【K12教育学习资料】2018版高中数学第二章函数2.3映射的概念学业分层测评苏教版必修1

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法正确的是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示【解析】当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；当x1≠x2，y1≠y2时由直线方程的两点式知选项B正确，当x1＝x2，y1≠y2时直线方程为x －x1＝0，即(x－x1)(y2－y1)＝(y－y1)(x2－x1)，同理x1≠x2，y1＝y2时也可用此方程表示．故选B.【答案】 B2．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A．3x－y－8＝0B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0【解析】k AB＝1－3－5－1＝13，AB的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.【答案】 B3．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则() A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0【解析】直线经过第一、二、三象限，则由y＝－ab x－cb可知，⎩⎪⎨⎪⎧－a b >0，－c b >0⇒⎩⎨⎧ab <0，bc <0，选D.【答案】 D4．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－3【解析】 ∵l 1⊥l 2，∴2(k －3)2－2(3－k )＝0， 即k 2－5k ＋6＝0，得k ＝2或k ＝3. 【答案】 C5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya ＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合． 【答案】 A 二、填空题6．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为________． 【解析】 当直线过原点时，在两坐标轴上的截距均为0，满足题意．此时直线方程为y ＝2x ，当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，因为直线过P (1,2)，所以1－2＝a ，所以a ＝－1，直线方程为x －y ＋1＝0【答案】 y ＝2x 或x －y ＋1＝07．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为__________．【解析】 设A (x,0)，B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝－1，0＋y 2＝2，∴⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝4.由截距式得l 的方程为x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 【答案】 2x －y ＋4＝0 三、解答题8．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 的范围；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．【解】 (1)由⎩⎨⎧m 2－3m ＋2＝0，m －2＝0，解得m ＝2，若方程表示直线，则m 2－3m ＋2与m －2不能同时为0，故m ≠2. (2)由－(m 2－3m ＋2)m －2＝1，解得m ＝0.9．已知三角形的三个顶点A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)求三角形三边所在直线的方程； (2)求AC 边上的垂直平分线的方程． 【解】 (1)直线AB 的方程为y －46－4＝x －0－2－0， 整理得x ＋y －4＝0； 直线BC 的方程为y －06－0＝x ＋8－2＋8，整理得x －y ＋8＝0；由截距式可知，直线AC 的方程为x －8＋y4＝1，整理得x －2y ＋8＝0. (2)线段AC 的中点为D (－4,2)，直线AC 的斜率为12，则AC 边上的垂直平分线的斜率为－2，所以AC 边的垂直平分线的方程为y －2＝－2(x ＋4)，整理得2x ＋y ＋6＝0.[能力提升]10．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2y －x －4＝0B ．2x －y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝0【解析】 由x －y ＋1＝0得A (－1,0)，又P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，∴P 为线段AB 中垂线上的点，且B (5,0)．PB 的倾斜角与P A 的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB 的斜率k PB ＝－1，则方程为y ＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.【答案】 C11．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解】 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)， 若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. ① 又∵直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1.②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1， 即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 若满足条件(2)，则ab ＝12， ③ 由题意得：43a ＋2b ＝1，④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1， 即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0.。

2.1.1 数轴上的基本公式学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.给出以下几个命题，其中正确命题的个数是( )①数轴上起点相同的向量方向相同；②数轴上相等的向量，若起点不同，则终点一定不同；③数轴上不相等的向量，终点一定不相同；④零向量没有方向.A.1B.2C.3D.4【解析】 起点相同的向量，它的终点位置不定，所以方向不一定相同，故①错；相等的向量，若终点不同，则起点一定不同，故②对；向量的相等与起点、终点无关，因此不相等的向量，终点完全可以相同，故③错；零向量是方向不确定的向量，不是没有方向，若没有方向，则它就不是向量了，故④错.综上，正确的只有②.【答案】 A2.在数轴上M 、N 、P 的坐标分别是3、－1、－5，则MP －PN 等于( )A.－4B.4C.－12D.12【解析】 MP ＝(－5)－3＝－8，PN ＝(－1)－(－5)＝4，MP －PN ＝－8－4＝－12.【答案】 C3.若A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，且BA ＝6，BC ＝－2，CD ＝6，则AD ＝( )A.0B.－2C.10D.－10【解析】 由题意知AD ＝AB ＋BC ＋CD＝－BA ＋BC ＋CD ＝－6－2＋6＝－2，故选B.【答案】 B4.数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( )A.1B.2C.3D.4【解析】 由AB ＝x B －x A ，得－5－x A ＝－8，解得x A ＝3.【答案】 C5.对于数轴上任意三点A ，B ，O ，如下关于线段的数量关系不恒成立的是( )A.AB ＝OB －OAB.AO ＋OB ＋BA ＝0C.AB ＝AO ＋OBD.AB ＋AO ＋BO ＝0【解析】 由有向线段数量关系的运算知：AB ＝OB －OA ，AB ＝AO ＋OB ，AO ＋OB ＋BA ＝AB ＋BA ＝0，所以A 、B 、C 都恒成立，而对于D ，AB ＋AO ＋BO ＝OB －OA ＋AO ＋BO ＝2AO ，故选D.【答案】 D二、填空题6.若在直线坐标系中，有两点A (5)，B (－2)，且AB ＋CB ＝0，则C 点的坐标为________.【解析】 设C 点的坐标为x ，则－2－5＋(－2－x )＝0，解得x ＝－9.【答案】 －97.已知数轴上点A ，B 的坐标分别为x 1，x 2，若x 2＝－1，且|AB |＝5，则x 1的值为________.【解析】 |AB |＝|x 2－x 1|＝5，即|x 1＋1|＝5，解得x 1＝－6或x 1＝4.【答案】 －6或48.已知点A (2x )，B (x 2)，且点A 在点B 右侧，则x 的取值范围是________.【解析】 ∵A 在B 点的右侧，∴2x >x 2，即x 2－2x <0，∴0<x <2.【答案】 (0,2)三、解答题9.已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|，若关于x 的不等式f (x )≥k 有解，求k 的最大值.【解析】 |x －2|表示x 与2的距离，|x －5|表示x 与5的距离， f (x )＝|x －2|－|x －5|表示x 与两点2和5的距离之差.当x ≤2时，f (x )为－3；当2<x <5时，f (x )的范围为(－3,3)；当x ≥5时，f (x )为3，∴－3≤|x －2|－|x －5|≤3.要使不等式f (x )≥k 有解，则k ≤3，∴k max ＝3.10.已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3.(1)求向量OA →、AB →的数量；(2)求所有满足条件的点B 到原点O 的距离之和.【解】 (1)∵A 与原点的距离为3，∴A (3)或A (－3).当A (3)时，∵A 、B 距离为1，∴B (2)或B (4)，这时OA →的数量为3，AB →的数量为－1或1，当A (－3)时，∵A 、B 距离为1，所以B (－4)或B (－2)，此时OA →的数量为－3，AB →的数量为－1或1.(2)满足条件的所有点B 到原点的距离和为2＋4＋4＋2＝12.[能力提升]1.三个不相等的实数a ，b ，c 在数轴上分别对应点A ，B ，C ，如果|a －b |＋|b －c |＝|a －c |，则点B 在点( )A.A ，C 的右边B.A ，C 的左边C.A ，C 之间D.A 或C 上【解析】 ①若点B 在A ，C 右边，则b >a ，b >c ，则有|a －b |＋|b －c |＝b －a ＋b －c ＝2b －(a ＋c )，不一定等于|a －c |；②若点B 在A ，C 左边，则b <a ，b <c 所以|a －b |＋|b －c |＝a －b ＋c －b ＝(a ＋c )－2b 也不一定与|a －c |相等；③若点B 在点A ，C 之间，则a <b <c 或c <b <a ，则有|a －b |＋|b －c |＝|a －b ＋b －c |＝|a －c |；④∵a ，b ，c 不相等，故点B 不可能在点A ，C 上.【答案】 C2.若点A ，B ，C ，D 在一条直线上，BA ＝－6，BC ＝－2，CD ＝6，则AD 等于( )A.0B.－2C.10D.－10【解析】 由BA ＝－6知AB ＝6，∴AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝10.【答案】 C3.数轴上任取不同的三个点P ，Q ，R ，则下列各式中一定为0的值的是________.①PQ ＋PR ；②PQ ＋RQ ；③PQ ＋PR ＋QR ；④PQ ＋QR ＋RP .【解析】 由向量加法公式可得.【答案】 ④4.已知数轴上有点A (－2)，B (1)，D (3)，点C 在直线AB 上，且有AC BC ＝12.问：在线段DC 上是否存在点E ，使d C ，E d E ，D ＝14？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】 设点C 的坐标为x ，点E 的坐标为x ′，则AC BC ＝x －－x －1＝12，即x ＝－5， ∴点C 的坐标为－5.又点E 在线段DC 上，∴d C ，E d E ，D ＝CE ED ＝x ′－－3－x ′＝14， 即4x ′＋20＝3－x ′，解得x ′＝－175∈(－5,3). ∴在线段DC 上存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－175，使d C ，E d E ，D ＝14.。

