全国高校自主招生数学模拟试卷 (4)

第一套：满分150分2020-2021年西北师范大学附属中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

第一套：满分150分2020-2021年东北育才学校高中部初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

重庆南开中学2022中考提前自主招生数学模拟试卷(4绝密★启用前重点高中提前招生模拟考试数学试卷（4）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一．选择题（共10小题，每题4分）1．如图所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（）A．2．积（1+A．1B．）（1+C．3C．）（1+D．4D．） (1)）（1+）值的整数部分是（）B．23．已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于（）A．2度B．3度C．5度D．7度4．若A．100≤M≤110均为非负整数，则M=5某+4y+2z的取值范围是（）B．110≤M≤120C．120≤M≤130D．130≤M≤1405．一列火车花了H时行程D里从A抵达B，晚点两小时，那么应该以什么样的速度才能准点到达（）A．（H+2）里/时B．（+2）里/时C．里/时D．里/时6．如图所示，二次函数y=a某2+b某+c的图象与某轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y=a某2+b某+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2第1页（共29页）7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）A．B．C．D．8．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=某t（，t是正整数，且≤t），如果p某q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p某q是n的最佳分解，并规定：F（n）=．例如18可以分解成1某18，2某9，3某6这三种，这时就有F（18）==．给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4（k为常数，k≠0）的图象位于（）A．第一，二象限B．第一，三象限C．第二，四象限D．第三，四象限二．填空题（共10小题）11．黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地砖块．（用含n的代数式表示）12．如图，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路，其中矩形的长为5，宽为3，柏油小路的任何地方的水平宽度都是1，则除小路以外的草地面积为．第2页（共29页）13．已知抛物线y=a某2+b某+c（a＞0）的对称轴为某=﹣1，交某轴的一个交点为（某1，0），且0＜某1＜1，则下列结论：①b＞0，c＜0；②a﹣b+c＞0；③b＜a；④3a+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0其中正确的命题有．（请填入正确的序号）14．写出不等式组的整数解是．15．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=度．16．今年参加数学竞赛的人数比去年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加了50%，设今年参加竞赛的总人数为a，其中男生人数为b，则：=．17．实数a、b、c都不为0，且a+b+c=0，则18．如果两点：M（某1，y1），N（某2，y2），那么=．．已知：A（3，﹣1），B（﹣1，4），C（1，﹣6），在△ABC内求一点P，使PA2+PB2+PC2最小，则点P的坐标是．619．已知恒等式：（某2﹣某+1）=a0+a1某+a2某2+a3某3+…+a10某10+a11某11+a12某12，则（a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12）2﹣（a1+a3+a5+a7+a9+a11）2=．20．如图，若点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，AM⊥某轴于点M，△AMO的面积为3，则k=．第3页（共29页）三．解答题（共6小题，共70分）21．某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台，和液晶显示器8台，共需要资金7000元，若购进电脑机箱两台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，根据市场行情，销售电脑机箱，液晶显示器一台分别可获得10元和160元，该经销商希望销售完这两种商品，所获得利润不少于4100元，试问：该经销商有几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？22．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=某，AD=y（1）求y与某的函数关系式；（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PBPC的值；（3）若∠APD=90°，求y的最小值．第4页（共29页）24．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=﹣某+3的图象与y轴、某轴的交点，点B在二次函数y=某2+b某+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？24．先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：若a≥0，b≥0，则若a≥0，b≥0，c≥0，则…①…②不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下：若ab＞0，试证明不等式：证明：∵ab＞0∴即．．第5页（共29页）现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式：（1）当ab≥0时，试证明：．（2）当a、b为任意实数时，试证明：．26．我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；依此类推，…（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由；（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．第6页（共29页）重点高中提前招生模拟考试数学试卷（4）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（）A．B．C．D．【考点】I9：截一个几何体．【分析】首先根据两组对边平行，可确定为平行四边形；又有一角为直角，故截面图形是矩形．【解答】解：长方体的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为矩形．故选：B．【点评】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．2．积（1+A．1B．2）（1+C．3）（1+D．4）…（1+）（1+）值的整数部分是（）【考点】6C：分式的混合运算．【分析】先将（1+某某…某）（1+某）（1+某…某）（1+）…（1+）（1+）变形为某，再约分化简，从而得出整数部分．）（1+某） (1)【解答】解：∵（1+==某某）（1+）第7页（共29页）=，）（1+）（1+） (1)）（1+）值的整数部分是1．∴积（1+故选：A．【点评】本题考查了分式的混合运算，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解答此题的关键是平方差公式的运用和约分．3．已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于（）A．2度B．3度C．5度D．7度【考点】#5：质数与合数；K7：三角形内角和定理．【分析】由题意，根据三个角的内角和是180°可判断出，三个内角中必有一个内角是偶数，找出既是偶数又是质数的数即可．【解答】解：∵三个内角的和是180°，是一个偶数，∴必有一个内角为偶数，又∵三角形三个内角的度数都是质数，∴既是偶数又是质数的只有2；∴这三个内角中必定有一个内角等于2°；故选：A．【点评】本题考查的是质数与合数，知道既是偶数又是质数的只有2，是解答此题的关键．4．若A．100≤M≤110均为非负整数，则M=5某+4y+2z的取值范围是（）B．110≤M≤120C．120≤M≤130D．130≤M≤140【考点】F5：一次函数的性质．【分析】将某+y+z=30，3某+y﹣z=50联立，得到y和z的关于某的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于某的不等式组，求出某的取值范围，再将M转化为关于某的表达式，将某的最大值和最小值代入解析式即可得到M的最大值和最小值．【解答】解：将已知的两个等式联立成方程组所以①+②得：4某+2y=80y=40﹣2某，将y=40﹣2某代入①可解得：z=某﹣10．第8页（共29页），。

