函数单调性专题训练题

提升训练3.2 函数的单调性一、选择题1．函数y=（2k﹣1）x+b在（﹣∞，+∞）上是减函数，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函数y＝（2k﹣1）x+b在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴2k﹣1＜0，解得k．故选：A．2．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有( )A．k1<k3<k2 B．k3<k1<k2 C．k1<k2<k3 D．k3<k2<k1【答案】A【解析】由于直线向左倾斜，故，直线与直线均向右倾斜，且更接近y轴，所以：.故选A.3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数y＝4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x∵函数在上单调递增∴ 5∴k≤40故选B.4．直线与在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】直线y=x+a是一次函数，斜率k=1，b=a，可判断从左到右图象上升，B,D不满足题意; 当b=a＞0时，y=x+a的图象在y轴上的交点在正半轴，没有选项，所以a＜0，则直线y=ax表示直线过原点，且斜率为小于0，所以选项A错误，C正确．故选：C5．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】A中，函数y＝﹣x2+2在（﹣∞，0）上为增函数；B中，函数y＝4x﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；C中，函数y＝x2+4x在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；D中，函数在（﹣∞，0）上为减函数故选：D．6．已知函数()y f x =在定义域R 上是减函数，则不等式()()2142f x f x +>-的解集为（ ） A ．()1,3B ．()(),31,-∞-⋃-+∞C ．()3,1--D ．()(),13,-∞⋃+∞【答案】A【解析】 依题意，2142x x +<-，所以()()130x x --<，解得13x <<．故选A7．若函数y ＝ax ＋1(a ＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝( ).A ．2B ．3C ．1D ．-1【答案】C【解析】因为a ＞0，所以一次函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上单调递增，所以当x=3时，函数y ＝ax ＋1取得最大值，故3a ＋1=4，解得a ＝1.故选C.8．已知函数f （x ）=x 2-kx -6在[2，8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣kx ﹣6的对称轴为x， 若f （x ）在[2，8]上是单调函数，必有2或8，解可得：k ≤4或k ≥16，即k 的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；故选：D ．9．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），且对任意的x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0．则（ ）A ．()()()211f f f <-<B ．()()()121f f f <<-C ．()()()112f f f <-<D ．()()()211f f f <<-【答案】B【解析】∵当x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）时有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0，∴f（x ）在（-∞，1]上单调递减，∵f（x ）=f （2-x ），∴函数f （x ）的图象关于x=1对称，则f （x ）在∈（1，+∞）上单调递增，∴f（-1）=f （3）>f （2）＞f （1）即f （-1）＞f （2）＞f （1）故选：B ．10．已知函数在上是减函数，则a 的取值范围为 )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 函数在上是减函数，， 求得，故选：B ．11．已知函数f （x ）是R 上的增函数，A （4，2）是其图象上的一点，那么f （x ）＜2的解集是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 因为是函数的图象上的一点，则， 所以， 又因为函数是上的增函数，所以， 即的解集是，故选B ．12．函数f （x ）=满足：对任意的实数x 1≠x 2，都有（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]＞0成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数f （x ）=满足：对任意的实数x 1≠x 2，都有（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]＞0成立，所以函数f （x ）在（-∞，+∞）上是增函数，所以f （x ）在（-∞，1），（1，+∞）上均单调递增，且-12+2a×1≤（2a-1）×1-3a+6， 故有，解得1≤a≤2．所以实数a 的取值范围是[1，2]．故选：C ．二、填空题 13．已知函数2f x x b =+（）在区间12-（，）上的函数值恒为正，则b 的取值范围为______． 【答案】[2+∞，）【解析】()2f x x b =+Q 为增函数，∴若()2f x x b =+在区间()12-，上的函数值恒为正， 则只需要()120f b -=-+≥即可，即2b ≥，即实数b 的取值范围是[2+∞，），故答案为：[2+∞，）14．已知函数，若在上是减函数，则实数的取值范围为____.【答案】[，0）【解析】若在R上是减函数，因为y=在上单调递减，故只需满足，解得：k∈[，0）故答案为：[，0）15．若，且，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】，可得时，递减；时，递减，且，可得在R上递减，，可得，解得，故答案为：．16．能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数＝_________________.【答案】答案不唯一，比如或；【解析】根据题意只要举出的例子不符合函数单调增即可，可以在区间端点处违反单调性，即.答案为：答案不唯一，比如或；三、解答题17．已知函数．Ⅰ画出的图象；Ⅱ根据图象写出的值域、单调区间．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的单调递减区间为，无增区间．【解析】Ⅰ，的图象；Ⅱ由图象知的值域为，的单调递减区间为，无增区间．18．已知函数f（x）=，（Ⅰ）画出f（x）的图象；（Ⅱ）写出f（x）的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）[-1，0]，[2，5]【解析】（Ⅰ）函数f（x）=的图象如下：（Ⅱ）f（x）的单调递增区间为[-1，0]，[2，5]．19．已知函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义法证明．【答案】（1）（2）f（x）在（0，1）上单调递减，证明见解析. 【解析】（1）∵；∴；解得a=1，b=1；∴；（2）f（x）在区间（0，1）上单调递减，证明如下：设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则：=；∵x1，x2∈（0，1），且x1＜x2；∴x1-x2＜0，，；∴；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，1）上单调递减．20．已知函数,且，.（I ）求的函数解析式；（II ）求证：在上为增函数； （III ）求函数的值域. 【答案】（I ）（II ）见解析（III ） 【解析】（I ）函数, 由得a+4b=6,① 由得2a+5b=9,②联立①②解得a=2,b=1, 则函数解析式为（II ）任取x 1，x 2∈[3，5]且x 1＜x 2， ∴∵3≤x 1＜x 2≤5， ∴<0, ∵＞0， ∴＜0， ∴,即在上为增函数. （III ）由（II ）知在上为增函数 则. 所以函数的值域为21．已知函数()21x f x x =+是定义在()1,1-上的函数． （1）用定义法证明函数()f x 在()1,1-上是增函数；（2）解不等式()()10f x f x ++<．【答案】（1）详见解析；（2）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）证明：对于任意的()12,1,1x x ∈-，且12x x <，则： ()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， ∵1211x x -<<<，∴120x x -<，121x x <，∴1210x x ->． ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <．∴函数在()1,1-上是增函数．（2）由函数的分析式及（1）知，()f x 是奇函数且在()1,1-上递增， ()()10f x f x -+<，即：()()()1f x f x f x -<-=-，结合函数的定义域和单调性可得关于实数x 的不等式：111111x x x x -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，求解关于实数x 的不等式组可得：102x <<， 则不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 22．已知定义在（1，+∞）上的函数f （x ）=．（1）当m ≠0时，判断函数f （x ）的单调性，并证明你的结论；（2）当m =时，求解关于x 的不等式f （x 2-1）＞f （3x -3）．【答案】（1）见解析；（2）（，2） 【解析】（1）根据题意，设1＜x 1＜x 2， 则f （x 1）-f （x 2）=-=m ×，又由1＜x 1＜x 2，则（x 2-x 1）＞0，（x 2-1）＞0，（x 1-1）＞0， 当m ＞0时，f （x 1）＞f （x 2），f （x ）在（1，+∞）上递减；当m＜0时，f（x1）＜f（x2），f（x）在（1，+∞）上递增；（2）当m=时，f（x）为减函数，则f（x2-1）＞f（3x-3）⇒，解可得：＜x＜2，即不等式的解集为（，2）。

