
在无机化学中，对称性和空间构型的研究可以帮助我们理解无机化合物的性质和反应机理。
结构化学第四章分子对称性
X射线晶体学需要制备晶体样品，通过X射线照射晶 体并记录衍射数据，再通过计算机软件分析衍射数 据，最终得到分子的晶体结构。
X射线晶体学对于理解分子结构和性质具有重要意义 ，尤其在化学、生物学和材料科学等领域中广泛应 用。
分子光谱方法
分子光谱方法是研究分子对称 性的另一种实验方法。通过分 析光谱数据，可以确定分子的 振动、转动和电子等运动状态 ，从而推断出分子的对称性。
04
分子的点群
点群的分类
80%
按照对称元素类型分类
分子点群可按照对称元素类型进 行分类，如旋转轴、对称面、对 称中心等。
100%
按照对称元素组合分类
分子点群可按照对称元素的组合 进行分类，如Cn、Dn、Sn等。
80%
按照分子形状分类
分子点群可按照分子的形状进行 分类，如线性、平面、立体等。
点群的判断方法
分子没有对称元素，如 NH3。
分子有一个对称元素， 如H2O。
分子有两个对称元素， 如CO2。
分子有多个对称元素， 如立方烷。
02
分子的对称性
对称面和对称轴
对称面
将分子分成左右两部分的面。
对称轴
将分子旋转一定角度后与原分子重合的轴。
对称中心
• 对称中心：通过分子中心点，将分子分成互为镜像的两部分。
具有高对称性的分子往往表现出较弱的磁性，因为它们具有较低的轨道和自旋分 裂能。相反，对称性较低的分子可能表现出较强的磁性，因为它们的轨道和自旋 分裂能较高。
对称性与化学反应活性
总结词
分子对称性对化学反应活性也有重要影响，可以通过对称性 分析来预测和解释分子的化学反应行为。
详细描述
具有高对称性的分子往往具有较低的反应活性，因为它们的 电子云分布较为均匀，难以发生化学反应。相反，对称性较 低的分子可能具有较高的反应活性，因为它们的电子云分布 较为不均匀，容易发生化学反应。
X射线晶体学对于理解分子结构和性质具有重要意义 ，尤其在化学、生物学和材料科学等领域中广泛应 用。
分子光谱方法
分子光谱方法是研究分子对称 性的另一种实验方法。通过分 析光谱数据，可以确定分子的 振动、转动和电子等运动状态 ，从而推断出分子的对称性。
04
分子的点群
点群的分类
80%
按照对称元素类型分类
分子点群可按照对称元素类型进 行分类，如旋转轴、对称面、对 称中心等。
100%
按照对称元素组合分类
分子点群可按照对称元素的组合 进行分类，如Cn、Dn、Sn等。
80%
按照分子形状分类
分子点群可按照分子的形状进行 分类，如线性、平面、立体等。
点群的判断方法
分子没有对称元素，如 NH3。
分子有一个对称元素， 如H2O。
分子有两个对称元素， 如CO2。
分子有多个对称元素， 如立方烷。
02
分子的对称性
对称面和对称轴
对称面
将分子分成左右两部分的面。
对称轴
将分子旋转一定角度后与原分子重合的轴。
对称中心
• 对称中心：通过分子中心点，将分子分成互为镜像的两部分。
具有高对称性的分子往往表现出较弱的磁性，因为它们具有较低的轨道和自旋分 裂能。相反，对称性较低的分子可能表现出较强的磁性，因为它们的轨道和自旋 分裂能较高。
对称性与化学反应活性
总结词
分子对称性对化学反应活性也有重要影响，可以通过对称性 分析来预测和解释分子的化学反应行为。
详细描述
具有高对称性的分子往往具有较低的反应活性，因为它们的 电子云分布较为均匀，难以发生化学反应。相反，对称性较 低的分子可能具有较高的反应活性，因为它们的电子云分布 较为不均匀，容易发生化学反应。
无机化学答案 第2章分子对称性与分子结构-习题答案
aA2 ＝1／24 [1×1×4＋8×1×1＋3×1×0＋6×（－1）×0＋ 6×（－1）×2]＝0
aE ＝1／24 [1×2×4＋8×（－1）×1＋3×2×0＋6×0×0＋6×0×2]＝0
aT1 ＝1／24 [1×3×4＋8×0×1＋3×（－1）×0＋6×1×0＋6×（－1）×2]＝0
4
