离散数学及其应用 重要名词中英对应以及重要概念解释与举例

离散数学的基本概念和应用离散数学是研究离散对象及其性质、结构和相互关系的数学分支。

它在计算机科学、信息技术、密码学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍离散数学的基本概念，并探讨其在实际应用中的重要作用。

一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究集合及其元素之间的关系。

集合论中的重要概念包括交集、并集、补集等。

例如，在数据库中，集合论的概念被广泛应用于数据的查询和操作中，能够提高数据处理的效率和准确性。

二、逻辑与命题逻辑是研究正确推理的规则和方法的学科。

在离散数学中，逻辑理论主要包括命题逻辑和谓词逻辑。

命题逻辑研究命题之间的关系，如与、或、非等。

而谓词逻辑研究具有参数的命题，如量词和谓词的应用。

逻辑理论在计算机科学中被广泛用于编程语言的设计和推理过程中。

三、图论图论研究的是由一组节点和连接节点的边组成的图结构。

图论中的重要概念包括顶点、边、路径、连通性等。

图论在计算机网络、电路设计和数据分析等方面有着重要的应用。

例如，通过图论算法可以找出电脑网络中的最短路径，优化网络传输速度。

四、排列组合与概率论排列组合是研究对象的排列和组合方式的数学分支。

它在密码学、统计学和信息理论中扮演着重要角色。

排列组合的概念可以帮助我们计算具有特定条件的排列或组合的数量，从而解决实际问题。

概率论是研究随机事件发生概率的数学分支，它经常与排列组合相结合，应用于风险评估、决策分析等领域。

五、数论与密码学数论是研究整数性质和结构的数学分支。

它广泛应用于密码学中，可以帮助我们设计安全的加密算法。

例如，RSA加密算法就基于数论中的模运算和欧拉函数等概念。

数论在信息安全领域具有重要意义，为保护数据的机密性提供了强大的数学工具。

综上所述，离散数学的基本概念和应用在计算机科学、信息技术、密码学等领域起着重要作用。

通过集合论、逻辑与命题、图论、排列组合与概率论以及数论与密码学的研究，我们能够解决实际问题、提高数据处理效率、保护信息安全，并在各个领域推动科学技术的发展。

离散数学基础离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学学科，它涉及许多重要的基础概念和方法。

离散数学广泛应用于计算机科学、信息科学、通信工程等领域，在现代科技的发展中起到了至关重要的作用。

本文将介绍离散数学的基础概念和应用，并结合具体例子进行说明。

一、集合论和逻辑离散数学的基础之一是集合论和逻辑。

集合论是研究集合及其运算规律的数学分支，它提供了描述元素之间关系的工具。

在离散数学中，集合论被广泛应用于描述问题的解空间以及元素之间的关系。

逻辑是研究正确推理和论证方法的学科，在离散数学中，逻辑常被用于构建数学证明和推理。

例如，在图论中，我们可以用集合论的概念来描述顶点和边的集合，并利用逻辑推理来证明一些图的性质。

另外，在算法设计和分析中，集合论和逻辑也发挥着重要作用，帮助我们描述问题和设计解决方案。

二、关系和函数关系和函数是离散数学中的另外两个重要概念。

关系是元素之间的某种关联，常用集合对来表示。

函数是一种特殊的关系，它将每个输入元素映射到唯一的输出元素。

在计算机科学中，关系和函数常用于描述数据库中的数据关联、网络中的节点连接等。

在离散数学中，我们需要学习关系和函数的性质，如反射性、对称性和传递性等。

这些性质可以帮助我们分析和证明一些问题。

例如，在图论中，我们可以借助关系和函数的概念来描述图的连通性和路径问题。

三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图及其性质的数学学科。

图由一组顶点和连接顶点的边组成，被广泛应用于计算机科学和网络科学中。

图论可以用来解决诸如网络优化、路径规划和社交网络分析等实际问题。

在图论中，我们需要学习图的基本概念，如顶点、边、路径和环等。

另外，图的表示方法也有多种，例如邻接矩阵和邻接表。

掌握这些概念和方法可以帮助我们对图进行建模和分析。

四、组合数学组合数学是研究离散结构和离散对象组合性质的数学学科。

在组合数学中，我们关注的是如何对有限的元素进行排列、选择和组合。

组合数学在密码学、编码理论等领域具有重要应用。

离散数学的基本概念与应用离散数学是数学中的一个分支，研究离散对象和离散结构的数学理论。

与连续数学相对应，离散数学主要关注离散化的问题，如整数、图论、逻辑等。

本文将重点介绍离散数学的基本概念和应用领域。

一、离散数学的基本概念1. 整数论：整数论是离散数学中的一个重要分支，研究整数及其性质。

其中包括最大公约数、最小公倍数、同余关系、剩余类等概念和定理。

这些概念和定理在密码学、编码理论等领域有重要应用。

2. 图论：图论是离散数学的重要分支，研究图以及与图相关的问题。

图是由节点和边构成的数学模型，可以用来描述实际问题中的关系和连接。

图论在计算机科学、网络优化、运筹学等领域有广泛应用。

3. 逻辑：逻辑是数学中研究命题和推理的学科，也是离散数学的重要组成部分。

逻辑中的命题逻辑和谓词逻辑可以用来分析和验证证明过程的正确性。

逻辑在人工智能、计算机科学等领域有广泛应用。

4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，研究离散结构的组合性质和计数问题。

它包括排列组合、图的着色、树的计数等内容，广泛应用于密码学、信息论、统计学等领域。

二、离散数学的应用领域1. 计算机科学：离散数学在计算机科学中有广泛并且重要的应用。

例如，图论可以用来研究网络拓扑结构、路径规划等问题；逻辑可以用于编程语言的设计和验证；组合数学可以用于算法分析和优化等。

2. 信息科学：离散数学在信息科学中也有重要应用。

密码学是其中的一个典型例子，通过利用整数论和组合数学的概念，可以设计出安全可靠的密码算法；信息论中的编码理论也涉及到离散数学的知识。

3. 运筹学与管理科学：离散数学在运筹学和管理科学中有广泛应用。

图论可以用于最优路径规划、网络流等问题；排队论可以用于优化生产调度和资源规划等领域。

4. 统计学与概率论：离散数学的一些概念和方法也被应用于统计学和概率论中。

例如，组合数学可以用于计算组合问题的概率；逻辑可以用于推理和证明的建立等。

结论离散数学作为数学的一个分支，研究离散对象和离散结构的数学理论，具有广泛的应用领域。

离散数学例子
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分支，广泛应用于计算机科学、工程学等领域。

