甘肃省201X年中考数学总复习 第六单元 圆 第22讲 与圆有关的计算课件

例1
提分技法
利用 圆周角 定理及 其推论 解题时 的思路 1.在利 用圆周 角定理 解答具 体问题 时,找准 同弧所 对的圆 周角及 圆心角 ,并结 合圆周 角定理 进行相 关计 算是关 键.与圆 周角有 关的常 用辅助 线有 :① 过圆 上某点 作直径, 连接 过直径 端点的 弦;② 弦垂 直平 分半径 时可构 造直角 三角形 ;③ 构造 同弧所 对的圆 周角. 2.在利 用圆周 角定理 的推论 解答具 体问题 时,要找 准直径 及等弦 或同弦 所对应 的圆周 角, 一般 会结 合圆 周角定 理进行 相关计 算或证 明.
中考
2019
数学
第六章 圆
目录
CONTENTS
第一节 圆的基本性质 第二节 与圆有关的位置关系 第三节 与圆有关的计算
第一节 圆的基本性质
PART 01
考点帮
考点1 垂径定理及其推论(2011年新 课标
选学内容) 考点2 弦、弧、圆心角之间的关系
考点3 圆周角定理及其推论
考点4 圆内接四边形的概念和性质
∵OA=OB,PA=PB,
∴∠OAB=∠OBA,∠PAB=∠PBA,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴PB 是☉O 的切线.
(2)解:连接 BC,设 OP 交 AB 于点 F. ∵AC 是☉O 的直径,∴∠ABC=90°. ∵OA=OB,AP=BP, ∴OP 垂直平分 AB,∴BC∥OP, ∴∠OPC=∠PCB. ∵∠APC=3∠BPC,∠APO=∠BPO, ∴∠OPC=∠CPB,∴∠PCB=∠CPB,∴BC=BP. 设 OF=t,则 PB=BC=2t,易得△FPB∽△BPO,
方法帮 命题角度 2 圆内接四边形的性质
例2
[ 2 0 1 8 山东济宁] 如图, 点 B , C , D 在☉O 上, 若∠B C D = 1 3 0 °, 则∠B O D 的度数是( D )

2.(分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点 10
D，并且AB＝4 m，CD＝6 m，则⊙O的半径长为___3___m.
考点2 弧、弦、圆心角定理及其推论 3.如图，在⊙O中，AC＝BD，∠1＝30°，则∠2的度数为__3_0_°___．
4.如图，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦， 且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠AOC＝__3_6_°__．
考点3 圆周角定理及其推论
5.(2022 北京)如图，在⊙O 中，点 A 是B︵C的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB
的度数是( C )
A.24°
B.26°
C.48°
易错点突破 8.(2022牡丹江)⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M， OM∶OC＝3∶5，则AC的长为___4__5_或__2___5___．
【解题小结】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，根据CD＝10可得 OC＝5，OM＝3，根据勾股定理得到AM＝4，然后分类讨论： 如答图1，CM＝8， AC＝ AM2＋CM2＝ 42＋82＝4 5； 如答图 2，CM＝2， AC＝ AM2＋MC2＝ 42＋22＝2 5. 故答案为：4 5或 2 5.
D.66°
6.(2022自贡)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径 ，
∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是( C )
A.90°
B.100°
C.110°
D.120°
7.(2022雅安)如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若 ∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为__1_4_4_°__．
第六章 圆 第22讲 | 与圆有关的概念及性质