函数单调性练习题1. 已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围是 .2.讨论函数f(x)＝21xax - (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.3.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？4. 已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (x 2－1)求x 的取值范围．5.设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．6．函数21)(++=x ax x f 在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（ ）.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )8.已知f (x )在其定义域R +上为增函数，f (2)=1，f (xy )=f (x )+f (y )，解不等式f (x )+f (x －2) ≤39.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.10.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3.11.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -=（1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）；（2）设f （2）=1，解不等式2)31()(≤--x f x f 。

高中数学函数的单调性练习题及其答案1.在区间(0.+∞)上不是增函数的函数是：A。

y=2x+1 C。

y=1/x B。

y=3x^2+1 D。

y=2x^2+x+12.函数f(x)=4x^2-mx+5在区间[-2.+∞]上是增函数，在区间(-∞。

-2)上是减函数，则f(1)等于：C。

173.函数f(x)在区间(-2.3)上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是：B。

(-7.-2)4.函数f(x)=(ax+1)/(x+2)在区间(-2.+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是：B。

(0.+∞)5.已知函数f(x)在区间[a。

b]上单调，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a。

b]内：A。

至少有一实根6.已知函数f(x)=8+2x-x^2，如果g(x)=f(2-x^2)，那么函数g(x)：C。

在区间(-2.0)上是增函数7.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0.-1)、B(3.1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x+1)|<1的解集的补集是：D。

(-∞。

-1)∪[2.+∞)8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞。

5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子一定成立的是：B。

f(13)<f(9)<f(-1)9.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是：C。

(-∞。

1]。

[1.+∞)10.已知函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞。

4]上是减函数，则实数a的取值范围是：a≤0 或a≥51.对于第一题，正确答案为D，即a≥3.2.第二题中，删除了明显有问题的选项，正确答案为C，即f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)。

3.对于第三题，正确答案为B，即f(0)>f(3)。

4.填空题的答案为：13.(1.+∞)，14.(-∞。

3)，15.(-∞。

3]。

5.解答题的答案为：17.(1) f(1)=0；(2) f(x+3)-f(x)5，即单调递减区间为(-∞,1)∪(5.+∞)。

函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是〔 〕A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，那么f (1)等于 〔 〕 A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，那么y =f (x ＋5)的递增区间是 〔 〕 A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么实数a 的取值范围是 〔 〕A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，那么方程f (x )=0在区间[a ，b ]内〔 〕 A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) 〔 〕 A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x＋1)|＜1的解集的补集是 〔 〕 A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞〕D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞〕8．定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么以下式子一定成立的是 〔 〕 A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是〔 〕A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，那么以下不等式中正确的选项是〔 〕 A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，那么 〔 〕 A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，那么()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，那么a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) 〔1〕求f (1)的值．〔2〕假设f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．函数f (x )=x ax x ++22，x ∈［1，＋∞］〔1〕当a =21时，求函数f (x )的最小值；〔2〕假设对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，那么f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6那么.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，那么f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，那么f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的表达．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，那么f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，那么f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。