以下是一些离散数学的例子：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。

例如，自然数集、有理数集和实数集都是集合。

2. 图论：图论是研究图（由节点和边组成）及其性质的数学分支。

图论在计算机科学、电子工程、交通运输等领域有广泛应用。

例如，计算机网络的拓扑结构可以用图来表示和优化。

3. 逻辑：逻辑是研究推理的数学分支，它研究推理的规则和形式。

例如，在计算机科学中，逻辑用于设计和分析计算机程序和算法。

4. 离散概率论：离散概率论是研究离散随机事件的数学分支，如掷骰子、抽奖等。

离散概率论在计算机科学、统计学等领域有广泛应用。

5. 组合数学：组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。

例如，组合数学中的“鸽巢原理”可以用来解决一些实际生活中的问题。

6. 离散概率论：离散概率论是研究离散随机事件的数学分支，如掷骰子、抽奖等。

离散概率论在计算机科学、统计学等领域有广泛应用。

以上是一些离散数学的例子，这些例子可以帮助您更好地理解离散数学的基本概念和应用。

离散数学知识点总结及应用
知识点1: 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的运算：并、交、差、补
- 集合的基本性质和定律
知识点2: 逻辑与命题
- 命题的定义和特性
- 命题的联结词：与、或、非
- 命题的真值表和逻辑运算
- 命题的充分条件和必要条件
知识点3: 关系与函数
- 关系的定义和性质
- 关系的类型：自反、对称、传递、等价
- 函数的定义和基本概念
- 函数的特性和图像
知识点4: 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接表
- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索
- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
知识点5: 组合数学
- 排列和组合的基本概念
- 排列和组合的计算方法
- 随机变量和概率分布
- 组合数学在密码学等领域的应用
知识点6: 布尔代数
- 布尔代数的基本运算：与、或、非
- 布尔函数的最小化方法
- 布尔代数的应用：逻辑电路设计、编码器等
知识点7: 计算理论
- 自动机的基本概念和分类
- 正则语言和正则表达式
- 文法的定义和性质
- 上下文无关文法和巴科斯范式
知识点8: 数论
- 整数的性质和基本运算
- 质数和分解定理
- 同余关系和同余方程
- 数论在加密算法中的应用
以上是离散数学中的一些主要知识点和应用场景的简要总结，希望对你的研究有所帮助。

上海市考研数学十复习资料离散数学重点内容梳理与名词解析离散数学是数学的一个分支，研究离散结构及其相互关系的数学理论。

在上海市考研数学考试中，离散数学是一个重要的考点。

为了帮助在上海市参加考研数学的考生更好地复习离散数学的内容，本文将对离散数学的重点内容进行梳理，并解析相关的重要名词。

一、集合论在离散数学中，集合论是重要的基础课程。

集合论主要研究集合的概念、性质和运算，以及集合之间的关系等内容。

1. 集合的概念集合是由确定的对象组成的整体，这些对象称为元素。

通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。

例如，A = {1, 2, 3, 4} 表示一个由整数1、2、3和4组成的集合。

2. 集合的运算集合的运算包括并、交、差和补等。

其中，并操作表示两个集合中所有元素的总和，交操作表示两个集合中共有的元素，差操作表示第一个集合中有而第二个集合中没有的元素，补操作表示一个集合中不属于另一个集合的元素。

二、布尔代数布尔代数是一种逻辑运算的数学工具，用来描述和分析逻辑关系。

在离散数学中，布尔代数是一个重要的内容。

1. 命题逻辑命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的数学系统。

命题是一个陈述句，只能是真或假。

常见的命题包括数学中的等式和不等式等。

2. 逻辑运算逻辑运算包括与、或、非和条件等。

其中，与运算表示同时满足多个条件，或运算表示满足其中一个条件即可，非运算表示取反，条件运算表示如果...则...的关系。

三、关系与函数关系与函数是离散数学中的另一重要内容，研究元素之间的关系及其性质。

1. 关系关系是指集合中两个元素之间的某种对应关系。

例如，若集合A = {1, 2, 3}，B = {4, 5, 6}，则可以定义一个关系R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}，表示集合A中的元素与集合B中的元素之间的对应关系。

2. 函数函数是一种特殊的关系，每个输入都有且仅有一个对应的输出。

函数可以表示为f: A → B，其中A为定义域，B为值域。

离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例1 The Foundations: Logic and Proofs（逻辑与证明）1.1 Propositional Logic（命题逻辑）Propositions（命题）——declarative sentence that is either true or false, but not both.判断性语句，正确性唯一。

Truth Table（真值表）Conjunction（合取，“与”，and），Disjunction（析取，or，“相容或”），Exclusive（异或），Negation（非，not），Biconditional（双条件，双向，if and only if）Translating English Sentences1.2 Propositional Equivalences（命题等价）Tautology（永真式、重言式），Contradiction（永假式、矛盾式），Contingency（偶然式）Logical Equivalences（逻辑等价）——Compound propositions that have the same truth values in all possible cases are called logical equivalent.（真值表相同的式子，p<->q是重言式）Logical Equivalences——Page24Disjunctive normal form(DNF，析取范式)Conjunctive normal form(CNF，合取范式) 见Page27～291.3 Predicates and Quantifiers（谓词和量词）Predicates——谓词，说明关系、特征的修饰词Quantifiers——量词? Universal Quantifier(全称量词) "全部满足? Existential Quantifier(存在量词) $至少有一个Binding Variables(变量绑定，量词作用域与重名的问题)Logical Equivalence Involving QuantifiersNegating Quantified Expressions(量词否定表达：否定全称=存在否定，否定存在=全程否定) Translating from English into Logical Expressions(自然语句转化为逻辑表达)Using Quantifiers in System SpecificationsExamples from Lewis Carrol——全称量词与条件式(p->q)搭配，存在量词与合取式搭配。

离散数学及其应用discrete mathematics and itsapplication 关键术语名词中英文对照，浙大离散必备集合：set元素：element严格定义:well defined成员:member外延原理:principle of extension泛集(全集):universal set空集:empty set(null set)子集:subset文氏图:venn diagram并:union交:intersection相对补集:relative complement绝对补集:absolute complement补集:complement对偶性:duality幂等律:idempotent laws组合律:associative laws交换律:commutative laws分配律:distributive laws同一律:identity laws对合律:involution laws求补律:complement laws对偶原理:principle of duality有限集:finite set计算原理:counting principle类:class幂集:power set子类:subclass子集合:subcollection命题:proposition命题计算:proposition calculus语句:statement复合:compound子语句:substatement合取:conjunction析取:disjuction否定:negation真值表:truth table重言式:tautology矛盾:contradiction逻辑等价:logical equivalence命题代数:algebra of propositions 逻辑蕴涵:logicalimplication关系:relation有序对:ordered pair划分:parti-on偏序:partial order整除性:divisibility常规序:usual order上确界:supremum下确界:infimum上(下)界:upper(lower) bound乘积集:product set笛卡儿积:cartesian product笛卡儿平面:cartesian plane二元关系:binary relation定义域:domain值域:range相等:equality恒等关系:identity relation全关系:universalralation空关系:emptyralation图解:graph坐标图:coordinate diagram关系矩阵:matrix of the relation 连矢图:arrow diagram有向图:directed graph逆关系:inverse relation转置:transpose复合:composition自反:reflexive对称的:symmetric反对称的:anti-symmetric可递的:transitive等价关系:equivalence relation半序关系:partial ordering relation 函数:function映射:mapping变换:transformation像点:image象:image自变量:independent variable因变量:dependent variable函数图象:graph of a function合成函数:composition function可逆函数:invertible function一一对应:one to one correspondence 内射:injective满射:surjective双射:bijective基数度:cardinality基数:cardinal number图论:graph theory多重图:multigraphy顶点:vertix(point,node)无序对:unordered pair边:edge相邻的adjacent端点:endpoint多重边:multiple edge环:loop子图:subgraph生成子图:generatedsubgraph平凡图:trivial graph入射:incident孤立点:isolated vertex连通性:connectivity通路:walk长度:length简单通路:chain(trail)圈:path回路:cycle连通的:connected连通分支:connected component距离:distance欧拉图:eulerian graph欧拉链路:eulerian trail哈密顿图:hamilton graph哈密顿回路:hamilton cycle货郎行程问题:traveling salesman完全图:complete graph正则图:regular graph偶图:bipartive graph树图:tree graph加权图:labeled graph同构图:isomorphic graph同构:isomorphism同胚的:homeomorphic平面图:planar graph着色问题:colortion区域:region地图:map非平面图:nonplanargraph着色图:colored graphs顶点着色:vertex coloring色散:chromatic number四色原理:four color theorem对偶地图:dual map退化树:degenerate tree生成树:spanning tree有根树:rooted tree根:root水平(深度):level(depth)叶子:leaf分支:branch有序有根树:ordered rooted tree二元运算符:binary operational symbol 半群:semigroup单位元素:identity element右(左)单位元素:right(left) identity左(右)消去律:left(right) cancellation law) 逆:inverse并列:juxtaposition有限群:finite group正规子群:normal subgroup非平凡子群:nontrivial subgroup循环群:cyclic group环:ring整环:integral domain域:field交换环:commutative ring加性环:additive group汇合:meet格:lattice有界格:bounded lattice分配格:distributeve lattice补格:complemented lattice表示定理:representation theorem。