C O A B D
考点二：垂径定理及其推论
3.垂径定理的应用： 用垂径定理进行证明或计算时，常需作出圆心到弦的垂线段（弦心距）， 则垂足的线段（弦心距），则垂足为弦的中点，再利用由半径、弦心距和半 径构成的直角三角形来达到求解的目的，这样圆中的弦长a,半径r、弦心距d 及弓形高h四者之间就可以做到“知二求二”。
C半径：rA源自O弦心距： d E
B
d+h=r a 2 2 2 r d ( ) 2
弓形高：h
D
弦长：a
在a，d，r，h中 ，已知其中任意 两个量，可以求 出其它两个量．
考点三：弦、弧、圆心角之间的关系
1、定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心 距相等。 ∵ ∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`
考点四：与圆相关的角和圆周角定理
1、定义：
（1）圆心角：顶点在
（2）圆周角：顶点在 圆心 且两边都和圆相交的角叫做圆心角；
圆上 上且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2、性质：
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
3、圆周角定理：
同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB＝2∠ACB 4、推论： 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或 等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 ∵∠C、∠D都是所对的圆周角 ∴∠C＝∠D
B O
B O
C
A
D
C
A
考点四：与圆相关的角和圆周角定理
推论2： 半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是 直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 ∵AB是直径（或∠C＝90°） ∴∠C＝90°（∴AB是直径） 推论3： 三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。 ∵OC＝OA＝OB ∴△ABC是直角三角形或∠C＝90°

︵
BD，若∠AOE＝32°，则∠COE 的度数是( D )
A．32°
B．60°
C．68°
D．64°
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图1
方法总结 在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条 弧和两条弦中有一组量相等，它们对应(duìyìng)的其余 各组量也相等．
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例4 如图10，四边形ABCD内接于⊙O，已知
∠ADC＝130°，则∠AOC的大小(dàxiǎo)是( B)
A．80°
B．100°
C．60°
D．40°
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图 10
训练(xùnliàn) 7.(2017西宁)如图11，四边形ABCD 内 接 于 ⊙ O ， 点 E 在 BC 的 延 长 线 上 ， 若 ∠ BOD ＝ 120°，则∠DCE＝____6_0_°.
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图7
思路点拨(diǎn bo) 利用垂径定理求半径或线段长时，注 意勾股定理、解直角三角形等知识的运用．
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训练 5.如图8，已知⊙O的半径为5，点O到弦
AB的距离(jùlí)为2，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为
3的点有( ) C A．1个
2018 江西
第六单元 圆 (dānyuán)
22 课时(kèshí) 圆的有关概念与性质
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第一页，共三十四页。
CONTENTS
目 录
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过教材 过考点 过中考
第二页，共三十四页。

CD 与交于点 D,以 O 为圆心,OC 的长为半径作交 OB 于点 E,
若OA=4,∠AOB=120°,则图中阴影(yīnyǐng)部分的面积为
π)
4π
答案: 3 +2 3
解析(jiě xī):连接OD,AD,
∵点C为OA的中点,∴∠CDO=30°,∠DOC=60°,
∴△ADO为等边三角形,
等 的多边形叫做正多边形.。(2)把一个圆n等分,顺次连接各分点,得到这个圆的内接正n边形。依次过各分点作圆的
切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切(wài qiē)正n边形.。(1)定理:正n边形的半径和边心距把这个
多边形分成2n个全等的直角三角形.。圆锥的侧面积有关的计算。∴△OAB和△AOC都是等边三角形,
4.扇形面积公式:
(1)在半径为 r 的圆中,圆心角为 n°的扇形面积 S 扇形=
(2)在半径为 r 的圆中,弧长为 l 的扇形面积 S 扇形=
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第二页，共二十三页。
180
π 2
1 360
2
.
.
rl .
考点(kǎo
diǎn)一
考点(kǎo
diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
考点二圆柱、圆锥的侧面积和全面积
形.
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考点(kǎo
diǎn)一
考点(kǎo
diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
3.正多边形的有关计算
(1)定理:正n边形的半径和边心距把这个多边形分成2n个全等的直角三角
形.
(2)正 n 边形的中心角 αn=
360°