2.3 映射的概念(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列从P 到Q 的各对应关系f 中，不是映射的是________．(填序号) ①P ＝N ，Q ＝N *，f ：x →|x －8|；②P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{－4，－3,0,5}，f ：x →x (x －4)； ③P ＝N *，Q ＝{－1,1}，f ：x →(－1)x； ④P ＝Z ，Q ＝{有理数}，f ：x →x 2.【解析】 ①P ＝N 中元素8在Q ＝N *中无对应，所以①不是映射．②P ＝{1,2,3,4,5,6}中元素6在Q ＝{－4，－3,0,5}中无对应，所以②不是映射．③④符合映射定义．【答案】 ①② 2．观察数表：则f [g (3)【解析】 由表中对应数据可知g (3)＝－4，f (－1)＝－1. ∴f [g (3)－f (－1)]＝f (－4＋1)＝f (－3)＝4. 【答案】 43．设集合A 中的元素(x ，y )在映射f 下的对应B 中的元素是(2x ＋y ，x －2y )，则在f 下，B 中元素(2,1)在A 中的对应元素是________．【解析】 令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，x －2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，因此(2,1)在A 中的对应元素是(1,0)．【答案】 (1,0)4．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b ，若5→5，且7→11，若x →20，则x ＝________.【解析】 由5→5,7→11，得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋b ＝5，7a ＋b ＝11，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－10.若x →20，则3x －10＝20，得x ＝10. 【答案】 105．已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b a＝0，a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝1.∴a ＋b ＝1. 【答案】 16．如图2­3­1所示为一个从集合A 到集合B 的映射，这个映射表示的函数的奇偶性是________．(填“奇函数”“偶函数”“既是奇函数又是偶函数”“既不是奇函数也不是偶函数”)图2­3­1【解析】 该映射表示定义域为{±1，±2}，值域为{1,3}的函数，定义域关于数“0”对称，且f (1)＝f (－1)＝1，f (2)＝f (－2)＝3，因此这个映射表示的函数为偶函数．【答案】 偶函数7．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 可能是________．(填序号)①∅；②∅或{1}；③{1}；④∅或{2}． 【解析】 若x 2＝1，则x ＝±1， 若x 2＝2，则x ＝±2，所以A 中最多含有－2，－1,1，2四个元素， 所以A ∩B ＝∅或A ∩B ＝{1}． 【答案】 ②8．已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1,2}，从A 到B 建立映射f ，使f (a )＋f (b )＋f (c )＝4，则满足条件的映射共有________个.【解析】 ∵4＝2＋1＋1，∴a ，b ，c 中有一个对应2，另两个只能对应1，共有三种情况．【答案】 3 二、解答题9．已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6}，取适当的对应法则． (1)以集合A 为定义域，B 为值域的函数有多少个？(2)在所有以集合A 为定义域，B 为值域的函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)的函数有多少个？【解】 (1)根据映射与函数的定义，集合A 中的元素均可与B 中的两个元素对应，故从A 到B 可建立24＝16个函数，但在1,2,3,4都对应5或都对应6这两种情况下，值域不是B ，应予以排除，所以集合A 为定义域，B 为值域的函数有14个．(2)在上述14个函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)的函数具体为：f (1)＝5，f (2)＝f (3)＝f (4)＝6； f (1)＝f (2)＝5，f (3)＝f (4)＝6； f (1)＝f (2)＝f (3)＝5，f (4)＝6.所以满足条件的函数共有3个．10．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，对应关系f ：x →y ＝ax .若在f 的作用下能够建立从A 到B 的映射f ：A →B ，求实数a 的取值范围．【解】 ①当a ≥0时，由－2≤x ≤2，得－2a ≤ax ≤2a . 若能够建立从A 到B 的映射， 则[－2a,2a ]⊆[－1,1]，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ≥－1，2a ≤1，∴0≤a ≤12.②当a <0时，集合A 中元素的象满足2a ≤ax ≤－2a ， 若能建立从A 到B 的映射， 则[2a ，－2a ]⊆[－1,1]，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，－2a ≤1，∴－12≤a <0.综合①②可知－12≤a ≤12.[能力提升]1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则下列能表示从P 到Q 的映射的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .【解析】 如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应法则f 在Q 中有唯一元素和它对应，③中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q .【答案】 ①②④2．若集合A ＝{0,1,2}，f ：x →x 2－2x 是从A 到B 的映射，则集合B 中至少有________个元素．【解析】 由A ＝{0,1,2}，f ：x →x 2－2x ，分别令x ＝0,1,2， ∴x 2－2x ＝0，－1,0.又根据集合中元素的互异性， ∴B 中至少有2个元素． 【答案】 23．已知f 是从集合M 到N 的映射，其中M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－3,0,3}，则满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0的映射f 的个数是________.【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝3，f b ＝0，f c ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝－3，f b ＝0，f c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝3，f b ＝－3，f c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝－3，f b ＝3，f c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝0，f b ＝3，f c ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝0，f b ＝－3，f c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝0，f b ＝0，f c ＝0.【答案】 74．已知A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，其中m ，n ∈N *.若x ∈A ，y ∈B ，有对应法则f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个映射，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，q ，m ，n 的值.【解】 由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝1.故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的对应值是n 4或n 2＋3n .若n4＝10，因为n ∈N *，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的对应元素是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的对应元素是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.。

2．3 映射学习目标 1.了解映射、一一映射的概念及表示方法(重点)；2.了解像与原像的概念；3.了解映射与函数的区别与联系(重、难点)．预习教材P32－33完成下列问题：知识点一映射的概念1．两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．2．像与原像的概念在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在从集合A到集合B的映射中，集合B中的某一个元素b的原像可能不止一个．( )(2)集合A中的某一个元素a的像可能不止一个．( )(3)集合A中的两个不同元素所对应的像必不相同．( )(4)集合B中的两个不同元素的原像可能相同．( )提示根据映射的概念可知：(1)中元素必有唯一确定的像，但在像集中一个像可以有不同的原像，故只有(1)正确．答案(1)√(2)×(3)×(4)×知识点二一一映射一一映射是一种特殊的映射，它满足：①A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；②A中的不同元素的像也不同；③B中的每一个元素都有原像．【预习评价】1．设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为( )A．3 B．6C．9 D．18解析A中有3个元素，B中也有3个元素，按定义一一列举可知有6个．答案 B2．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________．解析由f(2)＝3，可知2a－1＝3，∴a＝2，∴f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5．答案 5知识点三 函数与映射设A 、B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫作A 到B 的函数．即函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．【预习评价】1．从集合A 到集合B 的映射f ：A →B 与从集合B 到集合A 的映射f ：B →A 是不是相同映射？提示 映射f ：A →B 与映射f ：B →A 不是相同映射．． 2．映射一定是函数吗？函数一定是映射吗？提示 当集合A ，B 为非空数集时，映射就是函数，否则不是，但函数都是映射．题型一 映射的概念【例1】 判断下列对应是不是映射？(1)A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |0≤y ≤1}，f ：y ＝13x ，x ∈A ，y ∈B ；(2)A ＝N ，B ＝N *，f ：y ＝|x －1|，x ∈A ，y ∈B ；(3)A ＝{x |0<x ≤1}，B ＝{y |y ≥1}，f ：y ＝1x，x ∈A ，y ∈B ；(4)A ＝R ，B ＝{y |y ∈R ，y ≥0}，f ：y ＝|x |，x ∈A ，y ∈B ． 解 (1)是映射．(2)对于A 中的元素1，在f 作用下的像是0，而0∉B ，故(2)不是映射． (3)是映射．(4)对于A 中的元素1和－1，在f 作用下的像都是1，所以f 是映射．规律方法 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合A 中的任意一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．【训练1】 下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N ． A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D ．答案 D题型二 求某一映射中的像或原像【例2】 设f ：A →B 是A 到B 的一个映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )．(1)求A 中元素(－1,2)的像； (2)求B 中元素(－1,2)的原像．解 (1)A 中元素(－1,2)在B 中对应的元素为(－1－2，－1＋2)，即A 中元素(－1,2)的像为(－3,1)．(2)设A 中元素(x ，y )与B 中元素(－1,2)对应，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.所以B 中元素(－1,2)的原像为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32．规律方法 求某一映射中的像或原像，要准确地利用对应关系，恰当地列出方程或方程组．【训练2】 设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 作用下，像(2,1)的原像是( )A ．(3,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12D ．(1,3)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12.故选B ．答案 B【例3】 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,2}．则从A 到B 可以建立多少个不同的映射？ 解 从A 到B 可以建立8个映射，如下图所示．【迁移1】(改变问法)本例条件不变，则从B到A的映射有多少个？解从B到A可以建立9个映射，如图所示．【迁移2】(增加条件)本例若增加条件：f(a)＋f(b)＋f(c)＝0.则从A到B的映射有多少个？