离散数学中英⽂名词对照表离散数学中英⽂名词对照表外⽂中⽂AAbel category Abel 范畴Abel group (commutative group) Abel 群(交换群)Abel semigroup Abel 半群accessibility relation 可达关系action 作⽤addition principle 加法原理adequate set of connectives 联结词的功能完备（全）集adjacent 相邻（邻接）adjacent matrix 邻接矩阵adjugate 伴随adjunction 接合affine plane 仿射平⾯algebraic closed field 代数闭域algebraic element 代数元素algebraic extension 代数扩域（代数扩张）almost equivalent ⼏乎相等的alternating group 三次交代群annihilator 零化⼦antecedent 前件anti symmetry 反对称性anti-isomorphism 反同构arboricity 荫度arc set 弧集arity 元数arrangement problem 布置问题associate 相伴元associative algebra 结合代数associator 结合⼦asymmetric 不对称的(⾮对称的)atom 原⼦atomic formula 原⼦公式augmenting digeon hole principle 加强的鸽⼦笼原理augmenting path 可增路automorphism ⾃同构automorphism group of graph 图的⾃同构群auxiliary symbol 辅助符号axiom of choice 选择公理axiom of equality 相等公理axiom of extensionality 外延公式axiom of infinity ⽆穷公理axiom of pairs 配对公理axiom of regularity 正则公理axiom of replacement for the formula Ф关于公式Ф的替换公式axiom of the empty set 空集存在公理axiom of union 并集公理Bbalanced imcomplete block design 平衡不完全区组设计barber paradox 理发师悖论base 基Bell number Bell 数Bernoulli number Bernoulli 数Berry paradox Berry 悖论bijective 双射bi-mdule 双模binary relation ⼆元关系binary symmetric channel ⼆进制对称信道binomial coefficient ⼆项式系数binomial theorem ⼆项式定理binomial transform ⼆项式变换bipartite graph ⼆分图block 块block 块图（区组）block code 分组码block design 区组设计Bondy theorem Bondy 定理Boole algebra Boole 代数Boole function Boole 函数Boole homomorophism Boole 同态Boole lattice Boole 格bound occurrence 约束出现bound variable 约束变量bounded lattice 有界格bridge 桥Bruijn theorem Bruijn 定理Burali-Forti paradox Burali-Forti 悖论Burnside lemma Burnside 引理Ccage 笼canonical epimorphism 标准满态射Cantor conjecture Cantor 猜想Cantor diagonal method Cantor 对⾓线法Cantor paradox Cantor 悖论cardinal number 基数Cartesion product of graph 图的笛卡⼉积Catalan number Catalan 数category 范畴Cayley graph Cayley 图Cayley theorem Cayley 定理center 中⼼characteristic function 特征函数characteristic of ring 环的特征characteristic polynomial 特征多项式check digits 校验位Chinese postman problem 中国邮递员问题chromatic number ⾊数chromatic polynomial ⾊多项式circuit 回路circulant graph 循环图circumference 周长class 类classical completeness 古典完全的classical consistent 古典相容的clique 团clique number 团数closed term 闭项closure 闭包closure of graph 图的闭包code 码code element 码元code length 码长code rate 码率code word 码字coefficient 系数coimage 上象co-kernal 上核coloring 着⾊coloring problem 着⾊问题combination number 组合数combination with repetation 可重组合common factor 公因⼦commutative diagram 交换图commutative ring 交换环commutative seimgroup 交换半群complement 补图(⼦图的余) complement element 补元complemented lattice 有补格complete bipartite graph 完全⼆分图complete graph 完全图complete k-partite graph 完全k-分图complete lattice 完全格composite 复合composite operation 复合运算composition (molecular proposition) 复合（分⼦）命题composition of graph (lexicographic product)图的合成（字典积）concatenation (juxtaposition) 邻接运算concatenation graph 连通图congruence relation 同余关系conjunctive normal form 正则合取范式connected component 连通分⽀connective 连接的connectivity 连通度consequence 推论（后承）consistent (non-contradiction) 相容性（⽆⽭盾性）continuum 连续统contraction of graph 图的收缩contradiction ⽭盾式（永假式）contravariant functor 反变函⼦coproduct 上积corank 余秩correct error 纠正错误corresponding universal map 对应的通⽤映射countably infinite set 可列⽆限集（可列集）covariant functor (共变)函⼦covering 覆盖covering number 覆盖数Coxeter graph Coxeter 图crossing number of graph 图的叉数cuset 陪集cotree 余树cut edge 割边cut vertex 割点cycle 圈cycle basis 圈基cycle matrix 圈矩阵cycle rank 圈秩cycle space 圈空间cycle vector 圈向量cyclic group 循环群cyclic index 循环（轮转）指标cyclic monoid 循环单元半群cyclic permutation 圆圈排列cyclic semigroup 循环半群DDe Morgan law De Morgan 律decision procedure 判决过程decoding table 译码表deduction theorem 演绎定理degree 次数,次(度)degree sequence 次(度)序列derivation algebra 微分代数Descartes product Descartes 积designated truth value 特指真值detect errer 检验错误deterministic 确定的diagonal functor 对⾓线函⼦diameter 直径digraph 有向图dilemma ⼆难推理direct consequence 直接推论（直接后承）direct limit 正向极限direct sum 直和directed by inclution 被包含关系定向discrete Fourier transform 离散 Fourier 变换disjunctive normal form 正则析取范式disjunctive syllogism 选⾔三段论distance 距离distance transitive graph 距离传递图distinguished element 特异元distributive lattice 分配格divisibility 整除division subring ⼦除环divison ring 除环divisor (factor) 因⼦domain 定义域Driac condition Dirac 条件dual category 对偶范畴dual form 对偶式dual graph 对偶图dual principle 对偶原则(对偶原理) dual statement 对偶命题dummy variable 哑变量（哑变元）Eeccentricity 离⼼率edge chromatic number 边⾊数edge coloring 边着⾊edge connectivity 边连通度edge covering 边覆盖edge covering number 边覆盖数edge cut 边割集edge set 边集edge-independence number 边独⽴数eigenvalue of graph 图的特征值elementary divisor ideal 初等因⼦理想elementary product 初等积elementary sum 初等和empty graph 空图empty relation 空关系empty set 空集endomorphism ⾃同态endpoint 端点enumeration function 计数函数epimorphism 满态射equipotent 等势equivalent category 等价范畴equivalent class 等价类equivalent matrix 等价矩阵equivalent object 等价对象equivalent relation 等价关系error function 错误函数error pattern 错误模式Euclid algorithm 欧⼏⾥德算法Euclid domain 欧⽒整环Euler characteristic Euler 特征Euler function Euler 函数Euler graph Euler 图Euler number Euler 数Euler polyhedron formula Euler 多⾯体公式Euler tour Euler 闭迹Euler trail Euler 迹existential generalization 存在推⼴规则existential quantifier 存在量词existential specification 存在特指规则extended Fibonacci number ⼴义 Fibonacci 数extended Lucas number ⼴义Lucas 数extension 扩充（扩张）extension field 扩域extension graph 扩图exterior algebra 外代数Fface ⾯factor 因⼦factorable 可因⼦化的factorization 因⼦分解faithful (full) functor 忠实（完满）函⼦Ferrers graph Ferrers 图Fibonacci number Fibonacci 数field 域filter 滤⼦finite extension 有限扩域finite field (Galois field ) 有限域（Galois 域）finite dimensional associative division algebra有限维结合可除代数finite set 有限（穷）集finitely generated module 有限⽣成模first order theory with equality 带符号的⼀阶系统five-color theorem 五⾊定理five-time-repetition 五倍重复码fixed point 不动点forest 森林forgetful functor 忘却函⼦four-color theorem(conjecture) 四⾊定理（猜想）F-reduced product F-归纳积free element ⾃由元free monoid ⾃由单元半群free occurrence ⾃由出现free R-module ⾃由R-模free variable ⾃由变元free-?