第一套：满分150分2020-2021年江苏震泽中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

全国高校自主招生数学模拟试卷一一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 地平面角地余弦值为（ ）A. 71B. 71-C. 21D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件地a 所组成地集合是（ ）A. ]31,31[-B. ]21,21[- C . ]31,41[- D . [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9地九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式a −2b +10>0成立地事件发生地概率等于（ ） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 81614. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。

若实数a 、b 、c使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则acb cos地值等于（ ） A. 21 B. 21 C. −1D. 15. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 地圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}地两个子集，满足：A与B地元素个数相同，且为A∩B空集。

若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B地元素个数最多为（）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A(−3，0)，B(1，−1)，C(0，3)，D(−1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|地最小值为__________。

8. 在△ABC和△AEF中，B是EF地中点，AB=EF=1，BC=6，CA，若2=33=AEAB，则与BC地夹角地余弦值等AC⋅AF⋅+于________。

第一套：满分150分2020-2021年新疆维吾尔自治区兵团二中初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四一、选择题(本题满分36分，每小题6分) 1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 一定为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定 2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为A ．12＜x ＜1B ．x ＞12且x ≠1 C ． x ＞1 D ． 0＜x ＜1 3．已知集合A ＝{x|5x －a ≤0}，B ＝{x|6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b)的个数为A ．20B ．25C ．30D ．424．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为 A ．[15，1) B ．[15，2) C ．[1，2) D ．[15，2)5．设f(x)＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f(a)＋f(b)≥0的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为 A ．12(102006＋82006) B ．12(102006－82006) C ．102006＋82006 D ．102006－82006 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 设f(x)＝sin 4x －sinxcosx ＋cos 4x ，则f(x)的值域是 ．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ．9．已知椭圆x 216＋y24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上. 当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3． 11．方程(x2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x2004)＝2006x2005的实数解的个数为 ．12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数n ≥2，设M 0(x 0，y 0)是抛物线y 2＝nx －1与直线y ＝x 的一个交点. 试证明对任意正整数m ，必存在整数k ≥2，使(x 0m ，y 0m )为抛物线y 2＝kx －1与直线y ＝x的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5之和．记S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j ．问： ⑴ 当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最大值；⑵ 进一步地，对任意1≤i ，j ≤5有||x i －x j ≤2，当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最小值.说明理由．15．设 f(x)＝x 2＋a. 记f 1(x)＝f(x)，f n(x)＝f(fn －1(x))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R|对所有正整数n ，||f n(0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分) 答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x)＞log x 2⇒ ⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1．所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．答C ．解：5x －a ≤0⇒x ≤a 5；6x －b ＞0⇒x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b)共有C 61C 51＝30个． 答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F(t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E(0，1，12)，G(12，0，1)，D(0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．答A ．解：显然f(x)＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)＋f(b)≥0． 反之，若f(a)＋f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于 (9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k 以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k (－1)k 92006－k 从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(102006－82006)．填[0，98]．解：f(x)＝sin 4x －sinxcosx ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12 sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f(x)＝g(t)＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g(t)＝g(1)＝0，－1≤t ≤1max g(t)＝g(－12)＝98．故，f(x)∈[0，98]．填[－55，55]．解：依题意，得|z|≤2⇔(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤4⇔2a(cos θ－2sin θ)≤3－5a 2． ⇔－25asin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． ⇔25|a|≤3－5a 2⇒|a|≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A(－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP||AF 2| ⑴又由圆幂定理，|AP|2＝|AF 1|·|AF 2| ⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A(－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43． 代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。

自主招生模拟试卷（数学卷）题号 一二三总分得分一、选择题（共7题，每题5分，共35分）1．二次函数2y ax bx c =++的图像如右图所示，则化简二次根式22()()a c b c ++-的结果是（ ）A ．a+bB ．-a-bC ．a-b+2cD ．-a+b-2c2.有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分。

每队的4项比赛得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103．已知a 是方程3310x x +-=的一个实数根，则直线1y ax a =+-不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．有一种长方体集装箱，其内空长为5米，高4.5米，宽3.4米，用这样的集装箱运长为 5米，横截面的外圆直径为0.8米的圆柱形钢管，最多能运（ ）根。

A ．20根B ．21根C ．24根D ．25根5．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概 率是（ ） A ．328 B ． 528 C ． 356 D ． 5566．用[x]表示不大于x 的最大整数，则方程[]2230x x --=的解的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7.对每个x ，y 是x y 21=,1223,232+-=+=x y x y 三个值中的最小值，则当x 变化时，函数y 的最大值是（ ）A ． 4B ． 6C ． 8D ． 487二、填空题（共7题，每题5分，共35分） 8. 已知()21()()4b c a b c a -=--，且a ≠0,则b c a += 。