aT2 ＝1／4 [1×3×4＋8×0×1＋3×（－1）×0＋6×（－1）×0＋6×1×2]＝1 得Γ＝A1 ⊕ T2
T2
3
0
－1 －1
1
（x , y , z）
（xy , xz , yz）
以CH4的 4 条杂化轨道为基（分别记为r1、r2、r 3、r 4），依据Td点群的对称元素对其进行
操作，得可约表示Γ：
Td
E
8C3
3C2
6S4
6σd
Γ
4
1
0
0
2
r 1、r2、r 3、r 4
用群分解公式将Γ约化：
aA1 ＝1／24（1×1×4＋8×1×1＋3×1×0＋6×1×0＋6×1×2）＝1
2.5 [MA2B2]2－呈平面四边形构型时属D2h点群，含有对称元素：C2、2C2'、σh、i、2σv。[MA2B2]2 －呈四面体构型时属C2v点群，含有对称元素：C2、2σv。
2.6 C4h点群比D4h点群缺少 4 条垂直于主轴的C2'旋转轴。D4h点群的例子有配离子PtCl42－，C4h 点群例子有：
B
C
A
C
A
B
C2v
C
B
A
B
A
C
C2v
C
B
A
A
B
C
D2h
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第二部分 分子的对称性一 对称操作和对称元素的定义对称操作是指不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复原的操作。
通俗的说, 对称操作就是将分子图形操作后得到的图形与原图形重合的操作。
对称操作所依据的几何元素称为对称元素。
对于分子等有限物体，在进行操作时，物体中至少有一点是不动的，这种对称操作叫点操作。
点对称操作和相应的点对称元素有下列几项。
二 对称操作和对称元素的分类 1. 旋转轴和旋转操作旋转操作是将分子绕通过其中心的轴旋转一定的角度使分子复原的操作，旋转所依据的对称元素为旋转轴。
n 次旋转轴的记号为C n .使物体复原的最小旋转角（0度除外）称为基转角α，对C n 轴的基转角α= 3600/n 。
旋转角度按逆时针方向计算。
和C n 轴相应的基本旋转操作为C n 1，它为绕轴转3600/n 的操作。
分子中若有多个旋转轴，轴次最高的轴一般叫主轴。
C n 轴对应的操作为……….. 共n 个.C 1的操作是个恒等操作，又称为主操作E ，因为任何物体在任何一方向上绕轴转3600均可复原，它和乘法中的1相似。
C 2轴的基转角是1800，连续绕C 2轴进行两次1800旋转相当于恒等操作，即： C 3轴的基转角是1200，C 4轴的基转角是900，C 6轴的基转角是600。
E C C C ==⋅2121222. 对称中心i 和反演操作当分子有对称中心时，从分子中任一原子至对称中心连一直线，将此线延长，必可在和对称中心等距离的另一侧找到另一相同原子。
依据对称中心进行的对称操作为反演操作，连续进行反演操作可得 . 对称中心i 对应的操作为……….. 共2个.3．镜面与反映操作镜面是平分分子的平面，在分子中除位于镜面上的原子外，其他原子成对地排在镜面两侧，它们通过反映操作可以复原。
反映操作是使分子中的每一点都反映到该点到镜面垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处。
连续进行反映操作可得 : σn ={ E ,n 为偶数，σ , n 为奇数}和主轴垂直的镜面以σh 表示；通过主轴的镜面以σv 表示；通过主轴，平分副轴夹角的镜面以σd 表示。
镜面对应的操作为……….. 共2个.4.反轴和旋转反演操作反轴I 1n 的基本操作为绕轴转 3600/n ，接着按轴上的中心点进行反演，它是C 1n 和i 相继进行的联合操作：I 1n =iC 1n反轴对应的操作为……….. 共 个.5.映轴和旋转反映操作映轴S 1n 的基本操作为绕轴转3600/n ，接着按垂直于轴的平面进行反映，是C 1n 和σ相继进行的联合操作：S 1n =σC 1n即只有 S 4 是独立的点群，其余S n 可化为其它操作代替. 有些教科书定义的是反轴I n ，即先进行旋转再进行反演的联合操作。