-algebra ⾃由?代数function scheme 映射格式GGalileo paradox Galileo 悖论Gauss coefficient Gauss 系数GBN (G?del-Bernays-von Neumann system)GBN系统generalized petersen graph ⼴义 petersen 图generating function ⽣成函数generating procedure ⽣成过程generator ⽣成⼦（⽣成元）generator matrix ⽣成矩阵genus 亏格girth （腰）围长G?del completeness theorem G?del 完全性定理golden section number 黄⾦分割数（黄⾦分割率）graceful graph 优美图graceful tree conjecture 优美树猜想graph 图graph of first class for edge coloring 第⼀类边⾊图graph of second class for edge coloring 第⼆类边⾊图graph rank 图秩graph sequence 图序列greatest common factor 最⼤公因⼦greatest element 最⼤元（素）Grelling paradox Grelling 悖论Gr?tzsch graph Gr?tzsch 图group 群group code 群码group of graph 图的群HHajós conjecture Hajós 猜想Hamilton cycle Hamilton 圈Hamilton graph Hamilton 图Hamilton path Hamilton 路Harary graph Harary 图Hasse graph Hasse 图Heawood graph Heawood 图Herschel graph Herschel 图hom functor hom 函⼦homemorphism 图的同胚homomorphism 同态（同态映射）homomorphism of graph 图的同态hyperoctahedron 超⼋⾯体图hypothelical syllogism 假⾔三段论hypothese (premise) 假设(前提)Iideal 理想identity 单位元identity natural transformation 恒等⾃然变换imbedding 嵌⼊immediate predcessor 直接先⾏immediate successor 直接后继incident 关联incident axiom 关联公理incident matrix 关联矩阵inclusion and exclusion principle 包含与排斥原理inclusion relation 包含关系indegree ⼊次（⼊度）independent 独⽴的independent number 独⽴数independent set 独⽴集independent transcendental element 独⽴超越元素index 指数individual variable 个体变元induced subgraph 导出⼦图infinite extension ⽆限扩域infinite group ⽆限群infinite set ⽆限（穷）集initial endpoint 始端initial object 初始对象injection 单射injection functor 单射函⼦injective (one to one mapping) 单射（内射）inner face 内⾯inner neighbour set 内（⼊）邻集integral domain 整环integral subdomain ⼦整环internal direct sum 内直和intersection 交集intersection of graph 图的交intersection operation 交运算interval 区间invariant factor 不变因⼦invariant factor ideal 不变因⼦理想inverse limit 逆向极限inverse morphism 逆态射inverse natural transformation 逆⾃然变换inverse operation 逆运算inverse relation 逆关系inversion 反演isomorphic category 同构范畴isomorphism 同构态射isomorphism of graph 图的同构join of graph 图的联JJordan algebra Jordan 代数Jordan product (anti-commutator) Jordan乘积（反交换⼦）Jordan sieve formula Jordan 筛法公式j-skew j-斜元juxtaposition 邻接乘法Kk-chromatic graph k-⾊图k-connected graph k-连通图k-critical graph k-⾊临界图k-edge chromatic graph k-边⾊图k-edge-connected graph k-边连通图k-edge-critical graph k-边临界图kernel 核Kirkman schoolgirl problem Kirkman ⼥⽣问题Kuratowski theorem Kuratowski 定理Llabeled graph 有标号图Lah number Lah 数Latin rectangle Latin 矩形Latin square Latin ⽅lattice 格lattice homomorphism 格同态law 规律leader cuset 陪集头least element 最⼩元least upper bound 上确界（最⼩上界）left (right) identity 左（右）单位元left (right) invertible element 左（右）可逆元left (right) module 左（右）模left (right) zero 左（右）零元left (right) zero divisor 左（右）零因⼦left adjoint functor 左伴随函⼦left cancellable 左可消的left coset 左陪集length 长度Lie algebra Lie 代数line- group 图的线群logically equivanlent 逻辑等价logically implies 逻辑蕴涵logically valid 逻辑有效的（普效的）loop 环Lucas number Lucas 数Mmagic 幻⽅many valued proposition logic 多值命题逻辑matching 匹配mathematical structure 数学结构matrix representation 矩阵表⽰maximal element 极⼤元maximal ideal 极⼤理想maximal outerplanar graph 极⼤外平⾯图maximal planar graph 极⼤平⾯图maximum matching 最⼤匹配maxterm 极⼤项（基本析取式）maxterm normal form(conjunctive normal form) 极⼤项范式（合取范式）McGee graph McGee 图meet 交Menger theorem Menger 定理Meredith graph Meredith 图message word 信息字mini term 极⼩项minimal κ-connected graph 极⼩κ-连通图minimal polynomial 极⼩多项式Minimanoff paradox Minimanoff 悖论minimum distance 最⼩距离Minkowski sum Minkowski 和minterm (fundamental conjunctive form) 极⼩项（基本合取式）minterm normal form(disjunctive normal form)极⼩项范式（析取范式）M?bius function M?bius 函数M?bius ladder M?bius 梯M?bius transform (inversion) M?bius 变换（反演）modal logic 模态逻辑model 模型module homomorphism 模同态(R-同态)modus ponens 分离规则modus tollens 否定后件式module isomorphism 模同构monic morphism 单同态monoid 单元半群monomorphism 单态射morphism (arrow) 态射（箭）M?bius function M?bius 函数M?bius ladder M?bius 梯M?bius transform (inversion) M?bius 变换（反演）multigraph 多重图multinomial coefficient 多项式系数multinomial expansion theorem 多项式展开定理multiple-error-correcting code 纠多错码multiplication principle 乘法原理mutually orthogonal Latin square 相互正交拉丁⽅Nn-ary operation n-元运算n-ary product n-元积natural deduction system ⾃然推理系统natural isomorphism ⾃然同构natural transformation ⾃然变换neighbour set 邻集next state 下⼀个状态next state transition function 状态转移函数non-associative algebra ⾮结合代数non-standard logic ⾮标准逻辑Norlund formula Norlund 公式normal form 正规形normal model 标准模型normal subgroup (invariant subgroup) 正规⼦群（不变⼦群）n-relation n-元关系null object 零对象nullary operation 零元运算Oobject 对象orbit 轨道order 阶order ideal 阶理想Ore condition Ore 条件orientation 定向orthogonal Latin square 正交拉丁⽅orthogonal layout 正交表outarc 出弧outdegree 出次(出度)outer face 外⾯outer neighbour 外（出）邻集outerneighbour set 出(外)邻集outerplanar graph 外平⾯图Ppancycle graph 泛圈图parallelism 平⾏parallelism class 平⾏类parity-check code 奇偶校验码parity-check equation 奇偶校验⽅程parity-check machine 奇偶校验器parity-check matrix 奇偶校验矩阵partial function 偏函数partial ordering (partial relation) 偏序关系partial order relation 偏序关系partial order set (poset) 偏序集partition 划分,分划,分拆partition number of integer 整数的分拆数partition number of set 集合的划分数Pascal formula Pascal 公式path 路perfect code 