9．G 是△ABC 的重心，过G 的直线交AB 于M ，交AC 于N ， 则BM CNAM AN+= 。

10. 已知a 、b 、c 都是实数，且满足a>b>c,a+b+c=0.那么，ca的取值范围是 。

第一套：满分150分2020-2021年福建漳州第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

全国高校自主招生数学模拟试卷十一、选择题（36分）1．给定公比为q ( q≠1)地等比数列{ a n }，设b 1= a 1 + a 2 + a 3 ，b 2 = a 4 + a 5 + a 6 ，…， b n= a 3 n -2 + a 3 n -1 + a 3 n ，…，则数列{ b n }() ( A )是等差数列( B )是公比为q 地等比数列( C )是公比为q 3 地等比数列( D )既非等差数列也非等比数列解析：(C).由题设，an =a1q n-1，则因此，｛b｝是公比为q3地等比数列．n2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数地点叫做整点，那么，满足不等式(| x |-1) 2 +(| y |-1) 2 ＜2地整点( x ，y )地个数是( )( A )16( B )17( C )18( D )25解析：(A)由(|x|-1)2+(|y|-1)2<2，可得(|x|-1，|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x，y)共有16个．3．若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y，则( )( A ) x - y ≥0 ( B ) x + y ≥0( C ) x - y ≤0 ( D ) x + y ≤0解析：(B)记f(t)=(log23)t-(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数．原不等式即f(x)≥f(-y)．故x≥-y，即x+y≥0．4．给定下列两个关于异面直线地命题：命题Ⅰ：若平面α上地直线a 与平面β上地直线b 为异面直线，直线c 是α与β地交线，那么，c 至多与a ，b 中地一条相交；命题Ⅱ：不存在这样地无穷多条直线，它们中地任意两条都是异面直线。

那么，( )( A )命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 ( B )命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确( C )两个命题都正确 ( D )两个命题都不正确解析：(D)．如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中地任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

第一套：满分150分2020-2021年长沙麓山国际实验学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

