南开中学初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料（32）中位线甲内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5. 有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

乙例题例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN ，P 是BC 的中点。

求证：PM ＝PN（1991年泉州市初二数学双基赛题）证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，根据三角形中位线性质PE ＝21AC ＝NF ，PF ＝21AB ＝ME PE ∥AC ，PF ∥AB ∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PNP例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求MN 的长。

分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点，则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。

辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略） 例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。

初中数学竞赛辅导资料（36）三点共线甲内容提要1. 要证明A ，B ，C 三点在同一直线上， A 。

B 。

C 。

常用方法有：①连结AB ，BC 证明∠ABC 是平角②连结AB ，AC 证明AB ，AC 重合③连结AB ，BC ，AC 证明 AB ＋BC ＝AC④连结并延长AB 证明延长线经过点C2. 证明三点共线常用的定理有：① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半⑤ 两圆相切，切点在连心线上⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上乙例题例1.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点P 是形内的任一点，PM ⊥AB ， PN ⊥CD求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：过点P 作EF ∥AB ， ∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180∵PM ⊥AB ，PN ⊥CD∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180∴ M ，N ，P 三点在同一直线上例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上已知：平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，O 是AC 和BD 的交点求证：M ，O ，N 三点在同一直线上证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线∴MO ∥AB ，NO ∥AB根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行∴ M ，O ，N 三点在同一直线上证明二：连结MO 并延长交BC 于N， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB在△CAB 中∵AO ＝OC ，ON ，∥AB ∴BN ，＝N ，C ，即N ，是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点，∴点N ，和点N 重合∴ M ，O ，N 三点在同一直线上例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ，∠APB ＝Rt ∠连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上 例4.在平面直角坐标系中，点A 关于横轴的对称点为B ，关于纵轴的对称点是C ，求证B 和C 是关于原点O 解：连结OA ，OB ，OC ∵A ，B 关于X 轴对称， ∴OA ＝OB ，∠AOX ＝∠BOX 同理OC ＝OA ，∠AOY ＝∠COY ∴∠COY ＋∠BOX ＝90X ∴B ，O ，C 三点在同一直线上 ∵OB ＝OC∴ B 和C 是关于原点O 的对称点 例5.已知：⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B O 1和⊙O 2于E ，F 。

初中七年级数学竞赛培优讲义《初中七年级数学竞赛培优讲义》哎呀，一提到数学竞赛培优讲义，我这心里就像揣了只小兔子，怦怦直跳！为啥？因为这可真是个充满挑战又超级有趣的东西啊！你想想，数学就像一座神秘的城堡，里面藏着无数的宝藏和秘密。

而七年级的数学竞赛培优讲义，那就是打开这座城堡大门的一把神奇钥匙！我们先来说说那些有趣的几何图形吧。

三角形、四边形、圆形，它们就像是城堡里不同形状的房间。

三角形稳定得像泰山，不管怎么推怎么挤，它都稳稳当当的，难道这还不够神奇吗？四边形呢，有时候像个调皮的孩子，轻轻一拉就变形了。

圆形就更妙啦，像个超级大皮球，从哪个角度看都那么圆润可爱。

再讲讲代数部分，那些字母和数字的组合，就像是一场精彩的魔术表演。

X、Y 一会儿变大，一会儿变小，一会儿又消失不见，然后又突然冒出来，这难道不像魔术师手中的道具，让人眼花缭乱又惊喜连连？我们在课堂上，老师拿着培优讲义，就像拿着一本武功秘籍，给我们传授着一招一式。

“同学们，这道题可不容易哦，大家好好想想！”老师这么一说，大家都皱起了眉头，开始苦思冥想。

我心里想：“哼，我就不信我解不出来！”然后和同桌小声嘀咕：“你觉得从哪里入手好？”同桌挠挠头：“我也不太清楚呢，咱们再看看。

”小组讨论的时候那才热闹呢！“我觉得应该这样做。

”“不对不对，应该那样。

”大家争得面红耳赤，可谁也不服谁。

最后老师来给我们指点迷津，一下子就恍然大悟，那种感觉，就像在黑暗中突然看到了光明，别提多兴奋啦！做数学竞赛题，有时候就像爬山。

一开始觉得山坡好陡啊，怎么爬都爬不上去。

可是当你咬咬牙，坚持一下，突然就发现找到了一条小路，然后顺着这条路，一下子就爬到了山顶，那种成就感，简直无与伦比！数学竞赛培优讲义里的每一道题，都是一个小怪兽，我们就是勇敢的战士，拿着知识的武器去打败它们。