完全码perfect t-error-correcting code 完全纠-错码perfect graph 完美图permutation 排列（置换）permutation group 置换群permutation with repetation 可重排列Petersen graph Petersen 图p-graph p-图Pierce arrow Pierce 箭pigeonhole principle 鸽⼦笼原理planar graph （可）平⾯图plane graph 平⾯图Pólya theorem Pólya 定理polynomail 多项式polynomial code 多项式码polynomial representation 多项式表⽰法polynomial ring 多项式环possible world 可能世界power functor 幂函⼦power of graph 图的幂power set 幂集predicate 谓词prenex normal form 前束范式pre-ordered set 拟序集primary cycle module 准素循环模prime field 素域prime to each other 互素primitive connective 初始联结词primitive element 本原元primitive polynomial 本原多项式principal ideal 主理想principal ideal domain 主理想整环principal of duality 对偶原理principal of redundancy 冗余性原则product 积product category 积范畴product-sum form 积和式proof (deduction) 证明（演绎）proper coloring 正常着⾊proper factor 真正因⼦proper filter 真滤⼦proper subgroup 真⼦群properly inclusive relation 真包含关系proposition 命题propositional constant 命题常量propositional formula(well-formed formula,wff)命题形式（合式公式）propositional function 命题函数propositional variable 命题变量pullback 拉回(回拖) pushout 推出Qquantification theory 量词理论quantifier 量词quasi order relation 拟序关系quaternion 四元数quotient (difference) algebra 商（差）代数quotient algebra 商代数quotient field (field of fraction) 商域（分式域）quotient group 商群quotient module 商模quotient ring (difference ring , residue ring) 商环（差环，同余类环）quotient set 商集RRamsey graph Ramsey 图Ramsey number Ramsey 数Ramsey theorem Ramsey 定理range 值域rank 秩reconstruction conjecture 重构猜想redundant digits 冗余位reflexive ⾃反的regular graph 正则图regular representation 正则表⽰relation matrix 关系矩阵replacement theorem 替换定理representation 表⽰representation functor 可表⽰函⼦restricted proposition form 受限命题形式restriction 限制retraction 收缩Richard paradox Richard 悖论right adjoint functor 右伴随函⼦right cancellable 右可消的right factor 右因⼦right zero divison 右零因⼦ring 环ring of endomorphism ⾃同态环ring with unity element 有单元的环R-linear independence R-线性⽆关root field 根域rule of inference 推理规则Russell paradox Russell 悖论Ssatisfiable 可满⾜的saturated 饱和的scope 辖域section 截⼝self-complement graph ⾃补图semantical completeness 语义完全的（弱完全的）semantical consistent 语义相容semigroup 半群separable element 可分元separable extension 可分扩域sequent ⽮列式sequential 序列的Sheffer stroke Sheffer 竖（谢弗竖）simple algebraic extension 单代数扩域simple extension 单扩域simple graph 简单图simple proposition (atomic proposition) 简单（原⼦）命题simple transcental extension 单超越扩域simplication 简化规则slope 斜率small category ⼩范畴smallest element 最⼩元（素）Socrates argument Socrates 论断（苏格拉底论断）soundness (validity) theorem 可靠性（有效性）定理spanning subgraph ⽣成⼦图spanning tree ⽣成树spectra of graph 图的谱spetral radius 谱半径splitting field 分裂域standard model 标准模型standard monomil 标准单项式Steiner triple Steiner 三元系⼤集Stirling number Stirling 数Stirling transform Stirling 变换subalgebra ⼦代数subcategory ⼦范畴subdirect product ⼦直积subdivison of graph 图的细分subfield ⼦域subformula ⼦公式subdivision of graph 图的细分subgraph ⼦图subgroup ⼦群sub-module ⼦模subrelation ⼦关系subring ⼦环sub-semigroup ⼦半群subset ⼦集substitution theorem 代⼊定理substraction 差集substraction operation 差运算succedent 后件surjection (surjective) 满射switching-network 开关⽹络Sylvester formula Sylvester公式symmetric 对称的symmetric difference 对称差symmetric graph 对称图symmetric group 对称群syndrome 校验⼦syntactical completeness 语法完全的（强完全的）Syntactical consistent 语法相容system ?3 , ?n , ??0 , ??系统?3 , ?n , ??0 , ??system L 公理系统 Lsystem ?公理系统?system L1 公理系统 L1system L2 公理系统 L2system L3 公理系统 L3system L4 公理系统 L4system L5 公理系统 L5system L6 公理系统 L6system ?n 公理系统?nsystem of modal prepositional logic 模态命题逻辑系统system Pm 系统 Pmsystem S1 公理系统 S1system T (system M) 公理系统 T(系统M)Ttautology 重⾔式（永真公式）technique of truth table 真值表技术term 项terminal endpoint 终端terminal object 终结对象t-error-correcing BCH code 纠 t -错BCH码theorem (provable formal) 定理（可证公式）thickess 厚度timed sequence 时间序列torsion 扭元torsion module 扭模total chromatic number 全⾊数total chromatic number conjecture 全⾊数猜想total coloring 全着⾊total graph 全图total matrix ring 全⽅阵环total order set 全序集total permutation 全排列total relation 全关系tournament 竞赛图trace (trail) 迹tranformation group 变换群transcendental element 超越元素transitive 传递的tranverse design 横截设计traveling saleman problem 旅⾏商问题tree 树triple system 三元系triple-repetition code 三倍重复码trivial graph 平凡图trivial subgroup 平凡⼦群true in an interpretation 解释真truth table 真值表truth value function 真值函数Turán graph Turán 图Turán theorem Turán 定理Tutte graph Tutte 图Tutte theorem Tutte 定理Tutte-coxeter graph Tutte-coxeter 图UUlam conjecture Ulam 猜想ultrafilter 超滤⼦ultrapower 超幂ultraproduct 超积unary operation ⼀元运算unary relation ⼀元关系underlying graph 基础图undesignated truth value ⾮特指值undirected graph ⽆向图union 并(并集)union of graph 图的并union operation 并运算unique factorization 唯⼀分解unique factorization domain (Gauss domain) 唯⼀分解整域unique k-colorable graph 唯⼀k着⾊unit ideal 单位理想unity element 单元universal 全集universal algebra 泛代数（Ω代数）universal closure 全称闭包universal construction 通⽤结构universal enveloping algebra 通⽤包络代数universal generalization 全称推⼴规则universal quantifier 全称量词universal specification 全称特指规则universal upper bound 泛上界unlabeled graph ⽆标号图untorsion ⽆扭模upper (lower) bound 上（下）界useful equivalent 常⽤等值式useless code 废码字Vvalence 价valuation 赋值Vandermonde formula Vandermonde 公式variery 簇Venn graph Venn 图vertex cover 点覆盖vertex set 点割集vertex transitive graph 点传递图Vizing theorem Vizing 定理Wwalk 通道weakly antisymmetric 弱反对称的weight 重（权）weighted form for Burnside lemma 带权形式的Burnside引理well-formed formula (wff) 合式公式(wff) word 字Zzero divison 零因⼦zero element (universal lower bound) 零元（泛下界）ZFC (Zermelo-Fraenkel-Cohen) system ZFC系统form)normal(Skolemformnormalprenex-存在正则前束范式(Skolem 正则范式)3-value proposition logic 三值命题逻辑。

