高三数学一轮复习单元训练：推理与证明 Word版含答案

数 学M 单元 推理与证明M1 合情推理与演绎推理M2 直接证明与间接证明23．D5，M2 若无穷数列{a n }满足：只要a p ＝a q (p ，q ∈N *)，必有a p ＋1＝a q ＋1，则称{a n }具有性质P .(1)若{a n }具有性质P ，且a 1＝1，a 2＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＋a 7＋a 8＝21，求a 3；(2)若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列，b 1＝c 5＝1，b 5＝c 1＝81，a n ＝b n ＋c n ，判断{a n }是否具有性质P ，并说明理由；(3)设{b n }是无穷数列，已知a n ＋1＝b n ＋sin a n (n ∈N *)，求证：“对任意a 1，{a n }都具有性质P ”的充要条件为“{b n }是常数列”．23．解：(1)因为a 5＝a 2，所以a 6＝a 3，a 7＝a 4＝3，a 8＝a 5＝2，于是a 6＋a 7＋a 8＝a 3＋3＋2.又因为a 6＋a 7＋a 8＝21，所以a 3＝16.(2){b n }的公差为20，{c n }的公比为13， 所以b n ＝1＋20(n －1)＝20n －19，c n ＝81·(13)n －1＝35－n ， a n ＝b n ＋c n ＝20n －19＋35－n .a 1＝a 5＝82，但a 2＝48，a 6＝3043，a 2≠a 6， 所以{a n }不具有性质P .(3)证明：充分性：当{b n }为常数列时，a n ＋1＝b 1＋sin a n .对任意给定的a 1，若a p ＝a q ，则b 1＋sin a p ＝b 1＋sin a q ，即a p ＋1＝a q ＋1，充分性得证．必要性：用反证法证明．假设{b n }不是常数列，则存在k ∈N *，使得b 1＝b 2＝…＝b k ＝b ，而b k ＋1≠b .下面证明存在满足a n ＋1＝b n ＋sin a n 的{a n }，使得a 1＝a 2＝…＝a k ＋1，但a k ＋2≠a k ＋1. 设f (x )＝x －sin x －b ，取m ∈N *，使得m π>|b |，则f (m π)＝m π－b >0，f (－m π)＝－m π－b <0，故存在c 使得f (c )＝0.取a 1＝c ，因为a n ＋1＝b ＋sin a n (1≤n ≤k )，所以a 2＝b ＋sin c ＝c ＝a 1，依此类推，得a 1＝a 2＝…＝a k ＋1＝c .但a k ＋2＝b k ＋1＋sin a k ＋1＝b k ＋1＋sin c ≠b ＋sin c ，即a k ＋2≠a k ＋1.所以{a n }不具有性质P ，矛盾．必要性得证．综上，“对任意a 1，{a n }都具有性质P ”的充要条件为“{b n }是常数列”．M3 数学归纳法M4 单元综合3． 观察等式：sin 30°＋sin 90°cos 30°＋cos 90°＝3，sin 15°＋sin 75°cos 15°＋cos 75°＝1，sin 20°＋sin 40°cos 20°＋cos 40°＝33.照此规律，对于一般的角α，β，有等式________________________________________________________________________．3.sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β2等式中左端三角函数式中两角之和的一半的正切值恰好等于右端的数值，故sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β2.4． 已知⎩⎪⎨⎪⎧2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋b a ＝92×b a(a ，b 均为正整数)，则a ＋b ＝________．4．89 由已知等式可归纳出n ＋n n 2－1＝n 2×n n 2－1，故在9＋b a ＝92×b a中，b ＝9，a ＝92－1＝80，所以a ＋b ＝89.。

大学附中2021届高三数学一轮复习单元训练：推理与证明制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部．满分是150分．考试时间是是120分钟．第一卷(选择题 一共60分)一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度〞时，反设正确的选项是( )A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度【答案】B2．以下不等式不成立的是( )A ． a 2+b 2+c2≥ab+bc+caB ．b a ba ab +≥+(a>0,b>0)C ． 321a ---<--a a a (a ≥3)D ． 78+<105+ 【答案】D3．四个小动物换座位，开场是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上〔如图〕，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进展下去，那么第2021次互换座位后，小兔的座位对应的是( )A ．编号1B ． 编号2C ． 编号3D ． 编号4【答案】A4．德国数学家洛萨·科拉茨1937年提出了一个猜测：任给一个正整数n ，假如它是偶数，就将它减半；假如它是奇数，那么将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1。

如初始正整数为6，按照上述变换规那么，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1。

如今请你研究：假如对正整数n 〔首项〕，按照上述规那么施行变换〔1可以屡次出现〕后的第八项为1，那么n 的所有可能的对值为( ) A ．2，3，16，20，21，128 B ．2，3，16，21 C ．2，16，21，128 D ．3，16，20，21，64【答案】A5．用反证法证明“假如a b >，那么33a b >〞时，反证假设的内容应是( )A ． b a <B ． b a ≤C ．b a 33=或者b a 33<D ．b a 33<且b a 33=【答案】C 6．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，那么可归纳出式子为( ) A ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ B ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ C ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ D ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥ 【答案】C7．用反证法证明“假如a>b >( )A =B <C =<D =<【答案】D8．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜测a n 等于( )A ．2(n ＋1)2B ．2n(n ＋1)C ．22n －1D ．22n －1 【答案】B9．用反证法证明命题：“假设整数系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么 c b a ,,中至少有一个是偶数〞时，应假设( ) A ．c b a ,,中至多一个是偶数 B ． c b a ,,中至少一个是奇数 C ． c b a ,,中全是奇数D ． c b a ,,中恰有一个偶数【答案】C10．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于o 60〞时，反设正确的选项是( )A ．假设三内角都大于o 60B ．假设三内角都不大于o 60C ．假设三内角至多有一个大于o 60D ．假设三内角至多有两个大于o 60【答案】A11．用反证法证明“方程)0(02≠=++a c bx ax 至多有两个解〞的假设中，正确的选项是( )A ． 至多有一个解B ． 有且只有两个解C ． 至少有三个解D ． 至少有两个解【答案】C12．用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈,1a b +=,1c d +=,且1ac bd +>,那么,,,a b c d 中至少有一个负数〞时的假设为( ) A ．,,,a b c d 中至少有一个正数 B ．,,,a b c d 全为正数 C ．,,,a b c d 中至多有一个负数 D ．,,,a b c d 全都大于等于0【答案】D第二卷(非选择题 一共90分)二、填空题(本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分，把正确答案填在题中横线上)13．2011年11月2日，即20211102，正好前后对称，因此被称为“完美对称日〞，请你写出本世纪的一个 “完美对称日〞： ． 【答案】如：20211002,20210102等14．在如下图的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==，1,1,1,(,)N i j i j i j a a a i j *+++=+∈，记第3行的数3，5，8，13，22， ⋅⋅⋅依次组成数列{}n b ，那么数列{}n b 的通项公式为 。

