辽宁省庄河市高级中学2017届高三9月月考（开学考试）文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}1,A x =，{}1,B y =，且{}1,2,3A B = ，则x y +=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C考点：集合的运算.2.设复数z 满足()()2i 2i 5z --=，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i - 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得5222z i i i-==+-，222z i =+，1z i =+，故选项为A. 考点：复数的运算.3.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）经过点()2,3，且离心率为2，则它的焦距为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：由离心率为2，得2c a =，即2c a =，b =，又过点()2,3，得224913a a-=，解得21a =，244c a ==，故选项为B.考点：双曲线的性质.4.已知122a -=，13log 2b =，121log 5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【答案】C 【解析】试题分析：由于1220021=<=<-a ，01log 2log 3131=<=b ，01log 51log 2121=>=c ，则c a b >>，故选项为C.考点：不等关系与不等式.【方法点睛】本题考查的是比较实数的大小关系，属于基础题，注意：此类题除利用函数的单调性来处理外，还常借助于中间值（如：1-，0，1）来处理，在此题中既有幂的运算又有对数的运算且此三个数既不同底，真数也不同，故需借助于中间值0，1来做，由120=，且xy 2=为增函数，得122a -=与1的关系，由1log 31=，1log 21=，结合对数的单调性得c b ,与1,0的关系.5.已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 5α=-，若122a e e =- ，123b e e =+ ，则a b =（ ） A ．2- B ．2 C ．12- D ．12【答案】A考点：向量数量积的运算. 6.观察下列各等式：5325434+=--，2622464+=--，7127414+=--，102210424-+=---， 依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（ ）A ．()82484n nn n -+=--- B ．()()()15121414n n n n ++++=+-+-C ．()42444n n n n ++=-+- D ．()()1521454n n n n +++=+-+-【答案】A【解析】试题分析：各等式可化为：()585254854-+=---，()282224824-+=---，()787274874-+=---． ()1081021048104-+=---，可归纳得一般等式：()82484n nn n -+=---，故选项为A. 考点：推理与证明.7.已知命题p ：若0x >，则函数12y x x=+的最小值为1；命题q ：若1x >，则2230x x +->．则 下列命题是真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 【答案】A考点：复合命题的真假.8.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（俯视图中弧线是14圆弧）（ ）A ．4π-B ．π2-C ．π12-D ．π14- 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体为一个正方体挖去一个圆柱的41而剩下的几何体．∴该几何体的体积411141123ππ-=⨯⨯⨯-=V ．故选：D ．考点：由三视图求体积.9.设各项都是正数的等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若2a ，3S ，25a S +成等比数列， 则1da =（ ） A ．0 B ．32 C ．23D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：∵2a ，3S ，25a S +成等比数列，∴()23522S S a a =+⋅，∴()()()211133116d a d a d a +=++，化为：0322112=--a d a d ，d ，01>a ．∴()()03211=+-a d a d ，∴0321=-a d ，则231=a d ，故选：B ．考点：等差数列的n 项和. 10.将函数πsin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．在区间π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】C考点：函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换.【方法点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解.11.当x ，y 满足不等式组22,4,72x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩时，22kx y -≤-≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[]1,1--B ．[]2,0-C ．13,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：简单的线性规划.12.已知函数()3221f x ax x =+-有且只有两个零点，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}1,0,1- B．⎧⎪⎨⎪⎩ C．⎧⎪⎨⎪⎩ D．⎧⎪⎨⎪⎩【答案】B 【解析】试题分析：当0a =时，()221f x x =-有两个零点．当0a ≠时，则()2434303f x ax x ax x a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，143x a =-，20x =．若0a >，则()f x 在区间4,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,+∞上增，在区间4,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上减．由()01f =-及题意得403f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以224421033a a a ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a =．当0a <时，()f x 在(),0-∞上增，在40,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上减，在4,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上增．又()01f =-，所以只有一个零点，故选：B.考点：函数零点的判定定理.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.