解欲使f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，需a，b，c中有两个元素对应－1，一个元素对应2，共可建立3个映射．【迁移3】(变换条件)本例条件变为设A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，若从A到B 的映射f满足：f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．解要确定映射f，只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值，由题可知，f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，且满足f(a)＋f(b)＝f(c)，列表规律方法(1)如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有n m个，从B到A的映射共有m n个．(2)映射带有方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．课堂达标1．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则从A 到B 的映射共有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析 列举法.⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝0，fb ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝0，fb ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，fb ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，fb ＝1，共4个．答案 C2．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )解析 在A 、B 选项中，由于集合A 中的元素2在集合B 中没有对应的元素，故构不成映射，在C 选项中，集合A 中的元素1在集合B 中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项D 符合映射的定义，故选D ．答案 D3．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )，若B 中元素(6,2)在映射f 下的原像是(3,1)，则k ，b 的值分别为________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＝6，1＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.答案 2,14．已知集合A 中元素(x ，y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.答案 (1,3)5．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{c ，d }，则由A 到B 的对应中，映射有几个？ 解 有四个，如图所示 ：课堂小结1．对映射的定义，应注意以下几点：(1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合．(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达．2．映射的特征(1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应，即A中元素不能空着．(2)唯一性：从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射．(3)方向性：f：A→B与f：B→A，一般是不同的映射．3．映射与函数的关系函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．。

2.3 映射的概念A 级 基础巩固1．下列对应不是映射的是( )解析：结合映射的定义可知A 、B 、C 均满足M 中任意一个数x ，在N 中有唯一确定的y 与之对应，而D 中元素1在N 中有两个元素a ，b 与之对应，不是映射．答案：D2．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图象中能表示集合A 到集合B 的映射的是( )解析：因为象集为{y |1≤y ≤2}，故A ，B 错，又根据映射的定义知C 错． 答案：D3．已知集合A 中元素(x 、y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为( )A ．(1，3)B ．(1，6)C ．(2，4)D ．(2，6)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 答案：A4．已知f ：A →B 是集合A 到B 的映射，又A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝x 2＋2x －3，k ∈B 且k 在A 中没有原象，则k 的取值范围是( )A．(－∞，－4) B．(－1，3)C．[－4，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：因为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4≥－4，即象集为[－4，＋∞)，所以当k<－4时，k就没有原象．答案：A5．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________．解析：由f(2)＝3，可知2a－1＝3，所以a＝2.所以f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.答案：56．已知A＝{a，b}，B＝{0，1}，则从A到B的映射共有________个．解析：由于A中元素a在B中有两个元素与之对应，元素b在B中也有两个元素与之对应，所以从A到B的映射共有2×2＝4(个)．答案：47．已知M＝{正整数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1，则在映射f下，M 中的元素11对应着P中的元素________，P中的元素11对应着M中的元素________．解析：由题知a＝11，b＝21，即M中的元素11对应着P中的元素21；又b＝11，代入b＝2a－1，a＝6，即P中的元素11对应着M中的元素6.答案：21 68．集合A＝{a，b}，B＝{－1，0.1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数是________．解析：由f(a)＝0，f(b)＝0得f(a)＋f(b)＝0；f(a)＝1，f(b)＝－1得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝－1，f(b)＝1得f(a)＋f(b)＝0.共3个．答案：39．若集合A＝{0，1，2}，f：x→x2－2x是从A到B的映射，则集合B中至少有________个元素．解析：由A＝{0，1，2}，f：x→x2－2x.令x＝0，1，2，得x2－2x分别为0，－1，0.又由集合中元素的互异性，所以B中至少有元素0与－1.答案：210．观察数表：则f (g (3)解析：由表中数据对应关系知g (3)＝－4，f (－1)＝－1， 所以f (g (3)－f (－1))＝f (－4＋1)＝f (－3)＝4. 答案：411．已知映射：f ：A →B ，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：A 中的元素(x ，y )对应B 中的元素为(3x －2y ＋1，4x ＋3y －1)．(1)求A 中元素(1，2)在B 中对应的元素； (2)B 中元素(1，2)与A 中哪个元素对应？ 解：(1)A 中元素(1，2)，即当x ＝1，y ＝2时， 3x －2y ＋1＝3×1－2×2＋1＝0， 4x ＋3y －1＝4×1＋3×2－1＝9， 所以B 中对应的元素为(0，9)． (2)当B 中元素为(1，2)时， 则由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝617，y ＝917.所以B 中元素(1，2)与A 中的⎝⎛⎭⎪⎫617，917对应．12．已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1，0，1}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，求映射f ：A →B 的个数．解：(1)当A 中元素都对应一个元素时，由于f (a )＋f (b )＝f (c )，所以a ，b ，c 必须都对应元素0.(如图所示)共有1个映射．(2)当A 中元素对应两个元素时，根据f (a )＋f (b )＝f (c )，有下面4种情况．(3)当A 中元素对应三个元素时，由于f (a )＋f (b )＝f (c )，有下面两种情况．因此，满足题设条件的映射有7个．B 级 能力提升13．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ；f ：x →y ＝1x，x ∈M ，y ∈N .②M ＝N ＝R ；f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N .③M ＝N＝R ；f ：x →y ＝1|x |＋x，x ∈M ，y ∈N .④M ＝N ＝R ；f ：x →y ＝x 3；x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④解析：对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．答案：D14．设M ＝{a ，b }，N ＝{－2，0，2}，则从M 到N 的映射中满足f (a )≥f (b )的映射f 的个数为________．解析：由f (a )≥f (b )知，f (a )＞f (b )或f (a )＝f (b )， 当f (a )＞f (b )时，有⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝0，f （b ）＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝2，f （b ）＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝2，f （b ）＝－2共三种可能； 当f (a )＝f (b )时，也有f (a )＝f (b )＝0，2，－2三种可能． 综上所述，满足条件f (a )≥f (b )的映射有6个． 答案：615．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)就是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)就是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对任意b ∈B ，它至多有一个原象． 其中正确命题是__________(写出所有正确命题的序号)． 答案：②③16．集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f ：(x ，y )→(x 2＋y 2，xy )，求B 中的元素(5，2)所对应A 中的元素．解：依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5， ①xy ＝2. ②①＋2×②，得(x ＋y )2＝9， 所以x ＋y ＝±3.于是，原方程组可化为如下的两个方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，xy ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－3，xy ＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝2；⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝1；⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－1，y 3＝－2；⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝－2，y 4＝－1，所以B 中的元素(5，2)对应A 中的元素是(1，2)，(2，1)，(－1，－2)，(－2，－1)． 17．已知集合A 为实数集R ，集合B ＝{y |y ≥2}，x ∈A ，y ∈B ，对应法则f ：x →y ＝x2－2x ＋2，那么f ：A →B 是A 到B 的映射吗？如果不是，可以如何变换集合A 或B (f 不变)使之成为映射？解：由于x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1，即在f 下，A 中的元素变换成集合{y |y ≥1}中的元素，现在已知的集合B ＝{y |y ≥2}， 所以A 中的部分元素x ∈(0，2)在B 中无对应元素． 所以f ：A →B 不是A 到B 的映射． 将B 改为{y |y ≥1}，A 与f 不变， 则f ：A →B 成为A 到B 的一个映射．18．已知：集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |－1≤x ≤1}．对应关系f ：x →y ＝ax .若在f 的作用下能够建立从A 到B 的映射f ：A →B ，求实数a 的取值范围．解：①当a ≥0时，由－2≤x ≤2得－2a ≤ax ≤2a . 若能够建立从A 到B 的映射． 则[－2a ，2a ]⊆[－1，1]，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ≥－1，2a ≤1，所以0≤a ≤12.②当a ＜0时，集合A 中元素的象满足2a ≤ax ≤－2a ， 若能建立从A 到B 的映射， 则[2a ，－2a ]⊆[－1，1]，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，－2a ≤1，所以0＞a ≥－12.综合①②可知－12≤a ≤12.。