[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。

[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。

4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。

b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。

y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。

1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。

0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。

3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。

证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。

11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。

单调性专题训练1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1 D ．f (x )＝－|x |2.给定函数：①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 3．函数cos 2xy -=的单调递增区间是4．函数22(log 2)y x x =-的单调增区间为_________.5．函数()f x =__________6．函数13ln y x x=+的单调增区间为 。

7.函数221()(1)x f x x x -=-的单调增区间为___________.8．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x的取值范围是 。

9.已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R 。

10．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________．11.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是 。

12．若偶函数()f x 在(-∞，0]上为增函数，则不等式(21)(2)f x f x +>-的解集__________.13．已知函数3 0(){ 1 0x a x f x x x +>=+≤在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．14．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(),4-∞上是单调减函数，则实数a 的取值范围是________．15．若函数f (x )＝|x －2|(x －4)在区间(5a,4a ＋1)上单调递减，则实数a 的取值范围是____．16．已知函数23()2x af x x +=+在(2,)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围__________.17．已知(2)1(1)()(1)xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩满足对任意121212()(),0f x f x x x x x -≠>-都有成立，那么a 的取值范围是_______18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，ax ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是单调性答案1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1 D ．f (x )＝－|x |【答案】C【解析】当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2.给定函数：①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 【答案】B【解析】[①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.] 3．函数cos 2xy -=的单调递增区间是 。

函数的单调性一、单选题(共10道，每道10分)1.若函数与在区间(0，+∞)上都是减函数，则在区间(0，+∞)上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的判断与证明2.函数( )A.在(-1，+∞)上单调递增B.在(-1，+∞)上单调递减C.在(1，+∞)上单调递增D.在(1，+∞)上单调递减答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间3.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间4.函数的一个单增区间是( )A. B.C. D.无单增区间答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间5.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间6.函数的单调递减区间是( )A.，B.，C.，D.，答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间7.设函数，则的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间8.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间9.已知函数是定义在上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，那么不等式组的解集是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间10.已知函数的图象关于直线x＝1对称，且在上单调递减，，则的解集为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的性质。

函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，假如g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对随意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子肯定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？假如具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试探讨函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对随意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满意f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①推断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须探讨0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

函数的单调性一、选择题1. 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．2．函数 的增区间是（ ）。

A ．B ．C ．D ．3． 在上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。

A ．B ．C ．D ．4．当时，函数的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5.若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ） （A ）必是增函数 （B ）必是减函数 （C ）是增函数或是减函数（D ）无法确定增减性6.设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f )(πf ，)3(-f 的大小关系是 （ ）A )2()3()(->->f f f πB )3()2()(->->f f f πC )2()3()(-<-<f f f πD )3()2()(-<-<f f f π7.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 A ．（13，23） B ．（∞-，23） C ．（12，23） D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32 8.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,a 的取值范围是( ) A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)9.若(31)41()log 1a a x ax f x xx -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)710.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x <0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(0，14]D ．(－∞，3)二、填空题1．函数,当时,是增函数,当时是减函数,则f(1)=_____________ 2．已知在定义域内是减函数，且，在其定义域内判断下列函数的单调性：①（ 为常数）是___________； ②（ 为常数）是___________；③是____________； ④是__________．3.函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．三、解答题1．求函数的单调递减区间.2.证明函数x x x f 3)(3+=在),(+∞-∞上是增函数3.讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。

函数的单调性·基础练习函数的单调性(一)选择题[ ]A ．增函数B ．既不是增函数又不是减函数C ．减函数D ．既是增函数又是减函数2．函数(1) ,(2) ,(3) ,(4) 中在上围增函数的有[ ]A ．(1)和(2)B ．(2)和(3)C ．(3)和(4)D ．(1)和(4)3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有[ ]A 、B 、C 、D 、4．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是[ ]A ．a ≥－3B ．a ≤－3C ．a ≤5D ．a ≥35．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是[ ]1y ()．函数＝－在区间－∞，＋∞上是x 2x y =x x y =x x y 2-=x xx y +=)0,(-∞21>k 21<k 21->k 21-<kA 、B 、C 、D 、6．若y ＝f (x )在区间(a ，b)上是增函数，则下列结论正确的是[ ]A ．在区间上是减函数B ．y ＝－f (x )在区间(a ，b)上是减函数C ．y ＝|f (x )|2在区间(a ，b)上是增函数D ．y ＝|f (x )|在区间(a ，b)上是增函数7．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则[ ]A ．f (a)＞f(2a)B ．f (a 2)＜f (a)C ．f (a 2＋a)＜f (a)D ．f (a 2＋1)＜f (a)(二)填空题1．(1)函数的单调区间是 (2)函数的单调区间是 2．函数y ＝4x 2－m x ＋5，当x ∈(－2，＋∞)时，是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f (1)＝________．3．(1)函数的增区间是(2)函数的减区间是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-43,⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43⎦⎤ ⎝⎛-∞-43,⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,43)(1x f y =()b a ,xy -=11xx y +-=11245x x y --=322-+=x x y4．函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f (x )的单调递减区间是________．5．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与之间的大小关系是 。

函数的单调性〔一〕一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是〔 〕A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 〔 〕 A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是〔 〕A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是〔 〕A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥310．已知函数()()2212f x x a x =+-+的单调递减区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是〔 〕 A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) 〔1〕求f (1)的值．〔2〕假设f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］〔1〕当a =21时，求函数f (x )的最小值；〔2〕假设对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的表达．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