如图是一批学生的体重情况的直方图，若从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为24，则这批学生中的总人数为___________．【答案】96考点：频率分布直方图.14.直线21x y k +=-被圆221x y +=k =___________．【答案】0或1 【解析】试题分析：=，d =，d 211k -=±所以0k =或1,故答案为0或1. 考点：直线与圆的位置关系.15.执行如图所示的程序框图，输出的n 值为___________．【答案】7考点：程序框图.【方法点晴】根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于一道基础题．对于循环结构的流程框图主要可根据循环次数而定，当循环次数较少时，逐一写出其循环过程；当次数较多时，寻找其规律，在该程序中分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出不满足条件10028210<++++=k S 时，1+k 的值．16.已知偶函数()f x 在[)0,+∞上是增函数，则满足()()223f x f x -<的实数x 的取值范围是 ______________． 【答案】()(),31,-∞-+∞ 【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞是增函数，所以：满足()()223f x f x -<的条件为：232x x <-，解得：3-<x 或1>x ，所以x 的取值范围为：()(),31,-∞-+∞ ，故答案为：()(),31,-∞-+∞ 考点：函数单调性的性质.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c >，已知3BA BC =- ，3cos 7B =-，b =（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）()sin A B -的值．【答案】（Ⅰ）7a =，1c =；（Ⅱ）735-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面向量的数量积和余弦定理，列出方程组解方程组即可；（Ⅱ）根据三角恒等变换和由正弦定理，计算)sin(B A -的值即可．试题解析：（Ⅰ）由3BA BC ⋅=- 得，cos 2c a B ⋅=-．又3cos 7B =-，所以7ac =．由余弦定理，得2222cos b a c a B =+-，又b =2250a c +=，解22750,ac a c =⎧⎨+=⎩因为a c >，所以7a =，1c =．…………………………………………………………6分考点：（1）三角函数中的恒等变换应用；（2）平面向量数量积的运算.【方法点睛】本题考查了三角恒等变换和正弦、余弦定理的应用问题，也考查了平面向量的数量积问题，属常见题型，难度一般，是综合性题目.根据向量数量积的定义将其转化为三角函数表达式cos 2c a B ⋅=-，结合余弦定理得到关于c a ,的方程组，由方程组得解；由正弦定理求出A sin 以及A cos ，最后由两角差的正弦公式得（Ⅱ）的解. 18.（本小题满分12分）在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3，4的四个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放 回地先后取得两个小球，其标号分别为x ，y ． （1）求事件5x y +=的概率； （2）求事件26x x y +-=的概率． 【答案】（1）41；（2）81.试题解析：(),x y 取值有()1 , 1，()1 , 2，()1 , 3，()1 , 4，()2 , 1，()2 , 2，()2 , 3,()2 , 4，()3 , 1，()3 , 2，()3 , 3，()3 , 4，()4 , 1，()4 , 2，()4 , 3，()4 , 4，共16种．………………………………………3分（1）其中5x y +=的有4种， 所以()415164P x y +-==．…………………………………………………………………………7分 （2）3 , 2 , x y x yx x y x y x y -≥⎧+-=⎨+<⎩，所以26x x y +-=时，有()2 , 4，()3 , 3两种．所以()2126168P x x y +-===．…………………………………………………………………………12分 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【方法点睛】本题考查等可能事件的概率，是概率与绝对值的意义结合的题目，是一个基础题，解题的关键是对于题目中满足条件的事件的理解．在用列举法计算基本事件数时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误，同时注意不放回抽取和放回抽取的区别；在（2）直接将结果代入方程进行验证，运用古典概型概率计算公式即可. 19.（本小题满分12分）如图正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 是1A A 上的点，M 是AC 、BD 的交点．（Ⅰ）若1A C P 平面EBD ，求证：点E 是1AA 中点；（Ⅱ）若1AB =，EBD ∆的面积S =点F 在1CC 上，且FM EM ⊥，求三棱椎体积F EBD V -的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）21142.试题解析：（Ⅰ）因为1A C ∥平面EBD ，1A C ⊂平面1A AC ， 平面1A AC 平面EBD EM =,所以1A C EM ∥，因为在正方形ABCD 中，M 是AC 中点，所以E 是1AA 中点．………………………………………6分（Ⅱ）因为1AB =，所以BD =，因为EBD △的面积S =，所以2EM =，所以AE ==，因为EM FM ⊥，由FCM MAE △∽△，得FM =因为平面EBD ⊥平面EFCA 且交线是EM ，且FM EM ⊥，所以FM ⊥平面EBD ，13F EBD V -==．………………………………………………………………………12分 考点：（1）棱柱、棱锥、棱台的体积；（2）直线与平面平行的性质. 20.（本小题满分12分）已知函数()2ln x ax f x x-=．（Ⅰ）若()0f x >对其定义域内任意x 成立，求a 值；（Ⅱ）当0a =时，求()f x 在区间14e ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．【答案】（Ⅰ）1a =；（Ⅱ）最大值为2e ，最小值为2e ．试题解析：（Ⅰ）()f x 定义域为()()0 , 1 1 , +∞ ，()0f x >即20ln x axx ->， 当()0 , 1x ∈，ln 0x <，20x ax -<，a x >；()1 , x ∈+∞，ln 0x >，20x ax ->，a x <，如上图:∴1a =．…………………………………………………6分 （Ⅱ）()()22ln 1'ln x x f x x-=，令()'0f x =，可得x =故函数()f x 的单调减区间为()0 , 1，(,单调增区间为)+∞，即函数()f x在14e ⎡⎢⎣上单调递减，在e ⎤⎦上单调递增，又因为2fe ==，2141414ln e f e e ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭()22ln e f e e e==，且22e e >>， 所以函数()f x 在区间14 , e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2e ，最小值为2e ．