有时候会被小怪兽打得晕头转向，但是只要不放弃，总有战胜它们的时候。

经过这么长时间的学习和努力，我深深地觉得，数学竞赛培优讲义虽然难，但是它就像一个超级好玩的游戏，只要你用心去玩，就能从中获得无尽的乐趣和收获。

初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8∴x＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）①756 ②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时，59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。

初中数学比赛指导资料（12）用交集解题甲内容概要1．某种对象的全体构成一个会合。

构成会合的各个对象叫这个会合的元素。

比如6的正约数会合记作｛ 6 的正约数｝＝｛ 1，2，3， 6｝，它有 4 个元素 1，2，3，6；除以 3 余 1 的正整数会合是个无穷集，记作｛除以 3 余 1 的正整数｝＝｛ 1， 4， 7， 10｝，它的个元素有无数多个。

2．由两个会合的全部公共元素构成的一个会合，叫做这两个会合的交集比如 6 的正约数会合 A ＝｛ 1， 2， 3， 6｝， 10 的正约数会合 B＝｛ 1，2， 5，10｝， 6 与 10 的条约数会合 C＝｛ 1， 2｝，会合 C 是会合 A 和会合 B 的交集。

3．几个会合的交集可用图形形象地表示，右图中左侧的椭圆表示正数会合，右侧的椭圆表示整数会合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集――正整数集。

不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。

正数集正整数集整数集2x6(1)比如不等式组2解的会合就是x(2)不等式（ 1）的解集 x>3 和不等式（ 2）的解集x＞2 的交集， x>3 .如数轴所示：0234．一类问题，它的答案要同时切合几个条件，一般可用交集来解答。

把切合每个条件的全部的解（即解的会合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。

有时能够先求出此中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其余条件逐个挑选、剔除，求得答案。

（如例 2）乙例题例 1.一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个自然数的最小值。

解：除以 3 余 2 的自然数会合 A ＝｛ 2，5， 8，11， 14， 17， 20， 23， 26，｝除以 5 余 3 的自然数集B＝｛ 3， 8， 13， 18， 23， 28，｝除以 7 余 2 自然数会合C＝｛ 2， 9， 16， 23， 30，｝会合 A 、 B、 C 的公共元素的最小值23 就是所求的自然数。