通州高级中学高三数学周练（推理与证明）1 若等差数列 {}n a 的前n 项和公式为2(1)3n S pn p n p =++++，则p =_______，首项1a =_______；公差d =_______3,5,6---211(1)()222n n n d d dS na n a n -=+=+-，其常数项为0，即30,p += 3p =-，2211132(),3,6,2,52222n d d d dS n n n a n d a a =--=+-=-=--=-=-2若lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则_____= 242222lg()lg(2),(2),540,,4xy x y xy x y x xy y x y x y =-=--+===或而20,444x y x y >>∴==3 设221)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-的值是________________3()(1)xf x f x +-=+=+x ===(5)(4)(0)(5)(6)[(5)(6)][(4)(5)]...[(0)(1)]62f f f f f f f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=-++-++++=⨯= 4 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则.______________)5()4()3()2()1(=++++f f f f f4 0 (0)0,(1)(0)0,(2)(1)0,(3)(2)0f f f f f f f ====-==-=(4)(3)0,(5)(4)0f f f f =-==-=，都是05 设()()()()f x x a x b x c =---(,,a b c 是两两不等的常数),则///()()()a b cf a f b f c ++的值是 ______________5 0 ''()()()()()()(),()()()f x x b x c x a x c x a x b f a a b a c =--+--+--=--，''()()(),()()()f b b a b c f c c a c b =--=--，///()()()()()()()()()a b c a b cf a f b f c a b a c b a b c c a c b ++=++------ ()()()0()()()a b c b a c c a b a b a c b c ---+-==---6若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++ 897 从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________7 2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 注意左边共有21n -项8 已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________ 8 1 21()2f x ax x a a =-+-有最小值，则0a >，对称轴1x a =，min 1()()1f x f a==-即2211112()()20,1,20,(0)1f a a a a a a a a a a a a=⋅-⨯+-=-=-+-=>⇒=9 已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________9 x y < 22222()22a b y a b x +==+=>= 10 若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________≈=m10 155 *512lg 2512lg 21,154.112155.112,,155m m m N m <<+<<∈=11 若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =11 1000 前10项共使用了1234...1055+++++=个奇数，10a 由第46个到第55个奇数的和组成，即1010(91109)(2461)(2471)...(2551)10002a +=⨯-+⨯-++⨯-==12 若关于x 的不等式22133(2)(2)22x xk k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞，则k 的范围是____ (122-+ 13 )(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n n n f ， 经计算的27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2≥n 时，有__________________________ 2(2)2nn f +>14若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f 2()22n f n n +=+三、解答题1 已知：23150sin 90sin 30sin 222=++23125sin 65sin 5sin 222=++通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明1 解： 一般性的命题为2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=证明：左边001cos(2120)1cos 21cos(2120)222ααα----+=++003[cos(2120)cos 2cos(2120)]232ααα=--++-=所以左边等于右边1 观察（1）000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=（2）000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++= 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论1若,,αβγ都不是90，且90αβγ++=，则tan tan tan tan tan tan 1αββγαγ++=3 ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，求证：cb ac b b a ++=+++311 3 证明：要证原式，只要证3,1a b c a b c c aa b b c a b b c+++++=+=++++即即只要证2221,bc c a abab b ac bc +++=+++而02222,60,A C B B b a c ac +===+- 222222222221bc c a ab bc c a ab bc c a abab b ac bc ab a c ac ac bc ab a c bc+++++++++∴===+++++-+++++4 已知c b a ,,均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，求证：c b a ,,中至少有一个大于04 证明：假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0a b c ≤≤≤，得0a b c ++≤，而222(1)(1)(1)330a b c x y z ππ++=-+-+-+-≥->， 即0a b c ++>，与0a b c ++≤矛盾， ,,a b c ∴中至少有一个大于17 (本小题满分12分)已知向量），（11=m ，向量，n 与向量m 的夹角为43π，且n m ⋅=-1 (1)求向量n ；(2)设向量a =(1,0)，向量2cos 2cos 32x b x π=-（，（）），其中0＜x ＜32π，若n a ⋅=0，试求｜n b +︱的取值范围、17 （1）令()n x y =，，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+⋅-=+143cos 2122πy x y x 即∴⎩⎨⎧=+-=+1122y x y x ⎩⎨⎧=-=01y x 或⎩⎨⎧-==10y x ，故()10n =-，或()01n =-， （2）()10a =， 0n a ⋅=()01n ∴=-， 22cos 2cos 1cos cos 323x n b x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 故22241cos 2221cos 23cos cos 322x x x n b x x ππ⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+-=+⎪⎝⎭=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x 23cos 2cos 211234cos 2cos 211ππ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+x x x x x 2sin 232cos 212112sin 232cos 212cos 211 =⎪⎭⎫ ⎝⎛++32cos 211πx0 ＜x ＜32x 3π∴＜32π+x ＜35π 则-1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+32cos πx ＜21∴21≤2n b +＜45 故22≤n b +＜18 （本小题满分12分）设函数d cx bx x a x f +++=43)(23的图像关于原点对称，)(x f 的图像在点),1(m p 处的切线的斜率为-6，且当2=x 时)(x f 有极值（1） 求a 、b 、c 、d 的值；（2） 若1x 、[]1,12-∈x ，求证：︱()21)(x f x f -︱≤344 18 （1））（x f y = 的图象关于原点对称，∴由）（）（x f x f -=-恒成立有0==d b 则c ax x f cx x a x f 44323+=+=）（，）（ 又0261=-=）（，）（f f ∴⎩⎨⎧=+-=+04464c a c a ⇒⎩⎨⎧-==22c a 故0,2,0,2=-===d c b a（2）x x x f 832)(3-=[])(1,1)2)(2(282)(2x f x x x x x f 时当-∈∴+-=-=＜0，)(x f 在 [-1，1]上递减而[]111，-∈x ∴）（1f ≤）（1x f ≤）（1-f 即322-≤）（1x f ≤322∴）（1x f ≤322同理可得）（2x f ≤322∴）（）（21x f x f -≤）（1x f +）（2x f ≤344故）（）（21x f x f -34422 （本小题满分14分）已知正项数列{}n a 和n b 中，a 1 = a （0＜a ＜1＝，a b -=11 当n ≥2时，21111----==n n n n n n a b b b a a ， （1） 证明：对任意，*N n ∈有1=+n n b a ；（2） 求数列{}n a 的通项公式；记n n n n S b a c ，12+=为数列{}n c 的前n 项和，求n S 的值22 （1）证明：用数学归纳法证明① 当n=1时，a 1+b 1=a+（1-a ）=1，命题成立：②假设n=k （k ≥1且*N k ∈）时命题成立，即a k +b k =1， 则当1+=k n 时，111+++=+k k k k b a b a =()111111222==-=-+=-+-kk k k kk k kkkkk b ba b a a b a b a b a ∴当1+=k n 时，命题也成立 综合①、②知，1=+n n b a 对*N n ∈恒成立（2）解；∵()，nn nn n nnn n n n a a a a a a b a b a a +=--=-==++11112211∴11111+=+=+n n n n a a a a ，即1111=-+n n a a ③ ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是公差为1的等差数列，其首项是，a a 111=∴()1111⨯-+=n a a n ，从而()an aa n 11-+=（3）解：∵()1112+++===n n n n n n nn a a b a a b a c ， ③式变形为11++-=n n n n a a a a ， ∴1+-n n n a a c ，∴()()()naaa a a a a a a a a c c c S n n n n n +-=-=-++-+-=+++=++1111322121 ∴na a a S n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→∞→1lim lim。

综合检测一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分） 1. 集合P ={1, 4, 9, 16…}，若a ∈P , b ∈P 则a ⊕b ∈P ，则运算⊕可能是 A ．加法 B ．减法 C ．除法 D ．乘法[解析] D.2. 若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是 A ．直角梯形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形 [解析] D.[AB//CD,BD ⊥AC]3. （2019·珠海市高三教学质量检测）给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若a,b b a b a R =⇒=-∈0,则”类比推出“若a,b b a b a C =⇒=-∈0,则”；②“若a,b,c,d d b c a di c bi a R ==⇒+=+∈,,则复数”类比推出“若a,b,c,d ,Q ∈则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”；③“若a,b b a b a R >⇒>-∈0,则” 类比推出“若a,b b a b a C >⇒>-∈0,则”；其中类比结论正确的个数是 （ ） (A).0 (B).1 (C).2 (D).3[解析] B.[正确命题①]4. (09深圳九校)平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到(3)n n ≥维向量，n 维向量可用123(,,,,)n x x x x 表示.设123(,,,,)n a a a a a =,123(,,,,)n b b b b b =,规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====n i ni i i ni ii b a ba 11221))((cos θ.当(1,1,1,1)a =,(1,1,1,1)b =--时，cos θ=A ．nn 1- B ．nn 3- C ．nn 2- D ．nn 4- [解析]n n 2- [=⋅-=nn n 2cos θn n 2-]5. 下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是A ．sin 2xy = B ． sin y x = C ． tan y x =- D ． cos 2y x =- [解析] D6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y =x 2、值域为{0,4}的“同族函数”共有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D.无数[解析]3. [定义域可以是以下3种情况：{0，2}、{0，-2}、{0，2，-2}]7.（08南昌调研）对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若,,1a b R a b +∈+=且，则122a b--的上确界为A ．92B ．92-C ．41 D ．4-[解析] B122a b--29)2225()221)((-≤++-=++-=b a a b b a b a ，29-≥∴M ，122a b --的上确界为92-8. (2019深圳二模)如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。