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 给出如图2-2-8所示的对应：图2-2-8其中构成从A到B的映射的个数为()A．3B．4C．5D．6【解析】由映射的定义可知，构成从A到B的映射有①②③.【答案】 A2．设集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤y≤2}，则图2-2-9中，能表示P到Q的映射的是()图2-2-9A．(1)(2)(3)(4) B．(1)(3)(4)C．(1)(4) D．(3)【解析】如图(1)，对于P中的每个元素x在Q中都有唯一的像，所以它是P到Q的映射；在图(2)中，当P中元素x取(0,1]的值时，在Q中对应的元素不唯一，所以(2)不是映射；在图(3)中，当P的元素取(1,2]的值时，Q中没有元素与它对应，所以(3)不是P到Q的映射；与(1)相同，(4)也是P到Q的映射．【答案】 C3．下列对应法则中，能建立从集合A ＝{1,2,3,4,5}到集合B ＝{0,3,8,15,24}的映射的是( )A ．f ：x →x 2－xB ．f ：x →x ＋(x －1)2C ．f ：x →x 2＋1D ．f ：x →x 2－1【解析】 因为12－1＝0,22－1＝3,32－1＝8,42－1＝15,52－1＝24. 故从集合A 到集合B 的映射的对应关系为f ：x →x 2－1. 【答案】 D4. 已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f 下的像是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 由题意⎩⎨⎧ 3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2.∴f ：x →y ＝x －2， ∴5在f 下的像是5－2＝3. 【答案】 A5. 已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 对应关系是f ：a →|a |.因此，3和－3对应的像是3；－2和2对应的像是2；1和－1对应的像是1；4对应的像是4.所以B ＝{1,2,3,4}．故选A.【答案】 A 二、填空题6. 设M ＝N ＝R ，f ：x →－x 2＋2x 是M 到N 的映射，若对于N 中元素p ，在M 中恰有一个原像，则p 的值为________．【解析】 由题意知，关于x 的方程－x 2＋2x ＝p 有两相等实根，∴Δ＝4－4p ＝0，p ＝1. 【答案】 17. 下列对应f 是从集合A 到集合B 的函数的是________． ①A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8；②A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1；n 为偶数时，f (n )＝1；③A ＝{高一一班的男生}，B ＝{男生的身高}，对应关系f ：每个男生对应自己的身高． 【解析】 对于①，集合A 中的元素没有剩余，即A 中的任何一个元素在B 中都有唯一确定的像，同时集合A 和B 都是数集，可知对应f 是集合A 到集合B 的函数．同理，对于②，对应f 也是集合A 到集合B 的函数． 对于③，集合A ，B 不是数集，不是函数关系． 【答案】 ①②8. 已知集合A ＝B ＝R ，映射f ：x →x 2＋2x －4，若a 在B 中且在A 中没有原像，则a 的取值范围是________．【解析】 x 2＋2x －4＝(x ＋1)2－5≥－5， ∵a 在B 中且在A 中没有原像， ∴a <－5.【答案】 (－∞，－5) 三、解答题9. 设集合P ＝Q ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，从集合P 到集合Q 的映射为f ：(x ，y )→(x ＋y ，xy )，求：(1)集合Q 中与集合P 中元素(3,2)对应的元素； (2)集合P 中与集合Q 中元素(3,2)对应的元素． 【解】 (1)由3＋2＝5,3×2＝6， 故与集合P 中元素对应的元素为(5,6)． (2)由⎩⎨⎧ x ＋y ＝3，xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.故与集合Q 中元素(3,2)对应的元素为(1,2)或(2,1)． 10. 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1； (2)A ＝{0,1,2,9}，B ＝{0,1,4,9,64}， f ：a →b ＝(a －1)2；(3)A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ；(4)A ＝{x |x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x |x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆． 【解】 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数． (3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．[能力提升]1. 设集合A 与集合B 都是自然数集N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下，像20的原像是( )A ．2B ．3C ．4D ．4或－5【解析】 令n 2＋n ＝20，即n 2＋n －20＝0， 解得n ＝－5或4. ∵n ∈N ，∴n ＝4. 【答案】 C2. 集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个 【解析】 由f (a )，f (b )∈{－1,0,1}，且f (a )＋f (b )＝0知，这样的映射有：共3个．【答案】 B3．给定映射f (x ，y )→(x ，x ＋y )，在对应关系f 下像(2,3)的原像是(a ，b )，则函数y ＝ax 2＋bx 的顶点坐标是________．【解析】 由题意a ＝4，b ＝－1，则y ＝4x 2－x 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－116. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－1164．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f 是A 到B 的一个映射，并满足f ：(x ，y )→(－xy ，x －y )．(1)求B 中元素(3，－4)在A 中的原像； (2)试探索B 中哪些元素在A 中存在原像；(3) 求B 中元素(a ，b )在A 中有且只有一个原像时，a ，b 所满足的关系式. 【导学号：04100023】【解】 (1)设(x ，y )是B 中元素(3，－4)在A 中的原像，于是⎩⎨⎧ －xy ＝3，x －y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝1.所以(3，－4)在A 中的原像有两个，即(－1,3)和(－3,1)．(2)设任意(a ，b )∈B ，则它在A 中的原像(x ，y )应满足，⎩⎨⎧ －xy ＝a ，x －y ＝b ，①②由②式得y ＝x －b ，将它代入①式，并化简得x 2－bx ＋a ＝0.③当且仅当Δ＝b 2－4a ≥0时，方程③有实数根，因此只有当B 中元素(a ，b )满足b 2－4a ≥0时，在A 中才有原像．(3)由以上(2)的解题过程可知，当B 中元素(a ，b )满足b 2＝4a 时，它在A 中有且只有一个原像．初中数学试卷桑水出品。

2.1.3 两条直线的位置关系[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．如果两条直线平行，则它们的斜率相等B ．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数C ．如果两条直线斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直D ．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y 轴解析：选C.不论两直线平行还是垂直都要考虑两直线斜率不存在的情况，A 、B 忽略斜率不存在，D 忽略了直线与y 轴重合．2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A.直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率为12.故所求直线方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 3．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0解析：选B.因为k AB ＝2－11－3＝－12， 所以所求直线的斜率为2.又线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， 故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)， 即4x －2y －5＝0.4．已知点A (m ，3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1，2)，D (1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1解析：选D.因为AB ∥CD ，所以m ＋4－32m －m ＝2－0m ＋1－1， 解得m ＝1.当m ＝0时，直线AB 为y 轴，直线CD 为x ＝1，两直线平行，故若两直线平行则m ＝0或1.5．已知点A (2，3)，B (－2，6)，C (6，6)，D (10，3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选B.如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316， 故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．6．已知直线l 1：2x ＋(λ＋1)y －2＝0，l 2：λx ＋y －1＝0，若l 1∥l 2，则λ的值是________． 解析：因为l 1∥l 2，所以2×1－(λ＋1)λ＝0，即λ2＋λ－2＝0，解得λ＝－2或λ＝1.当λ＝1时，l 1与l 2重合，不符合题意．所以λ＝－2.答案：－27．已知直线l 1过点A (－2，3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1，0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是________．解析：由已知得k AB ＝m －34－（－2）＝m －36， k MN ＝m －4－1＝4－m . 因为AB ⊥MN ，所以m －36×(4－m )＝－1， 即m 2－7m ＋6＝0，解得m ＝1或m ＝6，经检验m ＝1或m ＝6适合题意．答案：1或68．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：依题意设点Q 的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0，b ＋1a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.故点Q 的坐标为(2，3)． 答案：(2，3)9．已知定点A (－1，3)，B (4，2)，以A ，B 为直径作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．解：因为以线段AB 为直径的圆与x 轴相交于点C ，所以AC ⊥CB .据题设条件可知AC 与BC 的斜率均存在(如图)，设C (x ，0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4. 所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，解得x ＝1或2. 所以C (1，0)或C (2，0)．10．已知在▱ABCD 中，A (1，2)，B (5，0)，C (3，4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.所以D (－1，6)． (2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， 所以k AC ·k BD ＝－1.所以AC ⊥BD .所以▱ABCD 为菱形．[B.能力提升]1．已知点A (－2，－5)，B (6，6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0，7)C ．(0，－6)或(0，7)D ．(－6，0)或(7，0)解析：选C.由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1， 故y ＋52·⎝⎛⎭⎪⎫－y －66＝－1， 解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0，7)．