初中数学竞赛辅导资料（66）辅助圆甲内容提要1. 经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2. 经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理：① 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). ② 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. ③ 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. ④ 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径). 3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：① 同弧所对的圆周角相等.② 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. ③ 圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系.④ 圆中成比例线段定理：相交弦定理4. 证明 型如ab+cd=m 2常用切割线定理 乙例题例1.已知：点O 是△ABC 的外心，BE ，CD 是高.求证：AO ⊥DE证明：延长AO 交△ABC 的外接圆于F ，连接BF. ∵O 是△ABC 的外心 ∴AF 是△ABC 外接圆的直径，∠ABF=Rt ∠.∵BE ，CD 是高，∠BDC=∠CEB=Rt ∠.∴B，C ，E ，D 四点共圆(∴∠ADE=∠ECB=∠F. ∴∠AGD=∠ABF=Rt ∠， 即AO ⊥DE. 例2.正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内的一点，且∠OPB=45，PA ∶PB=5∶14，则PB=____cm. (1989年全国初中数学联赛题) 解：∵∠OPB=∠OAB=45∴ABOP 四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆)∴∠APB=∠AOB=Rt ∠.在Rt △APB 中，设PA 为5x ，则PB 是14x. ∴(5x)2+(14x)2=1989. 解得x=3, 14x.＝42. ∴PB=42 (cm).例3.已知：平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，AF ⊥BC 于F.求证：AB ×AE+CB ×CF=AC 2. 证明：作BG ⊥AC 交AC 于G. ∵CE ⊥AB ， AF ⊥BC.∴A ，F ，B ，G 和B ，E ，C ，G 分别共圆.(对角互补的四边形顶点共圆)根据切割线定理，得 AB ×AE=AG ×AC CB ×CF=CG ×AC∴AB ×AE+CB ×CF=AC(AG+CG)=AC 2.例4.已知：AD 是Rt △ABC 斜边的高，角平分线BE 交AD 于F.求证：AE 2=AB 2－BE ×BF.分析：根据同角的余角相等，可证AE=AF.由射影定理AB 2=BD ×BC.故只要证AE ×AF ＝BD ×BC －BE ×BF 创造应用切割线定理的条件，作△ABC 的 外接圆并延长BE 交圆于G ，得F 、D 、C 、G 四点共圆 . ∴ BD ×BC=BF ×BG.∴右边= BF ×BG .－ BE ×BF=BF(BG －BE)=BF ×EG 从而转为要证AE ×AF= BF ×BG . 即AFEGBF AE 只要证△AEG ∽△BFA ……(证明由同学自已完成)例5已知：从⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA ，PB 切点A 和B ，在AB 上任取一点C ，经过点C 作OC 的垂线交PA 于M ，交PB 于N. 求证：OM=ON.证明：连结OA ，OB .∵A ，B 是切点 ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB.又∵OC ⊥MN.∴A ，M ，C ，O 和B ，N ，O ，C 分别共圆.(辅助圆可以不画) 根据同弧所对的圆周角相等，得 ∠OAC=∠OMC ， ∠ONC=∠OBC. ∵OA=OB ， ∴∠OAC=∠OBC.∴∠OMC=∠ONC ， ∴OM=ON.丙练习661.已知：AD 是△ABC 的高，DE ，DF 分别是△ADB 和△ADC 的高 求证： B ，C ，F ，E 四点共圆2.已知：两条线段AB 和CD 相交于点P ，且PA ×PB=PC ×PD. 求证：A ，B ，C ，D 四点共圆.3.已知：⊙O 和⊙O ，相交于A ，B ，过点A 作一直线交⊙O 于C ，交⊙O ，于D ，分别过 点C 和点D 作⊙O 和⊙O ，的切线相交于点P .求证：P ，C ，B ，D 四点在同一个圆上.4.已知：E 是正方形ABCD 边BC 上的一点，过点E 作AE 的垂线和∠C 的外角平分线交于点F. 求证：AE=AF.5.已知：M 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的一点，过点M 画两组对边的垂线段分别交AB ，CD 于E ，F 交AD ，BC 于G ，H.求证：EG ∥FH.6.已知：△ABC 的三条高AD ，BE ，CF 交于点H. 求证：BH ×BE+CH ×CF=BC 2.7.已知：AB 是⊙O 的直径，C 是半圆上的一点，CD ⊥AB 于D ，G 是CD 上的一点，AG 的延长线交半圆于H. 求证：CD 2+AD 2=AG ×AH.8.已知：AD 是△ABC 的角平分线 . 求证：AD 2=AB ×AC.＝DB ×DC9.已知：凸五边形ABCDE 中.∠A=3α，BC=CD=DE ，∠C=∠D=180.＝2α. 求证：AC ，AD ，AE 三等分∠A. (1990年全国初中数学联赛题) 10.求证：圆上一点到圆内接四边形两组对边的距离的积相等11.求证：圆内接四边形两组对边积的和等于两对角线的积(托列密定理)12.如图已知：圆内接四边形ABCD 中，由AB 上一点M 作MP ⊥BC ，MQ ⊥CD ， MR ⊥DA ，PR 交MQ 于N.C求证：MABMNR PN . (1983年福建省初中数学联赛题)13.如图已知：∠ACE=∠CDE=Rt ∠，点B 在CE 上，CA=CB=CD ，过A ，C ，D 的圆交AB 于F.求证：点F 是△CDE 的内心（1995年全国初中数学联赛题）13。

初中数学竞赛辅导资料20----7a3b8f0a-6ea0-11ec-8183-7cb59b590d7d-初中数学竞赛辅导资料20初中数学竞赛辅导材料20份第二十课乘法公式的应用例1计算：（1）（1+2）（1+22）（1+24）。

(1 + 232) + 1; （2）（19924+19923+19922+1993）×1991+1解：（1）原公式=（1+2）（1+22）（1+24）。

(1 + 232) × （1-2）÷（1-2）+1=-（1+22）（1+23）（1+24）…（1+232）+1……=1-+264+1=264四万三千二百五十五（2）设x=1992，原式=（x+x+x+x+1）（x-1）+1=x=1992。