………………………………………12分考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及导数求闭区间上函数的最值和数形结合思想，高考中的高频考点，是一道中档题．函数在闭区间上的最值一定在端点处或极值点处取得，只要计算出价值和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41e f ，()e f 比较即可，利用导数求函数()f x 的极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格． 21.（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y px =（0p >）与椭圆C '：22151416x y +=相交所得的弦长为2p ． （Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）设A ，B 是C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α，β变 化且αβ+为定值θ（tan 2θ=）时，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（Ⅰ）22y x =；（Ⅱ）直线AB 恒过定点()2 , 1-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）设抛物线()2:20C y px p =>与椭圆2215':1416x y C +=交于()11 , M x y ，()22 , N x y ()120 , 0y y ><两点，由对称性得 , 2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2215':1416x y C +=得p 的值；（Ⅱ）欲求证直线AB 恒过定点，可先根据条件求出带参数m 的直线AB 的方程，再结合θ为定值即可证得．（Ⅱ）设点()33 , A x y ，()44 , B x y ，由题意得34x x ≠（否则αβπ+=，不满足tan 2θ=），且30x ≠， 40x ≠，设直线OA ，OB 的方程分别为y kx =，y mx =()0 , 0k m ≠≠，………………………6分联立22y kx y x =⎧⎨=⎩，解得322x k =，32y k =，联立22y mx y x=⎧⎨=⎩，解得322x m =，32y m =；………………7分则由两点式得，直线AB 的方程为222222222y x m m k m k m--=--． 化简得()22mk ky x k m m k m m=+-++．① 因为2πθ≠，由αβθ+=，得()tan tan tan tan 21tan tan 1k m km αβθαβαβ++=+===--，得212mk m-=+，②………9分将②代入①，化简得()()()22222211m m m y x m m m m --=+-++，得()()22221121m m m y x m m -+=+++． 得()()2222221121m m m m m y x m m --++=+++， 得()()()22221121m m m m y x m m --=++++，得()()()222121m m y x m -=+++，即()()()221221m m y x m --=++．令20x +=，不管m 取何值，都有1y =．所以直线AB 恒过定点()2 , 1-．…………………………………………………………………………12分 考点：（1）轨迹方程；（2）直线过定点；（3）直线与圆的位置关系.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，BE 为O 的切线，点C 为O 上不同于A 、B 的一点，AD 为BAC ∠的平 分线，且分别与BC 交于H ，与O 交于D ，与BE 交于E ，连接BD 、CD ．（Ⅰ）求证：DBE DBC ∠=∠； （Ⅱ）求证：AH BH AE HC = ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BE BH =． 所以AH BH AH BE ⋅=⋅，因为DAB DAC ∠=∠，ACB ABE ∠=∠， 所以AHC AEB △∽△， 所以AH HCAE BE=，即AH BE AE HC ⋅=⋅， 所以AH BH AE HC ⋅=⋅．………………………………………………………………10分 考点：与圆有关的比例线段.【易错点晴】本题主要考查的是圆的内接四边形的判定定理、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等和割线定理，属于中档题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，动点A 的坐标为()23sin ,3cos 2αα--，其中α∈R ．在极坐标系（以原 点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线C 的方程为πcos 4a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （Ⅰ）判断动点A 的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值． 【答案】（Ⅰ）半径为3的圆；(Ⅱ)3a =或3a =-．试题解析：（Ⅰ）设动点A 的直角坐标为() , x y ，则23sin 3cos 2x y αα=-⎧⎨=-⎩，所以动点A 的轨迹方程为()()22229x y -++=,其轨迹是半径为3的圆．………………………………………………………………5分(Ⅱ)直线C 的极坐标方程cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2a =,3, 得3a =或3a =-．…………………………………………………………………………10分 考点：（1）圆的参数方程；（2）简单曲线的极坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()2f x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）若不等式()1f x <的解集为{}13x x <<，求a 的值； （Ⅱ）若存在0x ∈R ，使()003f x x +<，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1a =；(Ⅱ)3 , 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（Ⅰ）由不等式()1f x <求得2121a x a -<<+，再根据不等式()1f x <的解集为{}13x x <<， 可得211213a a -=⎧⎨+=⎩，求得a 的值；(Ⅱ)令()()22 , 222 , 2x a x ag x f x x x a x a x a-≥⎧=+=-+=⎨<⎩，可得()x g 的最小值为a 2，根据题意可得23a <，由此求得a 的范围．试题解析：（Ⅰ）由题意可得21x a -<可化为2121a x a -<<+,211213a a -=⎧⎨+=⎩,解得1a =．…………5分(Ⅱ)令()()22 , 222 , 2x a x ag x f x x x a x a x a -≥⎧=+=-+=⎨<⎩,所以函数()()g x f x x =+最小值为2a , 根据题意可得23a <,即32a <,所以a 的取值范围为3 , 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．………………………10分考点：绝对值不等式的解法.：。