2．顺次连接A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点所组成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对解析：选B.观察知连接后各边所在直线斜率都存在．因为k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，所以AB ∥CD .又k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12，所以AD 与BC 不平行，且AD ⊥CD .所以四边形ABCD 为直角梯形．3．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)且与经过点(－2，1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为________．解析：由题意知两直线的斜率均存在，且直线l 与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的斜率为32，于是32＝1－（－1）（－a －2）－（a －2）＝2－2a ＝－1a ，解得a ＝－23. 答案：－234．已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时k ＝18. 答案：185．已知A (－m －3，2)，B (－2m －4，4)，C (－m ，m )，D (3，3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－（－m －3）＝2－（m ＋1）， k CD ＝3m ＋2－m 3－（－m ）＝2（m ＋1）m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.6．(选做题)直线l 的倾斜角为30°，点P (2，1)在直线l 上，直线l 绕点P (2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，且直线l 1与l 2平行，l 2是线段AB 的垂直平分线，A (1，m －1)，B (m ，2)，试求m 的值．解：因为直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.又直线AB 的斜率为m －1－21－m ＝m －31－m， 所以AB 的垂直平分线l 2的斜率k 2＝m －1m －3. 因为直线l 1与l 2平行，所以k 1＝k 2， 即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。

2.3 映射的概念(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列从P 到Q 的各对应关系f 中，不是映射的是________．(填序号) ①P ＝N ，Q ＝N *，f ：x →|x －8|；②P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{－4，－3,0,5}，f ：x →x (x －4)； ③P ＝N *，Q ＝{－1,1}，f ：x →(－1)x； ④P ＝Z ，Q ＝{有理数}，f ：x →x 2.【解析】 ①P ＝N 中元素8在Q ＝N *中无对应，所以①不是映射．②P ＝{1,2,3,4,5,6}中元素6在Q ＝{－4，－3,0,5}中无对应，所以②不是映射．③④符合映射定义． 【答案】 ①② 2．观察数表：则f [g (3)－f (－1)]【解析】 由表中对应数据可知g (3)＝－4，f (－1)＝－1. ∴f [g (3)－f (－1)]＝f (－4＋1)＝f (－3)＝4. 【答案】 43．设集合A 中的元素(x ，y )在映射f 下的对应B 中的元素是(2x ＋y ，x －2y )，则在f 下，B 中元素(2,1)在A 中的对应元素是________．【解析】 令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，x －2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，因此(2,1)在A 中的对应元素是(1,0)．【答案】 (1,0)4．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b ，若5→5，且7→11，若x →20，则x ＝________.【解析】 由5→5,7→11，得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋b ＝5，7a ＋b ＝11，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－10.若x →20，则3x －10＝20，得x ＝10. 【答案】 105．已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b a＝0，a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝1.∴a ＋b ＝1. 【答案】 16．如图2­3­1所示为一个从集合A 到集合B 的映射，这个映射表示的函数的奇偶性是________．(填“奇函数”“偶函数”“既是奇函数又是偶函数”“既不是奇函数也不是偶函数”)图2­3­1【解析】 该映射表示定义域为{±1，±2}，值域为{1,3}的函数，定义域关于数“0”对称，且f (1)＝f (－1)＝1，f (2)＝f (－2)＝3，因此这个映射表示的函数为偶函数．【答案】 偶函数7．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 可能是________．(填序号) ①∅；②∅或{1}；③{1}；④∅或{2}． 【解析】 若x 2＝1，则x ＝±1， 若x 2＝2，则x ＝±2，所以A 中最多含有－2，－1,1，2四个元素， 所以A ∩B ＝∅或A ∩B ＝{1}． 【答案】 ②8．已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1,2}，从A 到B 建立映射f ，使f (a )＋f (b )＋f (c )＝4，则满足条件的映射共有________个.【解析】 ∵4＝2＋1＋1，∴a ，b ，c 中有一个对应2，另两个只能对应1，共有三种情况． 【答案】 3 二、解答题9．已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6}，取适当的对应法则． (1)以集合A 为定义域，B 为值域的函数有多少个？(2)在所有以集合A 为定义域，B 为值域的函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)的函数有多少个？ 【解】 (1)根据映射与函数的定义，集合A 中的元素均可与B 中的两个元素对应，故从A 到B 可建立24＝16个函数，但在1,2,3,4都对应5或都对应6这两种情况下，值域不是B ，应予以排除，所以集合A 为定义域，B 为值域的函数有14个．(2)在上述14个函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)的函数具体为：f (1)＝5，f (2)＝f (3)＝f (4)＝6；f (1)＝f (2)＝5，f (3)＝f (4)＝6； f (1)＝f (2)＝f (3)＝5，f (4)＝6.所以满足条件的函数共有3个．10．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，对应关系f ：x →y ＝ax .若在f 的作用下能够建立从A 到B 的映射f ：A →B ，求实数a 的取值范围．【解】 ①当a ≥0时，由－2≤x ≤2，得－2a ≤ax ≤2a . 若能够建立从A 到B 的映射， 则[－2a,2a ]⊆[－1,1]，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ≥－1，2a ≤1，∴0≤a ≤12.②当a <0时，集合A 中元素的象满足2a ≤ax ≤－2a ， 若能建立从A 到B 的映射， 则[2a ，－2a ]⊆[－1,1]，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，－2a ≤1，∴－12≤a <0.综合①②可知－12≤a ≤12.[能力提升]1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则下列能表示从P 到Q 的映射的是________．(填序号) ①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .【解析】 如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应法则f 在Q 中有唯一元素和它对应，③中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q .【答案】 ①②④2．若集合A ＝{0,1,2}，f ：x →x 2－2x 是从A 到B 的映射，则集合B 中至少有________个元素． 【解析】 由A ＝{0,1,2}，f ：x →x 2－2x ，分别令x ＝0,1,2， ∴x 2－2x ＝0，－1,0.又根据集合中元素的互异性， ∴B 中至少有2个元素． 【答案】 23．已知f 是从集合M 到N 的映射，其中M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－3,0,3}，则满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0的映射f 的个数是________.【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝3，f b ＝0，f c ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝－3，f b ＝0，f c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝3，f b ＝－3，f c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝－3，f b ＝3，f c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝0，f b ＝3，f c ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝0，f b ＝－3，f c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝0，f b ＝0，f c ＝0.【答案】 74．已知A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，其中m ，n ∈N *.若x ∈A ，y ∈B ，有对应法则f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个映射，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，q ，m ，n 的值.【解】 由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝1.故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的对应值是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N *，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的对应元素是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的对应元素是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.。