第十二章| 推理与证明、算法、复数 第一节合情推理与演绎推理突破点(一) 合情推理基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 类型 定义特点归纳推理 根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理 由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； (2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)； (3)对所得出的一般性命题进行检验． 类型(一) 与数字有关的推理 [例1] 给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ……记第i 行的第 j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝( )本节主要包括2个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.A ．(m ，n －m ＋1)B ．(m －1，n －m )C ．(m －1，n －m ＋1)D ．(m ，n －m )[解析] 由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，∴a nm＝(m ，n －m ＋1)．[答案] A [易错提醒]解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．类型(二) 与式子有关的推理[例2] (1)(2016·山东高考)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.(2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x3≥4，…，类比得x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. [解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .[答案] (1)4n (n ＋1)3 (2)n n[方法技巧]与式子有关的推理类型及解法(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．类型(三)与图形有关的推理[例3]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A．21 B．34 C．52 D．55[解析]因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.[答案] D[方法技巧]与图形有关的推理的解法与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．类比推理1．类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…[例4]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝ma＋nbm＋n.用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是()A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n[解析] 在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF ＝ma ＋nbm ＋n 类比到关于△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n.[答案] C [方法技巧]类比推理的步骤和方法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．1．[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．2．[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝()A.18 B.19 C.164 D.127解析：选D正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V1V2＝127.3．[考点一·类型(一)]两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()窗口1 2过道34 5窗口67 89101112 131415……………A．48,49 B．62,63 C．75,76 D．84,85解析：选D由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析选项中的4组座位号知，A、B两组座位号都不靠窗，C中两个座位没有连在一起，只有D符合条件．4．[考点一·类型(二)]设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：∵f(21)＝32，f(22)>2＝42，f(23)>52，f(24)>62，∴归纳得f(2n)≥n＋22(n∈N*)．答案：f(2n)≥n＋22(n∈N*)5．[考点一·类型(三)]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋1突破点(二) 演绎推理基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． (3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，(大前提)所以S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， 即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)[方法技巧]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．1．已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．(大前提)由已知y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x ＋a＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x＋a ，(小前提) ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称．(结论) (2)由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 故f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.2．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．证明：设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2， 则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， 因为x 1<x 2，即x 2－x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．(小前提) 所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数．(结论)[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．答案：1和32．(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三个去过同一城市． 由此判断乙去过的城市为________．解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，因此三人去过的同一城市应为A ，而甲去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以甲去过A ，C 城市，乙去过的城市应为A.答案：A[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错解析：选A y＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．121 B．123 C．231 D．211解析：选B令a n＝a n＋b n，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得a n＋2＝a n＋a n＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.4．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.答案：n(n＋1)25．在平面几何中：△ABC中∠C的角平分线CE分AB所成线段的比为ACBC＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图)，DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E，则得到类比的结论是_____________________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AEEB＝S△ACDS△BCD.答案：AEEB＝S△ACDS△BCD[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.复数不能比较大小，③④错误．2．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．3．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，则52 016的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：选C 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 016＝4×502＋8，所以52 016与58的后四位数字相同，为0 625，故选C.4．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n解析：选D 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有 1 225.6．某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )A ．今天是周六B ．今天是周四C ．A 车周三限行D ．C 车周五限行解析：选B 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.二、填空题7．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，观察下列等式： [ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21， ……按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为________．解析：因为[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝1×3，[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝2×5，[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝3×7，……，以此类推，第n 个等式的等号右边的结果为n (2n ＋1)，即2n 2＋n .答案：2n 2＋n8．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.答案：3329．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.解析：根据题意知，各式中分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知f n (x )的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x(2n －1)x ＋2n.答案：x(2n－1)x ＋2n10.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为________．解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.答案：(1 009,1 008)三、解答题11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2.在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2BD·BC·DC·BC＝BC2 AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.猜想，在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD.∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又AB∩AE＝A，∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AF.∴在Rt△ACD中1AF2＝1AC2＋1AD2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.第二节直接证明与间接证明、数学归纳法突破点(一)直接证明基础联通抓主干知识的“源”与“流”内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果执果索因框图表示P(已知)⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒Q(结论)Q(结论)⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件书写格式因为…，所以…或由…，得…要证…，只需证…，即证…考点贯通抓高考命题的“形”与“神”综合法综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．[例1](2017·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：f(x)x－1>0. [解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.则f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.本节主要包括3个知识点：1.直接证明；2.间接证明；3.数学归纳法.当0<x <1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，故f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1x －1. 由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．当0<x <1时，x －1<0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，∴f (x )x －1>0.当x >1时，x －1>0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x －x ⎝⎛⎭⎫ln 1x －1x ＋1>0， ∴f (x )x －1>0. 综上可知，f (x )x －1>0.[方法技巧] 综合法证题的思路分析法分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．[例2] 已知a >0，证明 a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2.[证明] 要证a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)． 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)>0， 所以只需证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 22≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)2， 即2(2－2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a ≥8－42，只需证a ＋1a≥2. 因为a >0，a ＋1a ≥2显然成立当且仅当a ＝1a ＝1时，等号成立，所以要证的不等式成立．[方法技巧]分析法证题的思路(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．1．[考点一]命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“从左向右”，即由条件逐步推向结论，故选B. 2．[考点一](2017·广州调研)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：选B a 2－ab ＝a (a －b )， ∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a (a －b )>0，即a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .① 又∵ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.3．[考点一]已知实数a 1，a 2，…，a 2 017满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝0，且|a 1－2a 2|＝|a 2－2a 3|＝…＝|a 2 017－2a 1|，证明：a 1＝a 2＝a 3＝…＝a 2 017＝0.证明：根据条件知：(a 1－2a 2)＋(a 2－2a 3)＋(a 3－2a 4)＋…＋(a 2 017－2a 1)＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017)＝0.①另一方面，令|a 1－2a 2|＝|a 2－2a 3|＝|a 3－2a 4|＝…＝|a 2 017－2a 1|＝m ， 则a 1－2a 2，a 2－2a 3，a 3－2a 4，…，a 2 017－2a 1中每个数或为m 或为－m . 设其中有k 个m ，(2 017－k )个－m ，则(a 1－2a 2)＋(a 2－2a 3)＋(a 3－2a 4)＋…＋(a 2 017－2a 1)＝k ×m ＋(2 017－k )×(－m )＝(2k －2 017)m .②由①②知：(2k －2 017)m ＝0.③而2k －2 017为奇数，不可能为0，所以m ＝0.于是知：a 1＝2a 2，a 2＝2a 3，a 3＝2a 4，…，a 2 016＝2a 2 017，a 2 017＝2a 1. 所以a 1＝22 017·a 1，即得a 1＝0.从而a 1＝a 2＝a 3＝…＝a 2 017＝0.命题得证．4．[考点二]已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )·(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证m (a －b )2≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．突破点(二) 间接证明1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明问题的一般步骤至多有n 个至少有(n ＋1)个都是 不都是 对任意x 成立 存在某个x 不成立 对任意x 不成立 存在某个x 成立 p 或q 綈p 且綈q p 且q 綈p 或綈q 不都是都是考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”证明否定性命题[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中任意三项不可能按原来顺序成等差数列． [解] (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2， 所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*) 又因为p <q <r ， 所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．证明存在性问题[例2] 若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ， 即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3. (2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a >－2)上是“四维光军”函数， 因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎨⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．证明“至多”“至少”“唯一”命题[例3] 已知f (x )＝ln(1＋e x )－mx (x ∈R)，对于给定区间(a ，b )，存在x 0∈(a ，b )，使得f (b )－f (a )b －a＝f ′(x 0)成立，求证：x 0唯一． [证明] 假设存在x ′0，x 0∈(a ，b )，且x ′0≠x 0，使得f (b )－f (a )b －a ＝f ′(x 0)，f (b )－f (a )b －a＝f ′(x ′0)成立，即f ′(x 0)＝f ′(x ′0)．因为f ′(x )＝e x1＋e x－m ，记g (x )＝f ′(x )，所以g ′(x )＝e x(1＋e x )2>0，f ′(x )是(a ，b )上的单调递增函数．所以x 0＝x ′0，这与x ′0≠x 0矛盾，所以x0是唯一的．1．[考点三]用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要作的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根解析：选A用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而至少有一个实根的否定是没有实根，故作的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．2．[考点一、三]若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c －a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C由于a，b，c不全相等，则a－b，b－c，c－a中至少有一个不为0，故①正确；②显然正确；令a＝2，b＝3，c＝5，满足a≠c，b≠c，a≠b，故③错误．3．[考点三]已知x∈R，a＝x2＋12，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明：假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，而a＋b＋c＝x2＋12＋2－x＋x2－x＋1＝2x2－2x＋12＋3＝2⎝⎛⎭⎫x－122＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.4．[考点一]设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．解：(1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②①－②得，(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a1(1－q n)1－q，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na1，q＝1，a1(1－q n)1－q，q≠1.(2)证明：假设数列{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1.∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故数列{a n＋1}不是等比数列．5．[考点二]已知四棱锥S-ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA ＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，故SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，所以SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．故在棱SC上不存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.突破点(三)数学归纳法基础联通抓主干知识的“源”与“流”一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”用数学归纳法证明等式[例1] 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝⎛⎭⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎡⎦⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． [方法技巧]用数学归纳法证明等式的策略(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n 0的值．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n ＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．用数学归纳法证明不等式[例2] 用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．[证明] (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立， 即1＋122＋132＋ (1)2<2－1k .当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1命题成立． 由(1)(2)知原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立．[方法技巧]用数学归纳法证明不等式的策略(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．归纳—猜想—证明[例3] 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n －1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．[解] (1)当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，即a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1(a 1＞0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2＞0)． 同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明：①由(1)知，当n ＝1时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1. 由于a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式，整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， ∴a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1，即n ＝k ＋1时通项公式成立．由①②可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．[方法技巧]归纳—猜想—证明类问题的解题步骤利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理(即演绎推理)论证结论的正确性．1．[考点一]求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k， 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．2．[考点二]用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立，。

2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题 1．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是-----------------------------------（ ）(A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 ．(B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直．(C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交．(D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题2．边长为a 的等边三角形内一点到三边的距离之和为定值，这个定值为a 23 ，推广到空间，棱长为a 的正四面体内任一点到各个面距离之和为 ▲3．把1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成4．在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，两直角边长分别为a ，b ，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC 补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为；按此方法，在三棱锥S ﹣ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a ，b ，c ，通过类比可得三棱锥S ﹣ABC 外接球的半径为 ．（3分）5．观察下列等式：=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，…可推测当n ≥3，n ∈N *时，= （﹣）× ．（3分）6．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 ▲7．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式： 211122S n n =+， 322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++， ⋅⋅⋅ 可以推测，A B -= ▲ ．8．观察下列等式：11,358,791127,1315171964,2123252729125,=+=++=+++=++++= 由此猜测第n 个等式为 ▲ ．9．一个与自然数有关的命题，若()n k k N =∈时命题成立可以推出1n k =+时命题也成立．现已知10n =时该命题不成立，那么下列结论正确的是： ▲ (填上所有正确命题的序号)①11n =时该命题一定不成立；②11n =时该命题一定成立；③1n =时该命题一定不成立；④至少存在一个自然数0n ,使0n n =时该命题成立；⑤该命题可能对所有自然数都不成立．10．已知：23150sin 90sin 30sin 222=++；23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：____________________________=23 （ * ）并给出证明．11．有n 名同学在玩一个哈哈镜游戏,这些同学的编号依次为:1,2,…n,在游戏中,除规定第k 位同学看到的像用数对(p,q)（p<q ）(其中q-p=k)表示外,还规定:若编号为k 的同学看到的像用数对（p,q ）,则编号为k+1的同学看到的像为（q,r ）,(p,q,r *N ∈)，已知编号为1的同学看到的像为（4,5），则编号为5的同学看到的像是 。

高考数学一轮单元复习测试：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2011项a 2011满足( )A ．0<a 2011<110B ．110≤a 2011<1C ．1≤a 2011≤10D ．a 2011>10 【答案】A2．已知向量)3,5(-=→x a , ),2(x b =→,且→→⊥b a , 则由x 的值构成的集合是( ) A ．{2,3} B ． {-1, 6}C ． {2}D ． {6}【答案】C3． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n n S n a =*()n ∈N ，可归纳猜想出n S 的表达式为 ( ）A ．21n n +B ．311n n -+C ．212n n ++D ．22n n +【答案】A4．下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤。

【答案】D5．如果两个向量a 、b 共线，一定存在λ∈R 使a =λb .因为0与任何向量共线，因此对于任何向量a ,一定有λ∈R 使a =λ0.对以上三段论，下面说法正确的是A ．推理完全正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．推理形式不正确 【答案】B6．实数a 、b 、c 不全为0的条件是（ ）A ．a 、b 、c 均不为0；B ．a 、b 、c 中至少有一个为0；C ．a 、b 、c 至多有一个为0；D ．a 、b 、c 至少有一个不为0。

推理与证明一、选择题（每小题分，共分）、下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.．①②③；．②③④；．②④⑤；．①③⑤.、下面使用类比推理正确的是（）. .“若,则”类推出“若,则”.“若”类推出“”.“若”类推出“（≠）”.“”类推出“”、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）.大前提错误 .小前提错误 .推理形式错误 .非以上错误、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于度”时，反设正确的是（）。

()假设三内角都不大于度； () 假设三内角都大于度；() 假设三内角至多有一个大于度； () 假设三内角至多有两个大于度。

、在十进制中，那么在进制中数码折合成十进制为（）. . .．设（）＝＋＋＋＋…＋，则（）．（）共有项，当＝时，（）＝＋．（）共有＋项，当＝时，（）＝＋＋．（）共有－项，当＝时，（）＝＋＋．（）共有－＋项，当＝时，（）＝＋＋．在上定义运算⊙：⊙＝，若关于的不等式（－）⊙（＋－）＞的解集是集合｛｜－≤≤，∈｝的子集，则实数的取值范围是（）．－≤≤．－≤≤．－≤≤．≤≤．已知（）为偶函数，且（＋）＝（－），当－≤≤时，（）＝，若∈*，＝（），则＝（）．．．．－．函数（）在［－，］上满足（－）＝－（）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）．（α）＞（β）．（α）＞（β）．（α）＜（β）．（α）＜（β）．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。

四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（）．甲．乙．丙．丁二、填空题（每小题分，共分.把答案填在题中的横线上）．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：,,,它的第个数可以是。