例2（1988年上海市初中数学竞赛试题）已知x+y=10，X3+Y3=100，求x2+Y2。

解决方案1：从X3+Y3=（x+y）3-3xy×10？xy=30.x2+y2=（x+y）2-2xy=102-2×30=40溶液2：从x+y=10，x2+2xy+y2=100，。

① 从X3+Y3=100，X2+Y2 xy=10。

②①-②，得3xy=90，?xy=30，∴x2+y2=10+xy=40想一想例子2中的两种分析，它使用分析法和综合法。

例3设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2，n=c2+d2。

试将mn表示成两个整数的平方和的形式。

解决方案：Mn=（A2+B2）（C2+D2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（a2c2+2abcd+b2d2）+（b2c2-2abcd+a2d2）=（ac+bd）2+（ac-ad）2。

例4计算：（b+c-2a）3+（c+a-2b）3+（a+b-2c）3-3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）解：设x=b+c-2a，y=c+a-2b，z=a+b-2c，∴原式=x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）=0例5设（2x-1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0。

初一数学竞赛讲义重难点有效突破知识点梳理及重点题型举一反三练习专题01 质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数|，则必有|或|．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N=，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，…，)．正整数N的正约数的个数为(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正约数的和为(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．例题与求解【例1】已知三个质数，，满足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．(江苏省竞赛试题) 解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，，的值．【例2】若为质数，＋5仍为质数，则＋7为( )A．质数B．可为质数，也可为合数C．合数D．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数．⑵若是大于2的正整数，求证：－1与＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明－1与＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设和是正整数，≠，是奇质数，并且，求＋的值．解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设．由质数的定义得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A级1．若，，，为整数，=1997，则=________．2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则(－)＋(－)=__________．3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为____________．(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是( )A．4B．8C．12D．06．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个(“希望杯”邀请赛试题) 7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有()A．1个B．3 个C．5个D．6 个(“希望杯”邀请赛试题) 8．设，，都是质数，并且＋=，<．求．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，，都是正整数，且(，)=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B级1．若质数，满足5＋7=129，则＋的值为__________．2．已知，均为质数，并且存在两个正整数，，使得=＋，=×，则的值为__________．3．自然数，，，，都大于1，其乘积=2 000，则其和＋＋＋＋的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题) 4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 5．若，均为质数，且满足＋=2 089，则49－=_________．A．0B．2 007C．2 008D．2 010(“五羊杯”竞赛试题) 6．设为质数，并且7＋8和8＋7也都为质数，记=77＋8，=88＋7，则在以下情形中，必定成立的是()A．，都是质数B．，都是合数C．，一个是质数，一个是合数 D．对不同的，以上皆可能出现(江西省竞赛试题) 7．设，，，是自然数，并且，求证：＋＋＋一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：⑴6个数中任意两个都互质；⑵6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．专题01 质数那些事例1 34例2 C例3 3符合要求提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．例4 （1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n是大于2的正整数，则－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故－1与＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a的所有正约数之和为b，，，，…，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a．由于中各分数分母的最小公倍数=a，故S===，而a=360=，故b=（1＋2＋＋）×（1＋3＋）×（1＋5）=1170．==．例5 由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x ＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x==，∴x＋y=＋=。

初中数学竞赛辅导资料-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。

2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。

（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。

问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。

初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。

2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。

3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。

解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。

解：13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n ） aaax ax xO x -++++1133223=21（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。

初中数学竞赛辅导资料（6）数学符号甲内容提要数学符号是表达数学语言的特殊文字。

每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。

数学符号一般可分为：1, 元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示园和三角形等。

2, 关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。

3, 运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。

4, 逻辑符号：略5, 约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，如果a 除以b 的商的整数部份记作Z （b a ），而它的余数记作R （b a ）， 那么 Z （310）＝3，R （310）＝1；又如设[]x 表示不大于x 的最大整数，那么[]2.5＝5，[]2.5-＝－6，⎥⎦⎤⎢⎣⎡32＝0，[]3-＝－3。

正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。

在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。

乙例题例1设[]Z 表示不大于Z 的最大整数，＜n>为正整数n 除以3的余数 计算：①〔4.07〕＋〔－732〕－〈13;〉＋〈2004〉 ②〈〔14.7〕〉＋〔234><〕。