映射与函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则从A到B的映射个数共有( )A．2 B．4C．6 D．8【解析】从A到B的映射有4个，如图所示：【答案】 B2．下列对应法则中，能建立从集合A＝{1,2,3,4,5}到集合B＝{0,3,8,15,24}的映射的是( )A．f：x→x2－x B．f：x→x＋(x－1)2C．f：x→x2＋1 D．f：x→x2－1【解析】集合B中的每个元素都可以写成x2－1的形式．【答案】 D3．下列集合A到集合B中的对应f是映射的为( )A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开平方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值【解析】在B项中，集合A中的元素1在B中有±1两个元素与之对应，∴B项不正确．C项中，集合A中的元素0没有倒数，∴C项不正确．D项中，集合A中的元素0的绝对值仍然是0，而0∉B，∴D项不正确．【答案】 A4．设f：A→B是集合A到B的映射，其中A＝{x|x>0}，B＝R，且f：x→x2－2x－1，则A中元素1＋2的象和B中元素－1的原象分别为( )A.2，0或2 B．0,2C．0,0或2 D．0,0或 2【解析】x＝1＋2时，x2－2x－1＝(1＋2)2－2(1＋2)－1＝0.∴1＋2的象为0.当x2－2x－1＝－1时，x＝0或2.∵x>0，∴x＝2，即－1的原象是2.【答案】 B5．若集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则下列对应法则中不能从P 到Q 建立映射的是( )【导学号：60210033】A ．y ＝23xB ．y ＝18xC ．y ＝13xD ．y ＝12x【解析】 在y ＝23x 中，在P 中取x ＝4，在Q 中没有y ＝83与之相对应，∴在y ＝23x 这个对应法则中不能从P 到Q 建立映射．故选A. 【答案】 A 二、填空题6．已知下列四个对应(1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ；(4)A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 能构成集合A 到集合B 的函数的是________.【导学号：97512012】【解析】 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素， 故不是集合A 到集合B 的函数．(2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应法则f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．(3)集合A 中的负整数没有平方根，故在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．(4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应法则f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．【答案】 (2)(4)7．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的映射，若1和8的原象分别为3和10，则5的象是________．【解析】 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.∴y ＝x －2，∴5的象为：f (5)＝5－2＝3.【答案】 38．已知映射f ：A →B ，其中A ＝R ＝B ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是________．【解析】 ∵y ＝－x 2＋2x ＝－x 2＋2x －1＋1＝－(x －1)2＋1，∴y ≤1. ∵k ∈R ，且在集合A 中不存在原象，∴k >1. 【答案】 k >1 三、解答题9．已知集合A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b ，若8和14的原象分别是1和3，求5在f 作用下的象．【解】 ∵8和14的原象分别为1和3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，3a ＋b ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5.∴f ：x →y ＝3x ＋5.又∵x ＝5，∴y ＝3×5＋5＝20. 故5在f 作用下的象为20.10．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{c ，d ，e }． (1)试建立一个从A 到B 的映射； (2)从A 到B 的映射共有多少个？ 【解】 (1)如图答案不唯一．(2)由于映射的对应形式只有“一对一”“多对一”两种情况，故从A 到B 的映射有9种情况，如图所示．[能力提升]1．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 ∵a ∈A ，∴|a |＝1,2,3,4， 即B ＝{1,2,3,4}． 【答案】 A2．已知点C (x ，y )在映射f 下的象为3x ＋y 2，－x ＋3y2，则点(2,0)在f 作用下的原象是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(－3，1)D ．(3，1)【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y 2＝2，－x ＋3y 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.所以原象为(3，1)，故选D. 【答案】 D3．设M ＝{a ，b }，N ＝{－2,0,2}，则从M 到N 的映射中满足f (a )≥f (b )的映射f 的个数为________．【导学号：60210034】【解析】 由f (a )≥f (b )知，f (a )>f (b )或f (a )＝f (b )，当f (a )>f (b )时，有⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝0，fb ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝2，fb ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝2，fb ＝－2，共3种可能；当f (a )＝f (b )时，有f (a )＝f (b )＝0,2，－2，共3种可能． 综上所述，满足条件f (a )≥f (b )的映射有6个． 【答案】 64．某学习小组共有5名学生，一次期末考试语文、数学、外语成绩如表格所示：.(1)集合A到集合B是映射吗？集合B到集合A呢？(2)集合A到集合C是映射吗？是一一映射吗？若是映射，是函数吗？【解】(1)集合A到集合B不是映射，因为每名同学对应三个成绩；而集合B到A是映射，其中每三个成绩对应一名同学，是多对一，符合映射定义．(2)集合A到集合C是映射，且是一一映射，因为集合A中每一名同学在集合C中都有唯一一个总分与之对应，故是映射，又集合C中的每一个总分，在集合A中都有唯一的同学(原象)对应，故是一一映射．该映射不是函数，因为集合A不是数集.。

学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 已知函数y＝f(x)的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f(x)的图像与直线x＝2的交点个数为()A．0个B．1个C．2个D．0个或多个【解析】∵2∈(－1,3)，∴有唯一的函数值f(2)与2对应，即函数f(x)的图像与直线x ＝2的交点仅有1个．【答案】 B2. 设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是()【解析】A项中函数定义域为[－2,0]，D项中函数值域不是[0,2]，C项中对任一x都有两个y与之对应，不是函数图像．故选B.【答案】 B3. 下列函数完全相同的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2B．f(x)＝|x|，g(x)＝x2C．f(x)＝|x|，g(x)＝x2 xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3【解析】 选项A 、C 、D 中的函数f (x )与g (x )定义域均不同． 【答案】 B 4. 函数f (x )＝x ＋1|x |－x的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．[－1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．[－1,0)【解析】 要使函数有意义，则⎩⎨⎧x ＋1≥0，|x |－x ≠0，则－1≤x <0，故函数的定义域为[－1,0)．【答案】 D5. 函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0]D ．(－∞，－1]【解析】 由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞)． 【答案】 B 二、填空题6. 已知一个区间为[m,2m ＋1]，则m 的取值范围是__________． 【解析】 由题意m <2m ＋1，解得m >－1. 【答案】 (－1，＋∞)7. 下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.x 0<x <5 5≤x <10 10≤x <15 15≤x ≤20y2345【解析】 由数表可知y ＝2,3,4,5.故函数值域为{2,3,4,5}． 【答案】 {2,3,4,5}8. 若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________.【解析】 由A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，得A ＝[－1，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，∴A ∩B ＝[1，＋∞)．【答案】 [1，＋∞) 三、解答题9. 已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值．【解】 (1)f (2)＝22＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5， ∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2，或x ＝－3. 10. 求下列函数的定义域． (1)f (x )＝xx 2－x －2；(2)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4.【解】 (1)要使函数有意义，则⎩⎨⎧ x ≥0，x 2－x －2≠0，即⎩⎨⎧x ≥0，x ≠－1，且x ≠2，所以x ≥0，且x ≠2.故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0，且x ≠2}． (2)要使函数有意义，则⎩⎨⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，解得13≤x ≤12.故函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.[能力提升]1. 若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正实数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2【解析】 f (－1)＝a －1，∴f (f (－1))＝a (a －1)2－1＝－1，∴a (a －1)2＝0，∵a >0，∴a ＝1.【答案】 A2. 下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )【导学号：04100017】A ．f (x )＝x 2－4x －2与g (x )＝x ＋2B ．f (x )＝x x ＋1与g (x )＝x (x ＋1)C ．f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1D ．f (x )＝1与g (x )＝x 0(x ≠0)【解析】 A 中f (x )的定义域中不含有元素2，而g (x )定义域为R ，即定义域不相同，所以不是同一函数．B 中f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以不是同一函数．C 中尽管两个函数的自变量一个用x 表示，另一个用t 表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．D 中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，因此不是同一函数． 【答案】 C3. 已知g (x )＝2－3x ，f (g (x ))＝3x x 2－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 【解析】 令g (x )＝2－3x ＝12，解得x ＝12， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3×1214－1＝32－34＝－2.【答案】 －24. 如图2-2-1，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)图2-2-1(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图像．【解】 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0＜h ＜1.8}，值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0＜h ＜1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图像可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0＜A＜6.84.故值域为{A|0＜A＜6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图像过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h＜1.8，∴A＝h2＋2h的图像仅是抛物线的一部分，如图所示．初中数学试卷桑水出品。