专题二十推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分80分，考试时间50分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·菏泽模拟)命题：“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)·(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了() A．分析法B．综合法C．综合法与分析法D．放缩法答案 B解析综合法的基本思路是“由因导果”，即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论．故本题证明的过程应用了综合法．故选B.2．(2019·深圳二模)已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，利用类比的方法可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是() A．各面内某边的中点B．各面内某条中线的中点C．各面内某条高的三等分点D．各面内某条角平分线的四等分点答案 C解析平面上关于正三角形的内切圆的性质可类比为空间中关于正四面体的内切球的性质，可以推断，在空间几何中有“正四面体的内切球与各面相切，切点是各面的中心”，即各面内某条高的三等分点．故选C.3．(2019·三明期末)某演绎推理的“三段论”分解如下：①函数f (x)＝13x是减函数；②指数函数y＝a x(0<a<1)是减函数；③函数f (x)＝13x是指数函数．则按照演绎推理的“三段论”模式，排序正确的是() A．①→②→③B．③→②→①C．②→①→③D．②→③→①答案 D解析易知大前提是②，小前提是③，结论是①.故排列的次序应为②→③→①.故选D.4．(2019·洛阳质检)对于大于或等于2的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…根据以上规律，若m，p均为正整数且m2＝1＋3＋5＋…＋11，p3的分解式中的最小正整数为21，则m＋p＝()A．9 B．10 C．11 D．12答案 C解析∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29.∵p3的分解式中最小的正整数是21，∴p3＝53，p＝5，∴m＋p＝6＋5＝11，故选C.5．(2019·桂林一模)设f (n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n>2，n∈N)，经计算可得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可得出的一般结论是()A．f (2n)>2n＋12(n≥2，n∈N)B．f (n2)≥n＋22(n≥2，n∈N)C．f (2n)>n＋22(n≥2，n∈N)D．f (2n)≥n＋22(n≥2，n∈N)答案 C解析已知不等式f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，可化为f (22)>2＋22，f (23)>3＋22，f (24)>4＋22，f (25)>5＋22，…，由此归纳，可得f (2n)>n＋22，故选C.6．(2019·临川两校联考)甲、乙、丙、丁四名同学参加某次过关考试，甲、乙、丙三个人分别去老师处询问成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩．然后，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是() A．甲没过关B．乙过关C．丙过关D．丁过关答案 C解析基于他们说的都是真的情况下，因为，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；所以，可以推出，它们四人中一定只有两人过关，再由丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．所以得到，丙一定过关，故选C.7．(2019·德州模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A．②③B．①②③C．③D．③④⑤答案 C解析若a＝12，b＝23，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，但a<1，b<1，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，但a<1，b<1，故⑤推不出．对于③，若a ＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.用反证法证明如下：假设a≤1且b≤1，则a ＋b≤2，与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.故选C.8．(2019·南昌市摸底)用反证法证明命题①：“已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2”时，可假设“p＋q>2”；命题②：“若x2＝4，则x＝－2或x＝2”时，可假设“x≠－2或x≠2”．以下结论正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误，②的假设正确答案 C解析用反证法证明时，其假设应否定命题的结论．证明①：“已知p3＋q3＝2，求证：p ＋q ≤2”时，可假设“p ＋q >2”；证明②：“若x 2＝4，则x ＝－2或x ＝2”时，可假设“x ≠－2且x ≠2”．故选C.9．(2019·焦作模拟)用分析法证明不等式(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)时，最后得到的一个显然成立的不等式是( )A ．(ac ＋bd )2≥0B ．a 2＋b 2≥0C ．(ad －bc )2≥0D ．c 2＋d 2≥0 答案 C解析 要证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，只要证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2，即证2abcd ≤a 2d 2＋b 2c 2，即证(ad －bc )2≥0，该式显然成立．故选C.10．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314答案 C解析 因为 f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f(log 34)．又因为log 34>1>2－23 >2－32 >0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log 34)<f (2－23 )<f (2－32 )．故选C.11．(2019·濮阳联考)有一个由奇数组成的数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}，第2组含有两个数{3,5}，第3组含有三个数{7,9,11}，……，则第n 组各数之和为( )A ．n 2B ．n 3C ．n 4D ．n (n ＋1) 答案 B解析 第一组各数之和为1＝13，第2组各数之和为8＝23，第3组各数之和为27＝33，……，观察规律，归纳可得，第n 组各数之和为n 3.故选B.12．(2019·岳阳一中月考)将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2019层正方体的个数为( )A ．2018B ．4028C ．2037171D ．2039190答案 D解析 设第n 层正方体的个数为a n ，则a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2(n ≥2)，故a 2019＝1010×2019＝2039190，故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共20分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·山西吕梁一模)在某次语文考试中，A ，B ，C 三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C 说：“A 没有得优秀”；B 说：“我得了优秀”；A 说：“C 说得是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．答案 C解析 假如A 说的是假话，则C 说的也是假话，不成立；假如B 说的是假话，即B 没有得优秀，又A 没有得优秀，故C 优秀；假如C 说的是假话，即A 得优秀，则B 说的也是假话，不成立；故得优秀的同学为C .14．(2019·宣城市八校联考)如图，在△OAB 中，OA ⊥AB ，OB ＝1，OA ＝12，过B 点作OB 延长线的垂线交OA 延长线于点A 1，过点A 1作OA 延长线的垂线交OB 延长线于点B 1，如此继续下去，设△OAB 的面积为a 1，△OA 1B 的面积为a 2，△OA 1B 1的面积为a 3，…，以此类推，则a 6＝________.答案 128 3解析 因为在△OAB 中，OA ⊥AB ，OB ＝1，OA ＝12，所以△OAB 的面积为a 1＝12×OA ×AB ＝38；过B 点作OB 延长线的垂线交OA 延长线于点A 1，所以△OA 1B 的面积为a 2＝12×OA 1×AB ＝32；又过点A 1作OA 延长线的垂线交OB 延长线于点B 1，可得△OA 1B 1的面积为a 3＝23，…，如此继续下去，可得数列{a n }是一个以38为首项，以4为公比的等比数列，所以a n ＝38·4n －1.因此a 6＝128 3.15．(2019·宁夏育才中学二模)凸函数具有以下性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)，∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332， ∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.16．(2019·株洲二模)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若88n＝88n具有“穿墙术”，则n＝________.答案63解析因为223＝223＝221×2＋1，338＝338＝332×3＋2，4415＝4415＝443×4＋3，5524＝5524＝554×5＋4，则88n＝88n＝887×8＋7＝8863.即n＝63.。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z 满足1＋z 1－z＝i ，则|z |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：由1＋z 1－z＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i ，所以|z |＝1，故选A.答案：A2．如图所示的框图是结构图的是( ) A.P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒QB.Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件C.D.入库→找书→阅览→借书→出库→还书解析：选项C 为组织结构图，其余为流程图．答案：C3．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．答案：B4．下面几种推理中是演绎推理的是()A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0，1)B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n＝1n（n＋1）(n∈N*)C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积为πabD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2解析：选项B为归纳推理，选项C和选项D为类比推理，选项A 为演绎推理．答案：A5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为() A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－9D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10解析：易知等式的左边是两项和，其中一项为序号n，另一项为序号n－1的9倍，等式右边是10n－9.猜想第n个等式应为9(n－1)＋n＝10n－9.答案：B6．已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：因为（1－i ）2z＝1＋i ， 所以z ＝（1－i ）21＋i ＝（1－i ）2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋i 2－2i ）（1－i ）1－i 2＝－2i （1－i ）2＝－1－i. 答案：D7．根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( )A.a ＞0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析：作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b ＜0，当x ＝0时，y ^＝a ＞0.故a ＞0，b ＜0.答案：B8．下列推理正确的是( )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋b a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b＋－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2 解析：A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．D 利用基本不等式，推理正确．答案：D9．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由列联表中数据可求得随机变量K 2的观测值k ＝992×（700×32－60×200）2760×232×900×92≈7.349＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”．因此②③正确．答案：C10．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( )A ．a ，b ，c 都是正数B ．a ，b ，c 都大于1C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12解析：假设a ，b ，c 中都小于12， 则a ＋2b ＋c <12＋2×12＋12＝2，与a ＋2b ＋c ＝2矛盾 所以a ，b ，c 中至少有一个不小于12. 答案：D11．已知直线l ，m ，平面α，β且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确；若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确．答案：B12．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ， y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，得x ＝0，y ＝1，x 2＋y 2＝1<36，不满足条件；执行循环：n ＝2，x ＝12，y ＝2，x 2＋y 2＝14＋4<36，不满足条件；执行循环：n ＝3，x ＝32，y ＝6，x 2＋y 2＝94＋36>36，满足条件，结束循环，输出x ＝32，y ＝6，所以满足y ＝4x . 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2017·天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i为实数，则a 的值为________．解析：a －i 2＋i＝15(a －i)(2－i)＝2a －15－a ＋25i 依题意a ＋25＝0，所以a ＝－2. 答案：－214．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为______________________________________________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝115．(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；②该小组人数的最小值为________．解析：设男学生人数、女学生人数、教师人数分别为a ，b ，c ，则有2c ＞a ＞b ＞c ，且a ，b ，c ∈Z.①当c ＝4时，b 的最大值为6；②当c ＝3时，a 的值为5，b 的值为4，此时该小组人数的最小值为12.答案：①6 ②1216．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为______．解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧3b ^＋a ^＝17，8b ^＋a ^＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝1，a ^＝14.所以回归直线方程是y ^＝x ＋14.答案：y ^＝x ＋14三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2.解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， 因为a ，b 都是实数，所以⎩⎨⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2），解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝2.所以a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，求证：S <2a .证明：因为S 2＝2ab ，所以要证S <2a ，只需证S <S 2b，即b <S . 因为S ＝12(a ＋b ＋c )，只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c . 因为a ，b ，c 为三角形三边，所以b <a ＋c 成立，所以S <2a 成立．19．(本小题满分12分)观察以下各等式：tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°， tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°， tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°.分析上述各式的共同特点，猜想出表示一般规律的等式，并加以证明．解：表示一般规律的等式是：若A ＋B ＋C ＝π，则tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .证明：由于tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B， 所以tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )．而A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C .于是tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(π－C )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .故等式成立．20．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数．(1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值；(2)当a ＞0且b a ＞14时，证明该方程没有实数根． 解：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋b x＝1， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1， 所以⎩⎨⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2. (2)证明：原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0，假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .因为a ＞0，所以b a ≤14， 这与题设b a ＞14相矛盾， 故原方程无实数根．21．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＝1＋2，3a 1＋3d ＝9＋32，联立得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，从而(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．22．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．解：(1)由题意知n ＝10，x －＝110i ＝8010＝8，＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。