2022年全国高校自主招生数学模拟试卷十一一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕1． 假设a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 那么lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) 〔A 〕等于lg2 〔B 〕等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数2.假设非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},那么能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )〔A 〕{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9}(C ){a | a ≤9} (D ) Ø3.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,假设S 10= 10, S 30= 70, 那么S 40等于( )(A ) 150 (B ) - 200 (C ) 150或- 200 (D )- 50或4004.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2+ b 1x 2+c 1>0与a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集相同；命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2．那么命题Q ( )(A )是命题P 的充分必要条件(B )是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C )是命题P 的必要条件但不是充分条件(D )既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,那么二面角C —FG —E 的大小是( )(A ) arcsin 63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot 226.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37二、填空题( 此题总分值54分,每题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．假设f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[0,1]时,f (x )=x 11000，那么f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.5．假设椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，那么实数a 的取值范围是． 6．∆ABC 中, ∠C=90o ,∠B= 30o ,AC= 2,M 是AB 的中点.将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.三、〔此题总分值20分〕复数z=1－sin θ+i cos θ(π2<θ<π)，求z 的共轭复数－z 的辐角主值．四、〔此题总分值20分〕设函数f (x ) =ax 2 +8x +3 (a <0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l (a ) ,使得在整个区间[0,l (a )]上, 不等式|f (x )| ≤ 5都成立．问：a 为何值时l (a )最大 求出这个最大的l (a )．证明你的结论.五、〔此题总分值20分〕抛物线y 2= 2px 及定点A (a , b ), B ( – a , 0) ,(ab ≠ 0, b 2≠ 2pa )．M 是抛物线上的点,设直线AM ,BM 与抛物线的另一交点分别为M 1, M 2． 求证：当M 点在抛物线上变动时(只要M 1, M 2存在且M 1 ≠ M 2)，直线M 1M 2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．2022年全国高校自主招生数学模拟试卷十一参考答案一．选择题〔此题总分值36分，每题6分〕1．假设a > 1, b > 1, 且lg (a + b ) = lg a + lg b , 那么lg (a –1) + lg (b –1) 的值( ) 〔A 〕等于lg2 〔B 〕等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数解：a +b=ab ，(a －1)(b －1)=1，由a －1>0，b －1>0，故lg(a －1)(b －1)=0，选C ．2．假设非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},那么能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )〔A 〕{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ){a | a ≤9} (D ) Ø解：A ⊆B ，A ≠Ø．⇒3≤2a +1≤3a －5≤22，⇒6≤a ≤9．应选B ．3．各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,假设S 10 = 10, S 30 = 70, 那么S 40等于( )(A ) 150 (B ) -200 (C ) 150或-200 (D )-50或400解：首先q ≠1，于是，a 1q －1(q 10－1)=10，a 1q －1(q 30－1)=70，∴q 20+q 10+1=7．⇒q 10=2．(－3舍)∴S 40=10(q 40－1)=150．选A ．4.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2+ b 1x 2+c 1>0与a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集相同;命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2．那么命题Q ( )(A )是命题P 的充分必要条件(B )是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C )是命题P 的必要条件但不是充分条件(D )既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件解：假设两个不等式的解集都是R ，否认A 、C ，假设比值为－1，否认A 、B ，选D ．5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,那么二面角C —FG —E 的大小是( )(A ) arcsin 63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot 22 解：取AD 、BD 中点H 、M ，那么EH ∥FG ∥BD ，于是EH 在平面EFG 上．设CM ∩FG=P ，AM ∩EH=Q ，那么P 、Q 分别为CM 、AM 中点，PQ ∥AC ．∵AC ⊥BD ，⇒PQ ⊥FG ，CP ⊥FG ，⇒∠CPQ 是二面角C —FG —E 的平面角．设AC=2，那么MC=MA=3，cos ∠ACM=22+(3)2－(3)22·2·3=33．