它们之间既有联系，又相互包含，故只需选择一套就够了，对分子多用S n 群，对晶体多用I n 群。
i C S C S C S C S i S S h h h +=+=+===3655243321 ; ;; ; ; σσσ独立，包含S n 群与I n 群的关系如下：负号代表逆操作，即沿原来的操作退回去的操作。
iC I S C S I C I S i C S I I S S I C I S i C S I iI S S I I S i S I +==+==+==+====+==+==========−−−−−−−−−−−−33633651055105444436336312122121 σσσσσ三 对称操作群 (分子对称元素的集合) ⑴ C n 点群C n 群只有1个C n 旋转轴。
独立对称操作有n 个。
阶次为n 。
若分子只有n 重旋转轴，它就属于C n 群，群元素为{E ，C n 1，C n 2…C n n-1}。
这是n 阶循环群。
1,3,5-三甲基苯（图III ）是C 3点群的例子，若不考虑甲基上H 原子，分子的对称性可以很高，但整体考虑，C 6H 3(CH 3)3只有C 3对称元素。
C 3轴位于苯环中心，垂直于苯环平面，分子绕C 3轴转动120°，240°都能复原。
⑵C n h点群C n h群中有1个C n轴，垂直于此轴有1个σh 。
对称元素为………………..它有2n个对称操作，{E，C n1，C n2……C n n-1，σh，S n1 ，S n2……S n n-1}包括（n-1）个旋转、一个反映面，及旋转与反映结合的（n-1）个映转操作。
当n为偶次轴时，S2n n即为对称中心。
阶次为2n。
若分子有一个n重旋转轴和一个垂直于轴的水平对称面就得到C nh群，C1h点群用C s 记号。
I7-离子(图Ⅳ)亦属于C2h点群，I7-离子为“Z”型的平面离子，C2轴与对称心位于第四个I原子上。
萘的二氯化物亦属于C2h点群。
⑶ C n v点群：C n v群中有1个C n轴,通过此轴有n个σv 。
对称元素为………………..对称操作为……………….., 阶次为2n。
若分子有n重旋转轴和通过C n轴的对称面σ，就生成一个C nv群。
由于C n轴的存在，有一个对称面，必然产生（n-1）个对称面。
两个平面交角为π/n。
它也是2n阶群。
⑷S n和C ni点群分子中有1个S n轴，当n为奇数时，属C ni群；当n 为偶数但不为4的整数倍时，属C n/2h点群；当n为4的整数倍时，属S n点群。
①. S1=C s群：S1=σC11=σ即S1为对称面反映操作，故S1群相当于C s群。
即对称元素仅有一个对称面。
亦可记为C1h=C1v=C s：{E，σ}。
这样的分子不少。
如TiCl2(C5H5)2，Ti形成四配位化合物，2个Cl原子和环戊烯基成对角。
②.C i群:S2=σC2=C i为绕轴旋转180°再进行水平面反映，操作结果相当于一个对称心的反演。
故S2群亦记为C i群。
例如 Fe2(CO)4(C5H5)2，每个Fe与一个羰基，一个环戊烯基配位，再通过两个桥羰基与另一个Fe原子成键，它属于C i对称性。
S3=σC3 = C3+σS4点群：只有S4是独立的点群。
例如：1,3,5,7-四甲基环辛四烯(图Ⅳ)，有一个S4映转轴，没有其它独立对称元素，一组甲基基团破坏了所有对称面及C2轴。
⑸D n点群D n群由1个C n轴和垂直于此轴的n 个C2轴组成。
对称元素为………………..对称操作为……………….., 阶次为2n。
如果某分子除了一个主旋转轴C n(n≥2)之外，还有n 个垂直于C n轴的二次轴C2，则该分子属D n点群。
⑹D nh点群D nh群由D n群的对称元素系中加入垂直于C n轴的σh组成。
对称元素为……………….. , 对称操作为……………….., 阶次为。
若C n为奇数轴，将产生I2n和n个σv ，注意这时对称元素系中不含对称中心i 。