M单元推理与证明M1 合情推理与演绎推理8．M1[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A．2人 B．3人 C．4人 D．5人8．B [解析] 假设A、B两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即 3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．20．M1 E7[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.15．A1、M1[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．15．6 [解析] 若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d ＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.19．M1、M3[2014·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求数列{a n }的通项公式．14．M1[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A [解析] 由于甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A 城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市．14．M1[2014·陕西卷] 观察分析下表中的数据：14．F ＋V －E ＝2 [解析] 由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 所满足的等式是F ＋V －E ＝2.M2 直接证明与间接证明4．M2[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A. 方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D. 方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．A [解析] “方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.M3 数学归纳法21．B11、M3、D5[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *.(1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p.21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立．②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k>1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p>1＋px 均成立．(2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p.①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p 成立．由a n ＋1＝p －1p a n ＋c pa 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c pa －pk ＝ 1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1.由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k－1<0.由(1)中的结论得⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k p＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1＝ca p k . 因此a pk ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p n －1可得a n ＋1a n<1， 即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p，则x p ≥c ， 所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p＝p －1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c x p >0.由此可得，f (x )在[c 1p，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p时，f (x )>f (c 1p)＝c 1p. ①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p1>c 可知a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ， 故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p)，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．19．M1、M3[2014·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求数列{a n }的通项公式．22．B12、M3[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2. 22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)． 又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数． 当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)． 下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2. (i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <a k ＋1≤3k ＋3，结论成立． 根据(i)(ii)知对任何n ∈N *结论都成立．21．B11，B12，E8，M3[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)． (1)由已知，g 1(x )＝x1＋x，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x1＋x＝x1＋2x， g 3(x )＝x1＋3x，…，可得g n (x )＝x1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a（1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax1＋x 不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．22．D1，D2，M3[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．M4 单元综合2．[2014·陕西五校联考] 设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体P ­ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P ­ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 42．C [解析] 由类比推理可知，选项C 正确．4．[2014·烟台一模] 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3，32＝1＋3＋5，42＝1＋3＋5＋7，…； 23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．124．C [解析] 由归纳推理可知，m ＝6，p ＝5，∴m＋p ＝11.6．[2014·衡水中学调研] 已知椭圆中有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋y b 2＝0上．类比上述结论可推得：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上斜率为1的弦的中点在直线________________________________________________上．6.x a 2－yb 2＝0 [解析] 由类比推理可得．7．[2013·湖南两校联考] 在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，点D是点A 在BC 边上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A ­BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是点A 在平面BCD 内的射影，且点O 在平面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间的关系为________．7．S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BDC [解析] 如图所示，依题意作出四面体A­BCD.连接DO ，并延长交BC 于点E ，连接AO ，AE ，则易知AO⊥DE，BC⊥AO.由DA⊥平面ABC ，得DA⊥BC，又DA∩AO ＝A ，所以BC⊥平面AED ，所以DE⊥BC，AE⊥BC.又易知△AED 为直角三角形，其中∠DAE＝90°，AO 为斜边ED 上的高，所以由射影定理得AE 2＝EO ·ED.又S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·EO ，S △BDC ＝12BC ·DE，所以AE ＝2S △ABC BC ，EO ＝2S △BOC BC ，DE ＝2S △BDC BC .由AE 2＝EO·ED，得S 2△ABC ＝S △BOC ·S△BDC .11．[2014·山东日照一中月考] 二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，则S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，则V ′＝S .已知四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________．11．2πr 4 [解析] 因为(2πr 4)′＝8πr 3，所以猜想W ＝2πr 4.。

专题10.4 推理与证明一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 2.观察下列等式，332123+=，33321236++=，33332123410+++=根据上述规律，333333123456+++++= ___________.【答案】2213.观察下列等式3233233323333211,123,1236,123410,,=+=++=+++=根据上述规律，第n 个等式为___________.【答案】22333(1)124n n n +++⋅⋅⋅+=【解析】观察式子等式右边正好为等式左边各项的和的平方，所以答案为()212n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭ 即22(1)4n n + 。

4.已知双曲正弦函数2x x e e shx --=和双曲作弦函数2x xe e chx -+=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确．．结论______________.【答案】()ch x y chxchy shxshy -=-5.有一个奇数列1, 3, 5, 7, 9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{}1，第二组含两个数{}3,5，第三组含三个数{}7,9,11，第四组含四个数{}13,15,17,19，…，现观察猜想每组内各数之和为n a 与其组的编号数n 的关系为 . 【答案】3=n a n【解析】由已知，第一组各数的和31=1；第二组各数的和38=2；第三组各数的和327=3；第四组各数的和364=4，由归纳推理，得每组内各数之和为n a 与其组的编号数n 的关系为3=n a n ．6.观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，根据以上式子可以猜想2221111232014++++< . 【答案】40272014【解析】据已知，猜想式子的分母是2014，分子是2201414027⨯-=，故应填入40272014． 7.对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3331373152,39,4,5171119……⎧⎧⎪⎧⎪⎪===⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩．仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2015，则m = ． 【答案】45【解析】由已给定的前边向个自然数的三次幂的分裂中，不难找出规律，即33331123537911413151719m ==+=++=+++⋯，，，，增加1，累加的奇数个数便多1，我们不难计算2015是第1008个奇数，若它是m 的分解，则1至1m -的分解中，累加的奇数一定不能超过1008个.[][12311008,123110]08m m m +++⋯+-+++⋯+-+≥（）＜（），即1008,(1)(1221)008m m m m ≥-+＜，解得45m =. 8.某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域{,)|0,0}x y y ≥≥内植树，第一棵树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ，l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ． （2）第2014棵树所在点的坐标是 .【答案】1936 , (10,44)9.如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点. 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一个点，若它停在奇数点上，则下次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点. 该青蛙从“5”这点起跳，经2 014次跳后它停在的点对应的数字是 .【答案】2【解析】 由题意得：该青蛙从“5”这点起跳，停在的点对应的数字依次为1,2,4,1,2,4，因此经2 014次跳后它停在的点对应的数字是2.10.在平面几何里，有：“若ABC ∆的三边长分别为,,,c b a 内切圆半径为r ，则三角形面积为r c b a S ABC )(21++=∆”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体BCD A -的四个面的面积分别为,,,,4321S S S S 内切球的半径为r ，则四面体的体积为 ”【答案】12341()3A BCD V S S S S r -=+++二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