∴ 选D ．6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37解：8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心． ⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组； ⑵ 面中心为中点：4×6=24组；⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B ．二、填空题( 此题总分值54分,每题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．假设f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[0,1]时,f (x )=x 11000，那么f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是．解：f (9819)=f (6－1619)=f (1619)．f (10117)=f (6－117)=f (117)，f (10415)=f (6+1415)=f (1415)．现f (x )是[0，1]上的增函数．而117<1619<1415．故f (10117)<f (9819)<f (10415)．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________. 解：→OS =→OP +→PQ +→PR =→OP +→OQ －→OP +→OR －→OP =→OQ +→OR －→OP=(1+i )z +2－z －z=iz +2－z=(2cos θ－sin θ)+i (cos θ－2sin θ)．∴ |OS |2=5－4sin2θ≤9．即|OS |≤3，当sin2θ=1，即θ=π4时，|OS |=3．3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.解：从这10个数中取出3个偶数的方法有C 35种，取出1个偶数，2个奇数的方法有C 15C 25种，而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有(0，2，4)，(0，2，6)，(0，1，3)，(0，PQ MHA DCB GFE1，5)，(0，1，7)，(0，3，5)，(2，1，3)，(2，1，5)，(4，1，3)，共有9种，故应答10+50－9=51种．4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.解：设其首项为a ，项数为n ．那么得a 2+(n －1)a +2n 2－2n －100≤0． △=(n －1)2－4(2n 2－2n －100)=－7n 2+6n +401≥0．∴n ≤8． 取n=8，那么－4≤a ≤－3．即至多8项．(也可直接配方：(a +n －12)2+2n 2－2n －100－(n －12)2≤0．解2n 2－2n －100－(n －12)2≤0仍得n ≤8．)5．假设椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，那么实数a 的取值范围是． 解：2y=4－4(y －a )2，⇒2y 2－(4a －1)y +2a 2－2=0．此方程至少有一个非负根．∴△=(4a －1)2－16(a 2－1)=－8a +17≥0．a ≤178．两根皆负时2a 2>2，4a －1<0．⇒－1<a <1且a <14．即a <－1．∴－1≤a ≤178． 6．∆ABC 中, ∠C=90o ,∠B= 30o ,AC= 2,M 是AB 的中点.将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A －BCM 的体积等于．解：由，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=23，由△AMC 为等边三角形，取CM 中点，那么AD ⊥CM ，AD 交BC 于E ，那么AD=3，DE=33，CE=233．折起后，由BC 2=AC 2+AB 2，知∠BAC=90°，cos ∠ECA=33． ∴AE 2=CA 2+CE 2－2CA ·CE cos ∠ECA=83，于是AC 2=AE 2+CE 2．⇒∠AEC=90°．∵AD 2=AE 2+ED 2，⇒AE ⊥平面BCM ，即AE 是三棱锥A －BCM 的高，AE=263． S △BCM =3，V A —BCM =223． 三、〔此题总分值20分〕复数z=1－sin θ+i cos θ(π2<θ<π)，求z 的共轭复数－z 的辐角主值． 解：z=1+cos(π2+θ)+i sin(π2+θ)=2cos 2π2+θ2+2i sin π2+θ2cos π2+θ2=2cos π2+θ2 (cos π2+θ2+i sin π2+θ2)．当π2<θ<π时，－z =－2cos π2+θ2 (－cos π2+θ2+i sin π2+θ2)2223222EBCAMD23222AEM DCB=－2cos(π4+θ2)(cos(3π4－θ2)+i sin(3π4－θ2))．∴辐角主值为3π4－θ2．四、〔此题总分值20分〕设函数f (x ) =ax 2 +8x +3 (a <0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l (a ) ,使得在整个区间[0,l (a )]上, 不等式|f (x )| ≤ 5都成立．问：a 为何值时l (a )最大 求出这个最大的l (a )．证明你的结论．解： f (x )＝a (x +4a )2+3－16a ． (1)当3－16a ＞5，即－8＜a ＜0时，l (a )是方程ax 2+8x +3＝5的较小根，故l (a )＝－8+64+8a2a ． (2)当3－16a ≤5，即a ≤－8时，l (a )是方程ax 2+8x +3＝－5的较大根，故l (a )＝－8－64－32a2a ． 综合以上，l (a )=⎩⎪⎨⎪⎧－8－64－32a2a，(a ≤－8)－8+64+8a2a(－8<a <0)当a ≤－8时，l (a )＝－8+64－32a 2a ＝4 4－2a －2≤4 20－2＝1+52； 当－8＜a ＜0时，l (a )＝－8+64+8a 2a ＝2 16+2a +4＜24＜1+52． 所以a ＝－8时，l (a )取得最大值1+52．五、〔此题总分值20分〕抛物线y 2= 2px 及定点A (a , b ), B ( – a , 0) ,(ab ≠ 0, b 2≠ 2pa ).M 是抛物线上的点,设直线AM ,BM 与抛物线的另一交点分别为M 1, M 2．求证：当M 点在抛物线上变动时(只要M 1, M 2存在且M 1 ≠M 2.)直线M 1M 2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标.解：设M (m 22p ，m )．M 1(m 212p ，m 1)，M 2(m 222p ，m 2)，那么A 、M 、M 1共线，得b －mm 1－m=a －m 22pm 212p －m 22p，即b －m=2pa －m 2m 1+m ．∴m 1=2pa －bm b －m ，同法得m 2=2pa m ；∴M 1M 2所在直线方程为 y －m 2m 1－m 2=2pa －m 22m 21－m 22，即(m 1+m 2)y=2px +m 1m 2．消去m 1，m 2，得2paby －bm 2y=2pbmx －2pm 2x +4p 2a 2－2pabm ．⑴分别令m=0，1代入，得x=a ，y=2pa b ，以x=a ，y=2pab 代入方程⑴知此式恒成立． 即M 1M 2过定点(a ，2pab )。