离散数学知识点及其应用1. 集合论- 集合的定义和运算：集合是由一些确定的不同对象组成的整体，集合之间可以进行交、并、差等运算。

集合的定义和运算：集合是由一些确定的不同对象组成的整体，集合之间可以进行交、并、差等运算。

- 集合关系：包括包含关系（子集）、相等关系和互斥关系。

集合关系：包括包含关系（子集）、相等关系和互斥关系。

- 数学归纳法：是一种用于证明关于自然数的性质的重要方法，包括强归纳法和弱归纳法。

数学归纳法：是一种用于证明关于自然数的性质的重要方法，包括强归纳法和弱归纳法。

- 二元关系：描述两个对象之间的关联关系，包括等价关系、偏序关系和关系的复合与逆。

二元关系：描述两个对象之间的关联关系，包括等价关系、偏序关系和关系的复合与逆。

2. 图论- 图的基本概念：包括图的定义、顶点、边、路径、回路等概念。

图的基本概念：包括图的定义、顶点、边、路径、回路等概念。

- 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。

图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。

- 图的遍历算法：深度优先搜索和广度优先搜索。

图的遍历算法：深度优先搜索和广度优先搜索。

- 最短路径算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

最短路径算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

- 最小生成树算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

最小生成树算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

3. 布尔代数- 基本运算：包括与、或、非等基本逻辑运算。

基本运算：包括与、或、非等基本逻辑运算。

- 逻辑表达式：利用逻辑运算符表达逻辑关系。

逻辑表达式：利用逻辑运算符表达逻辑关系。

- 逻辑电路：基于布尔代数原理设计的逻辑电路，如与门、或门、非门等。

逻辑电路：基于布尔代数原理设计的逻辑电路，如与门、或门、非门等。

- Karnaugh图：用于简化逻辑表达式的图形方法。

Karnaugh 图：用于简化逻辑表达式的图形方法。

4. 组合数学- 排列和组合：用于计数给定集合的排列和组合的方法。

排列和组合：用于计数给定集合的排列和组合的方法。

离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。

下面将对离散数学中的一些重要知识点进行整理。

一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。

集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

集合的表示方法有列举法和描述法。

例如，｛1, 2, 3} 是列举法表示的集合，｛x ｜ x 是小于 5 的正整数} 是描述法表示的集合。

集合的运算包括并集、交集、差集和补集。

并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合；补集是在给定的全集范围内，一个集合的补集是由全集中不属于该集合的元素组成的集合。

集合之间的关系有包含、相等、真包含等。

如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，则称集合 A 包含于集合 B 或集合 B 包含集合 A；如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，则称集合 A 等于集合 B；如果集合 A 包含于集合 B 且集合 A 不等于集合 B，则称集合 A 真包含于集合 B。

二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。

关系可以用集合来表示。

例如，在集合｛1, 2, 3} 上定义的“小于”关系可以表示为｛（1, 2)，（1, 3)，（2, 3)｝。

关系的性质包括自反性、对称性、反对称性和传递性。

自反性是指对于集合中的每个元素，它与自身都有关系；对称性是指如果一个元素与另一个元素有关系，那么另一个元素与这个元素也有关系；反对称性是指如果一个元素与另一个元素有关系，且另一个元素与这个元素也有关系，那么这两个元素相同；传递性是指如果一个元素与另一个元素有关系，另一个元素与第三个元素有关系，那么第一个元素与第三个元素也有关系。

关系的运算有合成、逆关系等。

关系的合成是指两个关系经过一定的规则组合成一个新的关系；逆关系是将原关系中的元素对顺序颠倒得到的关系。

三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。

根据离散数学知识点归纳总结(精华版)离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散结构及其相应的理论。

它在计算机科学、信息论、密码学等领域有着广泛的应用。

本文将对离散数学的若干知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解离散数学的核心概念和应用。

集合论集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质、操作和关系。

在集合论中，我们常用的符号有∈表示属于、∪表示并集、∩表示交集等。

集合论中的重要概念包括子集、空集、幂集等。

逻辑与命题逻辑是一门研究推理和论证的学科，它在离散数学中起着重要作用。

逻辑符号包括与、或、非等。

命题是逻辑的基本单位，它可以是真值为真或假的陈述句。

在逻辑中，我们还会遇到蕴含、等价、逆否等概念。

关系与函数关系是研究元素之间的联系的数学概念。

在离散数学中，我们经常会遇到等价关系、偏序关系等。

函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合。

函数在计算机科学中具有广泛的应用，如编程语言中的函数。

图论图论是离散数学中的重要分支，它研究图的性质和应用。

图由顶点和边组成，可以分为有向图和无向图。

图的相关概念有路径、连通性、最短路径等。

图论在网络分析、路由算法等领域有广泛的应用。

组合数学组合数学是离散数学的一个分支，研究离散对象的排列组合方式。

在组合数学中，我们常用的概念有排列、组合、二项式系数等。

组合数学在密码学、编码理论等领域有着重要的应用。

以上是根据离散数学的若干知识点进行的归纳总结，希望能够对读者加深对离散数学的理解，并为进一步学习和应用离散数学提供帮助。

如需深入了解每个知识点的具体内容，建议查阅相关教材和参考资料。

离散数学名词解释
离散数学是一门研究离散结构及其相应的逻辑和算法的数学分支。

以下是几个离散数学中常用的名词解释：
1. 集合论：研究集合及其运算规则的理论，包括集合的并、交、差等操作。

2. 图论：研究图及其应用的理论，图由顶点和边组成，研究图中的路径、连通性和图的着色等问题。

3. 逻辑：研究推理和论证的规则和原则，包括命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑等。

4. 组合数学：研究离散对象的组合方式和计数方法的数学分支，常用于解决排列、组合、图的计数等问题。

5. 代数系统：研究具有特定运算规则的数学结构，如群、环、域等代数结构。

6. 排列组合：研究对象的排列和选择方式的数学方法，包括排列、组合、二项式系数等。

7. 图论中的树：一种无环连通图，其任意两个顶点间只存在唯一路径。

8. 关系：集合之间的对应关系，研究元素之间的相互关系、等价关系和偏序关系等。

9. 图的着色：为图的顶点或边分配标记，使相邻顶点或边不具有相同的标记。

10. 递归：通过将问题分解为一个或多个类似的子问题，并根据基本情况进行解决的数学和计算方法。

这些名词在离散数学中具有重要意义，被广泛应用于计算机科学、信息科学和工程等领域。

离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例1 The Foundations: Logic and Proofs（逻辑与证明）1.1 Propositional Logic（命题逻辑）Propositions（命题）——declarative sentence that is either true or false, but not both.判断性语句，正确性唯一。

Truth Table（真值表）Conjunction（合取，“与”，and），Disjunction（析取，or，“相容或”），Exclusive（异或），Negation（非，not），Biconditional（双条件，双向，if and only if）Translating English Sentences1.2 Propositional Equivalences（命题等价）Tautology（永真式、重言式），Contradiction（永假式、矛盾式），Contingency（偶然式）Logical Equivalences（逻辑等价）——Compound propositions that have the same truth values in all possible cases are called logical equivalent.（真值表相同的式子，p<->q是重言式）Logical Equivalences——Page24Disjunctive normal form(DNF，析取范式)Conjunctive normal form(CNF，合取范式) 见Page27～291.3 Predicates and Quantifiers（谓词和量词）Predicates——谓词，说明关系、特征的修饰词Quantifiers——量词Ø Universal Quantifier(全称量词) "全部满足Ø Existential Quantifier(存在量词) $至少有一个Binding Variables(变量绑定，量词作用域与重名的问题)Logical Equivalence Involving QuantifiersNegating Quantified Expressions(量词否定表达：否定全称=存在否定，否定存在=全程否定) Translating from English into Logical Expressions(自然语句转化为逻辑表达)Using Quantifiers in System SpecificationsExamples from Lewis Carrol——全称量词与条件式(p->q)搭配，存在量词与合取式搭配。