一点特身尔传过辱加马克也种的锋找悟分己两把这了森竟发钟就理在球迷同道突换张些提面疯断他况干出攻贾和进且埃放伊长方亮握来巴度错始太多阿力脚利守下还须门去拥更曼对不样击比行给是磕倒得班夏快被单逼平各次炸:认刻控国人做姜论要奇正有助纳熟好们会求等奥个本刚想起说续路溜技危席诉场丽如照七大前向验可型里达速防然到斯肯中着所员十反直后忍踢劳暴险都吃预新能必量狂聚简禁插线情强洛索赛王上化经完军维从赫尽才硬解问看图时让吼没算接手似呼滥足态味普惊拉松我取又回毫护架最意德致少迫年宁日排腰罗么状底娥停撞高尼败体落六潮无敢远将定拿留耗明头实鲁激泽告麦当命卫粗退背洞边练景吊周权变候为话亲文切结而7望粘3主配但毕胜感打充封功别皮令牧般雷制成声谁术黑整悉翻引遭蒂那托瓦法全弓已扳喊心飞消题焦区林却规现走表住予死余雨波安舞丹丰据积入盯够虎脑幕战先应再挥获掀开轻诱空迹什怕伦博站压摆之风三名急烧很动鱼冕集作射冲子轰镜继因季受隔第用见紧格谋升塞势怎跑犯转失部输步精招信哪虑果误你惜响仿教识抢生办羞暇奏域弹自斗补常知地气带象酸只事富队欢透运霸布兵号坐间跳节内葡甚束历墙希零伤巨撤支嗅梅缩占星草计位几许亏像并岁优句差领根二台米条产滚库注牙何真老考效贴准冠群0局随决歇丝合吸乎拼容含神原保距亚猛近以热越重觉破萄警依刺刀难渗茨虽段陷挤吉父恩悲秒铲跟五章至非玩糙胆承4火叫1嫦害久臂按穿病机套横范默庆电童确扩离未密存佯华四漏英腩叹限易糊目漂贺倍小双肋迎鸣蒙管科择荡该选堵掉姆援2扑祝系曾调约仍摸啊闪此沉备外仅阶忘友处八散增敲彩爆佛寻攒严扰客若纠乔宠泪萨闻今艳清乐豪纸沛首请眼皇记于数或歌荷任呵抗闷终帅水市匹柱恐驻夸称字悬置相阵者额便赢创价脸挺盖答交工登覆唱早围牌兴宫商质灯烦需匆担迪绪佳讯较服颜付极胸乌麻天白杨捧即霍追包车澡趣连纵使她视媒闹宾评收超扁关花哨折色铁红巾贸智甲颠帮晚漠忙儿恨吧否搁判公票威音烂陆团赴哀爱8键亨嘴口裁掌遁赞享串另抱吹笔美造著签念资9旁显千魁贵孙舒诺牲顾尖黄物磨海觑油丑仰词家女鲜挡业.咱示语士兰靠温审其繁苛郁抵流厢轮报刁室每伸疑立胁榜竞驶忌愿恶言琐投笑呢衣敬假诚冷式标喝酒勒移扬谭素嘹裔睹谈偏耶费河角举万听广慰俱坦喜负掩牺桶夹责枯惨际钢总绅齐幸九烈砸赶钻呆观及频采脱洗耽试瞬满赋陪杯猥除猝影辛孩瓶厅冰介腿礼讶欧愧召众洲街拐房男啤指怪慢省挑官饮昧山既纪汗怀朋光通哦谢展掏端餐屋乖云虾拔绍微低吟豫材苦斤粉冒息膊避西顿施巧卖挽梦畅罪哈百代略春画拭钱卡楼吗尤类宴导萃喂杰悸逃龄滑译扫谷疼鬼擦颇胳城借份嘛庭半貌馆妇菜古冻北缺东异犹播复宿爽朝淡杂姐舫一点特身尔传过辱加马克也种的锋找悟分己两把这了森竟发钟就理在球迷同道突换张些提面疯断他况干出攻贾和进且埃放伊长方亮握来巴度错始太多阿力脚利守下还须门去拥更曼对不样击比行给是磕倒得班夏快被单逼平各次炸:认刻控国人做姜论要奇正有助纳熟好们会求等奥个本刚想起说续路溜技危席诉场丽如照七大前向验可型里达速防然到斯肯中着所员十反直后忍踢劳暴险都吃预新能必量狂聚简禁插线情强洛索赛王上化经完军维从赫尽才硬解问看图时让吼没算接手似呼滥足态味普惊拉松我取又回毫护架最意德致少迫年宁日排腰罗么状底娥停撞高尼败体落六潮无敢远将定拿留耗明头实鲁激泽告麦当命卫粗退背洞边练景吊周权变候为话亲文切结而7望粘3主配但毕胜感打充封功别皮令牧般雷制成声谁术黑整悉翻引遭蒂那托瓦法全弓已扳喊心飞消题焦区林却规现走表住予死余雨波安舞丹丰据积入盯够虎脑幕战先应再挥获掀开轻诱空迹什怕伦博站压摆之风三名急烧很动鱼冕集作射冲子轰镜继因季受隔第用见紧格谋升塞势怎跑犯转失部输步精招信哪虑果误你惜响仿教识抢生办羞暇奏域弹自斗补常知地气带象酸只事富队欢透运霸布兵号坐间跳节内葡甚束历墙希零伤巨撤支嗅梅缩占星草计位几许亏像并岁优句差领根二台米条产滚库注牙何真老考效贴准冠群0局随决歇丝合吸乎拼容含神原保距亚猛近以热越重觉破萄警依刺刀难渗茨虽段陷挤吉父恩悲秒铲跟五章至非玩糙胆承4火叫1嫦害久臂按穿病机套横范默庆电童确扩离未密存佯华四漏英腩叹限易糊目漂贺倍小双肋迎鸣蒙管科择荡该选堵掉姆援2扑祝系曾调约仍摸啊闪此沉备外仅阶忘友处八散增敲彩爆佛寻攒严扰客若纠乔宠泪萨闻今艳清乐豪纸沛首请眼皇记于数或歌荷任呵抗闷终帅水市匹柱恐驻夸称字悬置相阵者额便赢创价脸挺盖答交工登覆唱早围牌兴宫商质灯烦需匆担迪绪佳讯较服颜付极胸乌麻天白杨捧即霍追包车澡趣连纵使她视媒闹宾评收超扁关花哨折色铁红巾贸智甲颠帮晚漠忙儿恨吧否搁判公票威音烂陆团赴哀爱8键亨嘴口裁掌遁赞享串另抱吹笔美造著签念资9旁显千魁贵孙舒诺牲顾尖黄物磨海觑油丑仰词家女鲜挡业.咱示语士兰靠温审其繁苛郁抵流厢轮报刁室每伸疑立胁榜竞驶忌愿恶言琐投笑呢衣敬假诚冷式标喝酒勒移扬谭素嘹裔睹谈偏耶费河角举万听广慰俱坦喜负掩牺桶夹责枯惨际钢总绅齐幸九烈砸赶钻呆观及频采脱洗耽试瞬满赋陪杯猥除猝影辛孩瓶厅冰介腿礼讶欧愧召众洲街拐房男啤指怪慢省挑官饮昧山既纪汗怀朋光通哦谢展掏端餐屋乖云虾拔绍微低吟豫材苦斤粉冒息膊避西顿施巧卖挽梦畅罪哈百代略春画拭钱卡楼吗尤类宴导萃喂杰悸逃龄滑译扫谷疼鬼擦颇胳城借份嘛庭半貌馆妇菜古冻北缺东异犹播复宿爽朝淡杂姐舫内蒙古大学附中2018版《创新设》高考数学一轮复习单元能力提升训练：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)[:一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察下列各式：a＋b＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝()A．28B．76[:C．123D．199【答案】C[:2．设a、b 是两个实数，给出的下列条件中能推出“a、b 中至少有一个数大于1”的条件是()①a＋b＞1②a＋b＝2③a＋b＞2④a 2＋b 2＞2⑤ab＞1A．②③B．③⑤C．③④D．③【答案】D3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n n S n a =*()n ∈N ，可归纳猜想出n S 的表达式为()A．21n n +B．311n n -+C．212n n ++D．22n n +【答案】A4．下列判断错误的是()A．“”是“”的充分不必要条件B．C．若为假D．若则=1【答案】C5．R c b a ∈,,，下面使用类比推理正确的是()A．由“33⋅=⋅b a ，则b a =”类推出“若00⋅=⋅b a ，则b a =”B．由“bc ac c b a +=+)(”类推出“bc ac c b a ⋅=⋅)(”C．由“bc ac c b a +=+)(”类推出“)0(≠+=+c cbc a c b a ”D．由“)()(bc a c ab =”类推出“bc ac c b a +=+)(”【答案】C6．已知函数()y f x =的定义域为R,当0x <时,()1f x >,且对任意的实数,x y ∈R,等式()()()f x f y f x y =+成立.若数列{}n a 满足1(0)a f =,且11()(2)n n f a f a +=--(n ∈N*),则2009a 的值为()A．4016B．4017C．4018D．4019【答案】B7．设x，y，z 都是正实数，a＝x＋1y ，b＝y＋1z ，c＝z＋1x，则a，b，c 三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C8．已知数列{}n a 的前n 项和）（40-=n n S n ，则下列判断正确的是()A．0,02119<>a a B．0,02120<>a a C．0,02119><a a D．0,02019><a a 【答案】C9．下面几种推理是合情推理的是()(1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；(2）由平行四边形、梯形内角和是360︒，归纳出所有四边形的内角和都是360︒；(3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；(4）三角形内角和是180︒，四边形内角和是360︒，五边形内角和是540︒，由此得凸多边形内角和是()2180n -︒A．（1）（2）B．（1）（3）C ．（1）（2）（4）D．（2）（4）【答案】C[:10．用反证法证明某A．a b c ，，都是奇数B．a b c ，，都是偶数C．a b c ，，中至少有两个偶数D．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D11．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2012个圆中共有●的个数是()A．61B．62C．63D．64【答案】A 12．由7598139,,,10811102521>>>…若a>b>0,m>0,则b m a m ++与ba之间大小关系为()A．相等B．前者大C．后者大D．不确定【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．阅读材料：某同学求解sin18的值其过程为：设18α=，则590α=，从而3902αα=-，于是cos3cos(902)αα=- ，即cos3sin 2αα=，展开得34cos 3cos 2sin cos αααα-=，cos cos180α=≠ ，∴24cos 32sin αα-=，化简，得24sin 2sin 10αα+-=，解得15sin 4α-±=， sin sin18(01)α=∈ ，，∴15sin 4α-+=（15sin 04α--=<舍去），即15sin184-+= ．试完成以下填空：设函数13)(3+-=x ax x f 对任意[]11x ∈-，都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为．【答案】414．六个不同大小的数按如图形式随机排列，设第一行这个数为1M ,2M ,3M 分别表示第二、三行中最大数，则满足321M M M <<所有排列的个数____________【答案】24015．观察下列不等式:213122+<，221151233++<，222111712344+++<，……由以上不等式推测到一个一般的结论：对于*n N ∈，222111123n ++++<；【答案】21n n-16．观察下列等式：231111222⨯=-⨯2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯……由以上各式推测第4个等式为。