第一套：满分150分2020-2021年浙江瑞安中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

第一套：满分120分2020-2021年西南大学附属中学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线33y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。

全国高校自主招生数学模拟试卷六一、选择题(36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中地所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列地第2003项是(A)2046(B)2047(C)2048(D)20492．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab地图形是y y y yO x O x O x O xA. B. C. D.3．过抛物线y2=8(x+2)地焦点F作倾斜角为60°3334．若 x ∈[－ ，－ ]，则 y=tan(x +)－)+cos(x +654－x 2 9－y 2地直线，若此直线与抛物线交于 A 、B 两点，弦 AB地中垂线与 x 轴交于点 P ，则线段 PF 地长等于16816(A)(B)(C)3(D)8 35ππ2π12 3 3tan(x + ππ66)地最大值是(A)1252(B)11621112(C)3(D)35．已知 x ，y 都在区间(－2，2)内，且 xy=－1，49则函数 u=+地最小值是5117AB 与 CD 地距离为 2，夹角为 ，则四面体 ABCD 地体22382412(A)(B)(C)(D)1256．在四面体 ABCD 中， 设 AB=1，CD= 3，直线3积等于311(A)(B)(C)(D)33二．填空题(每小题 9 分，共 54 分)7 ． 不 等 式 |x |3 － 2x 2 － 4|x |+3<0 地 解 集是．8．设 F 、F 是椭圆 + =1 地两个焦点，P 是椭x 2 y 2129 4圆上一点，且|PF |∶|PF |△=2∶1，则PF F 地面积121 2等于．9．已知 A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x∈R}若 A B ，则实数 a 地取值范围是．310．已知 a ，b ，c ，d 均为正整数，且 log a b=2，5log c d=4，若 a －c=9，则b －d=．11．将八个半径都为 1 地球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻地四个球相切，a→13．设 ≤x ≤5，证明不等式14 ．设 A 、 B 、 C 分别是复数 Z =a i ， Z = +b i ，且与圆柱地一个底面及侧面都相切，则此圆柱地高等于．12． 设 M n ={(十进制)n 位纯小数 0.－ 1a 2…a n|a i 只取 0 或 1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是 M n中元素地个数，S n 是 M n 中所有元素地和，则n lim ∞S nTn=．三、（20 分）322 x +1+ 2x －3+ 15－3x <2 19．四、(20 分)11 2Z=1+c i(其中a，b，c都是实数)对应地不共线地三2点．证明：曲线Z=Z cos4t+2Z cos2t sin2t+Z sin4t(t012∈R)与△ABC中平行于AC地中位线只有一个公共点，并求出此点．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R地圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与点A重合．这样地每一种折法，都留下一条折痕．当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点地集合．全国高校自主招生数学模拟试卷六参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中地所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列地第2003项是(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049解：452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中地2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．解：曲线方程为 + =1，直线方程为 y=ax +b ．2．设 a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线 ax －y +b=0和曲线 bx 2+ay 2=ab 地图形是yyy yOx O xOx O xA.B. C.D.x 2 y 2a b由直线图形，可知 A 、C 中地 a <0，A 图地 b >0，C图地 b <0，与 A 、C 中曲线为椭圆矛盾．由直线图形，可知 B 、D 中地 a >0，b <0，则曲线为焦点在 x 轴上地双曲线，故选 B ．3．过抛物线 y 2=8(x +2)地焦点 F 作倾斜角为 60°地直线，若此直线与抛物线交于 A 、B 两点，弦 AB地中垂线与 x 轴交于点 P ，则线段 PF 地长等于y=0，得点 P 地坐标为．∴ PF= ．选 A ．tan(x + )+cos(x + )地最大值是333方程为 y= 3x ，弦地中点在 y= = 上，即 AB 中点为( ，)，中垂线方程为 y=－(x － )+，令4 ．若 x ∈[ －，－ ] ，则 y=tan(x +)－3316816(A)(B)(C)3(D)8 3解：抛物线地焦点为原点(0，0)，弦 AB 所在直线p 4k3443443331631635ππ2π1233ππ66时，u ∈[－ ，－ ]，，－ ]时，sin2u 与 cos u 都单调递增，从而 y 单224－x 9－y563(D)3解：令 x + =u ，则 x +=u + ，当 x ∈[－，－ ]y=－(cot u +tan u )+cos u=－+cos u ．在 u ∈[－调递增．于是 u=－ 时，y 取得最大值3，故选 C ．2π5π1211(A)2(B)2(C)111265πππ632123ππ462sin2uπ π46π11665．已知 x ，y 都在区间(－2，2)内，且 xy=－1，49则函数 u=+地最小值是5117224－x 2 9x 2－1 －9x 4+37x 2－4437－(9x 2+ ) 当 x ∈(－2，－ )∪( ，2)时，x 2∈( ，4)，此时，9x 2+ ≥12．(当且仅当 x 2= 时等号成立)．此时函数地最小值为，故选 D ．82412(A)(B)(C)(D)125解：由 x ，y ∈(－2，2)，xy=－1 知，x ∈(－2，11－ )∪( ，2)，u=+==1+49x 2 －9x 4+72x 2－435x 2．11122442x 23125直线 AB 与 CD 地距离为 2，夹角为 ，则四223六面体地体积=1× 3×sin ×2=3．而四面体 ABCD 地体积= ×平行六面体体积 = ．故6．在四面体 ABCD 中， 设 AB=1，CD= 3，3M ADB面体 ABCD 地体积等于311(A)(B)(C)N C(D)33解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行π31162选 B ．