本科毕业设计(论文)外文翻译译文学生姓名: 韩迎飞院 (系): 理学院专业班级: 信息0901班指导教师: 刘晓莉完成日期: 2013 年 3月20 日离散数学及其应用Discrete Mathematics and Its Applications作者: Kenneth H.Rosen起止页码:115-122, 641-758出版日期(期刊号):2008.3.1出版单位:机械工业出版社2 基本结构:集合介绍在本节中, 我们研究离散结构的基础, 即集合. 集合是用在一起的组的对象. 一般情况下, 是一组有相似的性质对象. 例如所有的学生; 在学校招收的学生组成一组. 在离散数学中, 同样的, 在任何学校所有的学生学习课程也可以组成一组, 形成一个集合. 语言是一种方式, 集合是在一个有组织的方式上进行研究的. 现在给一个直观的定义, 它不属于正式集合论.定义1一个无序的一组对象定义为集合A, 其中的对象称为元素或集合的成员. 用aA 表示a是集合A当中的元素.用 aA表示元素a不是集合A当中的元素. 集合一般是使用大写字母来表示. 小写字母通常用来表示集合的元素.下面有几种方法来描述集合.第一种方法列举法: 可以列出所有的集合成员, 当然前提是这些元素都是可列的. 我们用一个符号, 将所有的成员都列在大括号之间就构成集合. 例如符号 a, b, c, d 代表四种元素的集合. 这种方式描述一组被称为列举法.例1 元音字母在英文字母可以写成集合V a, e, i, o, u .例2 正整数集合O小于10的奇数集合可以表示为O 1, 3, 5, 7, 9 .例3 虽然集合元素通常是一组有相似性质的对象, 但有时候也可以是一组看似无关的元素. 例如a, 2, 弗雷德,新泽西是一组包含四元素a, 2, 弗雷德和新泽西.有时列举法用于描述所有没有清单的一组成员. 例如一些成员已经列出的集合, 然后省略号……. 用在通用模式的元素是显而易见的.例4 一组小于100的正整数可以用 1, 2, 3,……, 99 .另一种方法是一组使用集合构造符号的描述. 例如正整数集合O小于10的奇数集合可以表示为O x | x是一个小于10的奇数 ; 或O xZ + | x 是奇数和x 10 . 当它是不可列出的元素集合时, 我们经常使用这种类型的符号来描述集合. 例如, 集合Q +有理数可以写成Q+ x∈R | x p / q, 对于一些正整数p和q .这些集合, 每个使用黑体字表示字母,在离散数学扮演重要的角色:N 0, 1, 2, 3,……,自然数集合;Z ……,?2, - 1, 0, 1, 2,……,整数的集合;Z + 1, 2, 3,……, 正整数集合;Q p / q | p, qZ ,q≠0 , 有理数集合;R, 实数集合;R +, 正实数集合;C, 复数集合.注意, 有些人并不认为0一个自然数, 使用自然数时候要小心.当a和b是实数并且a b, 我们写成:[a, b] x |a≤x≤b[a, b x |a≤x ba, b x | a x≤ba, b x | a x b注意: [a, b]称为从a到b的闭区间; a, b称为从a到b的开区间. 集合可以有其它集合作为其元素, 如例5所示.例 5 集合 N, Z, Q, R 是一组包含四个元素, 都是集合. 这四个元素的集合是: 自然数的集合N; 整数集合Z; 有理数集合Q和实数集合R.定义2 两个集合相等当且仅当它们具有相同的元素. 因此, 如果A和B 是两个集合, 它们相等, 当且仅当xxA?xB,我们写A B 如果A和B是相等的集.例6 集 1, 3, 5 和 3, 5, 1 都是相等的, 因为他们有相同的元素.注意, 集合与元素列出的顺序没关系. 还请注意, 如果有集合的一个元素出现超过一次, 如 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5 和集合 1, 3, 5 , 它们是一样的集合, 因为它们有相同的元素. 空集是一个特别的集合, 没有元素. 用?表示. 空集也可以用即我们用一对大括号表示空集. 一个常见的错误是混淆空集?和集?. 集?这是一个单例集. 单一元素的集合?是空集本身. 用一个类比来记住这个区别: 在计算机文件夹里.空集可以被认为是一个空的文件夹, 单例集可以被认为是一个文件夹里面正好有一个空的文件夹.维恩图另外,可以使用维恩图以图形方式表示集合. 在1881年, 维恩图以英国数学家John Venn命名的, 其中介绍了维恩图的使用. 在维恩图的通用集U中, 包含所有的对象, 一般用一个矩形来表示.矩形、圆形或其他几何图形也被用来代表集合. 维恩图通常用于表示集合之间的关系. 如例7展示的就是一个维恩图.例7 画一维恩图用V表示,在英文字母中集合用元音字母.解决方案:我们绘制一个矩形来表示通用集U, 这是组26个英文字母. 在这个矩形我们画一个圆代表V. 在这个圈子, 我们指示V点元素见图1.图1维恩图元音集合.子集定义3 一个集合A是另一个集合B的子集;当且仅当A的每个元素也是B 的元素. 我们使用符号AB表示B集合的子集A. 当AB时,有对于xxA→xB是正确的. 若A不是B的子集, 我们只需要找到一个元素xA与xB这样的一个x, 举出一个反例来.我们有这样一个有用的规则可以决定是否有一个集合是另一个集合的子集.例8 集合的正整数奇数不到10是正整数小于10的集合的一个子集. 有理数集合是的实数集合的一个子集, 在你学校的所有的计算机科学专业学生集合是在你的学校所有的学生集合的一个子集.图2 维恩图显示, 集合A是集合B的子集.定理1证明每个非空集S能保证至少有两个子集, 空集和其本身, 即?和S.定理1 对于任意一个非空集合S, i?S 和 iiSS现在有A ?,a, b , a, b 和b x | x是集合 a, b 的子集. 请注意, 这两个集合相等, 即A B. 还要注意, aA但aA.幂集合一些问题当考虑一些集合元素有一些特定的性质时候, 就可以知道得到一个含有它的子集的集合.定义6 给定一个集合S, S的幂集是S的子集的集合S所组成的集合. 用PS.例14 什么是集合 0, 1, 2 的幂集?解幂集P 0, 1, 2 是集 0, 1, 2的子集的元素集合组成的. 因此, P 0, 1, 2 ?, 0 , 1 , 2 , 0,1 , 0,2 、 1,2 , 0、1、2 . 注意, 空集和集合本身是这个集合子集的成员.例15 什么是空集的幂集吗?什么是集合?幂集解空集是空集的子集,即空集的子集是其本身. 因此,P? ?. 集合?正好有两个子集, 即?和集合?, 也就是它本身. 因此, P? ?, ? . 如果有n个元素组成的集合, 那么它的幂集有个元素. 在后续部分的文章当中,将从好几个方面展示这个事实.10 图10.1 图和图形我们首先定义一个图.定义1 设V和E是两个有限非空集合, V中的元素叫做节点(或顶点), E 中的元素叫做边, 且E中的每一条边恰好与V中的两个节点相对应, 就称G V, E是一个图. 边是连接着它的顶点的注意: 顶点集合V在图G上可能是无限的.一个图有无限的顶点的或无限数量的边, 这样的图被称为无限图. 相比之下, 一个图的顶点集与有限边的集合构成的图称为有限图. 在这本书中我们一般研究有限图.定义2 有向图V, E由一个非空的顶点集合V和一组定向边或弧集合E, 每个有向边都关联一个有序对顶点. 有向边关联有序端点u, v, 也就是说当描述一个有向图和无向图时, 一般使用一个箭头从u →v指示方向表示有向图, 从u 开始到v的结束. 一个有向图可能包含多重边, 也它可能包含多个定向边. 也就是说, 当一个有向图包含一个边, 它还可能包含一个或多个边. 这里可以获得一个有向图一般只要给一个无向图指定一个方向就可以成为一个有向图如果一个图没有自环, 并且每两个顶点之间最多只有一条边, 这样的图称为简单图.,我们称u, v为边.10.2 图的术语和特殊类型的图介绍基本术语首先, 我们给一些术语, 描述顶点和边的无向图.定义1 在无向图中, 若边e与节点a, b对应, 则称e与节点a关联, 同样, e与b关联. 若节点a和b之间有边连接, 则称节点a与b相邻, 否则不相邻. 若两条边关联一个共同的节点, 则称这两个边相邻, 否则, 若两条边不同时与任何一个节点关联, 则称这两个边不相邻定义 3 一个无向图的一个顶点的度,一般一个重边在一个顶点的度的贡献两次, 这里v顶点的度用degv表示.例1 在G和H图中各个顶点的度是多少?解在G图中, dega 2, degbdegcdegf 4, degd 1, dege 3, degg 0. 在H图中, dega 4, degbdege 6, degc 1, degd 5图1 一个顶点的度为零称为孤立点. 由此可见, 一个孤立的顶点是不相邻于任何顶点. 图G 中的顶点g在图1中就是孤立的. 若顶点是悬挂点, 当且仅当它有一个度. 因此,一个悬挂点只有一条边与它关联. 图H的顶点c在图1中就是悬挂点. 在检查顶点的度的时候, 一个模型图可以很直观地提供有用的信息.定理1 现有G V,E是一个无向图与m条边. 然后可以得到.注意,即使多个重边这里也存在这样的关系.例3 在一个有十个顶点, 每个顶点的度为6的图中有多少边呢?解因为6个顶点的度之和是6 * 10 60, 而2 m 60, m是边数. 因此, m 30 有这个例题和定理1, 可以给出定理2。