高考数学专题训练函数单调性问题【例1】(2020•新课标Ⅰ)已知函数)2()(+-=x a e x f x ．(1)当1=a 时，讨论)(x f 的单调性；【例2】(2017•新课标Ⅰ)设函数x e x x f )1()(2-=．(1)讨论)(x f 的单调性;【例3】(2020•新课标Ⅰ) 已知函数x x x f 2sin sin )(2=．(1)讨论)(x f 在区间)0(π，的单调性;【例4】(2020•天津) 已知函数)(ln )(3R k x k x x f ∈+=，)(x f '为)(x f 的导函数．(1) 当6=k 时，(Ⅰ)求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线方程；(Ⅰ)求函数x x f x f x g 9)()()(+'-=的单调区间和极值；【例5】(2019•新课标Ⅰ)已知函数11ln )(-+-=x x x x f (1)讨论)(x f 的单调性；【例6】(2014•新课标Ⅰ)已知函数x e e x f x x 2)(--=-．(1)讨论)(x f 的单调性；【例7】(2017•北京理)已知函数x x e x f x -=cos )(．(1)求函数)(x f 在区间]2[0π，上的最大值和最小值;【例8】(2020•新课标Ⅰ)已知函数x ax e x f x -+=2)((1)当1=a 时，讨论)(x f 的单调性；【例9】(2016•北京)设函数bx xe x f x a +=-)(，曲线)(x f y =在点))2(2(f ，处的切线方程为4)1(+-=x e y(1)求a ，b 的值;(2)求)(x f 的单调区间．【例10】(2020•新课标Ⅰ)已知函数1ln 2)(+=x x f ．（1）设0>a ，讨论函数a x a f x f x g --=)()()(的单调性．【例1】(2019•重庆模考)已知函数)(1ln )(R a x ax x f ∈++=．(1)讨论函数)(x f 的单调性；【例2】(2020•广西联考)已知函数x a x x f ln 1)(--=，(1)求函数)(x f 的极值．【例3】(2020•江西联考)已知函数1sin )1ln(2)(+++=x x x f ，函数x b ax x g ln 1)(--=(a ，R b ∈，0≠ab )(1)讨论)(x g 的单调性；【例4】(2019•广东二模)已知函数()21x f x ae x =+-．(其中常数 71828.2=e ，是自然对数的底数．)(1)讨论函数)(x f 的单调性；【例5】(2019•重庆二模)已知函数x b x a x f +=ln )((其中2≤a 且0≠a )，且)(x f 的一个极值点为ex 1=． (1)求函数)(x f 的单调区间；【例6】(2018•揭阳一模)已知0≠a ，函数ax e e e x f x x ++-=)(．(1)讨论)(x f 的单调性；【例7】(2017•新课标Ⅰ)已知函数x a ax x x f )12(ln )(2+++=．(1)讨论函数)(x f 的单调性;【例8】(2019•新课标Ⅰ)已知函数b ax x x f +-=232)(．（1）讨论)(x f 的单调性；【例9】(2020•济宁模拟)已知函数1ln )(-=x x x f ，x a ax x g )2()(2--=．(1)设函数)()()(x g x f x H -'=，讨论)(x H 的单调性；【例10】(2014•山东) 设函数11ln )(+-+=x x x a x f ，其中a 为常数． （1）若0=a ，求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线方程;（2）讨论)(x f 的单调区间．【例11】(2018•新课标Ⅰ)已知函数x a x x x f ln 1)(+-=． (1)讨论)(x f 的单调性;【例12】(2020•新课标Ⅰ) 已知函数23)(k kx x x f +-=．（1）讨论)(x f 的单调性;【例13】(2017•新课标Ⅰ) 已知函数x a a e e x f x x 2)()(--=．（1）讨论)(x f 的单调性．