2.2.1 函数概念(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 已知函数y ＝f (x )的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f (x )的图像与直线x ＝2的交点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．0个或多个【解析】 ∵2∈(－1,3)，∴有唯一的函数值f (2)与2对应，即函数f (x )的图像与直线x ＝2的交点仅有1个．【答案】 B2. 设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图像可以是( )【解析】 A 项中函数定义域为[－2,0]，D 项中函数值域不是[0,2]，C 项中对任一x 都有两个y 与之对应，不是函数图像．故选B.【答案】 B3. 下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3【解析】 选项A 、C 、D 中的函数f (x )与g (x )定义域均不同．【答案】 B4. 函数f (x )＝x ＋1|x |－x的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．[－1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[－1,0)【解析】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，|x |－x ≠0，则－1≤x <0，故函数的定义域为[－1,0)．【答案】 D5. 函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0]D ．(－∞，－1]【解析】 由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞)． 【答案】 B 二、填空题6. 已知一个区间为[m,2m ＋1]，则m 的取值范围是__________． 【解析】 由题意m <2m ＋1，解得m >－1. 【答案】 (－1，＋∞)7. 下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.【解析】 【答案】 {2,3,4,5}8. 若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________.【解析】 由A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，得A ＝[－1，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，∴A ∩B ＝[1，＋∞)．【答案】 [1，＋∞) 三、解答题9. 已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x；(2)若f (x )＝5，求x 的值．【解】 (1)f (2)＝22＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x－1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5， ∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2，或x ＝－3. 10. 求下列函数的定义域． (1)f (x )＝xx 2－x －2；(2)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4.【解】 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠－1，且x ≠2，所以x ≥0，且x ≠2.故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0，且x ≠2}．(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，解得13≤x ≤12.故函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.[能力提升]1. 若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正实数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2【解析】 f (－1)＝a －1，∴f (f (－1))＝a (a －1)2－1＝－1，∴a (a －1)2＝0，∵a >0，∴a ＝1.【答案】 A2. 下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2－4x －2与g (x )＝x ＋2B ．f (x )＝x x ＋1与g (x )＝x x ＋C ．f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1 D ．f (x )＝1与g (x )＝x 0(x ≠0)【解析】 A 中f (x )的定义域中不含有元素2，而g (x )定义域为R ，即定义域不相同，所以不是同一函数．B 中f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以不是同一函数．C 中尽管两个函数的自变量一个用x 表示，另一个用t 表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．D 中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，因此不是同一函数． 【答案】 C3. 已知g (x )＝2－3x ，f (g (x ))＝3x x 2－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.【解析】 令g (x )＝2－3x ＝12，解得x ＝12，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3×1214－1＝32－34＝－2.【答案】 －24. 如图2­2­1，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)图2­2­1(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图像．【解】 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋＋2h h2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0＜h ＜1.8}，值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0＜h ＜1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图像可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0＜A ＜6.84.故值域为{A |0＜A ＜6.84}．(3)由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图像过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h ＜1.8，∴A ＝h 2＋2h 的图像仅是抛物线的一部分，如图所示．。

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 给出如图2-2-8所示的对应：图2-2-8其中构成从A到B的映射的个数为()A．3B．4C．5D．6【解析】由映射的定义可知，构成从A到B的映射有①②③.【答案】 A2．设集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤y≤2}，则图2-2-9中，能表示P到Q的映射的是()图2-2-9A．(1)(2)(3)(4) B．(1)(3)(4)C．(1)(4) D．(3)【解析】如图(1)，对于P中的每个元素x在Q中都有唯一的像，所以它是P到Q的映射；在图(2)中，当P中元素x取(0,1]的值时，在Q中对应的元素不唯一，所以(2)不是映射；在图(3)中，当P的元素取(1,2]的值时，Q中没有元素与它对应，所以(3)不是P到Q的映射；与(1)相同，(4)也是P到Q的映射．【答案】 C3．下列对应法则中，能建立从集合A ＝{1,2,3,4,5}到集合B ＝{0,3,8,15,24}的映射的是( )A ．f ：x →x 2－xB ．f ：x →x ＋(x －1)2C ．f ：x →x 2＋1D ．f ：x →x 2－1【解析】 因为12－1＝0,22－1＝3,32－1＝8,42－1＝15,52－1＝24. 故从集合A 到集合B 的映射的对应关系为f ：x →x 2－1. 【答案】 D4. 已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f 下的像是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 由题意⎩⎨⎧ 3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2. ∴f ：x →y ＝x －2， ∴5在f 下的像是5－2＝3. 【答案】 A5. 已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 对应关系是f ：a →|a |.因此，3和－3对应的像是3；－2和2对应的像是2；1和－1对应的像是1；4对应的像是4.所以B ＝{1,2,3,4}．故选A.【答案】 A 二、填空题6. 设M ＝N ＝R ，f ：x →－x 2＋2x 是M 到N 的映射，若对于N 中元素p ，在M 中恰有一个原像，则p 的值为________．【解析】 由题意知，关于x 的方程－x 2＋2x ＝p 有两相等实根，∴Δ＝4－4p ＝0，p ＝1. 【答案】 17. 下列对应f 是从集合A 到集合B 的函数的是________． ①A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8；②A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1；n 为偶数时，f (n )＝1；③A ＝{高一一班的男生}，B ＝{男生的身高}，对应关系f ：每个男生对应自己的身高． 【解析】 对于①，集合A 中的元素没有剩余，即A 中的任何一个元素在B 中都有唯一确定的像，同时集合A 和B 都是数集，可知对应f 是集合A 到集合B 的函数．同理，对于②，对应f 也是集合A 到集合B 的函数． 对于③，集合A ，B 不是数集，不是函数关系． 【答案】 ①②8. 已知集合A ＝B ＝R ，映射f ：x →x 2＋2x －4，若a 在B 中且在A 中没有原像，则a 的取值范围是________．【解析】 x 2＋2x －4＝(x ＋1)2－5≥－5， ∵a 在B 中且在A 中没有原像， ∴a <－5.【答案】 (－∞，－5) 三、解答题9. 设集合P ＝Q ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，从集合P 到集合Q 的映射为f ：(x ，y )→(x ＋y ，xy )，求：(1)集合Q 中与集合P 中元素(3,2)对应的元素； (2)集合P 中与集合Q 中元素(3,2)对应的元素． 【解】 (1)由3＋2＝5,3×2＝6， 故与集合P 中元素对应的元素为(5,6)． (2)由⎩⎨⎧ x ＋y ＝3，xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.故与集合Q 中元素(3,2)对应的元素为(1,2)或(2,1)． 10. 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1； (2)A ＝{0,1,2,9}，B ＝{0,1,4,9,64}， f ：a →b ＝(a －1)2；(3)A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ；(4)A ＝{x |x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x |x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆． 【解】 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数． (3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．[能力提升]1. 设集合A 与集合B 都是自然数集N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下，像20的原像是( )A ．2B ．3C ．4D ．4或－5【解析】 令n 2＋n ＝20，即n 2＋n －20＝0， 解得n ＝－5或4. ∵n ∈N ，∴n ＝4. 【答案】 C2. 集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个 【解析】 由f (a )，f (b )∈{－1,0,1}，且f (a )＋f (b )＝0知，这样的映射有：共3个．【答案】 B3．给定映射f (x ，y )→(x ，x ＋y )，在对应关系f 下像(2,3)的原像是(a ，b )，则函数y ＝ax 2＋bx 的顶点坐标是________．【解析】 由题意a ＝4，b ＝－1，则y ＝4x 2－x 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－116.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－1164．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f 是A 到B 的一个映射，并满足f ：(x ，y )→(－xy ，x －y )．(1)求B 中元素(3，－4)在A 中的原像； (2)试探索B 中哪些元素在A 中存在原像；(3) 求B 中元素(a ，b )在A 中有且只有一个原像时，a ，b 所满足的关系式. 【导学号：04100023】【解】 (1)设(x ，y )是B 中元素(3，－4)在A 中的原像，于是⎩⎨⎧ －xy ＝3，x －y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝1.所以(3，－4)在A 中的原像有两个，即(－1,3)和(－3,1)．(2)设任意(a ，b )∈B ，则它在A 中的原像(x ，y )应满足，⎩⎨⎧ －xy ＝a ，x －y ＝b ，①②由②式得y ＝x －b ，将它代入①式，并化简得x 2－bx ＋a ＝0.③当且仅当Δ＝b 2－4a ≥0时，方程③有实数根，因此只有当B 中元素(a ，b )满足b 2－4a ≥0时，在A 中才有原像．(3)由以上(2)的解题过程可知，当B 中元素(a ，b )满足b 2＝4a 时，它在A 中有且只有一个原像．初中数学试卷马鸣风萧萧。

