2016_2017学年高中数学第一章立体几何初步章末高效整合课件

(2)因为 ABCD 是边长为 2 的菱形，且∠BAD＝60° ， 所以 BE⊥AD.又因为 PE⊥AD，PE∩BE＝E， 所以 AD⊥平面 PEB. 因为 AD∥BC，所以 BC⊥平面 PEB. (3)由(2)知 AD⊥PB， 又因为 PA＝AB 且 N 为 PB 的中点， 所以 AN⊥PB，又 AD∩AN＝A， 所以 PB⊥平面 ADMN. 又 PB 平面 PBC， 所以平面 PBC⊥平面 ADMN.
易求得圆锥高 h＝ 52－42＝3(cm)， 1 20＋3π·42· 3＝336π(cm3)， ∴体积 V＝π·4 ·
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表面积 S＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5 ＝196π(cm2)． ∴该几何体的体积为 336π cm3，表面积为 196π cm2.
共点、共线、共面问题 1．证明共面问题，一般有两种证法．一是由某些元素确定一个平面，再证明 其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面 重合． 2．证明空间三点共线，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某 两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两 个平面的交线上． 3． 证明空间三线共点， 先证两条直线交于一点， 再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上的问题．
11．几何体的体积公式 (1)柱体的体积 V 柱体＝Sh(其中 S 为柱体的底面面积，h 为高)． 特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积 V 圆柱＝πr2h. 1 (2)锥体的体积 V 锥体＝3Sh(其中 S 为锥体的底面面积，h 为高)． 1 特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆锥的体积 V 圆锥＝3πr2h.
3．空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面 图形留下的影子与平面图形的形状和大小是全等的， 三视图包括主视图、 左视图、 俯视图． 4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把 它们画成对应的 x′轴、y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y＝45° ，已知 图形中平行于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中平行于 x′轴、y′轴．已知图形中 平行于 x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为一半．
在过直线 AC 的两个平面内．
[规范解答] 证明：(1)∵BG∶GC＝DH∶HC， ∴GH∥BD.又 EF∥BD， ∴EF∥GH， ∴E，F，G，H 四点共面． (2)∵G，H 不是 BC，CD 的中点， ∴EF≠GH. 又 EF∥GH， ∴EG 与 FH 不平行，则必相交，设交点为 M. EG 面ABC ⇒M∈面 ABC 且 M∈面 ACD⇒M 在面 ABC 与面 ACD 的交线 HF 面ACD 上⇒M∈AC.
9．多面体的侧面积 (1)设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则 S 直棱柱侧＝ch. 1 (2)设正 n 棱锥底面边长为 a，底面周长为 c， 斜高为 h′，则 S 正棱锥侧＝2nah′ 1 ＝2ch′. (3)设正 n 棱台下底面边长为 a，周长为 c，上底面边长为 a′，周长为 c′， 斜高为 h′，则 1 1 S 正棱台侧＝2n(a＋a′)h′＝2(c＋c′)h′.
热点考点例析
几何体的三视图与直观图 直观图和三视图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使 我们更好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可以画出它的三视图，同样由 三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化，解决此类问题主 要依据它们的概念和画法规则．
一个棱锥的三视图如下图所示，则该棱锥的表面积 (单位：cm2)为 ( ) A．48＋12 2 C．36＋12 2 B．48＋24 2 D．36＋24 2
[规范解答] ∴PA⊥AC，
证明：(1)∵PA⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，
又∵AB⊥AC，而 AB∩PA＝A， ∴AC⊥平面 PAB，∴AC⊥PB.
(2)如图，连接 BD，与 AC 相交于点 O，连接 EO. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴点 O 是 BD 的中点． 又点 E 是 PD 的中点，∴EO∥PB. ∵PB⃘ 平面 AEC，EO 平面 AEC，
10．旋转体的表面积 (1)如果圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，那么圆柱的底面面积为 πr2，侧面 积为 2πrl.因此，圆柱的表面积 S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)． (2)如果圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，那么它的侧面积为 πrl，表面积 S ＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)． r， (3)如果圆台的两底面半径分别为 r′、 母线长为 l， 则侧面积为 x(r′＋r)l， 表面积为 S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)． (4)球的表面积计算公式：S＝4πR2(其中 R 为球的半径)，即球面面积等于它 的大圆面积的四倍．
8．两平面的位置关系 (1)两个平面的位置关系有平行、相交． (2)两个平面平行的判定 ①定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行； ②判定定理：a α，b α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β. (3)两个平面平行的性质定理 α∥β，a α⇒a∥β；α∥β，r∩α＝a，r∩β＝b⇒a∥b. (4)与垂直相关的平行的判定 ①a⊥α，b⊥α⇒a∥b； ②a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
答案：
A
1．一几何体的三视图如图所示． (1)说出该几何体的结构特征并画出直观图； (2)计算该几何体的体积与表面积．
解析： (1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组 合体，其直观图如图所示． (2)由三视图中的尺寸知， 组合体下部是底面直径为 8 cm， 高为 20 cm 的圆柱， 上部为底面直径为 8 cm，母线长为 5 cm 的圆锥．
∴PB∥平面 AEC.