【例14】(2020•马鞍山二模) 已知函数x e ae x f x x +-=-)()0(>a（1）讨论)(x f 的单调性；【例15】(2019•山东)已知212)ln ()(x x x x a x f -+-=，R a ∈． (1)讨论)(x f 的单调性．【例16】(2010•新课标) 设函数2()1x f x e x ax =---．（1）当0=a 时，讨论)(x f 的单调性．【例17】(2014•广东) 设函数3)2(2)2(1)(222-+++++=k x x k x x x f ，其中2-<k ．（1）讨论)(x f 的定义域D (用区间表示)；（2）讨论)(x f 在D 单调性．达标训练1．(2018•新课标Ⅰ)已知函数1ln )(--=x ae x f x ．(1)设2=x 是)(x f 的极值点，求a ，并求)(x f 的单调区间．2．(2018•新课标Ⅰ)已知函数)1(31)(23++-=x x a x x f ． (1)若3=a ，求)(x f 的单调区间．3．(2017•新课标Ⅱ)设函数x e x x f )1()(2-=．(1)讨论)(x f 的单调性．4．(2015•新课标Ⅱ)设函数)1(ln )(x a x x f -+=．(1)讨论)(x f 的单调性．5．(2016•山东)设函数x a ax x x x f )12(ln )(2-+-=，R a ∈．(1)令)()(x f x g '=，求)(x g 的单调区间．6．(2020•金安期中)已知函数x a x x f -=ln )(，R a ∈． (1)讨论)(x f 的单调性．7．(2017•全国Ⅱ)已知函数x x ax ax x f ln )(2--=，且0)(≥x f ．求a 的值．8．(2012•新课标)设2)(--=ax e x f x ．(1)求)(x f 的单调区间．9．(2020•镜湖模拟)设函数1)(--=ax e x f x ，R a ∈;(1)讨论)(x f 在)0(∞+，上的单调性．10．(2020•香坊月考)已知函数x a x x f ln 21)(2-=)(R a ∈． (1)讨论)(x f 的单调性．11．(2017•天津)设a ，R b ∈，|1|a ≤，已知函数b x a a x x x f +---=)4(36)(23．(1)讨论)(x f 的单调性．12．(2014•湖南)已知常数0>a ，函数22)1ln()(+-+=x x ax x f ． (1)讨论)(x f 在区间)0(∞+，上的单调区间．13．(2018•新课标Ⅰ)已知函数x a x x x f ln 1)(+-=． (1)讨论)(x f 的单调性．14．(2015•山东•理)设函数)()1ln()(2x x a x x f -++=，其中R a ∈．(1)讨论函数)(x f 的单调性．15．(2019•江西)已知函数ax xe x a xf x+--=ln )(，R a ∈． (1)当0<a 时，讨论函数)(x f 的单调性．16．(2020•荔湾区月考)已知函数x f ax e x x f x )0()1()(2'---=，其中R a ∈，)(x f '为函数)(x f 的导数．(1)讨论函数)(x f 的单调性．17．(2020•南昌月考)已知函数x e ax x f -=)((R a ∈,e 为自然对数的底数)．(1)讨论)(x f 的单调性．18．(2020•太和县月考)已知函数R a e a x x f x∈+-=(2)(2,)718.2 =e ． (1)求)(x f 的单调区间．19．(2020•五华月考)已知函数12131)(23-++-=ax x x x f ． (1)讨论函数的单调性．20．(2020•工农月考)已知函数x x x x f )ln 1)(1()(++=，)(ln )(R m mx x x g ∈-=． (1)求)(x g 的单调区间．21．(2020•江苏月考)已知函数)1(cos )(-+=x e a x x f ．(1)当1=a 时，求)(x f 在)0(π，上的单调性．22．(2020•南岗期中)已知函数x ax x f ln )(-=．(1)讨论)(x f 的单调区间;23．(2020•金安期中)已知函数ax x f 1ln )(-=，R a ∈． (1)讨论)(x f 的单调区间．。