解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0②原式＝＜14＞＋〔21〕＝2＋0＝2 例2①求19871988的个位数②说明19871989－19931991能被10整除的理由解：设N （x ）表示整数x 的个位数，① N （19871988）＝N （74×497）＝N （74）＝1②∵N （19871989）－N （19931991）＝N （74×497＋1）－N （34×497＋3）＝N （71）－N （33）＝7－7＝0∴19871989－19931991能被10整除由于引入辅助符号，解答问题显得简要明瞭。

（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。

【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。

思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。

【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。

思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。

【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。

思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。

1.1 因式分解一、常用公式或变形方法（此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容）1. ()2222222c b a bc ac ab c b a ++=+++++（在已知c b a ++和222c b a ++时此公式常变形为()()22222c b a c b a bc ac ab ++-++=++）二、例题讲解例1. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且满足bc ac ab c b a ++=++222，试判断△ABC 的形状.例2. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，求这三个素数.（2015大同杯第四题） 例3. 已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，2220.1a b c ++=，求444a b c ++的值.（2003年宇振杯第3题）例4. 已知0=++c b a ，0333=++c b a ，求证：0555=++c b a 三、练习题1. 已知整数a 、b 满足3031096+-=b a ab ，求b a +的值.2. 已知121+=m a ，221+=m b ，3+=m c ，求bc c ac b ab a 222222-+-++的值. 3. 已知a 、b 、c 是不全相等的实数，且0≠abc ，abc c b a 3333=++，求： （1）c b a ++的值（2）⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b c c a b c b a 111111的值4. 化简：2232232bab a b ab b a a +-+--（2014大同杯第1题） 5. 设非零实数a ，b ，c 满足⎩⎨⎧=++=++0432032c b a c b a ，求222c b a cabc ab ++++的值.（2013年全国初中数学联赛第一试第1题）6. 已知正数a 、b 、c 满足3=++=++=++a c ac c b bc b a ab ，求()()()111+++c b a 的值.7. 已知：5=++c b a ，15222=++c b a ，47333=++c b a ，求()()()222222a ca c c bcb b ab a++++++的值.（2016全国初中数学联赛第二试B 组第2题）1.2 对称式与轮换对称式 一、定义1. 一个n 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

初中数学竞赛专题选讲（初三.16）解三角形一、内容纲要1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形 .2. 解直角三角形所依照的定理(在 Rt △ABC 中，∠ C=Rt ∠ ).① 边与边的关系：2 2 2勾股定理－－－－―― c =a +b . ② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠ A+ ∠ B=Rt ∠ ③ 边与角的关系： （锐角三角函数定义）SinA= a ，CosA= b,tanA=a ,CotA= b .Ac cba④ 互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90 － A)= CosA ， Cos(90 － A)= SinA ， cbtan(90 － A)= CotA,Cot(90 －A)= tanA.BaC⑤ 特别角的三角函数值：角 A 的度数 030 45 6090SinA 的值CosA 的值 1tanA 的值 0不CotA 的值存 在1 2 3212 23 2 12223 13 不 存3在313 03锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数） ；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数） .3. 解斜三角形所依照的定理(在△ ABC 中 )① 正弦定理：abc (R 是△ ABC 外接圆半径 ).SinASinB=2R.SinC② 余弦定理：c 2=a 2+b 2－ 2abCosC ； b 2=c 2+a 2－ 2ca CosB ； a 2=c 2+b 2－ 2cbCosA.③ 互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180 － A)= sinA ， Cos(180 － A)= － cosA ，tan(180 － A)= － cotA ，cotA(180 － A)= －tanA.④ S △ABC ＝ 1 absinC=1 bcsinA= 1 casinB.22 24. 与解三角形相关的看法： 水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方向角等 . 二、例题例 1. 已知：四边形 ABCD 中，∠ A ＝ 60 ， CB ⊥ AB ，CD ⊥ AD ， CB ＝2， CD ＝ 1.求： AC 的长 .解：延长 AD 和 BC 订交于 E ，则∠ E ＝ 30 .E在 Rt △ECD 中，∵ sinE=CD,CE∴ CE=1 =1÷ 1＝ 2. EB ＝ 4.sin 302在 Rt △EAB 中， ∵ tanE=AB,EBD1C4 3y2 ∴ AB=EBtan30 。