单元质检七 不等式、推理与证明(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B ,不等式x 2+ax+b<0的解集为A ∩B ,则a+b 等于( )A.-3B.1C.-1D.32.(2017北京高考)若x ,y 满足 x ≤3,x +y ≥2,y ≤x ,则x+2y 的最大值为( ) A.1 B.3 C.5 D.93.甲、乙两人一起到同一粮店买米,共买了2次,两次的价格分别为a ,b (a ≠b ),甲每次买m kg 的大米,乙每次买m 元钱的大米,甲、乙两人两次买米的平均价格分别为x ,y (平均价格等于购米总金额与购米总数之比),则x ,y 的大小关系是( ) A .x>y B .x<yC .x=yD .与m 的值有关4.(2017浙江温州瑞安调研)已知a>0,b>0,a+b=1a +1b ,则1a +2b 的最小值为( ) A.4B.2 2C.8D.165.(2017山东高考)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ) A.a+1b <b2a<log 2(a+b ) B.b 2a <log 2(a+b )<a+1bC.a+1b <log 2(a+b )<b 2a D.log 2(a+b )<a+1b <b 2a6.(2017浙江超级联考)若实数x ,y 满足不等式组 x -2y +2≥0,x +2y +2≥0,2x -y -1≤0,则2|x+1|+y 的最大值是( )A.143B.193C.4D.17.(2017浙江诸暨一模)若关于x 的不等式x 2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)C.(-6,+∞)D.(-∞,-6)8.(2017浙江金丽衢十二校二模)设正实数x ,y ,则|x-y|+1x +y 2的最小值为( )A.74B.33 22C.2D. 239.(2017浙江嘉兴一模)已知实数x,y满足x-3≤0,y-1≥0,x-y+1≥0,若ax+y的最大值为10,则实数a=()A.4B.3C.2D.110.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.已知正实数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为,y的取值范围是.12.已知整数x,y满足不等式y≥x,x+y>4,x-2y+8>0,则2x+y的最大值是,x2+y2的最小值是.13.(2017浙江宁波十校联考)已知点A(3,3),O为坐标原点,点P(x,y)满足3x-y≤0,x-3y+2≥0,y≥0,则满足条件的点P所形成的平面区域的面积为,OA·OP|OA|的最大值是.14.(2017浙江金华调研改编)已知不等式|x+1|-|x-3|>a,若不等式有解,则实数a的取值范围为,若不等式的解集为R,则实数a的取值范围为.15.(2017浙江湖州测试)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a为.16.(2017天津高考)若a,b∈R,ab>0,则a 4+4b4+1的最小值为.17.(2017浙江杭州四校联考)记max{a,b}=a,a≥b,b,a<b,设M=max{|x-y2+4|,|2y2-x+8|},若对一切实数x,y,M≥m2-2m恒成立,则实数m的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)已知f(x)=2xx2+6.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值;(2)若对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求实数t的取值范围.19.(15分)设f(x)=11+x ,数列{a n}满足a1=12,a n+1=f(a n),n∈N*.(1)若λ1,λ2为方程f(x)=x的两个不相等的实根,证明:数列a n-λ1a n-λ2为等比数列; (2)证明:存在实数m,使得对任意n∈N*,a2n-1<a2n+1<m<a2n+2<a2n.20.(15分)设函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=c|x|+bx+a,对任意的x∈[-1,1]都有|f(x)|≤12.(1)求|f(2)|的最大值;(2)求证:对任意的x∈[-1,1],都有|g(x)|≤1.21.(15分)(2017浙江台州调研)已知数列{a n}满足:a n>0,a n+1+1<2(n∈N*).n(1)求证:a n+2<a n+1<2(n∈N*);(2)求证:a n>1(n∈N*).22.(15分)(2017浙江五校联考)已知数列{a n}中,满足a1=1,a n+1=a n+1,记S n为数列{a n}的前n项和.(1)证明:a n+1>a n;;(2)证明:a n=cosπ3·2n-1(3)证明:S n >n-27+π254. 答案：1.A 由题意,得集合A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A ∩B={x|-1<x<2}.又由题意知,-1,2为方程x 2+ax+b=0的两根,由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.2.D 如图,画出可行域,z=x+2y 表示斜率为-1的一组平行线,当过点C (3,3)时,目标函数取得最大值z max =3+2×3=9.故选D .3.A 由题意可得x=ma +m b2m=a +b2,y=2mm a +m b=2aba +b .∵a ≠b ,a ,b>0,∴a +b > ab ,2ab<2 ab= ab .∴x>y.故选A .4.B 由a>0,b>0,a+b=1+1=a +b,得ab=1,则1a +2b ≥2 1a ·2b=2 2,当且仅当1a =2b ,即a= 22,b= 2时等号成立.故选B .5.B 因为a>b>0,且ab=1,所以a>1,0<b<1.所以b a <1,log 2(a+b )>log 22 ab =1.所以2a +1b >a+1b >a+b ⇒a+1b>log 2(a+b ).故选B .6.B 题中不等式组表示的可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中A (-2,0),B 43,53 ,C (0,-1),因此当x ≥-1,z=2x+2+y 过点B 时取最大值193;当x<-1,z=-2x-2+y 过点A 时取最大值2;综上2|x+1|+y 的最大值是19.故选B .7.A不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,x∈(1,4),令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2.8.A∵x>0,y>0,∴|x-y|+1+y2=|x-y|+1+|y2|≥ x-y+1+y2= y-12+ x+1-1≥2-1=7.当且仅当y=1,x=1,即x=1,y=1时取等号.故选A.9.C画出满足条件的平面区域,如图所示.由x=3,x-y+1=0,解得A(3,4),令z=ax+y,因为z的最大值为10,所以直线在y轴上的截距的最大值为10,即直线过(0,10),所以z=ax+y与可行域有交点,当a>0时,直线经过A时z取得最大值.即ax+y=10,将A(3,4)代入得3a+4=10,解得a=2.当a≤0时,直线经过A时z取得最大值.即ax+y=10,将A(3,4)代入得3a+4=10,解得a=2.与a≤0矛盾,综上a=2.10.D(举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.11.8(1,+∞)∵正实数x,y满足x+2y-xy=0,∴x+2y=12×2xy ≤12× x +2y 2 2,化为(x+2y )(x+2y-8)≥0,解得x+2y ≥8,当且仅当y=2,x=4时取等号.则x+2y 的最小值为8.由正实数x ,y 满足x+2y-xy=0,∴x=2yy -1>0, ∴y (y-1)>0,解得y>1.∴y 的取值范围是(1,+∞). 12.24 8 由约束条件 y ≥x ,x +y >4,x -2y +8>0作出可行域如图,由z=2x+y ,得y=-2x+z ,由图可知,当直线y=-2x+z 过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,由x =y ,x -2y +8=0可得 x =8,y =8,所以A 点坐标为(8,8). z 最大值为2×8+8=24.x 2+y 2的最小值是可行域的点B 到原点距离的平方, 由x +y =4,y =x可得B (2,2).可得22+22=8.13. 3 3 不等式组表示的可行域是以B (-2,0),O (0,0),C (1, 3)为顶点的三角形区域(含边界)图略,其面积为1×2× 3= 3.设向量OA 与OP 的夹角为θ,易知∠AOC=30°,∠AOB=150°,∴30°≤θ≤150°. 又OA ·OP|OA |=|OP |cos θ,要使OA ·OP|OA |取到最大值,则30°≤θ≤90°,此时0≤cos θ≤32,1≤|OP |≤2,且cos θ取到最大值 32时,|OP |也取到最大值2,故OA ·OP|OA |的最大值为 32×2= 3.14.(-∞,4) (-∞,-4) 由||x+1|-|x-3||≤|x+1-(x-3)|=4.可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4.(1)若不等式有解,则a<4;(2)若不等式的解集为R ,则a<-4.15.-6或4 ∵函数f (x )=|x+1|+2|x-a|,故当a<-1时,f (x )= -3x +2a -1,x <a ,x -2a -1,a ≤x <-1,3x -2a +1,x ≥-1,根据它的最小值为f (a )=-3a+2a-1=5,求得a=-6. 当a=-1时,f (x )=3|x+1|,它的最小值为0,不满足条件. 当a ≥-1时,f (x )= -3x +2a -1,x <-1,-x +2a +1,-1≤x <a ,3x -2a +1,x ≥a ,根据它的最小值为f (a )=a+1=5,求得a=4. 综上可得,a=-6或a=4. 16.4 因为a ,b ∈R ,且ab>0,所以a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab =4ab+1ab≥2 4ab ·1ab=4.前一个等号成立条件是a 2=2b 2,后一个等号成立的条件是ab=12,两个等号可以同时取得,则当且仅当a 2= 22,b 2= 24时取等号17.[1- 7,1+ 7] 由题意得,M ≥|x-y 2+4|,M ≥|2y 2-x+8|,两式相加,∴2M ≥|y 2+12|≥12,即M ≥6,当且仅当 x -y 2+4=2y 2-x +8,y =0⇒ x =2,y =0时等号成立,∴m 2-2m ≤6⇒1- 7≤m ≤1+ 7,即实数m 的取值范围是[1- 7,1+ 7]. 18.解(1)f (x )>k ⇔kx 2-2x+6k<0,由已知其解集为{x|x<-3,或x>-2},得x 1=-3,x 2=-2是关于x 的方程kx 2-2x+6k=0的两根,则-2-3=2,解得k=-2. (2)∵x>0,∴f (x )=2xx 2+6=2x +6x≤ 66(当且仅当x= 6时,等号成立), 又已知f (x )≤t 对任意x>0恒成立,∴实数t 的取值范围是 66,+∞ . 19.证明(1)f (x )=x ⇔x 2+x-1=0,∴ λ12+λ1-1=0,λ22+λ2-1=0,∴ 1-λ1=λ12,1-λ2=λ22. ∵a n +1-λ1a n +1-λ2=11+a n -λ111+a -λ2=1-λ1-λ1a n1-λ2-λ2a n=λ12-λ1a n λ22-λ2a n=λ1λ2·a n -λ1a n -λ2,又a 1-λ1a 1-λ2≠0,λ1λ2≠0,∴数列a n -λ1a n -λ2为等比数列.(2)设m=5-12,则f(m)=m.由a1=12及a n+1=11+a n得a2=23,a3=35,a4=58.∴a1<a3<m<a4<a2.下面用数学归纳法证明:当n∈N*时,a2n-1<a2n+1<m<a2n+2<a2n.①当n=1时,命题成立.②假设当n=k时,命题成立,即a2k-1<a2k+1<m<a2k+2<a2k,由f(x)在区间(0,+∞)上递减,得f(a2k-1)>f(a2k+1)>f(m)>f(a2k+2)>f(a2k),∴a2k>a2k+2>m>a2k+3>a2k+1,由m>a2k+3>a2k+1,得f(m)<f(a2k+3)<f(a2k+1),∴m<a2k+4<a2k+2,∴当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对一切n∈N*命题成立,即存在实数m,使得对∀n∈N*,a2n-1<a2n+1<m<a2n+2<a2n.20.(1)解∵对任意的x∈[-1,1]都有|f(x)|≤1,|f(0)|≤1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,∴|c|≤1,|a+b+c|≤1,|a-b+c|≤1;∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|≤|3(a+b+c)|+|(a-b+c)|+|-3c|≤3+1+ 3=7.∴|f(2)|的最大值为72.(2)证明∵-1≤a+b+c≤1,-1≤a-b+c≤1,-1≤c≤1,∴-1≤a+b≤1,-1≤a-b≤1,∴-1≤a≤1,若c|x|+bx=0,则|g(x)|=|a|,∴|g(x)|≤1,若c|x|+bx≠0,则g(x)为单调函数,|g(-1)|=|a-b+c|≤1,|g(1)|=|a+b+c|≤1,∴|g(x)|≤1.综上,|g(x)|≤1.21.证明(1)由a n>0,a n+1+1a n<2,所以a n+1<2-1a n<2,因为2>a n+2+1an +1≥2 an +2a n +1,所以a n+2<a n+1<2.(2)假设存在a N ≤1(N ≥1,N ∈N *), 由(1)可得当n>N 时,a n ≤a N+1<1,因为a n+1-1<1-1a n =a n-1a n<0,而a n <1,所以1a n +1-1>a n a n -1=1+1a n -1. 于是1a N +2-1>1+1a N +1-1,……1a N +n -1>1+1a N +n -1-1.累加可得1a N +n -1>n-1+1a N +1-1.(*)由(1)可得a N+n -1<0, 而当n>-1a N +1-1+1时,显然有n-1+1a N +1-1>0,因此有1a N +n -1<n-1+1a N +1-1,这显然与(*)矛盾,所以a n >1(n ∈N *). 22.证明(1)因2a n +12-2a n 2=a n +1-2a n 2=(1-a n )(1+2a n ), 故只需要证明a n <1即可. 下用数学归纳法证明: 当n=1时,a 1=1<1成立, 假设n=k 时,a k <1成立, 那么当n=k+1时,a k+1= a k +12< 1+12=1,所以综上所述,对任意的正整数n ,a n <1. (2)用数学归纳法证明a n =cos π3·2n -1.当n=1时,a 1=1=cos π成立, 假设n=k 时,a k =cosπ3·2k -1,那么当n=k+1时,a k+1= a k +12=cos π3·2+12=cos π3·2k . 所以综上所述,对任意n ,a n =cosπ3·2n -1. (3)1-a n -12=1-a n -1+12=1-a n 2=sin 2π3·2n -1< π3·2n -1 2,得a n-1>1-2π29·4n -1. 故S n >∑i =2n 1-2π29·4i +12=n-12−2π29×43×116 1-14n -1 >n-27+π254.。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）A．25 B．66 C．91 D．120【答案】C2．观察下图：则第( )行的各数之和等于20112.( )A．2010 B．2009C．1006 D．1005【答案】C3．设()|1|||f x x x=--, 则1[()]2f f=( )A．12-B． 0 C．12D． 1【答案】D4．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 ( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【答案】C5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．62n-B．82n-C．62n+D．82n+【答案】C6．在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为( )A ．29B ． 254C ． 602D ． 2004 【答案】B7． 下面使用类比推理，得出正确结论的是 ( ）A ．“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ (c ≠0）” D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）”【答案】C8．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为( )A ．4()22x f x =+ B ．2()1f x x =+ C ．1()1f x x =+D ．2()21f x x =+【答案】B9． 对于函数()f x ，若存在区间[,],()M a b a b =<，使得{|(),}y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”．现有四个函数：①()x f x e ；②3()f x x ，③()sin2f x x π= ④()ln f x x =．其中存在“稳定区间”的函数有（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 【答案】B10．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形 【答案】C11． 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：.他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ）A．289 B．1024 C．1225 D．1378【答案】C12．把正整数按一定的规则排成了如图11－2所示的三角形数表．设a ij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若a ij＝2011，则i 与j的和为( )A．105B．106C．107D．108【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13． 观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出________．【答案】1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n14．若数列{a n }满足a 1=1,a 2=2，a n =n 1n 2a a --(n ≥3且n ∈N *)，则a 17=_______. 【答案】1215．下面几种推理是合情推理的序号的是________． ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. 【答案】①②④16．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为________． 【答案】8125三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a 3＝2，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3,4,5，….试用数学归纳法证明：a n ＝a n －2＋2，n ＝3,4,5，…；证明：①当n ＝3时，a 3＝2＝a 1＋2，所以等式成立；②假设当n ＝k ≥3时等式成立，即a k ＝a k －2＋2. 【答案】由题设有a k ＋1a k ＝(a k －1＋2)(a k －2＋2)． 由a k －2是非负整数，得a k ＝a k －2＋2≠0， ∴a k ＋1＝a k －1＋2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 综合①②得：对任意正整数n ≥3， 都有a n ＝a n －2＋2.18．设n 为正整数，规定：f n (x)= ()n ff (f (f x ))个，已知f(x)= ()21x (0x 1)x 1 (1x 2)-≤≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩， ，＜.(1)解不等式：f(x)≤x ；(2)设集合A={0,1,2}，对任意x ∈A,证明：f 3(x)=x ； (3)探求f 2 005(89)； (4)若集合B={x ︱f 12(x)=x ，x ∈［0，2］}，证明：B 中至少包含有8个元素. 【答案】(1)①当0≤x ≤1时，由2(1-x)≤x 得，x ≥23. ∴23≤x ≤1. ②当1＜x ≤2时，因x-1≤x 恒成立.∴1＜x ≤2. 由①②得，f(x)≤x 的解集为{x ︱23≤x ≤2}. (2)∵f(0)=2，f(1)=0，f(2)=1，∴当x=0时，f 3(0)=f(f(f(0)))=f(f(2))=f(1)=0； 当x=1时，f 3(1)=f(f(f(1)))=f(f(0))=f(2)=1； 当x=2时，f 3(2)=f(f(f(2)))=f(f(1))=f(0)=2. 即对任意x ∈A ，恒有f 3(x)=x.(3)f 1(89)=2(1-89)=29，f 2(89)=f(f(89))=f(29)=149, f 3(89)=f(f 2(89))= f(149)=149-1=59,f 4(89)=f(f 3(89))=f(59)=2(1-59)= 89， 一般地，f 4k+r (89)=f r (89)(k ∈N ，r=1,2,3,4)，∴f 2 005(89)=f 1(89)=29.(4)由题意知，f(23)=23,∴f n (23)=23.则f 12(23)=23.∴23∈B.由(2)知，对x=0或1或2，恒有f 3(x)=x ，∴f 12(x)=f 3×4(x)=x.则0，1，2∈B.由(3)知，对x=821459999，，，，恒有f 12(x)=f 3×4(x)=x ，∴821459999，，，∈B.综上所述，23，0，1，2，821459999，，，∈B.∴B 中至少含有8个元素.19．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线2222x y 1a b-=写出具有类似特征的性质，并加以证明.【答案】类似的性质为：若M ，N 是双曲线2222x y 1a b-=上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P的位置无关的定值.证明：设点M ，P 的坐标分别为(m,n)，(x,y)，则N(-m ，-n).因为点M(m,n)在已知的双曲线上，所以n 2=22b a m 2-b 2.同理：y 2=22b a x 2-b 2.则k PM ·k PN =y n y n x m x m-+=-+222222222222y n b x m b x m a x m a--==--(定值). 20．用三段论证明：函数y=-x 2+2x 在(-∞,1］上是增函数. 【答案】设x 1,x 2∈(-∞,1］，且x 1<x 2.21．已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x ．(1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{an }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (an ＋1)＝g (an )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有an ≤M .【答案】(1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．解法一：h ′(x )＝3x 2－1－12x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12x －12，则φ′(x )＝6x ＋14x －32．当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ⎝⎛⎭⎪⎫33<0，则φ(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以，当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减．而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点． 综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32．当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x )在(0，＋∞)上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点． (2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0． (i)当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0.由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立， 则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k <x 0＋x 0＝x 30知，a k ＋1<x 0. 因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1<x 0成立．故对任意的n ∈N *，a n <x 0成立．(ii)当a ≥x 0时，由(1)知，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，则h (a )≥h (x 0)＝0，即a 3≥a ＋a ．从而a 32＝a 1＋a 1＝a ＋a ≤a 3，即a 2≤a .由此猜测：a n ≤a .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1≤a 显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ≤a 成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k ≤a ＋a ≤a 3知，a k ＋1≤a .因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≤a 成立．故对任意的n ∈N *，a n ≤a 成立．综上所述，存在常数M ＝max{x 0，a }，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .22．设f(n)=n n+1，g(n)=(n+1)n ,n ∈N *.(1)当n=1，2，3，4时，比较f(n)与g(n)的大小.[ (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.【答案】(1)f(1)＜g(1),f(2)＜g(2),f(3)＞g(3), f(4)＞g(4).(2)猜想：当n ≥3，n ∈N *时，有n n+1＞(n+1)n. 证明：①当n=3时，由(1)知猜想成立.。