函数单调性演习题1.（1）已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数,则实数a 的取值规模是.（2）已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞,4］,则实数a 的取值规模是 .（3）已知x ∈[0,1],则函数的最大值为_______最小值为_________ 2.评论辩论函数f(x)＝21x ax - (a≠0)在区间(-1,1)内的单调性.解：设-1＜x 1＜x 2＜１,则f(x 1)-f(x 2)＝2111x ax --2221x ax -＝)1)(1()1)((22212121x x x x x x a --+- ∵x 1,x 2∈(-1,1),且x 1＜x ２,∴x 1-x 2＜0,1+x 1x 2＞0,(1-x 21)(1-x 22)＞0 于是,当a ＞0时,f(x 1)＜f(x 2);当a ＜0时,f(x 1)＞f(x 2).故当a ＞0时,函数在(-1,1)上是增函数;当a ＜0时,函数在(-1,1)上为减函数.3.断定函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数照样减函数,并证实你的结论;假如x ∈（0,＋∞）,函数f (x )是增函数照样减函数？4.已知：f (x )是界说在[－1,1]上的增函数,且f (x －1)<f (x 2－1)求x 的取值规模．5.设y=f (x )的单增区间是(2,6),求函数y=f (2－x )的单调区间．6．函数21)(++=x ax x f 在区间（-2,+∞）上是增函数,那么a 的取值规模是（ ）A.210<<aB.21>a C.a<-1或a>1D.a>-2解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a(x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a .任取x 1,x 2∈(－2,＋∞),且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x1＋2－1－2a x2＋2＝(1－2a)(x2－x1)(x1＋2)(x2＋2). ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2,＋∞)上为增函数,∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0,x 1＋2>0,x 2＋2>0,∴1－2a <0,a >12.即实数a 的取值规模是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋∞.x x y --+=122上是单调递减的. ）, （－ 在 , 由复合函数单调性可知 是单减的, 上 在 又 ）, （－ ）, （ 而 ）上是增函数, , （ 在 则由已知得 解：令 0 4 )] ( [ ) 2 ( ) 0 , 4 ( 2 ) ( 0 4 6 2 2 ) ( 6 2 ) ( , 2 ) ( ∈ = - - ∈ - = ∈ ∴ ∈ - = ∈ - = x x t f x f x x x t x x x t t t f x x t ），的单减区间是（－04)2(x f -∴7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x x ≥04x －x2x<0.若f (2－a 2)>f (a ),则实数a 的取值规模是( )A ．(－∞,－1)∪(2,＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞,－2)∪(1,＋∞)解析：f (x )＝⎩⎨⎧x2＋4x ＝(x ＋2)2－4x ≥04x －x2＝－(x －2)2＋4x<0由f (x )的图象可知f (x )在(－∞,＋∞)上是单调递增函数,由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ,即a 2＋a －2<0,解得－2<a <1.故选C. 8.已知f (x )在其界说域R +上为增函数,f (2)=1,f (xy )=f (x )+f (y ),解不等式f (x )+f (x －2) ≤39.已知界说在区间（0,+∞）上的函数f(x)知足f()21x x =f(x 1)-f(x 2),且当x ＞1时,f(x)＜0. （1）求f(1)的值;（2）断定f(x ）的单调性;（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. （1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0.（2）当0 < x < y 时,y/x > 1,所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 .故f 单调减.（3）f(3) = -1,f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3),f(9) = -2而 f （｜x ｜)＜-2 = f(9),且f 单调减,所以| x | > 9 x ＞9或x ＜-910.函数f(x)对随意率性的a.b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时,f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数; （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3. （1）设x1,x2∈R ,且x1＜x2,则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.3)2()4()8(2)2()2()4()()()(=+=∴=+=∴+=f f f f f f y f x f xy f 解：)2()2()(2x x f x f x f -=-+又)8()2(2f x x f ≤-由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤->->∴82020R )(2x x x x x f 上的增函数为＋ (]42，解得∈x∴f （x2）＞f(x1).即f(x)是R 上的增函数.（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5,∴f （2）=3,∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2), ∵f(x)是R 上的增函数,∴3m2-m-2＜2,解得-1＜m ＜ ,故解集为 .11.设f （x ）的界说域为（0,+∞）,且在（0,+∞）是递增的,)()()(y f x f y xf -=（1）求证：f （1）=0,f （xy ）=f （x ）+f （y ）;（2）设f （2）=1,解不等式2)31()(≤--x f x f .（1）证实：)()()(y f x f y xf -=,令x=y=1,则有：f （1）=f （1）-f （1）=0,)()()]()1([)()1()()1()(y f x f y f f x f y f x f y x f xy f +=--=-==.（2）解：∵)]3()1([)()31()(---=--x f f x f x f x f )3()3()(2x x f x f x f -=-+=, ∵2=2×1=2f （2）=f （2）+f （2）=f （4）,∴2)31()(≤--x f x f 等价于：)4()3(2f x x f ≤-①, 且x>0,x-3>0[由f （x ）界说域为（0,+∞）可得∵03)3(2>-=-x x x x ,4>0,又f （x ）在（0,+∞）上为增函数, ∴①41432≤≤-⇒≤-⇔x x x .又x>3,∴原不等式解集为：{x|3<x ≤4}. 12.已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)． (1)若a >0,则f (x )的界说域是________;(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数,则实数a 的取值规模是________． 解析：34⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,1(1)当a >0且a ≠1时,由3－ax ≥0得x ≤3a,即此时函数f (x )的界说域是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞3a ;(2)当a －1>0,即a >1时,要使f (x )在(0,1]上是减函数,则需3－a ×1≥0,此时1<a ≤3. 当a －1<0,即a <1时,要使f (x )在(0,1]上是减函数,则需－a >0,此时a <0. 综上所述,所求实数a 的取值规模是(－∞,0)∪(1,3]．13. 界说在R 上的函数()y f x =,(0)0f ≠,当0x >时,()1f x >,且对随意率性的a b R ∈、,有()()()f a b f a f b +=⋅.(1)求(0)f 的值;(2)求证：对随意率性的x R ∈,恒有()0f x >;(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->,求x 的取值规模.解：（1）解：令0a b ==,则2(0)(0).f f = 又(0)0f ≠,(0)1f =. （2）证实：当0x <时,0x ->,∴()1f x ->∵(0)()()1f f x f x =⋅-=,∴1()0()f x f x =>- 又0x ≥时, ()10f x ≥>∴对随意率性的x R ∈,恒有()0f x >.（3）解：设12x x <,则210x x ->.∴21()1f x x ->. 又1()0f x >∴1212111211()()()[()]()()()f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--⋅=121()[1()]0f x f x x --<∴12()()f x f x <.∴()f x 是R 上的增函数. 由2()(2)1f x f x x ⋅->,(0)1f =得 2(3)(0)f x x f ->.∴230x x ->,∴03x <<∴所求的x 的取值规模为(0,3)14.已知函数f (x )对于随意率性x ,y ∈R ,总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ),且当x >0时,f (x )<0,f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数;(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)解法一：∵函数f (x )对于随意率性x ,y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ),∴令x ＝y ＝0,得f (0)＝0.再令y ＝－x ,得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2,则x 1－x 2>0,f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时,f (x )<0,而x 1－x 2>0,∴f (x 1－x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2)．是以f (x )在R 上是减函数． 解法二：设x 1>x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时,f (x )<0,而x 1－x 2>0,∴f (x 1－x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数,∴f (x )在[－3,3]上也是减函数,∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分离为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2,f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2,最小值为－2.。