3.如图所示， 在四棱锥 P－ABCD 中， 侧面 PAD 是正三角形， 且与底面 ABCD 垂直，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD＝60° ，N 是 PB 的中点，过 A，D， N 的平面交 PC 于 M，E 为 AD 的中点．求证： (1)EN∥平面 PDC； (2)BC⊥平面 PEB； (3)平面 PBC⊥平面 ADMN.
2.如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O，AC 与 BD 交于点 M，求证：点 C1、O、M 三点共线．
证明： 已知 A1A∥C1C，则 A1A、C1C 确定平面 A1ACC1. 因为直线 A1C 平面 A1ACC1，O∈直线 A1C， 所以 O∈平面 A1ACC1. 又对角线 A1C∩平面 BDC1＝O，所以 O∈平面 BDC1. 所以 O 在平面 BDC1 与平面 A1ACC1 的交线上． 又 AC∩BD＝M，BD 平面 BDC1，AC 平面 A1ACC1， 所以 M∈平面 BDC1，且 M∈平面 A1ACC1. 又 C1∈平面 BDC1，且 C1∈平面 A1ACC1， 所以平面 A1ACC1∩平面 BDC1＝C1M. 所以 O∈C1M，即 C1、O、M 三点共线．
点的公共直线．
6．直线与直线的位置关系 (1)空间直线与直线的位置关系有且只有三种：
相交直线 共面直线 平行直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
(2)公理 4
平行于同一条直线的两直线平行．
7．直线与平面的位置关系 (1)直线 a 与平面 α 的位置关系有平行、相交、在平面内，其中平行与相交统 称直线在平面外． (2)直线和平面平行的判定 ①定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行平面； ②判定定理：a α，b α，a∥b⇒a∥α； ③其他判定方法：α∥β，a α⇒a∥β. (3)直线和平面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝l⇒a∥l.
平行与垂直关系的证明 在这一章中，我们重点学习了立体几何中的平行与垂直关系的判定定理与性 质定理，这些定理之间并不是彼此孤立的，线线、线面、面面之间的平行与垂直 关系可相互转化． 做题时要充分运用它们之间的联系， 挖掘题目提供的有效信息， 综合运用所学知识解决此类问题
如右图，在底面为平行四边形的四棱锥 P－ABCD 中，AB⊥AC， PA⊥平面 ABCD，且 PA＝AB，点 E 是 PD 的中点．求证： (1)AC⊥PB； (2)PB∥平面 AEC. [思维点击] 运用线面平行、垂直的判定和性质定理证明．
(2)画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z′轴，也 垂直于 x′O′y′平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z 轴且长度不变． 5．平面的基本性质 公理 1 公理 2 公理 3 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该
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本题考查体几何中的空间想象
能力以及几何体的表面积问题，解题的关键是将三 视图还原为几何体．显然该几何体为三棱锥，且有 一个面垂直于底面．
[规范解答]
由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为 6，面积为 18；
1 垂直于底面的面为等腰三角形，面积为2×6 2×4＝12 2；其余两个面为全等的 1 三角形，每个三角形的面积都为2×6×5＝15.所以表面积为 48＋12 2.
(5)两个平面垂直 ①二面角的平面角 从二面角的棱上一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所 成的角叫做二面角的平面角． ②定义 如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ③判定和性质 a)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互 相垂直． b)性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面．
证明： (1)因为 AD∥BC，BC 平面 PBC， AD⃘ 平面 PBC，所以 AD∥平面 PBC， 又平面 ADMN∩平面 PBC＝MN， 所以 AD∥MN，所以 MN∥BC. 因为 N 为 PB 的中点，所以 M 为 PC 的中点， 1 所以 MN∥BC，且 MN＝2BC. 又 E 为 AD 的中点， 所以四边形 DENM 为平行四边形． 所以 EN∥DM. 又 EN⃘ 平面 PDC，DM 平面 PDC， 所以 EN∥平面 PDC.