高三数学一轮复习单元训练：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用反证法证明“如果a>b ，那么33a >b ”假设的内容应是( )A ．33a =bB ．33a <bC ．33a =b 且33a <bD ．33a =b 或33a <b【答案】D2．德国数学家洛萨·科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n ，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1。

如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1。

现在请你研究：如果对正整数n （首项），按照上述规则实施变换（1可以多次出现）后的第八项为1，则n 的所有可能的对值为( ) A ．2，3，16，20，21，128 B ．2，3，16，21 C ．2，16，21，128 D ．3，16，20，21，64【答案】A3．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于( )A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理【答案】A4．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2009次互换座位后，小兔的座位对应的是( )A ．编号1B ． 编号2C ． 编号3D ． 编号4【答案】A5．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”,正确的假设为( )A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，都是偶数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数 【答案】D6．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛41是指数函数(小前提)，所以y ＝x⎪⎭⎫⎝⎛41是增函数(结论)”，上面推理的错误是( ) A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错 【答案】A7．设c b a ，，都是正数，则b a 1+，c b 1+，ac 1+三个数( ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D8．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是( )A ．实数分为有理数和无理数B ．π不是有理数C ．无理数都是无限不循环小数D ．有理数都是有限循环小数【答案】C9．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三个内角都不大于60°B ．假设三个内角都大于60°C ．假设三个内角至多有一个大于60°D ．假设三个内角至多有两个大于60° 【答案】B10．若)0(,3,47≥-+=+-+=a a a Q a a P ，则,P Q 的大小关系是( )A ．P Q >B ．P Q =C ．P Q <D ．由a 的取值确定【答案】C11．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于o60”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都大于o60B ．假设三内角都不大于o60 C ．假设三内角至多有一个大于o60D ．假设三内角至多有两个大于o60【答案】A 12．若7P a a =++，34(0)Q a a a =+++≥,则P 、Q 的大小关系是( )A ． P Q >B ． P Q =C ． P Q <D ． 由a 的取值确定【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知0x >，观察下列几个不等式：12x x +≥；243x x +≥；3274x x +≥；42565x x+≥；……；归纳猜想一般的不等式为___________.【答案】1+≥+n xn x n n14．已知数列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…}的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推，若120,21n n a a -==，则n = . 【答案】21115．古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，······叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为___________ 【答案】5916．若数列{}n a 的各项按如下规律排列：=+++2012,,1,21,11,45,35,25,15,34,24,14,23,13,12a nn n n 则K K K 。

推理与证明02解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．已知1,1≤≤y x ，用分析法证明：xy y x +≤+1.【答案】要证xy y x +≤+1，即证()()221xy y x +≤+，即证22221y x y x +≤+，即证()()01122≤--y x ， 因为1,1≤≤y x ，所以01,0122≥-≤-y x ，所以()()01122≤--y x ，不等式得证．2．求证：2222,2,2y ax bx c y bx cx a y cx ax b =++=++=++（,,a b c 是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．【答案】假设这三条抛物线全部与x 轴只有一个交点或没有交点，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≤-=≤-=044044044232221bc a Δab c Δac b Δ 三式相加，得a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc ≤0⇒(a －b ）2+（b －c ）2+（c －a ）2≤0．∴a=b=c 与已知a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾，∴这三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．3．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的. 祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.试用祖暅原理推导球的体积公式.【答案】我们先推导半球的体积. 为了计算半径为R 的半球的体积，我们先观察V 圆锥、V 半球、V 圆柱这三个量（等底等高）之间的不等关系，可以发现V 圆锥<V 半球<V 圆柱，即3313R V R ππ<<半球，根据这一不等关系，我们可以猜测323V R π=半球，并且由猜测可发现V V V =-半球圆柱圆锥. 下面进一步验证了猜想的可靠性. 关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如右图所示. 下面利用祖暅原理证明猜想.证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面. 如果截平面与平面α的距离为l ，那么圆面半径r =半径为R ，小圆半径为r.因此222()S r R l ππ==-圆，2222()S R l R l πππ=-=-环， ∴ S S =圆环. 根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即2231233V R R R R R πππ=-=半球， 所以343V R π=球.4<0>，0>，故只需证明22<．只需证1020+<5．只需证2125<． 因为2125<显然成立，<5．已知函数)1(,12)(>+-+=a x x a x f x ,用反证法证明:方程0)(=x f 没有负实数根.【答案】假设存在x 0<0(x 0≠-1),满足f(x 0)=0,则0x a =-0021x x -+,且0<0x a <1, 所以0<-0021x x -+<1,即12<x 0<2. 与假设x 0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.6．用适当方法证明：如果,0,0>>b a 那么b a ab b a +≥+。