函数单调性测试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = -x^2 + 2x \) 在区间 (-∞, 1] 上是单调递增的，那么在区间[1, +∞) 上是单调递减的，这种说法是否正确？A. 正确B. 错误2. 函数 \( g(x) = 3x^3 - 2x^2 + x \) 的导数 \( g'(x) \) 为：A. \( 9x^2 - 4x + 1 \)B. \( 9x^2 + 4x + 1 \)C. \( -9x^2 + 4x - 1 \)D. \( -9x^2 - 4x - 1 \)3. 如果 \( h(x) \) 是一个在区间(0, +∞) 上单调递增的函数，且\( h(2) = 4 \)，那么 \( h(4) \) 一定：A. 大于 4B. 等于 4C. 小于 4D. 无法确定二、填空题4. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) 的导数 \( f'(x) \)为 \( ________ \)。

5. 若 \( k \) 为正常数，函数 \( y = kx \) 在整个定义域上是单调递增的，那么 \( k \) 的取值范围是 \( ________ \)。

三、解答题6. 已知函数 \( f(x) = \frac{2}{x} \)，请讨论其在区间 (-∞, 0) 和(0, +∞) 上的单调性，并证明。

7. 函数 \( g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \)，请找出其在定义域上的极值点，并判断其单调性。

四、证明题8. 证明函数 \( h(x) = x^3 - 3x \) 在区间 (-∞, 1) 上是单调递减的。

答案：1. A2. A3. A4. \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)5. \( k > 0 \)6. 函数 \( f(x) = \frac{2}{x} \) 在区间 (-∞, 0) 上单调递增，在区间(0, +∞) 上单调递减。

一、选择题1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x C ．y ＝－－x D ．y ＝xx －1[答案] D[解析] y ＝1－x 2在(－∞，0)上为增函数，y ＝x 2＋x 在(－∞，0)上不单调，y ＝－－x 在(－∞，0)上为增函数，故选D.2．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x >f (1)的x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) [答案] D[解析] ∵f (x )在R 上单调递减且f (1x )>f (1)， ∴1x <1，∴x <0或x >1.3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1x D ．y ＝－|x |[答案] B[解析] y ＝3－x ，y ＝1x ，y ＝－|x |在(0,2)上都是减函数，y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数．4．若y＝f(x)是R上的减函数，对于x1＜0，x2＞0，则()A．f(－x1)＞f(－x2)B．f(－x1)＜f(－x2)C．f(－x1)＝f(－x2)D．无法确定[答案] B[解析]由于x1＜0，x2＞0，所以x1＜x2，则－x1＞－x2，因为y＝f(x)是R 上的减函数，所以f(－x1)＜f(－x2)，故选B.5．函数f(x)＝－x2＋6x＋7的单调增区间为()A．(－∞，3] B．[3，＋∞)C．[－1,3] D．[3,7][答案] C[解析]方程－x2＋6x＋7＝0的两根为x1＝－1，x2＝7，又y＝－x2＋6x＋7对称轴为x＝3，如图知选C.6．函数y＝1－1x－1() A．在(－1，＋∞)内单调递增B．在(－1，＋∞)内单调递减C．在(1，＋∞)内单调递增D．在(1，＋∞)内单调递减[答案] C[解析]因为函数y＝1－1x－1可视作函数y＝－1x的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，所以y ＝1－1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)内都是增函数，故选C.7．已知函数y ＝f (x )的定义域是数集A ，若对于任意a ，b ∈A ，当a <b 时都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的实数根( )A ．有且只有一个B ．一个都没有C ．至多有一个D ．可能会有两个或两个以上 [答案] C[解析] 由条件知f (x )在A 上单调增，故f (x )的图象与x 轴至多有一个交点，故选C.8．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t ，都有f (2＋t )＝f (2－t )，则( ) A ．f (2)<f (1)<f (4) B ．f (1)<f (2)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1) [答案] A[解析] 由条件知，二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，其图象开口向上，∵2－1<4－2，∴f (4)>f (1)>f (2)．[点评] 当二次函数的图象开口向上时，与对称轴距离越远，对应的函数值越大；开口向下时恰好相反．9．(09·天津文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)[答案] A[解析]∵f(1)＝3，∴当x≥0时，由f(x)＞f(1)得x2－4x＋6>3，∴x＞3或x＜1.又x≥0，∴x∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x＜0时，由f(x)＞f(1)得x＋6＞3∴x＞－3，∴x∈(－3,0)．综上可得x∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.10．设(c，d)、(a，b)都是函数y＝f(x)的单调减区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定[答案] D[解析]函数f(x)在区间D和E上都是减函数(或都是增函数)，但在D∪E 上不一定单调减(或增)．如图，f(x)在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．二、填空题11．考察单调性，填增或减函数y ＝1－x 在其定义域上为________函数； 函数y ＝1x 在其定义域上为________函数．[答案] 减 减12．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2 x ≥0x ＋1 x ＜0，则f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________．[答案] 增区间为(－∞，0]、[1，＋∞)，减区间[0,1] [解析] 画出f (x )＝⎩⎨⎧(x －1)2 (x ≥0)x ＋1 (x <0)的图象如图，可知f (x )在(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.13．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (1)＝________.[答案] 21[解析] 由已知得－－m2×4＝－2，解得m ＝－16∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1，则f (1)＝21. 三、解答题14．设f (x )在定义域内是减函数，且f (x )＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性(1)y ＝f (x )＋a (2)y ＝a －f (x ) (3)y ＝[f (x )]2.[解析] (1)y ＝f (x )＋a 是减函数，(2)y ＝a －f (x )是增函数．证明从略． (3)设x 2＞x 1，f 2(x 2)－f 2(x 1)＝[f (x 2)＋f (x 1)][f (x 2)－f (x 1)]＜0，∴y ＝f 2(x )是减函数．15．画出函数y ＝|x 2－x －6|的图象，指出其单调区间．[解析] 函数解析式变形为y ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ＋6(－2≤x ≤3)x 2－x －6(x ＜－2或x ＞3)画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，12]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[12，3]．16．讨论函数y ＝1－x 2在[－1,1]上的单调性．[解析] 设x 1、x 2∈[－1,1]且x 1<x 2，即－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝1－x 21－1－x 22＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)1－x 21＋1－x 22当1>x 1≥0,1≥x 2>0，x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[0,1]上为减函数，当－1≤x 1<0，－1<x 2≤0，x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[－1,0]上为增函数． 17．求证：函数f (x )＝x ＋a 2x (a ＞0)，在区间(0，a ]上是减函数． [解析] 设0＜x 1＜x 2≤a ，f (x 2)－f (x 1)＝(x 2＋a 2x 2)－(x 1＋a 2x 1)＝(x 2－x 1)＋a 2(x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)x 1x2. ∵0＜x 1＜x 2≤a ，∴0＜x 1x 2＜a 2， ∴(x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)x 1x2＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)， ∴f (x )＝x ＋a 2x (a >0)在(0，a ]上是减函数．18．已知f (x )在R 上是增函数，且f (2)＝0，求使f (|x －2|)>0成立的x 的取值范围．[解析] 不等式f (|x －2|)>0化为 f (|x －2|)>f (2)，∵f (x )在R 上是增函数， ∴|x －2|>2，∴x >4或x <0.。