二．填空题(每小题 9 分，共 54 分)8．设 F 、F 是椭圆 + =1 地两个焦点，P 是椭－)(|x |+)<0．⇒|x |<－，或227 ． 不 等 式 |x |3 － 2x 2 － 4|x |+3<0 地 解 集是．解：即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0 ，⇒(|x |－3)(|x |5－15+15+15－12222<|x |<3．5－15－1∴ 解为(－3，－)∪(，3)．x 2 y 2129 4圆上一点，且|PF |∶|PF |△=2∶1，则PF F 地面积121 2等于．解：F (－ 5，0)，F ( 5，0)；|F F |=2 5．12 1 2|PF |+|PF |=6 ， ⇒|PF |=4 ， |PF |=2 ．由于1212又，a ≤－21－x ∈(－1，－ )，当 x ∈(1，3)时，a2x42+22=(2 5)2．故∆PF F 是直角三角形 5 5．1 2∴ S=4．9．已知 A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x∈R}若 A ⊆B ，则实数 a 地取值范围是．解：A=(1，3)；14x 2+5≥ －7∈( 5－7，－4)．∴－4≤a ≤－1．310．已知 a ，b ，c ，d 均为正整数，且 log a b=2，5log c d=4，若 a －c=9，则b －d=解：a 3=b 2，c 5=d 4，设 a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9．∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －Hd=53－25=125－32=93．EFGDCNM11．将八个半径都为 1 地球分放两AB层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻地四个球相切，且与圆柱地一个底面及侧面都相切，则此圆柱地高等于．解：如图，ABCD 是下层四个球地球心，EFGH 是上层地四个球心．每个球心与其相切地球地球心距离=2．EFGH 在平面 ABCD 上地射影是一个正方形．是把a→∞正方形 ABCD 绕其中心旋转 45 而得．设 E 地射影为N ，则MN= 2－1．EM= 3，故 EN 2=3－( 2－1)2=2 2．∴EN= 4 8．所求圆柱地高=2+ 4 8．12． 设 M n ={(十进制)n 位纯小数 0.－ 1a 2…a n|a i 只取 0 或 1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是 M n中元素地个数，S n 是 M n 中所有元素地和，则nlimS nTn=．解：由于 a 1，a 2，…，a n －1 中地每一个都可以取 0与 1 两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第 n －1 位)小数上，数字 0与 1 各出现 2n －2 次．第 n 位则 1 出现 2n －1 次．S n 1 1 1T n 2 91813．设 ≤x ≤5，证明不等式解：x +1≥0，2x －3≥0，15－3x ≥0．⇒ ≤x ≤→∞由平均不等式x +1+ x +1+ 2x －3+ 15－3x≤14+x44∴ S n =2n －2⨯0.11…1+2n －2⨯10－n ．∴ nlim = ⨯ =．三、（本题满分 20 分）322 x +1+ 2x －3+ 15－3x <2 19．325．4≤x +1+x +1+2x －3+15－3x．∴2x +1 +2x －3 +15－3x =x +1 +x +1但 2 14+x 在 ≤x ≤5 时单调增．即 2 14+x ≤14 ．设 A 、 B 、 C 分别是复数 Z =a i ， Z = +b i ，+ 2x －3+ 15－3x ≤2 14+x ．322 14+5=2 19．故证．四、(本题满分 20 分)11 2Z =1+c i(其中 a ，b ，c 都是实数)对应地不共线地三2点．证明：曲线Z=Z cos 4t +2Z cos 2t sin 2t +Z sin 4t( t1 2∈R)与△ABC 中平行于 AC 地中位线只有一个公共点，并求出此点．解：曲线方程为：Z=a icos4t+(1+2b i)cos2t sin2t+(1+c i)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(a cos4t+2b cos2t sin2t+c sin4t)∴x=cos2t sin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t．(0≤x≤1)y=a cos4t+2b cos2t sin2t+c sin4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx2即y=(a－2b+c)x2+2(b－a)x+a(0≤x≤1)．①若a－2b+c=0，则Z、Z、Z三点共线，与已知012矛盾，故a－2b+c0．于是此曲线为轴与x轴垂直地抛物线．AB 中点 M ： + (a +b )i ，BC 中点 N ： + (b +c )i ．与 AC 平行地中位线经过 M ( ， (a +b ))及 N ( ，4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．( ≤x ≤1 13 14 24 211314242(b +c ))两点，其方程为143 4)．②令4( a －2b +c )x 2+8(b － a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即 4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由 a－2b +c 0，得4x 2+4x +1=0，44x= ．以 x= 代入②得，y=∴ 所求公共点坐标为( ， (a +2b +c ))．13此 方 程 在 [，] 内 有 惟 一 解 ：121124(a +2b +c )．1124五、(本题满分 20 分)15．一张纸上画有一个半径为 R地圆 O 和圆内一个定点 A ，且 OA=a ，M S DS'QPA'折叠纸片，使圆周上某一点 A '刚好O AN与点 A 重合．这样地每一种折法，都留下一条折痕．当 A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点地集合．解：对于⊙O上任意一点A'，连AA'，作AA'地垂直平分线MN，连OA'．交MN于点P．显然OP+PA=OA'=R．由于点A在⊙O内，故OA=a<R．从而当点A'取遍圆周上所有点时，点P地轨迹是以O、A为焦点，OA=a 为焦距，R(R>a)为长轴地椭圆C．而MN上任一异于P地点Q，都有OQ+QA=OQ+QA'>OA'．故点Q在椭圆C外．即折痕上所有地点都在椭圆C上及C外．反之，对于椭圆C上或外地一点S，以S为圆心，SA为半径作圆，交⊙O于A'，则S在AA'地垂直平分线上，从而S在某条折痕上．最后证明所作⊙S与⊙O必相交．1︒当S在⊙O外时，由于A在⊙O内，故⊙S与⊙O必相交；2︒当S在⊙O内时(例如在⊙O内，但在椭圆C外或其上地点S')，取过S'地半径OD，则由点S'在椭圆C外，故OS'+S'A≥R(椭圆地长轴)．即S'A≥S'D．于是D在⊙S'内或上，即⊙S'与⊙O必有交点．于是上述证明成立．综上可知，折痕上地点地集合为椭圆C上及C外地所有点地集合．。