第22课时 与圆有关的计算
基础自主导学
考点梳理
自主测试
考点一
弧长、扇形面积的计算
1.如果弧长为 l,圆心角的度数为 n° ,圆的半径为 r,那么弧长的计 ������π������ 算公式为 l=180. 2.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇 形.若扇形的圆心角为 n° ,所在圆半径为 r,弧长为 l,面积为 S,则
1 2
基础自主导学
考点梳理
自主测试
考点三 不规则图形面积的计算 求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想, 即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方 法有: (1)直接用公式求解. (2)将所求面积分割后,利用规则图形的面积求解. (3)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解. (4)将所求面积分割后,利用旋转,将部分阴影图形移位后,组成规 则图形求解.
A.12 C.13
10
5
B.13
5
D.13
12
解析:由圆锥的侧面积为65π cm2,底面半径为5 cm, 可得圆锥的母线长为13 cm. 5 由三角函数知识可知sin θ= 13 ,因此选B. 答案:B
规律方法探究
命题点1
命题点2
命题点3
命题点4
规律方法探究
命题点1
命题点2
命题点3
命题点4
变式训练1一个圆锥的底面半径为3 cm,侧面展开图是半圆,则圆 锥的侧面积是 cm2. 解析:如图,设圆锥母线长为l,底面半径为r, 1 则由题意得2πr= 2 · 2πl, ∴l=2r=6 cm. ∴S圆锥侧=πrl=π· 3· 6=18π(cm2). 答案:18π
答案: 24 3

• A．52° B．54° • C．56° D．60°
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知识点四 弧、弦、圆心角的关系(guān xì)
1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧○24 ___相_等__(x_iān_g，děn所g) 对的弦也○25 __相_等__(x_iān_g_dě.ng) 2．推论 （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角○26 __相_等_____， 所对的弦也○27 __相_等____. （2）在同圆或等圆中，如果两条弦○28 _相__等_____，那么它们所对的圆心角○29 __相_等_____，所对的弧也相等．
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第十页，共三十五页。
• 1．如图，点A，B，C在⊙O上，如果∠AOB＝130°，那么∠ACB＝
___65_°____.
• 2．如图，AB是⊙O的直径(zhíjìng)，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为75°
________.
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第十一页，共三十五页。
知识点三 圆内接四边形及其性质(xìngzhì)
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第十二页，共三十五页。
• 3．如图，在圆的内接四边形ABCD中，圆心角∠1＝100°，则圆周角 ∠ABC等于（ C ）
• A．100°
B．120°
• C．130°
D．150°
• 4．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线 上一点(yī diǎn)．若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（ B ）
D．3
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江西5年真题 ·精选
命题(mìng tí)点1 圆周角定理及其推论

正多边形与圆
1. 正多边形：各边 相等 ，各角也相等 的多边形，叫做正多边形． 2. 圆与正多边形的有关概念 (1)把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边 形，这个圆就是这个正n边形的外接圆．
(2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正 多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边 形的一边的距离叫做正多边形的边心距，也是正多边形内切圆的半径．
圆锥的侧面积和全面积
8. 已知圆柱的底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm，则圆柱的侧面积是( B )
A．36 cm2
B．36π cm2
C．18 cm2
D．18π cm2
9. 如图，从一张腰长为 90 cm，顶角为 120°的等腰三角形铁皮 OAB 中剪出一个最 大的扇形 OCD，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的底面半 径为( A )
1.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针方向旋转 40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，图中阴影部分的面积为( B )
A．134π－6 B．295π C．383π－3 D． 33＋π
重难点 平面图形的滚动问题
【例2】 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方 式在直线l上进行两次旋转，使点B旋转到B′点，再旋转到B″点，则点B在两次旋转过程 中经过的路径的长是( C )
A．15 cm B．12 cm C．10 cm D．20 cm
10. 将圆心角为216°，半径为5 cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆
锥的高为 4 cm.
11. 如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在