函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

函 数 单 调 性一、 选择题1.已知函数y =f (x )是定义在R 上的增函数，则f (x )=0的根 A .有且只有一个 B .有2个 C .至多有一个 D .以上均不对2.若函数f (x )=x 2+(a 2-4a +1)x +2在区间（-∞，1］上是减函数，则a 的取值范围是 A .［-3，-1］ B .（-∞，-3］∪［-1，+∞）C .［1，3］ D .（-∞，1］∪［3，+∞） 3.已知f (x )=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx a x a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是 A .（0，1） B .（0，31） C .［71，31） D .［71，1）4．函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( )A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )5．下列四个函数：①y ＝x x －1；②y ＝x 2＋x ；③y ＝－(x ＋1)2；④y ＝x1－x＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．① B ．④ C ．①④ D ．①②④ 6．函数y ＝－x 2的单调减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)7若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0)<f (1)，则函数f (x )在区间[－1,3]上的单调性是( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先减后增 D ．无法判断 8设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )A ．f (a )＞f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋a )＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a ) 9．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数； ④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题10已知y =f (x )是定义在（-2，2）上的增函数，若f (m -1)＜f (1-2m )，则m 的取值范围是 .11.已知下列四个命题：①若f (x )为减函数，则-f (x )为增函数；②若f (x )为增函数，则函数g (x )=)(1x f 在其定义域内为减函数；③若f (x )与g (x )均为(a ,b )上的增函数，则f (x )·g (x )也是区间（a ,b ）上的增函数；④若f (x )与g (x )在(a ,b )上分别是递增与递减函数，且g (x )≠0，则)()(x g x f 在（a ,b )上是递增函数.其中正确命题的序号是 .12若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是________． 13已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为 函 数 性 质（一）一选择题1函数()412x xf x +=的图象A. 关于原点对称B. 关于直线y=x 对称C. 关于x 轴对称D. 关于y 轴对称2设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则(1)f -= （A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)33给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，在（0，1）上单调递减的函数序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 4若函数f （x ）=3x +3-x 与g （x ）=3x -3-x 的定义域均为R ，则A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数 5已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 （A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23） 6定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则(A)(3)(2)(1)f f f <-< (B) (1)(2)(3)f f f <-< (C) (2)(1)(3)f f f -<< (D)(3)(1)(2)f f f <<-7函数22xy x =-的图像大致是8下列命题中，真命题是(A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数 (B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数 (C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数 (D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数函 数 的 性 质（二）一选择题1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上的是（ ）A ． (())a f a ，-B ． (())--a f a ，C ． (())---a f a ，D ．(())a f a ，-2如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ）A ．增函数，最小值是-5B ．增函数，最大值是-5C ．减函数，最小值是-5D ．减函数，最大值是-53已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数，则a 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．24.已知偶函数)(x f 在],0[π上单调递增，则下列关系式成立的是( )A ．)2()2()(f f f >->-ππ B ．)()2()2(ππ->->f f fC ．)2()2()(ππ->>-f f f D ．)()2()2(ππ->>-f f f5已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数6下面四个结论中，正确命题的个数是 ①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）A.1B.2C.3D.4二、填空题7若函数)(x f y =是奇函数，3)1(=f ，则)1(-f 的值为____________ .8．若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数，且)3()1(f f <，则)3(-f 与)1(-f 的大小关系为_______________9已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________. 10给定函数:①y =x1（x ≠0）；②y =x 2+1；③y =2x ；④y =log 2x ；⑤y =log 2（x +12+x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.11已知分段函数)(x f 是奇函数，当),0[+∞∈x 时的解析式为2x y =，则这个函数在区间)0,(-∞上的解析式为 ．。