第二章函数[自我校对]①对应关系②图象法③单调性④映射________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ；(2)y ＝2x －1x ＋3；(3)f (x )＝x ＋3x －2.【精彩点拨】 (1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解．【自主解答】 (1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x ≥0，即x ≥0.所以函数y ＝2x 的定义域为[0，＋∞)，因此2x ≥0，所以函数y ＝2x 的值域为[0，＋∞)． (2)法一(分离系数法)：y ＝2x －1x ＋3＝x ＋－7x ＋3＝2＋－7x ＋3.而－7x ＋3≠0，所以2＋－7x ＋3≠2，因此函数y ＝2x －1x ＋3的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x ＋3≠0，即x ≠－3，所以函数y ＝2x －1x ＋3的定义域为{x ∈R |x ≠－3}．又由y ＝2x －1x ＋3，得x ＝3y ＋12－y .而分式的分母不能为零，所以2－y ≠0，即y ≠2.所以函数y ＝2x －1x ＋3的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(3)令3x －2＝t ，则t ≥0，x ＝t 2＋23＝13t 2＋23， ∴f (x )＝13t 2＋23＋t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－112.∵t ≥0，∴f (x )≥23，∴函数f (x )＝x ＋3x －2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.常见的求值域的方法1．直接法(观察法)：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域．例如求函数f (x )＝5x ＋1(x ∈{1,2,3,4})的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f (x )的值域为{6,11,16,21}．2．分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域．3．反解法：例如求函数y ＝x －1x ＋2(x ＞－4)的值域．由y ＝x －1x ＋2解出x 得x ＝2y ＋11－y.由x ＞－4，得2y ＋11－y ＞－4，即2y －5y －1＞0，∴y ＞52或y ＜1.故函数y ＝x －1x ＋2(x ＞－4)的值域为(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 4．图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域．5．换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x 的整体式设为t ，转化为关于t 的某种简单的基本初等函数，再确定t 的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解．[再练一题]1．(1)函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7，x ∈[－1，，2x ＋6，x ∈[1，2]，则 f (x )的最大值与最小值分别为________、________.(2)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________．【解析】 (1)f (x )在[1,2]和[－1,1)上分别递增，而且在[1,2]上，f (x )min ＝f (1)＝8.在[－1,1]上，f (x )<f (1)＝1＋7＝8，∴f (x )在[－1,2]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×2＋6＝10，f (x )min ＝f (－1)＝－1＋7＝6. (2)f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋a ＋4，对称轴为x ＝2， ∴在[0,1]上，f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4＋a ＝4－3＝1. 【答案】 (1)10 6 (2)1体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)用定义证明：f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式：f (t －1)＋f (t )<0.【精彩点拨】 (1)(2)分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；(3)利用奇偶性和单调性去掉f ，转化为t 的不等式求解．【自主解答】 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧b1＋02＝0，a 2＋b1＋14＝25⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.∴f (x )＝x1＋x 2，经检验，符合题意．(2)证明：任取x 1，x 2∈(－1,1)且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x22－x 11＋x 21＝x 2－x 1－x 1x 2＋x 21＋x 22. ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0,1＋x 21>0,1＋x 22>0. 又∵－1<x 1x 2<1， ∴1－x 1x 2>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0， 故f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(－1,1)上是增函数． (3)原不等式可化为f (t －1)<－f (t )＝f (－t )．∵f (x )在(－1,1)上是增函数， ∴－1<t －1<－t <1， 解得0<t <12.故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪0<t <12.函数单调性与奇偶性应用常见题型1．用定义判断或证明单调性和奇偶性． 2．利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． 3．利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． 4．利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．[再练一题]2．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ，x ＝，x 2＋mx x(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递增，试确定a 的取值范围．【解】 (1)当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ，即f (x )＝x 2＋2x ，所以m ＝2.(2)由题意知，要使函数f (x )在[－1，|a |－2]上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |－2>－1，|a |－2≤1，即1<|a |≤3，解得－3≤a <－1或1<a ≤3， 所以a 的取值范围是[－3，－1)∪(1,3]．数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．这体现了数形结合．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图(作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，判断根(交点)的个数等．(1)若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象分别如图2­1(1)及图(2)所示，则f (x )·g (x )的图象可能是________．(填序号)图2­1(2)若方程x 2－4|x |＋5＝m 有4个互不相等的实数根，则m 的取值范围是________． 【精彩点拨】 (1)利用函数的奇偶性进行选择；(2)作出函数的图象，观察图象即可． 【规范解答】 (1)由f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可知f (x )·g (x )为奇函数，又x ∈(－3,0)时，f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )·g (x )>0，只有③符合．(2)令f (x )＝x 2－4|x |＋5，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5， x ≥0，x 2＋4x ＋5， x <0，作出f (x )的图象，如图所示．由图象可知，当1<m <5时，f (x )的图象与y ＝m 有4个交点，即方程x 2－4|x |＋5＝m 有4个互不相等的实数根．【答案】 (1)③ (2)1<m <5作函数图象的方法方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线． 注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．[再练一题]3．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是________．【解析】 首先应理解题意，“函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者”是对同一个x 值而言，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中最大的一个．如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A (0，3)，B (1,2)，C (5,8)．从图象观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x，－x ＋3，x，32x ＋12，x ，x 2－4x ＋3，xf (x )的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B (1,2)，所以f (x )的最小值是2.【答案】21．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．【解析】 要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．【答案】 [－3,1]2．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图2­2中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是________(填序号)．①各月的平均最低气温都在0 ℃以上； ②七月的平均温差比一月的平均温差大； ③三月和十一月的平均最高气温基本相同； ④平均最高气温高于20 ℃的月份有5个．图2­2【解析】 由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，①正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为 5 ℃，故②正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，③正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，④错误．【答案】 ④3．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 【解析】 ∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 【答案】 －24．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________． 【解析】 要使函数有意义，需满足－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－125．已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________. 【解析】 因为f (a )＝a －1＝3，所以a －1＝9，即a ＝10. 【答案】 106．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝________.【解析】 当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 【答案】 －2。