若C n为偶数轴，对称元素系中含有I n ，n个σv和i。
还有一类金属簇，双金属原子间形成多重键，并通过四个羧桥再形成离域键。
如[M2（COOR）4X2]（M＝Mo、Tc、Re、Ru，X＝H2O、Cl）(图II)，C4轴位于M-M键轴，4个C2轴中，2个各横贯一对羧桥平面，2个与羧桥平面成45°角，经过M-M键中心和4个R基，还有一个水平对称面存在。
它也是D4h对称性。
Re2Cl82- (图III)也属D4h对称性。
⑺D nd点群D nd群由D n群的对称元素系和通过C n有平分2个C2轴的夹角的n个σd组成。
对称元素为……………….., 对称操作为……………….., 阶次为。
若C n为奇数轴，对称元素系中含有C n ，n个C2 ，n个σd，i和I n，若C n为偶数轴，对称元素系中含有C n ，n个C2 ， n 个σd和I2n ，注意这时不包含对称中心i。
一个分子若含有一个n重旋转轴C n及垂直于C n轴n个2次轴，即满足D n群要求后，要进一步判断是D nh或D nd，首先要寻找有否垂直于C n主轴的水平对称面σh。
若无，则进一步寻找有否通过C n轴并平分C2轴夹角的n个σd垂直对称面，若有则属D nd点群，该群含4n个对称操作。
N 4S 4(右图II)、As 4S 4的结构，是几个共边五元环围成的网络立体结构，它也是D 2d 对称性，C 2主轴经过上下N-N 键的中心，S 4共平面，含有2个C 2轴相互垂直。
D 3d ：TiCl 62-(图I ）构型为八面体沿三次轴方向压扁。
属于D 3d 对称性。
HH HH H H HH H H HD 4d ：一些过渡金属八配位化合物，ReF 82-、TaF 83-(图II ）和Mo(CN)83+等均形成四方反棱柱构型，它的对称性属D 4d 。
S8分子为皇冠型构型，属D4d点群，C4旋转轴位于皇冠中心。
4个C2轴分别穿过S8环上正对的2个S原子，4个垂直平分面把皇冠均分成八部分为了达到十八电子效应，Mn(CO)5易形成二聚体Mn2(CO)10(图IV）为减少核间排斥力，2组CO采用交错型，故对称性属D4d。
D5d：二茂铁（图V）分子属D5d点群。
高阶群：数学已证明，有且只有五种正多面体。
（正多面体是指表面由同样的正多面体组成，各个顶点、各条棱等价）它们是四面体，立方体、八面体、十二面体和二十面体。
他们的面（F）、棱（E）、顶点（V）满足Euler方程：F＋V＝E＋2如下所示：⑻T，T h和T d点群这些是四面体群，其特点是都含有4个C3轴，按立方体体对角线排列。
T 点群由4个C3 ，和3个C2组成。
如C(CH3)4T h 点群由4个C3和3个C2 ，3个σh（它们分别和 3 个C2轴垂直）和i组成。
Ti8C12＋（图II）分子中，上下2个C-C键中点，左右2个C-C键中点，前后2个C-C键中点间存在3个C3轴，在两两相对的金属Ti原子间的连线为C3轴。
垂直于C2轴还有3个对称平面。
T d 点群由4个C3 ，和3个I4（其中含有C2）和6个σd（分别平分4个C3轴的夹角）组成，注意其中不包含对称中心 i 。
对称元素为……………….., 对称操作为……………….., 阶次为。
一些分子骨架是四面体，所带的一些配体亦符合对称要求。
如过渡金属的一些羰基化合物：Co4(CO)12(图IV)、Ir4(CO)12，每个金属原子有3个羰基配体，符合顶点C3旋转轴的要求，故对称性为T d。
又如P4O6(图V)，P4形成四面体，6个O位于四面体6条棱的桥位，符合C2轴对称性，故也是T d点群。
还有一些分子，如封闭碳笼富勒烯分子C40、C76等，由于封闭碳笼由12个五边形与ｍ个六边形组成，五边形与六边形相对位置的改变使碳笼对称性发生变化。
C40、C76、C84等碳笼的某种排列就属于T d点群。
Co4(CO)12P4O6⑼ O 和O h点群: 这些是八面体群，其特点是都含有3个C4轴O群由3个C4，和4个C3和6个C2组成。