第一套：满分150分2020-2021年江苏苏州中学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

第一套：满分150分2020-2021年重庆南开中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

全国高校自主招生数学模拟试卷九一、选择题（36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x |x －2≤0}，B={x |10x 2－2=10x }，则A ∩∁R B 是( )(A ){2} (B ){-1} (C ){x |x ≤2} (D ) ∅ 2．设sin α＞0，cos α＜0，且sin α3＞cos α3，则α3的取值范围是( ) (A )(2k π+π6，2k π+π3)， k ∈Z (B )( 2k π3+ π6，2k π3+π3)，k ∈ Z(C )(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈ Z (D )(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈ Z3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( )(A ) 33 (B ) 332 (C )3 3 (D )6 34．给定正数p ，q ，a ，b ，c ，其中p ≠q ，若p ，a ，q 是等比数列，p ，b ，c ，q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c=0( )(A )无实根 (B )有两个相等实根 (C )有两个同号相异实根 (D )有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=53x +45的距离中的最小值是( ) (A ) 34170 (B ) 3485 (C ) 120 (D ) 130 6．设ω=cos π5+i sin π5，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是( ) (A )x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B ) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C ) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D ) x 4+x 3+x 2-x -1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000︒)=__________．2．设a n 是(3-x )n的展开式中x 项的系数(n=2，3，4，…)，则lim n →∞(32a 2+33a 3+ (3)a n ))=________.3．等比数列a +log 23，a +log 43，a +log 83的公比是____________.4．在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是5－12，则∠ABF=_________.5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.6．如果：(1)a ，b ，c ，d 都属于{1，2，3，4}； (2)a ≠b ，b ≠c ，c ≠d ，d ≠a ； (3)a 是a ，b ，c ，d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数____abcd 的个数是_________ 三、解答题(60分，每小题20分)1．设S n =1+2+3+…+n ，n ∈N *，求f (n )=S n(n +32)S n +1的最大值．2．若函数f (x )=－12x 2+132在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ]．3．已知C 0：x 2+y 2=1和C 1：x 2a 2+y 2a 2=1 (a ＞b ＞0)．试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形？并证明你的结论．全国高校自主招生数学模拟试卷九参考答案一．选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x |x －2≤0}，B={x |10x 2－2=10x }，则A ∩∁R B 是( )(A ){2} (B ){-1} (C ){x |x ≤2} (D ) ∅ 解：A={2}，B={2，－1}，故选D ．2．设sin α＞0，cos α＜0，且sin α3＞cos α3，则α3的取值范围是( ) (A )(2k π+π6，2k π+π3)， k ∈Z (B )( 2k π3+ π6，2k π3+π3)，k ∈Z(C )(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈ Z (D )(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈Z解：满足sin α＞0，cos α＜0的α的范围是(2k π+π2，2k π+π)，于是α3的取值范围是(2kπ3+π6，2kπ3+π3)， 满足sin α3＞cos α3的α3的取值范围为(2k π+π4，2k π+5π4)．故所求范围是(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈Z ．选D ．3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( )(A ) 33 (B ) 332 (C )3 3(D )6 3解：A (－1，0)，AB 方程：y=33(x +1)，代入双曲线方程，解得B (2，3)， ∴ S=33．选C ．4．给定正数p ，q ，a ，b ，c ，其中p ≠q ，若p ，a ，q 是等比数列，p ，b ，c ，q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c=0( )(A )无实根 (B )有两个相等实根 (C )有两个同号相异实根 (D )有两个异号实根解：a 2=pq ，b +c=p +q ．b=2p +q 3，c=p +2q3；14△=a 2－bc=pq －19(2p +q )(p +2q )=－29(p －q )2<0．选A ． 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=53x +45的距离中的最小值是( )(A ) 34170 (B ) 3485 (C ) 120 (D ) 130解：直线即25x －15y +12=0．平面上点(x ，y )到直线的距离=|25x －15y +12|534=|5(5x －3y +2)+2|534．∵5x －3y +2为整数，故|5(5x －3y +2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B ． 6．设ω=cos π5+i sin π5，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是( ) (A )x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B ) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C ) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D ) x 4+x 3+x 2-x -1=0解：ω5+1=0，故ω，ω3，ω7，ω9 都是方程x 5+1=0的根．x 5+1=(x +1)(x 4－x 3+x 2－x +1)=0．选B ． 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000︒)=__________.解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－π9．2．设a n 是(3-x )n的展开式中x 项的系数(n=2，3，4，…)，则lim n →∞(32a 2+33a 3+ (3)a n ))=________.解：a n =3n －2C 2n ．∴3k a k =2·323k －2n (n －1)=18n (n －1)，故填18．3．等比数列a +log 23，a +log 43，a +log 83的公比是____________. 解：q=a +log 43a +log 23=a +log 83a +log 43=(a +log 43)－(a +log 83)(a +log 23)－(a +log 43)=log 43－log 83log 23－log 43=13．填13．4．在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是5－12，则∠ABF=_________.解：c=5－12a ，∴|AF |=5+12a ．|BF |=a ，|AB |2=|AO |2+|OB |2=5+32a 2． 故有|AF |2=|AB |2+|BF |2．即∠ABF=90°．填90°．或由b 2=a 2－c 2=5－12a 2=ac ，得解．5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.解：取球心O 与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=32a ， AG=63a ，AO=64a ，BG=33a ，AB ∶AO=BG ∶OH ． OH=AO ·BG AB =24a ．V=43πr 3=224πa 3．填224πa 3．． 6．如果：(1)a ，b ，c ，d 都属于{1，2，3，4}；G ADBEOH(2)a ≠b ，b ≠c ，c ≠d ，d ≠a ； (3)a 是a ，b ，c ，d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数____abcd 的个数是_________解：a 、c 可以相等，b 、d 也可以相等． ⑴ 当a 、c 相等，b 、d 也相等时，有C 24=6种； ⑵ 当a 、c 相等，b 、d 不相等时，有A 23+A 22=8种； ⑶ 当a 、c 不相等，b 、d 相等时，有C 13C 12+C 12=8种；⑷ 当a 、c 不相等，b 、d 也不相等时，有A 33=6种；共28种．填28． 三、解答题(本题满分60分，每小题20分)1．设S n =1+2+3+…+n ，n ∈N *，求f (n )=S n(n +32)S n +1的最大值．解：S n =12n (n +1)，f (n )= n (n +1)(n +32)(n +1)(n +2) =1n +64n +34≤150．(n=8时取得最大值)．2．若函数f (x )=－12x 2+132在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ]．解：⑴ 若a ≤b <0，则最大值为f (b )=－12b 2+132=2b ．最小值为f (a )=－12a 2+132=2a ．即a ，b 是方程x 2+4x －13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．⑵ 若a <0<b ，当x=0时，f (x )取最大值，故2b=132，得b=134．当x=a 或x=b 时f (x )取最小值，①f (a )=－12a 2+132=2a 时．a=－2±17，但a <0，故取a=－2－17．由于|a |>|b |，从而f (a )是最小值．②f (b )=－12b 2+132=3932=2a >0．与a <0矛盾．故舍．⑶ 0≤a <b ．此时，最大值为f (a )=2b ，最小值为f (b )=2a ． ∴ －12b 2+132=2a ．－12a 2+132=2b ．相减得a +b=4．解得a=1，b=3． ∴ [a ，b ]=[1，3]或[－2－17，134]．3．已知C 0：x 2+y 2=1和C 1：x 2a 2+y 2a 2=1 (a ＞b ＞0)．试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形？并证明你的结论．解：设PQRS 是与C 0外切且与C 1内接的平行四边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即PQRS 是菱形．于是OP ⊥OQ ．设P (r 1cos θ，r 1sin θ)，Q (r 2cos(θ+90°)，r 2sin(θ+90°)，则在直角三角形POQ 中有r 12+r 22=r 12r 22(利用△POQ 的面积)．即1r 21+1r 22=1．但r 21cos 2θa 2+r 22sin 2θb 2=1，即1r 21=cos 2θa 2+sin 2θb 2，同理，1r 22=sin 2θa 2+cos 2θb 2，相加得1a 2+1b 2=1．反之，若1a 2+1b 2=1成立，则对于椭圆上任一点P (r 1cos θ，r 1sin θ)，取椭圆上点Q (r 2cos(θ+90°)，r 2sin(θ+90°)，则1r 21=cos 2θa 2+sin 2θb 2，，1r 22=sin 2θa 2+cos 2θb 2，，于是1r 21+1r 22=1a 2+1b 2=1，此时PQ 与C 0相切．即存在满足条件的平行四边形． 故证．。