02
考点突破
典例“串”考点
例 如图，在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，BC＝4.
例题图
(1)以点 B 为圆心，以 4 为半径作⊙B，则⊙B 与 AC 位置关系是__相__切______； (2)如图①，以点 A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交 AB 于点 D，延长 CA 交⊙A 于
点 E，连接 ED、CD，若∠B＝30°.则∠ECD＝_6_0_°____，∠CED＝_3_0_°____，CD
43 的长为_____3_____；
例题图①
(3)若 AC＝3，则 Rt△ACB 的内切圆半径为___1_______； (4)如图②，以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D，点 E 是线段 AC 的中点，连接 ED， DC. ①∠ADC＝_____9_0____°，DACE＝____12______； ②若∠A＝30°，则 AD 的长为____6______．
《九章算术》——勾股容圆 【中考对接】 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步， 问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为 8 步，股 (长直角边)长为 15 步．问该直角三角形内切圆的直．径．是多少步．”该问题的答案 是__6____步．
与圆有关的位置关系
例题图②
03
考向课堂
真题“明”考法
命题点 切线性质的相关计算(6 年 A､B 卷均 4 考,与阴影部分面积结合考查 1 次)
1. (2019 重庆 A 卷 4 题 4 分)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切
点，BC 与⊙O 交于点 D，连接 OD，若∠C＝50°，则∠AOD 的度数为( C )
初中数学基础知识课件

∴∠B=34°.
在☉O 中,∵ =,
1
∴∠B= ∠COE,∴∠COE=68°,
2
∴∠F=112°,故答案选 C.
图 22-9
A.92°
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B.108°
C.112°
D.124°
第十六页，共二十四页。
高频考向探究
针对(zhēnduì)训练
1.[2015·云南 13 题] 如图 22-10,点 A,B,C 是☉O 上的点,OA=AB,则∠C 的度数为
;
图 22-6
(2)在半径为 5 cm 的☉O 中,OC⊥AB 于点 C,OC=4 cm,则弦 AB=
(3)在☉O 中,OC⊥AB 于点 C,OC=4 cm,弦 AB=8 cm,则☉O 的半径为
;
;
(4)在☉O 中,OC⊥AB 于点 C,延长 OC 交劣弧于 D,CD=1 cm,弦 AB=8 cm,则☉O 22-10
2.[2018·昆明盘龙区模拟] 如图 22-11,BD 是☉O 的直径,∠CBD=30°,则∠A 的度数为
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图 22-11
第十七页，共二十四页。
60°
.
高频考向探究
3.[2017·云南 14 题] 如图 22-12,B,C 是☉A 上的两点,AB 的垂直
平分线与☉A 交于 E,F 两点,与线段 AC 交于 D 点.若∠BFC=20°,
第十九页，共二十四页。
.
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当堂效果检测
3.如图 22-15,☉O 的半径是 2,直线 l 与☉O 相交于 A,B 两点,M,N 是☉O 上的两个动点,且在直线 l 的异侧.若∠AMB
=45°,则四边形 MANB 面积的最大值是 4 2

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2.切线的性质 (1)切线的性质定理:圆的切线⑩ 垂直于经过切点 的半径.
(2)推论1:经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 .
(3)推论2:经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 . 温馨提示 (1)要证的直线与圆有公共点,且存在连接(liánjiē)公共点的半径,
∴这三个格点为P3,P6,P8,
∴ <r≤3
1 712/10/2021
第十七页，共五十八页。
变式1-1 ☉O的半径为5,圆心(yuánxīn)O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点
P与☉O的位置关系是 ( A ) A.点P在☉O内
B.点P的☉O上 C.点P在☉O外
D.点P在☉O上或☉O外
∵∠MBA=140°,
∴∠OBA=50°.
∵OA=OB,
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第三十一页，共五十八页。
∴∠OAB=∠OBA=50°,
∴∠AOB=80°, ∴∠ACB=40°,故选A.
方法技巧 已知圆的切线,若图中没有连接(liánjiē)切点的半径,则需 要 连接切点与圆心构造直角三角形,利用勾股定理、锐角三角函数
例1 如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取(xuǎnqǔ)9个
格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的
格点中 除恰点好A有外3个在圆内,则r的取值范围为( B )
A.2 2<r< 1 7 B.
<r2 ≤137
C. <r<5 D.5<r<
17
29
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知识点四 三角形的外接圆和内切圆
知识点五 正多边形与圆