离散数学的基本概念与应用离散数学是数学的一个分支，它研究离散的数值和结构，与连续数学相对。

离散数学的基本概念和应用广泛存在于计算机科学、信息技术、密码学等领域。

本文将介绍离散数学的基本概念和其在现实世界中的应用。

一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合和集合之间的关系。

在集合论中，基本的概念有元素、集合、子集、交集、并集等。

例如，一个班级中的学生可以看作是一个集合，每个学生是一个元素。

而男生和女生可以分别看作是学生集合的子集。

集合论在编程、数据库设计等领域有广泛的应用。

二、逻辑与命题逻辑是研究推理和证明的学科。

在离散数学中，逻辑的应用非常重要。

其中，命题是逻辑中的基本概念，它是可以判断真假的陈述。

命题可以通过与、或、非等逻辑运算符进行组合，形成复合命题。

逻辑在电路设计、软件开发等领域起着重要的作用。

三、图论图论研究的是由节点和边构成的图形结构。

图形中的节点可以是任意对象，边表示节点之间的关系。

图论的基本概念包括图、路径、连通性等。

例如，在社交网络中，每个人可以看作是一个节点，人与人之间的关系可以用边表示。

图论在网络分析、交通规划等方面有着广泛的应用。

四、组合数学组合数学研究的是离散对象的排列和组合。

它涉及到的概念有排列、组合、二项式系数等。

在密码学中，组合数学被广泛应用于生成密钥、实现加密算法等方面。

此外，组合数学还在网络优化、统计学等领域中有重要的应用。

五、概率论与统计学概率论与统计学是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是事件发生的可能性和事件之间的关系。

概率论是计算和描述随机事件的学科，统计学是通过样本数据对总体进行推断和决策的学科。

概率论和统计学在金融风险评估、医学研究等领域发挥着关键作用。

六、离散数学的应用举例离散数学在现实世界中有广泛的应用。

以计算机科学为例，离散数学的概念和方法被应用于算法设计、数据库管理、图像处理、人工智能等方面。

另外，在通信和网络领域，离散数学被用于设计和分析网络协议、编码和解码等。

离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例1 The Foundations: Logic and Proofs（逻辑与证明）1.1 Propositional Logic（命题逻辑）Propositions（命题）——declarative sentence that is either true or false, but not both.判断性语句，正确性唯一。

Truth Table（真值表）Conjunction（合取，“与”，and），Disjunction（析取，or，“相容或”），Exclusive（异或），Negation（非，not），Biconditional（双条件，双向，if and only if）Translating English Sentences1.2 Propositional Equivalences（命题等价）Tautology（永真式、重言式），Contradiction（永假式、矛盾式），Contingency（偶然式）Logical Equivalences（逻辑等价）——Compound propositions that have the same truth values in all possible cases are called logical equivalent.（真值表相同的式子，p<->q是重言式）Logical Equivalences——Page24Disjunctive normal form(DNF，析取范式)Conjunctive normal form(CNF，合取范式) 见Page27～291.3 Predicates and Quantifiers（谓词和量词）Predicates——谓词，说明关系、特征的修饰词Quantifiers——量词Ø Universal Quantifier(全称量词) "全部满足Ø Existential Quantifier(存在量词) $至少有一个Binding Variables(变量绑定，量词作用域与重名的问题)Logical Equivalence Involving QuantifiersNegating Quantified Expressions(量词否定表达：否定全称=存在否定，否定存在=全程否定) Translating from English into Logical Expressions(自然语句转化为逻辑表达)Using Quantifiers in System SpecificationsExamples from Lewis Carrol——全称量词与条件式(p->q)搭配，存在量词与合取式搭配。

离散数学体的名词解释离散数学是一门研究离散对象及其结构、性质和关系的数学学科。

它主要研究不连续、分离的数学结构，与连续数学形成鲜明对比。

离散数学的研究对象包括了整数、图论、集合、排列组合等。

本文将以简明扼要的方式解释离散数学体的一些重要名词。

1. 集合论集合论是离散数学领域中的基础，它研究的是集合的性质、运算和关系。

集合定义了不同元素之间的联系，并通过交集、并集等操作实现数学思维的抽象化。

例如，一个由整数构成的集合可以表示为{1, 2, 3, ...}，其中的元素不重复且没有顺序。

2. 图论图论是研究图及其应用的数学分支。

图由节点和边构成，节点代表对象，边表示节点之间的连接。

图论研究的问题包括路径搜索、最短路径、网络流等。

例如，社交网络可以用图模型表示，节点代表人，边代表人与人之间的关系。

3. 关系代数关系代数是一种操作关系的数学工具，用于处理关系型数据库中的运算。

关系是一个二维表，由行和列组成，每行表示一条记录，每列代表不同的属性。

关系代数通过运算符，如选择、投影、连接等，对关系进行查询和操作。

例如，选择运算符可以从一个关系中选择满足特定条件的记录。

4. 排列组合排列组合是研究对象的排列和组合方式的数学分支。

它涉及到对元素进行选择和排列的问题。

排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列，组合则是指从一组元素中选取若干个元素无序地组合。

排列组合在密码学、概率统计等领域有广泛的应用。

5. 数论数论研究的是整数及其性质和关系。

它探索整数的性质，如质数、最大公约数、同余等。

数论在密码学、编码理论等领域具有重要地位。

例如，RSA加密算法就是基于数论中的大素数分解难题而设计的。

6. 布尔代数布尔代数是由英国数学家乔治·布尔提出的，它研究的是逻辑表达式和逻辑运算的代数结构。

布尔代数可以用来构建逻辑电路，进行逻辑推理等。

它使用与（AND）、或（OR）和非（NOT）等逻辑运算符，通过符号和公式来描述逻辑关系。